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山东大学硬士学位论文 哥期望关于仿射相关随机变量的可加性 泰栋 ( 山东大学数学与系皖科学学院。济南2 5 0 l o o ) 中文摘要 在1 9 9 0 午，p a r d m 和彭实戈教授提出了一类形如 y t = f + 【j g o o z t , j ) 出一f z , d b , t e 【o ，刀 的饲向随机微分方程并且证明了在一定条件下，该方程存在唯一的对适应 解。并由此刨造性的提出了类可以定义条件期望的非线性数学期望譬 期望t 嘲= y o 后来这一成果引起广大学者的重视，并被应用于金融，经济和数学其他分支 作为一种非线性数学期望，争期望对般的随机变量不满足可加性 我们知道，某些非线性数学期望对些特殊的随机变量满足可加性，如最小 期望对仿射相关( a f f m e b r e l a t e d ) 的随机变量可加但是g - 期望可加的条件 比较苛刻，对仿射相关的随机变量般也不满足可加性，那么很自然的想到 可否能限定g 的条件使得g 期望对仿射相关的随机变量可加? 这即是本文 研究的主要问题 考虑1 维情形，当g 不含随机项时，g z 0 ：r 2 【o ，刀一i t 本文就 是否要求。对任意饥0e r 。【o 孔有g 机o 0 = 0 。( t i p 文中) ) 研究 了g - 期望对仿射相关随机变量的可加性问题其基本思想为l 若譬期望满 足正齐次性和平移不变性，则g 期望对仿射相关随机变量可加i 而在( a 3 ) 下，g 与j ，无关时哥期望藏足平移不变性，g 关于z 正齐次时窖- 期望满足正 齐次性，于是我们猜想在( a 3 ) 下是否g 与y 无关且关于z 正齐次就是驴期 望对仿射相关随机变量可加的条件本文对此给出了肯定的回答并指出这是 暑期望对仿射相关随机变量可加的充妥条件( 第三章定理3 1 i ) 定理也l 设g 满足( a l h ”) 若岛【1 对铲( 工纤，d 中所有仿射相关 的随机变量都具有可加性( 即若叩el 2 ( t z 于- r ，是仿射相关的，则必有 i 山东大学硕士学位论文 岛睹+ 叩】= 岛嘲+ 譬m ) 则g 具有形式 g = j r l 而l + h 锄，( o 1 ) 其中胁，y ( ，) 是【0 朋上的连续函数 反之，若g 具有( o 1 ) 式的形式，则岛【】 对l 2 ( 嘎疗，乃中所有仿射相关的随机变量都可加 我们知道，( a 3 ) 是个很强的条件，倒如当我们将倒向随机微分方程理 论应用于期权定价时，我们发现在此时生成元g 不一定满足g 以0 ，f ) ；0 ，所 以本文进一步研究了不要求 0 的“p 条件。即对任意o ，i 一) e r 。叫，i = l ，2 9 0 1 ，：1 ，o g o 产，f ) n # ( 1 y 1 一，l + l 一一：21 ) ( 1 2 ) b s d e 0 ) 有存在唯一的适应解机。动( 其中乃即g 期望，记作乓【】) 进一 步的，彭实戈嘲证明了若g 满足下述条件时，哥期望有保常数性 a 3 如o 。，) = 0 ，对任意饥f ) r ，【o 明 g 期望有除了线性之外几乎所有的古典算子所具有的性质目前g 期 望理论已经被众多学者所接受且有广泛的应用，特别在金融中可发挥巨大的 作用我们知道期望效用理论是现代数理经济学的基础，但是诺贝尔经济学 奖获得者a l l a i $ 提出的著名的a l l a i s 悖论使得期望效用理论受到了很大的挑 战科学家们已经发现传统的期望效用理论的线性性一源于线性数学期望 一是导致a l l a i s 悖论的主要原因为了克服基于线性数学期望的期望效用理 论在解释经济现象时的不足，许多数学家与经济学家致力于研究非线性数学 期望，如法国著名数学家c h o q u e t 提出了c h o q u e t 期望理论但c h o q i l e t 期 望和其它许多非线性期望一样在定义t 时刻已知信息下的条件期望时遇到了 实质性的困难，这个问题的存在使得他们的理论难以用于动态经济模型彭 实戈通过倒向随机微分方程引入了g 期望与条件哥期望的概念，从而在一 定的框架下建立了动态非线性数学期望理论的基础特别是经过近年来的研 究，科学工作者已经发现g 期望是研究递归效用理论与金融产品定价和风 险度量的有力工具 山东大学硕士学位论文 仞1 1g - 期望的个很大的优点是可以选择不同的g 构造不同的模型来 解决金融问题( 见【3 】， 4 d 下面我们考虑金融市场中基于股票的欧式看涨期 权定价的定价模型通俗的讲，期权就是一份甲乙双方在，= 0 时刻商定的 个执行合同，设 只f ) = p e x p b t + 嘣o 一云一以 为某支股票的价格过程。其中p 为该股票t = 0 时刻的价格，b 是期望回报 率，矿是市场波动系数双方在t = 0 时刻约定甲方保证在t 时亥8 将一张股票 以价格q 卖给乙方，而若t 时刻乙方认为不合适可以放弃合同事实上，这 份合同使乙方在t 时刻获益( h d 一孽 + ，为此t = 0 时刻乙方应付给甲方一定 金钱，究竟付多少钱才合理的同题就是期权定价问题这里取f = ( 尸( 乃一叮) + 为期权带来的的t 时刻的未定权益，设r 为银行存款利息，r 为银行贷款利 息，则取g = r y - t - ( 6 一r 扛+ 但一，) o ，一z r ，通过解b s d e ( i 1 ) 即可以得到期 权的公平价格，特别的当r = ，时，该方程的解为 蛳= p 叫“) 一q m ( 虬) 其中 喇= 去j 二晰譬胁 y d ：- - - - 南嘴+ 驴扣刀 这就是著名的b l a c k - s c h o l e s 公式 作为一种非线性数学期望，哥期望对般的随机变量不满足可加性 我们知道。某些非线性数学期望对一些特殊的随机变量满足可加性，如最小 期望对仿射相关( a f f i n e l yr a l a t e d ) 的随机变量可加c 见【5 】) ，c h o q u e t 期望对共 单调( c o m o n o t o n i ca d 击f i v i t y ) 随机变量可加，简称共单调可加c 见【1 0 】) 最小 期望是研究不完全市场未定权益和刻画经济理论中风险偏好的重要工具，而 对仿射相关随机变量的可加性则是最小期望最重要的性质之1c h o q u e t 期 望在金融特别是保险定价中有重要应用，这也与它满足共单调可加性密不可 分但是驴期望可加的条件比较苛刻，对共单调或仿射相关的随机变量般 也不满足可加性，那么很自然的想到可否能限定g 的条件使得g 期望对共 单调或仿射相关的随机变量可加? 2 山东大学硕士学位论文 陈增敬教授m 证明了1 维情况时( a i ) - ( a 3 ) 下g - 期望共单调可加当且 仅当g 具有形式 g = 印弦( 1 3 ) 其中i , o 是个连续函数 本文就1 维情况研究了g - 期望对仿射相关随机变量可加的条件，其组 织结构如下 第一章介绍该问题的背景和研究动机 。 第二章介绍了g 期望，c h o q l j 哦期望和最小期望的概念和相关性质，这 些概念和性质是下面证明所需要的 第三章是我自己的工作本章第一节分别就是否要求( a 3 ) 考虑g 为何 种形式时g - 期望对仿射相关随机变量可加容易证明，若哥期望满足正齐 次性和平移不变性，则g - 期望对仿射相关随机变量可加；而在( a 3 ) 下，g 与y 无关时亭- 期望满足平移不变性，g 关于：正齐次时g 期望满足正齐次 性，于是我们猜想在a 3 下是否g 与y 无关且关于z 正齐次就是驴期望对仿 射相关随机变量可加的条件? 定理3 1 1 给出了肯定的回答并指出这是g - 期 望对仿射相关随机变量可加的充要条件，其方法来源于 6 1 我们知道，( a 3 ) 是个很强的条件，若在( a 3 ) 的基础上再加叫很平常的条件，如g 期望满 足平移不变性。g 就退化为与j ，无关的函数，所以我们进步研究了不要求 ( a 3 ) 时暑- 期望对仿射相关随机变量可加的充要条件促理3 1 2 ) 本章第二 节将上述结论推广到条件争期望 3 第二章g - 期望，c h o q u e t 期望和最小期望的相关性质 本章我们介绍本文的一些预备知识主要包括争期望、c h o q u e t 期望和 最小期望的相关记号，假设，定义与引理。并给出这三种期望的些关联 2 1g - 期望 p a r d o u x - p e n g ( 1 9 9 0 ) 获得了关于如下形式的非线性饲向随机微分方程的 解的存在惟性定理t 对于倒向随机微分方程 h = + rg 咄y “a m 一”曲o s t s t q 1 只要函数g 关于变量，与z 是一致l i p s c h i t z 的，i 瞎机变量f 与随机过程 ( g “0 ，0 执电力是平方可积的。那么上述倒向随机微分方程有惟一一对平方 可积的适应解g 被称为倒向随机微分方程( 2 i 1 ) 的生成元，亿0 被称 为倒向随机微分方程( 2 1 1 ) 的终端条件，缸l 毋被称为倒向随机微分方 程( 2 1 ，1 ) 的标准参数我们将以弛t d 为标准参数的倒向随机微分方程 ( 2 1 1 ) 的惟对平方可积的适应解记为( 巧味l d ，z f 留t o k 0 门我们又 将西l 舒记为岛嘲，并称之为f 的g 期望，将e 像t 鼽记为譬蝌只】，并 称之为f 的条件g 期望( 请参阅p e n g ( 1 9 9 7 ) ) 定义2 1 1g - 期望岛【】：工2 ( n ，纤、竹t - - - - 9 r 定义为 岛嘲：= 留l d 定义2 1 2 手关于兵的条件g 期望6 葺【历】：工2 假，：k n 一工2 ( 嘎巧，毋 定义为 岛旧矧：_ 巧留兀a 自从这类倒向随机微分方程与g - 期望的概念被介绍以来，人们已经研 究了饲向随机微分方程与哥期望的很多性质( 【2 3 ，1l 】) ，其中比较基本的性质 如下， 4 山东大学硕士学位论文 引理2 1 1 ( 1 ) ( 保常数性) ： 对任意常数c 有岛 e l = c ； ( 2 x 单- 调崔e ) ：如果置局，口 ，那么岛【五】6 蓦【恐】； ( 3 ) ( 严格单调性) ：如果蜀局口- s ，且p ( 函 局) 0 ，则6 暑隅】， 岛隅】 引理2 i 2 ( 1 ) 如果z 是兵一可测的，则岛冈石1 = 噩 ( 2 ) 对任意t , i e 【o ，刀，岛1 6 , 嗍览】阮i - 6 葺冈】 ( 3 ) 对任意t e 【o 。刀，岛i & x 1 l | - 岛i x 引理1 1 3 岛冈用是满足如下条件的惟一的随机变量叩： 矸吐2 ( 暖兵，竹，并且譬l a 】= 岛h l 】，y ae 巧 引理2 1 4 设g 满足( a l h a 3 ) 如果g 不依赖于只也就是说g ( o j ，力： n 【o 。刀一k - - - - k 那么对任意t e 【0 ，刀，有 岛区+ 帜】= 岛防刁+ 玑物l 2 她死竹。x e l 2 雠野，日 下面介绍关于g - 期望的平移不变性和正齐次性的相关性质渗见江龙 【1 2 1 ) 设p 为一种风险测度 定义2 1 3 称p 满足平移不变性公理，如果 p 岱+ 力= a o c ，增l 2 “x 野，乃，f e r 定义2 1 4 称p 满足正齐次性公理，如果 川哟= 印。增e r 似野，竹，口0 引理2 1 5 ( g 期望的平移不变性定秘 设g 满足( a l h a 3 ) 则下列四个条件等价 ( i ) g 不依赖于变量片 ( i i ) 磊晦+ c 】= 岛嘲+ gw f 假纤。乃，c k ( i i i ) 对v f p n 野。，) ，c e i t , y t e 【o 现有 p 一正正占i 够4 - 硼= 磊岱阪】+ b ( i v ) 对v 亭e 假疗竹，t e 【0 ，r 】，日e 铲他兵，以有 p 一“岛碜+ ”阪】= 岛皓阪】+ ” 5 山东大学硕士学位论文 引理2 1 6 ( g - 期望的齐次性定i 勤 设g 满足( a i ) - ( a 3 ) 则以下三个条件等价 ( i ) g 关于力是齐次的( 正齐次的) ，即d p d t a ， v 以力e r 倒， e r ( 相应的。五o ) ，g ( t 砂，七) = 槭 只力 ( i i ) g 期望岛【j 是齐次的( 相应的。正齐次的) ( i i i ) 条件g 期望乓【卿是齐次的( 相应的，正齐次的) ， 即对增f 他疗，p ) ，a e r ( 相应的，a o ) ，y t 【o ，刀，有： p 一4 j ，岛d 醐明= 嗡蝌兵】 在本节的最后，我们介绍g 期望的个非常重要的性质一比较定理 引理2 1 7 t 争期望的比较定霸目设g 孑满足( a 1 ) 与) 设y r ，r re 工2 ( q ， 用用，乃i 唧仉力，伍，习。m 分别表示如下倒向随机微分方程的解： 鞭= y j + f g ( s , y o z , ) d s fz d b i 0 s t s t ； 员= 露- b 。t 一- - - - 。，云) d j 一_ c t 缸- - 蛾，0 f 蔓l ( 1 ) 如果y r y r ，g ( ，员，动孑( f 员，乏) ，a 。“则 y t 页，“b ，a a ( 2 ) 如果我们进步地假设p i y r y f o ) 0 ，则 p ( 协一剪 o d 0 ，特别地肋 元 6 山东大学硕士学位论文 2 2c h o q u e t 期望 c - h o q u e t ( t 3 于1 9 5 3 年提出了容度( 非可加澍矗d 的概念，并利用容度将 传统数学期望推广成一种非线性形式c h o q u c t 积分( c h o q u e t 期望) ，由于 它具有很多优良的性质，特别适合于金融产品的定价，其理论得到了长足的 发展目前在保险定价( w a n g 等0 4 i s ) 和金融资产定价( 如期权定价) 中。 c h o q u e t 期望均得到了广瑟的应用下面给出c h o q u e t 期望的定义和褶关性 质( 参见l e b e r g d 【1 0 1 ) 定义2 2 1( 容度或非可加测翩集函数y 称为容度，如果y ) = 0 ，“锄= 1 ，且满足单调性，即a ) b 考v 似) y ( 曰) 定义2 2 2 ( c h o q u e t 积分) 设x 为随机变量，y 为容度，则z 关于y 的 c h o q u e t 积分定义为 r产p l 胁= l 【y f ) 一i j d t + ih y o d f ( 2 2 1 ) ，j j o 如果y 为概率测度，则关于y 的c h o q u e t 积分就成为传统的数学期望 介绍c h o q u e t 积分性质前，我们先引入共单调的概念 共单调的概念是由y a r r i 1 蝴和s c h m e i d e r i 忉给出的，共单调在经济理论 和不确定环境下的决策理论中发挥着重要的作用 定义2 2 3 ( 共单调) 设置r 是概率空问( n ，fp ) 的随机变量，如果 眦叽) 一飙她) 】【y i ) 一c l j 2 】0 ，a 则称) ( y 为共单调的 简单地说，两个风险是共单调的是说它们是对同一事件所下的赌注，即 它们不能互相对冲，也就是它们有相同的变化方向或趋势 下面的定理给出了泛函可由c h o q u e t 积分表示的充要条件。深刻的刻画 了c h o q u e t 积分的本质属性，它又被称为c h o q u 吐积分的表示定理 引理2 2 1 ( 修正的；r e c o ) 令x 是定义在n 上的一些非负随机变量的非空集合对任意给定的 z e x ，对任意的非负实效a , a t ，a 2 ，a ls 口2 有贼x a 2 一x a t x 则保险 定价泛函：x _ 肜是个般的扭曲保费当且仅当满足下面的条件， ( i ) 单调性。若坝曲s 黼正，则日嗍s l t 】，】 7 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 共单调可加性，若x y 共单调，则棚x + y 】= 研朋+ 研l r 】 ( 3 ) 连续性，令a 是个非负数，那么l i m 。捌a 川= 虮棚 ( 4 ) 有限性，着xex 是一有界风险，则了常数c t ca s ， 嘲 x d x 在实践中，共单调性具有普遍意义，比如处于同地区的房屋遭受地震 损坏的风险是正向关联的。再比如受市场大环境的影响。市场上不同证券价 格也可能有相同的变化趋势在保险赔付中，各种赔付方案，例如设定免赔、 比倒赔付、最高赔付都是共单调可加的正因为共单调可加性是c h o q u e t 积 分的本质属性之一。c h o q u e t 积分在保险和金融中具有广泛的应用 非常遗憾的是一般情况下驴期望不满足共单调可加性，但陈增敬【7 】证 明了g 期望与c h o q u e t 期望存在交集。结论如下 引理2 2 2 设g 满足( a i ) - ( a 3 ) ，对任意随机变量手e l 2 ( 暖只，) ，岛吲可 以被c h o q u e t 积分表示的充分必要条件是g 是z 的线性函数，即存在一个连 续函数砸) 使得 g = k t ) z( 2 2 2 ) 陈增敬等嘲还得到了个关于b s d e 的共单调定理，在本文第三章第 一节将用到该结论，现介绍如下 设对f - 1 2 x , 是如下随机微分方程的解 d z = 6 和，墨) 山十口“最乃) d 咒 墨= 而，而e i t , f = l ，2 其中讹：【o 刀r - + i t , o d t x ) ：【o 刀r r d 是关于( f 曲的连续函 数且对所有jer 一致l i p s c h i t z 连续 对j = l 。2 ，设舒满足条件( a 1 ) - ( a 2 ) ，记一) 为下列b s d e 的解 = 靠+ ，g j o ，z ，之) 出一f 7 之峨，。s ，l ( 2 2 3 ) 8 山东大学硕士学位论文 其中终端值6 ，6 具有如下形式存在两个单调性相同的函数由1 ，锄( 即或者 籼，锄同为增函数，或者嘲，屯同为减函妻耽使得 蠡= 喇) i = l ，2 ( 2 2 4 ) 于是我们有t 引理2 2 3 设喇) ，f 。l ，2 ，是如上定义的随机变量，g 是正可加函数 ( i ) 若懈) o 喇) 2 0 ( 或螂) s 0 ，蝌) o ) 如果矿i “珥) o 眈( ， 霹) o ，那么 岛冲l 讲) + 也僻) 】= 岛m 田) 1 + 岛m 僻) 】 ( 2 2 5 ) ( 琊如果g 与j ，无关，那么( i ) 中m ，( 碍) 芝o ，m ( 砟) 20 ( 或m ，僻) 0 ，懈) so ) 的假设可以去掉 9 山东大学硬士学位论文 2 3最小期望 最小数学期望( 简称最小期勤和最大数学期望( 简称最大期望) 是研究 不完全市场未定权益和刻画经济理论中风险偏好的重要工具，首先我们给出 它的定义 设岁是由空间q 的子集构成的一代数。伊是定义在t 尹上所有有限可 加概率构成的集合。取乡是伊的非空凸闭子集设钡q ，莎) 是由( t a ，莎) 中所有简单函数生成的一致所包，简记为鲺 定义2 3 1 给定概率集合c 2 ，定义最小期望厶：毋一r 如下- 厶固2 赌j n 鼬) d p ( 2 3 j ) ， 为介绍最小期望的性质，先引入仿射相关的概念 定义2 3 2 称随机变量孝，”el 2 “1 9 r ，即是仿射相关的( a f l i n e l y m l a t e d ) ， 当且仅当存在口0 。芦r 满足f = 唧+ 芦或”= + j b 或都成立 引理2 3 1 设叩e 留下面两个结论是等价的， ( a ) ”是仿射相关的 彻对所有c e z ，都有岱+ r t ) = 厶 + 厶( 叩) 说明该引理有两层含义第一，最小期望有正齐次性和平移不变性。对 非线性数学期望来说这是一种很常见的性质，比如c h o q u e t 期望也具备该性 质；第二，最小期望只对仿射相关随机变量可加，即如果两个随机变量不是 仿射相关的，那么岿然存在个概率集合c 对这两个随机变量不可加，这是 个很强的结论。例如由上节引理2 2 1 知c h e q u e r 期望不具备此性质 引理2 3 1 的( b ) 是个很强的条件，如果缩小c 的选择范围，我们可以在 更广泛的意义下得到最小期望的可加性记? ”为所有如下形式的c 构成 的集合。存在地n 使得t c = i 口瓦+ ( 1 一口2 ：口e 【o ，1 1 其中瓦与瓦分别是集中在点u 和上的概率测度 1 0 山东大学硕士学位论文 引理2 , 3 , 2 设矗冲e j 吼下面两个结论是等价的， ( a ) 靠口是共单调的； ( b ) 对所有c l ，都有厶岱+ 叩) = 厶4 - 厶( 叩) 说明引理2 3 2 说明若缩小c 的选择范围，我们可以在共单调的意义下 得到最小期望的可加性共单调是种比仿射相关弱的相关关系，我们自然 的想到是否存在个比影小同时比z “大的概率集合族。使得最小期望对 这样类随机变量满足可加性它们之间的关系比仿射相关弱但比共单调强 ( 例如随机变量f 是的增变换) 但p g h i n d a t o 在【5 】5 中指出，无论怎样选择 c 的范围，都不可能找到使最小期望对所有关系介于仿射相关和共单调之问 的随机变量可加 下面的例子说明g 期望和最小期望也存在交集惨见陈增敬【9 】) 倒2 3 1 设p 是个给定的正常效令 s - 6 ：( 6 ，) 是醇值的循序可测过程，且一致地，有i b , ls m 对 ) e 墨定义研= 唧( f 幻峨一 r | 6 1 1 2 d 0 ，o f z 到由著名 的g i 瑚n 钟变换可知存在空间( q 纤) 的概率测度矿，使得 警= 衅胚，s 并且岛：= 岛一r 讪。0 f s l 是鲈下的b r o w n 运动 定义g 饥：，0 ：= 乒眈v o 。力【0 ，刀倒此时 岛圈2 曾e 矿嘲 证明在本文倒3 2 i 中井给出 第三章g - 期望关于仿射相关随机变量的= - f 力a 性 本章首先研究g - 期望关于仿射相关随机变量的可加性，再将结论推广 到条件g - 期望的情形，并研究了条件g 期望共单调可加的相关问题 3 1g - 期望关于仿射相关随机变量的可加性 首先我们在条件( a 1 ) - ( a 3 ) 下研究哥期望关于仿射相关随机变量的可 加性，为此引入相关引理如下t ( 参见陈增敬【6 ，7 】) 引理3 1 1 设五具有形式 一 一 疋= 点4 - ia c t s 4 - lb , d w , ，0 蔓t t j oj o 其中 口f l 。 是两个连续有界过程那么 辫岛阱嘲= 姆型型譬芋幽= g 岛，f ) ， ( 3 i 1 ) 其中的极限是在工2 ( q 疗j p 意义下的 下面给出本文第个主要结论 定理3 1 。1 设g 满足( a i ) - ( a 3 ) 若岛【】对工2 厅即中所有仿射相关 的随机变量都具有可加性( 1 i p 若f 。口l 2 ( n 厅。一是仿射相关的，则必有 6 | 括- i - 们= 岛嘲+ 岛【们) ，则g 具有形式 g = 舶l 乃i + v ( t i z , ，( 3 1 2 ) 其中肌，啪是【o ，曰上的连续函数；反之，若g 具有( 3 1 2 ) 式的形式，则岛【】 对2 ( 嘎野，d 中所有仿射相关的随机变量都可加 证明设m ，孙f ) er 2 【o ，刃，i = 1 2 ，且：l z 2 0 给定t o ，刀，设 f e i t , 刃，记f = y l + 幻( 孵一彤) ，q = y 2 + 之( 孵一孵) 易验证f 与 仿射相关 并且与兵独立，由于g 不含随机项，由引理2 1 2 ，有 晰) = 岛回，蜀f 俐兵) = 岛。蜀心4 - 口历) = 与彤4 - 帻( 3 t 3 ) 1 2 山东大学硕士学位论文 由已知条件和数学期望的可加性得 鲨塑7 - ：t 坐堕! = 巡t ! - - 二! t 幽+ 墅塑 幽- - t ( 3 1 4 ) 注意到t _ t 时，手- + n ，”一期由引理1 得 g o ，l + 船，2 i4 - 2 2 。o = o - o , i 句，f ) + g 仍，龟) ，v z l z 2 0 ( 3 1 5 ) 利用e 式和a 3 ，有 g o ，：，f ) g o + o 矿一r ，f ) g ( ，z + ，f ) + g ( o ，- f ，o = g o 4 - o ，0 + ，f ) + g ( o ，z ，o = g o ，。0 。f ) + g ( o ，) + g ( 仉- - 7 , - ，) = 0 + z + g ( o 1 。f ) + f g ( o ，一1 ，f ) = g ( o , i , t ) + z g ( o , - l , t ) i z i + 6 , ( 0 , i , t ) - 2 9 ( o , - l , t ) z = 胁i 乃l + “啦b 其中胁= 醴垃幽2，们= 出垃删2 反过来，若g 具有( 3 1 2 ) 式的形式，那么g 与y 无关并且关于z 正齐次，由 g 期望的性质知，此时岛【】具有平移不变性和正齐次性。此时着手= 口珂+ 届 则 岛睹+ 棚= 岛 a n + 卢+ ，7 j = 岛【( 口+ l 瑚+ 卢 = ( 口+ 1 ) 6 蓦【，7 1 + 卢 = 峨【棚+ 卢+ 岛【玎】 = 岛蛔+ 用+ 岛m = 岛嘲+ 岛m 定理得证 说明该定理的第个结论与【6 】中定理2 相似，两者的证明过程相同， 但【6 】中的条件是& 【】可由c h o q m t 积分表示，实质上时要求岛【】对所有 1 3 山东大学硕士学位论文 共单调随机变量可加，而此处我们只要求岛【】对所有仿射相关的随机变量 可加，简化了定理条件 注1 定理1 告诉我们，若记 ( a ) ”是2 ( n ，纤，竹中任意仿射相关随机变量； 岛眵+ 叩】= 6 譬豳十岛( q 】； ( c ) g = m i 乃l + “f 琢 那么( a ) + ( b ) 号( c ) ，( a ) + j ( b ) ，但是注意( b ) + ( c ) 不能推出( a ) ! 即存在两 个随机变量对所有形如( 3 1 2 ) 式的岛其g 期望都是可加的，但它们不是仿 射相关的不难找到这样的反例，如， 取五氓。胁k 黠a = k 篙燃西- m 屯( 的共单调，在( c ) 下g 是正可加函数，根据 8 1 中定理3 ( 参见本文第二章 引理2 2 3 ) ，有 岛睁i + 锄1 = 岛归l ( 的】+ 岛【0 2 e 列 显然m i 的，也( 不是仿射相关的。说明彻+ ( c ) 不能推出( 4 ) 般来讲，( a 3 ) 不是定义g - 期望的必需条件，那么在( a 3 ) 不满足时 定理1 的结论会发生什么变化呢? 下面的定理告诉我们此时的g 可以与y 有 关 定理3 1 2 设g 满足( a 1 ) - ( a 2 ) 若岛【】对l 2 ( 嘎野，d 中所有仿射相关 的随机变量都具有可加性。则g 具有形式 g = 胁i 五i + 川k + v 渤( 3 1 6 ) 其中胁蛾t 是【o ，叼上的连续函数；反之，若g 具有( 3 1 6 ) 式的形式。则 岛【】对三2 ( n ，纤，尸) 中所有仿射相关的随机变量都可加 证明设岛【】对驴( 皿，p ) 中所有仿射相关的随机变量都具有可加性， 由定理l 的证明知此时仍有( 7 ) 式成立。即g 关于y z 具有正齐次性于是 g o ，z f ) = g o , 。0 。o + g ( o 。矿，) + g 们，- z - 。f ) = 暑( 广一y - ，0 + o 。，) + 三他l ，0 + z - g ( 0 ，- 1 ，f ) = 暑矿，0 ，) + 甙- y - ，0 ，) + = j g ( o ，l 。0 + ：一l ；( o 一l ，f ) 1 4 山东大学硕士学位论文 = y + g ( t 0 ，0 + y 客( - 1 ，0 ，0 + z + g ( 0 ，l ，f ) + z - g ( 0 。一1 ，0 = 胁i 卉i + 仰+ 丘l y , i + t ” ( 3 1 7 ) 其中胁= 艘幽掣，v f t ) = 地出产，正= 世幽产。 = 皿型半 由( 3 1 5 ) 得，咖4 - 0 z + o ，0 = 如2 ，) + s ( o ，0 ，f ) ，从而o - , ( o ，o f ) i o ，l 1 0 ，n ，于是越= m 业弩出业= 越学= 0 ，t 【o ，n 这说明着岛【1 对l 2 ( 毡9 r d 中所有仿射相关的随机变量都具有可加性，则g = 胁i i + 砸) 而+ v x c e t 来，当g = 胁i l + ，叹f ) + v 蕊时，g 与y 有关，不具备平移不变 性，下证对任意常数c ，任意f e 上2 假野，竹，有 岛瞎+ c 1 = 岛嘲+ 岛【c 】 ( 3 l 8 ) 一= f + ，“+ 雎i 毛i ，t m i 出一，z ：d ( 3 1 9 ) z = c + r 城+ 胁l 彳i + 嚼山一，审既( 3 1 1 0 ) 谚；亭+ c + ，城+ “+ 橱血一r z d 孵， ( 3 1 1 1 ) 注意( 3 1 1 0 ) 的解为，孵= f 抽j 抽，z j = 0 ，由( 3 1 9 ) + ( 3 1 1 0 ) 得 露协+ ，t 以啪训印曰+ z 灿一r e + 勰 比较( 3 1 11 ) 和( 3 1 1 2 ) ，由b s d e 解的存在唯性知。 订+ 井：谚，( 3 1 1 3 ) 于是( 3 1 s ) k 得i i e 注意到g = 胁l 乃i + 砸弦+ 勘时岛【】具有正齐次性。 于是，若f = 叼+ 且剐 譬眵+ 啊= 最i 【口可+ 卢+ ，7 】 1 5 山东大学硕士学位论文 = 岛【( 口+ l 瑚+ 岛嘲 = + 1 ) m + 岛嗍 = 峨【们+ 岛嘲+ 岛m = 岛【叼+ 用+ 岛m = 岛嘲+ 岛嘲 定理得证 洼2g h i r a r d a t o l s ) 证明了两随机变量对所有最小期望都可加当且仅当它 们仿射相关g - 期望没有这样的性质，事实上，定理2 说明了如下关系记 “) 6 是l 2 皿疗p ) 中任意仿射相关随机变量； 一) 岛皓+ 棚= 岛嘲+ 岛【叩】； ( 0 ) g = p ti 五i + “，) + y 二h ， 那么“) + ) 昔( c ) ，“) + 一) 昔) ，但是与定理1 的注类似，由( b ) + ( c ，) 不能推出( a ) 注意到在( d ) 下g 是正可加函数，中l m 锄的共单调且同 号，所以注1 中的反例也适用于此处 最小期望是研究不完全市场未定权益和刻画经济理论中风险偏好的重 要工具，而对仿射相关i 瞳机变量的可加性则是最小期望最重要的性质之一 本文希望对该问题的研究可以为利用g - 期望构造相关模型研究未定权益和 风险偏好作毖要准备陈增敬教授唧已经证明了g = 蛐1 4 i 时g - 期望既 是最小期望然而，注2 的反例指出了即便满足( 8 ) 式的哥期望也与一般的 最小期望不同，这说明g - 期望不能完全的取代最小期望 赠敬【 】证明了当g 满足( a l h a 3 ) 时，对任意随机变量手e 驴( n ，f 磊嘲可以被c h o q u e t 积分表示的充分必要条件是g 是：的线性函效。即存 在个连续函数们使得 g = 印弦( 3 1 1 4 ) 并且通过反例说明了当g = 胁lz ，l + k 0 z , ，且对任意t 【o ，r 】，胁o ，时，g 期望不满足共单调可加性似而不能被c s o q u e t 积分表示) 而由倒2 , 3 1 知， 当g = 蛐l 磊i 时，g 期望又恰好是最小期望，这说明该最小期望不能被 c s o q u e t 积分表示 1 6 山东大学硕士学位论文 3 2 条件g 期望关于仿射相关随机变量的可加性 上节得到的g - 期望关于仿射相关随机变量的可加性可推广到条件g - 期 望的情形。首先我们容易得到下面两个结论 ，定理3 2 1 设g 满足( a 1 ) - ( a 3 ) ，则下面两个条件等价t ( i ) 对任意t 【0 ，刀啄阵) 对l 2 ( q 疗，用中所有仿射相关的随机变量 都具有可加性( 鄹若，e f ( n ，疗，j p ) 是仿射相关的。剐必有岛睹+ 叶阮】= 岛硝石】4 - 岛f 口阮】) ； 傅) g 具有形式 g = f a t l 乃i + “锄，( 3 2 i ) 其中f a t ，们是【o ，叨上的连续函数 证明( i ) 毒 ) 此时咯【】显然满足定理3 1 1 的条件，故有 g = 脚i 五l + 仰 ( i i ) 考( i ) 当g = 肫i4i + 川珐，g 与y 无关并且关于z 芷齐次，由引理 2 1 5 ( i i i ) 和引理2 1 6 ( i i i ) 知，对任意te 【o 门磊 阵1 具有平移不变性和正 齐次往，故由完全类似定理3 1 1 中的方法可得( i ) 证毕 定理3 2 2 设g 满足( a i ) - ( a 2 ) ，则下面两个条件等价| ( i 】对任意fe 【o ，刀，岛【汐- 】对2 ( n ，纤，尸l 中所有仿射相关的随机变量 都具有可加性， ( i i ) g 具有形式 g = 胁i 五i + 嘲4 - 饥( 3 2 2 ) 其中胁，砸) 是【o 刀上的连续函数 证明( i ) 昔( i i ) 显然成立 净( i ) 设叩是p c 嘎野，用中任意一对仿射相关的随机变量，不妨设 q = 嘭4 - 晟其中口o ，芦l i , 由上节( 3 1 1 3 ) 可得， 岛皓+ 席叼= 岛障瞄】4 - 岛聊用 比较下列b s d e , 惦+ t 协f a , i z , t i + v 抽一概 1 7 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 山东大学硕士学位论文 谚= 嚷+ i ：i 奠+ 铂+ v z d s f r z d w , 将( 3 2 4 ) 两边同乘以a 得 叫= 蟛+ f 7 t 叫+ 胁i 嗣l + v l 嗣凼一f 7 谚d 既 比较( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 可得 磊【酵阪】= 醒；瞎阮】 至此即可利用定理3 1 。2 中的方法得到 & 皓+ 帜】岛蝌用- i - 岛研网 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 证明完毕 上面两定理中的( i ) 都是非常强的条件。它要求对任意fe 【o ，刀，岛【防】 对l z ( 瓯野，竹中所有仿射相关的随机变量都具有可加性需要说明的是它 不能被削弱为 ( i ) 存在t e 【o ，r 】，乓f 同对p ，疗，竹中所有仿射相关的随机变量都 具有可加性 例如若取，；r ，那么对任意f e l 2 ( q 纤，乃，任意g 满足( a 1 ) a 3 ) ，必 有乓皓阮】= 靠它显然对所有随机变量满足可加性。但g 未必具有( 3 2 1 ) 的 形式 与例2 3 i 类似。条件争期望与条件最小期望也存在交集( 参见陈增敬 【9 d 例3 2 1 设p 是个给定的正常数令 s ：= 1 6 ：( 6 ，) 是r 值的循序可洲过程，且一致地，有l 岛ls 埘 对慨) s 定义嘭= e x p 饵以蛾一 r p 出) ，0 t r 则由 c d r s a n o v 变换知存在空间( q ， ) 的概率测度矿，使得 警铲砖0 娜 1 2 山东大学硬士学位论文 定义甙 ：) ：= 叫纠，v “力e 【o ，刀础此时 岛断】2 曾物嗍 证明由b s d e 解的唯性定理，我们只需要证明对任意的亭e f 他疗，d ， 令玎：- c 髂i n f 赫蜩石】，那么存在匆el 2 ( 0 。l 只购使得( 动是下面 b s d e 的解 如= f + r - i l i i 出一，毛d ， 一( 3 2 9 ) 事实上。对任意的6 e s 令钟，力是下面线性b s d e 的解t ) i 咿r 似一厂碱。 、o ) 解以上线性b s d e 得t 力= 如睹阪】 因为列任意的亿，) r 【o ，明， 卢乏掣l 。i ，比较，日程( 3 2 9 ) 和( 3 2 1 0 ) 由比较定理得辨 y t ，故e = 嚣s i n f 函舌伊嘲，刁弗 另方面，设m ，动是b s d e ( 3 2 9 ) 的解，令 l 卢l 五l ：o ； 轳 o z ：o 那么，u tes 且b s d e ( 3 1 9 ) 可以写成 炉t ，舢一毫枞 ( 3 2 1 1 ) 解以上线性方程得船= 点参够昕】，故肼c 酗i n f 赫点偌网= 耳从而 岛皓阪1 2 弗2 恕e 口l 嘲 特别的，当t = o 时，岛嘲= m i n 蝴e 矿嘲证毕 下面设g 满足( a 1 ) - ( a 2 ) ，我们有如下推论 七t j 3 2 1 如果乓【_ 】对2 t 嘎疗。竹中所有仿射相关随机变量具有可加 性，那么对任意，ef o t 刀，岛【汐i 】对三2 他疗。乃中仿射相关随机变基也具 有可加性 1 9 山东大学硕士学位论文 证明若岛 】对2 ，t 巧所有仿射相关随机变量可加，由定理3 1 2 知 g = 胁iz ，f + 埙锄，再由定理3 2 2 知。对任意t e 【o 办岛【t 阪】对f ( x 纤，乃 中所有仿射相关的随机变量都具有可加性证毕 上面结论说明了驴期望对仿射相关随机变量可加与条件争期望对仿射 相关随机变量可加的关系，关于g - 期望对共单调随机变量可加与条件g _ 期 望对共单调随机变量可加的关系，【7 1 中有以下结论 目哩3 2 1 设g 满足( a t h a 3 ) ，且是凸( 或咖函数，如果岛( 1 对三；( 瓯厅， 一( 或l 2 _ ( q ，o 一) 中所有共单调随机变量可加，那么对任意te ( 0 刃，岛【阪】 对对疋( n ，疗，毋( 或足( q 箩 ，即) 中所有共单调随机变量可加 上面引理对g 和亭的范围都做了较强的限定，事实上由引理2 2 2 知， 这些限制条件是可以去掉的 性质3 2 2 设g 满足( a i h a 3 ) ，如果g 期望8 譬【f 】对p q 野。p ) 中所有 共单调随机变量具有可加性，那么对任意te 【o ，刀，条件g - 期望岛【阪】对 驴( q 纤，竹中共单调随机变量也具有可加性 证明若g 期望对三2 蛾野，竹所有共单调随机变量可加，由引理2 2 2 知g = 呻k ，对f = i ，2 ，记o ，力为下列b s d e 的解 r , t， r ，一= 蠡+ f “蹦d j fz 蛾，0 s ， ( 3 2 1 2 ) j |j t dd ) = 蠡+ fy ( f 培d j i ：；d b , 0 f s 瓦 ( 3 2 1 3 ) j f， 其中6 ，磊是l 2 ( 见野，乃中任意共单调随机变量将上面两式相加得， ，r，r 一+ 露；蠡+ 蠡+ f 印) 谚+ 考) d j j 院+ 弓) 岫。0 s ，s l ( 3 2 1 4 ) ，ij f 再设戗力为下面b s d e 的解t ， r r t y t = f l + 6 + lv o ) z , d s i ：i d 以，0 s ，s 瓦 ( 3 2 1 5 ) 对任意，【o 刃，耻阪】对驴纰野，两比较( 3 2 1 4 ) 和( 3 2 1 5 ) 由b s d e 繁 的唯性知一+ 谚= 肌，即 山东大学顼士学位论文 岛婚+ 蠡l 翱= 岛盼阮】+ 岛陵阮l 对任意tef o 刃磊- l ，习对纰， ，彤中共单调随机变量也具有可加 性证毕 2 1 山东大学硕士学位论文 参考文献 f l 】p a d o u xe p 吼g s a d a p t s o l u t i o n o f a b a c k w a r ds t a c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n 明s y s t e m & c o n t r o ll _ e 1 t