（概率论与数理统计专业论文）hilbert空间中的双曲型线性发展方程的显示解.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ， f 随机微分方程是一门新兴的边缘学科它的发展是在二十世纪四十年代， 伊藤随机积分问世的基础上，才开始的在这短短的五、六十年时间里，随机 微分方程已飞速、广泛地渗透于自然科学、工程技术的很多领域例如分子物 理学、原子物理学、化学动力学、固态扩散，结构稳定性和群体遗传学等多个 方面。本文所研究的是一类与时间相关联的随机微分方程，即随机线性发展方 程。 在随机线性发展方程这一块，关于椭圆型和抛物型的情形，已有了很多非 常系统的研究，其结果也是非常的完美而关于双曲型的情形，却研究的极少。 本文的目的就是对双曲型的情形进行的一些研究本文给出了蔓i ! b ! 韭空间中 的双曲型随机线性发展方程在一定条件下的显示解，并证明了其存在性和唯一 性。 因为本文所采用的是求解样本解方法，并且运用到了已有的决定性双曲型 线性发展方程中的一些结论，所以本文用了一定的篇幅来进行介绍这两方面的 知识，同时作了适合于本文运用的改动，当然这些改动是在有证明的前提下进 行的。 油于本人时间的限制和知识范围的局限性，本文没能给出具体的实例。另 外在本文所考虑情形下的极限、以及边界扰动没有研究，有待以后进一步的研 究。户一r 关键词：随机线性发展方程，f 墨! ! 多显示解，样本解 ，一7 、 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t an e w l yd u a ld i s c i p l i n ei ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h o s et h e o r ys t a r t e d t od e v e l o pa tt h eb e g i n n i n go ft h e1 9 4 0 s ，b a s e do l li t o ss t o c h a s t i cc a l c u l u s as p e c i a l t y p eo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e p e n d i n g o nt i m ev a r i a b l ei ss t o c h a s t i cl i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n ，w h i c ht h ep a p e rw i i ld i s c u s s t h r o u g ht h ed e v e l o p m e n to ft h e s e s e v e r a ld e c a d e s ，h o w e v e r ，t h es i t u a t i o nc h a n g e d ：i nv a r i o u sb r a n c h e so fk n o w l e d g e ( p r i - m a r i l yi np h y s i c s 、b i o l o g ya n d c o n t r o lt h e o r y ) av a s tn u m b e ro fm o d e l sw e r ef o u n d t h a tc o u l db ed e s c r i b e db ys t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n s s u c hm o d e l sw e r eu s e d ，f o r e x a m p l et od e s c r i b eaf r e ef i e l di nr e l a t i v i s t i cq u a n t u mm e c h a n i c s ，ah y d r o - m a g n e t i c d y n a m o - p r o c e s s 】t h ed y n a m i c so fp o p u l a t i o n sf o rm o d e l sw i t hag e o g r a p h i c a ls t r u e t u lei np o p u l a t i o ng e n e t i c s ，e t c a m o n g l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，p a r a b o l i cc a s ea n d e l l i p t i cc a s eh a v eb e e nm o s t s y s t e m a t i c a l l ys t u d i e d ，a n dt h e s o l u t i o n sa r ev e r yb e a u t i f u la n d p e r f e c tt h eh y p e r b o l i c c a s e h o w e v e r ，i sc o n s i d e r e dl i t t l e t h ea i mo ft h i sp a p e ri st os t u d ys t o c h a s t i ce v o l u t i o n e q u a t i o ni nt h i sc a s e i tt h ep a p e r ，t h ee x p l i c i ts o l u t i o no fl i n e a rs t o c h a s t i ce v o l u t i o n e q u a t i o ni nh y p e r b o l i cc a s ew a sd i s p l a y e da n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q n e s so ft h e s o l u t i o nw e r ep r o v e du n d e rs o m e g i v e na s s u m p t i o n s t h ea p p r o a c ho fs a m p l es o l u t i o na n ds o m er e s u l t si nd e c i s i o no fh y p e r b o l i cc a s e b e e na d o p t e d ，a n da tt h es a m et i m e ，i no r d e rt ot h ec o m p l e t e n e s so ft h ep a p e r ，w ew i l l i n t r o d u c et h e mi ns o m e s p a c e j a tt h ee n do ft h i sp a p e r 、t h es h o r t c o m i n go ft h ep a p e rw i l lb ep o i n t e do u t i ei s j t h a tt h e r ea r en oa p p l i e de x a m p l e s ，n os t u d i e so n a s y m p t o t i ch e h a v m ra n dp e r t u r b a - t i o no ft h es o l u t i o n k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cl i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n h y p e r b o l i cc a s e e x p l i c i ts o l u t i o ns a m p l es o l u t i o n i i 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 随机线性发展方程是与时间t 相关的随机微分方程，它是一类特殊的随机 微分方程随机微分方程是- - f l 新兴边缘学科。它的发展是基于1 9 4 0 年伊藤的 随机积分的问世f 3 5 、 3 6 】而自伊藤于1 9 6 1 年首次发表“论随机微分方程” 一文以来，得到了广大理论科学工作者和实际应用科技人员的重视，特别近十 年来已发展成为概率论中一个重要分支由于其理论严谨，基础深厚，使得人 们在学习、掌握、推广和应用这门学科时受到了一定的限制当前，由于随机微 分方程已飞速、广泛地渗透于自然科学、工程技术的很多领域中，例如分子物 理学、原子物理学、化学动力学、固态扩散、结构稳定性和群体遗传学等多个 方面，故而近年来，已有多种专业书籍相继问世在随机微分方程理论研究的 早期阶段，爱因斯坦、斯莫路苏斯基( s m o l u c h o w s k i ) 、朗之万( l a n g e v i n ) 、 奥伦斯坦( o r n s t e i n ) 、乌伦贝克( u h l e n b e c k ) 、和克拉美( k r a m e r s ) 等人做了许 多卓有成效的工作，这些工作综合在查德锐赛卡( c h a n d r a s e k h a r ) 1 9 4 3 年的 主要论文中，近二十五年来，随机微分方程的数学理论大大发展了随着伊藤 和斯特拉脱诺维奇( s t r a t o n o v i c h ) 微积分概念的引入，随机微分方程的理论更 向众深发展但由于数学理论与问题的起源之间的鸿沟日益加深，从而使得物 理学家，化学家和工程师们对于现代的数学技巧显得生疏了，而数学家们对于 理论的起源和应用显得生疏了 众所周知，随机线性发展方程的c a u c h y 问题( 即初值问题) 具有如下的一 般形式 即( 1 _ 1 ) 所示： fd u ( t ) = a ( t ) u ( t ) d t + b ( t ) u ( t ) d w t + f ( t ) d t 印) ： qu 华中科技大学硕士学位论文 很多随机分析领域的人士都对这样的随机微分方程有很多的研究，特别是在抛 物型和椭圆型的情形下，其研究都已非常系统，其中有些结果也是非常的完美 警 1 4 】、 3 7 、 3 8 但在双曲型的情形下却研究的甚少，无论是决定性的发展 系统领域还是在随机的微分方程领域都不多本文将研究在双曲型的情况下的 如上( 1 1 ) 给出的随机线性发展系统 在求解随机微分方程的过程中，主要是伊藤公式的应用如上( 1 1 ) 给出的 随机线性发展系统，若去掉其中决定性的两项4 ( t ) u ( ) 毗、f ( t ) d t 后，随机线性 发展系统( 1 1 ) 就是纯粹的求解随机微分方程问题了，直接运用伊藤公式便可 轻易求解若或者去掉其中的随机项b ( ) u ( t ) d c ，则随机线性发展系统( 11 ) 就是一决定性的问题了，关于这一问题的求解，在p a z y 的( 2 0 里和t a n a b e 的 f 2 1 1 里早已有非常经典的结果。但当两者合而为一时，就是一变化多端的问题 了，在各种不同的假设条件下，将会出现各种不同的研究，以及不同的研究结 果本文研究的就是双曲型的情形，并将对如上提到的决定性和随机两方面的 知识在本文所研究的情形下进行适当的引入，并作出合于本文运用的更改 在 2 3 、 2 6 】中，考虑的是b ( t ) 有界的一种情形在 2 3 中，s h i m u z u 在 较强的条件下给出了( 1 1 ) 的显示解在 1 9 中，任佳刚给出了解随机线性发展 方程的一种新方法，并解出了抛物型随机线性发展方程的显示解本文我们将 利用 1 9 中的方法来给出双曲型随机线性发展方程的显示解，并证明解的唯一 性和存在性 1 2 本文的安排 本文在研究的双曲型的随机线性发展方程的过程中，用到了一些随机分析 和算子半群中的理论，为了后记工作的进展能很明了的呈现在读者的面前，本 文打算在前两章的篇幅里来介绍这方面的预备知识 本文的安排如下： 华中科技大学硕士学位论文 首先，在第2 章中叙述了本文将要如何进行研究的双曲型随机微分方程的 方法一即求解样本解方法 其次，在第3 章中给出了已有的决定性的微分方程的一些已知的理论这 一章主要罗列了本文将要用到的，并对已有的这方面的理论做了一些适当的更 改 最后，具备了上述预备知识之后，本文就将在第4 章中来讨论主要研究的 问题即：在给出的一定条件下来求解双曲型随机线性发展方程的显示解，并 给出该解的存在性和唯一性的证明 3 华中科技大学硕士学位论文 2 随机微分方程的样本解 2 1 引言 在这一章里，我们将介绍以b r o w n 运动为驱动过程的随机微分方程的样本 解。本章的主要内容是将 2 、 6 】中已有的求解随机微分方程样本解中的理论 和方法进行介绍，并作了适当的更改。本章所介绍的求解方法在求解随机微分 方程中得到了广泛的应用 2 2相关定义和基本定理 定义2 1 若对a e 的u ，“( ，u ) 关于t 绝对连续，且对a a 的t 0 ，o c 3 ) ， “( t ，u ) 满足初值问题( 1 1 ) ，则称u ( t ，u ) 为( 1 1 ) 的样本解 定义2 2 对m m 七。( 局部连续鞅空间) 定义： m t ! 蟛一2 0m s d m s 。 0 ，o o ) 过程 m - 瞰 ，t 0 ，。o ) ) 称为m 的平方变差过程 下面将给出b r o w n 运动的一些相关性质 定理2 1 ( 见 2 】2 ，p 1 0 1 ) b r o w n 运动几乎所有的轨道都是连续的 定理2 2 ( 见 1 】，p 2 5 3 ) 设( m ) 为一零初值的b r o w n 运动，则( w d 为一 局部鞅，且有 k = t b r o w n 运动阢的伊藤公式 定理2 3 假设v = v t ，t 0 。) 为连续有限变差过程，w 0 = v 0 = 0 ，连 续半鞅x x o + m + y t ，= ( x ，y z ) 为r 3 上的函数，关于z 二次，关于 y 一次连续可微，关于zb o r e l 可测 令k = ，( m ，y t ，x o ) ，t 0 。) ，则y = k ，t 0 ，。) ) 为连续半鞅，且对 任意的te 0 ，。) ，有： e l 瓣 j 华中科技大学硕士学位论文 i i 彤( 胍，v t ，x o ) ：尼( 瞰，v t ，x o ) d w t + 乃( 吼，k ，x o ) d v t + ；盛( 胍，v t ，x o ) d w l t a s 2 3 随机微分方程的样本解 假定概率空间( q ，p ，g ) 满足通常条件 m 为一维b r o w n 运动，g 为 r + x r 2 中的某个区域，b = b ( t ，w ，z ) 和口= 盯( t ， ，z ) 为g 中定义且连续的两 个函数，口为而可测随机变量考虑如下的一维随机微分方程： fd x t = b ( t ，( t ) ，x t ) d t + 口( t ，( ) ，x t ) d w ( t ) ( 2 1 ) 【x o 2 q，0st t 。，将【t 。，司n 等分： t 0 l t 2 o ( 3 2 ) 证明：令“ 0 ， i i z 。= s u pl i p “r ( “：a ) “。l l “之u 则显然有 i 恻f 。曼m i i z l l( 3 3 ) 并且 i l u r ( , ：a ) i i “1( 3 4 ) 我们可以得到，对任意的a ，0 a 肛，有 i a r ( a ：a ) i i ps l( 3 5 ) 事实上，若令y = r ( a ：a ) x ，则y = 州p ：a ) ( 。+ ( 肛一a ) g ) 并且由( 3 4 ) 有，当 刈忆s 恻i 。成立时有 h 。；j 华中科技大学硕士学位论文 1 1 ，1 1 。兰；i ) x j ，+ ( - 一：) 1 f ”1 l 。 从( 3 3 ) 和( 3 5 ) 可得，对任意的 ，0 u 的 都有定义由豫解集 的性质知对同样的定义域d ( a ) ，有r ( a ) = r ( a ：a ) 1 2 藏列 华中科技大学硕士学位论文 为了证明( 3 8 ) ，我们假设a u ，则 丢砌：舢= 丢：0 。e 州邢脚 = 一t e m t ( t ) x d t j 0 孬d 2 砌：批= 磊d ( 一z 。旷她球) z 甸 依此类推，可得到 f “t 2 e - t t ( t ) z d t j 0 i a 丽mr ( a ：a ) 。= ( 一1 ) “z 0 。c t n e - x t t ( ) 。d #( 3 9 ) 另外一方面，由豫解集本身的定义有 r ( a ：a ) 一n ( u ：a ) = 一a ) r ( a ：a ) r ：a ) 于是，对每一a p ( a ) ， r ( a ：a ) 是一全纯的( 解析的) 映射，并且 轰砌：a ) _ 一砌：a ) 2 同样继续对a 求导，我们可以得到 i t t 万n r ( a ：a ) = ( 一1 ) “n ! r ( a 比较( 3 9 ) 与( 3 1 1 ) ，我们得到 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 1 3 华中科技大学硕士学位论文 于是有 砌： z = 南z 0 。r l e _ m t 础 ( 3 1 2 ) r ( a ：a ) “z i i i 五! ! 斋z o o t “一l e ( u 一 | | 。i l d t = 忐忙i i 以上是必要条件的证明，下面证明充分条件 “仁：”令s ( t ) = e - - w t t ( t ) ，把条件( i i ) 进行变形即为 刊卜( a - w i ) ) - “i i 忐，a w 今- y = a u ，b = a u ，即得 1 1 ( 7 i b ) 一“| | 二m 7 o 则由引理3 1 知存在日中的范数i i 满足( 3 1 ) ，( 3 2 ) 考虑赋予范数i i 后的日 空间，b 是一闭的稠密定义于h 中的算子且p ( b ) ( 0 ，0 0 ) ，lr ( 7 ：b ) l 0 于是由h i l l e - y o s i d a 定理，b 是日中的压缩的岛半群的无穷小生成 元其中日赋予范数i | 回到原来的范数，b 同样是s ( t ) 的无穷小生成元 且 i i s ( t ) x 1 1 ls ( t ) zl l z l u l l x l l 于是j i s ( t ) l f m ，即：l i t ( t ) l l m e “ q e d 定理3 2 ( 见 2 0 ，p 7 6 ) a 是日中国一半群t ( t ) 的无穷小生成元，满足 l i t ( t ) j m e m 若b 是日中一有界的线性算子则a + b 也是日中g o 一半群 的无穷小生成元记该q 一半群为s ( t ) ，则t l s ( t ) l l m e ( “+ m i 批 1 4 ，坫载。j 华中科技大学硕士学位论文 证明：由引理3 1 和引理3 2 知在h 中存在范数 l 满足如下条件：对任 意的z h ，is i 。m h x i ，且对任意实数a ，a w ，有： lt 0 ) l e “。ir ( a ：a ) i ( a u ) 一1 所以就有对任意的a u + ibj ，有界算子b r ( a ：a ) 满足b r ( a ：a ) i u + bj ，i b r ( a ：a ) 是可逆的。令 r = r ( a ：a ) ( j b r ( a ：a ) ) 一1 = e r ( a ：a ) b r ( a ：a ) 。 则有 ( a i a b ) r = ( j b r ( a ：a ) ) 一1 一b r ( a ：a ) ( ，一b r ( a ：a ) ) 一1 = ， 并且对任意的。d ( a ) ，有： 。 r ( 入f a b ) z = r ( ：a ) ( 入工一a b ) z + e r q ：a ) b r ( a ：a ) 】( a j a b ) z k = l o o = z r ( a ：a ) b x + e 【r ( a ：a ) b 。一【r ( a ：a ) b k z 所以，对任意的a w + l b l ，a + b 的豫解集存在，并且由r 给出 另外， l 。i ln ，一a b ) 一1l = i r ( a ：a ) b r ( a ：a ) r l l k = 0l ( a u ) 一1 ( 1 一ib r ( a ：a ) | ) 一1 ( a u l b i ) 一1 由定理3 2m = l 的情况知a + b 是岛一半群s ( t ) 的无穷小生成元，并且满 足is ( t ) l e ( “+ 。返回到日中的初始范数| | ，我们有： l i s ( t ) l l m e ( “+ 圳钏 q e d 1 5 华中科技大学硕士学位论文 3 3 主要结论 决定性的双曲型线性发展方程的一般形式为： fd u ( t ) = a ( t ) u ( t ) d t + f ( t ) d t ( 3 1 3 ) 【札( o ) =uo 本章将要研究的是如上( 3 1 3 ) 给出的线性发展方程的初值问题在如下假设 条件下，即双曲型情形下的求解问题 我们考虑的都是在h i l b e r t 空间h 中的情形。假设： ( 日a 1 ) a ( t ) 。f o t 1 由h 中函一半群的无穷小生成元组成的一稳定族； ( h a 2 ) a ( t ) 的定义域d ( a ( t ) ) = d 与t 无关并且对每一”d ，a ( t ) v 在 日中连续可微。 下面我们给出稳定族的定义 定义3 3 ( 见【2 0 】，p 1 3 0 ) a ( t ) ) 【o ，7 是日中国- 半群的无穷小生成元组 成的族若 a ( ) 挺f o ，t 1 满足下列条件，即存在m l ，芦( m ，卢为常数，通 常叫做稳定性常数) 使得： p ( a ( t ) ) d ( 卢，。) ，对任意的t 0 ，卅 并且 j h = l r ( , k ：a ( t j ) ) l i sm c 一一声，“对任意的a 卢c 。m ， 对每一有限列0 t lst 2 t k t ，k = 1 ，2 ，这里r ( a ：a ( t j ) ) = ( a i a ( 屯) ) 。叫做a ( t j ) _ 1 的豫解式，p ( a ( t ) ) = a ：使得( a s a ( 0 ) ) - 1 有界 叫做a ( t ) 的豫解集 注：一般来说，算子是不能交换的，于是( 3 ) 3 式中连乘符号中各项的顺序 就很重要了在( 3 1 4 ) 式中，含有 t j 的乘积中总是依时间有序的，并且是含 较大 t j ) 的因子总是在较小因子 t j ) 的左边 下面给出稳定性的两个等价条件： 1 6 华中科技大学硕士学位论文 定理3 3 ( 见 2 l 】，p 9 3 ) 稳定性条件不等式( 3 1 4 ) 等价于下面两个不等式： i j 血= l e x p ( s j a ( t j ) ) l l s ，e 口( s 1 + + s k ) ，s ，。，j = ，z ，一，e c s s ， f j _ l ( a ( t j ) - a j ) - 1 l | sm 壹c - ，一卢，一1 ，- ， 卢，= - ，z ，m 证明：假定不等式( 3 1 4 ) 成立把区间 0 ，t 分为m k 个区间 个j ，1 j ，作用m 次( m 为任意整数) ，即区间分为 ( 3 1 6 ) 其中对每一 o ! ：三! ! ：三! ；j ! 三垫：三! ! s 。3 芝苎三塾三：三垒t m 个m 个m 个 | j f i = i ( a ( t j ) - a ) - m 广” 对上不等式两边同乘以a 概，得： i 垂 c ac 巧，一a ，； 一”l f 三m c - 一卢，； 一 ” 令a = 孚( s 0 ) ，有： | | 重 ，一熹a ( t j ) - m l m 一筹 m ， i f j 矗= t e x p ( s a ( t j ) ) 胁 然后，再重新对区间 0 ，t 进行划分( 形式上的) 为( m l + m 2 + 间，其中对每一个j ，1 j 女，作用m j 次( m j 为任意整数) 0 ，t 可分为： ( 3 1 7 ) + ” ) 个区 也就是区间 华中科技大学硕士学位论文 o j ! 三! ! ：三! ! 乏三生：三垫。3 芝苎三兰苎三：三! 冬t m 。个m 2 个m k 个 则不等式( 3 1 7 ) 变为 l l 鱼e x 。c m ，s ac 。，| l m e 烈m 1 + + m d s ， 再令s j = m j s ，则上不等式就化为不等式( 31 5 ) 的形式由啊0 = 1 ，2 ，k ) 和s 的任意性，所以对任意的s ， 0 都都有不等式( 3 1 5 ) 成立由c o 半群的 性质有： j ( 0 。a 3 ) d 8 = - - ( 撕h ) _ l ， 其中丑为a ( t ) 生成的c o 一半群所以就有： fa ( t j ) _ - j ) - i i l = j l ：蛋k 。c o o e 一 ，s ，z b c s ，a s ，| j 因为t t ，( s j ) = e q 4 ( 刎，由f u b i n i 定理，上式右边等于： l i 7 o 。 i ie 一 ，s ，e s ， ( 。) a s t a s t l l s 上。z 。1 1 i ie 一 ，卸 i ( e 勺a ( 。i i a s * - - a 。t 由( 3 1 5 ) 式，上不等式右边 s m f o 。- ：。0 鱼e 一勺重e 邱- a s t a s t 由n u t n t 定理= m 娶k ( 0 0 0 e 一眄a s ，) k = m i i ( 一卢) 1 = l 1 8 华中科技大学硕士学位论文 即 0 ( a ( t j ) - ) u ) - 10 n z 重c x ，一p ，一l ，- ， 卢，j = ，：，4 ，* 得到不等式( 3 1 6 ) 由不等式( 3 1 6 ) 易得不等式( 31 4 ) q e d 下面给出有关稳定性的一个性质 定理3 4 ( 见 2 i l ，p 1 3 1 ) a ( t ) ) 蚝【o ，t 】是具有稳定常数m 和卢由c o - 半群 的无穷小生成元组成的稳定族b ( t ) ，0 t t ，是日中的有界线性算子 若对任意的0 t ，有j i b ( o i i k 则 a ( t ) + b ( t ) ) 炬i o ，丁】也是岛一半群的 无穷小生成元组成的稳定族，并且其稳定常数为m 和卢+ k m 证明：由定理3 2 知，对任意的t 【0 ，t ，a ( t ) + b ( t ) 是一半群的无穷小 生成元容易验证若a u + k m ，则a p ( a ( t ) + b ( t ) ) 于是可进行如下计 算。 o 。 r ( a ：a ( t ) + b ( t ) ) = r ( a ：a ( t ) ) b ( t ) r ( a ：a ( t ) ) “ 所以 krr o 。 i ir ( a ：a ( t j ) + 口( ) ) = i i r ( a ：a ( t j ) ) b ( t j ) r ( a j = l j = ll n = 0 展开上( 3 1 s ) 式的右边，我们发现一列具有如下形式的基本项 r ( a ：a ( t k ) ) b ( “) r ( a ：a ( “) ) 】“- - r ( a ：a ( t 1 ) ) b ( t 1 ) r ( a ：a ( t 1 ) ) m 这里n j 0 若名。q = n ，则由( a ( t ) 挺【o ，t i 的稳定性，有 l i r ( a ：a ( 札) ) b ( “) r ( a ：a ( “) ) 】“ r ( a ：a ( t 1 ) ) b ( t 1 ) r ( a ：a ( t 1 ) ) 】” m n + l k “( a u ) 一”一2 1 9 华中科技大学硕士学位论文 在等式( 31 8 ) 右边项的展开式中其中使得釜1 = n 的项的个数为( 2 ) 于是 有： 龄川，卜扣1 州广 = m ( a u ) 一( 2 ) ( m k ( a u ) 一1 ) “ = m f a u m k ) 一i q e d 下面我们给出如何解( 3 1 3 ) 这样一个初始问题 这里先给出解和基本解的定义，我们指的解是指经典解 定义3 4 一个在日中取值的函数u ：( 0 ，t 斗日叫做初值问题( 3 1 3 ) 的 经典解，若“满足： ( i ) u 在( 0 ，t j 是连续的； ( i i ) 对任意的t ( o ，t 】) u d ( a ( t ) ) ； ( i i i ) “在( 0 ，明上连续可微； ( i v ) “满足初始条件( 3 1 3 ) 定义3 5 在b ( h ) 中取值的二元函数u ( t ，s ) ，若满足下面的条件，则称为 初值问题( 3 1 3 ) 的基本解( 或初值问题( 3 1 3 ) 关于a ( t ) ) 的基本解： ( a ) u ( t ，s ) 关于8 ，t 强连续，u ( s ，s ) = i 并且i i u ( t ，s ) lj m e z ( “5 ) ； ( b ) u ( t ，s ) = u ( t ，r ) u ( r ，s ) ，8 r t ； ( c ) d + u ( t ，s ) = a ( 3 ) u ，对每一 d ，s d ； ( d ) ( o o s ) u ( t ，s ) v = - u ( t ，s ) a ( s ) v ，0s8 t t ， d 定理3 5 满足条件( h a l ) ，( h a 2 ) 的初值问题( 3 1 3 ) ，在b ( 日) 中存在 唯一的基本解，满足条件( a ) 、( b ) 、( c ) 、( d ) 证明：首先我们来构造( 3 1 3 ) 的基本解u ( t s ) 把区间 0 ，t 分为n 个 等份的区间，令a 。( ) = a ( t i n t t n ) 为一逼近a ( t ) 的阶梯函数，也就说：对 华中科技大学硕士学位论文 任意的k t n t ( + 1 ) t i n ，a 。( ) = a ( k t l , 1 ) 从假设( 日a 2 ) 知：对任意的 u d ，当n _ 。时，l i a 。( t ) “一a ( t ) u l 【一0 令 ( ，5 ) = e x p ( ( t s ) a ( 铬) ， e x p ( ( t i t a ( i n t ， ， ，e x p ( 等a ( 学) ) e x p ( 吾a ( 譬半) ) e x p ( ( 兰竽一s ) a ( 譬) ) k x 。t s t 业专竽三 譬s 0 由假设条件( h b ) ，我们可以令矿为s ( t ) 的全变差，其中y 华中科技大学硕士学位论文 是有限的运用如下条件i i b | 1 e l l s 一1 ( 0 ) 一s 一1 ( 幻一1 ) | | 和。 0 时，l + a e 。 我们就得到 定理4 3 若假设条件( 日a 1 ) ，( h a 2 ) 和( h b ) 成立，则 e x p ( r b ( t ) ) dcd ；( t ，a ) 0 ，t r q ed 证明：因为 a ( t ) t o ，司是c o 一半群的无穷小生成元组成的族，并且a ( ) 是 闭算子，于是我们有 e x p ( 州粕一) = l i m 。i i i 。两1 r ) 刖 = 撬盟n 两1 删r 酬k a ：t = a ( t ) ( 、一l i m 。1 。： r b ( 州。) a - l ( t ) 结论显然成立 = a ( t ) e x p ( t b ( t ) ) a 。1 ( t ) 定理4 4 假设a ( t ，u ) ( ( t ，u ) 0 ，t 】q ) 满足如下条件 ( i ) 对每一u n 有( 日a 1 ) 和( 日a 2 ) 成立； q e d 囊瓣泓“ = 唧协瞄州 华中科技大学硕士学位论文 ( i i ) 对任意大的n ，有界线性算子 r 1 1 1 a n ( t ，u ) = a ( t ，u ) 1 1 一a ( t ，u ) l 对任意的t o ，卅 是取值于( b ( 日) ，日) 的( 五) 适应过程若u ( t ，s ；u ) 是关于a ( t ，u ) 的基本解， 则对任意取值于( 日，7 4 ) ，( 7 0 ) - 可测的变量( u ) ，u ( t ，s ；u ) ( u ) 是一取值于 ( 日，w ) ，( 五) o m 的适应过程 证明：考察基本解的构造： u ( t ，s ；w ) u = l i h - + o 。u 击( ，s ；w ) u 对任意的“e h e x p ( ( t s ) a ( 铬) ) ， e x p ( ( t 一丽l tj m 而l t ) ) 一p ( ( 磊) a ( 学) ) e x p ( ( 磊) a ( 掣) ) e x p ( ( 掣一s ) ak t ) ) ， 因为a 。( s ，u ) 是( 兀) 一适应的，并且有 k t 。ss t 堕专竽 百k t s 竽 丽t t t 喘堡，k f e x p ( ( t s ) a ( s ，u ) ) f ( u ) = s 一3 粤警e x p ( ( t s ) a n ( s ，u ) ) f ( u ) 对任意：的o s t 墨t 于是对任意的百k t s 生竽，e x p ( ( t s ) a ( s 铬u ) ) ( u ) 是 五) 。! 唧适 应过程当面k t s 生笋，丽l t st 骘竽，k f 时，有： 【，矗( t ，s ；u ) f ) = s 一撬唧卜等隅c 等，) 唧( c 孔c 学，) 一 唧( ( 孔( 半) ) 唧( ( 半_ s ) 训等) ) ) 于是u 。( ，s ；u ) ( u ) 是一( 五) o ! 。s 的适应过程 qe d 华中科技大学硕士学位论文 4 3主要结论 假设a ( t ) ，曰( t ) 满足假设条件( h a l ) ，( h a 2 ) 和( 日口) 我们首先考虑如下的决定性的c a u c h y 问题： 伽! ? 他。， 这里t 是一参数 熟知的对任意的f h ，b ( t ) 满足假设条件( h b ) ，该c h a u c h y 问题有唯 一的解，可表示为： u = e x p ( w b ( t ) ) ( 4 3 ) 若我们用( ) o t 和未知的( 五) o ! t 适应过程( o g ! r 来分别代替w 和 f ，则u = u ( t ，u ) 就变为一( 五) - 适应过程于是我们可用伊藤公式来推导求矗 的方程我们有： d u ( t ，u ) = 这里 因为 即 c ( t ，u ) 矗( u ) d t + e x p ( w t ( w ) b ( t ) ) d 色( u ) + b ( t ) e x p ( w t ( u ) b ( t ) ) 已( w ) d w t + ；b 2 ( t ) e x p ( w t ) b ( t ) ) 已) d t c ( t ，u ) 十互1b 2 ( t ) e x p ( ”t ( u ) b ( t ) ) ( u ) 出 + e x p ( w t ( w ) b ( t ) ) d 矗( w ) + b ( t ) e x p ( t ( u ) b ( t ) ) & ( u ) d w t c 小( 岳) ( e x p ( 咧瑚) b ( 。) d u ( t 1 = a ( t ) u ( t ) d t + b ( t ) u ( t ) d w t + f ( t ) d t 华中科技大学硕士学位论文 d u ( t ，u ) = a ( t ) u ( t ) d t + b ( t ) e x p ( w t ( c o ) b ( t ) ) t ( w ) d w t + f ( t ) d t 比较上两式，得： 吲训出= “p ( _ 州u ) b 。) ) ( 郇) 一融，u ) + j 1 职加x p ( 州u ) 即) ) e x p ( 一 t ( u ) b ( t ) ) ) e x p ( w t ( w ) b ( t ) ) f t ( w ) + e x p ( - w t ( w ) b ( t ) ) f ( t ) 令 川= 阻，u ) + j 1b 2 ( 加x p ( 州啪) e x p ( _ ”幽) 即) ) 则上式变为： d t ( w ) d t = e x p ( 一 t ( u ) b ( ) ) ( a ( t ) 一c ( t ，u ) ) e x p ( t ( u ) b ( t ) ) 矗( u ) + e x p ( 一w t ( w ) b ( t ) ) f ( t 1 于是我们现在来解决下面的c h a u c h y 问题： d 6 ( w ) d t =e x p ( 一山t ( u ) b ( t ) ) ( a ( t ) 一d ( t ，u ) ) e x p ( w t ( u ) b ( t ) ) 已( u ) + e x