（概率论与数理统计专业论文）休止时间在可靠性和拍卖理论中的应用.pdf

内容摘要 本文首先通过反例指出t s h a k e da n ds h a n t h z k u m a rf 1 9 9 4 ) 对d r h r 类的 等价刻画实际上为其充分条件，然后利用体止时间给出了d r h r 和i m i t 类的 充分条件。随后，我们研究t k - o u t o f o n 系统的休止时间行为，给出了d r h r 和i m i t 类 的刻画。另外，通过利用休止时间对第二价格密封拍卖租金的刻画，我们研究 了拍卖租金差异所揭示的拍卖估价母体的差异。 关键词：休止时间：k - o u t o f - n 系统；拍卖租金；d r h r ；i e i t ；随机序 中图分类号：0 2 1 22 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s i ti ss h o w nt h a tt h ec h a s a c t e r i z a t i o n sf o rd r h rc l a s si n s h a k e da n d 肌a n t h i k u m a rf 1 9 9 4 1a r ei nf a c ts u m c i e n tc o n d i t i o n sb yac o u n t e r e x a n ) p l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd r h ra n di m i tc l a s s e s eg i v e nw ea l s o i n v e s t i g a t et h ei n a c t i v i t yt i m eo fk - o u t o f - ns y s t e m sb a s e do nd r h r a n di m i t c l a s s e si na d d i t i o n ，b yu s i n gi n a c t i v i t yt i m et oc h a r a c t e r i z et h es e c o n dp r i c e c l o s e d s e a la u c t i o nr e n t ，w ei n v e s t i g a t eh o wt h ev a r i a t i o no ft h ea u c t i o nr e n t s r e a l st h a to fp o p u l a t i o n s k e yw o r d s ：i n a c t i v i t yt i m e ；k - o u t o f ns y s t e m ；a u c t i o nr e n t ；d r h r ；i e i t s t o c h a s t i co r d e r s a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：p r i m a r y6 0 e 1 5 ，s e c o n d a r y6 2 e 1 0 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数 据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成果做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：缢壅墼日期：丝：2 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校 保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查 阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本人 离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第 一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：丝趣导师签名觚) 业 兰州大学研究生学位论文 致谢 衷心感谢我的导师李效虎教授这几年来对我学术上的悉心指导和生活上的关心，是 他把我引入了概率统计这个充满魅力的学科，使我对这门科学产生了浓厚的兴趣。从我 导师的身上，我学到了如何科学地思考问题以及如何严谨地处理问题，他对科学孜孜不 倦的追求精神更是对我产生了深刻的影响，这些都将使我终身受益。 同时也感谢我们这个学科的前辈们对我的帮助，尤其感谢中国科技大学的胡太忠教 授能够经常提供他的论文和波特兰州立大学s u b h a s hk o c h a r 教授对我的帮助。 特别感谢我的女友金燕和我的家人对我的关心和支持，使我能够安心的完成学业。 2 第一章引言 休止时间是指系统f 可具有生命活性) 的某一特征停止正常工作的时刻到 观测时刻的这一段时l 可。休止时间在最近的几十年间引起了研究者的广泛关 注，因为其在可靠性工程，森林科学，保险精算，拍卖理论，法医学方面以及其 它应用概率统计领域发挥的重要作用。下面我们简要阐述其在可靠性工程， 拍卖理论和法医学方面的应用： 可靠性工程机器系统的休止时间是指从系统停止工作的时刻f 一般机器 都有记录) 到我们观测到的时刻，比如，系统的“b l a c kb o x ”，我们只能采集 到系统的失效数据，通常称为a u t o p s yd a t a ，因此利用这些数据对系统的 性能作出评估和比较显得尤为重要，这方面的研究可参看m e i l i j s o n ( 1 9 8 1 ) ， a t o i n ee ta l ( 1 9 9 3 ) 和g d a s e m y ra n dn a t v w ( 1 9 9 8 ) 。 拍卖理论利用休止时间去研究拍卖理论中二价拍卖的租金是一个行之 有效的方法，因为二价拍卖的租金可以通过休止时间的形式精确刻画，更 多的细节请查阅x ua n dl i ( 2 0 0 5 ) 。 法医鉴定法医所接触的数据全部是a u t o p s yd a t a ，研究休止时间的性 质，对了解生命体的寿命特性是至关重要的。 基于休止时间，k e i l s o na n ds u m i t a ( 1 9 8 2 ) 首先提出反失效率的概念并 称之为“对偶的失效率函数”，b l o c ke ta l ( 1 9 9 8 ) 为“对偶”的概念作了很好 的诠释。肌。女e da n ds h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) 对单降的反失效率给了等价的刻 画，但是其刻画是错误的，我们将在第二章中进一步论证，对于非负的随机变 量，f i n k e l s t e i n ( 2 0 0 2 ) 指出不存在递增反失效率的寿命分布类。由于反失效率 对寿命分布类的刻画较强，研究者们近年来又纷纷致力于较弱的基于休止时 间的寿命分布类一递增平均休止时间的研究，这是由n a n d ae ta l ( 2 0 0 3 ) 首先 建立的，对于这个寿命分布类的进一步研究可参看k a y i da n da b r o a d ( 2 0 0 4 1 ， a h m a de ta l ( 2 0 0 5 ) 和历a n dx u ( 2 0 0 6 ) 。 本文将对这两个寿命分布类作进一步的研究，第二章首先回顾文中所涉 及的年龄概念和随机序。第三章给出这两个寿命分布类的充分条件，然后研究 了七o u t - o f - n 系统的行为。在第四章中从竞买者的角度对拍卖租金作了进一步 的研究。 第二章预备知识 设x 和y 是非负连续型随机变量，和口分别为其密度函数，分布函数分 别是f 和g ，可靠性函数分别是f 和0 。用 x f = xt l x t ，k = yt y t 分别表示x 和y 在t 0 时刻的剩余寿命，与之相对应，用 x “) = t x l x t ， ) = t y i y t 分别表示j f 和y 在t 0 时刻的休止时间。迄今为止，已有大量的论著与剩余寿 命相关，请参阅专著b a r l o wa n dp r o s c h a n ( 1 9 8 1 ) 关于这方面的详细研究。 下面我们回顾与本文结论相关的随机序定义和年龄概念。 定义1 ( 1 ) 若对所有的z20 ，9 ( z ) ，( z ) 关于z 递增，n $ g x 以似然l l ) 芋- 小于y ( 记为xs l ，y ) 。 ( 2 ) 若对所有的z 0 ，f ( z ) g ( 。) 成立，则称x 以随机序小于y ( 记 为x 曼。t y ) 。 f 3 ) 若对所有的t 0 ， e x ( t ) 2e y e 0 成立，则称x 以平均休止时间序小于) ，( 记为x 删y ) 。 ( 4 ) 若对所有的t 0 ， 。户扛) d x ”。o ) d z 成立，则称x 以增凸序小于y ( 记为x 。y ) 。 ( 5 ) 若对所有的t 0 ， j z ) 蜒z g ( z ) 出0j 0 成立，则称x 以增凹序小于) ，( 记为x 玉。y ) 。 随机序作为强有力的工具，已被研究者们在各个领域广泛应用，如可靠 性理论，生物统计，金融保险和统计物理，关于随机序及其应用的专著，读者 兰州人学研究生学位论文 可参看s h a k c da n ds h a n t h i k - u m a r ( 1 9 9 4 ) i 1 m i i l l e ra n ds t o y a n ( 2 0 0 2 。对于平 均休止时间序的详细研究，可参i 弼k a y i da n da h m a d ( 2 0 0 4 1f g l a h m a de t a 1 ( 2 0 0 5 ) 。 下面我们给出相关的年龄概念。 定义2 ( 1 ) x 称2 _ j o d f r ( 失效率递减) ，如果其失效率 m ) = 器 关于z 0 递减。 ( 2 ) x 称之为d r i r ( 反失效率递减) ，如果其反失效率 f ( x ) f 扛) 关于z 0 递减。 ( 3 ) x 称之为i m i t ( 平均休止时间递增) ，如果其平均休止时间 m x ( ) ：而f ( x 广) d x 关于t 0 递增。 年龄概念用来描述系统或元件的性质在应用概率统计领域得到了广泛的 应用，如d f r 表示元件的负向性质，元件用的时间越长，元件的可靠性越 高，关于寿命分布的相关著作，读者可查 弼b a r l o wa n dp r o s c h a n ( 1 9 8 1 ) 。对 t d r h r 和i e i t 的详细研究，可参看b l o c ke ta l f 1 9 9 8 ) ，c h a n d r aa n dr o y ( 2 0 0 1 ) 和髓a n dz u o ( 2 0 0 4 ) 。 第三章d r h r 和i m i t 的刻画 3 1基于休止时间的d r h r 和i m i t 的充分条件 研t a k e da n ds h a n t h i k u m a rf 1 9 9 4 ) 在定理1b3 2 中指出下列命题等价： ( 1 1x 属于d r h r 类； ( 2 ) x ， 五对所有的t 0 ； ( 3 ) 咒， 五对所有的t 8 0 。 这个等价刻画是错误的，很容易验征f 2 ) 和f 3 ) 是d r h r 的充分条件，下面 的反例说明上述命题的必要性并不成立。 例1 考虑x 具有分布函数 f ( z ) 一击，z 0 和密度函数 m ) 2 _ 高，z o 很容易验证x 属于d r h r 类。但是 胁) 一坠型= 南，v 刚，删 和 怒= 等南1 ，只( )l + z 。 + 关于z 0 递减，这说明了x 卅五对所有的t 20 是不正确的。 注意到对所有的t s 0 ，我们有 锱= 罴8 蔫1 ，驯，只( z ) 1 + o + 。 + z + s 关于z20 递减，这说明了恐，h x 对所有的t s o 足不正确的。 定理2 利用休止列问给出了d r h r 和i m i l l 类的充分条件。 定理2 假定对所有的0 t ，t 1 。， x ( t 1 ) 茎“( x ) ， 兰型盔堂堕壅堡塑娑! l 则x 为d r h r 。 证明：因为对所有的0 zs t l 和t 0 ， 咐k 1 ) 0 。结论得证。 即，托崔； 锕- ) = 型斋盟 5 兰州人学研究生学位论文 ，2 悟黼邕盟 ，q 一蓉黧。 f 阜芸t ，2 ， i1 二i 2 r 1 ， a ，t 1 ) = 塔l 1 2 ，+ l 2 ， l 工亍等1 兰l1 2 ，+ 1 2 【1 二7 刁r 1 二u 屯。十q 二厶 ，：睦蓦兰 i1 ，t 2 ， 兰州 大学研究生学位论文 证明： 注n n e x ( ，) se ( 五) ( “) 能够推出 j r o 。坠r ( t 鬻t 蛇z 。等f ( h ! 如+ - ) 一f 0 ) o) 。 等价的， f ( t t - z ) 一f ( t ) h t + t 1 ) 一f ( t )出f 怒如 眠 。 上f ( t + x ) d zf ( t + t 1 ) 、t l f ( t ) f ( t ) z “f ( 。) d z f l 2 f 0 0 1 1f ( z ) d z f 。l 显然 一鱼兰生l 、! 堕 ，“f ( 。) 出一m ) 广f ( 蛐、j ( “f ( 帕 f 0 + t 1 ) 一f ( q ) 所以， r f ( 驰、f f ( z 币可2 瓦可 也就是 r t l 上f ( z ) 出 f ( q ) 关于t 1 0 单降这说明x 为i m i t 类。 下面的反例说明定理4 的条件并i b l m i t 的必要条件。 倒5 考虑随机变量x 具有分布函数 脚，：俘：警1 帮 警 毗 兰州人学研究生学位论文 吲归锌t 一恳篇。 吲归箭一 ，1 0 ，我们发现k o u t o f - n 系统已经停j h t 作( 这里不考虑剩 余元件仍然工作的情况) ，则系统的休止时问为 肌k m l t2 ( 矗* 1 n i m 1 ，n 。) 2 目* m i n ( 咒) ( 。 同样第一个失效元件的休止时间可表示为 船l 马 c 一0 - - x 1 , n l 斟1 ，n 0 ， f 。( z ) 露芦1 ( z ) 】 ( z ) 出0 z + “升 一昭o ， | | 如z n 、 ：型丛堂婴塞竺兰! ! 堡j 上 即 x ( t 。) ：。五。) 由引理3 ( b ) ，x ) b i m i t ( b ) 如果爿n i m i t ，由引理3 ( b ) x ( 。) - 0 因为 ( 。) = 罐j ( z ) + 昧1 扛) 甄t 。) ( z ) + ，+ 甄t 。) ( z ) 叼j 。_ 1 ( z ) + 嗡扛) 为非负递增对t 2 t 1 0 ，i = i 引理2 ( a ) 得对所有t 0 上” 邱j ( z ) 一叼j ( 。) 出= z 。 咋。) ( z ) 一f ( 嘲( z ) h ( x ) d z _ 0 ， 这等价于 r r l s i t 1 ：。r r l s l b 定理8 如果对0 0 因为对任意的t 2 t 1 0 ， ( 。) = 叼j ( z ) + 咋一1 ( z ) 目嘲( z ) + + f ( ( z ) 叼1 ( z ) + 邱( z ) _ 1 为非负递减，由引理2 ( b ) 得 上。，( 。) 一( z ) ) d z = z 2 ( z ) 一嗡”( 叫 ( z ) 出o ， 这等价于 x ( “) 兰z 删x ( b ) ) f o ra l l0 1 茎t 2 因此，由引理3 ( a ) ，结论成立。 第四章第二价格密封拍卖租金 第二价格密封拍卖是商业拍卖中最常见的拍卖方式，这种拍卖最显著的 特征是每个竞买人的占优战略都是按其真实支付意愿出价( “说真话”) ，这种 拍卖机制显然是激励相容的。由于拍卖品最终归于支付意愿最高的竞买人之 手，它也是种具有帕累托效率的配置机制，对于更多的细节请参阅v c k t e ( 1 9 0 1 ) ，b u l o wa n di ( 1 e m p e v e f ( 1 9 9 6 ) 和k l e m p e r e r ( 1 9 9 9 ) 。 最近p a u la n dg u z e ? r c z ( 2 0 0 4 ) 提出拍卖相金的概念，并对其进行了详细 的研究，l i ( 2 0 0 5 ) 对他们的结果作了进一步的推广。所谓拍卖租金是指赢者 的竞争价格与其实际支付价格的差值，分为两种： 买者的拍卖，即只有一个拍卖者，而有众多的买者竞争，出价最高者为赢 家，根据第二价格密封拍卖的规则，拍卖租金实际上为最高的竞争价格和 次高竞争价格的差： 卖者的拍卖，即只有一个拍买者( 常见于单位投标) ，而有众多的卖者竞争， 报价虽低者为赢家，同样根据第二价格密封拍卖的规则，拍卖租金实际上 为次低的竞争价格和最低价格的差。 对于获胜的竞争买家，比如说，n 个中的第i 个，他( 她】仅知道自己的竞争 价格，从其角度去看拍卖租金，其形式应为： 玛( 口) = 【v 一一。i 置= 口= 墨。】_ r a i n ( 玛) ，j z 在这一节中，我们将从以上角度去研究买者的拍卖租金形式，比较两组拍卖母 体的差异。假定有另外一组拍卖，其租金形式为 r ：扣) = 一kl 。i = = k 。】= m i n ( y d ) i “，i 第一个结论说明随着竞争者人数的增加，拍卖租金以似然比的意义递减。 性质1 如果x 绝对连续，则 风( ”) hr + - ( ”) 证明：i 扫s h a k e da n ds h a n t h i k u r a a rf 1 9 9 4 ) 的定理1 c2 1 可证。 现在我们研究母体之间的差异对拍卖租金的影响。 1 1 一型些燮至笙堂焦堡墨 性质2 对绝对连续的随机变量x 和y ， x - l ，y 号r ( ) * 聪( u ) 证明：注意到对任意的o ，由4 1 得 上a w ( z ) = 不等式4 l 暗含 矧一矧卜 t 鬻妇：”铡蛇。 关于 递增。因此，对任意的t f ”g 一出，伊- ( 。) 出 务丽务靠 也出 动一旬 一 口i 口 口 z 所以，我们有 即，对任意的t 0 ， 即，x ! m n y 。 z ”惴一器卜。 参考文献 1 a h m a d ，ia ，k a y l d ，ma n dp e l l e r e y ，f ( 2 0 0 5 ) f u r t h e rr e s u l t si n v o l v i n gt h em i t o r d e ra n d t h ei m i tc l a s s ，p r o b a b i l i t yi nt h ee n g i n e e r m 9a n di t 2 ，。t w m t i o n a ls c i e n c e1 9 ，3 7 7 3 9 5 2 a t o i n e ，r ，d o s s ，h a n dh o l l a n d e r ，m ( 1 9 9 3 ) o ni d e n t i f i a b i l i t yi nt h ea u t o p s ym o d e lo f r e l i a b i l i t yt h e o r yja p p ip r o b a b3 0 ，9 i3 _ 9 3 0 3 】b a r l o w ，rea n dp r o s c h a n tf ( 1 9 8 1 ) s t a t i s t i c a lt h e o r yo ir e l i a b i l f t ya n di 咖t e s t i n gt o b e g i nw i t h ，s i l v e rs p r i n g ，m a r y l a n d b l o c k ，h ，s a v i t s ，ta n ds i n g h ，h ( 1 9 9 8 ) t h er e v e r s e dh a z a r dr a t ef u n c t i o np r o b a b i l i t yi n 砘ee n g i n e e m n 9a n di n f o m a t i o n a ls c i e n c e1 2 6 9 9 0 8 】b o l a n d ，pj ，s h a k e d ，m a n ds h a i l t h l k u m a r ，j g ( 1 9 9 8 ) s t o c h a s t i co r d e r i n go fo r d e r s t a t i s t i c so r d e rs t a t i s t i c s ：t h e o r y m e t h o d s ，8 91 0 3 ，h a n d b o o ko fs t a t i s t i c s1 6 ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m 6 】b u l o w ，ja n dk l e m p e r e r ，p ( 1 9 9 8 ) a u c t i o n sv e r s u sn e g o t i a t i o l l sa m e r i c a ne c o m o n i cr e v i e w8 6 ，1 8 9 - 1 9 4 f 7 lc h a n d r a ，nka n dr o y , d ( 2 0 0 1 ) s o m er e s u l t so nr e v e r s e dh a z a r dr a t ep t v b a b i l i t yi nt h e e n g i n e e r i n ga n di n f o t x a a t i o n a l i e n c e s1 59 5 1 0 2 f 8 if i n k e l s t e i n ms ( 2 0 0 2 ) o nt h er e v e r s e dh a z a r dr a t er e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n ga n ds y s t e m s a j e t y7 8 ，7 1 7 5 【9 jg a s e m y r ，ja n dn a t v i g ，b ( 1 9 9 8 ) t h ep o s t e r i o rd i s t r i b u t i o no ft h ep a r a m e t e r so fc o m p 0 _ n e n tl i f e t i m e sb a s e do na u t o p s yd a t ai nas h o c km o d e ls c a n djs t a t i s t2 5 ，2 7 1 ”2 9 2 i t 0 k a y i d ，m a n da h m a d ，ia ( 2 0 0 4 ) o nt h eh i , a ni n a c t i v i t yt i l n eo r d e r i a gw i t hr e l i a b i l i t y a p p l i c a t i o n sp r o b a b i l i t yi nt h ee n g i n e e r i n ga n dl n l o m a t i o n a ls c i e n c e s1 8 3 9 孓4 0 9 【i 1 】k e i l s g n ，ja n ds i t a ，u ( 1 9 8 2 ) u n i f o r ms t o c h a z l i co r d e r i n ga n dr e l a t e di n e q u a l i t i e sc a n s t a t i s t ，1 0 ，1 8 1 1 9 8 口2 k l e m p e r e r ，p ( 1 9 9 9 ) a u c t i o n t h e o r y ：a g u i d e t o t h e l i t e r a t u r ej o u r n a lo f e c o n o m i cs u , u e y s 1 3 ，2 2 7 2 8 6 【l 铷l i ，x ( 2 0 0 5 ) an o t eo ne x p e c t e dr e n ti na u c t l o l lt h e o r y o p e v a t i o n sr e s e a r c hl e t t e r s3 3 ， 5 3 1 5 3 4 【1 4 】l i ，xa u dz u o ，m ( 2 0 0 4 ) s t o c h a s t i cc o m p a r i s o no fr e s i d u a ll i f ea n di n a c t i v i t yt i m ea ta r a n d o mt i m ew i t h 印p 1 i c a t i 0 1 1 ss l o v h a s t i cm o d e 厶2 0 ( 2 ) ，2 2 9 - 2 3 5 【1 5 】l i ，xa n d x u ，m ( 2 0 0 6 ) s o m er e s u l t sa b o u t m i t o r d e ra n d i m i tc l a s so f l i f ed i s t r i b u t i o n s p r o b a b i l i t yi ne n g i n e e r i n 9a n di n f o 阳m t i o n a ls c i e n c e s ( i np 1 c s s ) 1 6 m e i l i j s o n ，i ( 1 9 8 1 ) e s t i m a t i o no ft h el i f e t i m ed i s t r i b u t i o no ft h ep a r t sf r o ma u t o p s ys t a t i s - t i c so ft h em a c h i n eja p p lp r o b a b1 8 ，8 2 98 3 8 1 7 】m f i l l e r ，aa n ds t o y a n ，d ( 2 0 0 2 ) c o m p a r i s o nm e t h o d s ，。rs t o c h a s t i cm o d e l sa n dt w bj o h n w i l e y s o n sn e wy o r k 1 8 】n e a l d a ，ak ，s i n g h ，儿m i s r a ，na n dp a u l ，p ( 2 0 0 3 ) r e l i a b i l i t yp r o p e r t i e so fr e v e r s e d r e s i d u a ll i f e t i m ec o m m u n i s a t i o t ui ns t a t i s t i c s t h e o t ya n dm e t h o d sa 2 ( 1 0 ) ，2 0 3 1 2 0 4 2 【1 9 】p a u l ，am l dg l l t i e r r e z tg ( 2 0 0 4 ) m e a z a m p l es p a c i n g s ，s a m p l es i z ea n dv a r i a b i l i t yi na n a u c t i o n t h e o r e t i cf r a m e w o r ko p e r a t i o n sr e s e a 亿hl e t t e r s3 2 ，1 0 3 - 1 0 8 兰型丕兰婴塞生羔型芝一 f 2 0 1s h a k e d ，ma n ds h a n t h i k u m w ，jg ( 1 9 9 4 ) s t o c h a s t i co r d e r sa n dt h e i ta p p l i c a t i o n sa c a 。 d e m i cp s a nd i a g o 【2 1 】v i c k r e y ，w ( 1 9 6 1 ) c o u n t e 印e c u l a t i o n ，a u c t i o n s ，a n dc o m p e t i t i v es e a l e dt e n d e r sa o u m a l o if m a n c e1 68 - 3 7 2 2 1x u ，ma n dl i ，x ( 2 0 0 5 ) s o m ef u r t h e rr e s u l t s 。nt h ew i n n e r sr e n ti nt h es e c o n d p r i c e b u s i n