（概率论与数理统计专业论文）一类特殊离散分布矩的研究.pdf

，鼍 at h e s i si np r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s t h er e s e a r c ha b o u tt h em o m e n t so fak i n do f s p e c i a ld i s c r e t ed i s t r i b u t i o n b ys u nc h u a n r u i s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u np i n g n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 7 l一 -1 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 二也 恩。 学位论文作者签名：乃k 佳匀0 日期：卅年眵日沙目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论丈 摘要 一类特殊离散分布矩的研究 摘要 概率分布的矩在统计中有着重要的应用，广泛应用在随机抽样，生物学以及医学等 领域。概率分布分为离散分布和连续分布，其中离散分布的矩应用更广泛。本文主要对 离散分布的原点矩和逆矩进行了研究。 首先使用组合数学的方法，对离散分布的原点矩进行了讨论，应用第二类s t i r l i n g 数展开一些常见的离散分布的逆矩，并且给出这类特殊离散分布一般情况结果。其次讨 论了离散分布的逆矩，主要包括了二项分布的逆矩的递推公式和近似表达式以及泊松分 布的逆矩的逼近。 关键字：逆矩；s t i r l i n g 数；原点矩；发生函数 i j 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c ha b o u tt h em o m e n t so fak i n do f s p e c i a ld i s c r e t ed i s t r i b u t i o n a bs t r a c t t h em o m e n t so fd i s t r i b u t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns t a t i s t i c s ，w h i c ha p p l i e si nl i f e s c i e n c e ，b i o l o g y , p h y s i c s c i e n c ea n ds o o n p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n i n c l u d e sd i s c r e t e d i s t r i b u t i o na n dc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o n t h eo r i g i n a lm o m e n t sa n di n v e r s em o m e n t sa r e r e s e a r c h e di nt h i st h e s i s f i r s t l y , t h eo r i g i n a lm o m e n t sa r er e s e a r c h e d ，u s i n gc o m b i n a t o r i c sm e t h o d e x p a n d i n g t h em o m e n t so fs o m ef r e q u e n td i s t r i b u t i o nw i t hs t i r l i n gn u m b e ro fs e c o n dk i n d ，a n dt h e nt h e r e s u l ti sr e p r e s e n t e di ng e n e r a ls i t u a t i o n s e c o n d l y , s u m m a r i z i n gt h er e s u l t sa b o u tt h ei n v e r s e m o m e n t so fd i s c r e t ed i s t r i b u t i o n m a i n l yi n t r o d u c i n ga s y m p t o t i ce x p a n s i o nf o rt h ei n v e r s e m o m e n t so fb i n o m i a la n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，a n dt h er e c u r r e n c er e l a t i o n f o rt h ei n v e r s e m o m e n t so fb i n o m i a l k e y w o r d s ：i n v e r s em o m e n t s ；s t i r l i n gn u m b e r ；o r i g i n a lm o m e n t s ；g e n e r a t i n gf u n c t i o n 1 1 1 ，j，r 独创性声明 摘要 a b s t r a c t ： 第1 章绪论 1 1 引言 1 2 矩的研究的概述j 1 3 逆矩研究的概述 第2 章预备知识 2 1 特殊的计数数列 2 1 1 第二类s t i r l i n g 数 2 1 2 第一类s t i f l i n g 数 2 2 二项式系数 2 3 发生函数 第3 章离散分布原点矩的s t irlin g 数展开 3 1 几何分布矩的s t i r l i n g 数展开 3 2 二项分布矩的s t i f l i n g 数展开9 3 3 泊松分布矩的s t i f l i n g 数展开。l o 3 4 巴斯卡分布矩的s t i r l i n g 数展开11 3 j 负二项分布矩的s t i f l i n g 数展开。1 3 3 6 般的离散分布矩的s t i r l i n g 数展开。1 4 第4 章离散分布的逆矩j 1 7 4 1 引言1 7 4 2 二项分布的逆矩的逼近1 7 4 2 1 e u l e r i a n 多项式逼近二项分布逆矩1 7 4 2 2 下阶乘逼近二项分布逆矩。1 9 l v 目录 东北大学硕士学位论文 4 3 二i 贞分布逆矩的递推关系2l 4 4 泊松分布的逆矩2 2 4 5 离散分布的逆矩一般理论2 4 第5 章结论2 7 参考文献2 9 致谢。3 3 v 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 概率论是自然界和人类社会中研究随机现象数量规律的数学分支，它渗透于自然科 学、社会科学、人文科学等各个领域，几乎成为了解决各种问题的基本理论。随机变量 的矩是概率论中的重要概念之一，在统计学、金融学、生物学、精算学等很多重要领域 中得到广泛应用。矩是研究随机变量分布规律重要的数字特征，例如数学期望是一阶原 点矩，方差是二阶中心矩。矩相关的性质和定理也是非常丰富，如矩不等式，例如 c h e b y s h e v 不等式，m a r k o v 不等式，l y a p u r o v 不等式，j e n s e n 不等式，m i n k o v s h i 不等 式等等。矩的不等式除了是概率论和数理统计理论研究的重要工具，也能近似计算概率， 因此矩的计算就尤为重要，本文研究内容主要以离散随机变量的矩的计算展开。 组合分析与离散分布有着密切的关系，古典概率本质就是是组合分析问题。同样， 在研究离散分布随机变量性质时，组合分析技术也是一个很好的工具，应用它来解决概 率论中的问题有时得到的结果会非常地简约和优美。本文在矩的讨论中，用到了较多的 组合分析的技术，如二项式系数性质，s t i r l i n g 数定义和性质，发生函数理论等。 1 2 矩的研究的概述 矩是最广泛使用的的一种数字特征，在概率论和数理统计中占有重要的地位。在某 些场合，对于随机变量的研究，并不需要知道详尽概率分布函数但只需要知道它的数学 期望和方差以及高阶矩。文献【3 5 】应用高阶矩去逼近概率密度函数并强调了矩在研究随 机变量的密度函数中的重要性。关于矩的研究范围非常广泛。有研究普通随机变量的矩， 也有研究高维随机变量矩的性质，如文献【2 7 】。有研究常见分布的矩，也有研究一些特 殊分布的矩，如离散曰分布的矩【2 引，复合分布的矩【2 9 1 。本文主要讨论离散分布常见的矩。 最常见的矩有两种：一种是原点矩，对f 正数k ，定义k 阶原点矩为，如期望就 是一阶中心矩。一种是中心矩，定义k 阶中心矩为e ( x e x ) ，如方差是二阶中心矩。 此外还有k 阶原点绝对矩及k 阶中心绝对矩，其定义分别为e i r 和e i x 一i 。对于多 维随机变量，可以定义各种混合矩，例如e ( x e x ) ( x e x ) 。，称为k + ，阶混合中心 矩。协方差是二阶混合中心矩。原点矩和中心矩可以互相表示，所以本文只讨论原点矩。 若随机变量x 的矩母函数为m r ( ，) ，原则上说，总可以用公式m 譬( o ) 求得x 的k 阶 原点矩肼2 。但是由于求解高阶导数m 箩( o ) 很困难，所以实际计算高阶原点矩的时候 第1 章绪论 原点矩方法有很多 ( 1 ) 求导法， 分布函数参数进行求导后得到递推公式。 ( 2 ) 积分法，与求导法类似，对分布函数的参数进行积分，得到递推公式。文献 3 4 】 中对几何分布高阶原点矩进行了讨论。 ( 3 ) 代数法，求解高阶矩的问题转化为求解系数的代数问题，而不必去计算无穷级 数。这样可避免求解无穷级数带来的不便和误差。文献 3 3 】对泊松分布和二项分布的高 阶矩使用代数方法进行了求解。 ( 4 ) k 阶矩的计算往往是直接用定义，通过推导得到结果，利用这种方法计算k 阶矩 是需要注意方法，否则会很麻烦。本文根据的原点矩定义直接进行推导。 本文关注的是一类特殊离散分布，这类分布主要特点是概率分布函数由整数多项式 与常量次幂乘积组成。在第三章应用第二类s t i r l i n g 数根据矩的定义，直接展开这些分 布的原点矩，利用第二类s t i r l i n g 数定义和二项式系数性质得到较为简洁的结果。 1 3 逆矩研究的概述 逆矩是近年来较热门的研究方向，所谓的逆矩是随机变量倒数或倒数更高次幂的期 望。为了定义分布函数的逆矩，需要对分布函数稍作改动，去掉分布函数在零处的值。 对于二项分布的调整为： p ( x = x ) 2 吉q p q 1 4 一 其中，l x 刀，在很多文献中称为正二项分布( p o s i t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ) ，则二项 分布的p 阶逆矩定义为： e 击：占窆q x v x p 1 一g ”鲁” 。1 类似的，对于泊松分布的p 阶逆矩为： 上：上争旦p 一工 x p 1 一e “鲁x p x 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 其他离散分布的逆矩同样可以定义 逆矩的研究最早来源于随机抽样问题。x 个观测值z l ，z ：，z 。，其均值为 z = ( z i + z ，+ z 。) i x ，如果z 。( f = l ，工) 是同分布独立随机变量，方差为盯2 ，那么当x 为一个常量的时候，z 的方差为仃2 x ，但是当x 自己本身也是一个随机变量，那么z 的 方差为仃2 e o x ) 。当z 撕= 1 ，x ) 服从二项分布、泊松分布，上述问题经常出现在抽样 问题中。当x 服从二项分布或泊松分布的时，1 9 5 4 年g r a b 和s a v a g e 的论文【2 】中给出几 个经典的例子： ( 5 ) 估计种植棉花农场的平均耕田面积，如果已经对这些些农场种植棉花情况进行 了抽样。 ( 6 ) 估计在某个科学实验中生存的动物的平均体重，如果对于每个动物的死亡概率 相同并且相互独立。 ( 7 ) 通过测验一段短时间内发生的所有火灾的损失，估计一个城市火灾平均损失。 在这些典型的场合中，二项分布的参数p 和泊松分布的a 会被很好的估计，即种植棉花 的农场的比例、实验的致命性、每天发生火警的次数。z 服从的分布函数的参数得到估 计，然后就能研究e ( 1 x ) 的近似计算等问题。关于逆矩应用更详细的讨论可以参照文献 【4 】，【2 5 ，【2 6 。 二项分布和泊松分布逆矩的研究有一个相当长的历史。早在1 9 4 5 年，f r e d e r i c ke s t e p h a n 发表了一篇关于二项分布的逆矩的论文【l l ，讨论二项分布一阶和二阶逆矩。g r a b 和s a v a g e 在1 9 5 4 年给出二项分布和泊松分布的一些一阶逆矩的数值表【2 l ，同时也得到 了一个递推关系，并且他们也得到二项分布一阶逆矩精确的表达式。1 9 5 6 年，d a v i d 和 j o h n s o n 逼近二项分布n p 阶逆矩【3 】。1 9 6 0 年，m e n d e n h a l l 和l e h m a n 发现二项分布的逆 矩在生命检验中有着重要的意义【4 1 。1 9 6 3 年，g o v i n d a r a j u l u 得到一个二项分布递推关系 表达式1 5 1 ，这个递推公式比较复杂，因为它涉及参数刀和二项分布矩的次幂。同时也研 究了研究了渐进表达式。1 9 6 4 年，t i k u 应用拉格朗日多项式得到一个泊松分布的渐进 表达式旧。1 9 7 2 年，c h a o 和s t r a w d e r m a l 把不同的逆矩定义成e ( 1 g + 口) 7 ) 形式，这种 表达形式通常易于计算，并且得到当a 0 ，= 1 时的简单表达式【7 】。1 9 7 6 年，k a b e 使 用阶乘矩研究了式e 1 b + 口) 7 ) ，得到更直接的结果嘲。1 9 8 1 年，c r e s s i e 更深入的研究 了逆矩和矩母函数 9 1 。其他大量涉及到发生函数的研究的可以在r o c k o w e r1 9 8 8 年的文 章中【l o 】。近期有关研究二项分布的逆矩的可以参看m a r c i n i a k 和w e r o l o w s k i 的文章( 1 9 9 9 年) 1 1 1 和r e m p a l a 的文章( 2 0 0 3 年) 1 2 】，在 1 1 1 中作者给出一个用e u l e r 多项式的渐进 表达式，在 1 2 1 中给出一个更为优美的渐进表达式，用n u l = n ! ( n 一歹) ! 倒数形式表示。 第1 章绪论东北大学硕士学位论文 2 0 0 4 年，j o n e s 和z h i g l j a v s h y 应用第一类无符号s t i r l i n g 数给出泊松分布任意阶矩的渐 进表达式1 1 4 1 ， 兰= 喜半， 其中s ( r ，a ) 为第一类无符号s t i f l i n g 数。当，很大的时候，这个近似表达式会变得较复杂。 2 0 0 5 年，z n i d r i e 系统的研究了二项分布和泊松分布的逆矩，并分别得到二者任意阶的 渐进表达式【1 5 1 。在第四章综述离散分布的逆矩一些重要的结果。 2 1 1 第二类s t i r l i n g 数 在组合数学中，第二类s t i r l i n g 数是一种常见的特殊计数序列，记为s ( n ，七) ，定义为： x ”= s ( n ，七) ( x ) 七 一 。“ 七= 0 其中( x ) 。定义为， c x ，。= # x 一1 x 一七+ 1 霎：三： 实际上，s ( n ，后) 是n 上由k 个等价类的等价关系的数目，也就是1 1 个不同的球分配 到k 个不加区分的别的盒子里( 盒子的顺序不考虑) 使得没有盒子时空的分配个数。 注意到，( x ) 。- 与p ( x ，七) 相同，即x 个不同物体的k 一排列数，我们做一个合理的规 定，当k x 时，( x ) t = 0 。 根据o ) 。的定义，易得下列性质： ( 1 ) ( j c ) i “= ( x 一七) ( x ) i ( 2 ) ( x ) i = j | ! q 第二类s t i r l i n g 数满足“三角形 递推关系： s ( n ，k ) = s ( n - 1 ，k - 1 ) + 舾( ，l l ，后) ，”，k 1 ， s ( n ，0 ) = s ( o ，七) = o ，刀，k 1 ，s ( o ，o ) = i 2 1 2 第一类s t i r l i n g 数 第一类s t i r l i n g 数计为s ( 拧，七) ，一般分为第一类有符号s t i r l i n g 数和第一类无符号 第2 章预备知识 东北大学硕士学位论文 s t i r l i n g 数。第一类有符号s t i r l i n g 数定义是： ( x ) 。= s ( 刀，k ) x k = 0 第一类无符号s t i r l i n g 数s ( n ，七) 的定义女n t - ( 工) 。= ( 一1 ) ”一s ( ，l ，七) x k = 0 像第二类s t i r l i n g 数一样，第一类无符号s t i r l i n g 数也是对某种事物的计数，第一类 s t i r l i n g 数s ( 船，k ) 是将n 个物体排成k 个非空循环排列的方法数。 第一类有符号s t i r l i n g 数也满足“三角形”递推关系： s ( n ，七) = s ( n 1 ) 一( 刀一1 ) s ( n 一1 ，七) ，刀，k 1 ， s ( n ，0 ) = s ( o ，k ) = 0 ，刀，k 1 对于第一类无符号s t i r l i n g 数，可以写成 s ( n ，k ) = s ( 胛一1 ) + ( 一1 ) s ( n l ，k ) 令调和数为h 。：l + i 1 + + 一1 ，第一类无符号s t i r l i n g 数有如下性质： s ( 刀+ l ，1 ) = 刀! ， s ( 刀+ 1 ，2 ) ；玎! ( 1 + 委+ + 三) ：刀! 日。， s ( ，z + l ，3 ) 一n 2 1 一 h 。2 一( 1 + 丁1 + 件了1 ) 】， 咖+ l 4 ) 一n 6 1 一 _ 。3 3 以( 1 + 孝+ - + 专) + 2 ( 1 + 专+ + 专) 】 对于p = 1 , 2 ，胛，我们有， s ( n + 1 ，n + l p ) = f i i p 1 鲺 2 。，则= 。的事实和c ，k = 塑等毒铲( 1 k e 口，( 后) ，k q i = l i = 0 k = l = s ( m ，t ) t ! y a 。c k q ，= lj - - ok = l = y s ( m ，叫! 口，c l kq “7 1 5 m m h 。鲥 第3 章离散分布原点矩的s t i r l i n g 数展开 东北大学硕士学位论文 定理证毕。 肿 ，= l 朋 ，= l 驯川方言 争驯，塾 口，q + ，k q k = o ，( g ) 1 6 - ，；，、，r l，f 东北大学硕士学位论文第4 章离散分布的逆矩 第4 章离散分布的逆矩 本章将综述有关离散分布的逆矩的研究，主要是二项分布和泊松分布的逆矩。 4 1 引言 关于逆矩的研究，f r e d e r i cf s t e p h a n 发表于1 9 4 5 年的一篇关于二项分布逆矩论文以 来，关于逆矩的研究主要集中在二项分布和泊松分布的逆矩上，本章将综述关于二项分 布和泊松分布的一些重要结果。 有关逆矩的研究主要来自一些统计问题，如抽样问题，下面是一个逆矩应用的例子： x 个样本z 。，z ：，z ，独立同分布，方差是盯2 ，那么关于统计量， t = ( z i + z 2 + z ，) i x 如果x 是个常量，那么统计量丁的方差是仃2 x ；如果x 本身是一个随机变量，那么那 么统计量丁的方差是1 7 2 e ( 1 x ) 。这时逆矩就将被引入，x 的分布主要为二项分布和泊 松分布，所以本章将综述有关上述两个分布的研究结果。 4 2 二项分布的逆矩的逼近 本节将介绍两种逼近二项分布逆矩的方法，一种是用e u l e r i a n 多项式逼近二项分布 的一阶逆矩，一种是用下阶乘展式逼近二项分布一阶逆矩。先介绍使用e u l e r i a n 多项式 的方法。 4 2 1e u l e r i a n 多项式逼近二项分布逆矩 e u l e r i a n 多项式a 。( ，) 有下面 而而1 - t= 塾( ，) 等， 的发生函数定义，力阶e u l e r i a n 多项式a 。( f ) 可以写成 么。( ，) = 4 j ， 的形式，其中系数彳。j 为的e u l e r i a n 数。 第4 章离散分布的逆矩东北大学硕士学位论文 e u l e r i a n 数定义为， a 。，= k a 。一l 。i + ( 刀一k + 1 ) a ，i j l ，”= 2 , 3 ，k = 2 , 3 ，刀 递归的初值为a i j = 0 ，七= 2 , 3 ，a = i ，刀= 1 , 2 ， e u l e r i a n 多项式满足下面递推公式， 彳。( ，) = c ：a , ( t ) t ( 1 - t ) ”卜1 ( 4 1 ) 在下面定理证明中会用到。 对于二项分布6 ( 玎，p ) ，为了计算逆矩有意义，把零点去掉为 眦刮) 2 奇q p 矿1 被称为截断二项分布或正二项分布。那么二项分布的一阶逆矩为， e ( 争吉姒g ) ， 其中 玩( q ) ：圭 c p g 州 、 定理4 1 【1 1 1 对任意的七= 1 , 2 ， 饷，= 喜扩= 芸笋专州c 扣 其中a ，( q ) 为e u l e r i a n 多项式。 为了证明定理4 1 ，除了需要式( 4 1 ) 还需要引进两个引理。 引理4 1 【1 1 1 对任意的以= 1 , 2 ，并且q ( 0 ，1 ) 有， 啪) ：主军叫棼 关于这个引理的证明反复使用二项式系数的递推公式( 2 1 ) 就能得到，证明略。其 中等号右侧一项可以写成 喀知 引理4 2 1 1 1 】对任意刀= 1 , 2 ，定义 东北大学硕士学位论文第4 章离散分布的逆矩 口黔力羔军，口弘巾m = 1 ，2 ， 其中序列 y t ) ，k = 1 , 2 ，定义为， y 。= 万1 ，y t = 旦p 篓c ：y ，后= 1 ，2 ， y o2 一，y i5 2 2 j 乙y i ，彤2l ，z ， p面 那么， l i m a ( k ) = y t ，k = 1 , 2 ， n 下面开始定理4 1 的证明， 根据 a n 7 ) 的递推定义，容易得到， 砰棚柏“( 善n 了q n - a 一喜等) ， 专巾? - i ) - - y r - i ，= 喜孚一喜等 根据引理4 2 ，得到 喜字= 喜等州 根据引理4 1 ，得到 饷，= 喜等州争 而根据e u l e r i a n 多项式的递推关系( 4 1 ) ， 胪吉= 半巩= 笋 代入上式中得到 。怕，= 鬈等六州争 定理4 1 证毕。 4 2 2 下阶乘逼近二项分布逆矩 所谓的下阶乘，也成为阶乘幂即是第二类s t i r l i m z 数中的仅) 。 第4 章离散分布的逆矩 东北大学硕士学位论文 c x ，。= f x 一1 ) x 一七十1 霎三：l 为了用不同的方法逼近- g a 分布的逆矩 e c 争吉懒 构造一个统计量 以= 并， 其中随机变量s 。服从二项分布b ( n ，p ) 。从而， 删叫者) = 刀委n - i 志此川- j ：旦j l z 。( g ) n 所以二项分布一阶逆矩， 吃( g ) = q e u ： ，2 综上所述，为了得到二项分布的逆矩渐进表达式，只需展开e 研即可。下面是沿着这个 思路主要定理。 引理4 3 f 1 2 1 对任意的r i 2 ， 丸( g ) - p - - 。- e u ：_ 。：詈p n - i 半1 一1 【n - ig 川q 】： 疗 以面l ：一l 百 定理4 2 旧对任意的门2 ， 怕) = 去露警删( - 1 ) ) n p 露鬻加击 、智( 门一1 ) ，、( 疗) ，“。 丢- , 而l ! 丽q z + d ( 击) 东北大学硕士学位论文 第4 章离散分布的逆矩 关于使用e u l e r i a n 多项式逼近二项分布一阶逆矩精确还是使用下阶乘展开时逼近二 项分布一阶逆矩精确的研究，已经超出本文的范围。 4 3 二项分布逆矩的递推关系 令二项分布为f ( x ，刀) = p ( x = x ) = c j p ”q n - x 其中p + q = 1 ，x = 0 ，l ，刀，令正二项分 布为e ( r = x ) = q p ”q ”。( 1 - q ”) ，x = 1 , 2 ，刀 定义 嘶( ”，p ) = x f ( x ，以) ，k = 0 , 1 ， x = l 和 玩( 疗，p ) = a 。( 甩，p ) a o ( 月，p ) ，k = 0 ，l ， 注意到，( ，l ，p ) = l f ( o ，n ) = 1 一q ”，i 炯b k ( n ，p ) 为二项分布的k 阶逆矩。 引理4 4 【5 】对于任意整数聆 l ，那么 a o ( 疗+ 1 ，p ) = q a o ( 刀，p ) + p 证明： a o + l ，p ) = 1 一g ”+ 1 = q q ”+ 1 + p = q ( 1 - q ”) + p = q a o ( ，l ，p ) + p 定理4 3 【5 】对于任意整数刀 l ，那么 k b k ( 刀+ 1 ，p ) = 【( 刀+ 1 ) 一1 口。( ，z + l ，p ) 】【( 刀+ 1 ) 一b ，( 厅，p ) q a 。( 刀，p ) + ( 聍+ 1 ) 一 其中，k = 0 , 1 ， 证明：考虑 n + l a k + l ，p ) = x c l ，p 。 x = l 坩+ l = 仰+ 1 ) g x 廿( n + l - x ) 一f ( x ，以) 争 j = i 把x 。o + 1 一x ) 。1 拆分成部分和的形式为， k x - k ( n + 1 - x ) 一= a j x 一7 + b ( 胛+ 1 一x ) _ = i - 2 l - 第4 章离散分布的逆矩 东北大学硕士学位论文 下面是求系数彳，m r ，考虑 七 1 = 彳f 一7 ( 刀+ 1 一x ) + 觑 一， 、7 = ( b - a 1 ) x + 【( 刀+ 1 ) 彳l a 2 i x 。一1 + + 【( 以+ 1 ) 么i i a k x + ( n + i ) a i 对比等式两边，得到， 和 因此， 彳= ( 甩+ 1 ) 一小n ，= 1 2 ，k b = a l = 仰+ 1 ) 一 a i + 1 ，p ) n + l k = ( 刀+ 1 ) g ( 刀+ 1 ) 一一7 + 1 x 一+ ( 疗+ 1 ) 一( n + 1 - x ) v ( x ，厅) n + lk = ( 刀+ 1 ) g ( 刀+ 1 ) 一7 + 1 x 一7 f ( x ，刀) x = lj = l n + l + ( 刀+ 1 ) 一x o ( ，l + 1 ) ( 刀+ 1 一x ) 卅g f ( x ，刀) x = l k月 = ( n + 1 ) q e 仍+ 1 ) m 删x f ( x ，疗) j = lx = l n + l + ( ，l + 1 ) 廿x o ( ，l + 1 ) ( 挖+ l x ) 一g f ( x ，行) x = l k = g ( ”+ 1 ) 一口( 甩，p ) + ( 力+ 1 ) 廿口。( 刀+ l ，p ) j = l 上面等式两边同除以g 0 仰+ 1 ，p ) ，得到证明结果。 推论4 1 1 5 1 当k ：1 的时候，递推公式化简为 b l ( 刀+ l ，p ) = k o ( 甩+ l ，p ) 】q a o ( 刀，p ) 6 l ( 刀，p ) + ( 一+ 1 ) 一1 推论中结果与g r