（概率论与数理统计专业论文）体制转换模型下的期权定价.pdf

d i s s e r t a t i o nf o rd o c t o rd e g r e e ，2 0 1 0 u n i v e r s i t yi d ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 2 0 7 0 6 0 5 0 0 3 o p t i o np r i c in gu n d e rr e g im es w i t c hin gm o d e l s d e p a r t m e n t m a j o r schoo1offinancea n ds t a t i s t i c s p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s r e s e a t c hd i r e c t i o n f i n a n c i mm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r a u t h o r d a t e pro。fessorw a n gw e n s h e n g w a n gw e i m a r c h ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明 范大学攻读硕 是在华东师 指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：互4 堑日期：出堕i 圜孑日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 体制 导下完成的 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指 位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和 相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许 学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加 入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密修学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 乙厂2 不保密，适用上述授权。 作者签名：乏叠 日期：出 ! 鲤查固之因 导师签名： 弘他 “涉密”学位论文应足已经华东师范大学学位评定委员会办公室喊保密委员会审定过的学位论文( 需 附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上述部f 】审定的学位 论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 王伟博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 叶中行教授上海交通大学理学院主席 杨静平教授北京大学数学科学学院 张丽宏教授清华大学经济管理学院 汪荣明教授华东师范大学金融与统计学院 汤银才 教授华东师范大学金融与统计学院 目录 摘要 a b s t r a c t ( 英文摘要) 主要符号对照表 目录 第一章绪论 1 1 金融数学的起源与发展 1 2 不完备市场下的期权定价 1 3 期权定价模型的推广 1 4 体制转换模型及国内外研究现状 1 5 预备知识 1 6 本文的主要工作 第二章体制转换模型下弱势欧式期权的定价 2 1 引言 2 2 资产价格模型 2 3 等价鞅测度和e s s c h e r 变换： 2 4 马尔可夫调制的几何布朗运动模型下弱势欧式期权的定价 2 5 马尔科夫调制的跳扩散模型下弱势欧式期权的定价 2 6 本章小结 第三章两状态体制转换模型下期权的定价 3 1 引言 3 2 两状态体制转换模型 3 3 远期生效看涨期权的定价 3 4 无利率风险下弱势欧式期权的定价 3 5 随机利率下弱势欧式期权的价值 3 6 幂式看涨期权的定价 3 7 交换期权的定价 3 8 本章小结 试 v 试 1 1 4 5 5 7 n 坞玛m坫掩沈纵 筋筠筋；!号盯弱的缸 目录 第四章体制转换模型下巨灾看跌期权的定价 4 1 引言 4 2 市场模型 4 3 等价鞅测度和e s s c h e r 变换 4 4 体制转换模型下巨灾看跌期权的定价 4 5 本章小结 6 2 6 2 6 3 6 5 7 6 8 2 第五章体制转换模型下局部风险最小套期保值策略和期权定价 8 3 5 1 引言8 3 5 2 市场模型8 3 5 3 局部风险最小策略8 6 5 4 马尔可夫调制的l v y 过程下的期权定价9 8 5 5 本章小结1 0 9 第六章结论以及未来的工作 参考文献 致谢 1 1 0 i i i 1 1 9 中文摘要 摘要 期权定价是金融数学的核心问题之一在期权定价和套期保值领域，传统的b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式虽然被广泛的应用，但是大量实证表明资产价格满足几何布朗运动 并不符合实际情况过去三十年，大量学者已经提出了许多不同的期权定价模型，这些模 型包括跳扩散模型、l d v y 过程、随机波动率模型和g a r c h 模型等近年来，马尔可夫 调制的体制转换模型在期权定价中的应用已经引起了大量研究学者的兴趣模型中连续 时间马尔可夫链的状态被看作市场经济状态，经济状态的转移是由于经济和商业周期的 结构变化而引起的本文在前人研究成果的基础上，研究了体制转换模型下的期权定价 问题并提出了一个新的两状态体制转换模型此外，由于马尔可夫调制的体制转换模型 下的市场是不完备的，我们还给出了体制转换模型下的局部风险最小套期保值策略和最 小鞅测度，具体内容如下： 1 第一章首先介绍了金融数学的起源和发展；接着，简要说明了不完备市场下的期权 定价和期权定价模型的推广；另外，我们也介绍了体制转换模型及国内外研究现状； 最后给出了需要的预备知识及本论文的主要工作 2 第二章考虑了体制转换模型下弱势欧式期权的定价问题假定市场利率、风险资 产的平均回报率和波动率都与市场经济状态有关，市场经济状态由一连续时问马 尔科夫链来描述由于市场是不完备的，利用r e g i m es w i t c h i n ge s s c h e r 变换得到了 一个等价鞅测度，分别给出了当标的资产价格满足马尔科夫调制的几何布朗运动 和跳扩散过程时弱势欧式期权的定价公式 3 第三章提出了一个两状态体制转换模犁假定市场经济有两个状态，一个稳定状态 和一个高波动状态风险资产价格在不同状态下满足不同的随机过程当市场状态 是稳定状态时，风险资产价格满足几何布朗运动或马尔可夫调制的几何布朗运动； 当市场状态是高波动状态时，风险资产价格满足跳扩散过程或马尔可夫调制的跳 扩散过程另外，在这个两状态体制转换模型下，分别讨论了几种期权的定价问题 4 第四章研究了体制转换模型下巨灾看跌期权的定价问题j a i m u n g a la n d w a n g ( 2 0 0 6 ) 假定巨灾风险是非系统风险，没有考虑它的定价在这一章，我们 改进了他们的模型，假定市场利率、风险资产的平均回报率和波动率都与市场经 济状态有关，并考虑了巨灾风险的定价和利用r e g i m es w i t c h i n ge s s c h e r 变换得到 了简单回报的r e g i m es w i t c h i n ge s s c h e r 变换鞅测度和复合回报的r e g i m es w i t c h i n g e s s c h e r 变换鞅测度另外，我们还讨论了这两个等价鞅测度的存在性并证明了简单 回报的r e g i m es w i t c h i n ge s s h c e r 变换鞅测度是风险资产价格满足马尔科夫调制几 何l d v y 过程时的最小熵鞅测度最后，给出了在这些等价鞅测度下巨灾看跌期权的 定价公式 中文摘要 5 第五章研究了体制转换模型下套期保值和期权定价问题当标的资产价格满足马 尔科夫调制的几何l 百v y 过程时，市场是不完备的，这也意味着市场中的未定权益是 不能通过自融资策略来套期保值的我们给出了在体制转换模型下的局部风险最 小套期保值策略和最小鞅测度，并考虑了当标的资产价格满足马尔科夫调制的几 何l 百v y 过程时欧式看涨、看跌和远期生效看涨期权的定价问题 综上所述，本文研究了体制转换模型下的期权定价问题获得了体制转换模型下弱 势欧式期权和巨灾看跌期权的定价公式，提出了一个新的两状态体制转换模型，并考虑 了在这个两状态体制转换模型下的期权定价问题此外，由于马尔可夫调制的体制转换 模型下的市场是不完备的，未定权益不能通过a 融资策略米复制，本文考虑了体制转换 模型下的套期保值问题，给出了局部风险最小套期保值策略和最小鞅测度这些结果不 仅在理论上有意义而且对金融市场中的期权交易和套期保值有应用价值 关键词：b a y e s 法则；测度变换；e s s c h e r 变换；l g v y 过程；期权定价；体制转换 a b s t r a c t o p t i o np r i c i n gi so n eo ft h ec o r ei s s u e si nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e t h et r a d i t i o n a l b l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gf o r m u l ah a sb e e nw i d e l yu s e df o rp r i c i n go p t i o na n dh e d g i n g i nf i n a n c ei n d u s t r y , b u tt h e r ea r ea l a r g en u m b e ro fe m p i r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h e a s s e t p r i c ef o l l o w st h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o ni sn o tr e a l i s t i c o v e rt h ep a s tt h r e ed e c a d e s ， m a n yd i f f e r e n to p t i o nv a l u a t i o nm o d e l sh a v eb e e np r o p o s e d s o m eo ft h e s ei n c l u d ej u m p - d i f f u s i o nm o d e l s ，l m v yp r o c e s s e s ，s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s ，g a r c hm o d e la n do t h e r s r e c e n t l y , t h e r eh a sb e e nc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti na p p l i c a t i o n so far e g i m es w i t c h i n gm o d e l w h i c hi sm o d u l a t e db yac o n t i n u o u st i m em a r k o vc h a i nt oo p t i o np r i c i n gp r o b l e m t h e s t a t e so ft h ec o n t i n u o u st i m em a r k o vc h a i nc a l lb ei n t e r p r e t e da st h es t a t e so ft h ee c o n o m y t h et r a n s i t i o n so ft h es t a t e so ft h ee c o n o m ym a yb ea t t r i b u t e dt os t r u c t u r a lc h a n g e so f t h ee c o n o m ya n db u s i n e s sc y c l e s b a s e do nt h ep r e v i o u sr e s e a r c hr e s u l t ，t h i st h e s i sd i s c u s s t h eo p t i o np r i c i n gu n d e rr e g i m es w i t c h i n gm o d e l sa n dan e wt w o - s t a t er e g i m es w i t c h i n g m o d e li sp r o v i d e d m o r e o v e r b e c a u s et h em a r k e td e s c r i b e db yt h em a r k o v - m o d u l a t e d r e h es w i t c h i n gm o d e li si n c o m p l e t e ，al o c a l l yr i s km i n i m i z i n gh e d g i n gs t r a t e g ya n dt h e m i n i m a lm a r t i n g a l em e a s u r ea r ea l s oo b t a i n e du n d e rar e g i m es w i t c h i n gm o d e l t l l em a i n c o n t e n t so ft h i st h e s i sa r el i s t e di nt h ef o l l o w i n g ： 1 i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eo r i o na n dd e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a lf i n a n c ea r ef i r s t i n t r o d u c e d t h e nw eg i v eab r i e fd e s c r i p t i o no ft h eo p t i o np r i c i n gi na ni n c o m p l e t e m a r k e ta n dt h ee x t e n s i o no fo p t i o nv a l u a t i o nm o d e l s i na d d i t i o n ，w ea l s oi n t r o d u c e t h er e g i m es w i t c h i n gm o d e la n dp r e s e n tr e s e a r c ha th o m ea n da b r o a d f i n a l l y , s o m e p r e l i m i n a r i e sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ep r o v i d e d 2 i nt h es e c o n dc h a p t e r t h ep r i c i n gp r o b l e mo fv u l n e r a b l ee u r o p e a no p t i o n si sc o n - s i d e r e du n d e rar e g i m es w i t c h i n gm o d e l w es u p p o s et h a tt h em a r k e ti n t e r e s tr a t e ， t h ea p p r e c i a t i o nr a t ea n dt h ev o l a t i l i t yr a t eo ft h er i s k ya s s e td e p e n do nt h es t a t e s o ft h ee c o n o m yw h i c ha r em o d e l e db yac o n t i n u o u st i m em a r k o vc h a i n s i n c et h e m a r k e ti si n c o m p l e t e ，w ea d o p tt h er e g i m es w i t c h i n ge s s c h e rt r a n s f o r mt od e t e r - i n a n ea l le q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ea n dp r o v i d ea n a l y t i c a lp r i c i n gf o r m u l a so f v u l n e r a b l ee u r o p e a no p t i o n sw h e nt h ed y n a m i c so ft h er i s k ya s s e ti sg o v e r n e db ya m a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o no ram a r k o v - m o d u l a t e dj u m p & i f - f u s i o np r o c e s s v 一 英文摘要 3 i nt h et h i r dc h a p t e r at w o - s t a t er e g i m es w i t c h i n gm o d e li sp r o v i d e d w ec o n s i d e ra m a r k e tw h i c hh a st w os t a t e s ，as t a b l es t a t ea n da h i g hv o l a t i l i t ys t a t e t h ed y n a m i c o ft h er i s k ya s s e tp r i c ef o l l o w sd i f f e r e n ts t o c h a s t i cp r o c e s s e si nd i f f e r e n ts t a t e so ft h e m a r k e t ，t h er i s k ya s s e tp r i c ei sd r i v e nb yag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o no ra m a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nw h e nt h em a r k e ti ss t a b l e ，b u tt h er i s k y a s s e tp r i c ef o l l o w sa j u m pd i f f u s i o np r o c e s so ram a r k o v - m o d u l a t e dj u m pd i f f u s i o n p r o c e s si ft h em a r k e ts t a t ei sh i 曲v o l a t i l i t y i na d d i t i o n ，t h ep r i c i n gp r o b l e mo f s e v e r a lo p t i o n si sc o n s i d e r e du n d e rt h i st w o - s t a t er e g i m es w i t c h i n gm o d e l 4 i nt h ef o u r t hc h a p t e r t h ev a l u eo fc a t a s t r o p h ep u to p t i o ni ss t u d i e du n d e rar e g i m e s w i t c h i n gm o d e l j a i m u n g a la n dw a n g ( 2 0 0 6 ) s u p p o s et h a tt h ec a t a s t r o p h er i s ki s u n s y s t e mr i s kw h i c hi sn o tp r i c e d i nt h i sc h a p t e r ，w ei m p r o v et h e i rm o d e la n d a s s u m et h a tt h em a r k e ti n t e r e s tr a t e ，t h ea p p r e c i a t i o nr a t ea n dt h ev o l a t i l i t yr a t e o ft h er i s k ya s s e ta l la r ed e p e n do nt h es t a t e so ft h ee c o n o m y i np a r t i c u l a r ，t h e c a t a s t r o p h er i s ki sp r i c e da n dt h er e g i m es w i t c h i n ge s a c h e rt r a n s f o r mi sa d o p t e d t oo b t a i nt h es i m p l er e t u ma n dt h ec o m p o u n dr e t u r nr e g i m es w i t c h i n ge s s e h e r t r a n s f o r mm a r t i n g a l em e a s u r e sf o rt h ev a l u a t i o np r o b l e mi nt h ei n c o m p l e t em a r k e t s e t t i n g i na d d i t i o n ，w ea l s od i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h e s et w oe q n i v a l e n tm a r t i n - g a l em e a s u r e sa n dp r o v et h a tt h es i m p l er e t u r nr e g i m es w i t c h i n ge s s c h e rt r a n s f o r m m a r t i n g a l em e a s u r ei st h em i n i m a le n t r o p ym a r t i n g a l em e a s u r ew h e nt h er i s k ya s - s e tf o l l o w sam a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cl 色v ) ，p r o c e s s i nt h ee n d ，t h ee x p l i c i t a n a l y t i c a lf o r m u l a so fc a t a s t r o p h ep u to p t i o na r ed e r i v e du n d e rt h e s ee q u i v a l e n t m a r t i n g a l em e a s u r e s 5 i nt h ef i f t hc h a p t e r o p t i o np r i c i n ga n dh e d g i n gi sa n a l y z e du n d e ra r e g i m es w i t c h i n g m o d e l w es u p p o s et h a tt h er i s k ya s s e tf o l l o w sam a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i ck v y p r o c e s s t h em a r k e td e s c r i b e db yam a r k o v - m o d u l a t e dg e o m e t r i cl 嘶p r o c e s si s i n c o m p l e t e ，i tm e a n st h a tc o n t i n g e n tc l a i m sc a l ln o tb eh e d g e dp e r f e c t l yb ys e l f - f i n a n c i n gs t r a t e g y t h el o c a l l yr i s k ym i n i m a lh e d g i n gs t r a t e g ya n dt h em i n i m a l m a r t i n g a l em e a s u r ea r ep r o v i d e du n d e rar e g i m es w i t c h i n gm o d e l m o r e o v e r ，t h e p r i c i n gp r o b l e mo fe u r o p e a nc a l lo p t i o n ，e u r o p e a np u to p t i o na n df o r w a r ds t a r t i n g c a l lo p t i o ni sc o n s i d e r e du n d e rar e g i m es w i t c h i n gm o d e l i nb r i e f , t h i st h e s i sd i s c u s st h eo p t i o np r i c i n gu n d e rr e g i m es w i t c h i n gm o d e l s t l l e p r i c i n gf o r m u l a so fv u l n e r a b l ee u r o p e a no p t i o n sa n dc a t a s t r o p h ep u to p t i o na r ed e r i v e d ， an e wt w o - s t a t er e g i m es w i t c h i n gm o d e li sp r o p o s e da n dt h ev a l u a t i o no fs o m ek i n d so f 英文摘要 o p t i o ni sc o n s i d e r e du n d e rt h i so p t i o nv a l u a t i o nm o d e l m o r e o v e r ，t h em a r k e td e s c r i b e d b ya m a r k o v - m o d u l a t e dr e g i m es w i t c h i n gm o d e li si n c o m p l e t e ，t h ec o n t i n g e n tc l a i mc a l l n o tb er e p l i c a t e db ys e r f - f i n a n c i n gs t r a t e g y , t h i st h e s i sc o n s i d e rt h eh e d g i n go fc o n t i n g e n t c l a i m su n d e ra r e g i m es w i t c h i n gm o d e la n dp r o v i d et h el o c a l l yr i s km i n i m i z i n gh e d g i n g s t r a t e g ya n dt h em i n i m a lm a r t i n g a l em e a s u r e t h e s er e s u l t sa r en o to n l yu s e f u li i lt h e o r y b u ta l s os i g n i f i c a n ti np r a c t i c ef o rp r i c i n go p t i o na n dh e d g i n gi i lt h ef i n a n c i a lm a r k e t s k e yw o r d s ：b a y e s sr u l e ；c h a n g eo fm e a s u r e ；e s s c h e rt r a n s f o r m ；k v yp r o c e s s ；o p - t i o np r i c i n g ；r e g i m es w i t c h i n g v u 主要符号对照表 ( q ，少，p ) n ( d x ，d s ) 阢，t o ) t ，t o ) u ( 如) r t b & b ( t ，t ) c o y 丑a ( - ) s x 】 入 p a s n ( ) p 主要符号对照表 概率空间 泊松随机测度 连续时间马尔可夫链 泊松过程 l v y 测度 t 时刻的市场利率 t 时刻银行货币帐户的价值 贴现风险资产s 在t 时刻的价值 到期日为t 的无违约零息票债券在t 时刻的价值 协方差 集合a 的示性函数 随机变景x 的数学期望 的强度 关于测度p 几乎处处 标准正态随机变量的累积分布函数 相关系数 欧氏空间内积 第一章绪论 第一章绪论 近年来，由于金融理论的长足进步和现代信息技术的快速发展，金融创新日益加快， 新的金融衍生产品、金融服务在市场上不断涌现，金融市场得到了蓬勃发展因此，对金 融市场中资产的定价，风险管理以及投资决策分析这些问题变得更加重要，它们也是现 代金融理论的核心问题由于所研究的问题越来越复杂化，过去的一些方法不再适应现 代金融学研究的需要，大量的研究学者开始利用数学工具研究金融中的各种问题，进行 数学建模，理论分析，数值计算等定量分析来寻求金融市场运行的规律金融数学是现代 数学在金融领域的应用对金融问题的研究和金融市场的发展起到了非常重要的作用 本章首先回顾了金融数学的起源与发展；其次，简单叙述了不完备市场中期权的定价和 期权定价模型的推广；接着，介绍了体制转换模型及其国内外研究现状；再次，给出了一 些随机分析和金融数学的基本概念和知识；最后，介绍了本文的主要工作 1 1 金融数学的起源与发展 金融数学是一门新兴的交叉学科，又称为数理金融学，数学金融学金融数学主要运 用现代数学理论和方法( 如随机分析，偏微分方程，随机控制，倒向随机微分方程，最优化 理论等) 研究衍生产品定价，风险管理与套期保值等一些金融领域内的核心问题金融数 学的历史可以追溯到1 9 0 0 年法国数学家路易斯巴谢利耶( b a c h e l i e r ，l ) 的博士论文 投机 理论，在文中他首次用布朗运动来描述股票价格的变化然而，巴谢利耶的工作并没 有引起足够的重视，直n 2 0 世纪5 0 年代初，萨缪尔森( s a m u e l s o n ，p a ) 通过统计学家萨维 奇( s a v a g e ，l j ) 重新发现了巴谢利耶的工作，这标志着现代金融学的开始随后，现代金 融学经历了两次主要的革命，第一次是马尔科维茨( m a r k o w i t z ，h ，1 9 5 2 ) 在他的博士论文 中提出了资产组合选择的均值方差理论马尔科维茨认为在现实中不可能同时实现收 益最大化和风险最小化，预期收益最高的证券组合不一定风险是最小的，他通过数学方 法证明可以找出一系列证券组合，这些组合在风险一定时预期收益最高，或者在预期收 益一定时可以使得风险最低，这些组合就是所谓的“效率边界”由于马尔科维茨在证 券组合理论上的杰出性工作，他荣获了1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖托宾( t o b i n ，j ) 1 9 5 8 年 在马尔科维茨理论中加入了货币因素，得到了著名的“两基金分离定理”，他论证 了经济个体将通过投资在一种无风险资产和唯一的风险资产组合来分散其资产风 险6 0 年代中期，在马尔科维茨均值方差理论的基础上，夏普( s h a r p e ，w f ，1 9 6 4 ) 和林 特纳( l i n t n e r ，j ，1 9 6 5 ) 提出了“资本资产定价模型”( c a p i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ，简 称c a p m ) 他们指出在这个模型中，个人投资者面临着两种风险，系统性风险和非系统 性风险，在均衡市场中，市场投资组合是有效投资组合，单个资产或者组合资产的预期收 - 1 1 1 金融数学的起源与发展 益只与总风险中的系统性风险部分相关，而该系统性风险与单个资产或证券组合的收益 与市场组合收益之间的协方差之间有密切关系夏普也因为在资产定价和投资学领域的 创造性工作与马尔科维茨和米勒共享了1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖 1 9 7 0 年，法马( f a m a ，e f ) 提出了有效市场的概念，他认为在一个市场中，如果证券价 格总是充分的反映所有可以利用的信息，就称这个市场是有效的市场有效性假设是以 一个完美的市场为前提的，假定市场没有摩擦，即不存在交易成本和税收；所有资产可以 充分分割；市场是充分竞争的，市场参与者都是价格的接受者；市场参与者获得的信息费 用为零法马按照投资者获得的信息种类，定义了三种形式的有效市场： 1 弱势有效市场：如果市场可以充分地反映过去所有股票价格的信息，那么市场就 是弱有效的： 2 半强式有效市场：如果股票价格不仅反映了历史价格信息还反映了其他一切公 共信息，比如公司发表的财务状况，会计报告等； 3 强式有效市场：如果股票价格能够反映所有信息，不仅反映了过去和当前的信息， 还反映了未来的信息，例如公司内部消息等 一直以来，有效市场假设被认为是标准金融学的蕈要理论基础然而，在最近二十年 里，有效市场假设也正开始面临着巨大挑战 数学金融学的第二次革命发生在1 9 7 3 年。布莱克和斯科尔斯发表了著名的b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式，给出了欧式期权的定价公式他们假定市场中有一种无风险债券 和一种股票，无风险债券的价格玩= b o e r t ，其中r 是市场利率，股票的价格服从几何布朗 运动，即满足随机微分方程：d & = & ( 础+ a d w t ) ，其中p ，盯分别为股票s 的平均回报率 和波动率，毗是一维标准布朗运动布莱克和斯科尔斯的基本思想是在完备市场中，期 权可以通过无风险债券和股票的投资组合来复制，从而构成一个无风险的投资组合在 市场中不存在套利机会，没有交易费用等假设下，他们推导出欧式看涨期权在时刻t 的价 值i c ( s , t ) 满足如下偏微分方程： 箸郴筹+ 2 等一r c o ，瓦+ r s 丽+ 主盯。s 。否虿一 = o ， 在给定条件c ( s t ，t ) = m a x ( s t i f , ，o ) 下，他们求出了上述偏微分方程的解，得到了著名 的b s 公式： c ( a t ) = s n ( d 】1 ) 一k e 一7 ( t 一) n 他) ， 其中k 是期权敲割价格，n ( ) 是标准正态随机变量的累积分布函数，d - = 兰! 铵铲， 如= d l 一仃，= 巧1 9 7 6 年默顿( m e r t o n ) 在b l 池s c h o l e s 期权定价模型的基础上做出了 一2 第一章绪论 一些重要的扩展，他假定股票价格不是服从几何布朗运动而是满足跳扩散过程，并给出 了期权的定价公式因为默顿在期权定价理论方面做出的贡献，所以布莱克斯科尔斯 期权定价公式又通常被称为布莱克斯科尔斯默顿期权定价公式由于斯科尔斯和默 顿在期权定价领域内的杰出贡献，他们获得了1 9 9 7 年的诺贝尔经济学奖，而布莱克由于 在1 9 9 5 年英年早逝而与诺贝尔奖无缘 紧随布莱克斯科尔斯之后，罗斯( r o s s ，s a ，1 9 7 6 ) 提出了一个以无套利定价为基础的 多因素资产定价模型，也称为套利定价模型无套利定价理论基础为一价定律，也就是说 两种风险、收益相同的资产不能按不同的价格出售该模型认为资产的收益率与一组因 子有关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素套利定价理论用套利概念定义均衡， 不需要市场组合的存在性，而且所需要的假设比资本资产定价模型更少，更合理 1 9 7 9 年，考克斯，罗斯和鲁宾斯坦( c o x ，r o s sa n dr u b i n s t e i n ，1 9 7 9 ) 发表了二叉树模 型考克斯，罗斯和鲁宾斯坦理论的原理与布莱克一斯科尔斯一默顿的一样，当考虑的时 间段很短时，两者得出的期权价格是一致的哈里森和克雷普斯( h a r r i s o na n dk r e p s ， 1 9 7 9 ) 提出了多时段的鞅方法和套利，哈里森和普利斯卡( h a r r i s o na n dp l i s k a ，1 9 8 1 ) 提出 了等价鞅测度，这些结果是动态资产定价理论的核心内容上个世纪六七r f 年代是资产 定价理论发展的黄金时期这个时期标志性成果包括夏普的资本资产定价模型以及布莱 克一斯科尔斯一默顿的期权定价理论 恩格尔( e n g l e ，r e ) 1 9 8 2 年提出了一种新的分析方法，这种新的方法称为自回归条 件异方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y , 简写为a r c h ) 这种方法打破 了长久以来计量经济学模型中平稳时间序列理论对分析强加的禁铟恩格尔和其合 作者还对a r c h 模型进行了很多推广，例如g a r c h 模型( b o l l e r s l e v ，t ，1 9 8 6 ) ，e a r c h 模 型( n e l s o n ，d b ，1 9 9 1 ) 等除了在资产定价方面的应用之外，a r c h 模型和g a r c h 模型 在风险管理中也有广泛的应用，例如现在很多的银行，金融机构都在使用一种风险价值 分析的工具( v a l u ea tr i s k 简写为v a r ) 格兰杰( g r a n g e r ，c w j ) 1 9 8 1 年提出了协整方法 他认为当涉及的经济时间序列很不平衡时，那就不应该直接处理这些时闻序列之问的相 互关系，而是应该先找出怎样使它们的不平衡变化相互抵消的关系，这种关系就是所谓 的协整关系由于在计量经济学理论和方法上的突出贡献，他们获得了2 0 0 3 年的诺贝尔 经济学奖 当然还有大量研究学者在金融数学领域作出了重大贡献，由于篇幅有限，这里不再 一一介绍近几十年来，金融数学在资产定价，风险度量，投资分析等理论方面都取得了 蓬勃发展，对现代金融的发展起到了重要的作用，不仅对金融衍生产品的不断创新和金 融市场的有效运作产生直接的影响，而且在公司的投资决策以及金融机构的风险管理中 都得到了广泛的应用 3 1 2 不完备市场下的期权定价 1 2 不完备市场下的期权定价 在