（概率论与数理统计专业论文）几何过程与可修系统研究.pdf

摘要 摘要 本论文研究几何过程的一些统计性质研究内容分成四部分第部分 引入了几何过程的基本概念，并介绍几何过程的些应用第二部分介绍几何 过程的一些相关的统计性质第三部分介绍几何过程参数的极大似然估计及 估计的渐近正态性对几何过程参数的极大似然估计，i ty ( 1 螂) 只研究 了对数正态分布几何过程的极大似然估计，因此时极大似然方程有显示表达 式第四部分讨论并给出如何估计几何过程密度函数的问题 本论文是在几何过程的极大似然估计的基础之上做的进一步研究，讨论 几何过程及独立同分布随机变量之共同分布的密度函数估计问题对几何过 程 噩，矗) 当五的密度函数，( ) 未知时，给出了其估计的方法并给 出了在一定条件下，估计量具有相合性的结论在实际应用中，( ) 通常未 知，该密度估计方法为几何过程的更多应用提供了理论依据此外，还讨论了 噩，矗 是一组相互独立同分布的随机变量时，估计其共同分布的密度 函数，( ) 的同题 关键词更新过程，几何过程，极大似然估计，更新同题 a b s t r a c 七 a b s t r a c t h t h i 8p 印盯，矾8 t l ：由t h ep r o b k ma ：b o u t8 t 8 酬碰咖f o fg 睁 m e t r i cp 加嗍t h ep 8 p 岫t 8o ff o r t hp a r t 8 f i r s 耽w ej n 细d d u t h e 鲫哪o f 删p r o 嘲( g p ) a n d m 五曲o f 妇酬鼬岫 o 础y ，骶i 咖d u 砌七i s t i c a li n f e r 瑚f o rg p i i 铀曲；耽i n t r o d u c et h e m x 】i l 【e l i h o o d t i m c i ( m l e ) o ft h eg e o m e t r i cp a 衄e t e ra n d 船c 彻凼- t 吼衄d 柚驰叩t o 蜢cn 0 硼l a l i 坼i tj bd j 岔c l l 】tt o h 吧t h e1 i l 吲i b o o de q u 8 t i 吼 o fg e o m e t r i cp 啪酏凹l 锄y h s 七1 1 d i e dt h em l eo f g p 础h1 0 口o r - m a ld i s t r i b t l t i o ni n1 9 8 8 ，咖i p l yb 鲫峨t h e 砒t 妣o f l i k e u h o o de q u a t i o n o fg e o m e 砸cp 蝴e t e rc 眦b ed 蒯f i n a u y w eg i 他t h ei d t o 龉t i m a t e p a 衄e t 盯0 ft h ed i s t r i b u t 痂 j i i m p o r t a n tp 毗o f t h ep a p 髓i 8h o w 七oe 8 t i 加础ep 删u 妇o ft h e d i 8 t 曲u t m a 8 t o 出a 8 t i c p r o 墨，五。) i 8 g p l e t ，( ) b e t h e d 蛐o f 叉j ，w h e n ，( ) i 8t m l m o w n ，i no e r t a i n m i i t i o n ，h o wt o 曲瑚眈p 缸a m e t 口o f t h ed i 8 试b u t i i tj 8v e r y1 1 8 e f i l l 叫m n gp m c t i c a lp i o b l 伽n l r t h 彻0 r e t w h 髓 蜀，j b i s t d w eg - 、，et h ei d t oe b t i i n a 七ep a 珊m e t 盯0 ft h e d i 8 c 咖t i o n k q m r d s ：r 衄e w a lp m 嘲，g p m l e ，舶p 1 印1 朗tp r o b l 眦 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包 含为获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留，使用学位论文的规定， 即t 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印，缩印或其他复 制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 可靠性理论是以产品的寿命特征作为主要研究对象的一门综合性和边缘 性学科随着科学技术的进步。各行各业对产品可靠性问题愈来愈重视 可靠性理论最早被研究的领域之一是机器维修问题另个重要的研究 工作是将更新论应用于更换问题此外，在三十年代威布尔( w e i b l l 】1 ) ，龚贝 尔( g u m b e l ) 和爱泼斯坦( e p 鲥n ) 等研究了材料的疲劳寿命同题和有关的 极值理论 可靠性问题本质上是一个工程问题，人类生产的最终目的是要在极大程 度上满足各种不同的需求因此，我们的目标是生产出完美的产品要提高产 品的可靠性，需要在材料，设计，工艺，使用维修等多方面去努力由于可靠 性理论是以产品的寿命特征作为其主要研究艨，这就离不开对产品寿命的 定量分析和比较定量方法是不可缺少的重要工具定量方法提供了分析可靠 性问题的手段。帮助人们洞察失效现象背后的规律，最终也达到改善产品可靠 性的目的 般来说，产品的寿命是个非负的随机变量研究产品寿命的主要数学 工具是概率论在解决可靠性问题中所用到的数学模型大体可以分为两类。概 率模型和统计模型概率模型是指，从系统的结构及部件的寿命分布，修理时 间分布等有关的信息出发，来推断出与系统寿命有关的可靠性数量指标，进一 步可讨论系统的最优设计，使用维修策略等等统计模型是指，从观察数据出 发，对部件或系统的寿命等进行估计，检验等 产品的老化，磨损和失效等都是随机的现象，概率模型可以用来描述这些 现象基于系统的结构，以及部件寿命规律( 通常是随机变量) 的假定，我们 可以用数学模型来定量地描述和分析系统的可靠性性状，各种不同的定量指 北京工业大学理学硕士学位论文 标，如可靠度、可用度等从不同的侧面反映了系统的效能与可靠性这些指标 可以用来评定与比较不同的系统设计 近年来出现了对软件可靠性研究的极大兴趣，并从不同角度进行研究在 应用数学模型作为工具进行研究。试图对软件中故障发生的随机规律，软件 改错过程。软件隐患的总数等进行描述与分析有的从统计角度进行研究，如 收集软件开发过程中的故障数据，进行数据的统计分析以及对软件可靠性作 预测等也有从软件工程的角度进行研究，试图把软件产品的开发，调试，改 错，发行等过程放在个规范的工程化的基础e 进行组织与管理，以期提高软 件的可靠性 在可靠性模型的研究中，点过程理论非常有用对可修系统，我们的目的 是研究个可修系统随时间的运行性能变化于是，系统故障发生的时刻可以 看成时间轴上的一些随机点因而能够用随机点过程来描述对于可修系统的 研究，有几个适合于描述可修系统的随机过程模型t 时齐、非时齐泊松过程模 型及更新过程模型【1 】m ( 1 ) 齐次泊松过程 记 ( t ) = ( 0 ，司中系统故障次数 定义1 1 1 满足如下三条的一个随机过程 ( t ) ：t 0 是齐次泊桧过 程( h o m o g e n 珊p ( d 鹧p r o 嗍) ，记作h p ( a ) ( o ) = o ； ( b ) ( t ) 具有独立增量即对任意n 及不相交的区间h ，m ，i = 1 ，n ，慨) 一 ) 相互独立，l = 1 ，硝 ( c ) 对任意的0 5 t o 是常效，称为过程的强度或发生率 从泊松过程的定义容易知道，它的点闯间距是相互独立的指数分布( 参数 为a ) 的随机变量序列 ( 2 ) 更新过程 更新过程实际上就是把泊松过程点闻间距的指数分布换为一般分布在 考虑机器元件的更换时，更新过程应用非常方便，而且也非常自然更新过程 的定义如下 定义1 1 2 设随机变量噩，恐，独立同分布，共同分布函数为g 且g ( 0 一) = 0 ，记 n 岛= 黾 - l 约定岛= 0 ( t ) = 蚴x 行：岛s t ，t 0 ， 则 ( t ) ：三：o 称作是个更新过程( 简记作r p ) 显然，若把矗看成系统第n 次失效的时刻，失效后瞬时更换成同型系 统，则对固定的t i ( t ) 是( o ，亡】中系统故障次数，它是取非负整数的i 遍机变 量而且易见，若g ( t ) 为参数a 的指数分布时，( t ) 是胛 从更新过程的定义我们可以知道，更新过程用在考虑元件更换时，可以描 述最简单的类更换模型，在。修旧如新”的维修问题中，每次维修看成是一 次更新更新过程在随机模型中的应用，从1 9 3 9 年算起，已经有六十多年的 历史，s m i t h 【l 】和c o x 嘲列举了有关更新过程的理论及其应用的详细的参考 文献 ( 3 ) 非齐次泊松过程 当可修系统的相邻故障间隔星某种趋势时，可用非齐次泊橙过程( n h o _ m o g 瞄e o 岫p o i 8 哪p r o 嗍，简记作n 珏p ) 来描述，它是h p 模型的推广 3 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 1 3 ( t ) ：坨：0 称作个n h p ，若满足定义1 1 中( a ) ，( b ) 及 ( c ) 对任意的0 t 8 。在( s ，t 】中的故障数( s ) 一( t ) 有参数 a ( s ，t ) = fa ( u ) 乱的泊松分布 p ( s ) 一( t ) ：) ：峄e x p 一a ( s t ) ) ，女：o 1 ， 这里a ( 是个非负的函数，称作强度函数 由此可见，般的n 职，相邻故障间隔 置，i = 1 ，2 ，) 既不独立亦不 同分布，而且在同样长度的区间上。平均故障数不仅依赖于区问的长度，还依 赖于区间的起点由于这些特点，它用于描述不是。修旧如新”的可修系统 通常讨论两类最简单的n h p 模型，c 麟模型和、 ，p 模型 1 ) c 模型tc “和l w i 8 ( 1 9 ) 研究了c 雠模型。既失效率函数为 p l ( 功= e 印( 蜘+ a l 。) ，一o o 0 ( 1 2 ) 显然，口 l 时，相邻故障间隔递减，既退化系统 口 t ) 尸( y t ) ， 则我们称x 随机地大于y ，或者说y 随机地小于x ；记作x “y 或 y s l t x 定义l2 2 给定一个离散时间的随机过程 磊，n = 1 ，2 ， ，如果对于 任意的自然数住，都有 磊s i t ( 计) j z 4 l ， 则称 磊，n = 1 ，2 ，) 是个随机递增( 递减) 的随机过程 作为一类非常简单的单调过程。l a m f 3 l q 给出了下面的几何过程的定义 - 6 第1 章绪论 定义1 2 3 个随机过程 五。n = 1 ，2 ， 为一几何过程，如果存在一 实数 o ，使得 矿一1 五。n = 1 ，2 ， 为更新过程实数4 称为n 4 可过程 的比显然 若口 l ，则 墨，n = 1 ，2 ，) 是随机递减的，相应的脯过程称为递减 的几何过程 着o o 1 时关于瓯的极限定理 1 3 几何过程的应用 对可修复系统而育，当构成系统的各部件的寿命分布和失效后维修时间 的分布为指数分布时，只要适当定义系统的状态，这样的系统可以用马尔可夫 过程来描述如果构成系统各部件的寿命和失效后的维修时间不服从指数分 布，这时可以通过补充变量法构造多维马尔可夫过程两部件的串联，并联系 统是典型的可修系统l 鼬和m l n l i z h 衄gf 1 “1 3 】通过 弩造多维马尔可夫 过程进一步研究了两部件的串联，并联系统的可靠性假设系统由两个部件和 一个维修人员组成，开始工作时两部件都是新的，系统部件的连续工作时间来 自一随机下降的几何过程，部件失效后的维修时间来自一随机上升的几何过 程然后在定的假设条件下，增加变量构造多维马尔可夫过程，分析了几项 关心的可靠性指标，如可用度，可靠度、失效率等等 现实生活中，许多系统是退化的，也就是说，随着系统运行时间的增加， 系统的正常工作时间会越来越短，而每次失效后的维修时问会越来越长，从而 我们可以用几何过程来描述系统的运行用一个随机递增的几何过程来描述 系统的失效后维修的时间，用一个随机递减的几何过程来描述系统的工作时 问 对于几何过程的研究，不仅来自实际的经验，而且有实际的数据分析 l 锄【4 】嘲嘲用非参数的方法和参数的方法利用几何过程拟合了三个实际的数 据其中第个数据是矿难数据，记录的是英国在1 8 7 5 至1 9 5 1 年间相邻的 矿难之间的间隔时间；第二个数据是u s s h a l f b e a 】c 第三个主推进柴油机的 8 9 未预约的维修时间数据；第三类数据是u s s g 舳p 岫第四个主推进柴油机 未预约的维修时间数据，后面两个数据都是主推进柴油机维修后的相继运行 时间l 眦【4 】嘲i 明的数据分析结果表明这三个数据都可以用几何过程很好地 拟合l 锄f l q 等分析了更多的数据，并且比较了用几何过程与用泊橙过程及 两个非齐次泊松过程，分析的结果表明，平均而育。几何过程可以比其它的模 型更好地拟合这些数据因此，有理由用个递减的几何过程来描述系统维修 后的工作时间，用个递增几何过程来描述一个系统失效后的维修时问 对于几何过程模型的分析，一般采用如下的步骤- 模型假设一定义状态空问一用补充变量法使该过程变为m d v 过程 一通过概率分析得到不同的等式一用l 印l e 变换求等式的解一求出各种 可靠性指标以及更换策略 对于几何过程的更换问题，也有不少的人研究，人们常常考虑两种更换策 略m - 3 q ，即更换策略t 和更换策略所谓更换策略t 是从系统安装或最 后一次更换开始在系统工作时间达到r 时更换系统的策略所谓更换策略 是从系统安装或最后一次更换开始在系统失效次时更换系统的策略考虑 在更换策略t 和更换策略下的更换问题，导出平均费用率的解析表达式， 找到最优更换策略p 和，并证明了在一定条件下最优更换策略 p 优于 最优更换策略p 在寻求最优更换策略时，主要利用了更新报酬定理更新报酬定理是随机 模型中非常重要的个基本定理 定义1 3 1 设= 川，t o ) 是个普通更新过程，其更新间臣序列是 五。，n = l ，2 ，这些更新间距的共同分布是f 假设每一次更新( 用更新间 距j 0 代表对应的更新) 对应个报酬j k 假定j k ，n 1 是独立同分布的 但r 可以依赖，二元随机变量序列( 墨。，j k ) 是独立同分布的，称之为 更新报酬过程 对于更新报酬过程。我们有下面这个重要的引理( 参见文献【1 l 【5 1 】) 定理1 - 3 1 ( 更新报酬定理 设( ( t ) ，t o 是个更新过程，( 五。，兄1 ) ，n 1 是对应的更新报酬过程，其中是更新间距，而忍是相应的报酬记 ( 时 置( t ) = 取， 着刀啤l 】 ，e 陬】 ，则 ( 1 ) 以概率l ，当t o 。时， r ( t ) e 皿l 】 t e 磁】 ( 2 ) 当t o o 时，墨学一裂 本文的目的是对几何过程的参致估计做进一步的讨论，主要是在杨振海 教授讨论的几何过程的极大似然估计的基础上做进一步的研究如何估计密 度函数对于几何过程( 甄，弱，当几何过程噩的密度函数，( ) 未知时， 给出了估计几何过程密度函数的方法在一定的条件下，如何估计”) ，得蓟 了相应的结论 具体而言，全文内容分四个部分t 第一部分对几何过程的羞本概念以及 应用作了介绍第二部分主要是讨论几何过程的参数估计和参数估计的相关 结论第三部分，先介绍了几何过程参数的极大似然估计的渐近正态性，然后 在杨振海教授所研究的几何过程参数的极大似然估计的基础上做的进步研 究，如何估计密度函数对于几何过程t 而，矗) ，当八l 何过程噩的密度函 数，( ) 未知时，在一定的条件下如何估计，( ) ，得到了相应的结论第四部分 介绍了密度函数估计的新方法，以及存在的难点 第2 章几何过程的统计推断 第2 章几何过程的统计推断 本章主要介绍几何过程的参数估计和参效估计的相关结论( 主要参考文献 【7 2 吲) 对于几何过程 蜀。，n = 1 ，2 ，我们篙要解决的问题有三个。第 一，如何检验个数据符合一个几何过程? 第二，如果数据的确符合几何过 程。如何估计几何过程的三个重要的参数? 第三，参数估计的优良性如何呢? 2 1 几何过程的检验 假设给定了组数据 噩，弱) 。要回答第个问题，我们分两步， 第步，判断数据是否有趋势性的变化实际上使用l a p l a 检验【l l 若观察持续到第t ；个故障出现时结束。n 固定，则得到相邻故障间隔为 第i 次故障的时刻为 则有 噩，五 韪= 乃，j = 1 ，2 ， j = l 假设韪，晶是甲中事件相继发生的时刻。在假设成立的条件下 矿= 何两 志蓦岛一；) 嗍n 仁n ， 第二步，假设数据存在趋势性的变化，检验数据 矗，n = 1 ，2 ， 是否是 几何过程 1 1 北京工业大学理学硬士学位论文 首先定义下面的四个统计t 阢：害生，： 拳，i ：l 2 ， ( 2 1 功 2 “1 簋 以及对一个固定的正整数m k = 五恐m + l 而= 五+ l 恐，件2 - i ， = l ，2 ，m ( 2 1 3 ) 下面的两个定理表明通过用以上的四个统计量能检验数据 ，n = 1 ，2 ， 是否是r i 何过程 定理2 1 1 如果随机过程 矗，n = 1 ，2 ，) 为一几何过程，则 阢，i ； 1 ，2 ，和 ， = l ，2 ，是两个相互独立同分布的随机变量序列 定理2 1 2 如果随机过程 而。，n = l ，2 ，) 为一几何过程，则对任何固定 的正整数m ，以，江1 ，2 ，m 和 巧，l = 1 ，2 ，m ) 是两个相互独立同分布 的随机变量序列 对于以上两个定理的证明可参考l 8 m 【4 】 实际应用时，我们习惯于构造以下四个辅助序列【4 jt ( 8 ) 如果n = 2 m + l 为奇数时，则用 阢， = 1 ，2 ， ， ，i = 1 ，2 ，) ( 2 1 4 ) 或者 噬，i = 1 ，2 ，) ， k ，= 1 ，2 ，) ( 2 1 5 ) ( b ) 如果n = 2 m 为偶数时，则用 阢， = l ，2 ，) ， k ，i = 1 ，2 ，) ( 2 1 6 ) 一1 2 第2 章几何过程的统计推断 这样通过n 的奇偶性，我们可以通过检验序列( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 或( 2 1 6 ) 的 独立性来检验 ，n = 1 ，2 ，) 是否是几何过程为了完成这个检验，令“ 是时间a 的指标函数，要检验一个随机变量序列 ，江1 ，2 ，n ) 是否独立 同分布，可以甩以下的检验【4 】 ( 1 ) 变点检验令 则渐近地有 卜l 嘶= 丑帆一1 ) ( i 铒。一) 删， ，1 1 2 嘞= 一一半) ，( 竿) “2 一叭n 仁 ( 2 ) 符号差检验令 珊= 机，。) ， 则渐近地有 珊= ( 。一孚) ，( 警) ”一帆n 仁， 2 2 几何过程的参数估计 现在假设序列 矗，n = 1 ，2 ，) 的确符合个几何过程，几何过程的比为 令m = 口扣1 墨，i = 1 ，2 ，n ，显然，儡，i = 1 ，2 ，n 是相互独立的随 机变量从而伽m ，i = 1 ，2 ，n ) 也是独立同分布的进一步，令e ( 1 n k ) = y 甜( 1 n m ) = 户，利用线性回归模型，l m ( 1 盼2 b ) f 4 l 求出了，l n 口和f 2 的最 一1 3 一 小二乘估计如下 北京工业大学理学硕士学位论文 吐= 南娄c 鼽一。m 托 驴= 茁。= f 志而砉( n 一瓤+ 1 ) h 墨 f 2 = t ( 1 n 磁) 2 一( 1 1 1 x ；) 2 n 一迈二( n 一班+ 1 ) l n 磁】2 ) ( n 一2 ) = li=1扛=l 则a 的估计为 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) a = 唧( 钟( 2 2 4 ) 令 = f ( 噩) 矿= y 口r ( 噩) ，l m ( 1 9 鸵b ) 【4 】求出了 和口的距估计 牡 拈 y ， 戈 o l ， o = 1 n 一 ( 磁一p ) 2 伽一1 ) ， o l ， 看1 ( 2 2 6 ) ( 噩一戈) 2 ( n 一1 ) ，口= 1 = 1 其中取= a 卜1 甄，多= ；量硗，戈；a 量五 = l# l 关于a ，i ，占的渐近正态性，有如下三个定理( 证明可参考l m ( 1 2 b ) 【4 】) - 定理2 2 1 如果e ( 1 n y ) 2 。则 n ( a o ) + ( 0 ，l 聍r 2 ) 定理2 2 2 ( 1 ) 如果口= l ，e 伍) 2 。则 n ( j 一 ) ( o ，) ( 2 2 8 ) 1 4 第2 章几何过程的统计推断 ( 2 ) 如果口1 ，e ( y ) 2 且e o n y ) 2 ，月 n l 匹一 ) - ( o ，+ 钟确 定理2 2 3 ( 1 ) 如果口= l ，e ( x ) 4 。剐 n i p 一户) ( o ，矿) ( 2 2 1 0 ) 其中t l l 2 = 伍一 ) 2 ； ( 2 ) 如果口l ，e ( y ) 4 o 。一r o ， ( ：) 为任意的连续函数) 所 对应的分布函数族是完备的 证明t 由，0 ) = ，( o ) e 片! 华出可得 加( ：) = c e x p 一后芷孚盟如 = c 哪 一；妒+ j 孑鼍 出) = c 。中 一菁矿+ 口( ；) ) 其中9 ( = ) = 菇掣如 假设q i ( ：) 满足点审( # ) = o ，对任意7 o 月 o ，即 仁北) c 唧伟矿俐) 如- 0 取卢= 1 ，则 ，。矿如_ 0 ，一 等式左边是函数毋( 2 ) o 一( 。) 的双边拉普拉斯变换。由拉氏变换的唯性知 ( 力。一( 。) = 0 ， “摹 2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 由于舻不恒为零所以 令 ( ：) = 0 ， o 8 f = ，：加( z ) = c 唧 一；矿+ 口扛) ) 卢 o ，7 o ， ( ；) 为任意的连续函数 局= ，：加( = ) = c 唧 一 + 口( z ) ) ，卢 o ，7 o ， ( 。) 为任意的连续函数) 由卢的任意性，以及昂c f 知，任意，f ，有 j 劲( z ) = o = 专毋0 ) = 0 m s 证毕 为了以后证明的方便，我们先引进一些记号。令 睨( a ) e l 砺( a ) y 口b ( ) = ( 矿一1 互) ，易 = j 矿w ( z ) ，( ；) 譬 = 伊( 姚) m 出= 铲锵m ( 3 删 = j 铲( z ) ，( 南) 舞= e 0 一- ( z ) = j 0 矸，2 一( 岛) 2 关于几何过程的极大似然估计，杨振海教授得出几何过程参数极大似然 估计的存在性与渐近正态性( 见文献【1 4 | ) 由( z ) 的定义，( 3 2 2 ) 式可变为 耋黜矿1 小- o ， 2 4 和 第3 章 几何过程的极大似然估计 或喜耥喇一。 ( 3 z 4 ) 如果满足以下的条件。记为条件a ( 1 ) 存在正数晟使得 。戮等铲= 热学= o 令锄= 1 + ，嚷= 1 一 ，= 1 ，2 且 y h 的= 耋蔫啬) 一矾) ) n = ，2 ， 引理3 2 1 如果条件a 成立，则有 ，熙肌p y ( n ，) 2o ” ( 3 2 5 ) 引理3 2 2 如果条件a 成立，则有 砉端) 三熙弘 砉秽嗽) 三。亍矿 定理3 2 1 如果条件 成立，则当n 充分大时，方程( 3 2 4 ) 的根颤几乎 处处存在，且有 一1 i = d ( ：) 2 5 北京工业大学理学硬士学位论文 由定理( 3 2 1 ) 知，当几何过程溉的密度函数”) 连续时，几何过程参数 的极大似然估计存在，但是，该估计有仟么好的性质吗? 定理( 3 2 1 ) 不仅说明了几何过程参数。的极大似然估计的存在性。并且 进一步由该定理可得到瓯一l 口 又懿= 鲁，故可得到站一口o 也就是 说由此我们可以得到几何过程参数。的极大似然估计是强相合的 下面是极大似然估计的渐近正态性( 见文献【1 4 】) 定理3 2 2 如果条件a 成立，氐是方程( 3 2 4 ) 的根，且口落在有限区 同时。y h r ( i 矿( a z ) ) 和y 静( ”( 口z ) 都有界，则 讯叫二( o ，黼) 。力 由定理( 3 2 2 ) 可知，关于几何过程参数的极大似然估计，不仅仅对对数 正态分布的几何过程有渐近正态性，其它分布也有这样的性质 饲t 当是一几何过程，五的密度函数，= 旭一h ，则似然函数为 工( 。，x ) ：矗。- 1 ，( 一一i 如) ：疗扩t 汀1 量一4 ， 对数似然函数 l ( 口，x ) = 1 n 工( 口，x ) ：型专也l n 口一入曼扩l q + n l n ， ；j 则有 爰：掣一 妻( 扩毛_ 0 ( 3 2 8 ) = ，2 6 第3 章几何过程的极大似然估计 关= 一塞 + 卸 ) 由( 3 2 8 ) 可得 i = 百! 一， ( 3 2 1 0 ) 驴。1 戤 将( 3 2 1 0 ) 代入( 3 2 9 ) 得 ( 一1 ) 一1 毛= 字扩1 嗣 5 1l = 因此根据样本，可以得到a 的极大似然估计的数值解 我们比较一下定理( 3 1 2 ) 与定理( 3 2 2 ) 可以发现，两个定理的结论是一 致的o 的极大似然估计a 的收敛速度都是t l l ，且定理( 3 1 2 ) 是定理( 3 2 2 ) 的个特殊情况 3 3几何过程密度函数估计 前面讨论的都是假定，已知时，几何过程的比口的极大似然估计a 具有 相合性，渐近正态性现讨论，未知的情况 对任意的概率密度函数，( ) ，对应相应的，令 ，= 彤：w 是通过，定义的，且满足条件田 其中条件a 同上 令瓯( ) 是方程( 3 2 4 ) 的解，令如是真实的密度函数，令 m ( w ) = ( 瓯( ) 一1 ) 2 2 7 北京工业大学理学硕士学位论文 定理3 3 1h 么满足下面条件 m ( i p k ) = i n f m ( ) ，h 则a n ( 矸么) 一l ，b 证明z 令，o 是。- 的密度函数。则= 岽铲，由题意可知， ( 如( 矸么) 一1 ) 2s ( “( 矸，o ) 一1 ) 2 ， 又因为 瓯( ) 一l ，口 所以 如( i 。) 一l ，“8 证毕 由该定理可知，由此确定的i 。能使颤( w ) 一l4 ，即a a od m 因此，由该方法估计的几何过程的比a 具有相合性 通过j l f ( 哪k ) = i n f m ( ) ，我们可以确定矸么，从而，在几何过 程，( ) 未知的情况下，根据我们所确定的w 么，来确定厶( ) 下面我们的问 题就是是否厶( ) 一，o ( ) 或眈一呢? 定理3 3 2 如果j 满足， 当，o 时 毋( - ( ；) ) 局h ( 矸，o ( 力) ，剐 h ( 力一啊b ，口 证明t 假设- ( 。) 一i 巧( z ) i ( 力，口 2 8 - 第3 章几何过程的极大似然估计 对式子砉耥眈( 嚷1 盈) 在o ，o2 1 处嘶展开，得t 妻耥崤1 盈) = 耋耥伍) + _ 1 ) 耋描吆( 盈) + 。- 1 ) ， 由于n l ( 一1 ) 一o ，。则 ( 口，o - 1 ) 耋描吆( 加a 又因为 ，t = 1 ，2 ，) 是相互独立同分布的，则叠考器i ( ) 与耋：5 器- ( 磊) + 耋耥吼( 址川等价 面 砉端啉，+ 言端c 训= 砉耥酬 2 ：若吼 即 ；砉( 盈) 一：娄坼( 动一，一 由强大数定律知，当n o 。时 ：( 盏) 一毋( ( = ) ) ，一 而由的性质知 局b ( i ( z ) ) = 1 又因为，o 时。 句( i ( 。) ) j ( 1 ( z ) ) = l ， 一2 口 北京工业大学理学硕士学位论文 产生矛盾则原假设不成立，即 定理得证 w k ( 力一矸，( = ) = w 矗( 。) ， o 8 3 4 本章小结 本章先介绍了几何过程参数的极大似然估计的渐近正态性，然后在杨振 海教授所研究的几何过程参数的极大似然估计的基础上做的进一步研究，如 何估计密度函数，一般来说，人们往往考虑几何过程五的密度函数”) 已知 的情况，但是，大多数情况下，( ) 往往不知道，当几何过程噩的密度函数 ，( ) 未知时，在一定的条件下如何估计，( ) ，得到了相应的结论 3 0 第4 章进步研究的问题 第4 章进一步研究的问题 4 1 密度函数估计新方法 序列 墨，t = 1 ，2 ，n ) 是相互独立同分布的随机变量，其密度函数，( ) 在很多情况下。密度函数，( ) 未必知道，那么如何去估计分布函数”) 呢? 也是人们很关心的问题 在估计分布函数，( ) 之前，我们必须首先检验序列f 蜀， = l ，2 ，n 是 否相互独立同分布，可以用本文第二章分绍的两种方法去检验 ( 1 ) 变点检验 ( 2 ) 符号差检验 假设通过检验 墨，i = 1 ，2 ，n 是独立同分布的，那么可以将序列 墨， ； 1 ，2 ，n ) 看成是几何参数口= 1 的一个特殊的几何过程，该问题就转化成了 几何过程密度函数估计问题( 其中n = 1 ) 因此。我们仍从方程( 3 2 4 ) 出发， 由于n = 1 。那么我们考虑方程 娄秽( 扩1 班t o 令a ，l ( ) 是方程的解，根据几何过程极大似然估计的强相合性知 瓯( ) 一1 ，d j 令 m ) = ( 瓯( ) 一1 ) 2 ，似1 2 ) 3 1 北京工业大学理学硕士学位论文 通过m ( h k ) = i n f t m ( 聊，形u ，。我们可以确定矸么，根据的定义， 矸与厶( ) 是一对变换的，则由i 。，我们可以确定a ( ) 从而得到了密 度函数的估计 4 2 存在的难点 对于相互独立同分布序列。密度函数估计的新方法中存在以下几个难点- ( 1 ) 从密度函数估计的过程中，我们可以看出。最难的是 所有密度函数 的集合 怎样刻画，给出具俸刻画，才能计算 ( 2 ) 本文考虑的仅仅只是形如u = ：( z ) = 馅口+ 这类线性函数。 除了线性函数外，其它集合怎样刻画呢? 对于引入的变换，除了我们 列出来的性质外，还具有什么样的性质呢? ( 3 ) 假设我们已经知道了 所有密度函数的集合) ，在估计密度函数 时，怎样在 所有密度函数的集合) 中选择? 4 3 本章小结 本章介绍了相互独立同分布序列的密度函数估计的新方法。我们将该序 列看成几何参数口= 1 的个特殊的几何过程，然后进行讨论但是，仍然有 许多的难点没有克服，有待以后研究几何过程研究可修复系统仍有许多工作 要做，还有很长段路要走 一3 2 - 主要结论 主要结论 本文主要是在杨振海教授所研究的几何过程参数的极大似然估计的基础 上做的进步研究，如何估计密度函数，当几何过程墨的密度函数，( ) 未知 时，在定的条件下，关于密度函数估计得到了以下结论， 1 i p k 满足下面条件 m ( i ) = i 丑f m ( ) ，h 则锄( 矸么) 一1 ，d 2 如果u 满足t 当，o 时巧【w r ，o 【力) 昌靠( w 五( 力) ，剜w 五( 力一 i f ，o ( ：) ， 口摹 对于几何过程 噩，五。) ，当几何过程噩的密度函数，( ) 未知时，给 出了估计几何过程密度函数的方法在实际应用中。，( ) 往往不知道，因此 我们讨论了当，( ) 未知时，在一定的条件下。如何确定函数，( ) 。这在实际 应用中很有帮助 t 噩，赫 是相互独立同分布的随机变量，给出了如何估计其密度函数 ，( ) 的思想但仍存在许多难点，有待进步的解决 3 3 北京工业大学理学硬士学位论文 参考文献 1 曹晋华，程佩，可靠性数学引论北京科学出版社，1 9 8 6 2c 傩挑di 舰l ，j 8 ，t h es t a t i s t i c a la l y 萄so fs 既i 箦0 fb 咖t 8 m a t h u 既l o n - d o n 1 9 3l 锄y 如，g e o m e t r i cp r o c e 8 8 a n dr 印1 8 m 印tp r d b l e m a c t am a t h e - m a t i c a p p h c 8 t a t e8 i n i c a ，( 1 9 9 8 ) ，7 7 鹊 4i 舢y 强，n o n p a r 锄e t r i ci n f e 凇f o rg 锄毗r i cp r o 伽8 8 箦c o m 姗s t a t i b - t i c 8 仰呵m e t h ，2 1 ( 7 ) ，2 0 8 3 - 2 加5 ( 1 9 9 2 ) 5l 啪y 曲，s ok u 钰砚觚，s t a t i s t 蹦碰盯e 珊f o rg 眦t r i cp r o c e 嗍 w i t hl c 聊0 f m 8 ld i 8 t 曲u t i o n g 叩1 p u t 8 t i 伽i a ls t 柏t i d 雠aa 】1 a l y s i 8 2 7 ( 1 9 9 8 ) 9 9 - 1 2 2 6l 鼬y e h ，y 幻h t l iz h e n g i 札衄【矗nz h a n g ，s o m el i m i tn r 锄i ng e d - m e t r i cp 嘲a c t am a t h 锄t i c 8 p p h 嘶8 l e8 i n i c a ，( 2 0 0 3 ) ，4 0 5 - 4 1 6 7 张元林，征风泉，吴少敏，两个不同部件并联可修系统的可靠性分析东 南大学学报第2 4 卷第5 期( 1 9 9 4 ) 8 张元林，两部件冷贮备系统的可靠性分析及其最优更换策略高校应用数 学学报第1 0 卷a 辑第1 期( 1 5 ) 9 张元林，几何过程与冷贮备系统分析中央民族大学学报( 自然科学舨) ( 1 9 9 5 ) 1 0l 柚1y 曲a n dz h a gy l ，a a l y 出o fap 盯a l l d 町s t e mw i t ht w od i 】匿唧七 u 妇a c 七am a t h 锄a t i c 印p 】j c a t “t e8 h 峨，( 1 9 9 6 ) ，v 0 1 1 2 4 飘一 参考文献 1 1l 岫y n ，z h u h 凼g ，a l 蛐o f t h ed 8 t 8 丘咖柏鲥惜o f e 咖t 8b y t h e g e 咖蒯cp d d o 嘲m o d d s 1 l b 衄j t t e df o rp u b l i c 娟雠( 1 7 ) 1 2l 衄吼a n d z h a n g y l a n 由出0 f a 钿舢p 伽棚t8 e f i 髑昭8 t e m w i t h ag m e t z i cp r o 嘲m o d e l n g v a lr 启8 鲫曲l 0 9 j 8 虹4 3 4 9 1 - 5 0 2 ( 1 9 ) 1 3l 眦y n ，g m 酏】酏p r o 嗍he i i c y d ep e d i ao fs 蛐i c 8 ls c i 删2 n d e d i t i 吼 1 4z h 吼g h a i y 血g ，h u i y u a d 蛔强y a n g 髓e 眦eo f g 眦拓k p 肛a m t e r 正竹8g m e t r i cp o 嘲u p u 蛐曲e d 1 5y u 缸l i n z h 蛐g ，a no p t i m 8 l g 跚t r i c p 嗍m o d d 幻a c 0 1 d s t 衄d b y r e p a i r 批s y 8 t 锄剐【i a 呲锣e n g i n 哪i n g 缸ds y s t 锄s 姗( 1 9 9 9 ) 1 0 7 - 1 1 0 1 6p o d a r 、，i 8 hi i y d e r i 吼dj p s i n g hj o o r e l ，s t o d 瑚t i cb e h 撕o ro fat w o - u n i tc 0 1 ds t 锄d br e d 珈d 锄ts y 8 l 釉8 u b j 鳅t or a d o m 自l i l l 蛳m i c 舡 e 砒r o nr 启n 8 b ，v 0 1 3 6 2 p p 2 珏2 4 6 ，1 9 9 6 1 7e j m d e r p e w e ，o nt h er e l 讪i h 锣o f 8c o l ds t a n d 蚵s y 丑t 锄a t t e n d e dw a s i n g l em p a 伽m n m i c r o e l e c t mm ! l i j 曲，v 0 1 3 5 m o 1 2 p p 1 5 1 1 1 5 1 3 ，1 9 9 5 1 8 凡s u b r 8 耻l n i 缸a n dv a n 柚t h 8 臆m n ，p r o b & b i l i s t i ca i 吣啊j 8o fa 髓鹏 u n i tc o l ds t 蛐d b yr e d d 缸ts y 8 t 鼬稍t hr 印8 i r m i c r o e l e c t r o nr e l i a b ， v 0 1 3 5 n o 6 p p 1 0 0 1 1 0 眠1 9 9 5 1 9 严志凯，毛惠良，张元林，可修排队系统m m ( m m ) 的几何过程模型东 南大学学报，第2 7 卷第1 期1 7 3 5 北京工业大学理学硕士学位论文 2 0s e r g ey v g u r o va n dl e vv u t 】d n ，c o l ds t a 血曲ys y 8 t e m 而t hj m p e 概t 腿d n o n i i i s t 8 n t a 丑e o t 培8 w i b 吐卜。懈m e d l a n i 鼬m i c e l e c 慨r e l i 曲v o l 3 6 n o 1 0 p p 1 4 2 孓1 4 3 8 ，1 9 2 ll a m 吼，t h er 址eo fo c 饥r 砌磁蹦1 1 l 瀚a “a p p l p b ( 1 7 ) 2 3 垂 2 4 7 2 2v s r m h a r a n 衄dp m o h a n v n d i v l j ，s t o c h 酗t i cb e h a ：v i o ro f & t 僻