（应用数学专业论文）非线性梁振动的无穷维控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 梁结构是现实生活中一种非常常见的结构，对梁系统进行研究既具有意义深 远的理论价值，又具有重要的工程背景和应用价值。梁作为复杂结构中最基本的 单元，由于其特性相对比较简单，所以一直是现代控制理论的研究对象，许多相 关的成果已经在航空航天、机器人学、桥梁建设等方面获得了广阔的应用。 本论文的研究主题是压电复合梁的无穷维逼近控制。首先在不考虑时滞、热 效应等因素的情况下，利用h a m i i t o n 原理建立了压电复合梁的系统模型。其次 采用三种不同的无穷维逼近方法对梁振动进行主动控制。第一种方法是将非线性 l 设计扩展到无穷维情形。梁的系统模型属于非线性无穷维系统的一个特殊类， 即所谓的哈密顿仿射输入系统。利用这类系统的特殊结构和性质，我们将有限维 仿射输入系统的非线性以，设计扩展到无穷维情形。王匕设计是对一个最优问题 的追踪反馈，我们对所考虑的压电梁系统找到了h a m i i t o n j a c o b i i s a a c s 方程 的一个精确解，并在自由系统的某种可观察性假定下，利用算子半群理论及l a s a l l e 不变集原理证明了闭环系统在l y a p u n o v 意义下是稳定的。此外，我们将 p d 控制和模糊p i d 控制这两种方法推广到无穷维空间，并进一步运用到被试验 的压电梁中。最后，模拟结果证明了所设计方法的可行性和有效性。 关键词：哈密顿系统，压电梁，控制，p d 控制，模糊p i d 控制，鲁棒性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eb e a ms t r u c t u r ei sak i n do fv e r yc o m m o ns t m c t u r ei nr e a l i t y r e s e a r c h i n g b e a ms y s t e mn o to n l yh a v es i g n i f i c a n tt h e o r yv a l u eb u ta l s oh a v ev i t a lp r o j e c t b a c k g r o u n da n da p p l i c a b l ev a l u e a st h em o s tb a s i cu n i to ft h ec o m p l i c a t e ds t r u c t u r e ， b e a mi sa l w a y sar e s e a r c ho b j e c to ft h em o d e mc o n t r o lt h e o r yb e c a u s eo fi t sr e l a t i v e l y s i m p l ec h a r a c t e r al o to fr e l e v a n ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e na p p l i e dw i d e l yi nm a n y a s p e c t ss u c ha sa e r o s p a c e ，r o b o t i c s ，b r i d g ec o n s t r u c t i o n t h et h e m eo ft h i sp a p e ri st h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a la p p r o a c hf o rt h ea c t i v e v i b r a t i o nc o n t r o lo fc o m p o s i t ep i e z o e l e c t r i cb e a m a tf i r s t ，w ed e r i v et h em e c h a n i c a l m o d e lo fc o m p o s i t ep i e z o e l e c t r i cb e a mb yh a m i l t o nt h e o r yw i t h o u tc o n s i d e r i n g h y s t e r e s i sp h e n o m e n ao rt h ei n f l u e n c eo ft h e r m a le f f e c t s s e c o n d l yt h r e ed i f f e r e n t c o n t r o ls t r a t e g i e sa r ep r o p o s e d t h ef i r s to n ei sa ne x t e n s i o no ft h en o n l i n e a r 玩 d e s i g nt ot h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a lc a s e t h em a t h e m a t i c a lm o d e lt u r n so u tt ob ea m e m b e ro fas p e c i a lc l a s so fn o n l i n e a ri n f i n i t e d i m e n s i o n a ls y s t e m s ，n a m e l yt h e s o c a l l e dh a m i l t o n i a na f f i n ei n p u ts y s t e m s b yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h es p e c i a l s t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so ft h i sc l a s so fs y s t e m s ，w ea r ea b l et oe x t e n dt h en o n l i n e a r 也d e s i g nf o rf i n i t e d i m e n s i o n a la f f i n ei n p u ts y s t e m st ot h ei n f i n i t e d i m e n s i o n a l c a s e t h e 鼠d e s i g ni st r a c e db a c kt oa no p t i m i z a t i o np r o b l e m w ef i n das o l u t i o n o ft h eh a m i l t o n - j a c o b i - i s a a c se q u a t i o nf o rt h ec o n s i d e r e dm e c h a n i c a lp l a n t u n d e r c e r t a i no b s e r v a b i l i t ya s s u m p t i o n so f t h ef r e es y s t e m ，t h es t a b i l i t yo f t h ec l o s e dl o o pi n t h es e n s eo fl y a p u u o vc a nb ep r o v e db yu s eo fo p e r a t o rh e m i g r o u pt h e o r ya n dl a s a l l ei n v a r i a b l es e tt h e o r y i na d d i t i o n ，w ee x p a n dp dc o n t r o la n df u z z y p i dc o n t r o l t oi n f i n i t e d i m e n s i o n a l ，a n da p p l yt h e mt ot h et e s t e dp i e z o e l e c t r i cb e a m f i n a l l y , s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n dt h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e d d e s i g nm e t h o d s k e yw o r d s ：h a m i l t o ns y s t e m ，p i e z o e l e c t r i cb e a m ，h 。d e s i g n p dc o n t r o l ，f u z z y p i dc o n t r o l ，r o b u s t n e s s 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囱。 学位论文作者签名：勃。刍i 亏消 房形年阳0 日 签名：膨札 硝年月6 日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：痞蝴鱼 日期：啮年也月。目 江苏大学酾：e 学位论文 1 1 振动控制概论 第一章绪论 振动有其有利的一面。利用振动原理可以制成各种振动机械，提高工效。振 动也有它有害的一面。振动是噪声的主要来源，通过基础传向各方；振动影响精 密仪器的功能、降低加工精度、加剧结构的疲劳与磨损、缩短结构与机器的使用 寿命：振动还会引起人体内部器官的振动或共振，从而导致疾病的发生，对人体 造成危害，严重时会影响人的生命安全。振动污染是社会普遍关心的三大污染源 之一，是一种不可忽视的公害。因此，振动控制的发展也就成为社会发展的必然。 通常所说的振动控制实际上是指振动抑制，也就是设法把振动的危害限制到 最小限度或减小到容许的程度。一般说来，振动控制可分四类：主动控制、半主 动控制、被动控制及混合控制。目前，以与主动控制和被动控制相关的研究居多。 被动控制是在结构中布置一些装置以达到隔离、调谐、吸能、耗能、减振的 目的。被动控制根据耗能机理可分为隔振、吸能和耗能三大类，它的主要特点是 不需要外部能源、简单、造价低、性能可靠，但减振效果有限。因此，有效的振 动控制方法主动控制得到了充分的发展。 1 9 7 2 年，j a m e stp 首先提出了结构主动控制的新概念【1 1 。其基本思想是应 用反馈控制，使结构在各种动力载荷下的响应达到人们的要求。用于结构的主动 控制可以分为两大类：模态控制和弹性波控制。其中，弹性波技术是2 0 世纪8 0 年代中后期才发展起来的。 1 1 。1基于模态控制的结构主动控制技术 结构的主动控制技术对挠性结构和细长结构的控制是非常有效的。因此，在 土木工程中的高层建筑【2 1 、桥梁口l 及其他工程领域诸如机器设备【45 1 、空间站等 大型结构 6 】中得到了应用。 就结构振动主动控制技术而言，目前主要有极点配置方法【_ ”、模态控制方法 8 1 、频率响应和时间响应分析方法f 9 】、最优随机控制方法及模态分离方法和并 列式直接速度反馈方法( c d v f b ) f “ 等。其基本原理就是将被控制结构离散化，并 基于模态分析思想，建立状态方程，根据不同的控制思想在反馈回路上调整反馈 江苏大学硕士学位论文 增益矩阵，从而达到减小振动影响的目的。 由于基于模态控制的结构主动控制技术对结构的离散化处理，因此在控制执 行机构的设置及高阶模态的控制上存在一定的问题。早在1 9 7 8 年，b a l a s 1 2 】就认 识到降低控制器设计的阶数对控制溢出的直接影响，这个实际的问题使得控制技 术上的能力难以得到发挥。m e i r o v i t c h l l 3 1 用模态分析的方法研究了连续分布参数 结构的振动控制问题。他们共同得到了执行机构的数量至少要等于被控制模态数 量的结论。b a z 和p o h 1 4 1 指出当执行机构的数量少于被控制模态数量时，出现控 制溢出问题。m a c e i ”1 认为模态控制方法的最大局限性在于：如果要使得大型结 构的振动在较宽的频域范围内得到控制。就必须要考虑较高的模态阶数。 众所周知，在结构振动理论研究及大量的工程计算中，通常要做一些假设， 使得结构系统变成理想系统。但是结构都具备一定程度的不规则性、不确定性、 缺陷或失调。研究表明，结构失调对这些特殊系统的动态特征有显著影响。一旦 结构存在失调，在一定条件下，很小的失调量就会使得结构振动模态产生急剧变 化。这会带来严重后果，有时甚至使鲁棒性能完全丧失，使得控制专家门有必要 对鲁棒控制概念进行重新定义 1 6 1 。 1 1 2 基于弹性波的主动控制技术 科学家们在结构振动的主动控制研究中，认识到模态控制方法的缺陷。积极 探索新的思路来弥补模态控制的缺陷，从而导致了基于声音、振动传播中最基本 的物理本质一弹性波主动控制技术的发展。 在结构振动主动控制技术的研究中，应用弹性波理论研究结构振动问题，并 将弹性波主动控制技术引入到结构振动主动控制技术中始于1 9 8 5 年。h a g e d o m 【i 7 1 和s c h e u r e n 8 】及v o nf l o t o wah 【1 9 , 2 0 1 提出了行波控制概念，m e i r o v i t c hl 【2 l 】和 m a c ebr 巧1 也分别独立推断了基于波传播理论而设计的可能主动控制系统。 与经典的模态控制理论完全不同，弹性波控制的基础基于对波动方程波动解 的分析，即将连续体的运动用波动方程来描述，表示成行波，结构振动被描述成 向各个方向传播的波，振动的主动控制需要控制波幅来控制这些波束的传播和扩 散【15 3 9 , 2 0 1 。而控制器的设计准则是尽可能多地吸收或阻断行波的传播。 因为可用波动方程描述各种边界条件的基本连续体，所以大型复杂结构的振 动问题可以通过将它分解成若干个基本连续体来解决。因此，可以说，弹性波的 江苏大学硕士学位论文 控制尤其适用于大型复杂结构振动主动控制1 2 ”，而且弹性波控制方法不必对结构 进行离散，这从根本上避免了经典模态控制中的高阶模态泄露及模态局部化影 响。对于具有大量弹性模态需要控制的大型柔性结构，这一优点尤为可贵。w h i t e 等 2 3 】报告了在一根薄梁上对弯曲波进行控制的实验，指出这种技术特别适合周期 性干扰输入力。f u l l e r l 2 4 , 2 5 1 用点力输入对梁的弯曲波进行主动控制研究，并推断 只要在主动控制结构中用少量的干扰力，就能够使梁的弯曲振动得到抑制。 由于弹性波主动控制技术的优越性，该项主动控制技术日渐发展，并且已有 不少成果问世，受到国际学术界和工程界的重视。 在基于弹性波的主动控制中，电控制系统普遍使用l m s ( 最小均方) 自适 应滤波算法 2 4 , 2 6 2 9 】。自适应控制系统中反馈系统的时间延迟和传递函数对控制收 敛特性的影响以及最佳收敛系数的确定问题获得了很好的解决 2 8 , 2 9 】。与电控系统 相比，物理系统的发展不如电控制系统完善，但也有了很大的进展【3 0 3 ”。 多种波型的弹性波在研究中得到了一定的开展【3 0 1 32 1 。但是，研究仍然主要 集中在以弯曲波为主 1 4 , 2 0 , 2 t , 2 3 , 2 6 1 的单一波型上，对弹性波中的纵向波【3 3 】和扭转波 【3 0 3 4 】的研究不够深入。目前，振动主动控制的研究对象主要是杆、梁单元以及板 壳单元【3 5 】，这是因为杆、梁、轴等弹性体的特性比较容易理解，而且它们还是许 多复杂结构中最基本的单元。 1 i 3 弹性体控制的研究现状与发展 以前的弹性体控制的一个基本特征，就是弹性体与用来控制它的敏感元件与 执行元件是分离的，这样测量与控制在一般情况下是点控制与点测量，问题就变 为在什么地方安装这些元件和在这种点控制点测量下如何去控制分布参数系统。 随着测量、数据处理、材料科学的进步以及智能材料的出现，可以将敏感材 料铺设在一个弹性体的表面，让它能感受分布在弹性体各处的应变或应力，这样 的方式所得的信息自然要比点测量丰富得多。反过来，把能产生力的作为驱动的 材料集成在弹性体上，根据信号施加具分布式特点的力，这样控制的效果显然要 比点控制为好。无论是这种分布式的测量还是分布式的加力，由于信息量的增加， 在提高性能的同时也带来了研究的困难，而且这种集成了敏感或加力的复合材料 比起各向同性的弹性体或均匀的弹性梁来要复杂许多。材料的复合结构决定了模 型的复杂，而分布式测量与加力，使数学研究以及数据处理都产生了新的困难。 江茄、太学硕士学位论文 在受控的固体力学范围内另一个巨大的变化是智能结构的出现。传统的结构 是根据事先所作的载荷分布的力学分析和需求来决定一个不变的结构。这种设计 思想对于很多活动对象或一些对象突然受到与预期载荷大相径庭的受力状况时 就会出现一种不适应，使一个结构中出现受力的不协调或出现薄弱环节而导致破 坏。采用主动控制技术到建筑结构中以抗震，是智能结构思想的最初萌芽。现今 智能结构已经可以在刚架上实现主动控制将其中一些杆设计成具智能特点，它 既可以承力又可以感知，甚至可以产生力与力矩。用智能材料集成在板与壳中， 使这种结构具自适应性，也可以在板、壳等上面实现主动控制。在新的智能结构 中，不仅可以感知而且可以作力，甚至可以探伤与修复【3 6 】。 新的智能材料与智能结构的出理论研究还很不充分。本论文从实际工程需要 出发，研究压电复合梁这一无穷维分布参数系统，运用数学、力学再加上计算机 作为研究工具，研究控制压电梁弯曲振动的有效控制方法。 1 2 鲁棒控制理论概述 本论文主要以鲁棒控制理论为研究基础，将鲁棒控制中的非线性也控制推 广到广义哈密顿系统，再应用到压电梁振动控制系统中，并研究了系统的鲁棒性。 那么，什么是鲁棒陛? 鲁棒控制的研究背景和应用前景又是怎样的呢? 鲁棒控制方面的研究始于2 0 世纪5 0 年代。所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定( 结构，大小) 的参数摄动下，维系某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，司分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。当被控对象不确定或变化时，仍能在稳 定的状态下运行称稳定鲁棒性；在系统稳定的前提条件下，当被控对象不确定或 变化时，仍能在一定性能指标要求下运行称性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作 为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。由于工况变动、外部干扰以及建 模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致 模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计 一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制。鲁 棒控制主要思想，就是如何设计出一个控制器，使得当一定范围的参数不确定性 及一定限度的未建模动态存在时，闭环系统仍能保持稳定并且满足一定的动态性 能品质。 现代鲁棒控制在很大程度上取决于以下几方面的工作。 现代鲁棒控制在很大程度上取决于以下几方面的工作。 江勘：大学硕士学位论文 ( 1 ) z a m e s 于1 9 6 3 年提出了小增益原理。这一原理为鲁棒稳定性分析奠定 了基础。 ( 2 ) k a l m a n 于1 9 6 4 年证明了单输入单输出系统最优l q 状态反馈律具有 一些很强的鲁棒性，为时域的鲁棒性分析提供了理论基础。 ( 3 ) r o s e n b r o c k 等于1 9 6 9 年提出了著名的i n a 方法( i n v e r s e n y q u i s t a r r a y ) ， 将经典的n y q u i s t 判定定理推广到多输入多输出系统，为多变量系统的频域鲁棒 控制注入了新的思路。 ( 4 ) b e l l e t r u t t i 和m a c f a r l a n e 于1 9 7 1 年提出了多变量系统的完整性问题。 完整性是指多变量系统在某些部件( 如传感器和或执行器) 失效时系统仍能保 持稳定的特性。 ( 5 ) k h a r i t o n o v 于1 9 7 8 年针对区间多项式族，提出由四个区间端点作为系 数的多项式的稳定性来判别区间多项式族的哈氏定理p ”。 ( 6 ) z a m e s 3 8 1 于1 9 8 1 年在其论文中引入h 。范数作为目标函数对系统进行 优化设计，标志着日。控制理论的诞生。 ( 7 ) v i d y a s a g a r 等于1 9 8 2 年提出了同时镇定化问题。这一广义的鲁棒控制 可以解决由于故障或非线性系统在多个工作点的线性化所造成的对象多个模型 描述的镇定问题。 ( 8 ) d o y l e 3 9 1 于19 8 2 年创立了结构奇异值理论( s s v ，s t r u c t u r e ds i n g u l a r v a l u e ) ，又称为理论。由理论产生方法，其关键是将系统的不确定部分和 摄动部分进行关联重构，进而转化为处理块对角有界摄动问题。方法成为判别 鲁棒稳定性和鲁棒性能的强有力的工具。 ( 9 ) d o y l e 4 0 】等于1 9 8 9 年将日。控制问题的求解，以及系统存在不确定性 时的稳定设计，归结为求解控制理论中常见的l y a p u n o v e 方程和r i c c a t t i 方程， 为鲁棒控制设计问题赋予了一个清晰的理论。 基于以上的工作，产生了几类具有代表性的鲁棒控制器设计方法，它们是 i n a 方法、同时镇定、完整性控制器设计、鲁棒。控制、鲁棒p i d 控制以及鲁 棒极点配置、鲁棒观测器等。 针对研究对象所基于的不同模型，系统鲁棒性的研究方法主要有两类，频域 方法和时域方法。当研究对象是从系统的传递函数或传递函数矩阵出发时，常常 江苏大学顿士学位论文 采用频域方法( 代数方法) 。上面提到的1 n a 方法、鲁棒h 。控制、鲁棒p i d 控 制以及鲁棒极点配置方法等在频域方法中都有广泛的应用。频域方法由于其物理 概念清晰，且与经典控制方法有天然的联系，目前在实际工程中得到比时域方法 更为广泛的应用。 1 3 。控制理论 随着鲁棒控制的研究深入，出现了控制系统的综合设计方法一风，控制理论。 这种理论是在8 0 年代中期在多变量系统频域法和鲁棒稳定奇异值分析法基础上 建立起来的新理论，它是基于。最优指标的系统化设计方法，已经形成了目前 解决鲁棒控制问题比较成功和完善的理论体系，且在工程应用研究领域成为引人 关注的课题。 在6 0 年代，被称为现代控制理论的状态空间方法得到了很大的发展，出现 了以k a l m a n - b u o y 滤波器和最优二次调节理论为基础的l q g 反馈设计方法，又 称日，控制方法。然而，由于忽略了对象的不确定，而且对系统存在的干扰信号 作了苛刻的要求，许多现代控制理论成果并未在实际控制系统中取得较好的应 用。比如l q g 设计方法，它需要精确的数学模型，如果系统的数学模型具有不 确定性，l q g 设计就不能保证系统具有鲁棒性。z a m e s 于t 9 8 1 年提出了乒0 控 制器设计方法f 3 8 1 。在假定干扰属于某一已知信号集的情况下，他提出用其相应的 灵敏度函数的h 。范数作为指标，设计目标是在可能发生的最坏干扰下使系统的 误差在这种范数意义下达到极小，从而将干扰问题化为求解使闭环系统稳定，并 使相应的h 。范数指标极小化的输出反馈控制器问题。 1 9 8 7 年b a l l 和c o h e n 把h 。控制的求解问题转化为谱和l ，一谱的分解方法， 从而得到3 个r i c c a t i 方程 4 1 7 。此方法对后来的，一谱的分解法、( ，l ，7 ) 一无损 分解方法的形成和完善产生了重要影响。k i m u r a 4 2 1 等人于1 9 9 1 年采用方向性插 值的方法解决了2 块问题，后来他又提出了共轭化概念，这是( ，j ) 一无损分解 的有力工具。l i m e b e e r l 4 3 】等人于1 9 8 7 年对2 块问题的控制器阶次的上界进行研 究，提出了可得到其状态数不超过广义对象阶次的控制器。k h a r g o n e k a r t 4 4 1 等人 于1 9 8 8 年创立了h 。控制的代数r i c c a t i 方程解法，研究了h 。状态反馈控制问题。 他们将一个具有结构式不确定系统的复稳定半径最大问题转化为某一系统的日。 6 江苏大学硕士学位论文 范数优化问题，获得了。状态反馈控制问题有解的充要条件是一个含有正参数 的代数r i c c a t i 方程具有正定解。这一结果对于日。控制的状态空间解法的形成具 有重要影响。 h 。控制问题的研究在1 9 8 8 年取得了突破性的进展，出现了著名的 “2 一r i c c a t i 方程”的标准h 。控制问题的解法【4 5 j 。具体地说就是只需要求解两 个非耦合的代数r i c c a t i 方程，便可以得到阶次不超过广义对象阶次的h 。控制 器。1 9 8 8 年后，h 控制的纯时域解法出现，比如微分对策方法和极大值原理方 法，这两种方法不但可以处理线性时不变系统的h 。控制问题，而且可以处理时 变系统、非线性系统等的h 。控制问题。d o y l e 和g l o v e r ( 1 9 8 9 ) 【4 0 1 ， k h a r g o n c k a r ( 1 9 8 8 ) 【4 4 等人进一步给出更简单的日。控制器求解的方法，提出状态 反馈。控制问题可通过求解一个代数r i c c a t i 方程来获得。此类方法不仅设计过 程简单，计算量小，而且所求得的控制器阶次较低，结构特征明显。从9 0 年开 始，多目标h 。控制优化问题也引起了人们的关注，b e r n s t e i n 和h a d d a d ( 1 9 8 9 ) h 6 】 等在h 。控制研究中引入了有界实引理，为日。控制的研究提供了新的工具，也 为应用不确定系统二次镇定的r i c c a t i 方程方法来研究不确定系统的鲁棒日。控 制问题提供了可能。 1 9 9 4 年b o y d 等提出了线性矩阵不等式的处理方法。这一方法的好处在于不 仅可以将标准的h 。控制问题和非标准的土乙控制问题统一起来处理，而且它给 出了h 。控制问题所有解的一个参数化表示。这一参数化表示方式的优点在于可 以用其来设计同时具有给定的h 。性能和其他性能要求的多目标控制器【4 7 1 。特别 是s c h e r e r 等人1 9 9 7 年给出了这方面研究的一个相当完善的结果，提出了基于线 性矩阵不等式的多目标输出反馈控制器的设计方法。 z h o u ( 1 9 9 6 ) 等人的专著r o b u s ta n do p t i m a lc o n t r o l ，s k o g e s t a d 和 p o s t l e t h w a i t e ( 1 9 9 6 ) 的专著m u l t i v a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r o l ，标志着日。 控制理论己基本成熟。与此同时，计算机技术的发展为研究日。鲁棒控制器设计 软件包提供了条件。许多软件包相继面世，如美国m a t h w o r k s 公司开发的m a t l a b 软件中的鲁棒控制工具箱；m u s y n 公司开发的i f t o o l s 软件包；i n t e g r a t e d s y s t e m s 公司开发的m a t r i x 软件包及x m a t h 软件包等。这些软件包的研制成功， 江苏大学硕士学位论文 使日。鲁棒控制理论成为真正实用的工程设计理论，应用研究也由计算机仿真开 始走向实际的可行性试验和实时控制实现。最近几年，时变系统、非线性系统、 分布参数系统及离散系统的h 。控制理论的研究也在进一步发展。目前，h 。控 制理论已被应用于交流调速系统、倒立摆系统控制中。日。理论之所以在不到半 个世纪的时间能得到如此蓬勃的发展，在于其具有如下一些优点：1 ) 将经典领 域设计理论具有一定的鲁棒性和现代控制理论状态空间方法适于m i m o 系统的 两个优点融合在一起，给出了在频域中进行回路成形的技术和手段。2 ) 给出了 鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定性的影响，不仅能保证控制 系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指标。3 ) 采用状态空间方法，具有时 域方法精确计算和最优化的优点。4 ) 多种控制问题均可变换为儿，鲁棒控制理论 的标准问题，具有一般性，并适于实际工程应用。相信随着抒。控制理论理论的 不断完善，其有效性必将得到越来越多的证实。 1 4p i d 控制理论及发展 在工业过程控制中，p i d 控制是历史最悠久，生命力最强的控制方式。它是 迄今为止最通用的控制方法。大多数反馈回路用该方法或其较小的变形来控制。 我们今天所熟知的p i d 控制器产生并发展于1 9 1 5 1 9 4 0 年期间。尽管自1 9 4 0 年以来，许多先进控制方法不断推出，但p i d 控制器以其结构简单，对模型误差 具有鲁棒性及易于操作等优点，仍被广泛应用于冶金化工、电力、轻工和机械等 工业过程控制中。据日本电气计测器工业会先进控制动向调查委员会1 9 9 0 年统 计，在品本有9 l 的控制回路采用的是p i d 调节器控制。在美国，据控制工程 杂志编辑k j k k o m p a s s 估计，有9 0 以上的工业控制器采用的是p i d 调节器。 现在我国p i d 调节器的应用也很普遍，据估计：我国过程工业中需要约5 0 万个 p i d 参数自整定控制器。 p i d 调节器的特点是原理简单，适应性强，鲁棒性强，最突出的特点在于它 不依赖对象的精确模型，可以解决工业过程精确建模的困难。而且其应用时期较 长，控制工程师们已经积累了大量的p i d 控制器参数的调节经验。 p i d 调节器的发展经历了液动式、气动式、电动式几个阶段，目前正由模拟 控制器向着数字化、智能化控制器的方向发展。这些数字化、智能化的控制器有 江苏大学硕士学位论文 着传统的模拟控制器所无法比拟的优点，如：可以灵活的改变控制参数，可以灵 活的改变控制策略等。 随着工业的发展和人们对控制品质的要求日益提高，常规p i d 控制的缺陷逐 渐暴露出来。对于时变对象和非线性系统，传统的p i d 控制更是无能为力。人们 在对p i d 应用的同时，也对其进行了各种改进。这主要体现在两个方面：一是对 常规p i d 本身结构的改进，即变结构p i d 控制。另一方面，模糊控制、神经网 络控制和专家控制是目前智能控制中最为活跃的领域，它与常规p i d 控制相结 合，扬长避短，发挥各自的优势，形成所谓智能p i d 控制。这种新型控制器已引 起人们的普遍关注和极大的兴趣，并已得到较为广泛的应用。它具有不依赖系统 精确数学模型的特点，对系统参数变化具有较好的鲁棒性。主要方法有：基于规 则的智能p i d 自学习控制算法、加辨识信号的智能自整定p i d 控制算法、专家 式智能自整定p i d 控制算法、模糊p i d 控制算法、基于神经网络的p i d 控制算 法、自适应p i d 预测智能控制算法和单神经元自适应p i d 智能控制等多种控制 算法h8 1 。目前，智能自动化控制研究中最为活跃且又富有成果的一个领域就是模 糊控制领域。这其中，模糊p i d 控制技术又扮演了十分重要的角色，并且仍将成 为未来研究与应用的重点技术之一。 1 5 研究内容和意义 本论文以压电复合梁为研究对象，在参阅国内外相关文献的基础上，首先介 绍了国内外振动主动控制的概况、鲁棒控制理论、乒乙控制理论、p i d 控制理论 的发展及应用，其次详细地讨论了非线性h 。控制理论。在不考虑时滞、热效应 等因素的情况下，利用h a m i l t o n 原理建立了压电复合梁的状态空间方程，分别 设计了悬臂梁、简支梁的h 。状态反馈控制器，并进行了仿真模拟。利用算子半 群理论及l as a l l e 不变集原理证明其鲁棒性。最后将常规p d 控制及模糊自适应 p i d 控制应用到压电复合梁振动控制中，并进行了数值模拟，结果表明两种方法 都是可行的。 本文研究的创新之处是将非线性。控制理论推广到了无穷维哈密顿空间， 并应用于压电复合梁这一分布参数系统中；将模糊自适应p i d 控制应用到梁振动 控制中。 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 本章简要介绍一些将涉及的基本概念、原理、定理及有关已知结论。 2 1广义p o i s s o n 括号与广义h a m i l t o n 系统 随着科学研究的不断发展以及对非线性系统动力学性质认识的不断深入，大 量的奇数维系统甚至无穷维系统动力学行为有待研究。为使经典的h a m i l t o n 系 统理论能有助于这方面的研究，导致了广义h a m i l t o n 系统概念的产生。 广义h a m i l t o n 系统通过广义p o i s s o n 括号来定义，而广义p o i s s o n 括号就是 去掉非退化条件限制的p o i s s o n 括号。其精确的定义如下： 定义2 1 光滑流形上的广义p o i s s o n 括号是定义在光滑函数空间c 。( m ) 上 的一个运算，该运算使每两个f ，g c 。( m ) 确定c 。( m ) 中的第三个函数 f ，g ， 并满足如下四条性质 ( 1 ) 双线性 卵+ b g ，h ) - a f ，h + b g ，h ( 2 ) 反对称性 f ，g ) = 一 g ，f ) ( 3 ) l e i b n i t z 法则( 求导法则) f g ，h ) = f g ，h ) + g f ，h ( 4 ) j a c o b i 恒等式 f ， g ，h ) ) + g ， ，f ) ) + h ， f ，g = 0 具有广义p o i s s o n 括号结构的流形m ，称为p o i s s o n 流形，记为( m ， j ) ， 简记为m 。 定义2 2 设( m ，“) ) 是一个p o i s s o n 流形，h ：mj 尺是m 上的光滑函数 ( h 也可以是时间f 的函数) 。那么m 上由h 确定的广义h a m i l t o n 向量场昴定 义为：对一切f c 。( 肘) ， 厶f = f ，h ) ( 2 1 ) 函数日称为该向量场的h a m i l t o n 函数。 按照定义2 2 ，广义p o i s s o n 括号 f ，h 就是函数f 沿着向量场厶的方向导 数，于是可以将厶按时间参数t 在局部坐标下表示为 百d x i = x i , 耻喜j o 筹，f = 1 ，m ( 2 2 ) l o 江筇大学硕士学位论文 这就是广义h a m i l t o n 向量场厶确定的流对应的运动方程。 定理2 1 设m 是p o i s s o n 流形，x m 是其中一点。则存在唯一的从余 切空间c 肼到切空间正m 的线性映射l ；：c m 呻t m ，使得对任意函数 h c 。( m ) ，有 l x ( c 埘( x ) ) = 孝( x ) ( 2 3 ) 2 2 哈密顿原理 在本论文中，压电复合梁的运动方程是利用哈密顿原理来建立的。所以下面 首先介绍一下哈密顿原理。哈密顿原理考虑的是介于时间r 。和，：之间一个完整系 统的运动。它是一个积分原理，把动力学问题降低为阶段性的定积分。 考虑一个含有疗个质量为m ：，位于r j 点处，受到合外力只作用的质点系，定 义西是质点的很小的任意虚( 或假想的) 位移。由达朗贝尔原理得出 ”，2 善( 素堋f i r , 划 ( 2 6 ) 这是作用力和惯性力对于任意与系统约束对应的虚位移所要满足的条件。 作用力做的虚功为 6 w = f 哦 ( 2 7 ) 此外 鲁c 知栌鲁丢哦+ 等憎 交换导数和变化算子，得出 生d t 墨? = 6 生d t r jj 这样 ：d s d r , = 占哇1 瓦d ) 2 = 占 圭霄】： 2 o 呸【_ 州2 。哼町1 这里v 是第i 个质点的速度。当将脚，包括在内时 量胛。 将式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) 代入式( 2 8 ) ，整理得 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 10 ) 式( 2 1 0 ) 代表质点动能的变化 江苏大学硕士学位论文 嘉即。= 丢( 知哪叫扣 ( 2 1 1 ) 将式( 2 1 1 ) 乘m ，并把系统中的全部质点求和，得出 和嘉憎= 知鲁c 咿卵 b 目 将式( 2 1 2 ) 和( 2 7 ) 代入式( 2 6 ) ，得 刃十删= 喜m ，j d ，( 万d l 训 ( 2 1 3 ) 系统的瞬时状态由”维空间中 个有代表性的广义坐标值给定。 系统形态随时间的变化会在形态空间中描绘出一个真实的轨迹( 或者动态轨 迹) 。除了这条真实轨迹外，还有这条轨迹的无限数量的假想变化。考虑两个时 刻r 。和f ：，在该时刻处假定院= 0 ，i = 1 ，2 ：也就是，在这两个时刻处动力学轨 迹和该轨迹的所有假想变化重合( 见图2 1 ) 。 哦( ，) = 哦( ，2 ) = 0( 2 1 4 ) 幽2 i 动力学轨迹 将式( 2 1 3 ) 在f 。和t 2 之间积分，得到 p 丁+ 出= 喜m d 蹦 b 根据式( 21 4 ) 的条件，得到 f2 ( 卯+ o w ) d t = 0( 2 1 6 ) 如果假定占是一个来自于势能的功的函数，那么姗，= 一b t ，这样对于一个完 整系统，式( 2 1 6 ) 可写为 占j 2 ( 丁一v ) d t = 0 ( 2 1 7 ) 函数t v 称为系统的拉格朗日函数l 。 式( 2 1 7 ) 是哈密顿原理的数学表达，陈述如下：“坐标在，和f ：之间假想发 生的所有轨迹，即系统通常发生的动力学( 或真实) 轨迹将是这样的，假定轨迹 江嚣犬学硕士学位论文 变化在结束点，。和r ：消失，那么对于该系统而言，f 2 ( r 一矿) 出将有固定的值。， 哈密顿原理是分析力学系统的种常用的、有效的方法。这一方法是把系统 作为一个整体而不是一些离散的个体来考虑。利用这一方法可根据能量和做功得 出运动方程，进而分析动力学问题。 2 3l as a l l e 不变集原理 为了判定一个系统的渐近稳定性，数学上常用的判定定理是l y a p t m o v 稳定 性定理。根据l y a p u n o v 稳定性定理，判定一个系统的渐近稳定性。必须验证 l y a p u n o v 函数v ( x ，r ) 沿系统状态轨迹的严格负定性。但是在实际系统中，所构造 出来的l y a p u n o v 函数往往只满足罢矿( x f ) s o o 而l a s a l l e 不变集原理给出了这 种情况下系统渐近稳定性的个充分条件。 l as a l l e 不变集原理主要依据适当的l y a p u n o v 函数刻画系统运动的极限集 位嚣，从而利用极限集的不变性考察系统运动的渐近特性。为简明起见，以下仅 讨论由定常微分方程描述的系统。 考察非线性系统 面d x = m ) ( 2 ，1 8 ) 这里f ：u 寸r “为连续向量函数且满足局部l i p s e h i t z 条件，u 为r “中含原点的 一个区域，f ( o ) = 0 。 定义2 3 设方程( 2 1 8 ) 的解是x ( ，) ，若存在时间序列 f 。 ，! i m t = m 使得 l i r a x ( t 。) = p ，则称p 是x ( ，) 一个正向极限点。 定义2 4 设mcr ”，若对于任意初始条件x ( o ) = m ，方程( 2 1 8 ) 的解 x ( t ) = ( f ，) ，满足 x ( t ) m ，v f 0( 2 1 9 ) 则称吖是关于系统( 2 1 8 ) 的正向不变集。 显然，对系统( 2 1 8 ) ，平衡点x = 0 是一个不变集。对一般系统，不变集可以 包含一个或几个平衡点，也可是状态空问的一个子集合。 类似地可定义负向极限点和负向不变集。 江苏大学硕士学位论文 定义2 5 若对于任意 0 ，存在t 0 使得 t 已f lj p x ( r ) l l ， ( 2 2 0 ) 则称x ( ，) 随时间，趋向于集合吖，记作：_ j f ( ) 呻m 。 设方程( 2 1 8 ) 的解x ( f ) 对f 0 是有界的，那么根据b o l z a n o w e i e r s t r a s s 致密 性定理，对于任意给定的初始条件x 。= x ( o ) ，存在时间序列0 斗- o 。) ， 使得 l i m z ( ) = ( 2 2 1 ) 即存在f 向极限点z ：与之对应。 令r 表示系统( 2 1 8 ) 所有正向极限点组成的集合( 称为正向极限集) ，n c , n 以证明l + 是有界闭集( 即紧致) f 5 2 1 。 引理2 1 若方程( 2 1 8 ) 的解x ( f ) 对f 20 是有界的，那么正向极限集r 是系 统( 2 1 8 ) 的正向不变集，且 x ( ，) 斗l +( 2 2 2 ) 证明 首先，证明正向极限集的不变性。记方程( 2 1 8 ) 对应于初始条件的 解为x