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文档简介
摘要 加速寿命试验是利用加大试验应力来缩短寿命试验周期的一种寿命试验方 法。它的基本思想是:利用高应力水平下的寿命特征去外推正常应力水平下的寿 命特征。加速寿命试验分为三种基本类型:恒定应力加速寿命试验、步进应力加 速寿命试验和序进应力加速寿命试验。当应力是按一定的周期和幅度进行变化 时,称为循环应力加速寿命试验。由于目前缺乏对这种试验数据的有效的处理方 法,在一定的限制下,近似看成恒定应力加速寿命试验。因此试验结果与实际结 果有一定的差异,有时这种差异是难以被接受的。另一方面,在处理寿命问题的 研究中,由于客观原因,往往不能获得准确的寿命数据咒而只能知道寿命x 是 否位于某一个时间区间内,即得到的数据为区间数据。近年来,对于区间数据的 研究已得到了很大的发展,但是主要是针对恒定应力加速寿命试验的参数估计方 法,对于步进应力加速寿命试验的研究方法并不多见。 本文在总结了加速寿命试验现有的研究方法和研究成果的基础上,做了以下 两个主要工作:其一是针对1 9 9 9 年g u p t a 和k u n d u 提出的广义指数分布,给出 了产品在截尾寿命试验中可靠度的贝叶斯估计,以及在循环应力加速寿命试验中 的统计模型,给出了产品在任何循环序进应力下所承受的循环次数f 的概率分布 为: 只= p ( f = 七) = ( 1 一q k + 1 ) 。- 0 一q k ) 。,k = 0 ,1 ,2 ,t - - , 其中q = e x p 一【a ( u ) d u ) 。在这部分,利用m l e 与l s e 相结合给出了模型中的 参数估计方法并使用数据模拟比较了其与极大似然估计方法的优劣。其二是针对 寿命分布服从对数正态分布,而获得的寿命数据为区间数据的情况,假定产品满 足n e l s o n 提出的累积失效模型,利用时问折算公式及e m 算法给出步进应力加 速寿命试验的模型及参数估计,并且举例说明了在样本数据较多的情况下此估计 方法的有效性。 关键词:加速寿命试验、循环序进应力、广义指数分布、区间数据 a b s t r a c t i nm a n ys i t u a t i o n s ,a n df o rm a n yr e a s o n s ,t i m e t o - f a i l u r ed a t ao fp r o d u c t s ,s y s t e m so r c o m p o n e n t si sv e r yd i f f i c u l tt oo b t a i n g i v e nt h i sd i f f i c u l t y , a n dt h en e e dt oo b s e r v e f a i l u r e so f p r o d u c t s t ob e t t e ru n d e r s t a n dt h e i rf a i l u r em o d e sa n dt h e i rl i f e c h a r a c t e r i s t i c s ,a c c e l e r a t e dl i f et e s t i n gi sag o o dm e t h o dt of o r c et h e s ep r o d u c t st of a i l m o r eq u l c k l yt h a nt h e yw o u l du n d e rn o r m a lu 辩c o n d i t i o n s i tc a nb ec a r r i e do u tb y u s m gc o n s t a n ts t r e s s ,s t e p s t r e s s ,o rp r o g r e s s i v es t r e s s o v e rt h ey e a r s ,t h ep r o b l e mo f a c c e l e r a t e dl i f et e s th a sb e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r s h o w e v e r , t h e r e 眦s t i l ls o m e l i m i t a t i o n s o nt h eo n eh a n d , t h e r ei sal a c ko fe f f e c t i v em e t h o d st oa n a l y z et h el i f e d a t aw h e nt h es t r e s so ft h el i f et e s ti sc i r c u l a r - p r o g r e s s i v es t r e s s o nt h eo t h e rh a n d , w h e nt h et e s tu n i t sa r ei n s p e c t e df o rf a i l u r ei n t e r m i t t e n t l yd u r i n gt h el i f et e s t ,t h ed a t a o b t a i n e di si n t e r v a l c e n s o r e dd a t aa n dc o n s i s to fo n l yt h en u m b e ro ff a i l u r e si nt h e i n s p e c t i n gi n t e r v a l s a l t h o u g hm a n ya u t h o ms t u d i e dt h ei n t e r v a l c e n s o r e dd a t ao ft h e a c c e l e r a t e dl i f et e s tw h e nt h es t r e s si sc o n s t a n t ,t h e r ea r en o ta v a i l a b l em e t h o d st o e s t i m a t et h ep a r a m e t e r si ns t e p - s t r e s ss i t u a t i o n i nt h i sp a p e r , w ed e v e l o pt w om o d e l sb a s e do nt h ee x i s t i n gr e s e a r c hm e t h o d sa n d r e s u l t s f i r s t l y , w ep u tf o r w a r dam o d e lo f t h ea c c e l e r a t e dl i f et e s tw h i c hi sc a r r i c do u t b yc i r c u l a r - p r o g r e s s i v es t r e s sa n dt h el i f ed a t ai su n d e rg e n e r a l i z e de x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o nw h i c hi sp r e s e n t e db yg u p t aa n dk u n d ui n1 9 9 9 a tt h es 锄et i m e t h e b a y e s i a ne s t i m a t i o no ft h er e l i a b i l i t yf u n c t i o nw h e nt h es t r e s si sc o n s t a n ti sg i v e n i n t h i sp a r t ,t h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o no fc i r c u l a rt i m eo fp r o d u c ti s g i v e n m o r e o v e r , w ed e m o n s t r a t et h ee s t i m a t i o np r o c e d u r eb yc o m b i n i n gm l ea n dl s e m e t h o d sa n dc o m p a r ei tw i t ht h em l em e t h o db yas i m u l a t e de x a m p l e s e c o n d l y , w e p r e s e n tas t e p - s t r e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t i n gm o d e lw h e nt h el i f et i m ei sf o l l o w i n g l o g n o r m a ld i s t r i b u t i o na n dt h ef a i l u r ed a t ao b t a i n e di si n t e r v a l - c e n s o r e dd a t a o nt h e a s s u m p t i o no fc u m u l a t i v ee x p o s u r em o d e l ,w em a k eu s eo ft h ee x c h a n g ef o r m u l ao f t i m ea n dt h ee ma l g o r i t h mt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r s k e y w o r d s :a c c e l e r a t e dl i f et e s t , c i r c u l a r - p r o g r e s s i v es t r e s s ,g e n e r a l i z e d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n , i n t e r v a l e e n s o r e dd a t a 第一章绪论 1 1 加速寿命试验 1 1 1 加速寿命试验的研究背景 为了了解产品的寿命分布、估计产品的某些可靠性指标,或者是研究产品的 失效机理,都需要通过寿命试验来完成。这里的寿命试验指的是:从一批产品中 随机抽取一定数量的样品组成一个样本,将此样本放在相同的正常应力水平下进 行试验,观察每个样品第一次失效( 或故障) 发生的时间,也就是寿命,再用统 计方法对这些失效时间进行处理,从而获得我们所需要的这批产品的信息。试验 的方法可以在实际使用条件下进行,也可以将现场使用的主要工作条件在实验室 内模拟,并受人工控制,使得实验室内的参试样品都在与实际使用条件相同的环 境下进行寿命试验。 随着科学技术的发展,出现了许多高可靠性、长寿命的产品,譬如,不少电 子元器件的寿命在正常工作温度4 0 0 c 下可达数百万小时以上,即使进行数十年 试验,也可能没有产品失效或者只有一两个产品失效。另一方面,经济的竞争日 趋激烈,使得产品更新换代的速度越来越快,这就要求人们在较短的时间内获得 产品的质量信息。因此,我们需要改进原有的寿命试验,以便能够在较短的时问 内获得更多的失效产品。加速寿命试验正是适应这种需要孕育产生的。所谓加速 寿命试验是:在保持失效机理不变的条件下,把样本放在比实际使用更严酷的条 件下进行试验,缩短样本失效的时间【1 l 。比如,我们将电子元器件的工作温度由 4 0 0 c 提高到6 0 。c ,甚至是l o o o c ,在一定时间内,只要失效机理不变,由于工 作环境变得恶劣一些,该电子元器件失效的个数会增多,有利于估计高温下的可 靠性指标。那么,在高温下已获得各种可靠性特征量,又如何外推到工作温度下 的可靠性指标呢? 失效物理研究表明,温度与某些可靠性指标( 如平均寿命、中 位寿命等) 之间存在一些关系,妥善地利用这些关系再进行外推就不难了。加速 寿命试验的基本思想是:利用高应力水平下的寿命特征去外推正常应力水平下的 寿命特征。 第一章绪论 1 1 2 加速寿命试验的类型 一、恒定应力加速寿命试验,简称恒加试验。 首先,选取一组加速应力水平,譬如墨,曼,& ,它们都高于正常应力水平 晶,一般还有s l 是 。然后将一定数量的样品分为k 组,第f 组在应力 水平为墨下进行寿命试验,= 1 ,2 ,| j ,试验直到规定的时间( 定时截尾) 或规 定的失效个数发生时( 定数截尾) 结束,如图1 1 1 所示。 图1 1 1 恒加试验示意图( 表示失效) 采用截尾的方式是为了缩短寿命试验的时问,特别是低应力水平下的寿命试 验,这样能更好地发挥加速寿命试验缩短试验时间的优点。这种类型的试验操作 简单,数据处理方法也比较成熟,故经常被采用。在我国恒加试验已广泛应用于 电子、机械等行业中并取得很大成效,并于1 9 8 1 年制定了9 个国家标准,其编 号为g b 2 6 8 9 1 4 8 1 【l 】。 二、步进应力加速寿命试验,简称步加试验。 首先,选取一组加速应力水平墨,岛,墨,且有s 岛 0 。 c 是一个与激活能有关的正常数。 v 是应力,常取电压,且v 0 。 上述关系称为逆幂律模型,它表示产品的某寿命特征是应力1 ,的负次幂函数。 对此模型两边取对数,可将逆幂律模型线性化,即 l n f = a + b l n v 其中口= l n a ,b = 一c ,它们都是待定的参数。 a r r h e n i u s 模型与逆幂律模型是最常用的两个加速模型。它们的线性化可统 第一章绪论 一写成如下形式: 1 n 乒= 口+ 姒回 其中f 是某寿命特征,烈s ) 为应力水平s 的已知函数,如当s 为绝对温度时, 伊( s ) = 1 s ,当s 为电压时,伊( s ) = l n ( 印,上式中的口与b 是待定参数,它们的 估计要从加速寿命试验的数据中获得。 备注1 1 1 :加速试验的方法可以是定性的或是定量的。定性的加速试验( 如 h a l t 、h a s t 、扭折试验或振动和高温试验) 起初只是用来揭示产 品可能的故障模式,使产品工程师可对产品的设计做出改进。定量 的加速寿命实验( o 虹t ) 是用来量化产品的寿命以及为加速寿命 数据分析生成所需数据的。本文所说的加速寿命试验都指的是定量 的加速寿命试验。 备注1 1 2 - 人们把施加在产品上的一些试验条件,即造成产品失效的外部因素, 比如这里的温度,称为应力。通常的应力有电应力( 如电压、电流、 功率) ,热应力( 如温度) ,机械应力( 如振动、摩擦、压力、载荷、 频率) ,湿应力( 如湿度) 等。应力的取值称为应力水平,通常使用 条件下的应力水平称为正常应力水平。把应力加大到超过正常使用 的应力水平,叫做加速应力水平。比如,对于家用电器来说,电压 为2 2 0 v 就是正常应力水平,如果把电压加大到3 0 0 v ,这3 0 0 v 就 是加速应力水平。 6 第一章绪论 1 2 加速寿命试验的主要研究内容及研究现状 1 2 1 加速寿命试验的主要研究内容 加速寿命试验的主要研究内容可以分为试验前的最优设计和试验后的统计 分析。包括:加速寿命试验类型如何选取;加速应力水平或应力函数如何确定; 对于恒加试验,分配到各组的样品比例如何确定,每一组样品的截尾时间或截尾 个数如何确定;步加试验中,决定应力上升的一组时刻或一组失效个数如何确定; 步加或序加试验结束的时间或失效个数如何确定;如何建立加速寿命方程;如何 对加速寿命试验得到的数据进行分析处理等等。从加速寿命试验的研究发展史来 看,统计分析先于最优设计,只有建立起数据处理的统计分析方法之后,才有可 能提出如何估计得更准确的优化问题。 统计分析的任务是将加速应力水平下产品的寿命信息进行加工,估计出加速 寿命方程中的未知参数,再利用该方程外推出正常条件下产品的性能和可靠性指 标。通常的统计分析方法是先获得每组条件下产品寿命分布参数的估计,再利用 g a u s s - - m a r k o v 定理得到加速寿命方程中未知参数的估计,进而外推出正常应力 水平下产品寿命分布中参数的估计。这样的统计分析工作主要是在一定的寿命分 布假定下进行的参数模型。参数模型的统计分析方法比较成熟,精确度也比较高, 已被广泛采用。然而,由于寿命试验资料缺乏,有些产品,特别是新产品,难以 用产品失效机理分析和统计检验方法确定寿命分布类型。因此产生了非参数的统 计分析方法,1 9 7 1 年b a r l o w 和s c h e u u e r 2 首先开始了对非参数统计分析方法的 研究,但是成熟的非参数统计方法并不多见。 在加速寿命试验方法及数据处理获得蓬勃发展的基础上,又提出了加速寿命 的最优设计问题。由于传统的恒定应力加速寿命试验,加速应力水平一般是等间 距的,各应力水平的样品数量一般是等分配的,这样安排的试验有时效果较差。 因此在给定条件( 如应力范围、样品数量等) 下,如何选取应力水平的大小,如何 分配各应力水平下样品的数量,以获得对各种可靠性指标更准确的估计,节省试 验时间和费用,即最优设计问题,成为了实际中需要解决的问题。c h e m o f f 于1 9 6 2 年首先讨论了指数分布场合简单恒加试验的最优设计问题。由于当时对于加速寿 命试验数据的统计分析尚有许多问题没有解决,最优设计问题并未引起人们广泛 7 第一章绪论 的注意。最优设计的研究到七十年代以后才逐步开展起来,m e e k e r 和n e l s o n 等 在w e i b u l l 分布和l o g - n o r m a l 分布场合,对简单恒加试验的最优设计经过多年研 究,得到比较满意的结论。 1 2 2 现阶段加速寿命试验的主要研究成果 加速寿命试验的研究始于6 0 年代,首先发展的是恒加试验数据的统计分析 方法,至今已发展得比较完善。1 9 7 5 年k i e l p i n s k i 和n e l s o n 等人在寿命分布服 从正态分布和对数正态分布的场合下,对于平均寿命的参数估计给出了最优加速 寿命试验设计。同一年,m e e k e r ,w i l l i a m 和n e l s o n 给出了耽曲棚和e x t r e m e 分布下最优加速寿命试验设计。1 9 8 3 年m i l l e r 和n d s o n 3 首先讨论了步加试验的 最优设计问题,他们应用m l e 理论对指数分布场合下简单步加试验完全样本情 形的优化设计问题做了探讨并且得到了相当优美的结论。b a i l 4 5 将m i l l e r 、n e l s o n 得出的结论应用到了寿命数据为定时截尾数据的情形。 恒加试验中,应力水平最低的一组,往往由于其应力水平接近正常应力水平, 试验仍然要经历很长时间,因此步加试验受到人们青睐。步加试验中一个样品失 效一般是几个不同加速应力水平共同作用的结果,如何从这样的失效数据中,分 离出每个加速应力水平下产品的寿命信息,曾是困扰步加试验统计分析的难题。 1 9 8 0 年n e i s o n 6 1 提出了著名的积累损伤模型的假定,即产品的残余寿命仅依赖于 已累积失效的部分和当时的应力水平,而与累积方式无关。由于产品在不同加速 应力水平下的试验时间可以互相折算,从而使步加试验的统计分析取得突破。同 时,n e l s o n 在积累失效模型下,对电缆绝缘材料步加试验的失效数据进行了统计 分析,用极大似然估计( m l e ) 方法,得到了正常应力水平下寿命分布参数的估计。 w e n b i a oz h a o 和a d a mm e t t a s 7 l 等人对w e i b u l l 分布下步加试验模型进行了推广。 在对产品做循环序加试验时,为了方便操作,常常在每个循环周期内对受试 产品做一次失效检测,试验终止后得到的数据是所有已失效的产品经受的循环应 力的次数所表示的离散型数据。事实上,在实际中已大量使用循环应力加速寿命 试验和周期性失效检测。但是由于相应的数学理论尚未建立,只能对数据进行简 单处理。 8 第一章绪论 1 3 本文主要内容 到目前为止,对于加速寿命试验的模型大多都是建立在恒定应力、步进应力 之上的。对于应力是按一定的周期和幅度进行变化的循环应力加速寿命试验的研 究并不多见,一般情况下,这样的试验被近似看成恒定应力加速寿命试验。所得 到的结果与实际结果有一定的差异,有时这种差异是难以被接受的。另一方面, 由于客观原因,往往不能获得准确的寿命数据,而只能知道寿命x 是否位于某 一个时间区间内,即得到的数据为区间截断数据( 简称区间数据) 。g u n n a rk u l l d o r f f 早在1 9 6 1 年对这种区间数据的参数估计就作过研究。而现在区间数据的寿命试 验研究主要是针对寿命数据服从指数分布的恒加试验的,在其它分布场合与步加 应力情形下并没有得到很好的推广。 本文研究的主要内容针对以上提出的两种问题,分为两个部分: 第一部分是基于寿命分布为广义指数分布的循环序进应力加速寿命试验的 模型及统计分析。g u p t a 和k u n d u 9 l 在1 9 9 9 年提出了指数分布的另一种推广,即 广义指数分布,试验证明在某些寿命数据分析过程中,广义指数分布往往比通常 的w e i b u l l 分布、极值分布或者g a m m a 分布更符合产品寿命数据的分布f l o l 。在 这部分,我们首先给出了在恒定应力寿命试验中可靠性的贝叶斯估计,再从寿命 试验的几个基本的假定出发,讨论了产品在服从含有两个参数的广义指数分布的 场合下的循环应力加速寿命试验的模型,采用极大似然估计与最小二乘估计相结 合的数据处理方法,并利用数据模拟技术比较了其与极大似然估计方法的优劣。 第二部分是基于获得的寿命数据为区间数据的步加试验的统计分析。讨论了 在步加试验下获得的是区间数据且当样本寿命数据服从常见的寿命分布函数一 对数正态分布时的情况。针对传统的极大似然估计方法存在解决实际问题的不 足提出了e m 算法,并且利用时间折算公式给出加速方程中参数的估计。在给出 解决问题的具体思路与计算过程的同时,利用数据模拟说明了在大样本场合下该 方法的有效性。 9 第二章广义指数分布场合下的加速寿命试验 2 1 广义指数分布的提出 1 9 9 9 年g u p t a 和k u n d u 在文献【9 】中提出了广义指数分布,它是指数分布的 另一种推广。文中证明了该分布的若干性质,并且讨论了它的极大似然估计及其 渐近性和一些假设检验问题。当随机变量工服从含两个参数的广义指数分布时, 记为x g e ( a ,五) ,石有如下的分布函数: f o a x ;a ,a ) = 【1 一e x l ( 一a 力r ,x o , o t ,五 0 , 以及密度函数: f g a x ;a ,五) = 觎【1 一e x p ( - 3 x ) r e x p ( 一触) ,x o ,口,五 0 , 这里的口和五分别为形状参数和尺度参数的倒数。当口= l 时,广义指数分布 即为指数分布的形式。 关于g e ( a ,a ) 分布的数字特征与特征函数: 数学期望及方差: 1 = e ( x ) = ( ( 口+ 1 ) 一缈( 1 ) ) 盯2 = v a t ( x ) 一嘉叭口+ 1 ) 叫( 1 ) ) 其中,缈( 口) = _ d l o g f ( a ) ,妒, ) = 兰b :盟,r ) 是g a m m a 函数。 d o t口i t 数学期望也可以通过二项级数展开获得, = e x = 署妻j = o 叫口j :1 ) 南t j 十i j 特征函数: e b m :f ( o t + 1 ) f ( 1 - i t a ) r ( a - i t 旯+ n 另外,若有独立随机变量x 与y ,x g e ( a 1 ,五) ,j ,g e ( o t 2 ,旯) ,令 z = m a x ( x ,y ) ,贝0z g e ( o t i + 吒,名) 。 1 0 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 鉴于广义指数分布函数的形式,在分析很多寿命数据时,双参数广义指数分 布往往比双参数g a m m a 分布及双参数w e i b u l l 分布更能有效利用f l o 。 广义指数分布的生存函数( 可靠度) : r g r ( x ;a ,a ) = 1 - 【l e x p ( 一触) r ,x 0 ,口,五 0 , 失效率函数: 僻等甓裟铲o ,刎, 图2 1 1 显示了a = i 时,不同的口的取值对密度函数形状的影响。广义指数 分布的失效率函数随不同的口而上升、下降,或为常数的变化趋势与w e i b u l l 分 布类似。事实上,广义指数分布和w e i b u l l 分布是指数分布不同形式的推广。 2 0 0 0 年g u p t a 和k u n d u d 3 研究了广义指数分布中未知参数的不同估计方法, 并且比较了它们的优劣性。他们又分别于2 0 0 3 年和2 0 0 4 年讨论了判断寿命数据 来自于广义指数分布或w e i b u l l 分布的极大似然比假设检验法 i l l 以及寿命数据来 自于广义指数分布或g a m m a 分布的极大似然比假设检验法【1 2 】。 下面我们从产品的寿命服从双参数广义指数分布的假定出发来讨论产品的 寿命试验。 图2 1 1 广义指数分布的概率密度图( 2 = 1 ) 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 2 2 截尾寿命试验中可靠度的贝叶斯估计 这里我们先讨论双参数广义指数分布下的寿命试验,不管是恒加寿命试验或 者是步加寿命试验,事实上,每个试验的环节都是由寿命试验组成的。而寿命试 验的时间过长会导致费用的增加,有时还会使试验过期而失去作用。所以,为了 缩短寿命试验的时间,经常采用定数截尾寿命试验或定时截尾寿命试验两种。 i 型截尾寿命试验( 定时截尾寿命试验) 将”个样品投入到寿命试验中,依先后记录样品失效的数据,即样品的寿命, 直到指定的时间时立即停止试验,所得到的失效数据为 t 2 0 ,这 时样本中的失效个数m 是随机的。 i i 型截尾寿命试验( 定数截尾寿命试验) 将”个样品投入到寿命试验中,依先后记录样品的寿命,直到指定的失效个 数m ( m 疗) 时立即停止试验,所得到的失效数据为 t 2 0 密度函数为: f o e ( x ;a ,a ) = c 蚬【1 一e x p ( 一_ 膏) r e x p ( 一。杌) ,x o ,c z ,a 0 首先假定参数口和参数免是独立的,且先验分布都服从g a m m a 分布,即 i l i a 的概率密度函数 五的概率密度函数: 口g a ( a i ,6 1 ) ,且一g a ( a 2 ,6 2 ) 删兰( 啪) = 羔护。1 矿和 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 砌) 兰乳( 鹕) = 篙_ 叫p - m 给定定时截尾样本 t 2 0 后,口和a 的似然函数为: l ( a ,a l f ) = 矿兀( 1 - e 一柚) “p 一以【1 一( 1 一e 一以) 4 r = 口”e x p 一枷乏+ 以) ) q ,。e x p 一研以( a ) + 诏( 五) 】) 其中,乏2 去善 q ,= c 一,1 ( 聍j 研 以( a ) = 一e i n ( 1 一p 一以) ,曰( 2 ) = 一l n ( 1 一p 一以) 根据贝叶斯公式,口和a 的联合兔验密度函数为 鼢 因此可以得到: 力2 丽赛 万( 口,五if ) o c 石( 口) 丌( 名) 三( 口,五lf ) 口吨+ 埘一1 旯啦+ “e x p - b 2 彳, 一所a 乏+ 4 ( 旯) ) ( 2 2 1 ) q ,。e x p - a “+ 以( a ) + 谬( a ) 】) 定理2 2 1a 的贝叶斯估计为 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 q ,。e 【a 够,( 五) 】 e ( 2 1 f ) = 等f 一 q ,。f 魄。( 伽 i - - - - 0 其中,仍,( 五) = e x p a m ( 2 ) 6 1 + 4 ( 五) + 值( 2 ) 】一1 ”,e + 表示对于密 度函数为乳( 啦+ m ,岛+ m 乏) 的g a m m a 分布求数学期望。 证明:利用g a m m a 函数,式( 2 2 1 ) 中包含 ! ! 三筹a a 2 + r n - i e - ( 屯+ m 露m :g 。( a 2 + m ,b 2 + 历乏) r ( 儡+ 坍) ”。 因此,整理可以得到 石( 口,h i f ) o c 口q - 1 9 l ( 啦+ 小,b 2 + m 乏) e x p 以( 五) ) 又由于 e ,。e x p 一口 6 l + 4 ( 旯) + b ( a ) 】) s = o ( 2 2 2 ) 芦毪挲兰挈口州一e x p 一口 b l + 以( 五) + 坍( 伽) 出:l ( 2 2 3 ) r ( 口+ ) 所以,五的后验边缘密度函数为: 肛 g 。( 岛+ 掰,6 2 + 所乏) b ,仍,。( a ) 石( 旯lf ) = = ;f 丝l 一 ( 2 2 4 ) q ,。e + 【仍,。( 纠 1 = 0 其中,识,( 力) = e x p 4 ( 力) ) 4 + 以( 五) + 旧( z ) 】柏”,e 表示对于密 度函数为( 玎2 + m ,6 2 + m ) 的g a m m a 分布求期望,即 e + 【纪,。( 五) 】= j 瓯( 吒+ 所,6 2 + 研乏) 仍,。( 兄) d 名 1 4 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 e c 旯f ,= p 万c a i ,d a = 鬻一 定理2 2 2 口的贝叶斯估计为 ( q + m ) q ,e 暾,。( 五) 】 e ( a | f ) = 百了型一 c l 。e 阮,( 五) 】 曲 其中,谚。( z ) = e x p 4 ( a ) ) 暇+ 厶( a ) + 谬( 兄) 】一1 ”“,而仍,( a ) 、e 的定义同定理2 2 1 。 证明:由式( 2 2 2 ) 与式( 2 2 3 ) 可得 c i , m o l l + ”一e x p 一口【“+ 一。( 五) + f 口( 五) 】 万( 口1 名,) = 生三i ( 2 2 5 ) r ( m + 口1 ) c l , m 以+ 以( 五) + 培( 五) 产” 所以,利用式( 2 2 4 ) ,有 e p r ( a :t ,f ) q ,仍,。( a ) 】 万( a i f ) = f 胍p r ( a l 力,f ) 】= i ;j = 生一 ( 2 2 6 ) e i ,e 魄。( z ) 】 又因为 e ( al , t ,f ) = l a t r ( ai , t ,f p ”e x p - a b , + a m ( a ) + i b ( a ) l d o t = = :l :一 r ( q + m ) q ,。【岛+ 以( 名) + 侣( 旯) 】一1 + “ 1 5 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 ( a l + ) c s , m 【6 l + 以( 五) + 诏( 五) 严“ = 百= f 型l 一 q 。 b l + 以( a ) + 馏( 名) 】_ 1 ” l i o 所以,通过交换积分号即可得口的贝叶斯后验估计为 e ( a if ) = i 口石 l ,矽口 p p ( 口lz ,f ) n - m q ,仍,( 五) g 。( a 2 + 删,6 2 + 所) d _ d 口 = :! :l 二- - - - 一 q ,e 【仍,。( 旯) 】 r 卜趼( 口i 五,f ) d 口) 芝q ,纪,。( 五) g 。( 吒+ 埘,6 2 + 埘露) d 五 = ,j :! ! 一 q ,e 仍,( 旯) 】 t l - - m e 【c ,e ( a t1 名,f ) 够,。( 五) 】 e l f ) = 笔- 一 q ,。f 【识,( 旯) 】 l z o ( q + 珊) c l ,e + “( 五) 】 = 1 ;上l 一 - e + 【纯,( a ) 】 定理2 2 3 在时刻t o ,产品可靠度函数民的贝叶斯估计为 q ,。f 【,。( 名,f o ) 】 e ( rl f ) = 1 一号b 一。 q ,。e 【仍,。( 力) 】 i = o 其中, ,。( 名,t o ) = e x p 以( 旯) ) 【6 1 + 以( a ) + b ( a ) + 。材i ( 五) 】- 4 + ”, 坂( a ) 兰一m 1 一p 一鸽) ,而竹,( 五) 、e + 的定义同定理2 2 1 。 证明:产品试验到时间“时的可靠度函数r 为 1 6 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 民( 口,五) = 1 一( 1 一p 一2 。) 4 所以,利用式( 2 2 5 ) ,有 吃h 7 【r 】= 1 一见m f 【( 1 一p 一札) “】 r 1 _ e - , u o ) 4 q 。口1 1 e x p - a b 。+ 以( + 培( 纠 = 1 一二j 三! l i ;一 r 咖+ q ) q ,。 b l + 厶( z ) + 培( 五) 产” ,= o 再次利用式( 2 2 3 ) ,可得 q ,。【6 1 + 以( a ) + 谬( + 坂) 】柏” 正刚_ 1 一五磊丽万q ,。【岛+ 以( 五) + 坩( 研岬 其中, 气( z ) 皇一1 n ( 1 一e 一) 利用式( 2 2 6 ) 可得可靠度的贝叶斯估计为 e ( ri f ) = l 吒石( 口i f 矽口 因此, :堡丝竺塾竺:竺竺:兰:三竺! e ,e + 魄。( 旯) 】 :坐型竺竺n 翌- m 竺型兰:竺:兰m 竺 q ,e 仍,( a ) 】 e ( 民l f ) = e + 【c f 。, 民耽,( 旯) 】 q ,。e 【纪。( 旯) 】 1 7 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 e ,( 五,r 0 ) 】 = 1 一号b 一 q ,f 阮,( a ) 】 备注:定数截尾寿命试验中参数及可靠度的贝叶斯估计类似于以上过程,其中, 口( 兄) = 一i n ( 1 一p 一) 。 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 2 3 循环序进应力加速寿命试验 2 3 1 试验的基本模型 假定1 :记s 是施于被试产品的加速应力,在正常应力水平& 及加速应力水平 s 是 0 , 这里的口a 都是应力水平s 的函数。五与s 之间的加速模型为 a = e x p - ( a + 6 妒( s ”) 假定3 :循环应力s ( t ) 是时间t 的周期函数( 周期为r ) ,在一个周期内,s ( f ) 是非 负递增有界的连续函数。 假定4 :在一定的应力范围内,产品的失效机理保持不变 1 4 1 。 假定s :产品满足累积失效模型,即产品的残余寿命仅依赖于已累积失效的部分 和当时的应力水平,而与累积的方式无关【6 】。 引理2 3 1 在假定2 和假定4 的条件下,一组加速应力水平s 岛 0 ,五= z 岱( f ) ) 是时间的函数。 证明:分割区间【o ,t 】,0 = t o t l t “ t 。= t 。只要分割够细, 我们可以视产品分别在区间p 。,r ,】接受应力水平为墨的恒定应力加 速寿命试验。令季( r ) 兰s ( r 。) 皇墨,一i f t i ,i = 1 ,2 , 。如图2 2 1 所示: 图2 3 1 由引理2 3 1 ,在应力水平s ( t ,) 下,产品寿命分布函数为: f ( f ) = 【1 一e x p ( 一丑f ) r , 这里 = a 心) ,是s “) 的函数,f - 1 ,2 ,n 。 再由引理2 - 3 2 ,应力孓下的产品寿命分布函数为; f ( f ) = f o f “+ t i ) ,r ,1 t t ,i = 1 , 2 ,疗, 其中f ,由下式确定: 第二章 广义指数分布下的加速寿命试验 又因为 所以有 = 0 t 一。= 薯砉( 。一。一,) ,r = z ,圩 五= e x p - ( a + b q o ( s ( t 。) ) ) ) 鼢= 卜。一渺i - i ”,小 t j - l f t ,i = 1 , 2 ,丹 记2 l m 邬a l _ 1 x ( 一,一1 ) ,当- 0 时,即划分无限地细时,一“专0 , 由黎曼积分的定义有 一a ( t ) ( 卜。) 一艺a ( o ) ( o 一。) _ 【五( “) 砒,f ,。 f 而。i ( f ) = 脚 。) = i s = 1 p ) ,所以t ,j _ l i m s ( t当应力水平为s ( f ) 时,有 f ( o = l i m 。f 。( t ) = 1 一e x p ( 一:a ( z ,) c 缸) 4 一 定理2 3 2 :产品在任何循环应力下所承受的循环次数f 的概率分布为: 忍= p ( 善= k ) = ( i - q “1 ) 4 一o q k ) “,七= 0 , i ,2 , 其中g = e x p 一r 名( 甜) 幽 。 证明:产品可以承受k 次( k = 0 , 1 ,2 ,) 循环的概率为: 最= 尸( 善= k ) = p ( k t t ( 七+ 1 ) 丁) = f ( ( 后+ 1 ) 丁) 一f ( k t ) = 1 - e x p ( - :“”7 俐如) h 1 一时r 荆幽) 8 又因为 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 五( f ) = e x p - ( a + 6 烈s ( ,) ) ) , 而s ( t ) 以丁为周期,所以a o ) 也是以t 为周期的周期函数,因此,有 r 7 a ) d u = ( 川) r 旯 ) d u 所以, j :r 旯 ) 幽= 七r 名 ) d u 最= 一州一r 7 砌卜 ,一唧( 一r 砌丁 = 1 - 时脚如,町 - 一 e x p ( 一胁幽町 令g 兰e x p 一r 2 ( “) 如 ,则有 只= ( 1 一目“) “一( 1 一q k ) 4 一 以上定理说明,对某些产品进行循环应力加速寿命试验时,在不改变原来失 效机理的条件下,循环应力的循环周期和变化规律的选取具有很大的任意性,它 不影响导致失效之循环次数分布的分布类型。这对试验仪器设备的要求降低了, 同时把受试样本的连续失效检验换成周期性检验,常常在每个循环周期内对受试 产品做一次失效检测,试验终止后得到的数据是所有已失效的产品经受的循环应 力的次数所表示的离散型数据。在一定程度上给循环应力加速寿命试验的实际操 作带来方便,也大大地减少了试验的工作量。从而使得这种试验方法更易普及和 推广。 2 3 2 试验安排及数据处理 一、试验安排 假设某批产品满足上节提到的五个基本假定条件,现从中随机抽取,1 个,并 第二章广义指数分布下的加速寿命试验 随机分成p 组,第f 组为一个产品,行= 一。再选取p 类循环应力,产品在p 类 循环应力s ( 0 下失效机理不发生改变,其中i - - 1 ,2 ,p 。为简单起见,假定各 应力在一个周期内呈线性变化,第i 类循环应力s o ( f ) 在一个周期内的表达式为 s ( o
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