（应用数学专业论文）非线性标量化函数和几类向量均衡问题及其沟函数.pdf

摘要 标量化方法和沟函数是研究各类向量均衡问题的重要工具，能将向量均衡 问题转化为标量优化问题本文引入了一种非线性标量化函数，讨论了该标量 化函数的一些重要性质，如次可加性、严格单调性和连续性本文以标量化函数 为主要工具分别研究了单值和集值情况下的几类向量均衡问题解的存在性及其 沟函数全文共分四章第一章前言介绍了其他作者的主要工作及均衡问题研 究的进展情况，进而说明均衡问题具有广泛的应用背景和深远的应用前景；在 这一章中我们还回忆了一些预备知识和在本文主要结论中所需的一些引理第 二章引入了非线性标量化函数并讨论了非线性标量化函数的一些基本性质，我 们还给出了均衡问题沟函数的定义第三章以标量化函数为主要工具讨论了单 值情况下几类向量均衡问题解的存在性及其沟函数第四章以标量化函数为主 要工具讨论了集值情况下几类广义向量均衡问题解的存在性及其沟函数 关键词：非线性标量化函数，几类向量均衡问题，解的存在性，沟函数，集 值映射，上半连续性，广义凸性 a b s t r a c t s c a l a r i z a t i o nm e t h o da n dg a pf u n c t i o na x ei m p o r t a n tt o o l si nt h es t u d yo f s o m ev e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h es o l u t i o n so fv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s c a nb ef o u n db ys o l v i n gs c a l a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c ean o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o nf u n c t i o n 。s e v e r a li m p o r t a n tp r o p e r t i e s ，s u c ha s s u b a d d i t i v e n e s s ，s t r i c tm o n o t o n ea n dc o n t i n u i t y , o ft h i sn o n l i n e a rs c a l a x i z a t i o n f u n c t i o na r ee s t a b l i s h e d u s i n gt h es o c a l l e dn o n l i n e a rs c a l a x i z a t i o nf u n c t i o n ，e x - i s t e n c et h e o r e m sa n dg a pf u n c t i o n sf o rs o m ee q u i l i b r i u m sp r o b l e m si nt h ec a s e so f v e c t o r v a l u e da n ds e t v a l u e da x ee s t a b l i s h e d t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s n o ww ew i l ld e s c r i b et h e mb r i e f l yo n eb yo n e i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c em a n yo t h e ra u t h o r s w o r ko ne q u i l i b r i u mp r o b l e m ( e p ) ，a n ds h o wt h a te q u i l i b r i u mt h e o r yh a sb e e na p p l i e dw i d e l y i nt h i sc h a p t e r ， w ea l s or e c a l ls o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a sw h i c hn e e d e di nt h em a i nr e s u l t so f t h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ean o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o nf u n c t i o na n dag a p f u n c t i o no fv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s s e v e r a li m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h i s n o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o nf u n c t i o na r ee s t a b l i s h e d i nc h a p t e r3 ，t h i sn o n l i n e a rs c a l a x i z a t i o nf u n c t i o ni sa p p l i e dt os t u d yt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n dg a pf u n c t i o n sf o rv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，q u a s i v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n di m p l i c i tv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nc h a p t e r4 ，t h i sn o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o nf u n c t i o ni sa p p l i e dt os t u d yt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n dg a pf u n c t i o n sf o rg e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dg e n e r a l i z e dq u a s i v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs c a l a r i z a t i o nf u n c t i o n ，s o m ev e c t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m s ，e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，g a pf u n c t i o n ，s e t v a l u e dm a p p i n g ，u p p e r s e m i c o n t i n u i t y ，g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y 独创性：声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文不包含任何其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：票劫乙红签字日期：2 砷年月知日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后应适用本授权说明) 论文作者签名：关凯红 签字日期：2 葫年月2 0 日聊躲练砷拥 学位论文的主要创新点 一、本文引入了标量化函数，讨论了标量化函数的性质以及标量化函数与 上、下半连续性的关系 二、以标量化函数为主要工具讨论了单值情况下的几类向量均衡问题解的 存在性，包括带强制性条件和不带强制性条件的单值均衡问题；讨论了集值情 况下的几类广义向量均衡问题解的存在性 三、以标量化函数为工具讨论了几类向量均衡问题沟函数 1 1引言 第一章引言及预备知识 如果没有特殊说明，本文始终假设x ，y z 是局部凸的日n 缸s 面r ，拓扑向量 空间k 为x 中的非空闭凸子集，曰cx 和dcz 是两个非空子集集值映 射c ：x 一2 y 满足：对任意的z x ，c 0 ) 是y 中以原点为顶点的真闭凸锥， 且i n t c ( x ) 口，其中i n t s 表示集合占的内部，类似的a s 表示集合s 的边界向量 值映射e ：x y 是来自t 耐g ( ) 的连续选择，即对任意的茹x ，e ( z ) i n t c c x ) q ：e 一2 e 和v ：e 一2 d 是两个集值映射 ，：e e 一冗是给定的实值二元函数所谓标量均衡问题( 简记为e p ) 是：求矿e ，使得 ，( 矿，y ) 0 ，v y e 众所周知，标量均衡问题( e p ) 具有非常广泛的应用背景和深远的应用前景，它 和经济、金融、优化与控制、博弈论、变分不等式和相补问题、算子研究以及工 程力学中的一些非线性分析问题有着很密切的联系近年来，很多作者对标量 均衡问题( e 尸) 作了深入广泛的研究( 请见参考文献【1 9 1 ) 与此同时，该问题已经被推广成如下的几种向量情形： ( 1 ) 给定一个向量值映射，l ：kxk y 所谓向量均衡问题( 简记 为y e 尸) 是：求矿k ，使得 ( 矿，y ) 簪一i m c ( x + ) ， v y k ( 2 ) 给定一个向量值映射，2 ：e d e y 是一个向量值映射所谓拟 向量均衡问题( 简i g 为q v e f ) 是：求矿q ( x + ) 和矿y ( 矿) 使得 五( z + ，y ) 叠一i n t c ( x ) ，v u q ( x + ) ( 3 ) 给定一个向量值映射g ：k k 和向量值二元函数，3 ：k k 一矿所 谓隐向量均衡问题( 简记为，v e p ) 是：求矿k ，使得 厶( g ( z + ) ，y ) 一i m c ( x + ) ，v u k 非线性标量化函数和几类向量均衡问题及其沟函数 ( 4 ) 给定一个集值映射f 1 ：k k 一2 y 所谓广义向量均衡问题( 简记 为g y e p ) 是：求矿k ，使得 f 1 ( 矿，y ) 垡- i n t c ( x ) ， k ( 5 ) 给定一个集值映射f 2 ：e d e 一2 y 所谓广义拟向量均衡问题( 简 记为g q v e p ) 是：求矿q ( 矿) 和矿v ( z ) 使得 易( z + ，y ) 譬一i n t c ( x ) v y q ( z ) 文献 1 0 - 3 1 1 分别研究了向量均衡问题、拟向量均衡问题、广义向量均衡问 题和广义拟向量均衡问题，文献 3 2 - 3 5 研究了隐式向量均衡问题，文献 3 6 - 3 8 在 广义单调性的条件下研究了对偶均衡问题，文献 3 9 - 4 1 1 在广义凸性的条件下研 究了几类均衡问题解的性质：连通性、凸性和闭性，文献 4 2 4 9 1 研究的是几类变 分不等式和均衡问题的沟函数，文献 5 0 、5 1 、5 6 】引入了标量化函数受以上诸 多作者的启发和激励，在本文中，我们以标量化函数为主要工具研究单值和集 值情况下的几类向量均衡问题本文按如下方式组织：第一章前言介绍了其他 作者的主要工作及均衡问题研究的进展情况，进而说明均衡问题具有广泛的应 用背景和深远的应用前景；在这章中我们还回忆了一些预备知识和在本文主 要结论中所需的一些引理第二章引入了非线性标量化函数并讨论了非线性标 量化函数的一些基本性质：次可加性、严格单调性和连续性，我们还给出了均 衡问题沟函数的定义第三章以标量化函数为主要工具讨论了单值情况下几类 向量均衡问题解的存在性及其沟函数第四章以标量化函数为主要工具讨论了 集值情况下几类广义向量均衡问题解的存在性及其沟函数 瞄。； 第一章引言及预备知识 称一个序关系” ”为： ( i ) 反身的，若z z ( i i ) 对称的，若z 玑y z 号。= ! ， ( 嘶) 传递的，若z y ，y z 兮z a 时，有 p e 0 ) 一i n t c ( x ) 进而有 y p e ( z ) 一g ( z ) ( i i ) 对每一个x ，y x ，存在一个实数入r 使得y 隹a ( z ) ( 谢) 设y x 如果对某些a 冗和z x 有y 聋a ( 霉) ，则当p a 且对某些z x ，y a ( z ) 成立我们有 e ( z ) 一y = ( 肛一a ) e ( z ) + a e ( x ) 一y i n t c ( x ) + 口( z ) c i n t c ( z ) 则 y 芦e ( 。) 一i n t c ( x ) cp e ( z ) 一c ( z ) ( i i ) 假设存在x o ，y o x 使得对所有的a r ，有y o g ( 。o ) 由( ) 有，对所 有的a r ， y o a e ( z o ) 一i n t c ( z o ) 则 入e ( z o ) 一y o ：a r ) c i n t c ( z o ) ； 等价地有， 一a e ( 勘) 一y o ：a 冗 ci n t c ( z o ) 第二章非线性标量化函数和沟函数 由引理2 1 3 ，我们有 x = u a e ( 。o ) 一i n t c ( z o ) ：a 舻 o ) ) 因此，对任意的z x ，存在c i n t c ( x o ) 和o l j 矿 0 ) 使得一z = 口e ( x o ) 一c ； 则 z = 一口e ( z o ) + c = ( 一a e ( z o ) 一y o ) + c + y o e i n t c ( x o ) + i n t c ( x o ) + 珈 = y o + i n t c ( 跏) 从而 xcy o + i n t c ( x o ) 这与c ( z o ) x 矛盾 ( 泐) 设对某些入r 和z x 有v 簪a ( 茹) 假若对某些p 0 所以( 毛) i ，从 而 。、( 圳 ( 删) 8 嘞时 0 ) 赢浠。 非线性标量化函数和几类向量均衡问题及其沟函数 另一方面，令 知= s 咖嘶m 。，i 籀 所以对任意的c ( 茁) o ，有a 。若由( 丸e ( z ) ) 0 有( ，e ( 嚣) 一! ，) 0 从而a o e ( ) 一耖g ( z ) ，即f a o e ( x ) 一c ( z ) 由f 的定义有，f ( z ，y ) = m i n x r ：y a e ( x ) 一c ( 茹) ，即 舡渤墨s 咖时i 所以我们有 渤，= s 啦嘶n 。，若揣 对任意的z x ，妒矿( 。) 0 ) ，b ( z ) 是口( z ) 的一个基，则存在a 0 和妒b + ( 。) 使得= a 妒故对任意的z x ， ! 尘! 1 2 ： ! ! ! ：型2 一 i ! ! 1 2 ( ，e ( z ) )( 妒，e ( 。) )( 妒，e ( 。) ) 从而有 s 毗g 嘶m 。，i = s 州0 即： 如m = s 嘶，毒揣 r h 亍：b ( 。) 是弱紧的，从而有f ( 。，) = m d z e 伊( 。) i 络 性质2 1 6 对任意的r 脚。，y x ，以下结论成立 ( i ) ( z ，y ) r ： 口簪r e ( x ) 一e ( z ) ( f ) ( z ，y ) = r 铮y r e ( z ) 一o c ( x ) 第二章非线性标量化函数和沟函数 证明：我们只证明性质( 1 ) 其他的可类似证明事实上， 如，们 r 铮呦嘶，耥 0 ，v c + ( z ) o ) 甘r e ( x ) 一y i m c ( z ) 铮掣r e ( x ) 一i n t o ( z ) 性质2 1 7 设x 是一个局部凸的h a u s d o r f f 拓扑向量空间则对于任何给 定的z x ， ( i ) f ( z ，) 是正齐次的 ( i ) ( 霉，) 是严格单调的，即：如果可1 饥a y 2 ，则 f ，y 1 ) f 0 ，抛) 证明：( i ) 设p 0 ，可x ，我们有 似删= m a x e b ( x ) 揣 一州否 = 陡( z ，) ( i i ) 若可1 h 叼( 。) y 2 ，设r = f ( 毛1 ) 由f ( 卫，1 ) 的定义有 y 2 y l i n t o ( z ) cr e ( x ) 一c ( z ) 一i n t c ( z ) cr e ( z ) 一i n t o ( z ) 由性质2 1 6 ( ) ，可得 f ( z ，耽) r = f ( z ，1 ) 性质2 1 8 对任何固定的z x 和任意的1 ，耽x ， ( t ) f ，玑+ y 2 ) s ( z ，y 1 ) + p ，抛) ； ( i i ) ，y l y 2 ) 0 ，y 1 ) 一( z ，2 ) 非线性标量化函数和几类向量均衡问题及其沟函数 证明： 。) f ( z ，+ 珈) = m n 嚣t e b 睁，1 5 ：；i ；i 静 鲰豫脚，器+ m 徘酬。，吾黼 = ，y 1 ) + f ( z ，抛) ( i i ) 由0 ) 可知 0 ，口1 ) = f ，y l 沈+ y 2 ) ( z ，y l 一珈) + f ( 。，驰) 从而0 ，1 一耽) 0 ，y 1 ) 一f ( $ ，抛) 定理2 1 9设x 是一个局部凸的h a u s d o r f f 拓扑向量空间，c ：x 一2 x 是一个集值映射且对任意的x ，g ( ) 是x 中的真闭凸点锥r i n t c ( x ) 0 设集值映射e ：x x 是i n t o ( ) 的连续选择通过( 善) = x ( - i n t c ( x ) ) 定义 一个集值映射w ：x 一2 x ，其中z x 我们有 ( i ) 如果是上半连续的，则( ，) 在x x j ：是上半连续的； ( i i ) 如果g 是上半连续的，则f ( ，) 在x x 3 ：是下半连续的 证明( i ) 为了证明( ，) 在x x 上是上半连续的，我们只需证明对任意 的r r ，集 a = ( z ，z ) x x ：( z ，o ) r ) 是闭的即可设( 。，) a ，且( 。，z a ) 一( 。o ，z o ) 则我们有f ( 。，气) r ，由性 质2 1 6 ( i i i ) ，有 隹r e ( x 。) 一i n t c ( x 。) 即钰一r e ( x 。) 岳- i n t c ( x 。) ，故z - r e ( x 。) x ( 一i n t c ( x 。) ) = ( ) 由e ( ) 在x 上 是连续的，有( 一r e ( x 。) ，$ 。) 一( z o r e ( x o ) ，z o ) x w 是带有闭值的上 半连续集值映射，由引理1 2 3 ( i i i ) 可知彤是闭的，从而询一r e ( x o ) 彬( z o ) 故z o r e ( x o ) 簪一i n t c ( x o ) ，即知隹r e ( x o ) 一i n t c ( x o ) 由性质2 1 6 ( i i i ) ，可 知，f ( z o ，z o ) r 故4 是闭的，从而( ，) 在x x 上是上半连续的 ( i i ) 为了证明f ( ，) 在xx x 上是下半连续的，我们只需证明对任意的r r ， 集 b = ( z ，z ) x x ：( 茹，z ) r 1 4 第二章非线性标量化函数和沟函数 是闭的即可设( 。，z a ) b ，且( o 。，z a ) 一( x o ，z o ) 则我们有f ( z 。，) r ，由性 质2 1 6 ( i i ) ，有 z a r e ( x a ) 一g ( ) 即一r e ( x 。) 一c ( z 。) 由e ( ) 在x 上是连续的，有( 一r e ( x 。) ，z 。) 一( z o r e ( x o ) ，z o ) 又c 是带有闭值的上半连续映射，由引理1 2 3 ( i i i ) 口- - f 知c 是闭的，从 而z o - r e ( x o ) 一c ( 勋) a p z o r e ( x o ) 一g ( 。o ) ，由性质2 1 6 ( i i ) ，可知，( 。o ，硒) r 故b 是闭的，从而( ，) 在x x 上是下半连续的 2 2 均衡问题的沟函数 沟函数在将均衡问题转换为优化问题中起到非常重要的作用这样求解优 化问题的算法可以应用于均衡问题j u n l i 和z h o n g q u a n h e 在4 3 1 中，研究了 广义向量变分不等式的沟函数并研究了解的存在性，x 固y a n g 和j c y a o 在【4 4 中 研究了集值向量变分不等式的沟函数并研究了解的存在性，j i a n z h o n g z h a n g ， g y c h e n 和x q y a n g 等分别在在 4 5 】、【4 6 】、【4 7 】中研究了变分不等式的对偶沟 函数x q y a n g 在【4 8 中研究了预变分不等式的沟函数，g m a s t r o e n i 在【4 9 】中 研究了一般均衡问题的沟函数，s z 厶等在【5 0 】中研究了广义拟均衡问题的沟函 数本节先给出均衡问题的沟函数的定义，并在第三、四章中分别用标量化函数 研究单值和集值两种情况下的几类向量均衡问题的沟函数 定义2 2 1 如果g ：kcx r 满足以下两条，则9 被称为一类向量均衡问 题的沟函数 ( i ) g ( x ) 0 ，比k ； ( i i ) g ( 矿) = o 的充要条件是矿是这类向量均衡问题的解 第三章单值情况下的几类向量均衡问题及其沟函数 3 1 向量均衡问题及其沟函数 本节我们以标量化函数为主要工具，分别用截口定理和f g k 定理得 到单值情况下的向量均衡问题的解，随后我们给出这种均衡问题的沟函数首 先我们给出单值向量均衡问题的定义 设x ，y 是局部凸的t t a u s d o r f f 拓扑向量空间，耳是x 中的非空闭凸子集， 集值映射g ：k 一2 y 满足如下条件：对任意的z k ，c ( z ) 是y 中以原点 为顶点的闭凸点锥且i n t c ( x ) 0 ，g c ( x ) y 向量值映射e ：x y 是 来自i n t c ( ) 的连续选择，即对任意的z x ，e ( z ) i n t o ( x ) 给定向量值映 射f ：k k y 所谓向量均衡问题( 简记为v e p ) 是：求矿k ，使得对任 意的y k 都有 ，( 矿，口) 岳- i n t c ( x ) 我们首先以截口定理和标量化函数为主要工具研究一类带有强制性条件的 向量均衡问题 定理3 1 1 设映射f ：kx k y 满足下列条件： ( i ) k ，f ( x ，) 关于z 是连续的；v z k ，f ( z ，g ) 关于是仿射的； ( t ) 忱k ，f ( x ，o ) = o ； ( 饿) 集值映射w ：k 一2 y ，v z k ，w ( x ) = y ( - m t g ( z ) ) 和c 均为上半 连续的，且对每一个霉k ，( o ) 是y 中的闭子集； ( 伽) 存在的非空紧凸子集d ，对任意的z k d 都存在! ，d 满 足f ( z ，”) - i n t 0 0 ) 则存在矿k 满足f ( x + ，可) 隹- i n t c ( x ) ，k 证明：我们首先定义一个函数( z ，f ( x ，掣) ) = i n f t r i f ( x ，y ) t e ( x ) 一 d ( 。) ) 令a = ( z ，y ) k k l ( o ，f ( z ，) ) o ) ( i ) 由( i ) 知，k ，f ( x ，z ) = 0 ，所以( 。，( z ，) ) = 0 ，从而( z ，z ) a ( j r j r ) 对任意的。k ，集a 。= 妇g l ( x ，y ) 譬a 是凸的或空的 非线性标量化函数和几类向量均衡问题及其沟函数 假设对任意的z k ，如0 任取啦，y 2 a x ，a 【0 ，1 】，记妒= a y l + ( 1 一 a ) 沈，需证雪a 。由玑a 。，得( z ，f ( x ，玑) ) 0 ，i = 1 ，2 因为- k g 均为上半 连续的，所以( ，) 是连续的，又妇k ，f ( x ，掣) 关于f 是仿射的，从而 ( $ ，( z ，雪) ) = ( z ，( z ，a y l + ( 1 一a ) 珈) ) = ( 茹，a ，( $ ，口1 ) + ( 1 一a ) ，( z ，抛) ) k ，f ( x ，y 1 ) ) + ( 1 一a ) f ( 。，0 ，2 ) ) 0 故口a 。 ( i i i ) 对任意的g ，k ，如= 扛g l ( x ，) a ) 在g e e 是闭的； 事实上，设网 z 。 c 山，且z 。一x o k ，要证z o 因为。如， 故有( z 。，f ( x 。，们) 20 彬c 是上半连续的，从而( ，) 是连续的，又，( z ，口) 关 于z 连续，从而( 跏，f ( x o ，2 ，) ) 0 ，即x o 山 口叻令b = 扛kj ( z ，y ) a ，坳d ，则b 为d 的闭子集， 事实上，若z k d ，由条件( 妇) ，存在y d 满足，( z ，口) - i n t c ( x ) ， 由性质2 1 6 ( f ) ，有( z ，( 茁，) ) 0 这表明：存在y d ，使得( 。，y ) 簪a ，所 以。隹b ，故得bcd ，易见b = n 。d ，而也闭，故b 为d 的闭子集又d 是 紧的，从而b 是紧的，由k y f a n 截口定理可得，存在矿k 使得 矿 kc a ， 即，( z + ，y ) 簪- i n t c ( x + ) ，v y k 以上定理解决的是带有强制性条件的向量均衡问题的解的存在性，定 理3 1 3 以标量化函数和f a n g l i c k s b e r g k a k u t a n i 定理为工具研究了不带强 制性条件下的向量均衡问题为了证明定理3 1 3 ，我们先证明引理3 1 2 引理3 1 2 若对每一个固定的。x ，映射，( z ，) ：y 一，( e ) 都是c ( z ) 一拟 凸的，则函数y f ( 。，f ( x ，) ) 是r + 一拟凸的 证明：对任意的t o r ，设水平集l e v ( t o ) = 伯x ：f ( 。，f ( x ，) ) t o ) 我们只需证水平集l e v ( t o ) 是x 的凸子集即可 事实上，假若y 1 ，抛三e ) ，a 【0 ，l 】 则 ( 。，f ( x ，矾) ) t o ，i = 1 ，2 】8 第三章单值情况下的几类向量均衡问题及其沟函数 r p f ( x ，铫) t o e ( x ) 一a ( 。) ，i = l ，2 设m = 口x