（概率论与数理统计专业论文）关于多维复合风险过程的一些比较结果.pdf

摘要 本篇文章主要研究两不同的多维复合风险过程，若它们的索赔到达 时间和大小满足增凸序相依关系，则可比较出两多维复合风险过程的破 产概率、l u i 】j b e r g 指数的大小关系。 多维复合风险过程破产概率常见有四种定义方式，如j u nc a _ ia n d h a j j u nl i ( 2 0 0 5 ) 所列，第一节考虑的破产指其中每一列的子风险过程 都已破产，直接计算这类破产概率的一般表达形式非常困难，现在此方 面大部分工作普遍转而研究索赔相依类型对破产概率的影响本文研究 索赔大小、到达时间的增凸序相依关系增长对破产大小的影响，并且所 比较两多维复合风险过程在索赔到达时刻、破产时间也具有一定的增凸 序相依关系。接下来考虑破产概率的一种非常简单的定义，将其转为一 维一般的s p a r r ea n d e r s e n 模型情况，当两多维复合风险过程的索赔类 型满足增凸序相依关系时，我们比较它们的有限一l u n b e r g 指数、无限 一l u n b e r g 指数大小关系。 关键词：比较结果增凸序相依关系破产概率破产时间随机序 l u l l b d e r g 指数 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t w om a i t y p e so fc o m p a l r i s o nr e s l l l t so nr u i n p r o b d b i h t i e sa n dl u n d b e r ge x p o n e t sb e t w e e nd i f f b r e n tm u l t i v a u r i a t e c o m p o u n dr i s km o d e l sw h o s ec l a i m sa n d i n t e r 一缸r i v a lt i m e ss a t i s 匆i n - c r e a s i n gc o i e xd e p e n d e n c e 缸eo b t a i l l e dt l l r o u g hs t o c h a l s t i co r d e r s 缸g u i n e n t i nt h em u l t i 咄i a t es e t t i n g i t h e r ea l r ef o u r 娜e so fr u i np r o b a b l i t i e s ，a si nj u nc a ia n dh a j j l l nl i ( 2 0 0 5 ) ，w ef o c u so nt h er u i np r o b a b i l _ i t yt h a te a c hc l a s so fb u s i n e s sw i l lg e tr u i n e di nc h 印t e r1 i ti sv e r y d i m c u l tt oc a l c u l u sg e n e r a le ) 中1 i c i te x p r e s s i o nf o rt h i s 娜er u i np r o b a b i n t y ，s om o s tp a p e ro nt h i sf l e l dt u r nt os t t l d yt h ei n 丑u e n c eo fc l a i m d e p e n d e n c et y p e so nr u i l lp r o b a b i h 够t h i sp a p e rc o m p a r e r u i np r o b a - b i l i t i e sb e t w e e nt w or e l a t e dm 1 1 l t i 、，8 正i a t ec o m p o u n dr i s km o d e l sw h o s e c l a i m sa n di n t e r a r r i v a lt i m e ss a t i s 移i n c r e a s i n gc o n v e xd e p e n d e n c e u s i n gs t o c h a s t i co r d e rm e t h o d s f l l r t h e r m o r et h e i rd i s c r e t es t r u c t u r e a n dr 1 i i nt i m ea l s oh a ec e r t a i ni n c r e a s i n gc o n v e xd e p e n d e n c e f i n a j l y ) t h ep a p e rc o n s i d e rt h es i m p l e s t 七y p eo fr u i np r o b a b i l i t yt h a tc o i l v e r t t h em u l t i v 耵i a t ec a s et om l i v a 旺i a t es p 盯r ea n d e r s e nm o d e l w bg e t t h ec o m p 缸i s o nr e s u l t sa b o u ti 血i l i t e _ a j l d 丘n i t e - t i m el 1 d b e r ge x _ p o n e n t sb e t w e e nt w oc o n v e r t e du n i v a r i a t ep r o c e s sw h e nt h ev 缸i o u s d a i m so ft w op r e 访o u s m l t i v 雒i a t er i s kp r e c e s ss a t i s 匆i i l c r e a l s i n gc o - v e xd e d e n d e n c e k e yw b r d s ：c o m p a r i s o nr e s l l l t p r o b a b i l t 时r u i nt i m e s t o c h a s t i c i n c r e a s i n gc o n v e xd e p e n d e n c e r u i n o r d e r s l u b d e r ge ) ( p o n e n t i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：蒋春梅 2 0 d 6 年芗月巧日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书： 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：离春梅 2 d 以年万月药日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h em o d e la b o u tt h em u l t i v 甜i a t er i s kp r o c e s sh a sb e e nc o n s i d e r e dr e c e t l y 址h o u g ht 妇m a yb eu s e f u lt os t u d yr 血p r o b a b m t y f o ri n s u r a n c ec o m p a n i e sh a n d i n gd e p e n d e n td a s s e so fb u s i n e s s ，g e n _ e r a le x p r e s s i o nf o rr u i np r o b a b i l i t ya n do t h e r s 盯ev e r yd i m c u l tt o o b t a i ne x c e p ts o m es p e c 谢c a s e s ，e g c h a ne t 越 ( 2 0 0 3 ) d i s c u s s e d t h er u i np r o b a b i l i t ya st h ea g g r e g a t ec l a l i mi i le a c hs u b _ p r o t f o l i oi si - d e p e n d e 七，a j l dc a i & l i ( 2 0 0 5 a ) o b t a i n e da ne x p l i c i te x p r e s s i o o f t h e r u i np r o b a b i h t yi nam u l t i r i a t ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lw h o s e c l a i mo fv a f i o u st y p e sf o l l o wam l l l t i v 甜i a t ep h a s et y p ed i s t r i b u t i o n m o s tw o r l 【si nt h em u l t i 吼r i a t es e t t i n ga d o p t e dc o m p 盯i s o n 盯g u m e n t w i t ht h ed e p e n d e n c ea m o n g 、r a r i o u st y p e so fc l a i l s ，e g j u r i ( 2 0 0 2 ) u s e ds u p e r m o d u l a ro r d e rt om o d e lt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r ei nw h i c h t h ec l a i m sc a nb er e p r e s e n t e da st h es 灿a t i o o fd e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s 王叶o s t i g ( 2 0 0 3 ) s t u d i e dt h ee e c to ft h ed e p e n d e n c e 踟丑o n g 缸r i v 蛆s t r e a m so nt h er u i p r o b a b i h t yo ft h ec o m p o u n dp o i s s o s h o c k p r o c e s s y u e n g u o ( 2 0 0 5 ) g 矗et h eu p p e rb o u n d f o rt h er u i np r o b a - b i h 七yv i a 七h ea s s o c i a t i o na n du p p e ro r t h 姐to r d e rp r o p e r t i e so fb i v 甜i - a t ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e l a 此e rt h a t ，c a i l i ( 2 0 0 5 b ) c o m p 盯e d t h r e et y p e so fr u i np r o b a b i h t ya n dp r e s e n t ss o m ec o m p u t a b l eb o u n d s o nt h e mw h e nc l a i ms i z ev e c t o r ss a t i s 匆s u p e r m o d l l l a rd e p e n d e n c e h e r e i n ，w ec o n s i d e ra ni n s l l r a n c eo rm v e s t d l e n tp o r t f o l i ow h i c h c o n s i s t so fm s u b p o r t f o h o s t h ed a i me v e n t so c c l 】ra c c o r 拙gt oa p o i n tp r o c e s sa n dt h ec o m i 工1 9c l a i l i l sf o rd i 日e r e n ts u b - p o r t f o l i o s 甜e u s u a u ys t o c h a s t i cd e p e n d e n t a s s u m et h a t ( t ) d e n o t e st h en u 玎1 b e r 卫b 缸- 0 d u c 亡j o n 2 o fd a i l ne v e 】吐sb yt i m et 0 ， 死i si n t e r - 壮r i 、融t i i n eb e t w e e n 一 1 ) t ha n dm ht y p 町c 1 曲i l s ，a n dc l a i l ns i z eo ft h 百m e v e n ti sw r i t t e na s ：j ，歹 1 ，2 ，m ) 讯t hn n t h em u l t i v 孙i a t ec l a i ms u r p l u s p r o c e s so fms u b p o r t f o l i o si sd e s c r i b e db y 卜。卜。 ( 1 1 ) w h e r e 岛 of o r 歹 1 ，2 ，- 一，m ) a n d ( ，1 ，。) ) 。2 1 i sa s e q u e n c eo fi i d n o n n e g a t i v er a n d o mv e c t o r s ，w h i c hi si d e p e n d e n t o f ( t ) ) t o b u ta 1 1 0 w i n g 墨 1 ，。t ob ed e p e n d e n t i nt h em o d e ia b a v e ，w em a i n l yf o c u so nt w ot y p e so fr u i i lp r o b a b i l i t i e s o ei s 、 矽。( “1 ，让。) = p is u p 曼( t ) + + s m ( 亡) u ) ， t 2 u m 、 ( u = 乱t 心 o i st 1 ei d j t i a lv a l u e 硎t h s u b - p o r t f o l i o ) ( 1 2 ) 洁1 w h i c ht r a n s f o r m s ( 1 1 ) t oa nu n i v a r i a t ec a s e ，a n dm a yb er e s 0 1 、，e d 1 n 】d e rs o m em j 】dc o 玎d j t o n s t b eo t b e rj s ，胁，= p ( 鱼 哿踯p ) ) ( 1 3 ) w h i c hm e a n st h a tt h er u i no c c u r sa tt i m ea l ls u b _ p o r t f o h o sr u i ne v e n - t u a h 矿l e t t ：= i n f t o ：s u p 岛( s ) ，j = 1 ，2 ，m ) s 【0 ，亡1 ( 1 4 ) d e n o t e st h et i m ea tr u i n 0 u rm a i nc o n t r i b u 七i o ni nt h i sp 印e rh a s 如mf o l d s ： c o m p a r i n g ( 1 3 ) a n d ( 1 4 ) o fd i f k r e n tm u l t i v 雅i a 七ep r o c e s sh a i n g i n c r e a s i n gc o n v e xd e p e n d e n c eo fc l a i m sw l l i c hi sg i v e b yt h e o r e m 2 1 ： i 如缸0 d u c 缸。丑 3 c o m p 甜i n gl u n d b e r ge x p o n e t so f ( 1 2 ) b e t w e e nt w oc o r r e l a t e d r e n e w a lr u i nm o d e l sw h i c hi sc o u e c t e di nt h e o r e m3 1 t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o u o w s ：i ns e c t i o n2 ，h o wt h ed 印e n _ d e n c ea m o n g 盯r i v mc l a j mp r o c e s sa n di n t e r - 甜r i v 缸t i m ew o u l d 疆e c t t h er t l i np r o b a b i l i t i e sd 西n e da s ( 1 3 ) i sc o n s i d e r e d s e c t i o n3i sd e v o t e d 七oc o m p a r el u n d b e r ge x p o n e n 七so f ( 1 2 ) b e t w e e nt w oc o r r e l a t e d r e n e w a lr u i nm o d e l 8 c h a p t e r2 d e p e n d e n c ep r o p e r t i e so fm u l t i v a r i a t er u i n p r o b a b i l i t i e s 2 1 p r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nt h i ss e c t i o n ，w ed i s c u s sc e r t a i nd e p e n d e n c ep r o p e r t i e so fm u l _ t i v a r i a t er 血p r o b a b i l i t i e s f i r s t l y ) w e 百v et h ed e 缸i t i o no fi n c r e a s i n g a n dc o n v e xo r d e rb e 栅e e nt w or a n d o mv e c t o r s d e 丑n i t i o n2 1 工e x ：= ( x l ，尥，瓦) 口n d y ：= ( m ，k ，k ) 6 e 锄。几n 出m e 礼s i o 礼o m 礼d o mu e c 亡。倦叫缸危鼻n 讹e 印e c 亡n 抚。礼s 2 硫e n ( o ) xi ss n 磁t o6 ej e s s 饶口佗yi 佗饥c r s i 哪c d 彻既f c o n c o 勘砂d 祀e 7 似e n d t e d6 可x t 。( t 。) y ，铲e ，( x ) e ，( y ) ，o rn “i n c 他口s i 叼 c d 舢e z 托。竹c 口u 砂丘n c 抚d 礼s ，：王p _ rs 珏c 饶口亡沈ee 印e c t 口挽。佗s 盼 i s 拈： ( 6 ) xi ss o 汜t d6 e5 m o j f e 7 铣凸礼y 讯娩eu s 廿谢s t d c o s 既cd 耐e r 口e - 礼d e d6 1 ，x 雠y j 矿p ( x u ) p ( y u ) ，d r 甜ft j p _ p e rs e 拈 u ，叫 e r bu i ss o i 矗d6 e 叩p e r 铲z u 凸佗dz 可i 仃妒f 可t 危n 芒 ”u t h o s es t o c h a s t i co r d e r sd e 矗n e db yd e 6 n i t i o n2 1h a v em a 哪u s e - f u lp r o p e r t i e sa n da p p u c a 七i o n s ，e g t h ef b u o w i n gr e l a t i o n sh o l d ： x i 。( t 。) y 一x e 。( f 。) 一y ； x ny x i 。ya n dx 洄y ( 2 1 ) ( 2 2 ) t h er e a d e r s l i g h tr e f e rt os h a k e d & s h 锄t h i l 【u m 缸( 1 9 9 4 ) ，m i l u e r s t o y a n ( 2 0 0 2 ) a dr e f e r e n c e st h e r e i nf o rm o r ed e t 撕1 s t h ef o u o w i n g p r o p e r t i e so nt h es t o c h a s t i co r d e r sa r e 丘e q u e n t l yu s e di nt 1 1 i sc h 印t e r 4 2 ) e p e 皿d e c ep r o p e 喇e s0 f 皿山伍v a r j 8 t er u i np r o b a 硫胁e s a n dt h en ( tc h a p t e r l e m m a2 1 厶x 彻矗y6 e 叫。札一反m e 礼s i d n o zm 元d d mt j e c t o 粥 i nd 卵凡 抚d 扎2 j j 哺e 佗 ( i ) x t 。yi 唧如e s( x k ，x 工) 洄( y 彤，y l )，d f 口f f k ，lc l ，2 ，n j ( 娩) x t t 。x i 娩t = l ，2i ”印托e s ( x 1 ，x 2 ) 。( y l ，y 2 ) ，伽 e 他 x 1 ix 2 口礼dy 1 ，y 2 口r e 讥d e p e n d e mm n d o m 口e c t d m ，他印e c 而e 幼 ( 娩i ) 矿x t c zy 口礼d9 ：】 p r i so 佗可i 佗c r e 口s 初叼n n dc o n e z 知n c 托d 几，饶e 几9 ( x ) i 。9 ( y ) ，铷九e 他m n l e m m a2 2 l 莳x ，yo n d 6 e 他em n d d m 钉e c t d 倦s 钍c 九搋o t 【x i = 刎l 。( i 。) y i = 印，0 r 讲j 口s t i p p ( e ) 7 巩e 扎x t 。 ( 渤) y l e m m a 2 3 a 鼬甜m e 纳o ( x l ，x 2 ，- ，x m ) 口犯d ( y l ，y j ，y - 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d e n c eo nt h er n i np r o b a b i h t y t h e o r 锄2 1 可x n i k ，冼e 佗厂d ro 则仃d n n 凹口抗口e 扎l ，让2 ，u m ， 2 口e 口秒e 0 0 ( 扎l ，乱2 ，。) 舻二d ( 仳。，“：，u 。) ( 2 3 ) p r o o f w 色o n l yt os h o wt h ec a s e ( ) = 礼( t ) ，t o w i t h o u t 1 e s s g e n e r a l i t y w ea s 8 u m et h a t x 。，礼1 】a n d y 。，n 1 】a l r e i d 印e n d e n t t h e nf o r 缸e dp o s i t i v ei n t e g e r 后，s e t z n = 几忌； n 忍 ( 2 4 ) d e n o t e d 矽磊( l ，t 正2 ，他) b yt h er u i np r o b a b i l i t yi nt h em u l t i v a r i a t e 。o i n p o u n d e dr i s km o d e l 谢t ht h ec l a i me v e n ta 棚v a l p r o c e s s ( ) ) 垃o ， p 。e m i u m sr a t e s 岛f o r 歹( 1 ，2 ，一，m ) ，i i l i t i 柏r e s e r v e s w i t h 歹 l ，2 ，m ) a n dt h ec l a j ms i z ev e c t o r z n ) 。1 a 】s ow el e t s ：= s ；：= ( 趵 硝一岛t ，j 1 ，2 ， j = 1 ( t ) ，m ) ； m 厂脯j 凫t h e n s u p o 兰t 乱。)s o ，观 一，嚣碟 乱。)s o ，t 】， o r o t h a ts h o w s e ( 五一t ) + e ( 死一t ) + f o ra ut o ，w eo b t a i n 正 i 。， 死t h u sw ec o m p l e t et h ep r o o fo ft h ec o r o 】l 躲y l no r d e rt oc o m p a r em u l t i v a d a t er i s k p r o c e s s e sw i t hd i & r e n t i n t e r 缸r i 、，a lt i m ea dc l a 卣嘲w bn e e dt oi t r o d u c et h e f o u o w i n gd e 丘- n j t i o no nd e p e n d e n c ef o rs t o c h a s t i cp r o c e s s e s l e tk = ( ) k ra 肛d l = 仁( t ) k 山et w or e a l - 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