（概率论与数理统计专业论文）基于比例风险模型对房屋抵押贷款数据的分析.pdf

删嬲必 u n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yo fc h i n a adi s s e r t a t i o nf o rm a s t e r sd e g r e e m o r t g a g ed a t aa n a l y s i sb a s e d o rp np o r t i =a lhmn p r o p o r t i o n aa z a r d sm o d e i i a u t h o r sn a m e ：y i w e iw a n g s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l i t yt h e o r y & m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f s h u g u a n gz h a n g f i n i s h e dt i m e ： a p r i l8 ，2 011 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所早交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究t 作所取得的成果。除已 特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我 一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：焯 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学位论 文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相 一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 归公开 口保密( 年) 作者签名：互啦 导师签名 签字日期： 遗q i f ：王 签字日期 摘要 摘要 随着经济的发展和人们对住房需求的不断增加，世界各国的房屋抵押贷款 市场都得到了迅速发展。而房屋抵押贷款的证券化已成为了一种趋势，在此过 程中产生了一种利率衍生证券，即住房抵押贷款证券( m b s ) 。但是由于住房抵押 贷款的抵押物流动性和变现能力差，存在着大量的风险，因此对房屋抵押贷款 的研究有着极为重要的现实意义。 本文就是在这样的背景下，通过对房屋抵押贷款的现金流分析，指出违约 和提前赎回是研究抵押贷款风险的两个重要因素，并对它们进行建模和实证分 析。 第一章引言中介绍了房屋抵押贷款和房屋抵押贷款证券化的概念和发展， 指出了本文产生的背景和研究意义。 第二章通过对房屋抵押贷款现金流的简要分析，指出违约风险和提i j 赎回 风险是住房抵押贷款中最重要的两种风险。分析违约和提前赎回的影响因素， 并介绍了对违约和提前赎回估计的研究现状。 第三章对目前常用的c o x 比例风险模型及其参数和生存函数的估计进行介 绍。将数据中借款人的还款过程看作是一个生存过程，对违约率和提前赎回率 进行建模。 第四章对数据进行整理和修正，按照借款人不同的借款目的分组进行建模， 估计违约率和提前赎回率，用s a s 编程得到结果并用k 近邻法进行修正。 研究结果表明：失业率，当前利率，贷款利率，利率变化以及贷款价值比 ( l t v ) 都是影响住房抵押贷款违约的主要因素。违约率与失业率，贷款利率， 贷款价值比有着正相关的关系。 关键词：房屋抵押贷款违约提前赎回比例风险模型风险函数 l a b s t r a ( 了r a b s t r a c t t h em o r t g a g em a r k e th a sd e v e l o p e dr a p i d l yw i t ht h ed e v e l o p m e n to fe c o n o m y a n dt h eg r o w i n gn e e df o rh o u s i n g t h e r ei sa g r o w i n gt e n d e n c yo fm o r t g a g e - b a c k e d s e c u r i t i z a t i o n , a n dd u r i n gt h i sp r o c e s san e wk i n do fi n t e r e s tr a t ed e r i v a t i v e c a l l e d m o r t g a g e - b a c k e ds e c u r i t yi sc o m i n gi n t ob e i n g n e v e r t h e l e s s ，t h em o r t g a g ei sn o t o n l yl i m i t e di nl i q u i d i t ya n dc a s h a b i l i t y , b u ta l s oh a sm a n yv e n t u r e s ，s ot h es t u d yo f m o r t g a g ep l a y sa v i t a lr o l e u n d e rt h i sb a c k g r o u n d ，t h i sa r t i c l ee s t a b l i s h e sm o d e l so ft h ep r o b a b i l i t yo f d e f a u l ta n dp r e p a y m e n t ，w h i c ha r ek e yf a c t o r si nm o r t g a g er i s k t h ef i r s tc h a p t e ri sa b o u tt h ec o n c e p t i o na n dd e v e l o p m e n to fm o r t g a g ea n d m o r t g a g e b a c k e ds e c u r i t y , a n di n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h e p a p e r t h es e c o n dc h a p t e rg i v e sab r i e fd e s c r i p t i o no fm b s sc a s hf l o wa n de x p l a i n s d e f a u l ta n dp r e p a y m e n ta rec o m m o na n di m p o r t a n th a z a r df a c t o r s i ta l s oa n a l y s i s i n f l u e n c i n gf a c t o r so fd e f a u l ta n dp r e p a y m e n ta n dt h e nl i s t ss o m es i g n i f i c a n tr e s u l t s 川“u r v 上，“，“v - - v o “- “1 , 1 1 u - j t h et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e st h ee x i s t e n tc o x p r o p o r t i o n a lh a z a r d sm o d e la n d i t sp a r a m e t e re s t i m a t i o n t h em o r t g a g ec a nb ev i e w e da sas u r v i v a lp r o c e s s i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ef i r s tp r o c e s st h ed a t aa n dg r o u pt h e ma c c o r d i n gt o d i f f e r e n tp u r p o s eo fl o a n ，t h e ne s t i m a t et h ep r o b a b i l i t yo fd e f a u l ta n dp r e p a y m e n t w i ls a sp r o c e d u r ea n dm o d i f yt h e mw i t hk n e a r e d - n e i g h b o rm e t h o d t h ec o n c l u s i o ni st h a td e f a u l t p r o b a b i l i t y i s p o s i t i v e l yc o r r e l a t e d w i t h u n e m p l o y m e n tr a t e ，l o a ni n t e r e s tr a t ea n dl t v k e yw o r d s ：m o r t g a g e ，d e f a u l t ，p r e p a y , p r o p o r t i o n a lh a z a r d sm o d e l ，h a z a r df u n c t i o n i l l 目录 目录 第1 章引言1 1 1论文产生的背景1 1 1 1 个人房屋抵押贷款1 1 1 2 个人房屋抵押贷款证券化的产生与发展2 1 2 本文的研究意义3 第2 章m b s 的相关理论：5 2 1 个人房屋抵押贷款的现金流5 2 2 住房抵押贷款中的违约和提前赎回风险6 2 2 1 影响违约和提前赎同行为的因素6 2 2 2 住房抵押贷款违约和提前赎同行为的影响7 2 2 3 违约和提前赎回的研究现状8 2 2 3 1 利用统计方法8 2 2 3 2 利用期权理论8 第3 章模型的建立1 1 3 1 c o x 比例风险模型1 1 3 2 参数1 3 的估计1 2 3 2 1 对于所有客户没有在同一时刻发生违约的情况1 3 3 2 2 存在客户在同一时刻发生违约的情况1 3 3 3 估计基准风险函数和生存函数1 4 第4 章实证分析1 7 4 1 数据说明1 7 4 4 结果及分析2 1 4 4 1 违约模型的估计2 1 4 4 2 提前赎回模型的估计2 3 v 目录 4 5 结果的修正2 5 4 6 参数分析与结论2 7 4 7 研究展望2 8 参考文献2 9 致谢3 1 第1 章引言 一 1 1 论文产生的背景 1 1 1 个人房屋抵押贷款 第1 章引言 个人房屋抵押贷款( m o r t g a g e ，也称按揭) ，指借款者用其拟购买的房产权 向银行作抵押，获得部分购房金额( 一般不超过房屋价值的8 0 ) 的贷款。借款 人需要按时向银行还本付息。如果到时不能偿还清本息，银行有权利将其房产收 回进行拍卖或转让，以此来抵消贷款借款人未还的余额。 由于住房是居民最基本的需求之一，本身又具有价格高、使用年限长等特点， 因此各国的居民买房时都倾向于采用按揭的方法分期付款，贷款期限一般长达 1 5 - 3 0 年a 住房抵押贷款为住房者买房提供了可靠的融资渠道，也给银行带来了 一定的利息收入。近几年来，住房抵押贷款市场不断繁荣发展，已经成为世界金 融体系中不可或缺的组成部分。 在美国，一般根据贷款者的信用得分( f i c o ) ，贷款与房产值之比( l t v ) ，每 月支付额与收入之比( d t i ) 等因素将房屋抵押贷款分为三类，即优级贷款、次优 级贷款与次级贷款。其中最主要的参照标准是信用评分。 优级贷款( p r i m em o r t g a g e ) 主要是针对一些有稳定的工作，收入较高的客 户。由于他们还款能力较高，所以违约风险比较小，信用评分一般在6 6 0 分以上。 次优级贷款( a l t am o r t g a g e ) 大部分的客户是信用评分低于6 6 0 但高于6 2 0 的人 群。为保障银行的收益，通常对次优级贷款人收取的利率比优级贷款的高 1 - 2 。次级贷款( s u b - p r i m em o r t g a g e ) 主要是针对信用评分在6 2 0 以下的客户。 他们通常收入较低，面临失业的危险，或者之前有过不良信用记录。次级贷款者 的还款能力和还款信用较差，因此给他们发放贷款要求较高的首付，利率也设置 的比较高，一般比优级贷款利率高二到三个百分点。 次级抵押贷款有多种形式，其中常见的一种是浮动利率抵押贷款。它是指在 还款开始时设置一段优惠期，在此期间内利率比较低，称为先期优惠利率。之后 再浮动调整莉 率，每半年或一年调整一次。例如“2 2 8 ”贷款，前面的数字是优 惠期的期限， 后面的数字式优惠期之后按浮动利率正常还款的期限。即还款期限 为3 0 年，开始的前两年中，采用较低的固定优惠利率进行还款，之后2 8 年以定期 调整的利率计 算还款本息。这种在还款初期利率很低的贷款方式，由于给很多贷 第1 章引言 款者提供的门槛低，所以很受欢迎。 2 0 0 2 年，美国为了刺激经济的发展，将联邦基准利率从6 5 下调低至1 。 在低利率和宽松的经济政策刺激下，美国的房地产市场迅速地繁荣起来。基于对 未来房价会持续走高的良好预期之上，银行发放次级贷款的标准不断下调，许多 信用评分不符合标准的购房者也得到了住房贷款。在房地产市场繁荣，房价不断 上涨的情况下，银行会有较高的利息收入；但一旦房价下跌，购房者无力还款而 采取违约的行为，这就导致了银行的损失，使得银行承受了巨大的风险。 在我国，个人住房抵押贷款主要用于在大陆境内的买房和装修的住房者使 用，贷款期限一般为1 5 - 3 0 年，贷款与房屋( 装修) 价值之比不超过8 0 ，还款 一般采取等本息还款法和等本金还款法，这两种还款方法在后面会进一步介绍。 近年来，随着我国住房体制改革的不断深入以及居民对住房需求的不断增长，房 屋抵押贷款市场得到迅速发展。 1 1 2 个人房屋抵押贷款证券化的产生与发展 由于房屋抵押贷款期限一般比较长，资金贷出去后不能较快回笼，所以房屋 抵押贷款的流动性较差。银行为了增加资金的流动性，将其负债的抵押贷款通过 一定的形式重组，打包出售给特定的机构( s p e c i a lp u r p o s ev e h i c l e ，简称s p v ， 一般是由政府成立的专门的信托公司和机构) ，并以此为支持，在金融市场上发 行出售抵押贷款债券。通过这种方式的融资过程称为住房抵押贷款证券化 ( m o r t g a g eb a c k e ds e c u r i t i z a t i o n ，简称m b s ) 。 具体来说，银行拥有的房屋抵押贷款虽然未来具有可观的现金流收入，但流 动性较差，同时不能通过吸取存款等主要业务来提高流动性。因此银行将抵押贷 款资产进行一定的结构性重组，转让给具有风险承担能力的一些特定机构 ( s p v ) ，获取现金收入从而回收流动性。s p v 通过一定形式的信用评级和信用增 强后基于抵押贷款发行住房抵押贷款证券，出售给保险机构、投资银行等投资者。 在此过程中，银行以这种方式融通资金，同时将房屋抵押贷款的风险分散给各个 投资者。发行m b s 的特定金融机构发行证券所募集的资金主要用于支付购买抵 押贷款，其中的价差扣除一定的手续费后即为所获得的盈利。同时住房抵押贷款 者的利息偿还转化为m b s 投资者的收益。 住房抵押贷款证券化的流程图如下所示： 2 一 第1 章引言 二二一 图1 1 住房抵押贷款证券化的流程图 美国在上世纪7 0 年代就开始了房屋抵押贷款证券化的进程。由于时代因素， 众多二战后的新生儿都到了买房的年龄，但当时银行资金来源不足，不能提供足 够的房屋抵押贷款。为了解决住房贷款的资金短缺问题，由美国政府发起的房利 芙( f e d e r a ln a t i o n a l m o r t g a g ea s s o c i a t i o n ) 和房地美( f e d e r a lh o m e l o a n m o r t g a g ec o r p o r a t i o n ) 两家公司率先开始房屋抵押贷款证券化。房屋抵押贷款债 券由此产生，并且得到迅速发展。 2 0 0 2 年以前，房利美和房地美是美国m b s 市场的垄断者。它们从抵押贷款 发行机构的手中购入房屋抵押贷款，然后将其结构重组，经过一定的信用评级和 信用增强后，发行出售抵押贷款支持证券( m b s ) 给保险公司、投资银行等投资 者，从而实现了住房抵押贷款的证券化。2 0 0 2 年以后，房地产市场不断繁荣发 展，大量次级贷款被证券化为m b s ，导致两房在美国m b s 市场所占的份额逐渐 下降，非政府机构所占的比例则逐渐上升。而在非政府机构的m b s 发行中次级 贷款增长速度最快。 鉴于美国房屋抵押贷款证券化的成功进程，不仅为住房需求者提供了住房贷 款需求，而且使得贷款发行机构能将风险分担给各投资者共同承担。世界许多其 他国家和地区也纷纷引进m b s 这一新的住房金融形式，并得到了迅速发展。抵 押贷款证券化已逐渐成为了主流的住房融资方式。 1 2 本文的研究意义 资产证券化是近三十年来金融领域在融资方法上取得的重大创新，其中房屋 抵押贷款证券化作为资产证券化的重要一员，在金融领域中起到了越来越重要的 第1 章引言 作用。 2 0 0 7 年的全球经济危机根源就在于美国房屋抵押贷款特别是次级抵押贷款 市场上存在的大量风险。房地产市场持续升温，越来越多的人加入贷款买房的行 列，甚至包括许多没有稳定工作和收入来源的人。他们对未来房价有着持续上升 的良好预期，认为这样即使以后不能按时还款，也可以通过卖出住房而获取相应 的利润。银行发放贷款的标准不断下调，对借款者中存在的潜在违约行为没有深 刻的认识。信用评级机构的对债券的不合理评分使得债券发行机构可以发行大量 的以抵押贷款为标的高杠杆的衍生品，在金融市场上销售和流通，这些衍生品被 世界各国的金融机构所购买，在获取大量利润的同时，巨大的投资风险也随之而 来。 一旦住房市场出现降温或者当前利率上升，导致借款人不能按时还款，而通 过出售房屋进行再融资也变得困难，即使售出房屋所得收入也不超过原贷款的本 息，这使得借款人和银行都遭受了巨大的损失。此时，购买m b s 的投资机构也 承担大量风险，m b s 大规模的销售发行使得每家金融机构都难以独善其身，风 险从房屋抵押贷款市场迅速蔓延至整个金融市场，抵押贷款公司、投资银行都遭 受重创，甚至包括政府支持的房利美和房地美机构。美国经济危机也迅速演变成 全球性的经济危机，美国五大投资银行全部消亡，法国、德国、英国、日本等各 国家也发生股价大幅下跌，证券连续巨额亏损。 在这次金融危机中，我们可以看出对房屋抵押贷款和房屋抵押贷款证券中的 风险的研究有着极为重要的现实意义。如果能够定量的研究其中的风险，就能合 理的定价，从而避免或控制大量风险的产生，将损失降至最低。而其中违约和提 前赎回是房屋抵押贷款中最重要的两个风险因素，他们改变抵押贷款的现金流， 从而影响抵押贷款证券的定价。本文通过对数据的分析，建立半参数模型，定量 的分析违约和提前赎回行为，给出它们的合理估计。 4 一一一 第2 章m b s 的相关理论 _ 二二= _ 一 第2 章m b s 的相关理论 m b s 是以个人房屋抵押贷款为支持的，现金流作为m b s 最核心的理论基础 也与房屋抵押贷款的现金流直接相关，所以我们先分析住房抵押贷款的现金流。 2 1 个人房屋抵押贷款的现金流 个人房屋抵押贷款的现金流主要来源于借款人的还款过程，不同的还款过程 会导致不同的现金流。一般银行按照规定所要求的还款方法主要有等本息还款法 和等本金还款法，这是两种还款方式是截然不同的。 等本息还款法即还款人每月以相同的金额偿还本息，其中每月应付的利息是 以当月剩余的未偿还的本金来计算的。设贷款总额为p ，月利率为r ，贷款期限 为t 。则经过推导，计算出每月应偿付的本息和为： x = p r x ( 1 - l - f ) t ( 1 竹) 1 1 随着时间的推移，贷款未偿还的本金余额越来越少，月付利息也越来越少， 而每月还款金额是固定的，因此每月偿付的本金是递增的。 等本金还款法即还款人每月偿还相同的本金，本金额为总贷款除以贷款期 数。也是按照当月剩余未偿还的本金来计算月付利息。第t 个月应偿付的本息和 x t 2 i p + p t t - t + l r 通过上述比较发现，等本金还款法每月的偿还额逐渐减少，这不符合居民收 入不断增长的实际情况。而且初期较大的还款额并不利于抵押贷款的推行，限制 了当前资金不太宽裕的购房者进行贷款的行为。等本息还款法还款额计算简单， 符合实际，是较为普遍的还款方式。 第2 章m b s 的相关理论 2 2 住房抵押贷款中的违约和提前赎回风险 住房抵押贷款中最重要的两个风险因素是违约风险和提前赎回风险。 根据发生违约的原因，违约风险可分为被迫违约和理性违约两种。被迫违约 是指借款人由于某些客观因素的限制不能按时偿本还息，从而被迫违约的情况。 理性违约是指借款人为了自身利益最大化而采取的主动违约行为。通常，借款人 把所持有的房产价值与抵押贷款的余额进行比较，如果房产价值较低，那么借款 人将采取违约的行为。 提前赎回是指借款人在保证按规定时间还本付息的基础上，为了减少贷款期 限、降低利息支付，提前偿还部分或全部的贷款余额的行为。根据提前赎回发生 的原因，一般可将提前赎回分为内生提前赎回和外生提前赎回两种。内生提前赎 回，也称为最优提前赎回，是指由于现行利率的变动，贷款者选择提前赎回贷款 抵押债券以再融资的行为。外生提前赎回，也称为次优提前赎回，是指除利率原 因之外其他的一切提前赎回行为。例如借款人离婚、失业、或者去外地工作引起 的提前赎回。 2 2 1影响违约和提前赎回行为的因素 影响提前赎回行为的因素主要有三个：利率因素、房屋周转率以及潜在资产 的特点。 1 、利率因素 贷款人所要求的贷款利息是按照原来贷款合同中规定的房产抵押利率来计 算的，现行的房产抵押利率不断变动，与原利率产生的利率差额是影响提前赎回 的主要因素。当现行利率低时，借款人提前还款的动机比较大，这样可以再以较 低的利率获取新贷款，以此达到再融资的目的。由历史数据可以得出，房产抵押 贷款的利率每下降2 ，就会带来严重的再融资行为。 另一方面，房产抵押贷款利率从开始到现在的变化途径也会影响当前提前赎 回行为。当房屋抵押贷款利率下降至一定水准时，借款人倾向于采取提前支付的 行为。当利率经过上升再下降至该利率水平时，提前赎回率明显下降。原因在于 大部分的购房者已经经历了再融资，剩余的购房者对利率的变化并不敏感，这种 情况被称为再融资耗尽。 2 、房屋周转率 当房屋抵押贷款利率下降时，更多的人可以有条件贷款买房，房屋销售营 6 第2 章m b s 的相关理论 业额上升，同时已贷款买房的消费者所拥有的买房能力也随之上升，部分人群 会选择提前偿付完贷款余额进行再融资，这导致了较高的提前赎回率。 当社会总体经济状况运行良好时，经济增长率上升，居民的收入增加，消 费信心也随之增长，房屋贷款者想换新住房的愿望不断增强，这提高了房屋周 转率，同时提高了提前赎回率；反之，经济增长率下降时，房屋抵押贷款的提 前赎回率较低。 3 、潜在资产的特点 潜在资产的特点也会影响提前赎回行为。一方面提前赎回率在某季节或某地 区比较高。比如，夏季随着子女上学，父母选择迁移住所，这样提高了提前赎回 率。某地区的经济发展状况好，居民收入高、消费能力强，提自订赎回率也相应较 高。另一方面一般新发行的m b s 提前赎回很少，但随着时间的发展，提前赎回会 慢慢变多，原因可能在于失业、离婚等现象随着时间推移逐渐增多，导致还款者 采取提前赎回行为。 相对而言，违约的影响因素要简单得多。被迫违约一般发生在借款者还款能 力不足，比如突然失业或家庭发生重大变故时，被迫违约不用考虑现行市场的贷 款利率。理性违约一般假设借款者是个理性的以自身利益最大化为目的个体，如 果房产价格上升，借款者不会采取违约，有时会采取提前偿付行为出售房屋，得 到高于贷款值的金额从而获取利润；如果房产价格下跌，甚至跌至低于抵押贷款 的余额，这时借款者会果断地采取违约行为停止还款。 2 2 2 住房抵押贷款违约和提前赎回行为的影响 银行发行住房抵押贷款，向贷款人收取一定的利息作为收益，同时银行为 了获得自身资金的流动性，将周期长、回收慢的住房抵押贷款打包出售给某些 特定机构，由他们将抵押贷款进行结构性的重组，并发行以此为标的的金融衍 生品，各投资机构用现金购买此衍生品，以借款人的本息偿还作为收益，这样 风险就由银行和各投资者共同分担。 当发生提前支付行为时，预期的利息现金流收入会减少，给银行和投资者 带来直接损失。发生违约时，银行虽然可以收回抵押的住房进行拍卖以补偿贷 款人未偿清的贷款余额，但由于大部分的违约行为是在当前利率上升或者房产 市场不景气的情况下，此时房屋流通买卖不佳，即使卖出所得款项也不能抵消 ， 第2 章m b s 的相关理论 另外，提前支付行为并不在银行的资产计划中，当发生提前支付行为时， 资金大量回笼闲置，导致短时问内的资金积压。银行为了增加资本的流动性和 资金的利用率，必须寻找新的投资途径，这样又会增加新的风险。 通过以上分析可知，借款人的违约和提前赎回行为对房屋抵押贷款证券有着 重要影响。因此我们应该对实际贷款数据建立模型，定量的分析违约率和提前赎 回率，从而更好的管理控制风险。 2 2 3 违约和提前赎回的研究现状 一般来说，对违约和提前赎回的研究主要从以下两个方面进行： 2 2 3 1 利用统计方法 从贷款机构的角度，利用回归分析等统计相关的方法，揭示发生违约和提前 赎回时的贷款特征与借款人特征，使得贷款机构在发放贷款之前能够很好的估计 控制风险。 重要文献和研究结果有： 1 v o nf u r s t e n b e r g ( 1 9 6 9 ) 1 2 5 】是分析违约风险的一篇较早的文献。作者利用 联邦住宅管理局统计的数据，运用多元回归分析方法研究了多个因素与违约风险 的关系，得出贷款与房屋价值比( l t v ) 、贷款期限、家庭收入等变量都对违约 风险有显著的影响。其中贷款价值比对违约风险的影响最为显著。另外当贷款期 限增加时，抵押贷款的风险也随之上升。 2 w i l l i a m s ，b e r a n e ka n dk e n k e l ( 1 9 7 4 ) 2 6 1 在对1 9 6 2 年到1 9 7 2 年匹兹堡城 市住房抵押贷款样本的回归分析中，把月偿付额占家庭收入比纳入回归变量，发 现该比例高于3 0 的贷款人更容易违约。 3 r i c h a r da n dr i c h a r d ( 1 9 8 9 ) t m 在住房抵押贷款采取固定利率还款的前提 下建立了关于提的赎回的模型。设c p r ( o 为第t 个月的提前偿付率，第t 个月的 再融资激励因子、季节因子、债龄因子和衰竭效应因子分别记为r i ( t ) 、m m ( 0 、 a g e ( t ) 、b m ( o 。 则该模型提出的提前偿付率为：c p r ( t ) = r i ( t ) * m m ( t ) * a g e ( t ) * b m ( t ) 4 同样利用相关的统计方法，a r c h e ra n dl i n g ( 1 9 9 3 ) t 7 】发现借款人的年龄、 婚姻状况和家属人数对违约决策没有显著影响。 2 2 3 2 利用期权理论 第2 苹m b s 的相关理论 一_ 从借款人的角度，将其视为理性的追求自身利益最大化的决策者。k a ua n d k e e n a n ( 1 9 9 5 ) h q 把房屋抵押贷款看作是固定支付证券减去不同的期权，其中提 前赎回是一个美式看涨期权，为借款者提供了提前赎回住房抵押贷款的权力。违 约是一个欧式看跌期权，为借款者提供了放弃房屋所有权用以偿还房屋抵押贷 款余额的权力。借款人通过将其持有的住房权益和抵押贷款余额进行比较可以决 定是否执行期权。 重要文献和研究结果有： l f o s t e ra n d v a n o r d e r ( 1 9 8 4 ) n 2 1 是较早基于期权理论对违约风险进行分析 的学者。通过对联邦住宅管理局( f h a ) 统计的贷款数据建立模型，指出住房权 益是解释违约的重要变量。但权益为负时借款人并不一定就采取违约行为，因为 还要受到失业率、离婚率、贷款期限等变量的综合影响。 2 q u i g l e ya n dv a no r d e r ( 1 9 9 1 ) 例发现，把期权的违约成本也作为变量考 虑时，借款者常常会去考虑对违约有影响因素的成本如交易成本，借款者的信用 评分等，这将使得期权价值的计算变的更为复杂。 3 k e r r yd a n dv a n d e l l ( 1 9 9 5 ) 1 建立了关于违约风险的模型，认为考虑到 违约的交易成本、借款人的偿付能力以及贷款人的综合作用，当借款人的期权权 益为负时不会立即违约，可能还需要如离婚、失业等事件作为刺激因素。 4 d e n g ，j o h n ，q u i g l e ya n dv a no r d e r ( 2 0 0 0 ) t 1 0 】对与提前赎回风险相关的看 涨期权和与违约风险相关的看跌期权同时建模，很好地解释了违约和提前赎回行 为，得出贷款与房屋价值比越高，违约率越高的结论。同时指出借款人间的异质 性对参数估计和风险函数的估计有重要影响，忽略异质性会使得提前赎回率被低 估。 第3 章模犁的建立 第3 章模型的建立 借款人的还款过程开始于第一次支付按揭，而终止情况有三种：一是i f 常偿 还完贷款，二是因破产被银行收回抵押的房屋，三是借款人一次性支付完所有的 贷款余额。在汜录终止时刻还款过程还没有结束的数据为删失数据。这样可以将 还款过程看作是一个生存过程，使用生存分析中的比例风险模型对违约率和提前 赎回率建模，找到影响这二者的主要因素，最后估计违约率和提前赎回率。 3 1 c o x 比例风险模型 以估计违约率为例对数据进行建模。 假设x 为违约发生的时间，数据由托个三元组( 乃，哆，z ) ，j = l ，刀组成。 其中乃为第个客户首次还款到记录终止的时间；色是第个客户违约的示性变 量。 考虑到比例风险模型估计出的是个人在给定参数下的生存函数，一旦条件改 变，生存函数将跟着发生变化，因此，在估计总体的违约率时，不易选取过长的 时间跨度，本文采用的时间宽度是三个月，这样利率等协变量可看作固定的。 同时根据贷款者的不同贷款目的对数据采用分组处理，使得在每组中z m ) 不随时间而改变，故下文中z j ( f ) = z ，= ( 乙l ，乙) 。 记t 时刻给定协变量z 时的风险函数为 6 ( ，i z ) = 1 i m + p ( t x t + 五l x t ，z ) h 。 。h - o + 根据c o x ( 1 9 7 2 ) t 9 】建立的模型： b ( t l z ) = ( f ) c ( b z ) ， 其中6 0 ( f ) 为任意的基准风险函数，p = ( 届，尾) 是参数向量，c ( b t z ) 为一未知 函数。 由于6 ( f i z ) 为正数，一般考虑 c ( p z ) = e x p ( 1 l 。z ) = e x p ( 层乙) ， k = l i i 第3 章模型的建立 这样得到了 b ( t l z ) = 6 0 ( f ) c ( p z ) = b o ( t ) e x p ( f l k z , ) ( 3 1 ) 其中b o ( t ) 为z 的全部分量都为0 时基准生存分布的风险函数。 从式( 3 1 ) 可以发现p 每个分量的实际含义是：当变量z 对应分量改变一个 单位时，引起的风险函数改变倍数的自然对数值。 风险函数两边同时除以b o ( t ) 并取对数就得到回归方程： 1 n 而b ( tz ) ：圭层乙(32)b o ( t )智5 、。 考虑到对于具有协变量z 和z + 的客户，他们的风险函数之比( 即相对风险 h r ) b ( tz ) 石丽2 t o ( t ) e x p ( 兰展乙) 墨兰! t o ( t ) e x p ( 圭屈乏) k = l p = e x p 孱( 乏一乏) 七= l 为与时间f 无关的常数，即风险成比例( 比例风险假定或p h 假定) ，故模型称为 比例风险模型。 如果违约发生时间x 的风险函数具有( 3 1 ) 的形式，则相应的生存函数为 s ( tl z ) = s o ( t ) 。1 烈9 z ( 3 3 ) 其中s o ( t ) = e x p 一 b o ( “) 幽】为任意的基准生存函数，即z = o 时的生存函数。密 度函数为f ( t ；z ) = b ( t l z ) s ( t l z ) 。 c o x 比例风险模型对b o ( t ) 的分布没有任何限制，这就避免了异方差存在的问 题，模型的优点在于不需要估计基准风险函数b o ( t ) ，个体在任何给定时刻的风险 函数都正比于基准风险函数，风险函数的大小只取决于协变量z 而与时间f 无关。 3 2 参数1 3 的估计 主要采用偏似然函数法。 如上所述，数据样本由以个三元组( 乃，t ，z 抄卢1 ，l 组成。 1 2 弟3 苹模犁的建立 一 3 2 1 对于所有客户没有在同一时刻发生违约的情况 令 乞 i 信息矩阵为对数似然函数二阶导矩阵的负矩阵，记为i ( p ) - 0 ( p ) 】p 。，其中 第俘缈元为 渺善专一 一专l 圣型鱼兰塑竺! 圣三。屈z 斗) i f 脚佴，z pe x p ( 2 。展z 弦) 智【腻，e x p t e , c 。a z 砖】j l 脚n ，e x p 2 。孱z 了f 但显然对于所有客户没有在同一时刻发生违约的假设并不合理，下面考虑 3 2 2 存在客户在同一时刻发生违约的情况 令 乞 f d 代表d 个有序的违约发生时间，4 为在时刻发生违约的客户 数目，4 为在时刻发生违约的客户集合。 令s ，为在时刻所有发生违约的客户协变量z ，之和，e p s ，= 一4 z ，。r 定 l j 第3 章模型的建立 义为t i 时刻之前仍未发生违约的客尸组成的集合。 此时偏似然函数有不同的定义法，s a s 中的程序p h r e g 默认采用b r e s l o w ( 1 9 7 4 ) 8 】偏似然函数 2 珥。匠e 丽x p ( p , s i ) ( 3 5 ) 当不存在同时发生违约的情况时，该偏似然函数与上一节中定义相同。也可 设置成采用e f r o n ( 1 9 7 7 ) t l i 】偏似然函数和c o x ( 1 9 7 2 ) t 9 l 提出的离散偏似然函数。 e f r o n 偏似然函数为 一珥n面磊磊ex巧p(pts；丽) ( 3 6 ) c o x 偏似然函数基于风险函数的l o g i s t i c 模型假定，即令6 ( f i z ) 为在f 时刻未 发生违约而在( f ，t + 1 ) 区间内发生违约的条件概率，假定 石b(t而lz)=石bo(而t)1b ( t 1 b o ( t e x 删z ) ， 一= 一e x n t n ，j 一 i z ) 一 ) 。 则c o x 偏似然函数为 圳=n夏ex知p(ps丽,)h (371=1 q ) 厶( p ) = 币= = 而k ( ) 厶口e n p po ， 其中= 2 。乞。 类似地，极大化偏似然函数得到b 的极大偏似然估计。 3 3 估计基准风险函数和生存函数 对数据用比例风险模型进行拟合，得到b 的极大偏似然估计后，下一步考虑 对于一个协变量为z 。的客户，如何估计他的基准风险函数和生存函数的问题。 记p 的极大偏似然估计为b ，该估计的协方差矩阵v ( b ) 为信息矩阵的逆矩 阵。 令矿( ；b ) = e x p ( 艺b , z j , ) ，则根据c o xa n do a k e s ( 1 9 8 4 ) ，累积基准风险函 j e r ( t t ) k = l 数风( f ) = ( “) 砌的估计量取为 1 4 第3 章模型的建立 一一_ 粕2 蕃志 它是一个在违约时间处有跳跃的阶梯函数。 基准生存函数氐( f ) = e x p 一风( ，) 的估计量为 s o ( t ) = e x p - h o ( t ) 】 这是取基准协变量值即z = 0 时的生存函数估计量。 对于协变量值为z = z 。的客户，用 估计其生存函数。 o l z = z 。) ：。( f ) e x “z 。) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) i ) 第4 章实证分析 4 1 数据说明 第4 章实证分析 u b s 个人房屋抵押贷款数据集( 简称u b s 数据集) 是瑞士联合银行集团 ( u n i t e db a n ko f s w i t z e r l a n d ) 提供的美国加州在2 0 0 0 年1 月至2 0 0 9 年6 月间， 8 9 2 ，7 7 0 人次采用固定利率等额还款方式的个人房屋抵押贷款申请者，共 2 4 ，9 0 2 ，5 0 1 条月度还款记录。所有的贷款都是次级贷款。 在记录中，借款人以匿名的i d 号码为标识，相同i d 号码的还款记录按照时间 的顺序排列在一起，见表4 1 。 表4 1 原始的数据结构示例 0 6 0 9 0 1 9 0 ，0 0 0 c0 客户3 的首次还款 客户3 第4 章实证分析 借款人在贷款发起之后，按月支付按揭，但在现实中会出现还不上或一次性 还很多的情况，也就是违约和提前赎回，如引言中介绍，它们会影响银行的现金 流，从而对房屋抵押贷款证券的定价产生影响，因此对违约和提前赎回的预测就 显得尤为重要。本文通过对数据的分析，找到了影响违约率和提前赎回率的主要 变量，建立了估计违约率和提前赎回率的半参数模型。 4 2 数据的整理和修正 借款人应当遵守银行的规定，按时按额还款，当还款额与应还款额不符时， 银行采取一定的判别准则来识别借款人的还款状态，是逾期、违约、还是提前赎 回。在本文对数据的处理中，我们采用的是以下准则： 1 设定提前赎回的分界点。当借款人所还金额介于应还款额和分界点之间时， 认为借款人正常支付。提前赎回的分界点等于应付款额的三倍。 2 设定最小还款额。当借款人所还金额介于最小还款额和应还款额之间时，认 为借款人逾期一个月。最小还款额等于上月余额在本月所产生的利息，它小 于应还款额。 3 当借款人所还金额小于最小还款额时，认为借款人违约。 4 当借款人所还金额大于提前赎回的分界点时，认为借款人提前赎回。 如下图所示： 第4 章实证分析 一_ 一 图4 i 识别借款人还款状态的示意图 要说明的是：延期九个月以上即为违约，违约之后发生的延期重新开始计数： 还款额小于最低还款额立即算作违约，在此之后的违约延续上次的计数。 u b s 数据集中本身具有贷款状态的变量，但是在却存在一些不合逻辑的地 方。例如，某借款人所还金额等于应支付额，但是数据集中还款状态却是逾期。 因此本文采用以上规则，对数据进行了整理。 除此之外，u b s 数据集中还存在着这样一种现象：借款人的贷款发起时间会 比借款人的首次还款记录提前几个月甚至一年多。当然，借款人的首次还款记录 并不都是借款人真正第一次向银行支付按揭。可以说，贷款发起时间、首次还款 记录的时间、首次还款时间，这三者是不统一的，使得难以界定还款的初始时间， 这会使得贷款的生存长度产生误差。本文采用了利用贷款余额推算首次还款时间 的办法，并以首次还款时间为起点，计算贷款的生存长度。 以整理和修正之后的数据作为样本，进行建模。 4 3 建立模型 借款人的还款过程开始于第一次支付按揭，终止于正常偿还完贷款，或因