（应用数学专业论文）高阶微分方程的振动性研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文高阶微分方程的振动性研究， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所 取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对 本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明 本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名t 吾l 乔 日期：为7 l ) s f b 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 高阶微分方程的振动性研究系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所 有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复 印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：a - 1 番1 日期：如p 孓- f 护 各圈啉夕 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 微分方程的振动性理论是微分方程理论中一个十分重要的分支，近年来， 大批学者对微分方程解的振动性研究进行了深入的探讨，取得了一系列较好的 结果( 部分结果可参见文【1 1 一【4 2 】) 本文利用推广的r i c c a t i 变换，积分平均等技巧对几类高阶中立型微分方 程进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本论文分为四章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，主要研究偶数阶中立型微分方程 r m 1 ( n ) l ) + 鼽( t ) z ( 气( t ) ) i + q j ( 嘞( z ( 乃( t ) ) ) = 0 ，亡t o ， ( 2 1 1 1 ) li = l j j = l 的振动性，其中n 2 是个偶数我们主要运用h ( t ，s ) 、r i c c a t i 变换和y u r i v r o g o v c h e n k o ，t u n c a y 的方法，引入常数因子卢 1 进行积分放缩，将文【2 】中 的结论推广和改进，得到了一些新的振动性准则 第三章在这一章中，主要研究偶数阶中立型非线性微分方程 r m 1 ( n ) ) + 只( t ) z ( 气( t ) ) l + q j c t ) i j c = c t ) ，z ( 乃( 堋= o ，亡t o ， ( 3 1 1 ) li = 1j j = l 的振动性我们主要利用r i c c a t i 变换，积分不等式和积分平均技巧等方法通 过两种途径给出方程( 3 1 1 ) 的解的新的振动准则 第四章在这一章中，主要研究偶数阶时滞微分方程 ( 1z ( n 一1 ) ( t ) l a 一1z ( n - 1 ) ) ) + f ( t ，z b ( t ) 】) = 0 ，( 4 1 1 ) 的振动性，其中礼是个偶数，a 0 是常数，g c ( t 0 ，o o ) ，r ) ，h m g ( t ) = o o ，f c ( t o ，o o ) r ，冗) ，且s g n f ( t ，霉) = s g n x ，t t o 我们通过引入一个新的 三元辅助函数垂( 屯s ，z ) ，扩展了方程解的振动性的参数范围，给出新的结论 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词：中立型微分方程；非线性；振动性；r i c c a t i 变换；积分平 均；时滞 曲阜师范大学硕士学位论文 s t u d i e so no s c i l l a t i o nf o rh i g ho r d e r di f f e r e n ti a le q u a ti o n s a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r st a k eo i lt h er e s e a r c ho f t h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n yg o o dr e s u l t s s e e 1 卜 4 2 1 ) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sa g e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n i n t e g r a l a v e r a g et e c h n i q u ea n dt h ei n t e g r a li n e q u a l i t yt oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o nc r i - t e r i af o rs o m ec l a s so fh i g ho r d e rn u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h er e s u l t so f w h i c hg e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o nc r i t e r i a t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ea r ei n t e r e s t e di no s c i l l a t i o no fs o l u t i o n so fe v e no r d e r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h ef o r m ： 卜 ，+ 砉亿 ，z c 兀 ，) 1 j m + lt = 1 劬( 亡) 夕j 0 ( 乃( t ) ) ) = 0 ，t t o ， ( 2 1 1 ) w h e r et t o 0 ，n 2i se v e ni n t e g e r w em a i n l ye m p l o y e da g e n e r a l i z e d r i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n dd e v e l o p i n gi d e a se x p l o i t e db yy u r iv r o g o v c h e n k o a n dt u n c a y 【1 】，w ee s t a b l i s hs o m en e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i as h a uf u r t h e rt h e i n v e s t i g a t i o na n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fm e n ga n dx u 【2 1 ，w eo b t a i n e d s e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do ft h i ss e c t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o re v e no r d e rn e u t r a lt y p e n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 卜+ 髀如，卜 ) + 刖z ( 兀( ) ) l + l t = 1 j q j ( t ) f j ( x ( t ) ，z ( 乃( 亡) ) ) = 0 ，t t o ( 3 1 1 ) l ：1 ：1 曲阜师范大学硕士学位论文 w em i a n l yu s e dt h eg e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n dt h ei n t e g r a li n - e q u a l i t yt oe s t a b l i s ht h eo s c i u a t i o nc r i t e r i a so ft h ee u q t i o n ( 3 1 1 ) b yt w od i f f e r - e n ta p p r o a c h e s 。 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no fc e r t a i ne v e no r d e rd e l a yd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s ， ( 1z 何一1 ( ) l 。一1z 一1 ( t ) ) + f ( t ，z 【9 ( 亡) 】) = 0 ，( 4 1 1 ) w h e r eni se v e ni n t e g e r ，a 0i sc o n s t a n t ，g c ( t 0 ，o o ) ，冗) ，l i m t + o o9 ( 亡) = o o ，f c ( t o ，o 。) r ，冗) ，a n ds g n f ( t ，z ) = s g n x ，亡t o i nt h i sc h a p t e r ，w e i n t r o d u c e dan e wa u x i l i a r yf u n c t i o n 西( 亡，s ，f ) ，i m p r o v e dt h ep r o o fr a n g eo ft h e o s c i l l a t i o no ft h ee q u t i o n ，o b t a i n e ds e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n d o ft h i ss e c t i o n k e yw o r d s ： n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n o n l i n e a r ；r a c c a t it r a n s _ f o r m ；i n t e g r a la v e r a g e ；d e l a y 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章绪论i 第二章偶数阶中立型微分方程的振动准则3 2 1引言3 2 2主要结果6 2 3例子1 3 第三章 偶数阶中立型非线性微分方程的振动准则1 4 3 i引言1 4 3 2主要结果1 6 3 3例子2 8 第四章章偶数阶延滞微分方程的振动准则2 9 4 1引言2 9 4 2主要结果3 1 4 3例子3 7 参考文献3 8 攻读硕士学位期间发表和完成的主要学术论文4 2 致谢4 3 第一章绪论 伴随着科学技术日新月异的发展，在数学、物理学、化学、生物学等学科 领域，一方面实际问题中不断涌现出大量的线性、非线性问题需要人们去深入 研究，另一方面近几十年来的非线性微分方程问题有了巨大的发展，其丰富的 理论和先进的方法日渐成熟随着近代物理学和应用数学的发展，非线性微分 方程理论的重要性日益体现，不仅在工程技术、航天技术以及自动控制等领域 中有重要应用，而且在计算机科学、人口动态学和金融等领域中也成为不可缺 少的工具因此，微分方程理论引起国内外学者的研究兴趣，其基础理论及应 用性意义越来越被人们所注意微分方程的振动性理论是微分方程理论中一个 十分重要的分支，它具有非常深刻的物理背景和数学模型近年来，这一理论 在应用数学领域取得了迅速的发展和广泛的重视有大批学者从事于这方面的 理论研究，取得了一系列较好的结果 ( 部分结果可参见文【1 1 一 4 2 】) 定义1 1 1 方程的一个非平凡解称为振动的，如果该解有任意大的零点； 否则称其为非振动的方程称为振动的，如果它的每个解都是振动的 目前人们常用的方法有推广的r i c c a t i 变换、变分原理及积分平均技巧等， 而积分平均方法又广受研究者们的青睐，这是因为它巧妙地避免了对微分方程 系数函数的限制，从而大大推广了结果的应用范围 根据内容本文分为四章； 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，主要研究偶数阶中立型微分方程 r m 1 ( 体) l ) + 轨( t ) z ( 露( 亡) ) l + q j ( 亡) 毋( z ( 乃( t ) ) ) = 0 ，亡t o ， ( 2 1 1 ) l i = 1 j j = 1 的振动性，其中钆2 是个偶数我们主要运用h ( t ，s ) 、r i c c a t i 变换和y u r i v r o g o v c h e n k o ，c a y 【l 】中的方法，引入常数因子p 1 进行积分放缩，将 文 2 】中的结论推广和改进，得到了一些新的振动性准则 第三章在这一章中，主要研究偶数阶中立型非线性微分方程 r m 1 ( 住) l iz ( t ) + 只( 亡) z ( 兀( 亡) ) l + 劬( t ) 办 ( t ) ，z ( 乃( 亡) ) ) = 0 ， 亡t o ，( 3 1 1 ) 1 第一章绪论 的振动性我们主要利用r i c c a t i 变换，积分不等式和积分平均技巧等方法通 过两种途径给出方程( 3 1 1 ) 的解的新的振动准则 第四章在这一章中，主要研究偶数阶延滞微分方程 ( iz ( n 一1 ( 亡) l a - 1x ( n - 1 ( 酊+ f ( t ，z g ( t ) 】) = 0 ，( 4 1 1 ) 的振动性，其中n 是个偶数，o t 0 是常数，g c ( p o ，o o ) ，冗) ，h m t o og ( t ) = ，f c ( t o ，o o ) r ，r ) ，且s g n f ( t ，z ) = s g n x ，t t o 本章通过引入一个新 的三元辅助函数圣( t ，8 ，f ) ，扩展了方程解的振动性的参数范围，得出新的结论 2 ： ， 第二章偶数阶中立型微分方程的振动准则 本章研究偶数阶中立型微分方程 r 仇 1 ( ，1 ) l iz ( 亡) + a ( 亡) z ( t ( t ) ) i + 劬( 亡) 毋 ( 乃( ) ) ) = o ，亡t o ， ( 2 1 1 ) l i = 1 j j = l 的振动性，其中n 2 是个偶数在本章中，我们设立一下假设： ( a 1 ) p i ，奶c ( t o ，o o ) ，舻) ，缈c ( r ，r ) ，对u 0 ，有u g j ( u ) 0 ，并且 夕j ( u ) 在r 上是非减函数，i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，：； ( a 2 ) 兀c ( t o ，o o ) ，r + ) ，气( 亡) t 并且曲璺t ( t ) = o 。，i = 1 ，2 ，仇； ( 如) 乃c 1 ( 陋o ，o o ) ，r 十) ，乃( t ) t ，舰乃( 亡) = o o ，呓( 亡) 0 ，歹= l ，2 ，f ； ( 也) 存在一常数m 0 使得对z 0 ，有g j ( z ) s g n x m l x l ，歹= 1 ，2 ，2 ； ( a 5 ) 墨1 p i ( t ) p ，p ( 0 ，1 ) 并且存在一函数q ( t ) c ( t o ，o o ) ，r + ) 满 足q ( t ) m i n q j ( t ) ：j = 1 ，2 ，f ) 定义2 1 1 方程( 2 1 1 ) 的解，即函数z ：辟z ，o o ) _ r ，t z t o ，使得 陋( 亡) + 罂1 矾( t ) z h ( t ) ) 】伊( 口，) ，r ) ，并且对t t x 满足方程( 2 1 1 ) 我们主要研究方程( 2 1 1 ) 的非平凡解z ( ) ，即解x ( t ) 满足s u p i x ( t ) 1 t t ) 0 对所有的t t x 引理2 1 2 【3 1 假设z ( 亡) 在区间 t o ，o o ) 是一常号且佗次可微函数，在区间 t o ，c o ) 上z ( n ) ( 亡) 0 并且满足z ( n ) ( 亡) z ( 亡) 0 则： ( ) 存在个t l t o 使得函数z ( ) ( 亡) ，i = 1 ，2 ，礼一1 在区间 t l ，o 。) 上是常号； ( j 1 2 ) 存在个数h 满足；当佗是一偶数时，h 1 ，3 ，5 ，n 一1 ) ； 当竹是一奇数时h o ，2 ，4 ，扎一1 ) 并且使得z ( 亡) z ( ) ( 亡) 0 对i = 3 第二章偶数阶中立型微分方程的振动准则 0 ，1 ，h ，t t l ；( 一1 ) n + 件1 ) z ( 亡) z ( ) 0 对i = 危+ 1 ， + 2 ，佗，t t l 成立 引理2 1 3 1 3 1 如果z ( 亡) 满足引理2 1 2 中条件，并且对t t o 有 z ( n - 1 ( t ) z ( n ( 亡) 0 ， 则对每一个入，0 0 ，2 ， ) 0 ，名m 一1 ( z ) o ，名( n ( ) = 乏二劬( t ) 毋( z ( 乃( 亡) ) ) 0 ，t t 1 j = l ( 2 1 3 ) 我们称函数h = h ( t ，s ) 属于函数类w ，记h 1 4 ；，如果h c ( d ，r + ) ， 其中d = ( 亡，s ) ：t s t o ，d o = ( t ，s ) ：t s t o ，并且满足： ( 风) h ( t ，t ) = 0 对t t o ，h ( t ，8 ) 0 ( t ，s ) d o ； ( 飓) 日有一连续非正的偏微分o h a s 满足o h ( t ，s ) a s = h ( t ，s ) 一 h ( t ，s ) 锱，对h l t ( d ，兄) ，k c 1 ( 陋o ，) ，( o ，o o ) ) 是一非减函数 最近，文 2 】研究了方程( 2 1 1 ) 并且得到一些关于方程( 2 1 1 ) 的振动性 的充分条件，得到如下定理： t h e o r e ma ( 【2 ，t h e o r e m2 1 ) 假设( a 1 ) 一( 如) 成立，令函数日，h ，老 满足条件( 皿) 和( 也) ，假设 r11 ( e 1 1 limsup卜c1f(。，r)一赢g(如)j。00t-00i 1 、z l 4 曲阜师范大学硕士学位论文 对每一r t o ，c 1 0 ，岛 0 成立，其中 脚) _ h ( 7 , r ) 2h 啪( s ) 妻删s ， g 归南。蒜端耘如 并且入= 1 一p ，则方程( 2 1 1 ) 的每个解都是振动的 t h e o r e mb ( 【2 ，t h e o r e m2 2 1 ) 假设( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，并且h ，h ，k 同定理a 中的条件，假设 ( e 2 ) i n f ( - i m i n f 黜) 。 和 ( e 3 ) l i m s u p g ( t ，t o ) 0 ，由( 2 1 2 ) 式和引理2 1 4 存在t 2 t l 使得z ( t ) 0 ， z ) 0 ，z ( n 一1 ) ( 亡) 0 和名( n ) ( 亡) 0 ，t t 2 由于h m t _ + 气( 亡) = o o ，故存在t 3 t 2 使得凡( 亡) t 2 ，t t 3 ，i = 1 ，2 ，m 我们有 z ( 亡) = z ( 亡) 一a ( t ) z ( 兀( 亡) ) z ( 亡) 一鼽( t ) 2 ( 瓦 ) ) 仁1 ：1 、 ( 2 2 2 ) ( 1 一鼽( ) ) ，亡独 由条件( a 5 ) 和( 2 2 2 ) 式，我们得到 x ( t ) ( 1 一p ) z ( t ) = a z ) ，a = 1 一p ，t t a ( 2 2 3 ) 因为1 i m 扣o o 乃( 亡) = 0 0 ，歹= 1 ，2 ，f ，存在t 4 t a 使得o j ( t ) t 3 ，t t 4 ，歹= 1 ，2 ，f 我们得到 z ( 乃( 亡) ) 入z ( 乃( 亡) ) ，t t 4 ，歹= 1 ，2 ，j ( 2 2 4 ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 2 1 3 ) 和( 2 2 4 ) 可得 l z t l ( t ) 一q j ( t ) g j ( a z ( ( t ) ) ) ，t 亡4 ( 2 2 5 ) j = l 根据条件( a ) 和( 2 2 5 ) 存在m 0 使得 l z ( n 一入m 劬( 亡) z ( 乃( 亡) ) ，t t 4 ( 2 2 6 ) j = l 因为z ( 亡) 是个递增函数，所以存在t 5 t 4 使得z ( ( t ) ) z ( a ( 亡) ) 0 ，对 t t 5 ，j = 1 ，2 ，： 由乃( 亡) 亡，t ( t ) 0 ，由引理2 1 3 ，存在一个常数n 0 和亡6 t 6 使得 令 则 z 7 ( a 乃( 亡) ) 哼一2 ( t ) z m 一1 ( 盯( 亡) ) 哼一2 ( 亡) z 一1 ( t ) ，t t 6 ( 2 2 7 ) 蜘) 赫， 伽。隆删，黼+ 器邮，一型案塑以。 删m ) + 器卅鉴铲舵誓 ( 2 2 8 ) 在不等式( 2 2 8 ) 两边把t 用8 代替然后同时乘以h ( t ，s ) ，再对其求从t 到t 7 日( ，t ) 伽( t ) + 譬r 叉对面可_ 考絮笺d s ， 其中 嘶，= 业鼍学吣， 一了筌丝一九( 如) ， 、4 , k n h ( t ，s ) 吕：1 哼卅( s ) 呓( s ) 从而就有： f 4 a m f ( t ，t ) 一赤g ( 亡，t ) 伽( t ) 对所有t t t 9 成立讲而： l i m s u p 卜耶，丁) 一蒜a 1g t ) 1 ， 1 i m s u p 入m 邢，t ) 一鼎g t ) r e ( t ) ， ( 2 2 1 0 ) 1 i i ns u p n - 2 , 幽d s 咱( 2 2 1 1 ) 其中m + ( t ) = m a x r e ( t ) ，o ) ，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明假设方程( 2 1 1 ) 是非振动的由定理2 2 1 的证明过程，不失一般 性，对所有t t t o 和某一p l ，有 入m r 日( 亡，s ) 七( s ) g ( s ) d s 日( 亡，t ) 加( t ) + 笔fx 丙i i i 蒿遑塞曼d s 一丁8 - 1r 竺丝铲州如 故有： a m f ( 归) 一南g t ) 伽( t ) 一8 口- 1 a n 即，t ) ， 其中b ( 亡，r ) = 云br 墨尘堕羔菇掣叫2 ( s ) d s ，r 则 l i m s u p 入m 耶，t ) 一蒜g t ) 坩) 一丁8 - 1 川i m i n f 础，n 对所有t t o 和某一p 1 ，利用( 2 2 1 0 ) 可得 蛔) m ( t ) + 等a l 鬯掣踯，n 9 第二章偶数阶中立型微分方程的振动准则 嵌 w ( t ) m ( t ) 特别地 l i r ai n fb ( t 南) 南 叫( 亡。) 一m ( t 。) 】 。 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 厂垦掣州d s 兰 厶南( s )一叫一 脚o ) _ 上h ( t , t o ) 肛s ) dm 学q = 上h ( t , t o ) 一型o s r 学咖_ d s = = 一 - 一一 - 一t f ，i t j ，f 正y ，f h l ，t o i _ ，t 0 忌( 口) “、。7 “。i “。 上h ( t , t o ) r 一刿o s r 学咖) d s 一 以，l 厶 昆( 钞)一r ，。i 一 墨i 善一厂一塑盟如 一f 日( t ，亡o ) 以， o s 一 叼日( 亡，t 1 ) 一7 百万两。 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 2 2 1 6 ) ，存在一t 2 t 1 ，使得对所有t t 2 ， h ( t , t 1 ) 声 n ( t ，t o ) 二” 这就隐含着b ( t ，t o ) 叼对t t 2 又因为叼是任意的，我们就有 j i mb ( t ，t o ) = 0 0 ， 从而 r i m i n f b ( t ，t o ) = j i mb ( t ，t o ) = o 。， 这与( 2 2 1 3 ) 矛盾，故( 2 2 1 4 ) 成立那么又由( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 4 ) 我们可得 u 攀r 奎笔学业d s h m s u t - - * o o p ( 奎学畎。，t 0 l 5 ， 与( 2 2 1 1 ) 矛盾这就完成了定理2 2 2 的证明 推论2 2 2 假设定理2 2 2 中其他条件都成立除了条件( 2 2 1 0 ) 被下面条 件代替 l i m i n f 入a 邢，t ) 一旦4 a c 2 g ( t t ) m ( t ) ， 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 注2 2 1s 在定理2 2 1 中令p = 1 ，定理2 2 1 就变成了文献【2 】中定理 a ；在定理2 2 2 把定理b 中条件( c 3 ) 去掉并且得到相同结果，故定理2 2 1 和定理2 2 2 是以前所得结论的概括和推广 注2 2 2 ；选取适当函数h ，h 和知，上面定理就给推得方程( 2 1 1 ) 的 一系列振动准则 取k ( t ) 兰1 ，o t 0 是一常数，n ( t ，8 ) = ( t - s ) a ，则h ( t ，s ) = - a ( t s ) 卜1 ，t 8 t o ，对所有8 t o ，我们就有 恕黜= 熙黯乩 ( 2 2 肿) 第二章偶数阶中立型微分方程的振动准则 从而，由定理( 2 2 2 ) 我们得到： 推论2 2 3 假设( a 1 ) 一( a ) 和( 2 2 9 ) 成立，令q 0 是一常数，并且 假设存在一函数m c ( t o ，o 。) ，r ) 满足对卢 1 ， h m 。s 。u p 去r c 亡一s ，q 入m q c s ，一夏订了笔萋圣蒜 d s m c t ，t t ( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 1 ) ( 当七( s ) 兰1 时) 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 特别地，在推论2 2 3 中取q = 2 ，就可得： 推论2 2 4 假设推论2 2 3 中所有假设成立除了条件( 2 2 1 8 ) 被下述条件 代替 h m 。s u p 击f 一s ，2 a m q c s ，一x 丙j 三二翱 ， 则方程( 2 1 1 ) 的每个解都是振动的 d s m c t ，t t 如， ( 2 2 1 9 ) f 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3 例子 例2 3 1 令t 【4 ，o o ) ，考虑下列二阶中立型微分方程： 【x ( t ) + p ( 亡) z ( 7 - ( ) ) 】+ q ) z ( 口( t ) ) = 0 ，( 2 3 1 ) 其中p ( t ) 三1 2 ，口( ) = m a x 2 ( 1 + t ) s i nt ，o ) ，( z ) = z ，仃( 亡) = 两柄如， 这里m = 1 ，取n = 1 ，p = 2 ，根据计算我们可得 l i m s u p 石i 上t 卜s ) 2 a 州s ) _ 孙m s u p 丢，s ( 亡_ s ) 2 ( 1 + s ) s i n s - ( 1 + s ) ( 2 + 8 i n s ) d s = m ( t ) = c o s t s i n t + t c o s t 一1 易证( 2 2 1 9 ) 成立，从而由推论2 2 4 可知方程( 2 3 1 ) 是振动的 1 3 第三章偶数阶中立型非线性微分方程的振动准则 3 1 引言 本章研究偶数阶中立型非线性微分方程 r m 1 ( t 1 ) l lz ( t ) + 只( ) z ( 兀( 芒) ) l+ 劬( 亡) 乃 ( 芒) ，z ( ( 亡) ) ) = 0 ，t t o ( 3 1 1 ) l = 1 jj = l 的振动准则，其中t t o 0 ，n 2 是偶数，并且假设下面的条件成立： ( j f l ) 鼽，吼c ( ( t o ，o o ) ，【0 ，) ) ，如c ( r 2 ，冗) ，对可o , u y j ( z ，y ) 0 ，并且 乃( z ，夕) 对y 0 是非减的，i = 1 ，2 m ，歹= l ，2 j ； ( 1 2 ) 几，乃c ( t o ，o o ) ，【0 ，o o ) ) ，l i m t n ( t ) = l i m t 。叼( 亡) = o o ，i = 1 ，2 m ，j = 1 ，2 c ； ( 3 ) 吩( t ) c t o ，o o ) ，t ( 亡) 0 ，乃( t ) t , j = 1 ，2 ，2 ，仃( 亡) = m i n l 1 消去了y a h 在 文【2 0 】给出了方程解振动的充分条件中的某一条件，给出了方程的解振动的更 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 好的充分条件，受文【1 】的启发，在这一章中，我们将拓展和改进方程( 3 1 1 ) 的结论 令d = ( 亡，8 ) i o o s 亡 0 ，一 s 0 ，z 加一1 ( 亡) o ，z n ( 亡) = g j ( 亡) 厶 ( t ) ，z ( 叼( 亡) ) ) 0 ，t 亡1 j = l ( 3 1 2 ) 为了讨论我们的主要结果，在此引进文【1 5 】中的一个非常著名的不等式 引理3 1 3 如果a 0 ，b 0 ，则 喇2 + 妇一互a z 2 + 丢 1 5 第三章偶数阶中立型非线性微分方程的振动准则 3 2 主要结果 定理3 2 1 假设( ) 一( j 1 5 ) 成立，取h q ，并且存在一非减函数p ( 陋o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) ，使得对卢1 ， n m s u p 上h ( t , t o ) 肌删t , 8 m s ，妻舯踹卜o o ( 3 2 1 ) 其中j ( t ，s ) = h ( t ，s ) 一错 日( 亡，s ) 则方程( 3 1 1 ) 是振动的 证明假设z ( 亡) 是方程( 3 1 1 ) 的一个非振动解不失一般性，我们可设 z ( 亡) 是一个最终正解，类似的可讨论x ( t ) 是一个最终负解的情形假设存在 一个t l t o 使得使得x ( t ) 0 ，由( 2 1 2 ) 式和引理3 1 2 存在t 2 t l 使得 z ( t ) 0 ，z ) 0 ，z ( n - 1 ) ( t ) 0 和z ( n ) ( 亡) 0 ，t t 2 由于l i m t 死( t ) = o 。，故存在t 3 t 2 使得n ( t ) t 2 ，t t 3 ，i = 1 ，2 ，m ， 我们有 z ( 亡) = z ( ) 一p i ( t ) x ( r i ( t ) ) z ( 亡) 一p i ( t ) z ( r i ( t ) ) 归1 ：1 、 ( 3 2 2 ) ，t ，、 、 ( 1 一阢( 亡) ) ，t t 3 由条件( j 1 5 ) 和( 3 2 2 ) 式，我们得到 x ( t ) ( 1 一p ) z ( t ) = 入z ) ，a = 1 一p ，t t 3 ( 3 2 3 ) 因为h m t 。o j ( t ) = 0 0 ，j = 1 ，2 ，z ，存在t 4 t 3 使得吩( 亡) t 3 ，t t 4 ，j = 1 ，2 ，z ，我们得到 x ( o j ( t ) ) a z ( 乃( ) ) ，t t 4 ，j = 1 ，2 ，z ( 3 2 4 ) 由( 3 1 3 ) 和( 3 2 4 ) 可得 l z n ( ) 一劬( 亡) 办( z ( 亡) ，a z ( ( 亡) ) ) ，t t 4 ( 3 2 5 ) j = l 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 根据条件( 厶) 和( 3 2 5 ) 存在m 0 使得 f z ( n 一入m q j ( t ) z ( ( 亡) ) ，t t 4 ( 3 2 6 ) j = l 因为名( t ) 是个递增函数，所以存在t 5 t 4 使得z ( 乃( t ) ) z ( 入盯( 亡) ) 0 ，对 t t 5 ，歹= 1 ，2 ，z 由盯( 亡) t ，0 ( 亡) 0 ，由引理2 1 3 ，存在一个常数n 0 和t 6 t 5 使得 z ( 入仃0 ) ) 仃竹一2 ) z m 一1 ( 盯( 亡) ) n a n 一2 ( 亡) 名似一1 ) ，t t 8 ( 3 2 7 ) 定义函数 则 呻) _ p 耥， ( 3 2 - 8 ) l 叫( t ) 一入m p ( 亡) q j ( t ) z - 入m p ( t ) 劬( 亡) j = l 鬻邮) 鬻叩) 入p ( 亡) 盯( 亡) z 一1 ) z ( 入盯( t ) ) 坐! 幽叫2 ( t ) ，t 独， p ( t ) r ”。一1 ( 3 2 9 ) 在不等式( 3 2 9 ) 两边同乘以h ( t ，s ) 再对其进行从t 到t 的积分，我们可得 1 7 + + 第三章偶数阶中立型非线性微分方程的振动准则 对p 1 和所有t t t 6 入m r 聃m s ) 薹l 咖) d s h ( t , t 阚一f 啡s ) 佩丽( s ) 如 一t a n h s ) 艄s ) 盯，( s ) p - 1 ( s ) 蚺f 错即s ) 吣) d s = h ( t ，t ) w ( t ) 从而 一f ( 侄丕至亟互羿c s ，十磊j c 亡，s ，) 2 幽 + f 煮替南d s t ( f l _ 1 ) a n h ( t , s ) a n - 2 ( s ) a , ( s ) 伽2 ( s ) d s “、。， 讣毗s m s ，扣，一蒜糟卜 h ( t ，t ) 叫( t ) 一( f l - 1 ) $ n h ( t , s ) a - 2 ( s ) a ( s ) 叫2 ( s ) d s 一(1xnh(t,s)画a-2(s)a(s)荆+ ( 3 2 1 0 ) 一卜 v 砑面硼八l 到广 ( 3 2 1