（概率论与数理统计专业论文）多元重复测量模型和估计的比较.pdf

茔壅塑薹盔堂昼圭堂篁鲨壅鲤丝2 i 摘要 对试验单元重复测量得到的数据称为重复测量数据。重复测量数据分析在卫生 和生命科学、流行病学、生物医学研究等许多领域有着广泛的应用本论文致力于 研究多变量重复测量模型及估计的比较问题。论文的内容分为兰个部分 第一部分：考虑完全数据的多变量重复测量方差分析模型( m r ma n o v a ) ， 完全数据的m r m 设计是指对每个试验个体在每一时间点都进行测量，m r m 是 r m 的推广，它允许每次测量得到的观察值是一个向量响应变量在p 种情形下 进行测量，这p 种情形看作是单元内因子的p 个水平。这就是我们所考虑的多响 应变量的情况。这一部分研究的m r m 设计是单因子m r ma n o v a ，它只有 一个试验单元内在因子。为方便起见，我们用“时间”来表示这个因子，丽试验单 元之间的因子，我们用“组”来表示假定“组”这个因子有q 个水平，在第j 个水 平有n f 个个体，j = 1 ，2 ，口。扎= n l + + n g 就是整个样本容量的大小对 单因子m r m ，我们考虑一个线性模型，其中的参数含有一个试验单元之间的随 机效应。令北= 【k j - ，1 它是第组中个体i 在k 时蓟的测量值，试验 单元之间的因子( 组) j = 1 ，q ，i = 1 ，码，试验单元内在嚣子( 时阍) = l ，p 在这个模型中，用一正交矩阵对观察值进行变换。我们感兴趣的问 题是组效应，时间效应，组和时间之间的交互效应的检验问题基于变换后的第一 组数据集做的a n o v a 作为试验单元之间组效应的a n o v a ，而基于变换后的 第南= 2 ，p 组数据集做的a n o v a 作为试验单元内在因子时间效应，以及组 和时间之间的交互效应的a n o v a 论文中给出了所有的检验统计量，并对球形 检验进行研究论文得到了球形检验的似然比准则，它的渐近展开与极限分布 第= 部分：考虑广义球形检验问题论文得到了这个问题的检验准则，并给出 了它的渐进展开作为应用，我们研究了两个模型中的广义球形检验问题第一个 模型是套重复测量模型( n a m m ) 。在n r m m 中，各独立个体中含有相同数目 的子个体，每个子个体接受相同数目行处理和季q 处理。我们假定所有的泌量值都有 相同的方茬口。；来自同一个体但是不同子个体的两个测量值的协方差为矿p ，； 来自同个体且是同一子个体的两个澳9 置值，若列处理和行处理都不同，则其协方 差为仃2 ，2 ；若罗u 处理相同而行处理不同，则其协方差为a 2 舶；若行处理相同而列 处理不同，则其协方差为c r 2 p 。第二个模型就是本文第一牵主要研究的单因子重 华东师范大学博士学位论文f 2 0 0 4 ) 复测量方差分析模型。对这两个模型都给出了似然比检验准则、渐进展开和极限分 布。 第三部分：考虑多变量线性模型y n ( x b ，固v ) ，其中设计矩阵x 不一定 是满秩，离差阵y 可以是奇异的。论文将的最小范数二次无偏估计( m i n q u e ) 和通常使用的最小二乘估计( l s e ) 进行比较使用的损失函数有二次损失函数、熵 损失函数和对称损失函数。论文基于以下三个准则：二次损失风险准则、熵损失风险 准则和对称损失风险准则，将m i n q u e 和l s e 进行比较。在基于二次损失风险 准则进行比较时，得到了m i n q u e 优于l s e 的充分必要条件；在基于熵损失风 险准则进行比较时，证明了m i n q u e 不比l s e 差，并且得到了m i n q u e 优于 l s e 的充分必要条件；在基于对称损失风险准则进行比较时，得到了m i n q u e 优于l s e 的一些充分条件和必要条件。 关键字：单因子多变量重复测量，方差分析，似然比准则，球形检验，渐进展开， 多变量线性模型，套重复测量模型，最小范数二次无偏估计，风险函数，= 次损失 函数，熵损失函数，对称损失函数 d i s s e r t a t i o nf o rp h i l o s o p h y d o c 7 o rd e g r e e , e c n u 俚0 0 4 ) a b s t r a c t r e p e a t e dm e a s u r e m e n t sa n a l y s i sa r ew i d e l yu s e di nm a n yf i e l d s ，f o r e x a m p l e ，t h eh e a l t ha n dl i f es c i e n c e s ，e p i d e m i o l o g y ，b i o m e d i c a lr e s e a r c h a n ds oo n s e v e r a ls i t u a t i o n sa r i s et h a ti n v o l v er e p e a t e dm e a s u r e m e n t s o nt h ee x p e r i m e n t a lu n i t s t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo fm u l t i v a r i a t er e p e a t e dm e a s u r e sm o d e l sa n dc o m p a r i s o no fe s t i m a t o r s t h r e e a s p e c t so fw o r ka r ec o n s i d e r e d ： t h ef i r s t a s p e c t ：w ec o n s i d e rt h em u l t i v a r i a t er e p e a t e dm e a s u r e m e n t sa n a b r s i so fv a r i a n c e ( m r ma n o v a ) m o d e lf o rc o m p l e t ed a t a ，a c o m p l e t em r md e s i g nm e a n st h a tm e a s u r e m e n t sa r ea v a i l a b l ea te a c h t i m ep o i n tf o re a c he x p e r i m e n t a lu n i t t h em r m g e n e r a l i z e sr m i n t h es e n s et h a ti ta l l o w sav e c t o ro fo b s e r v a t i o n sa te a c hm e a s u r e m e n t ， t h er e s p o n s ev a r i a b l e sa r em e a s u r e do ne a c hpo c c a s i o n sw h i c hr e g a r d e d a spl e v e l so faw i t h i n u n i tf a c t o r ，w ec o n s i d e rt h ec a s eo fm u l t i v a r i a t e r e s p o n s e t h et e r m i n o l o g yw eu s ef o rt h ev a r i o u sm r md e s i g n si nt h i s a s p e c ti s ao n e w a ym r ma n o v ar e a r st ot h es i t u a t i o nw i t ho n l yo n e w i t h i n u n i t sf a c t o r ，w h i c hw el a b e la s ”t i m e ”f o rc o n v e n i e n c e ，w h i l e w el a b e la s g r o u p ”f o rab e t w e e n - u n i t sf a c t o r ，w ea s s u m et h a tt h e r e a r egl e v e l so ft h eg r o u pf a c t o rw i t hn ju n i t sa s s i g n e dt ot h ej t hl e v e l ， j = 1 ，q ，a n dd e n o t et h et o t a ls a m p l es i z ea sn = n 1 + + n 口w ec o n s i d e ral i n e a rm o d e la n dp a r a m e t r i z a t i o nf o rt h eo n e w a ym r m d e s i g n w i t ho n eb e t w e e n u n i t sf a c t o ri n c o r p o r a t i n gu n l v a r i a t er a n d o me f f e c t s ， w h e r e 场= m j k j 打r i st h er e s p o n s em e a s u r e m e n ta tt i m ekf o ru n i ti w i t h i ng r o u p j ，i = 1 ，一，7 bi sa n i n d e xf o re x p e r i m e n t a lu n i tw i t h i n g r o u p j ，j = 1 ，一、qi sa ni n d e xf o rl e v e l so ft h eb e t w e e n u n i t sf a c t o r ( g r o u p ) ， 女= 1 ，一，pi s a ni n d e xf o rl e v e l so ft h ew i t h i n u n i t sf a c t o r ( t i m e l f o r s u c hm o d e l ，t h eo b s e r v a t i o n sa r et r a n s f o r m e db ya no r t h o g o n a lm a t r i x t h ea n o v ab a s e do nt h ef i r s ts e to ft r a n s f o r m e do b s e r v a t i o n sp r o v i d e s t h ea n o v af o rt h eb e t w e e n u n i t se f f e c t s t h ep r o b l e m so fi n t e r e s ta r e t ot e s tf o rt h eg r o u pe f f e c t ，t i m ee f f e c t ，i n t e r a c t i o nb e t w e e n g r o u pe f f e c t d i s s e r t a t i o nf o rp f i i l o s o p h yd o c t o r d e g r e e ，e c n u ( 2 0 0 4 ) i v a n dt i m ee f f e c t ，w h i l ea n o v ab a s e do nt h ek t hs e to ft r a n s f o r m e do h - s e r v a t i o n s ，f o re a c hk = 2，pp r o v i d e st h ea n o v a f o rt h et i m ee f f e c t s a n di n t e r a c t i o no f g r o u pe f f e c t sa n d t i m ee f f e c t s ，t h et e s ts t a t i s t i c sf o ra l l p r o b l e m sa r eg i v e n ，a l s os p h e r i c i t yt e s ti ss t u d i e d t h el i k e l i h o o dr a t i o c r i t e r i o no fs p h e r i c i t yt e s t ，i t sa s y m p t o t i ce x p a n s i o na n dl i m i t i n gd i s t r i b u t i o na r eo b t a i n e d t h es e c o n da s p e c t ：w ec o n s i d e rt e s t i n gp r o b l e mw h i c hi s g e n e r a l i z e d s p h e r i c i t yt e s t ，t h ec r i t e r i o no ft h et e s tw i l lb ef o u n da n dt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no fg e n e r a l i z e ds p h e r i c i t yt e s tw i l lb eg i v e n a l s oi nt h i s a s p e c tw es t u d yt h es p h e r i c i t yt e s ti nt w om o d e l sa sa i la p p l i c a t i o no f t h eg e n e r a l i z e ds p h e r i c i t yt e s t ，t h ef i r s tm o d e li st h en e s t e dr e p e a t e d m e a s u r e sm o d e l ( n r m m ) i nn e s t e dr e p e a t e dm e a s u r e sm o d e l ，w eh a v e i n d e p e n d e n ti n d i v i d u a l se a c hh a v i n gt h es a m en u m b e ro fs u b i n d i v i d u a l s ， w h e r ee a c hs u b i n d i v i d u a lr e c e i v e st h es a m en u m b e ro fc o m b i n a t i o no f r o w st r e a t m e n t sa n dc o l u m n st r e a t m e n t s w ea s s u m et h a ta l lm e a s u r e m e n t sh a v et h es a m e v a r i a n c e ，矿；e v e r yp a i ro fm e a s u r e m e n t s t h a tc o m e s f r o md i f f e r e n ts u b i n d i v i d u a l sb u tt h es a l 2 1 ei n d i v i d u a l sh a sc o v a r i a n c e ， 萨p l ；a n de v e r yp a i ro fm e a s u r e m e n t st h a tc o m e sf r o mt h es a m ei n d i v i d u a la n dt h es a m es u b i n d i v i d u a lw i t h ( i ) d i f f e r e n tc o l u m n sa n dd i f f e r e n t r o w s t r e a t m e n t s ，( i i ) t h es a m e c o l u m nb u td i f f e r e n tr o w st r e a t m e n t s ，( i i i ) d i f f e r e n tc o l u m n sb u tt h es a m er o wt r e a t m e n t s ，h a v e 矿p 2 ，a 2 p 3 ，a 2 p 4a s t h e i rr e s p e c t i v ec o v a r i a n c e s t h es e c o n dm o d e li sa o n e w a ym u l t i v a r i a t e r e p e a t e dm e a s u r e m e n t sa n a l y s i so fv a r i a n c em o d e l ，w h i c hi ss t u d i e di n t h ef i r s ta s p e c to ft h i st h e s i s f o rb o t hm o d e l st h el i k e l i h o o dr a t i oc r i t e r i o n s ，t h e i ra s y m p t o t i ce x p a n s i o n sa n dl i m i t i n gd i s t r i b u t i o n sa r eo b t a i n e d r e s p e c t i v e l y t h et h i r da s p e c t ：w ec o n s i d e r c o m p a r i s o n o fm i n i m u mn o r m q u a d r a t i c u n b i a s e de s t i m a t o r ( m i n q u e ) a n do r d i n a r yl e a s t s q u a r e s e s t i m a t o r ( l s e ) o fei nt h em u l t i v a r i a t en o r m a ll i n e a rm o d e l 】1 | 一n ( x b ， i 飞 w h e r et h ed e s i g nm a t r i xxn e e dn o th a v ef l d lr a n ka n dt h ed i s p e r s i o n d i s s e r t a t i o nf o rj ，h i l o s o p h yd o c t o rd e g r e e ，e c n u ( 2 0 0 4 ) m a t r i x1 + c a nb es i n g u l a r w ec o n s i d e rt h r e el o s sf u n c t i o n s ：s q u a r e d l o s sf u n c t i o n ；e n t r o p yl o s sf u n c t i o n ；s y m m e t r yl o s sf u n c t i o n ia n du n d e r t h r e ec r i t e r i a ：r i s ko fs q u a r e dl o s sf u n c t i o nc r i t e r i o n ；r i s ko fe n t r o p yl o s s f u n c t i o nc r i t e r i o n ；r i s ko fs y m m e t r yl o s sf u n c t i o nc r i t e r i o n ，t h ec o m p a r i s o no ft h e s et w oe s t i m a t o r s ( m i n q u ea n dl s e ) i sm a d e an e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tm i n q u e i ss u p e r i o rt os i m p l ee s t i m a t o ri s o b t a i n e dw h e nt h ec o m p a r i s o ni sm a d eu n d e rt h es q u a r e dl o s sf u n c t i o n c r i t e r i o n a l s oi ti si n t e r e s t e dt op r o v et h a tu n d e re n t r o p yl o s sr u n e t i o nc r i t e r i o nm i n q u ei ss u p e r i o ro re q i v a l e n tt os i m p l ee s t i m a t o r ，a s w e l la san e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tm i n q u ei ss u p e r i o rt o s i m p l ee s t i m a t o ri so b t a i n e d w h e nt h ec o m p a r i s o ni sm a d eu n d e rt h e s y m m e t r y l o s sf u n c t i o nc r i t e r i o ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dr e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：o n e w a y m u l t i v a r i a t er e p e a t e dm e a s u r e m e n t s ，a n a l y s i s o f v a r i a n c e ，l i k e l i h o o dr a t i oc r i t e r i o n ，s p h e r i c i t yt e s t ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ，m u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l ，n e s t e dr e p e a t e dm e a s u r e sm o d e l ， m i n q u e ，r i s kf u n c t i o n ，s q u a r e dl o s sf u n c t i o n ，e n t r o p yl o s sf u n c t i o n ， s y m m e t r y l o s sf u n c t i o n y 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取碍的研究成 果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确说明并表示谢意。 作者签名：垒! 竺竺丝日期； 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构迭交论文的电子版和纸质版有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密鸲 学位论文在解密后适用本规定， 、葺2 卜7 学位论文作者签名乩丝! 主墨导师签名：2 兰= fe 次) 日期：i7 坤眇rl 日期：2。i ￥k 。弋 d i s s e r t a t t o nf o rp h i l o s o p h yd o c t o rd e g r e e ，z c n u ( 2 0 0 4 ) a c k n o w l e d g m e n t s 1w o u l dl i k et oe x p r e s sm ys i n c e r ea p p r e c i a t i o nt op r o f e s s o rj i n g - l o n g w a n g a n dm yd e e p e s tt h a n k sa r ee x t e n d e dt oh i mf o rh i sg u i d a n c ea n d t h o u g h t f u ls u g g e s t i o n sd u r i n gt h i sr e s e a r c h 1w i s ht ot h a n kt h eg o v e r n m e r i to fc h i n a ，c h i n as c h o l a r s h i pc o u n c i l ，e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y f o rg i v i n gm es c h o l a r s h i pf o rg r a d u a t es t u d y ia l s ow a n tt oe x p r e s sm y t h a n k st ot h es t a f fo ft h ed e p a r t m e n to fs t a t i s t i c sf o rt h e i rs u p p o r ta n d e n c o u r a g e m e n t a sw e l la s id o n tf o r g e tt oe x p r e s sm ys i n c e r et h a n k s t om r q i ng u o y o uf o rw r i t i n gp r o g r a mc o m p i l ew i t hm a t l a bs o f t w a r e t oa n a l y s i sd a t ao fe x a m p l e2a n de x a m p l e3i n c h a p t e r2 f i n a l l yi e x t e n dm y l o v e ，g r a t i t u d e ，a n da p p r e c i a t i o nt oe v e r yo n ew h og i v em e t h e i rs e r v i c ea n dh e l p ia mm o s tg r a t e f u lt oa l l 。 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t l 0 n 1 1 r e p e a t e dm e a s u r e m e n t sd e s i g n s r e p e a t e dm e a s u r e m e n t sa n a l y s i sa r ew i d e l y u s e di n i n a n yf i e l d s f o re x a m p l e ，t h e h e a l t ha n dl i f es c i e n c e s ) e p i d e m i o l o g y ，b i o m e d i c a lr e s e a r c ha n ds oo n r e p e a t e dh l e a s u r e n e n t si sat e r n lu s e dt od e s c r i b ed a t ai nw h i c ht h er e s p o n s ev a r i a b l ef o re a c h e x p e r i m e n t a l u n i ti so b s e r v e do nm u l t i p l eo c c a s i o n sa n dp o s s i b l yu n d e rd i f f e r e n te x p e r i m e n t a lc o n d i l i o n si ns t a t i s t i c s 3m a n y s i t u a t i o n sa r i s et h a ti n v o l v er e p e a t e dn l e a s u r e n l e n t so nt h es a l r l e e x p e r i m e n t a lu n i t s ( i n d i v i d u a l s ) h y p o t h e s e st e s t so fi n t e r e s ti nt h e s es i t u a t i o n sg e n e r a l l y f a l li n t oo n eo ft w oc a t e g o r i e s ：t e s t sa b o u tt h en l e a n sa n dt e s t sa b o u tt h ec o v a r i a n c es t r u t t u r e t om a n ya u t h o r s ，t h e i rp r i m a r yc o n c e r ni si nt e s t i n gh y p o t h e s e sa b o u tt h em e a n s ， b u tt h e ya l s od e r i v es e n s i b l et e s t sf o rm a n yh y p o t h e s e sa b o u tt h ec o v a r i a n c es t r u c t u r e e v e ni nc a _ s e sw h e r eo n ei sp r i m a r i l yi n t e r e s t e di ni n f e r e n c ea b o u tt h em e a n s ，t h ea s s n n l e d s t iu e t u r eo ft h ec o v a r i a n c em a t r i x p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es e l e c t i o no fa na p p r o p r i a t et e s tp r o c e d u r e sw eo f t e na s s u n l et h a tw eh a v eas e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tp v e c t o r s o fr n e a s u r e i i l e n t s ，m ，w h e r eki st a k e nt oh a v eam u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n w i t hn l e a nv e c t o r 卢2a n dc o v a r i a n c em a t r i x 0 ，( 0m e a n s i sp o s i t i v ed e f i n i t e ) t nt h em o s tg e n e r a lc a s e ，i st a k e nt ob ea r b i t r a r y , i e ，c o m p l e t e l yu n s p e c i f i e d ，a n d a l lp ( p + i ) 2p a r a m e t e r si n m u s tb ee s t i m a t e df r o mt h ed a t a t e s tp r o c e d u r e sf o r d r a w i n gi n f e r e n c e sa b o u tt h eg l e a nv e c t o ri nt h i ss e t t i n g & r ew e l lk n o w n a l t h o u g ht h e s e p r o c e d u r e sa r ev a l i df o ra n yc o v a r i a n c es t r u c t u r ea m o n gt h ev a r i a b l e s ，t h et e s t sa r en o t v e r yp o w e r f u ls i n c en m c ho ft h ed a t a i sn e e d e dt oe s t i m a t et h eu n k n o w n p a r a r u e t e r si n i no r d e rt og e tm o r ep o w e r f u lp r o c e d u r e s ，w em u s tr e d u c et h en u m b e ro fp a t a m e t e r s i net ob ee s t i m a t e df o rt h i sr e a s o n t h ec o v a r i a p , e em a t r i xl so f f e na s s u m e dt o1 l a v e ak n o w ns t r u c t u r el e tk = ( k l ，k 口) b et h ev e c t o ro fm e a s u r e m e n t so i lt h ei t h i n d i v i d u a lo n es u c ha s s , m l p t i o ni st h a te a c hl h a st h es a l i i cv a r i a n c e ，f 2 ；a n de a c hp a i r 丝堑羔里! ! ! 型型塑堡! 1 9 生望羔q 竺璺! 旦( ! g ! q 墨旦堡垒坚堡望：里竺盟型i 1 0 o 4 ) 2 o fn l e a s l ne l l l e t l t s 。1 lt h es a n i ei n d i v i d u a l a n d 场，h a v et h es a l u ec o v a r i a m 。e 、r r 2 p ic c 0 1 j ( k ) = = 口2 1 p p 1 p p p p 口2 。、一两1 p 0 u s i n gac o o r d i n a t ef r e ea p p r o a c ht of i n do p t i m a lp r o c e d u r e sf o rt e s t i n gal a r g ec l a s so f h y p o t h e s e sa b o u tp 2 a n dd e r i v es e n s i b l et e s t sf o rm a n yh y p o t h e s e sa b o u tt h ec o v a r i a n c e s t r u c t u r e r e s u l t so ft h ew o r ka n a l y z es e v e r a ld i f f e r e n tk i n d so fd e s i g n s ) s u c ha s ( 1 ) s p l i t s p l i t p l o td e s i g n s ， ( 2 ) ab a l a n c e df o u r w a ym i x e de f f e c t sm o d e lt h a th a s ( i ) o n er a n d o m e f f e c ti n t e r a c t i n gw i t ho n ef i x e de f f e c ta n dt h i si n t e r a c t i o ni n t e r a c t s w i t he a c ho ft h eo t h e rt w of i x e de f f e c t s ( i i jt w or a n d o me f f e c t sw i t ho n en e s t e di nt h eo t h e ra n dt h en e s t e do n ei n t e r a c t s w i t he a c ho ft w of i x e de f f e c t s ， ( i i i ) t h r e er a n d o n le f f e c t sw i t ht h es e c o n do n en e s t e di nt h ef i r s to n ea n dt h et h i r d o n en e s t e di nt h es e c o n do n ea n dt h es e c o n do n ei n t e r a c t sw i t ht h ef i x e de f f e c t ， ( 3 ) ab a l a n c e df o u r w a yr a n d o me f f e c t sm o d e lt h a th a st h es e c o n do n en e s t e di nt i m f i r s ta n de a c ho ft h eo t h e rt w or a n d o me f f e c t sn e s t e di ut h es e c o n do n e i ti sa l s ou s e f u lf o ra n a l y z i n ga n yo ft h ea b o v em i x e do rr a n d o me f f e c t sm o d e l sa f t e ra d d i n g a n yn u m b e ro f f i x e de f f e c t sa sl o n ga st h e yd o n ti n t e r a c tw i t ha n yr a n d o m e f f e c tp r e s e n ti n t h em o d e la l s oa l m o u e l ( 1 9 9 0 ) p r o v e dt h eb a s i ct h e o r e mf o rt h en r m m t e l l i n gh o w t ot r a n s f o r mt h i sm o d e li n t oap r o d u c to fm o d e l sw h e r en o t h i n gi s p a t t e r n e da n dd e r i v e d ac o m p l e t es u f f i c i e n ts t a t i s t i c ，o p t i r a a le s t i 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