（应用数学专业论文）随机向量f隐相补问题和广义的变分包含问题.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 随机向量f 隐相补问题和广义的变分包含 题 学科专业：应用数学研究方向：非线性泛函分析 指导教师：邓磊教授研究生：魏辉 摘要 变分不等式理论己有较突出的地位，其最重要也很有趣的内容是利用预解算子理论构造 迭代算法，最后证明迭代算法的收敛性鉴于此，本文从以下几个方面讨论： 1 简述变分不等式理论的历史背景和研究现状 2 介绍和研究了一类新的随机向量f - 隐相补问题和随机向量b 隐变分不等式问题，并 且在b a n a c h 空间中的一定条件下证明了它们的等价性在适当的条件下给出了随机向量f - 隐 相补问题和随机向量p 隐变分不等式问题解的存在性定理 3 在口一致光滑的b a n a c h 空间引入和研究了一类含( a ，7 ) 增生算子的似变分包含问题 利用( a ，叩) 增生算子的预解算子，给出了这类似变分包含问题的迭代算法，并证明了这类似变 分包含问题解的存在性和该迭代算法的收敛性 4 在口- 一致光滑的b a n a c h 空间中，引入了( a ，刀，夕) 增生算子的概念并研究了一类新的 含( a ，叩，9 ) 增生算予的似变分包含问题利用( a ，卵，9 ) 增生算子生成的预解算子，给出了一类 新的p 步迭代算法的广义似交分包含问题，并证明了这类似变分包含问题解的存在性和迭代 算法的收敛性 关键词：k k k 定理 向量f 一隐相补问题 ( a ，叼) 一增生算子( a ，7 ，夕) 一增生算 子迭代算法预解算子 肴1 、 m a j o r ： s p e c i a l i t y ： s u p e r v i s o r ： n a j t l e ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s p r o f e s s o rl e id e n g h u iw b i a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yh a sb e e np r o m i n e n ti nm a t h e m a t i c s a m o n gm a n y 嬲p e c t so fi t t h em o s ti m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gi st od e v e l o pe f f e c t i v en u m e r i c a l m e t h o d st og e n e r a t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s t h i sp a p e rw i l ld i s c u s s i ti nt h ef o l l o w - i n gw a y ： f i r s t l y , t h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n ts t a t eo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y w i l l b ed i s c u s s e d s e c o n d l 、- i tw i l li n t r o d u c e sa n ds t u d i e san e wc l a s so fr a n d o mv e c t o rp r o b l e m s f - i m p h c i tc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m sa n dr a n d o mv e c t o rf - i m p l i c i t v a r i a t i o n a li n e q u a l - i t yp r o b l e m s ，a n dt h ee q u i v a l e n c eo ft h e mi sp r e s e n t e du n d e rc e r t a i na s s u m p t i o nm b a n a c hs p a c e s o m en e we x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u t i o n sf o rt h er a n d o mv e c t o r f i m p h c i tc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m sa n dr a n d o mv e c t o rf - i m p l i c i tv a r i a t i o n a li n - e q u a l i t yp r o b l e m sa r ed e r i v e du n d e rs o m e s u i t a b l ec o n d i t i o n s t h i r d l y , i tw i l li n t r o d u c e sa n ds t u d i e sas y s t e mo fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - h k e i n c l u s i o n sw i t h ( a ，7 7 ) 一a c c r e t i v eo p e r a t o r si nq - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e b y a p p l y i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o r s ，t h ei t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h i ss y s t e mo f g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - h k ei n c l u s i o n si nq - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c ei se s t a b - l i s h e d a n di tw i l lp r o v e st h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o nf o rt h eg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - h k e i n c l u s i o n sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db ya l g o r i t h m f i n a l l y ，i tw i l li n t r o d u c e st h ec o n c e p to ft h e ( a ，7 7 ，夕) 一a c c r e t i v eo p e r a t o r sa n d s t u d yas y s t e mo fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n sw i t h ( a ，7 ，9 ) 一a c c r e t i v eo p - e r a t o r si nq - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e b ya p p l y i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o r s d m t v m p n 屺 l l 1 j侧堡m 肌洲试旧r懂n r p - 。强蕊 u ) 1 d毗哪m 如即砒叭m v 北倍阱毗豫舻 n e 叫脒甜然 i i 以口 a s s o c i a t e dw i t h ( a ，叩，9 ) a c c r e t i v eo p e r a t o r s ，an e wp - s t e pi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o r s o l v i n gt h i ss y s t e mo fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n si nq - u n i f o r m l ys m o o t h b a n a c hs p a c ei se s t a b l i s h e d a n di tw i l lp r o v e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h e g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - h k ei n c l u s i o n sa n dt h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e s g e n e r a t e db ya l g o r i t h m k e y w o r d s ：k k m t h e o r e m ；r a n d o mv e c t o rf - i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r y p r o b l e m s ；( a ，叩) 一a c c r e t i v eo p e r a t o r s ；( a ，? 7 ，9 ) 一a c c r e t i v eo p e r a t o r s ；i t e r a t i v e a l g o r i t h m ；t h er e s o l v e n to p e r a t o r s 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：刍秀搀 签字日期：工夕护c f 年守月一日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ， ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：曰不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：貔将 导师签名： 签字日期：2 - ，听年孝月矽日 签字日期： 西南大学硕士学位论文日舌 - l - - - 刖 吾 自二十世纪六十年代，f i c h e r a 1 1 ，s t a m p a c c h i a 2 ，h a r t m a n ，s t a m p a c c h i a 3 1 ， b r o w d e r l 4 , 5 1 ，l i o n s ，s t a m p a c c h i a 6 ，k yf a n 7 等人提出和创立变分不等式和相补问 题基本理论以来，经过许多数学家的努力，变分不等式的理论及应用日趋完善，现 已广泛深入到力学、物理学、现代化控制、非线性规划、经济与交通平衡、管理 科学、运筹学、优化与控制理论、微分方程问题等诸多领域到目前为止，变分不 等式理论己成为当前数学方法中非常有效的数学工具之一，其应用也不断拓广，形 成一个颇具规模的体系 变分不等式理论中最重要也很有趣的内容是设计有效的迭代算法来计算它的 近似解十分有效的一个数值计算方法是投影算法及其变形但众所周知，为了保 证投影算法产生的迭代序列的收敛性，往往要求算予必须是强单调且l i p s c h i t z 连 续的这些条件很大程度上限制了投影算法的应用范围，比如：投影算法不能应用 到广义混合变分不等式问题的求解上这促使许多学者研究辅助原则、预解算子 技巧、逼近点映射等来研究( 广义) 非线性混合变分不等式解的存在性及近似解 的迭代逼近算法在计算机科学的推动下，一些学者还在有限维欧氏空间中用计算 机程序实现变分不等式近似解的算法过程，并得到近似解 随机变分不等式和随机相补问题的理论是随机泛函分析理论的重要组成 部分，这一理论及其应用的研究不仅随机泛函分析理论及其应用有重要的影 响，而且对各类随机方程和随机控制理论及其应用的研究也将提供强有力的 工具关于随机变分不等式问题t a n 8 】和z h a n g 9 】分别在1 9 8 6 年和1 9 8 9 年做过 研究，另外z h a n g n l 在这本书中这本书中介绍了几类重要的随机变分不等式和 随机拟变分不等式可测解的存在性条件，讨论了随机鞍点的存在性定理，并给 出h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式和w a l r a s 定理的随机化形式 2 0 0 6 年，l i ，h u a n g 12 】在b a n a c h 空间中介绍了一类向量n 隐相补问题和 相应的变分不等式问题，在适当的条件下证明了相补问题解的存在性定理 2 0 0 6 年，d i n g ，f e n g 叫在鼋一一致光滑的b a n a c h 空间中利用p 步迭代算法研究了一 类含( a ，叼) 一增生算子的广义拟变分包含问题，利用预解算子给出了这类包含问 题的迭代算法，并证明了解的存在性定理和迭代算法的收敛性2 0 0 8 年，a h a m d ， u s m 如f 2 4 】利用广义的日一单调算子在b a n a c h 空间研究了一类新的非线性隐拟变 分包含闻题，并证明了迭代算法的收敛性2 0 0 8 年，冯，丁【2 5 l 用( a ，研) 一增生算子 在口一致光滑的b a n a c h 空间研究了一类广义集值变分包含组，给出了这类变分包 含组问题的迭代算法，并证明了该迭代算法的收敛性 本文第一章在b a n a c h 空间中介绍和研究了一类新的随机向量p 隐相补问题 1 西南大学硕+ 学位论文刖舌 和随机向量f 一隐变分不等式问题，并在一定条件下证明了它们的等价性在适当 的条件下给出了随机向量n 隐相补问题和随机向量p 隐变分不等式问题解的存在 性定理 ， 本文第二章在g 一致光滑的b a n a c h 空间引入和研究了一类含( a ，7 7 ) 一增生算子 的似变分包含i ；7 题利用( a ，7 7 ) 一增生算子的预解算子，给出了这类似变分包含问题 的迭代算法，并证明了这类似变分包含问题解的存在性和该迭代算法的收敛性 本文第三章在g 一致光滑的b a n a c h 空间中，引入了( a ，叼翘) 一增生算子的概念 并研究了一类新的含( a ，叩，9 ) 增生算子的似变分包含问题利用( 月，7 7 ，夕) 一增生算子 生成的预解算子，给出了一类新的p 步迭代算法的广义似变分包含问题，并证明了 这类似变分包含问题解的存在性和迭代算法的收敛性 2 西南大学硕士学位论文第1 章随机向量凡隐相补问题和相应的变分不等式问题 第1 章随机向量f 隐相补问题和相应的变分不等式 问题 1 1引言 相补理论被l e m k e 1 0 i ：c o t t l e d a n z i g 1 1 】研究并应用到非线性分析方面已超 过4 0 多年了特别地，对于相补问题的解集和它相应的变分不等式问题解集的 关系有很多的讨论【1 3 ，1 5 ，1 6 】在文献 1 3 】中，引出了随机相补问题：求可测映 射p ：q 一日使得对每个u q 都有 ip ( u ) k ，( u ，p ( u ) ) k + ； i p ( u ) ，( 甜，p ( u ) ) ) = 0 其中是h i l b e r t 空间日的闭凸锥，+ 是k 的共轭锥，( q ，) 是可测空间，f ： q h _ 日是随机映射 2 0 0 6 年，l i ，h u a n g 1 2 】介绍了一类新的向量f 一隐相补问题：求。+ k 使得 ( s ( x + ) ，g ( x + ) ) + f ( g ( x + ) ) ) = 0 ，( ，( z + ) ，y ) + f c y ) ) 0 ，v y k 其中k 是实b a n a c h 空间x 的闭凸锥，( p ) 是有点闭凸锥p 诱导出的有序的b a n a c h 空间，：k _ l c x ，y ) ，g ：k 一，f ：k _ y 都是映射 在文献 1 2 ，1 3 】的基础上，我们把向量b 隐相补问题推广到可测上来，这样就 得到了随机向量p 隐相补问题：求可测映射p ：q k 使得对每个u q ，都有 ，( u ，芦( u ) ) ，夕( u ，弘( 。) ) ) + f ( 。，9 ( 。，弘( u ) ) ) = 0 和 ( ，( u ，肛( u ) ) ，y ) + f ( w ，y ) 0 ，vy k ， 并且其相应的变分不等式问题称为随机向量只隐变分不等式问题：求可测映 射p ：q _ k 使得对每个u q ，都有 ( 厂( u ，肛( u ) ) ，y 一夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，y ) 一f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) 0 ，vy k ， 其中( q ，) 是可测空间，x 是实b a n a c h 牢_ 间，kcx 是闭凸锥，( y ，p ) 是有点闭凸 锥p 诱导出的有序的b a n a c h 空间，n ( x ，y ) 表示从x 到y 的所有连续线性映射所 形成的空间，：qxk _ l ( x ，y ) ，g ：q k _ k 和f ：q k _ y 都是随机连 续映射 3 西南大学硕士学位论文 1 2 预备知识 1 2 预备知识 设q 非空集合，是q 的子集族称为口代数：如果满足： ( 1 ) q ； ( 2 ) 如果a ，则q a ； ( 3 ) 如果a n ，n = 1 ，2 。，则u 箍1 a n 那么( q ，) 可测空间，并且中的元素称为矿可测集或可测集 设y 实b a u a c h 空间y 的非空子集p 称为凸锥，如果( i ) p + p = p ，( i i ) 对 任给的a 0 ，都有a 尸尸p 称为点锥，如果p 凸锥，并且 p ) n 一p ) = 0 ( y ，尸) 是有点闭凸锥p 诱导出的有序的b a n a c h 空间p y 称为顶点在原点的闭 凸锥，如果 z y x y p 和 z 兰y x y 芒p 定义1 。2 1 映射，：q _ x 称为可测，如果对任给的x 的开子集g ，都 有，- 1 ( g ) 定义1 2 2 集值映射f ：q _ 2 x 称为可测的，如果对任给的x 的开子集g ，都 有f 一1 ( g ) = u q l 以u ) ng d ) 。 定义1 2 3 映射，：q x 称为集值映射f ：q _ 2 x 的可测选择，如果，是可 测的，并且对任给的u q ，都有，( u ) f ( 山) 定义1 2 4 映射t ：q x _ x 称为随机映射，如果对任给的z x ，丁( ，z ) 是 可测的， 定义1 2 5 随机映射t ：qxx x 称为连续的，如果对任给的u q ， t ( w ，】是x _ x 连续的 引理1 2 1 设k 是h a u s d o r f f 拓扑空间x 的非空子集，k k m 映射g ：k 一 2 x 使得对任给的y k ，g ( 分) 是闭的，并且对某个y k ，g ( 矿) 是紧的，则存 在x k 使得对任给的y k ，都有x 4 g ( y ) ，即，k g ( y ) d 引理1 2 2 设( y ；p ) 是有点闭凸锥p 诱导出的有序的b a n a c h 空间若z 0 ， y 0 ，那么对任给的z ，y y ，都有z + y 0 引理1 2 3 设( q ，衫) 是可测空间，x 是可分的实b a n a c h 空间f ：q _ 2 x 是 集值映射，则f 有可测选择显然如果e 是x 的可分闭凸子集，则f ：q _ 2 e 同样 也有可测选择 4 西南大学硕士学位论文 1 3 主要结果 注1 2 1 引理1 2 1 ，1 2 2 和1 2 3 的证明分别参加文献【1 3 】，【1 2 】和【1 4 】 引理1 2 4 设l z ：f l x 是可测映射，p ：x _ x 是连续映射，则p op ：q _ x 是可测映射 证明因为p 是连续的，则对x 中的任意开集c 可得尸- 1 ( c ) 也是x 中的开 集另外由于p 是可测的，可得p 一1op 一1 ( c ) 因此有可测的定义知p op 是可 测的证毕 1 3 主要结果 在本节中，我们约定( q ，) 是可测空间，x 是实b a n a c h 空间，kcx 是闭凸 锥，( vp ) 是有点闭凸锥p 诱导出的有序的b a n a c h 空间，l ( x ，y ) 表示从x 到y 的 所有连续线性映射所形成的空间，：q k _ l ( x ，y ) ，g ：q k _ 耳和f ： q k _ y 都是随机连续映射 随机向量f 隐相补问题( r v f i c p ) ：求可测映射p ：q k 使得对任给u q ，满足 ( ，( ，p ( u ) ) ，9 ( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) = 0 和 ( ，( u ，肛( u ) ) ，y ) + f ( u ，y ) 0 ，vy k ， ( 1 1 1 ) 相应的变分不等式问题( r v f i v i p ) ：求可测映射p ：q k 使得对任给u q ，满 足 ( ，( u ，p ( u ) ) ，y 一9 ( u ，弘( u ) ) ) + f ( w ，y ) 一f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) 0 ，vy k ( 1 1 2 ) 事实上问题( r r i c p ) 和( r v l 7 一i v i p ) 是【1 2 】中问题的随机化，因此它推广了 1 2 中 的结论，并且也推广了1 3 中的某些结论 定理1 3 1 ( i ) 如果对任意的u q ，p ) 是( r v f i c p ) 的解，则p ) 是( r - 一 i v i p ) 的解 ( i i ) 如果f ：q k _ y 关于第二个变量是正齐次的并且p ( u ) 是( r v f 一i p ) 的 解，则肛( u ) 是( r v f i c p ) 的解 证明( i ) 设对任意的u q ，p ( u ) 是( r v f - i c p ) 的解，则 和 ( ，( u ，p ( u ) ) ，夕( u ，p ( u ) ) ) 十f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) = 0 ( ，( u ，p ( u ) ) ，y ) + f ( w ，y ) 0 ，vy k 5 西南大学硕+ 学位论文1 3 主要结果 由此可得对任给的u q ( 厂( u ，肛( u ) ) ，y 一夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( w ，y ) 一f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) = ，( “，肛( ) ) ，y ) + f ( w ，y ) 一i ( ，( u ，p ( u ) ) ，夕( u ，芦( u ) ) ) + f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) 】 = ( 厂( u ，p ( u ) ) ，y ) + f ( u ，y ) 0 对任意的y k ；因此肛( u ) 是( r v f i p ) 的解 ( i i ) 设对任意的。q ，肛( 。) 是( r v f - i v i p ) 的解，则p ( ) k 使得 ( ，( u ，p ( u ) ) ，y 一夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，y ) 一f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) 0 ，v y k ( 1 1 3 ) 因为f ：q k _ y 关于第二个变量是正齐次的随机映射，k 是凸锥，在( 1 1 3 ) 中 分别令= 2 9 ( w ，p ( u ) ) 和y = 9 ( ，肛( u ) ) ，可得 ( ，( u ，p ( u ) ) ，9 ( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) 0 和 ( 厂( 叫，p ( u ) ) ，夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) 0 ， 这意味着 ( ，( u ，p ( u ) ) ，夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) 尸) n 一p ) 因为p 是点锥，可得 ( ，( u ，p ( u ) ) ，9 ( u ，p ( u ) ) ) + f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) = 0 由等式和( 1 1 3 ) ，可得 ( ，( u ，p ( u ) ) ，y ) + f ( u ，y ) = ( ，( u ，p ( u ) ) ，y 一夕( u ，p ( u ) ) ) + f ( w ，y ) 一f ( u ，夕( u ，p ( u ) ) ) 】 + 【( ，( u ，p ( u ) ) ，夕( u ，p ( ) ) ) + f ( u ，9 ( u ，p ( u ) ) ) = ( 厂( u ，p ( u ) ) ，y 一夕( u ，肛( u ) ) ) + f ( w ，y ) 一p ( u ，9 ( u ，弘( u ) ) ) 0 对任意的y k ，这就证明了肛( u ) 是( r v f i c p ) 的解证毕 最后我们给出( r v f - i p ) 解的存在性定理 定理1 3 2 如果 ( a ) ，：q k l ( x ，y ) ，g ：q k _ k 和f ：q k _ y 都是随机连续映射 ( b ) 存在映射h ：qxk k _ y 使得对任给的u q 6 西南大学硕士学位论文1 3 主要结果 ( i ) h ( w ，z ，o ) 0 ，v x k ； ( i i ) ( ，( u ，z ) ，y 一夕( u ，z ) ) + f ( u ，y ) 一f ( u ，夕( u ，z ) ) 一h ( w ，x ，y ) 0 ，v x ，y k ； ( i i i ) 对任意的z k ， k ：h ( w ，z ，y ) 兰o 是凸集 ( c ) 存在k 的非空紧凸子集c ，使得z k c ，| y c 使得对任意u q ，有 ( ，( u ，z ) ，y 一夕( u ，z ) ) + f ( w ，y ) 一f ( u ，9 ( u ，z ) ) 芝0 ( d ) 对任意u q ，映射g ：q k _ 定义为： g ( ，y ) = z k ：( ，( u ，z ) ，y 一夕( u ，。) ) + f ( u ，y ) 一f ( u ，夕( u ，z ) ) o ) ，v y k 设舰= n ”g ( u ，y ) ( 由下面的证明可知尥是非空的) ，m = 乩n 尥 如 果忱是凸的，m 是k 的可分闭凸子集并且a ：q 一2 m 是闭集值可测映射 则存在可测映射肛：q _ k 使得对任意的u q ，p ) 是( r v f - i v i p ) 的解 证明任取u q ，记为蛐下面我们首先证明是非空的由g ( u o ，y ) 的定 义和g ，的连续性，可得g ( w o ，y ) 是a 中的闭集因为c 是紧集并且对每个y k ， g ( w o ，y ) 是c 中的闭集，因此我们只需要证明 g ( u o ，y ) ) y e k 具有有限交性质即 可，由此便知非空设 1 ，y 2 ，) 是k 的任意有限子集，令b = 丽 cu 1 ，耽，) ) ，因此b 是的紧凸子集 集值映射毋，f 2 ：b _ 2 b 定义为： 毋( 蛐，y ) = ( z b ：s ( w o ，z ) ，y - - g ( w o ，z ) ) + f ( 蛳，y ) 一f ( 咖，g ( w o ，z ) ) o ) ，v y b 和 易( 岫，y ) = z b ：h ( w o ，z ，y ) o ) ，v y b 由条件( i ) 和( i i ) ，可得是( 蛐，y ，y ) 0 和 ( ，( u o ，可) ，! ，一g ( w o ，可) ) + f ( w o ，y ) 一f ( w o ，g ( w o ，掣) ) 一h ( w o ，y ，y ) 0 由引理1 2 2 可知 ( ，( 蛐，可) ，y g ( w o ，可) ) + f ( w o ，y ) 一f ( w o ，g ( w o ，y ) ) 0 ， 并且由此可知1 5 ( u o ，y ) 非空同理可证对任意的y k ，f 1 ( u o ，y ) 是闭的因 为只( u o ，y ) 是紧集b 的闭子集，所以r ( 岫，y ) 也是紧的 下面证明见( 蛐，y ) 关于第二个变量是k k m 映射事实上，假设存在 让l ，u 2 ， 1 1 , ) cb ，九0 ( i = l ，2 ，) 并且九= 1 使得 i - - - - - 1 7 毗蛐兄 n u ：! f b l啦k n 斟 i i u 西南大学硕十学位论文1 3 主要结果 则h ( w o ：札，) 芝0 ，歹= 1 ，2 ，仡由条件( i i i ) ，可得h ( w o ，u ，u ) 兰0 ，这与( i ) 矛盾 因此r 关于第二个变量是k k m 映射我们还可证明对任意y b ，b ( u o ，y ) c 只( 蛐，y ) 事实上，z f 2 ( o ，y ) 意味着h ( w o ，z ，y ) 0 ，并且由条件( i i ) ，可得 ( 厂( u o ，z ) ，y g ( w o ，z ) ) + f ( w o ，y ) 一f ( w o ，g ( w o ，。) ) 一h ( w o ，x ，y ) 0 由弓l 理1 2 2 可知 ( f ( w o ，。) ，y 一9 ( w o ，z ) ) + f ( w o ，y ) 一f ( w o ，g ( w o ，z ) ) 0 ， 即z r ( u o ，y ) 因此f l ( u o ，y ) 关于第二个变量也是k k m 映射由引理1 2 1 ，知 存在z + b 使得矿r ( u o ，y ) 对任意y b 这就意味着存在x + b 使得 ( ，( u o ，z 。) ，y 一9 ( w o ，z + ) ) + f ( w o ，y ) 一f ( w o ，g ( w o ，z + ) ) 0 ，v y b 由条件( c ) ，可得矿c 并且x 4 g ( w o ，们) ， = 1 ，2 ，扎因此 c ( w o ，y ) ) y e k 具 有有限交性质，即0 由u o 的任意性，知对任意u q ，地是非空的 由引理1 2 3 ，可知月有可测选择p 1 ：q _ m 使得对任意u q ，p 1 ( u ) a ( u ) 如果我们能证明对任意u q ，肛1 ( u ) 舰，则p 1 ( ) 满足，并且由m 冬，可 知p 1 即为我们所求但是由于直接证明很困难卢1 ( u ) 舰，所以就需要寻找另外 的可测映射p ：q _ m ( p 是有p 1 诱导出的) 使得对任意u q ，p ( u ) 舰 因为m 和耽都是k 中的凸集，因此存在连续投影算子矾：m 一舰 令h = q ( ) 乩，其中q ( u ) 满足 咄，= r 暮i m 卸， 显然如果a ( u ) = 1 当且仅当u = u o ，由此可知a ( w o ) = 1 并且对任意u q 蛐， q ( u ) = 0 ，因此日：m _ m 也是连续映射由引理1 2 4 ，可得何op 1 ：q m 是 可测映射并且日om ( w o ) = o m ( w o ) 舰。令p = h op 1 并且由蛐的任意性， 可知“即为所求证毕口 8 西南大学硕士学位论文 第2 章b a n a c h 空间含( a ：叩) 增生算子的广墼似变分包含问题 第2 章 b a n a c h 空间含( 4 ，7 7 ) 增生算子的广义似变分 包含问题 2 1引言 变分包含是经典变分不等式的一个重要推广，因此在许多领域有着广泛的应 用，例如，物理学最优化控制非线性规划经济与工程学中，见文献 1 8 ，19 】因为迭 代算法是研究变分不等式问题和变分包含问题的有力工具，因此许多人建立了各 种各样的迭代算法去研究变分不等式问题和变分包含问题，见文献f 2 0 - 2 3 在这些 方法当中利用预解算子理论去解决变分不等式问题和变分包含问题显得尤为重要 最近，文献2 4 1 利用广义的日增生算子在b a n a c h 空间研究了一类新的非线性 隐拟变分包含问题，文 2 5 】用( a ，刀) 增生算子在g - 一致光滑的b a n a c h 空间研究了一 类广义集值变分包含组 ， 我们在文 2 4 ，2 5 的基础上，在g - 一致光滑的b a n a c h 空间引入和研究了一类 含( a ，呀) 增生算子的似变分包含问题利用( a ，叩) 一增生算子的预解算子，给出了这 类似变分包含问题的迭代算法，并证明了该迭代算法的收敛性本文推广了近期文 献中相应的结果f 2 4 ，2 5 1 2 2预备知识 设x 是实b a n a c h 空间其对偶空间为x 。，( ，) ，表示x 和x + 之间的配对， 2 x 表示x 的所有非空子集族，c b ( x ) 表示x 的所有非空有界闭集集族d ( ，) 是 c b ( x ) 的h a u s d o r f f 度量，即 d ( a ，b ) = m n z s u p d ( x ，b ) ，s u p a ( a ，y ) ， c a ，b c b ( x ) z a y 6 b j 广义的正规对偶映射山：x _ 2 x + 为 山( z ) = ，x + ：( z ，) = i i x l i 1 1 1 1 ，l f ，i l = i i z l l q 一1 ) ，v x x ， 其中q 0 是常数b a n a c h 空间x 的光滑模函数p x ： 0 ，o 。) 一【0 ，o o ) 为 p x ( t ) = s u p 0 使得麒( t ) c t q ，q 1 ，则称x 是q - 一 致光滑的易知若x 是一致光滑的，则山是单值映射，另外若x h i l b e r t 空间， 则山是恒等映射 引理2 2 1 设x 是一致光滑的b a n a c h 空间则x 是哥一致光滑的b a n a c h 空间 当且仅当存在常数c g 0 ，使得对任给的z ，y x ， i i z + 可i | 9 i i z 酽+ q ( y ，厶( z ) ) + c g l l y l l g 证明见文献 3 7 】证毕口 定义2 2 1 设x 是g - 一致光滑的实b a n a c h 空间，a ：x x ，叼：x x _ x 是单值映射a 称为： ( i ) 矿增生，如果 ( a ( z ) 一a c y ) ，j q ( 叼( z ，可) ) ) 0 ，v x ，y x ； ( i i ) 严格7 7 一增生，如果 ( a ( z ) 一a ( 秒) ，厶( 叼( z ，) ) ) 20 ，v x ，y x ， 当且仅当z = y 时等式成立： ( i i i ) 7 一强咿增生，如果存在常数r o 使得 ( a ( x ) 一a ( ) ，厶( 7 7 ( z ，y ) ) ) r 忙一可i i 口，v x ，y x 定义2 2 2 设x 是口- 一致光滑的实b a 以a c h 空间，t ，9 是单值映射t 称为关 于夕是( 仃， o 使得 。l l 夕( z ) 一9 ( 暂) l l l z 一可l l ，v z ，y x ( i i ) 7 7 称为7 - l i p s c h i t z 连续，如果存在常数7 o 使得 i i 叼( z ，y ) i ；丁i i z 一可l i ，v z ，管x 1 0 西南大学硕士学位论文2 2 预备知识 定义2 2 4 设x 是g - 一致光滑的实b a n a c h 空间，叩：xxx x 是单值映射 集值映射m ：x _ 2 x 称为m - 松弛叼一增生，如果存在常数m 0 使得 ( 珏一u ，( 7 7 ( z ，爹) ) ) 一j m l l z 一可1 j 窖，v z ，y ，u x ，i t m ( x ，u ) ， m ( y ，) 定义2 2 5 设x 是g - 一致光滑的实b a n a c h 空问，a ：x _ x ，g ：x _ x ， r ：xxx _ x 是单值映射集值映射m ：xxx _ 2 x 关于第一个变量 称为( a ，帮) 一增生，如果a ，在第一个变量是m - 松弛咿增生，并且对任给的x ， p 0 都有( a + p m ( ，u ) ) ( x ) = x 引理2 2 2 设x 是g - 一致光滑的实b a n a c h 空间，a ：x _ x 是r 强7 7 一增生， 夕：x x 和叩：xxx _ x 是单值映射，m ：xxx _ 2 x 是( a ，7 7 ) 增生，则对 每个x ，( a + p m ( ，。) ) - 1 是单值映射，其中r 。 p 0 常数 证明见文献3 1 1 证毕口 定义2 2 6 设x 是q 一致光滑的实b a n a c h 空间，a ：x _ x 严格? 卜增生，m ： x 一铲是( a ，刀) 一增生，则对每个u x ，与m ，a ，t 7 ，p 有关的预解算子r a 州, r 7 ) ，p ： x _ x 为。 - r 。m a , ( i 叫) ，p ( z ) = ( a + p m ( ，u ) ) 一1 ( z ) ， v x x 定义2 2 7 设x 是g - 一致光滑的实b a n a c h 空间，f ：xxx x 是单值映射 f 称为在第一个变量是i - l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数专1 0 使得 l i f ( x ，u ) 一( y ，u ) j is 1 | j z y l f ，z ，y ，u x 同理可定义f 在第二个变量是已一l i p s c h i t z 连续的 定义2 2 8 设x 是实b a n a c h 空间，t ：x _ c b ( x ) 是单值映射r 称为d l i p s c h i t z 连续，如果存在常数t 0 使得 d ( t ( z ) ，丁( ) ) t l l x 一i f ， 比，y x ， 其中d ( r ，- ) 是c b ( x ) 上的h a u s d o r f f 度量 引理2 2 3 设义是g 一致光滑的实b a n a c h 空间，a ：x x 是r 强7 7 一增生， ，7 ：x x _ x 是a n - l i p s c h i t z i 奎续，m ：x x _ 2 x 是( a ，7 7 ) 一增生则对每 个u x ，预解算子。r w a , r “l 此p ：x _ x 是_ l i p s c h i t z ：i 毫续，其常数为警未 0 ，即， i i r 念2 ：，u ) ，p ( z ) 一兄惫? ，。) ，p ( y ) l l r 尘- l m p0 x - y l l ，v x ，y x 证明见文献f 3 1 1 证毕口 1 1 西南大学硕士学位论文2 3 变分包含问题和迭代算法 2 3 变分包含问题和迭代算法 这一部分我们将介绍一类新的包含( a ，7 7 ) 一算子的变分包含问题，并且建立 了迭代算法去解决这类变分包含问题这一部分我们同样设x 是口- 一致光滑的 实b a