（应用数学专业论文）闵可夫斯基空间中离散曲线的运动与离散可积方程的研究.pdf

2 0 0 6 年首都师范大学硕士毕业砖盘 摘要 离散静骛正海森堡铁磁链 p ) 方程是类十分耋簧酌可狡方程，它粕与相 应的离散非线性薛定谔方程之间存在着规范等价性。本文将从几何的观点出发 建立两翥之间的联系，即几何等价性我们将主要考虑闰可夫斯基空问中离散吐 线豹运动谤疆，势程焉离敖蘸线豹攀经矢量分裂替我鬻教曲m h f 方程中豹爨旋 矢量，给出相应的离散非线性薛定谔方程( d n l s e ) ，从而建立了两者之间的几何 等价性 关键溺：囊教海豢堡铁磁蠛鹫，离散辩穰方疆，攘氏空嗣，交润蠡线运魂 2 。潞莆都撺范盘学瑚士毕业 垂交 2 a b s 虹a c t t h ed4 s c r e t em o d i f i e dh e l s e n b e r gf s r r o m 8 9 n e t ( m h f ) m o d e l sa r et h ei m p o r t a n ti n t e g r a b l ee q u a t i o n s i ti sk n o w nt h a tt h e ya r eg a u g ee q u i v a l e n tt ot h ed i s c r e t en o n l i n e a r s c i l r 5 d i n g e r ( d n l s ) e q u a t i o n i nt h i sp a p e r + w ew i l lp r e s e n tt h e i rg e o m e t r i ce q u i w a l e n c e 。 t h em o t i o uo f d i s c r e t ec u r v ei nm i n k o w s k is p a c ei sf i r s ti n t r o d u c e d 。t h e nb yi d e n t i f y - i n gt h es p i nr e a c t o ro f i fm o d e l sw i t ht h eu n i tv e c t o r so fd i s c r e t ec n r v e lr e s p e c t i v e nw e o b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gd n l s k e y w o r d s ：d i s c r e t e h e m e n b e r g f e r r o n m g a e t m o d e l ，d i s c r e t e i n t e g r a b l e e q u a t i o n ，m i n k o w s k i s p a c e m o t i o no fs p a c ec u r 酋都师范大学位论文原创性精明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人仁导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不禽任何其他个 a 或集体e 经发表或撰写避的撵晶成果。对本文鳇硬究敲塞重要囊献的个人窝 集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名：予麟 髫期；2 0 0 6 年4 月2 0 跬 首都师范大学俄论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。商权 将学位论文甩于非赢利县的的少量复割势克诲论文进入学校图书镶鼓查阅。毒 较将学位论文的内容编入有关数据库避行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名 于双论 日期：2 0 0 6 每4 胃2 0 曙 2 0 0 6 4 。雷都烽藏走学磋士毕韭诧史 引言 自鼠建立了孤子理论，我稍发现诲拳非线性方程存在瓢子解，两盥发现许多 物理模型也是可积的在各种物理模型中海森堡铁磁镶( h f ) 模型是个十分夔 簧的可积系统。璃已知道h f 方程与可积韵非线性薛定谔方键之阉具有趣范和凡 祷嚣赞程1 1 , 2 。h f 方程表示瓣蔻经典连续静钦磁巍旋系绕静菲线性动力学情嚣 实际中对于铁磁晶体，我们通常用格点( 1 a t t i c e ) 自旋模型采描绘的因此要研究铁 磁系统豹自旋动力学麓褥鼓离散状态来考虑席文麓点考虑离散的情形 曲线运动的研究对予理解可积系统具有蘑犬作用_ ，4 基于对连续空间蛆线迩 动豹研究，篱毅赫线的运动情蕊也；| 起了越来越多科学家靛关注。避死年的研 究袭明鬟教魏线斡逡旗与菜些霹积舞教方程蠢饕紧密瓣联系# _ l 。对于熹散霹 积的h f 方程s d m h f 方程，研究袭明它们各自规范等价于离散的n l s 【1 1 - 1 3 最 避剃翔敬氐赛闻申离簸盏线的遮动：d a n i e l 等太绘拳了离散酌l 强方程鸟d n l s + 方 程之闻静死铤等玲性关系p m + 髓之嚣采的闻题是离数抟h 蛀：i f 模型是否也尼秘等 价予离散非线性薛定谔( d n l s 一) 方程? 基于这问题，我们将从欧氏空间连续曲 线运动出发整重考虑阂聂空闼离教瞧线运动，然聪讨论两类褒数哥积豹m h f 方 程及其嚣自的几何等按方褪。 零：叟的第摩中，我们摄分别麓单穷绍欧氏空阏孛魄连续与离教魏线，然嫠考 虑阂可必新基空阉中的连续与离散曲线，用与欧氐空间中类 娃魏方法褥出阂w 夫斯基空间中连续曲线盼f r e n e t - s e r r e t 方程及闵可必斯基空间中离散赫线酌标絮 隧时问的演化方程本文的第二章中，主要奔绍孤子方程的一些知识，其中有零螺 率方程、拉克斯方程殿离散孤子方程及箕拉克瓤澍的简单攥导，本文韵第三章 中，歇离散可耩静m h f 方程国发，利用第一章孛所得静溺氏垒闶蓊线运动方程，我 们能得到几个不同的离散可积方程并且结合第二耄有关孤予方程及拉克斯对 韵知识给& 这些离散可积方程的拉克靳对和备盘所对应的在连续状态下的方 糍+ 2 一签熊堇塞壁燕垄茎矍主璺些煎墨 3 第一章空间曲线与f r e n e t 方程 要歼腱本文以后的研究工作，我们酋先简疆地回顾下有关空问曲线的罄 本理论l 这个理论主袋研究剡巍空间馥绫在巢点邻近的鹰魏程魔帮离开平蔼程 艇的薰一一热率帮魏章，虢菠研究空阕l l l 线嶷一点邻避的近戳形状，劳将找毒跤 定空间曲线的条件 1 1敬笼空溷连续基线警f r e n e t 方程 在室潮盏线，i ：一点p 搏热线懿翅线，著燕箕模长戈1 。瓣该翔鳖髂为攀链切 向量t 再千# 与t 诋交的单位向悬，并使其指向该曲线的曲率中心，即为单位法向 羹n 最薅撵单鬣潮簸b 并使箕满是b t n ，瓣b 称灸馥线上p 点的副法淘燕 遨榉，瓣舞歪交静零控向擞t ，挑b 称为藏线上p 蔗t 豫f r e n e t 标絮，肇键翔量t ，n ，b 也称为曲线的基本向量曲线的曲率是用来刻酾曲线的弯曲程度在空间中任 譬一蛰熬线，我瓣发蜣，塑线的弯夔程髓越大，烈献矗劐邻避点的嶷蘑辩，冀鞠逡 夔豹方向敬变熬越快 设空间中伊类曲线的方程为c = c ( s ) ，其中s 为翻然参数弧长在柏线c 上任取 邻近的鼹点p 与q ，屋分别避p 、q 蹲点作单位堍向量t ( s ) 程t ( 8 + a s ) ，设这疆 个龆向爨靛夹角为，魁我们用空阀瞄线在p 点处的切向量对弧长s 的旋转速 艘来定义曲线在点p 的曲率，即( 8 ) 一 i m z l 。0 1 黎j = l 肇“ 出于单位向曩函数r $ ) 关予s 抟旋转速攫等于其微商的摸 ! 掣b 把上疆魄缝暴痰 爝到空间曲线c 韵铷矢量t 上去，刚商：( s ) 一i t = l 蘩l 其中上括擞代表对冁 长的一阶微商在t 上取单位向量n 。高= 景呵一赢 即舂塞一( s ) n 设标絮t ，1 1 ，b 满足如下方程： lt 一女( s ) n ， 磐一z t t + 。2 n + 。曲， ( 1l + 1 ) 霪一g i t + y 2 1 l + y a b 因为ft 篇l ，所以t 爨= o ；闭理有：n - 磐= b - - d b 7 舞。，经过麓单的计蒋可德空阑 趣茬一勇( s ) ，2 2 兰挑= 船黼0 ，。3 = 搬= r 0 ) 。 这样( t ，n ，b ) 随瓶长的演纯能写成如下袭遮式i 刊 ( 1 12 ) 2 0 0 c 洚菖癣蜂藏丸肇磺壹毕业釜史 l 鬈= k ( s ) n ， 妻= 一k ( o t + r ( s ) b ， ( 1 + l 踯 i 譬一d o n 上褥豹r s 称为赫线静挠率，它在数值上为益线鹣副法禽鲞对于黼畿豹旋转速 鹱，这组公式是空蜒蟪线论熬基奉公戏宅靛特点是基本蠢爨，槐b 关于甄长8 的微商可以用t ，mb 的线形组合来表示它的系数组成反称的方阵 1 2欧氏空间中的离散曲线与l * e n e t 隽程 4 对予簧教熬魏线 ，一般魑将连续熬线分簸若干枣段，相应的端点蘑鬻教 的点1 ，2 ，3 ，一，标记。在n 点上定义一套基失( t 。，b 。) 其中k 为该点的单位切矢 壁m 。为该煮钓单毽法燕垂量据奄藏率中心，海单位静涟戈壁，它的方商由b 。一 t 。确定。飙点n # 锫谶的耘+ 1 ) 虑，捆纛的蒸曳l 。，k ) 过渡到f t l ，粕k t ，霹 以出下面的衡个过渡变换得到： ( k ，b n ，b # ) 一呻f 毫，n 斛耘_ 蜘f l ，+ i ，耘+ 1 ) 氐i 晕剖，鼎一( 毪。封0 曩。 这嚣轧是n 。等辄+ l 之闽的夹角，是t ：与t i 之澜的舞角 ( t n + i ) = 埘 强抛， rt。co麓s0,s。ini0,tcos c o s t c 美o ssi。羔on。j 1 2 3sins ic o s r l 一 。s i n 口。 l ( ，) 、 8 i n 冉如n 蝴氐7 用类似的力法戒们可以使用逆矩阵一l ，扶基哂：，。，酞) 褥到基( “t 。一，一1 ) ( 豪) z 【，。一- ，一1 ( ；) ， c t 。a ， 2 。o e # - 首都师范大学硕士毕业论丈 其中、 f s & 一l s 如一l8 i 珏& 醯n 籼一ls i n & 一1 l 限。r 1 2 卜址1 “2 ：等一s l n 。c s - ico。s0 址1 j o2 鄙 s i n t ；5 n 一1 c o s 一1 设离散运魂弗线满足如下方程： 、， l 鲁= a n t n + 口。n ”十u b 这里下标代表时间由k - t 。= 1 ，可知k 豁= o ；同理商：镪一b 。d h u z o ，在 嗣下谣差系熹f ，t 。) = 黼d 、b 。t 。) 一岳( - b 竹) = 0 ，可褥： 袅一b 三- o , - 扭硒， 1 , 3阂空间中的连续曲线 前面戚们主要讨论丁三维欧几里德空间中的曲线与f r e n e t - s e r r e t 方程，其中 三缝敬凡墨德空闰蠹稷宠义为 = x 。y = 纛l 豁这个内狡表螭三缍 欧氏空间中一条正则曲线的切矢鬣长度宽大于零实际上我们可能遇到这 种情况，即”内积”不一定都是正定( 犬于零) 的例如，在狭义相对论中，我们考虑的 是3 + l 维时窆，帮对闻被试为是一娥蕊应这个坐标豹方蠢上，蠹载霹毫蕊受号，类 似地，我们把一个2 + 1 维时空视为3 维空间柬考虑 定义l ：围氏空翊酶 m 3 是通常的三维实矢量空间，设x = ( x 1 ，x 2 , x 3 ) i x l ，x 2 ，x 3 r m 3 ，y = ( y ly 2 ，y a ) i y l ，y a ，y a r m a ，则有内积 x o yl p l + 2 2 + x a y 3 ，这 个空阀髂鸯闳聪夹簸基空惩、又穆潦论兹空阕其中切矢量的定义与三维欧氏空 闻中的完全相同 。，警雪篇淼荔徽童；裂蒜嚣徽 黔粼卷篇篇怒雾署黼凳荟羔蒜茹苇蒜翠鬈裔要薹 为了得出闵氏空问中的n e n 武方程，我们先定义闭氏至1 日j 甲明网个失亘州犬凰仍l w 豹游粤营秦峥惹太掌碰士事业凳交 叉乘) 矢量x 与y 的矢鬣积记为x 灵y ，它是通过阱下公式定义的： 淄i y ) 。嚣= d e c ( 墨e 嚣) 其中z 为阕氏空阐中的任熬矢量通避简单的计算可以襻 爨糖x 乘势：x i y 。( # 蹴一嚣2 辩，勰魏一。i 瓣，：v i y 2 x 2 y j ) ，与漱氏空阕兴钕魏定戈 i 标架 t n ，b 令t 。t 一一1 ，# 。n t 。6 = no b = o b = 扳n 、则遮三个矢量构成了正 交蟾三橼絮瓣站阗氏空润中的任意一矢鬃x 麓唯一迪分解成如下形找： x 批。l + 鼬n + 。3 6 出海积定义霹褥茗l = 一x 、t ，= ，勰兰x ；b 致 而有x = 一 t + n + b 现在给定曲线c = e ( s ) c 3 则t e ，齄= 一每尹。，b 2 t 羹n 这榉t = ，= 乏i 叮三8 了n 盎 秘 【9 1a d o l i w aa n dp ms a n t i n i ，j m a t h p a y s3 6 ( 1 9 9 5 ) 1 2 5 9 【擒im + h i s a k a d o ，kn a k a y a m aa n dm w a d a t i j ，p h y ss 。c j p n6 4 ( t 9 9 5 ) 2 3 9 0 1 1 lyi s h i m o r i ，jp h y 8s o cj p n5 2 ( 1 9 8 2 ) 3 4 1 7 1 2 】th o f f m a n n ，p h y bl e t ta 2 6 5 ( 2 0 0 0 ) 6 2 ， 1 3 1q d i n g ，p h y 触t a 2 6 6 ( 2 0 0 0 ) 1 4 6 ， 1 4 】md a n i e la n dk m a n i v a n n a n ，p h y s r e vb 5 7 ( 1 9 9 8 ) 6 0 瑚棒巍骥、黄敬之，擞分凡姑，毫等教嘉斑舨享f 2 0 瓣) 1 6 1mh i s a k a d oa n dmw a d a t l p a y sl e f ta 2 1 4 ( 1 9 9 6 ) 2 5 2 ， i 日w k i i h n e l ，d i f f e r e n t i a l g e o m e t r y ：c u - s u r f a c d m a n i f o l d s 、s t u d e n t m a t h ，l i b r a r y , v o l l 6 a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y ，p r o v i d e n c e ( 2 0 0 2 ) y a m h u i 戳，y i n gz h a i ，v , r e i - z h o r l gz h a oa n dk ew u ，j + p 姆8s o c ，j p n 1 9 l 李蝴神孤子与可积系统上海科技教育出版社( 1 9 9 9 ) 2 1 塑垒堡董整璺整叁鲎壁杰兰壅燕墨一_ 2 2 致谢 三年硕士豌段魄学习帮耨结束了，甄想这三数点点滴演，萁燕感溉万千在 遮三年显我无论在学业t 还是思怨上都有了檄太的提高，这与很多人的篾心与 帮助是密不可分的， 曹先、我要黪谢我戆等掰巢可教授，爨老筛学讽渊麟，思路敏捷，演学严谨，辩天 平和，平易近人，芙心学生，雁是程他的谆谆教导下，戏狂学业上有了很大的进 步，惑懋上更翔残熬起来镌不挺缭- 我专娩期谖磊髓穗箨严于摊己、靛蕺建 渡、一丝不萄的王捧终风不断激励羲我总之，这三年米，我赝取得的点瀵戏绩都 凝聚着爨麓筛静心血和汗水在今精的生活旅程中，要老师的教诲将永远伴随着 拽 释l l 孛，我莲裘如感澍赵蒋密老舞瓣我的番心指导，簿毒我遴翻卡 么麓蔻，邂 老师总是不厌其烦地给我解释、指导使我能很快的找到问题的关键之处，越是 囊于瞧翻煲可教授熬共麓拯舄，我熬谂文才褥戳宠残，瓣德鹃感谢也不是镯落 谢所糍表达的努鲫藏避要媾谢数学黎的王志艇老师、予褪