（概率论与数理统计专业论文）幅度误差分析与采样点的选取.pdf

摘要 摘要 框架的概念由d u f f i n 和s c h a e f f e r 在1 9 5 2 年提出，经由d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 以及m e y e r 发展而被众多学者研究现在框架理论就已成为应用方面的一个重要 工具框架由于其冗余性使得在某些场合比标准正交基更加灵活，这样使得它在 信号处理方面能够起到很好的作用 采样在信号处理和图像处理中是一个最基本的问题，由于信号的采样值不可 能是准确值，例如量化误差，舍入误差，噪声误差所导致的幅度误差那么在信号 的重构过程中，研究各种类型的误差则变得非常重要 孙文昌和周性伟研究分析了一维小波子空间中信号重构的截断误差，幅度误 差，混淆误差及时间抖动误差o l e n k o 和p o g 矗n y 研究了高维小波子空间信号重构 的截断误差，j a n s s e n 研究了时间抖动误差，并且在某些条件下优化了不规则采样 的算法在本文第三章中，我们研究分析了高维小波子空间信号重构的幅度误差， 分别给出了其幅度误差在己( ) 和l 2 ( ) 范数下的上界估计当规则采样点不 止一个时，本文给出了如何选取最优规则采样点的一个准则 关键词幅度误差，规则采样点，小波子空间，框架，采样定理 a b s t r a c t a b s t r a c t f r a m ew a sd e f i n e db yd u f 五na n ds c h a e f f e ri n 19 5 2 i tw a sn o tc o n t i n u e du n t i l e 19 8 6w h e nt h ef u n d a m e n t a lw o r ko fd a u b e c h i e s ，g r o s s m a na n dm e y e rb r o u g h to u t f r o mt h e no n ，f r a m et h e o r yb e c o m e sac e n t a lt o o li nm a n ya p p l i e da r e a s f r a m e sa r e r e d u n d a n tb a s e sw h i c ht u r no u ti nc e r t a i na p p l i c m i o n st ob em o r ef l e x i b l et h a nt h eb e u e r k n o w no r t h o n o r m a lb a s e s ，s of r a m ec a nb es o m e t i m e sa nu s e f u lt o o li ns i g n a la n a l y s i s n es a m p l i n gp r o b l e mi so n eo ft h es t a n d a r dp r o b l e m si ns i g n a la n a l y s i sa n di m a g e p r o c e s s i n g s i n c eas i g n a lc a n n o tb er e c o r d e di ni t se n t i r e t ya n da c c u r a t e l y , i ti ss a m p l e d a tas e q u e n c e ，s or e c o n s t r u c t i o ne r r o r sw i l lb ea r i s e d f o re x a m p l e ，t h ea m p l i t u d ee r r o r i sak i n do fr e c o n s t r u c t i o ne r r o r sw h i c hm a yb ed u et oq u a n t i z a t i o n ，r o u n d i n g o f f , o r n o i s e s ot oa n a l y s i st h ek i n d so fe r r o r sb e c o m e sv e r yi m p o r t a n t s u na n dz h o u 1 】，s h o w e ds o m eg o o dr e s u l t sa b o u tt h et r u n c a t i o ne r r o r , t h ea m - p l i t u d ee r r o r , t h ea l i a s i n ge r r o ra n dt h et i m e - j i t t e re r r o ru n d e rt h es i n g l ev a r i a t ew a v e l e t s u b s p a c e s ，n l et r u n c a t i o ne r r o rw a ss t u d i e du n d e rt h em u l t i v a r i a t es h i f ti n v a r i a n ts u b - s p a c e si n 2 】t h et i m e - j i t t e re r r o rw a ss t u d i e du n d e rt h em u l t i v a r i a t ew a v e l e ts u b s p a c e s a n dab e t t e rc o n c l u s i o nw a ss h o w na b o u tu n r e g u l a rs a m p l i n gi n 3 j 一一一一 一一 i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d yt h ea m p l i t u d ee r r o ro f s i g n a lr e c o n s t r u c t i o nu n d e rt h e m u l t i v a r i a t ew a v e l e ts u b s p a c e s ，t h ee s t i m a t i o no fa m p l i t u d ee r r o ri ss h o w ni nl 0 。( ) a n d 己2 ( 剜) w h a ti ft h e r ea r em o r er e g u l a rp o i n t sf b r ? w ep r e s e n tas t a n d a r dt h a t h o wt oc h o o s er e g u l a rp o i n t sa sab e s to n e k e yw o r d sa m p l i t u d ee r r o r , r e g u l a rp o i n t s ，w a v e l e ts u b s p a c e s ，f r a m e ，s a m - p i i n gt h e o r y u 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：御辛 卅年0 5 月刁e l 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：f 泖辛 卅年p 5 月乃i e l 第一章引言 第一章引言 误差估计在采样理论的应用中是非常有用的然而影响采样值准确性的误差 是多种多样的，例如信息传输中的数据丢失，存储数据的硬件的损坏，采样设备的 限制，采样时间地点的改变，收集数据的工作人员的变动，气候环境对采样数据的 影响，这些都会导致采样数据是非准确的所以在信号的重构过程中，显然也是带 有一定误差的 一般地，在信号重构的误差估计中，下面四种误差是经常被考虑的 1 混淆误差 当被重构的信号，不属于所研究的信号空间时，即fgv o 此时产生了混 淆误差 2 截断误差 ( t n f ) ( t ) ：= ，( 竹) s ( 亡一钆) i n i n 在信号的重构中，不可能把所有的采样点值考虑进去，往往只考虑有限多个采样 点，这就导致了截断误差的产生 3 幅度误差 ( a 烈亡) ：= ，( 他) 一7 ( 佗) s ( 亡一佗) 可能由于量化误差，舍入误差或者噪声误差所导致其中i f ( n ) 一7 ( 亿) i i 厂( 佗) i 4 时间抖动误差 ( 以，) ( 亡) ：= 芝二 ，( 佗) 一厂( 佗+ ) 】s ( 亡一佗) 采样时间的抖动，使得采样是非均匀采样，这就导致了误差的产生其中i o n i 盯 对于经典的s h a n n o n 采样定理，上述四种误差已被广泛地研究在小波子空 间的采样定理中， 3 】和 4 】对混淆误差给出了一些结论孙文昌和周性伟在【1 】中 在一维小波子空间研究了其余三种误差高维小波子空间中，o l e n k o 和p o g f i n y 研 究了截断误差并给出了优秀的结论 第一章引言 本文基于下面的论断，把一维小波子空间信号重构的幅度误差估计推广到高 维小波子空间 假设 1 】中的命题1 1 成立，则对v ，v o ， 有 a c f ( 驯。蛩警忖 和 一 i i & m 川2g 筹忖 命题1 1 设k 是l 2 ( r ) 的闭子空间，_ 妒( 一几)：佗z ) 是k 的框架，其 上下界分别为a ，b 令 岛= w r ： 1 9 ( 叫+ 2 佗7 r ) 1 2 o 一 假设妒连续，8 u p x n zi 垆( z + n ) 1 2 0 使得 g x 邬( w ) i 乙( o ，叫) i 伤x 岛( 叫) ， a e 其中乙( z ，w ) ：= 竹妒( z + 佗) e 一删是妒的z a k 变换那么存在v o 的框架_ s ( 一 亿) ) ，使得对v ，v o 有 ，( z ) = f ( k ) s ( x 一后) 南 其中于三2 ( r ) 依范收敛，于兄一致收敛 注1 2 命题1 1 中的f o u r i e r 变换定义为：，= 厶厂( z ) e - - i x w d x ， 岛= s u p t ni s ( t n ) j 2 2 ，l 2 ( r ) 第二章框架的基本理论 第二章框架的基本理论 1 9 5 2 年d u f f i n 和s c h a e f f e r 【5 】中在研究非调和f o u r i e r 级数时，首次提出了 h i l b e r t 空间上的框架的概念框架概念提出后，并未立即引起人们的广泛关注，直 到1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 和m e y e r 6 】， 7 】，发现了框架在小波及g a b o r ， 变换中有着重要的应用他们发现可以把框架看成类似标准正交基，将三2 ( r ) 中 的函数展成级数形式之后许多数学家才开始关注和研究框架，本章中的大部分 内容来自 8 】， 9 】 2 1 框架的定义和基本性质 定义2 1 设 z 。) 。n 为h i l b e r t 空间日的序列如果存在常数0 0 ，矽，l 2 ( r ) j 如果 e 伲丌竹妇9 ( z 一佗o ) ) m ，竹z 是l 2 ( 冗) 的框架，这样的框架称为g a b o r 框 架相应的g 称为窗函数 2 如果_ 口互k 叭k z 一如) ) j ，知z 是l 2 ( r ) 的框架，这样的框架称为小波框架相 应的砂称为小波母函数 3 第二章框架的基本理论 3 若 k ) 血zc 冠如果 e 认t z ) 七z 是l 2 【_ 7 r ，7 r 】的框架，这样的框架称为 f o u r i e r 框架 下面我们将定义与框架紧密相关的几个算子，并给出他们的性质我们现在 假设 z 七) 七为日的框架，其框架界分别为a ，b ，很显然算子 t ：h c 2 ( ) t x = ( z ，z 知) ) 知n 是有界的t 称为分析算子，它的伴随算子p 为 t 。：z 2 ( ) 一h p ( 瓯 七) = c k x k k e n p 称为重构算子 定义2 2 z 七) 凫n 为日的框架，r 为框架的分析算子，算子 称为框架的框架算子 s = r 正s x = ( z ，x k ) x k k e n 引理2 1 假设_ 钆) nch 是日的框架，框架界分别为a ，b 则其框架算子 s 是有界可逆正线性算子，并且 a i s 1 2 知n = b l l z l l 2 a l l x l l 2 ( s x ，z ) 4 ( 2 1 ) 第二章框架的基本理论 所以s 为有界线性算子，而且 a isssb i ， 更进一步， i f ：- e - i i i l | 等刈= 孚 o ) 为了得到主要结果，我们需要一些引理和性质 8 第三章幅度误差分析与采样点的选取 命题3 1 设 妒( 一a n ) ：竹z d ) 是的框架，q o 在上连续，且 n z ai 妒( z a n ) 1 2 在上有界那么x o 是k 的规则采样点当且仅当存在 q ，q 0 ，使得 q x e 妒( 7 1 1 ) i z a 妒( x o ，伽) i 咣x ( 叫) ， o e ( 3 1 ) 若( 3 1 ) 成立，令 c 叫，= 羞叫) 乙妒( z o ，叫l ：喜乞 则 s ( 一a n ) ：钆z d ) 是v o 的框架，且有 v f y o ， ，( z ) = ，( 铷- t - a n ) s ( x a n ) n e z d 于l 2 ( 舻) 依范收敛，于卑一致收敛 引理3 2 设妒l 2 ( 印) ，v o = s p a n q o ( 一a n ) ：扎z d ) ( 1 ) 妒( 一a n ) ：佗 - 是k 的框架，其上下界分别为g ，q 当且仅当 6 1 x e 妒i d e t a i 一1 呤，纠( w ) 岛x 晶( 叫) ，口e 此外 妒( 一a n ) ：钆z d 是k 的r i e s z 基当且仅当上述不等式成立并且 也= r d ( 2 ) 妒( 一a n ) ：佗) 是以岛为上界的b e s s e i 序列当且仅当 l d e t a i 一1 畛，纠( 叫) q x 如( 伽) ，口e 证明类同 1 0 中引理4 引理3 3 设_ 妒( 一a n ) ：n z d ) 是v o 的框架，令 刍c 叫，= 0 则 下面两个论断是等价的： ( 1 ) 对任意的 g ：佗z d ) 护， n z ag 妒( z a n ) 在e ：= u 竹z a _ z ：i i x x o a 礼忆盯) 上逐点收敛到一个连续函数 ( 2 ) 妒在e 上连续且s u p l l z z 。i i 。9 n z di 妒( z 一4 礼) 1 2 1 0 第三章幅度误差分析与采样点的选取 有 定义 证明 ( 1 ) 专( 2 ) 显然妒在e 上连续，因为对v g ：死z d ) 护， 妒( z a n ) 1 2 + ，v 2 e 人。c = 妒( z - a n ) ， v c = ：扎z e ) 护 n e z d 则虬是胪上的有界线性算子 并且 a x f = ( n z di 妒c z a 佗，1 2 ) 1 2 对固定的c ，如c 在知q - 一盯，仃】d 上连续 所以 s u pi a x c i + i i x - x o l l o o 盯 由b a n a c h s t e i n h a u s 定理知 即 s u pi i 如l i + o o ， i i x - x o l l 。c a s u p l x - - x o i i o 。盯 n z d ( 2 ) 号( 1 ) 由c a u c h y 不等式 c n 妒( z a n ) 竹z d 2 妒( z 一4 n ) 1 2 + 计) 漉m z 一汗) 即礼z a 妒( z a n ) 对任意的c 胪，在e 上一致收敛，故( 1 ) 成立 口 引理3 6 设妒连续，竹z ai 妒( z a n ) 1 2 在上有界则对比r d 和几乎 所有的w r d b ，( 玩妒) ( z ，叫) = 0 1 l 删 第三章幅度误差分析与采样点的选取 则 因此 证明令 c ( 伽) = 1 一x 邬( 伽) = 岛e 一2 丌a n 棚 n e z d c ( 伽) p ( 伽) = 0 岛妒( z a n ) = 0 ，比r d n e z d f a - t - - 1 2 , 1 2 d e 妒i ( 玩妒) ( z ，伽) 1 2 d 叫 = i c ( 叫) 陬乙妒) ( z ，w ) 1 2 d w ，a 卅【- i 2 ，1 2 d l1 2 = i d e ta 。1 | 妒( z + a m a 礼) l m e z di n e z di = 0 因此对几乎所有w a - 1 2 ，1 2 d 毋，( 乙妒) ( z ，叫) = 0 又因为( 么妒) ( z ，叫) 关于w 是4 一z d 周期的，所以比舻和几乎所有的w r d 毋，( 么妒) ( z ，叫) = 0 口 引理3 7 令 妒( 一a n ) ：佗z d ) 和_ & ：佗z d ) 是v o 的两个框架 设妒连续且n z di 妒 一a n ) 1 2 三 + 。o ，则鼠( z ) 连续，且n z di 鼠( z ) 1 2 在 上有界 证明令 id e ta i 妒( 一a 礼) ： 佗z d ) 是 妒( 一a 佗) ：扎z d ) 的对偶 框架 v ，f = d e ta i ( f ，( 一a 佗) ) 妒( 一a s ) n e z d 由引理( 3 5 ) ，厂是连续的，并且 f ( x ) 1 2 i d e ta i 茹( - a n ) ) 1 2 i 妒( z a n ) 1 2 n e z dn e z d 鲁m j ；， l 1 1 2 第三章幅度误差分析与采样点的选取 其中a 是 妒( 一a n ) ：佗z d ) 的框架下界，令q 是 & ：礼z d ) 的框架 下界则有 i & ( z ) 1 2 n e z d s u p i i c l l 2 = 1 & ( z ) n e z d is u p 万l 1 。1 1 2 = 1 t 1 1 f & n z d 绎， g 。 引理3 8 对v f l 2 ( ) ，有下述恒等式成立， 2 2 2 ( z a f ) ( x ，w ) = e i 2 1 r 往， id e ta i 一1 ( z a t ，) ( 叫，一z ) ，口e 证明由p o i s s o n 求和公式知， n c z d f ( a n ) = id e t a i 。1 ，( a 一佗) ，v f z ( r d ) n e z d 其中s ( r d ) 是s c h w a r t z 函数类，用，( + z ) e 一伽( a n + $ ，切) 代换上式中的f 则有 n e z d f ( a n + z ) e 一2 霄( a n + x , w )= id e ta i 。1 n e z d ，( a 一。佗+ 叫) e 2 霄( a - t n , x ) 口 由上式可知结论在s ( 剜) 中成立，又因为s ( ) 在己2 ( ) 中是稠密的，所以对 v f l 2 ( 剧) ，结论成立 口 弓i 理3 9 设妒l 2 ( r d ) ，y o = 虿f 丽 妒( 一a n ) ： 礼z d ) 贝i j 妒( 一a n ) ： 礼z d ) 是k 的框架，其上下界分别为q 和岛当且仅当， c l x 邬( w ) i ( 乙垆) ( z ，伽) 1 2 d x 伤x 邬( 叫) ， 口e j a o ，1 1 4 此外， 妒( 一a n ) ：钆z d ) 是b e s s e l 序列当且仅当右边的不等式成立 证明由引理( 3 6 ) 知， i ( 玩妒) ( z ，叫) 1 2 d x = j a o ，1 d d e ta i 一2 i ( 乙一t 9 ) ( 叫，一x ) 1 2 d x j a o ，1 1 d d e ta i - 1 9 ，纠( 叫) 1 3 第三章幅度误差分析与采样点的选取 e hz j l 理( 3 2 ) 知结论成立 口 f 回我们证明命题( 3 1 ) 证设x o 是v o 的规则采样点，则存在v o 的框架 0 分别为框架_ 妒( 一a n ) ) 的上下界，由对偶框架的性质有， 2 引1 川2 2 k e z d 下面我们估计 i f ( x o - t - a n ) - 7 ( z o + a n ) 1 2 由假设 i 厂( z o + a n ) 一，( z o + a n ) i 专l f ( z o + a n ) 1 1 6 第三章幅度误差分析与采样点的选取 n z ai f ( x o + a n ) 一7 ( 跏+ a n ) 1 2 2 n z dl f ( x o + a n ) 1 2 = 荨2 n z 。i 血z 。c k q v ( z o + a n a k ) 1 2 = 2 n z 。l 七z d 仇如一七1 2( 毗= 妒( z o + a 七) ) = i l c 血：k z d ) ，- = d k ：k z d 圳刍 = 2 舶】di e - i 2 l r ( 呐1 2i 眦a 妒( 如+ a k ) e - i 2 丌咖1 2 d w d e ta il 南倒鲲e 瑚丌( 眠叫，) | 2i k e z d 妒( z o + a k ) e 砌霄( a k , w ) 1 2d w 7 ( 叫= = s f 2 ld e ta i 厶叫0 1 】de k e z dc k e - i 2 ，r ( a k , w i 1 2i 乙妒( z 。，伽，) | 2 d w ， 2d e ta i 厶堆1 】。e k e z dc k e - i 2 1 r ( a k , w i 1 2 ( q ) 2 x e 妒( w 7 ) d w ， 毒2 】de k 6 z dc k e - i 2 7 r ( 蛐1 2 ( q ) 2 x 邬( a 一w ) d w w = a t w 7 ) 2 ( 0 9 2 南z di c k l 2 专2 ( 0 9 2 击参 s ( 一a 佗) ： 死z d ) 是的框架，由引理知其上下界分别为南，南 令g = s u p t 冗d n e z di s ( t a 佗) 1 2 ，因为_ s ( 一a n ) ：n z d ) 是v o 的框架， 由引理知c o + o o 并且 所以 n e z ds ( t - a n ) 1 2 = o , l l d l 乙s ( 亡，叫) 1 2 d 叫 = k 俨i 兹器卜 g = s u p t e r dd e 驴n o ，1 d，i 堡z a 妒( 端z o 卜，叫) l 1 7 d 10 一、， 厶= 铲 所以 所以 最( 删2 = 第三章幅度误差分析与采样点的选取 h e ( f ) h 。gq 丢忖1 1 2 驯卜幢。 f ( x o + a n ) - 7 ( x o + a n ) s ( x - a n ) 1 1 2 等睡i f ( x o + a n ) - 7 ( x o + a n ) 2 ) 1 2 舞忆 e e ( f ) h 2g 舞忖 1 8 口 汗 住 a 哟州 鼬 一 _ o z 一，一兰 ，l 气、j蚝耻乏 哟 酌 酬 删 0 ) 弛 弛 圳 驯 孙 斗 + 引 m 瓶白 睦剃弼 第三章幅度误差分析与采样点的选取 3 3 规则采样点的选择 孙文昌在 1 2 】中，对闭子空间k 中是否存在规则采样点通过实例作了明确 回答y o = 硒丽_ 妒( 一a n ) ：礼z d ) 是否一定存在规则采样点? 很不幸，答案 是否定的下面给出三个一维空间的实例来说明k 中规则采样点的存在情况 1 r 中的每一个点都是k 的规则采样点 例3 1 频谱有限函数子空间 设妒( z ) = s i n 丌z i r x ，则k = ，：s u p p c 一1 2 ，1 2 由引理( 3 8 ) ， ( z 妒) ( z ，w ) = e i 2 1 r x w ( z 9 ) ( 叫，一z ) ，易验证i ( z 妒) ( z ，训) i = 1 ，口e 由命题( 3 1 ) v x o 冠z o 是的规则采样点 2 r 中部分点是的规则采样点 例3 2 中心b 样条函数生成的子空间 令 妒m = x 【_ x 2 ，1 2 】水木x _ 1 2 ，1 2 卜( m 次卷积) 也即 驴m ( 叫) = ( s i n 丌叫7 i - w ) m + 1 ，仇1 由【1 0 ，2 5 】知 妒仇( 一他) ：竹z ) 是的r i e s z 基( z 垆m ) ( o ，w ) o ，故0 是 v m 的规则采样点，又垆m 关于z = 0 对称，知( z 妒m ) ( 三，7 r ) = 0 因此x = 互1 不是 的规则采样点 1 9 第三章幅度误差分析与采样点的选取 3 r 中不存在的规则采样点 例3 3 令 妒( z ) = z + 1 一z 一1 2 z + 1 2 一z ， z 一1 2 1 一z 0 ， - 1 z - 3 4 - 3 4 z 1 2 - - 1 2 z 1 4 - 1 4 z 1 4 1 4 z 3 4 3 4 z 1 其它 易验证 妒( 一礼) ：礼z ) 是= 印丽 妒( 一竹) ： 礼z ) 的正交基 通过计算可知， 因此 c z 妒，c z ，叫，= 一；： 0 z 1 4 1 4 z 1 2 1 2 z 3 4 3 4 z 1 ( z 妒) ( z ，0 ) = 0 ，0 z 1 2 ( z 妒) ( z ，7 r ) = 0 ， 1 2 z 1 所以k 中没有规则采样点 假设命题( 3 1 ) 成立，如果使得厂( z ) = 他z af ( x o + a n ) s ( x a , o ，v f y o 成立的规则采样点不止一个呢? 那么取那一个铷最好呢? 在数据传输与储存中，我们希望以尽量少的比特数来表示一个信号，这就给 出了选取x o 的一个准则：使n z dl y ( x o + a n ) 1 2 达到最小 设 ，( z ) = k e z dc k 妒( z a k ) ，其中= ( ，id e ta ( 一a 后) ) 第三章幅度误差分析与采样点的选取 i f ( x o - 4 - a n ) 1 2 = t l z d n z d c k q o ( x o + a n a 七) k e z d ：id e ta il ，a r i o 1 i d 2 鼠e “2 州触一 k e z d 慨咖，) 1 1 乙f r o ，】。 k e z d l l z a q 0 ( z 0 ，训瑟恻 k e z d 却乙o ，) 州； 2 2 c k e t 2 霄( j c ，伽) z a q o ( x o ，w ) 1 2 d w 2 观察上式，当可逆阵a 给定的前提下，我们选取使得i i z a ：( z o ，) i i o 。达到最小 值的z o 即可 2 1 第四章结论和展望 第四章结论和展望 本文首先对一维小波于空间信号重构的幅度误差估计推广到了高维小波子空 间在一维小波子空间，假设【1 】中命题( 1 1 ) 成立，则对v f v o ，有下述误差估 计 i i m f ( f ) l l 。 c 2 4 r - c - g o 2 ， 和 i i m ( f ) l l z 鳟筹忖 我们把一维小波子空间的相应结果推广到高维小波子空间，并且得到如下结果， i i m f ( f ) l l 。c 嗟b c 。x i l f l l 2 ， 和 i i m ( f ) 1 1 2 外舞忆 其次对规则采样点的选取进行了分析在命题3 1 中，如果使得下述等式成立 的z n 不l 匕一个呢? ，( z ) = m o t - a n ) s ( x a n ) v f v o n 6 z d 在数据传输与储存中，我们希望以尽量少的比特数来表示一个信号，这便产生了 一个选取z o 的规则，如下 f ( x o ) = i iz 妒( x o ，训。 我们取使得f ( x o ) 达到最小值时的z o ，即为最优的规则采样点 对于后续工作，还有以下几方面可以考虑 1 本文推广了一维小波子空间信号重构的幅度误差估计，我们可以进一步 讨论其它相应的误差估计 2 若存在不止一个2 7 0 使得f ( x ) = n z af ( x 0 + a n ) s ( x a n ) v f v o 成立，研究分析z o 的其它选取准则也是值得进一步研究的 参考文献 参考文献 【1 】w ：s u na n dx z h o u ，s a m p l i n gt h e o r e m f o ，w a v e l e ts u b s p a c e s ：e r r o re s t i m a t e a n di r r e g u l a rs a m p l i n g i e e et r a n s a c t i o no ns i g n a lp r o c e s s i n g v 0 1 4 8 n o 1 j a n u a r y2 0 0 0 2 a y a o l e n k oa n dt k p o g f i n y o ns h a r pb o u n d sf o ，r e m a i n d e r s 伽m u l t i d i m e n - s i o n a ls a m p l i n gt h e o r e m s a m p l i n gt h e o r yi ns i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g v 0 1 6 ，n o 3 s e p 2 0 0 7 ，p p 2 1 9 - 2 7 2 【3 】a jem j a n s s e n ，t h ez a kt r a n s f o r ma n ds a m p l i n gt h e o r e mf o ，w a v e l e ts u b - s p a c e s ，i e e et r a n s s i g n a lp r o c e s s i n g ，v 0 1 41 ，p p 3 3 6 0 - 3 3 6 4 ，19 9 3 4 g w a l t e r , as a m p l i n gt h e o r e mf o rw a v e l e ts u b s p a c e s ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , v 0 1 3 8 ，p p 8 8 1 - 8 8 4 ，1 9 9 2 5 r d u f f i n a n d a s c h a e f f e r , ac l a s s o fn o n h a r m o n i c f o u r i e r s e h e s ， m a t h c o m p u t e ，7 2 ( 1 9 5 2 ) ，3 4 1 3 6 6 6 i d a u b e c h i e s ，a g r o s s m a na n dy m e y e r , p a i n l e s sn o n o r t h o g o n a le x p a n s i n ， j m a t h p h y s ，2 7 ( 1 9 8 6 ) ，1 2 7 1 - 1 2 8 3 7 o c h r i s t e n s e n ，a ni n t r o d u c t i o nt of r a m ea n dr i e s zb a s e s ，b r i k h i i s e r , b o s t o n ， 2 0 0 3 8 r y o u n g ，a ni n t r o d u c t i o n t on o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ，n e wy o r k ： a c a d a m i c ，19 8 0 9 x z h o ua n dw s u n ，o nt h es a m p l i n gt h e o r e mf o rw a v e l e ts u b s p a c e s ，j f o u r i e r a n a l a p p l ，5 ( 1 9 9 9 ) ，3 4 7 3 5 4 1 0 c d eb o o r , r d e v o r ea n da r o n ，t h es t r u c t u r eo f f i n i t e l yg e n e r a t e ds h i f t - i n v a r i a n t s u b s p a c e s 执l 2 ( r 2 ) ，j f u n c ，a n a l ，11 9 ，3 7 7 8 ，1 9 9 4 参考文献 【1 1 】w s u n ，s a m p l i n gt h e o r e m s f o rm u l t i v a r i a t es h i f ti n v a r i a n ts u b s p a c e s ，s a m p l i n g t h e o r yi ns i g n a la n di m a g ep r o c e s s i n g v 0 1 - 4 n o 1 j a n 2 0 0 5 p p 7 3 9 8 【12 】w s u na n dx z h o u ，f r a m e sa n ds a m p l i n gt h e o r e m ，s c i c h i n a ，v 0 1 4 1 ，p p 6 0 6 6 1 2 ，1 9 9 8 1 3 1e l b u t z e r w s p l e t t s t t t ) e r , a n dr l s t e n s ，t h es a m p l i n gt h e o r e m a n d l i n e a r p r e 。 d i c t i o ni ns i g n a la n a l y s i s j b e r d d t m a t h v e r e m ，v 0 1 9 0 ，p p 1 - 7 0 ，19 8 8 1 4 】j j b e n e d e t t oa n dd ew a l n u t ，g a b o rf r a m e sf o