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关于t e c a u e d 码的构造方法 陈宗兴 南开大学数学科学学院 2 0 0 3 年5 月1 0 摘要 t - e c a u e d 码是单向错纠检错码中一类非常重要的码本文介绍 利用一些特殊性质的t - e c 码重量分布来构造t - e c a u e d 码的方法 主要是通过利用带全0 这个特殊码字的t - e c 码的重量分布的特点，减 少使用尾序歹憎g 个数和长度从而得到关于尾序列的一个新的递推关系 式 关键字：t - e c 码，单向距离。单向错t - e c a u e d 码。尾序列 o nt h ec o n s t r u c t i n go ft - e c a u e dc o d e s c h e nz o n g x i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，n a n k a iu n i v e r s i t ym a y1 0 ，2 0 0 3 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ea p p l ys o m es p e c i a lw e i g h td i s t r i b u t i o n so ft - e cc o d e st o c o n s t r u c tt - e c a u e dc o d e s t h em e t h o di st oc o n s t r a c tt h ed i s t r i b u t i o n so f t h i sc o d et om a k et h et a i ls e q u e n c es h o r t e r ，w ea p p l ya s p e c ! a lc o d ew i t hv e c t o r0 t or e d u c et h en u m b e ro ft h et a i ls e q u e n c eu s e dt oc o n s t r u c tat - e c a u e dc o d e t h u s w ec a l lg e tan e wr e c u r r e n c er e l a t i o no ft h et a i ls e q u e n c e k e y w o r d s ：t - e cc o d e s ，u n d i r e c t i o n a ld i s t a n c e ，u n d i r e c t i o n a le r r o r ，t - e c a u e d c o d e s t a i ls e q u e n c e 2 1 前言 纠错编码是一种重要的容错计算技术它广泛用于计算机和通信系统中，为 提高系统的可靠性发挥了重要作用传统的纠随机和突发错误码的理论建立在对 称错误模型的假定之上而近年来的研究表明：大规模和超大规模集成电路存储 器中，由器件的某些类别的故障常引起码字的非对称错与单向错 用l 一0 错表示码字中1 变为0 的错误，用0 1 错表示码字中0 变为1 的错误对称错、非对称错和单向错的定义如下： 对称错：1 0 错与0 一l 错可同时出现在一个码字中 非对称错；1 0 错与0 1 错中仅仅一种可出现于码字中，且错误类型 时预先就知道的 单向错：1 0 错与0 1 错两种都可出现在码字中，但它们不能同时出 现在同一码字中 由上面定义可知，非对称错误类是单向错误类的子类，而单向错误类又是对 称错误类的子类，因而任何一个可纠检t 个对称错的码也可纠检t 个单向 错或t 个非对称错，而任一个可纠检t 个单向错的码也可纠检t 个非对称 错然而，反过来一般不成立 t - e c a u e d 码，即可纠! t 个对称错同时可检所有 t 个单向错的纠检错 码，是单向错纠检错码中一类非常重要的码参考文献 1 l 给出了一个通常的方 法来构造t - e c a u e d 码，方法是首先构造一个t - e c 码作为内码，然后通过在 该内码码字后添加校验位得到一个t - e c a u e d 码校验位是内码码字的重量的 一个函数，校验位取自于也i r ，t 1 尾序列以此为基础，文献1 2 ，【3 】， 4 】，【5 】， 8 】) 【1 0 】，【1 1 】提出了各种特殊的构造方法，下文我们会有较详细的叙述 本文对t - e c a u e d 码的构造做出了一些改进，并给出了关于也h 亡】一个 新的递推关系式全文的主要结构如下：下一节给出了关于t - e c a u e d 码的一 些基本的定义和定理以及一些传统的构造t - e c a u e d 码的方法；第三节提出了 一种改进的t - e c a u e d 码；第四节给出了相应的译码方法并给出了关于a 。一 3 个新的递推关系式；第五节是全文内容的结束语 2 预备知识及t - e c a u e d 码的一些构造方法 首先，我们给出一些关于纠检错码的一些基本的定义和定理 定义1 设z = ( x l ，x 2 ，x 。) 与y = ( y l ，y 2 ，y n ) 为g f ( 2 ) 上的两个 向量，若x i = 1 而y l = 0 ，则称z 的第i 个分量为$ 对y 的l o 型分量，所 有。对y 的1 0 型分量的个数记为n ( x ，y ) 例如：x = ( 1 ，0 ，0 ，0 ，1 ) ，y = ( 0 ，1 ，1 ，1 ，o ) ，则n ( x ，y ) = 2 ，而n ( y ，x ) = 3 设d ( x ，y ) 为这两个序列的h a m m i n g 距离，贝9 不难看出， d ( x ，y ) = n ( x ，y ) + n ( y ，茁) 定义2 如果码c 可以纠正t 个错，我们就称之为可纠个错的纠错码，记 为t - e c 码 定义3 如果一个码e ，它的长度为竹，信息位个数为k ，极小距离为d = 2 t + l ， 我们就把它记成h k ，2 t + 1 】码 定理1 设g 是一个h ，k ，2 t + l 】线性码若c ，d ( c 7 ) 且( c ) = i j = ”( d ) ，那么有 n ( d ，c ) t + 1 n ( c ，d ) m a z o ，t + 1 一d i 2 证明：不失一般性，我们可以把c 和d 表示成为： o ” ；u 。：百? 百f 1 而葡爷刁 d = 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 4 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 显然，有z + y + z + = n 而且有 z + y = o ，x 十z 。j y + z = d ( c ，d ) 2 t + 1 y = i x j z = z 从( 6 ) ( 7 ) 我们可以得到 2 n ( d ，c ) = 2 z y + z 2 t + 1 从而就可以得到( 1 ) ，即定理的第一个结论 而由( 5 ) 得到 z = j z = y + j i ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 由( 6 ) 得到 2 + j i = y + z 2 t + 1 故有 ( c ，d ) _ 川半h + 1 一孚 定理证毕 这个性质是【2 】中提出的，以后的t - e c a u e d 码也是围绕着这个性质构造 的 下面给出t - e c a u e d 的一个充要条件 1 4 】： 定理2二元码g 为t - e c a u e d 码的充要条件是：对任意两个不同的 x ，y c 有 n ( x ，y ) t + 1 ，并且n ( y ，$ ) + 1( 8 ) 证明：对任意x c ，令为z 出现t 个对称错后所得到的向量的集 合，令咒为z 出现t + 1 个单向错后所得到的向量的集合 5 充分性：充分性我们只需要对任意两个不同的z ，y c ，证明 n = 。 ( 9 ) n 岛= 口 ( 1 0 ) s o n s ；= 口 ( 1 1 ) 从向量的重量我们易得结论( 9 ) 对于结论( 1 0 ) ( 1 1 ) ，设u ，v s ，w 蜀， 考察以y 和w 的对应于。相对y 的1 0 型分量( 有t + 1 个) 及y 相对x 的分量( 有t + 1 个) 的那些分量，易得 d 。( 以v ) 1 ，口。( u w ) 1 显然得到了结论( 1 0 ) ( 1 1 ) ，充分性得证 必要性： 我们使用反证法若n ( x ，y ) t ，则z 相对于y 的l 一0 型分量 全发生1 0 错后所得的x 和y 相对于x 的1 0 型分量全发生1 0 错所得 的向量y 相等，这使得最n 嚣g 产生了矛盾，必要性得证 定理证毕 构造t - e c a u e d 码的主要方法是在原有的t - e c 码后添加尾序列我们所 要做的工作就是利用一些码宇的特点来相对的缩短所要添加尾序列的长度和个 数，即减小i a 。 r ；t j i 和r 的值下面介绍几个常用的构造方法： 定义4 强度为t + 1 的降尾矩阵时g p ( 2 ) 上的m r 的矩阵，满足条件； ( 赴，屯) m i n t + 1 ，f m 2 1 )( 1 2 ) 这里屯为矩阵的第i 行行向量，0 t j m 一1 记为t ( m ，r ，t + 1 ) m b l a u m 和h vt i l b o r g 予1 9 8 9 年构造出了系统的t - e c a u e d 码1 3 ，由 下述定理给出： 定理3 令c 是个i n ，k ，2 t + l 】线性系统码，t 是降尾矩阵t ( n + l ，t ，件1 ) ， 则 c = ( c ，t ”( 。) ) i c 回( 1 3 ) 6 是一个n = n + r ，信息位为k 的t - e c a u e d 码 证明：设( c ，t 。( 。) ) 与( d ，t w ( d ) ) 为c 中两个不同的码字，则 ( ( c ，f 。( c ) ) ，( d ，t 。( d ) ) )( 1 4 ) = n ( c ，d ) + n ( t w ( 。) ，k ( d ) ) j n 2 o ，t + 1 一等 ) + m i n t + 1 ，孚 ) ，训( c ) 训( d ) 一【t + 1 ，w ( c ) w ( d ) 由此得到 ( ( c ，屯( c ) ) ，( d ，t w ( d ) ) ) t + 1 由定理2 ，定理结论为真证毕 参考文献 1 】中提出了构造序列a 。【r ；t 】= 岛，毋，昂一1 ) 的构造方法， 我们定义一个长度为r 的序列a 。【r ；封= s o ，8 1 ，8 m - 1 ) ，t 为参数，这里 ( s i ，s i + j ) r a i n f 2 j ，t + 1 ) ，0 sj m i 我们可以知道如果存在a 。p l ；t l = s o ，8 1 ，一1 ) ，l a 。p l 吲f = m ，那么 可以非常容易地推出 ( s o ，1 ) ，( 8 0 ，o ) ，( 8 1 ，1 ) ，8 1 ，o ) ，( 8 m - 1 ，1 ) ，( s 。_ 1 1o ) ) 是一个a 。i r ；叫，而且j a 。【r ；圳= 2 m ，因此就可以得到下面的不等式： i a 【r ；司i 2 i a 。【r 一1 ；叫i 下面介绍构造a 。p ；t l 主要的方法： 我们注意到如果且。【r 一1 ；t 】= 8 0 ，8 1 ，8 m - 1 ，那么 ( s o ，1 ) ，( s o ，o ) ，( 8 2 ，o ) ，) ) 是一个a 。f r lt 】- 利用原始的递推方法，从a 【l ；t 】= 1 ，o ) 开始我们就可以得到 a 【r ，】在某些情况下，添加序列的方法是多种多样的例如t 当i 也 r l ：圳= 7 m 2 t + 2 时，下面的序列也是4 。p ；地这里的f a 。f r ) 亡】f = m 4 - 2 ( 印，1 ) ，( 8 0 ，o ) ，( ，1 ) ，( 8 m - t ，1 ) ，( 8 m - 2 ，1 ) ，( s 。“1 ) ，( s 。- 1 ，o ) ) 因此，当也p 一1 卅2 t + 2 时，我们可以利用以上的添加方法，当i a 。p 一1 卅 增加时，更多的序列可以添加我们设b = s 一，s 一，s i n - - t - - 2 ，若 6 1 ，6 2 ，- 一，6 2 t l ，如1 为b 的任意2 t + 1 个连续的向量然后用6 t + 1 把这2 t + 1 个向量分开，就得到 一个属于a 。f r ，胡的序列t ( h ，1 ) ，( 6 2 ，1 ) ，一，( 如，1 ) ，( 6 h 1 ) ，( “+ ，0 ) ，( 6 t + 2 ，0 ) ，( 6 2 。，o ) ，( 6 2 。+ ，o ) ) 一般说来，构造a e k ；t 】时，首先我们在a i r l ；胡前面和最后各添加一 个向量，然后把a e f r 一1 ；列中的向量以2 t + 1 为单位分块，然后把每个连续的 2 t + 1 个向量 岛“s ，8 m - m ) 用上面的构造方法使这2 t + 1 个向量变成属 于a 。h 亡】的2 t + 2 个向量 从上面的构造方法，我们可以得到下面的关系式： a 。【r ；】a 。 r 一1 ；t 】+ 【兰! 二半j 下面举个简单的例予来详细说明上面的构造方法： 设 a e f 4 ，1 】= 1 1 1 1 ，1 1 1 0 ，1 1 0 0 ，1 0 0 1 ，0 0 1 1 ，0 0 1 0 ，o o o o 这样的话可阱得出a 1 5 ，1 】2 止【4 ，1 l + ( 7 + 2 ) 3 = 1 0 根据上面的构造方法，我 们在此序列前面和后面各添加一个向量，而在1 0 0 1 分开向量 n o o ，1 0 0 1 ，0 0 1 1 ， 8 得到 1 1 0 0 1 ，1 0 0 1 1 ，1 0 0 1 0 ，0 0 1 1 0 得到下面的结果 1 1 1 l 1 1 1 0 i 1 0 0 a 。f 4 ，1 】- 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 l l l l l 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 挑t j = 勰0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 文献 2 】中提出了使用包含l 向量的线性码来构造t - e c a u e d 码的构造方 法： 定理4 设c 7 是一个t - e c 码，它包含向量1 ，设是七长的信息位，则构 造一个t - e c a u e d 的方法是： 1 如果u 0 ，则当( c ，) l m l 2 j 时，把它编成( u ，o ) ，设为c ) 反之，编成 1 0 c 2 如果札= 0 ，则把u 编成个c c 且重量为f m 2 1 ，这样的话c 不再从 步骤l 得来的码字中间 3 - 对于得到的c 使用上面定理中的方法添加尾序列，就可以得到一个t e c a u e d 码 9 这种利用向量1 来构造t - e c a u e d 码的方法使得a 。p ，t 】的个数缩小了一 半 定理5 ( 文献 3 】) 如果使用是一个【n k ，2 t + 2 】的偶重码来构造t e c a u e d 码，添加的尾序列只需满足 ( 正，乃) m i n t + 1 ，j t ) ，i j 这里正表示添加在重量为2 的码字后 证明：这个结论是上面定理3 的直接推论 我们知道，定理4 利用了一类特殊码的性质来构造t - e c a u e d 码来减少 也ht 】中向量的个数来提高码率的本文我们主要讨论的是如何把a 。h 亡 的个 数进行进一步压缩，使得编码的冗余度更进一步的减少，并且得到关于a p ，t 的新的递推关系式 3t - e c a u e d 码的另外一种构造方法 我们知道，线性码一定是包含0 向量的设a 是一个f m ，k ，2 t + 1 】线性码， 则很容易知道，对于任意c ，c 7 ，d 0 有w ( d ) 2 t + 1 ，而且对于两个不同的 c i 和吐，其中，w ( 4 ) = is ( 岛) = j ，有 p i 2 茎( m 一( 2 t + 1 ) ) 2 若要构造一个t - e c a u e d 码，由【1 】可知，我们只要从满足如下条件的尾 序列： a 。h t 】= t s o ，s 1 ，一，s p 一1 ) ，其中，n ( s ，8 i + j ) m m j ，t + 1 )( 1 5 ) 中挑选校验位就可以来完成编码特别地把码字0 改写成l o m ，这样对于d c ，c ，0 ，由于w ( e ) 2 t + 1 ，则n ( d ，l t 0 ”。) t + 1 ，因此我们只需选择满足 条件 i a e p ，t 】f ( m 一( 2 t + 1 ) ) 2 + 1( 1 6 ) 1 0 的尾序列a 。h 地再从中间挑选校验位，就可以来构造一个t - e c a u e d 码 我们可以看到如果这个线性码是偶重码，a 。【r ，q 个数的结果可以写成 a 。i n t 】l ( m 一( 2 t + 2 ) ) 2 + 1 = l m 2 j t 对于上一节所提介绍的一些构造方法，一般来说，需要添加的校验位 一般都达到了 a 。【r ，t 】i 的下界，也就是说使用了集合a 。p ，t 】中的所有向量本 节所要做的是利用特殊码字的性质，使得使用的校验位向量的个数尽量的少，这 是一种减少冗余度的方法 就上面的偶重线性码为倒，由于d = 2 t + 2 ，我们可以知道如果我们把码字。 作一下修改，使其成为l t + 1 0 ”一( 州) 由偶重码的性质可知，对于c ，c ，c ，0 ， 由于w 7 ( c ，) 2 t + 2 ，则( 一，l t o m 一( 蚪1 ) ) t + 1 于是我们可以这样构造一个t - e c a u e d 码t 定理6 构造方法：设y 是原来t - e c 码g 的码字 1 若y = 0 ，则我们将它编成l t + 1 0 一( 抖”，记为y 7 ，然后添加尾序列，令 c = s 0 2 其他的码字我们令c = y 知，其中q = ( p ) 2 3 把通过1 和2 所得的向量构成的集合记为c ，则c 为一个t - e c a u e d 码 证明：由上面构造方法和定理5 ，我们不难证明这是一个t - e c a u e d 码 通过这个构造方法，我们可以发现4 。p ，t 】中的s 1 ，8 2 ，& 没有被使用 再比较原来一般的通过偶重码来构造t - e c a u e d 码所使用的校验位的个数， 不难发现，我们使用了更少的向量我们用一个例子来说改进后的效果： 例： 我们找一个最简单的形式，构造一个1 - e c a u e d 码，信息位k = 4 首先 我们选择一个长度为8 的偶薰的码，那么由上面得出的结论，我们需要一个个 数为3 的a r ) l 】尾序列集合，因为【m 2 j t = 8 2 j l = 3 这种情况下， r 的最小直为2 ，由于我们从文献 1 】中可以得到a 。【2 ，1 】= 1 1 ，i 0 ，o o ，我们按 照本节提出构造方法来完成构造：把0 0 0 0 0 0 0 0 编成i i 0 0 0 0 0 0 ，然后添加校验位 8 。= i i ，使之成为c = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 ，在这个例子中其它的码字重量都为4 ，我们在 其后添加校验位0 0 ，我们得到的新的码字集合是 l luuuu u ul l 00o1 l l 1000 00101 10100 010010l1o0 01 l001 l000 l00001 l 100 l001 l00l00 l01 1 l00000 1 l0lo01000 lll0000100 1 1001 10000 容易验证这是一个1 - e c a u e d 码，我们在编码过程中仅仅使用到了集合 a 。【2 ，1 】_ 1 1 ，1 0 ，o o 中的第一和第三个向量，而第二个我们并没有用到这种 构方法优于以往由i - e c 码来构造1 - e c a u e d 的方法，因为它使用了更少的向 量，而在第二节所介绍的构造方法中，需要使用的最少的向量个数是l m 2 j 因此我们可以看到。区分全0 这个向量完全可以使得编码的冗余度得到改 善如果使用一般的偶重码来构造t - e c a u e d 码，需要使用的最少的向量个数 是岫2 j ，而在上面构造方法中，我们在编码过程中仅仅使用了尾序列a 。卜，t 】集 合中的l m 2 j t 个，这样使得到的码的冗余度再次减少当t 较大时，这个效 果就更加的明显因为我们在编码过程中只占用丁a 。【r 司集合中的第一个向量 和从第t + 1 到l m 2 j 的向量，也就是说，我们至少能减少t 个多余的向量这 个结论从 l a 。【r ，叫l ( m 一( 2 t + 2 ) ) 2 + 1 = 【m 2 j t 1 2 可以直接得出，这里没有必要多加证明了 更进一步，对于上述构造方法，不只是针对偶重线性码才有效的( 上例即非 线性码) ，因为对于任何的b e c 码来说，只要它包含0 这个码字，其余的码字的 重量都是2 t + 2 的 因此我们可以得到下面直观的结论： 定理7对于任何包含。的偶重码，都可以通过上述构造方法来构造一个 t - e c a u e d 码 方法的推广：我们知道，任何一个码字只要在其后面添加奇偶校验位，都可 以把它变成一个偶重码结合上一节的叙述的结论，自然而然，我们可以将上述 方法加以推广t 定理8 对于一个包含0 的t - e c 码，在其后添加一位奇偶校验位后，通过 上述构造方法，可以构造一t - e c a u e d 码 这里 1 4 e l r ，t 】i ( ( n q + 1 ) 一( 2 t + 2 ) ) 2 + 1 = 【( m + 1 ) 2 j t 这是显而易见的结论 需要说明的是，对于一般的码来说，通过添加奇偶校验位之后，再利用本节 提出的编码方法进行编码，同样可以减少使用的校验位向量个数因为相对于一 般的添加方法，添加校验位后，我们只需使得a 。 r ，t 】满足上面不等式同样， 我们在编码过程中只使用到了a e r ，t 】中的s 0 ，s t + 1 ，8 【( 。+ 1 ) z j ，也达到了减少 了编码的冗余度目的 比较文献 2 】中的构造方法，它通过包含全1 这个向量的t - e c 线性码来构 造一类n e c a u e d 码，使得尾序列个数满足i a 。【r ，圳【m 2 j ，也就是说只用 到了a 。【r ，t 】中的前【m 2 j 个向量，而事实上包含0 这个码字的码的集合要比它 大的多，至少线性码一定包含0 这个码字也就是说，通过处理全0 码字来构造 t - e c a u e d 码的应用范围更大一些，而且，当包含1 的码为偶重线性码时，我们 所使用的校验位的个数要比用1 控制至少少了t 个当其为一般的线性码时，我们 添加奇偶校验位后，我们在编码过程中使用了a 。 r ，t j 中的印，8 + 1 ，3 i ( 。+ 1 ) 2 i 1 3 作为校验位t 越大，效果越明显 译码方法和新的递推关系式 设g 是一个有上一节构造的t - e c a u e d 码，传送的码字是c = y s ，而 d = f 7 s 是接收到的向量，这里y 和8 分另为长度为m 和r 的向量，我们提供 相应的译码方法： 1 如果d ( y s ，l 件1 0 m 一( 件1 ) s o ) st ，则信息位为0 ，结束译码 2 把收到的y 译成y ”，则w t ( ”) 是一个偶数，令s ，= s 。= 坠归，如果 d ( 口”8 ，口”，) t 我们就把y ”的信息位作为发送的信息，译码结束反之则表明 或者发生了t + 1 个或者更多的单向错 这样我们就完成了译码工作 从第= 节中我们知道关于a 。【r ，t 】的一个递推关系式，即 a 川也卜】州业掣j 而对于第三节中的构造方法，我们可以得到一个新的关系式； a 。【r ；叫a 。 r - 1 ；t 】+ 【料j 5 结束语 尽管理论上已经证明t - e c a u e d 码有着比对称错纠检错码更高的信息 率，但是，由于缺乏得力的数学工具，至今仍未得到十分理想的编码方法一般 说，t - e c a u e d 码的冗余度很大，这就限制了它的应用目前，t - e c a u e d 码还没有真正进入实用阶段 本文做的主要工作是提出了t - e c a u e d 码利用了一个码的特殊性质，使得 添加的尾序列向量的长度和需要使用的个数都得到了缩减，使得编码的冗余度得 到减少，从而达到了改进一个关于a 。【r ；t l 新的递推关系式目的这些工作还是 有很大的局限性的，有待于人们去作进一步的深入研究 1 4 参考文献 1 】s a i b a s s a m ，b b o s e ，”a s y m m e t r i x u n i d i r e c t i o n a le r r o rc o r r e c t i n ga n dd e t e c t i n gc o d e s “，i e e et r a n s c o m p u t e r s v 0 1 4 3 ，n o 5 ，p p5 9 0 - 5 9 7m a y1 9 9 4 2 1 b b o s e ，t r n r a o ，”o nt h et h e o r yo fe r r o rc o r r e c t i l l g d e t e c t i n gc o d e s ” i e e e 2 ) - a n s ，c o m p u t e r s ，v 0 1 3 ln o6 ，p p5 2 1 5 2 0 ，j u n e 1 9 8 2 f 3 jj b r u c k ，m b l a u m ，”n e wt e c h n i q u e sf o r c o n s t r u c t i n gt - e c a u e dc o d e 8 i e e e t r a n s c o m p u t e r s ，v o l4 1 ，n o 1 0 ，p p 1 3 1 8 - 1 3 2 4 ，o c t 1 9 9 2 4 jr k a t t i ，”an o t eo nt e c a u e dc o d e s ”，i e e e i y a n s c o m p u t e r s ，v o l4 5 n o 2 p p2 2 4 - 2 4 6 ，f e b ，1 9 9 6 5 】j b r u c k ，m b l a n m ，”n e wt e c h n i q u e sf o r c o n s t r u c t i n gt - e c a u e dc o d e 吕” i e e et r a n s c o m p u t e r s ，v 0 1 4 1 ，n o ，1 0 ，p p 1 3 1 8 - 1 3 2 4 o c t 1 9 9 2 6 】f j m a c w i l l i a n m s ，n j as l o a _ n e ，”t h e t h e o r y o f e r r o r - c o r r e c t i n g c o d n o f t h - h o l l a n d 1 9 7 8 7 】d n i k o l o s ，n g a i t a n i s a n dg p h i l o k y p r o o u ，”s y s t e m a t i c e r r o rc o r r e c t i n g a u u n i d i r e c i t o n a le r r o rd e t e c t i n gc o d e s ”，i e e e t r a n s c o m p u t e r s ，v 0 1 3 5 ，n o 5 ， p p 3 9 4 4 0 2 ，m a y1 9 8 6 i s r k a t i ，c y a n g ，”a ni m p r o v m e n to nc o n s t r u c t i o n so f t - e c a u e dc o d e s i e e e t r a