（概率论与数理统计专业论文）将q过程嵌入置换群上的随机过程.pdf

摘要 在本文中，我们用表示论和q 过程的标准理论来研究将q 过程嵌入 置换群上的随机过程即在什么情况下，可以将有限状态空间e 上的连 续时间马氏链x = ( 五) t l o ，) ( 弱= 名) 表示成( 也z ) 挺【。，) ? 其中z e ， ( c t ) t 【o ，) 为取值于曰上可迁置换群r 上的q 过程( 加为恒等映射) 设 ( q ( x ，y k v e 是x = ( 咒) 矩 o 芦) 的q 矩阵则嵌入存在当且仅当 q ( 霸们2 萎。善一。嘉南x c v v - 1 ) q ( z , 蚓，扎，y ee ， p p + z 6 e 妒r ：妒= v 妒r o i 。p 且存在r 上的某实值函数h 满足 r h ( v ) = = p e + z e e c e f 禹姒卅嘉融h ( 妒) j o ， 妒= 无， 【0 ， 妒r 厶) ， 磁( 妒) = 0 其中f 为r 的不可约表示全体， 为p 出现在正重数咋 0 中的不可约 表示全体，扎为p 不出现的不可约表示全体，洳为p 的特征标，彩为 p 的维数 此外，我们还研究了( 也) 。l o ) 的一些性质这些结果推广了s n e v a n s ( 【1 2 】) 将马氏链嵌入置换群上的随机游走的相关结果 关键词：q 一过程，置换群，保守，表示论，奇异值分解，广义逆 a b s t r a c t e m b e d d i n gq - p r o c e s s e si n t os t o c h a s t i cp r o c e s s e so np e r m u t a t i o ng r o u p si s s t u d i e di nt h i sp a p e r n a m e l y , g i v e nam a r k e rp r o c e s sx = ( x t h o ，) ( 弱= 名) o n af i n i t es e te ，c a ni tb er e p r e s e n t e da s ( 丸) t i o ，) ? w h e r ez ea n d ( 九) t e l 0 ，) ( 妒oi s t h ei d e n t i t ym a p ) i saq - p r o c e s so ns o m et r a n s i t i v ep e r m u t a t i o ng r o u p sr o fe l e t ( q ( z ，移) ) 王，蚱eb et h eq m a t r i xo fx = ( x ) t 【o ，) t h e nt h e r e e x i s t se m b e d d i n g ( 也) h o o i fa n do n l yi f q ( 删) = 南杨( 如。1 ) q ( z 姒) ，v 喇e ， p z e e i p e r ：p x = y , p e r p a n df o rs o m eh r r ， 眦) = = 主嘉禹x p ( 州z ) + p e f o 妒e r 融附) ，o ， 妒= 厶， i 0 ， 妒r 埘， 如( 妒) = 0 w h e r epi st h ec o u e c t i o no fi r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n so fr ，f + i st h es e to fi r - r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n sp rt h a ta p p e a rw i t hp o s i t i v em u l t i p l i c i t y 坳 0i n t h ed e c o m p o s i t i o no ft h ep e r m u t a t i o nr e p r e s e n t a t i o n ，亡oi st h ef a m i l yo fi r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n st h a td on o ta p p e a r ，x pi st h ec h a r a c t e ro fpa n dd pi st h ed i m e n s i o n o fp f u r t h e r m o r e ，s o m ep r o p e r t i e so ft h em a r k o vc h a i n s ( c t ) t e 0 ，刊a r ea l s os t u d i e d t h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n dt h o s eo fs n e v a n s ( 1 2 ) k e yw o r d s ：q p r o c e s s ，c o n s e r v a t i v e ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , c h a r a c t e r ，s i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n ，g e n e r a l i s e di n v e r s e i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：浆武勿曙年z 月脂日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在二年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打誓”) 作者签名： 导师签名： 牺 纫每向 日期：加牌6 月略日 日期：磷6 月f 日 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 1 绪论 用群上的随机游走来研究马氏链是现代概率论研究的个重要方向 自从俄国数学家a a m a r k o v 于1 9 0 6 年发现马氏链后，各国数学家对其进 行了深入而广泛的研究，并取得了令人瞩目的成果但用群上的随机游 走来研究马氏链的性质，却还是一个比较新的分支早在1 9 2 1 年，p o l y a 就研究了整数集z 上的随机游走，尽管z 不有限，但这与环上的随机游 走有一定的联系直到8 0 年代，有限群上的随机游走理论才迅速地发展 起来p d i a c o n i s 和m s h a h s h a h a n i 最先通过某一共轭类来产生对称群上 的随机游走( 【1 】) ，并用特征标理论来估计其收敛性，从而得到一系列关 于群上随机游走的估计d a l d o u s 则用耦合观点来分析有限群上的随机 游走( 【2 】) ，随后他与p d i a c o n i s 合作引入了强平稳时逼近这种概率方法 ( 【3 】，【4 】) 通过此方法，p 。d i a c o n i s 、j a f i l l 、p m a t t h e w s 等在研究生灭马 氏链( 【5 】，【6 】) 、强平稳时间和特征标( f 7 】，【8 】) 等方向取得了新的进展 1 9 4 7 年，m k a c 在研究e h r e n f e s t 模型时，首次提出了概率转移阵的 特征值和特征向量( 【9 】) 通过e h r e n f e s t 模型，可将马氏链和a b e l 群殇 上的最近邻均匀随机游走联系起来m k a c 问：在什么情况下能将马氏 链嵌入到群上的随机游走? 当置换群r 为有限集e 上的对称群时，由g b i r k h o f f 的结论知，只要 所论马氏链的转移矩阵p 是双随机的，则嵌入是存在的( 【10 】) 但即使r 是对称群，这样的嵌入也不惟一当r 为非对称群时，o c h a n 和t k l a m 给出了嵌入存在的一个充要条件( 【l l 】) ；转移矩阵为p 的马氏链可嵌入 有限群上的随机游走当且仅当p 有平稳分布丌= ( 丌1 7 r 2 ，丌n ) ，其中l r i 为正有理数 进一步，s n e v a n s 给出了嵌入存在的更具体的等价条件( 【1 2 1 ) 设e 1 硕士学位论文 是有限集，r 是e 上的可迁置换群，x 是e 上转移矩阵为p = ( p ( x ，可) ) 列e 的离散时间马氏链欲使x 可表示成饥一- 妒l z 的形式，其中z e ， 慨是r 上独立同分布的随机变量，则必须且只须 。p c x , y ) 2 萎。羡，嘉南x p ( 伽以) p ( 州破忆，e ， p 萱 + z e e i p r ：，霉= v 妒r o i p 其中于为r 的不可约表示全体， 为p 出现在正重数 0 中的不可约 表示全体，勘为p 的特征标，d p 为p 的维数 ： 本文研究了有限状态空间e 上的连续时间马氏链x = ( k ) 。i o ，) ( = z ) 可表示成( 也z ) t 【o ) ( 其中z e ，( 也) 挺【0 ，) 为取值于e 上可迁置换群r 上的q 过程) 的充要条件设( q ( z ，掣) ) 础明是x = ( 咒) t e 【o ，) 的q 矩阵 则嵌入存在当且仅当 q ( 训) 2 萎。萎一喜南从妒妒。1 ) q c z , 纠，忆，y e ， p 亡+ z e e 妒e r ：船= 掣妒r1 。p 且存在r 上的某实值函数h 满足 凰( 办2 p e r + z e e 吾禹x p ( , ，| o - 1 ) q ( z ，纠- 6 主喜斋从妒妒q 妒) 0 中的不可 约表示全体，p o 为p 不出现的不可约表示全体，为j d 的特征标，d p 为p 的维数此外，我们还研究了( 九) 绝i o ，o o 的一些性质这些结果推广 了s n e v a n s ( 【1 2 】) 将马氏链嵌入置换群上的随机游走的相关结果 2 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 2 预备知识 2 1 群表示的基本概念 定义2 1 1 设g 是任一群，y 是域f 上的向量空间如果存在群同 态p ：g g l ( v ) ，其中g l ( v ) 是一般线形群( y 上全体可逆线形变换 作成的乘法群) ，则称( kp ) 是g 的一个f 一线形表示，简称为f 一表示 若y 是有限维的，将d i m f v 称为该表示的维数，记为d p ；将y 称为表 示空间 本文所用到的表示，只涉及群的有限维表示 定义2 1 2 设( k ，p i ) ，i = 1 ，2 ，n ，均是群g 的f 一表示令y 是 向量空间，i = 1 ，2 ，n ，的直和，即v = o o ok 对于任一 9 g ，( l ，吨，) v ，其中仇k ，l = 1 ，2 ，钆，定义 g ( v x ，) = ( g v l ，9 ) = ( p 1 ( 夕) 啦，风( 9 ) ) 则v 成为g 的一个f 一表示，称y 为表示( k ，p i ) ，i = 1 ，2 ，佗，的直和， 记为v = ( ov 2o ok ，p lop 2o o 风) 定义2 1 3 群g 到域f 的映射，称为g 上的f 值函数如果，满足 ( h 9 h 1 ) = ，( g ) ， vg ，h g ， 则称，为类函数 3 硕士学位论文 定义2 1 3 设( vp ) 是群g 的f 一表示对于g g ，令x p ( g ) = t r p ( 9 ) ， 其中t 印( 9 ) 是y 上线形变换p ( 9 ) 的迹，由此得到的g 上的f 一值函数洳 称为表示p 的特征标，或称为g 的一个f 一特征标 定义2 1 5 群g 的非零表示( y , p ) 称为不可约表示，如果除了( o ) 和 自身之外，( vp ) 没有其它的表示 定理2 1 1 【1 3 1 设g 是有限群，c h a r ( f ) fl g l ，即域f 的特征为0 ，或为 p 0 ，且ptl g l 则g 的任一f 一表示y 均可分解成v = n l ko s n i k ， 其中啦 0 ，均为不可约f 一表示，且喾k ，i 歹，啦k 是指啦 个k 的直和称k 是y 的不可约分支，啦为k 在y 中的重数 定理2 1 2 【1 4 1 设( vp ) 是有限群g 的复表示，则p 分解为不可约表示 直和的方式在等价意义下是惟一的 证明：设有两种分解： p = p l + 砌+ + 加， p = 西+ 以+ + 厶， 若在上述两种分解中我们将等价的表示视为同一表示，而将其出现的次 数写作系数形式，则 于是有 p = m , l p l + m 2 融+ + m k p k ， p = n 1 区+ n 2 疋+ + m “ x p = m 1 x p l + 仇2 ) ( p 2 + + r n k x p ， 4 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 x p2n 1 x 以+ 砌x 区+ + 饥x 一- 从而 ，( x p ，砌) = m l ， 其中( ，) 表示最大公因子，且 i ( x p ，x m ) = 码嘶 j = l 因而在区，以，“中必有一个为p 。，不妨设为店，且n - = i f l , 1 如此不 难看出，有k = z 经适当排列后有矶= 反，佻= n i 口 定理2 1 。3 【1 4 j 设( k ，p 1 ) 与( ，p 2 ) 是有限群g 的两个不可约表示，则 高驴厕= r ：竺：。 这里一为等价表示的记号，啪为不等价表示的记号 定理2 1 4 【1 4 】设( c g ，r ) 为有限群g 的正则表示，i r r ( g ) 为群g 的不 可约表示的集合，则即i r r ( g ) ，p 在r 中出现x p ( 1 ) 次 证明：由正则表示及特征标的定义，易知 x r ( g ) = 0 ，g l ；x r ( 1 ) = i g l 于是有 ( x 赋p ) = 高薹x 而 = 面1 l g l 洳( 1 ) 。 = 洳( 1 ) 硕士学位论文 定理成立 所以 口 推论2 1 1 1 1 4 1 ，【1 5 】群g 的所有不可约表示的维数的平方和恰为g 的阶 证明：因为。 r = 姊( 1 ) p ，x r ( g ) = 毛，i g i p e l r r ( o ) 推论成立 x p ( 1 ) 2 = ( ) ( r ) p l r r ( o ) = 高薹蒯厕 = 高矧1 ) 厕 = l g l 口 定理2 1 5 有限群g 的任何个有限维复表示( kp ) 一定等价于一个 酉表示即vg g ，p ( g ) 均为酉空间的酉变换 2 2 矩阵的奇异值分解 设a = ( 口臼) m n ，则a 与a 小分别为n 阶和m 阶h e r m i t 矩阵 定义2 2 1 设a = ( ) m n ，秩( a ) = f ，a a 。的大于零的特征值为 入，a ：，则瓜，厩，瓜，称为a 的奇异值 引理2 2 1 设a = ( ) m 竹，则小a 与。a 月有完全相同的非零特征值 6 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 引理2 2 2 设入为小a 的非零特征值，q 。，o r 2 ，q 知为对应于入的两 两正交的单位特征向量则a a 。，a a 2 ，a c t 七为a a 。的对应于a 的相互 正交的特征向量，且 v ( a a i , a a ) = 瓜，江1 ，2 ，k 定理2 2 1 ( 奇异值分解定理) 【1 6 1 设a = ( ) m x n ，且俩，瓶，瓜 为a 的奇异值则a 有如下分解： a = u l y ，l = m n 其中u ，v 分别为m 阶和礼阶酉矩阵上式称为矩阵a 的奇异值分解 证明：设口。，o t ：，和a ，尾，风分别为岔a 和a 介的相互正 交的单位特征向量，其中o t 。，诉和尻，恳，屏分别为对应于非零 特征值入l ，a 2 ，的a a 和a a 的特征向量则由引理2 2 2 知，岛= 岳a o t j ，歹= 1 ，2 ，r 令v = ( q 1 ，口2 ，a 。) ， u = ( 角，屈，风) ，贝 v 7 a v = a ( c t l ，锄，) = ( a a l ，a a 2 ，a a n ) = ( 0 。，确，飘，0 ，0 ) = ( 尻，励，风) 7 0 o = u l o 0 历 硕士学位论文 定理成立 口 2 3 广义逆a + 及其计算 定义2 3 1 设矩阵aec m n ，若矩阵xec m x n 满足如下四个p e n r o s e 方程： a x a = a ， ( 2 1 ) xa x = x 1 ( a x ) = a x ， ( x a l + = x a ， 、， 则称x 为a 的p e n r o s e 广义逆，记为a + 显然，若a 为非奇异矩阵，则a + = a ( 2 _ 2 ) ( 2 3 ) ( 2 - 4 ) 定理2 3 1 1 1 6 1 对任意a c 似n ，a + 存在并且惟一 证明：若a 为零矩阵，可取x 也为零矩阵下面假设a 0 则a 有奇异值分解： a=u 8 0 0 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 其中阢y 分别为n 阶和仇阶酉矩阵，为a 的秩令 x = v o 0 m x n 则x 满足( 2 - 1 ) 一( 2 - 4 ) 四个方程所以a + 总是存在的 设x 与y 均满足方程( 2 _ 1 ) 一( 州) ，则 x = x a x = x ( a x ) = x x a = x x a y + a 。= x ( a x ) 。( a y ) = x a x a y = x a y = ( x a ) ( y a y ) = ( x a ) ( y a ) + y = ( y a x a ) + y = ( y a ) + y = y a y = y 定义2 3 2 设矩阵a c ，l n ，若矩阵x c m 竹满足 a x = p r ( a ) ，x a = p r ( x ) ， 口 其中r 是子空间l 上的正交投影矩阵，则称x 为a 的m o o r e 广义逆矩 阵 定理2 3 2m o o r e 广义逆矩阵与p e n r o s e 广义逆矩阵是等价的因此 a + 通常称为m o o r e - p e n r o s e 广义逆 由矩阵a 的奇异值分解a = u l v 。，可得a 的广义逆矿= v l 一1 扩 则线性方程a x = b 有解当且仅当a a + b = b ，且解的一般形式为z = 9 硕士学位论文 a + b + ( ，一a + a ) z ，其中z 为任意的k 维列向量注意到a + a = v v 。， a a + = u u ，则a z = b 有解当且仅当【，扩b = b ，且解的一般形式为 。= a + 6 + ( j y 矿) z ，其中名为任意的k 维列向量这里的u u 是a 的值 域上的正交投影，j y p 是a 的核上的正交投影( 见文献 1 6 】，【1 7 】) 1 0 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 3 将q 过程嵌人置换群上的随机过程 3 。1 引言 在有限集e 的可迁置换群r 上，考虑连续时间的随机过程= ( 毋。) 坨i o ，蛳 即r 上满足如下条件的右连左极马氏链： p 叫o = 纠= 1 ，v 妒f ， p 妒【妒卧t = 矽l 办，r 铂= p 九【九= 纠= 豆( 妒酊1 ) ，v 5 ，t 【0 ，o o ) 其中p 是在d ( o ，o o ) ，f ) 上的概率分布，d ( 【o ，o o ) ，f ) 是r 上时间区间 为【0 ，) 的右连左极的轨道空间，曩为r 上的概率测度等价地，随机 过程= ( t ) t 【o 。o ) 满足 ( i ) v0 a o b o 口1 b 1 ，咖- l ，九，暗，在下是独立的； ( i i ) 晚，蜡，t 。蛀1 ，在下是独立同分布的，且该分布为豆，其中 t i = t o + g 一1 ) s ， n ，n 为自然数集，t o ，s 【0 ，o o ) 注意( i i ) 兮( i ) ，且、 p p 【。+ t z = i 由，r t 】= 只( 也z ，秒) ，vy ，z e ，v s ，t 【0 ，o o ) 其中 只( 则) = 忍( 妒) ( s - i ) 母r ：母2 = ， 注意咖= ( 也) t f o ，) 为r 上的保守q 过程由q 过程的标准理论( 【1 8 1 ) ， 下列极限存在且有限： ：= 一虿( 妒) 垒虿( 妒，妒) ，v 妒f ， 鲰垫竽：= 矶肌v 刚r ，妒舢 硕士学位论文 且虿= ( 虿( 妒，妒) ) 州e r 为q 过程= ( 九) t 【0 ，) 的保守q 矩阵令 百( 妒) = 虿( 厶，妒) ，v 妒r ， 其中厶为e 上的恒等映射则易知 虿( 妒，币) = 奄( 砂妒一1 ) ，v 咿，1 f ，r ， ( 3 _ 2 ) 进一步有 ：h m 垦( 苎! 苎l ! = 鲰 单+ 埘、乳掣) = 石( ，d ) + 百( 砂) = f 百( 妒) ， v 茁e ， ：= 鲰掣 = 岘圭曩( 妒) p 0 + s 1 ；f i 每= l ，”“ ，= 百( 砂) ， v z ，y e ，z y 咖e r ：1 f 霉刊 由= ( 咖。) 挺【0 ，) 为保守的q 过程知，( q ( z ，! ，) ) 砌e 为一保守的q 矩阵 至此已证 q ( x ，夕) = 百( 妒) ，vz ，y e ( 3 - 3 ) v e r ：妒x = y 性质3 1 1 ( 九z ) 挺i o ，) 是q 矩阵不依赖于z 的连续时间马氏链 1 2 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 证明：vo e ，由于r 为可迁群，则却r ，使如= z 显然 ( a 如1在p 下的分布恰好是( c t z ) 。o 在p 下的分布由 t 湖 。 ( 丸回( 九一。习= 九妒1 芒。= 九虹- - 以1 知( 九习( 九回一，( 也。刁( 咖t ，刁一，在p 下独立同分布且分布为豆， 其中t ；如前所述因此( 也万1在严下的分布为p 西 t o 欲证q 不依赖于z ，只须证比e f z ，如r ，妒z ：伽= “e ， p 妒【。z = t 1 = p 妒【妒。茹= u 】，vs 0 注意 p 妒名= 】_ 曩( 妒妒_ 1 ) ， 妒r ：妒z 铆 p 咖= 】_ 豆( 咖q ) 妒r ：归- - i t。 令r 1 = 【妒r ：妒z = u ) ，r 2 = 妒r ：妒2 = t ，贝0 易证妒r 2 一矽万r l 为 一双射再结合( 也们在p 下的分布为p 妒每知，性质1 成立 口 t 0 注意( a ) t 【o 。) 是r 上满足( 3 _ 1 ) 一( 3 _ 3 ) 的保守q 过程由性质 3 1 1 及其证明知： ( 也z ) t i 岫) 是e 上的保守q 过程，且q 矩阵为q = ( q ( z ，夕) ) 础e 本文研究下面的问题 问题：给定e 上q 矩阵为q 的保守q 过程x = ( 咒) t 【0 ，) ，能否将 x 嵌入r 上的某个保守的q 过程= ( 也j 。【0 ，) ，使得( 扣1 ) 一( 3 _ 3 ) 成立? 3 9 嵌人存在的充要条件 1 3 硕士学位论文 先回忆表示论的一些概念设于为r 的不可约表示全体，给定p p ，记 p 的特征标为洳，p 的维数为6 i p ，且r 的每个元素与相应的i e l x i e l 【o ，1 ) 值置换矩阵相关联，这样的置换表示就可以分解为不可约表示的直和 记 为p 出现在正重数咋 0 中的不可约表示全体，p o 为p 不出现的 不可约表示全体，那么，置换表示的特征标就是( 妒) ；：妒z = z ) i ， 即置换妒中不动点的数目这样 咋= 斋( 妒) 洳( 们 o c e r = 高洳( 砂) i r i 厶厶“p 、r ， 当p 不出现在置换表示的分解中时，咋= 0 定理3 2 1 设( q ( z ，可) ) 础明是e 上保守q 过程x = ( 咒) t 【o ，o 。) 的q 矩 阵则存在r 上的一保守q 过程妒= ( 也) t 1 0 ，) 满足( 3 - 1 ) 一( 粥) 当且仅当 q ( x ，可) = 志洳( 帅_ 1 ) q ( z ，妒z ) ，v 删e ， ( 州) p f + z e e 妒r ：性= 冒妒r 1 1il p 且存在r 上的某实值函数h 满足 眦) ：= p e f + z e e c e f 禹x p ( 洲z ) + 乏嘉南枷妒- 1 ) 附) ，0 q 0 - - - - 。a ) 、( 3 - 5 ) 【0 ， 妒r 厶 ， 取( 妒) = 0 ( 枷) 此外，若存在r 上的实函数h 使( 3 _ 5 ) 一( 3 _ 6 ) 成立，则满足( 3 3 ) 的i r l 维 列向量百= ( 西( 妒) ) ( 视之为r 上的实函数) 构成的集合与如下的r 上 、 ，v t i 的实函数集相同： 鼢ljr 上的实函数使r h ，满足( 3 5 ) 。( 铷) 证明：必要性对r 上的保守q 过程= ( 也) 。l o ：) ，其保守q 矩阵 虿= 而( 妒，妒) ) 州r 为行指标为r ，列指标为r 的i r i i r lq 矩阵由q 过 程的标准理论知， 虿c 妒，妒， 茎：萋荔兰篡： 虿( 妒，妒) = 0 注意 虿( 妒，妒) = 百( 妒妒一1 ) ，v 妒，缈r ， 其中百= ( 妒) ) 曲r 为i r l 维列向量 ( 3 _ 3 ) 式可写为 a q = q ， 其中q = ( q ( z ，可) ) z ，孵e 为定理中给定的保守q 矩阵，a 是行指标为e x e ， 列指标为r 的矩阵，且 a c ，箩，矽，= 三：萋善= 妒为 即百2 ( 亩( 妒) ) 坩为 a y = q ( 3 7 ) 的一个解，其中y = ( y ( 妒) ) 廿r 为| r | 维列向量显然a 的广义逆a + 存在 且惟一( 【1 6 】) 容易验证 a 。a ( q 缈) = _ 岳归 以| ，= ：归， 霉t p = l z ：妒z = 妒z ) l = ( 妒一1 妒) 1 5 硕士学位论文 其中n 是r 的置换表示的特征，用来计算其不动点的数目，为a 的 转置 考虑r 上的不可约表示p ，其维数为，特征为由n 为类函数 知，n 在p 处的f o u r i e r 变换为 。 对( p ) = ( 妒) p ( 妒) = ( 毒喜删) 一r ：入。五 ( 【1 5 】引理1 1 5 - 5 ) 其中= 号，吻2 妒e e r n ( 1 i o ) x p ( 妒) 是p 的重数 设( ) 诗j 妯为p 的酉矩阵实现，则 a a ( 妒1 f i ) 乃i ) = ( 矽一1 妒) p 巧( 妒一1 ) c e r 妒r = ( 妒) 肋( 如一1 ) v e r 厶 = ( 妒) m ( 矽) 腑( 妒一1 ) 曲rk = l c l p = ( p ) 娩狲( 妒) k = l = a p 石j i ( 妒) ， 其中舀为复数肋的共轭从而 。 。：一( 扩蕊瓜勘， 是对应于特征值的晖个相互正交的特征向量注意露= i r l ( 1 5 1 推 论1 1 5 4 ，【1 6 1 ) ，我们已找到i r i i r l 阶矩阵a a 的所有特征值 综上，a 有如下的奇异值分解a = u l v 。 矩阵y 的列为u p ，坩，其中p ，且1 i ，歹d p 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 对角矩阵l 的对角元a y 2 = ( 业d p 、) 1 7 2 出现晖次 矩阵u 的列为 1 l p , i j ( x ，可) = 石m ( a v p ，幻) ( z ，y ) 一；- 1 2 挺r i ( 扩蒯妙r 、i - i ， = 生涯丘，：咖 力i 渺) ，vz ，y 雳i r l d 肛惫h 俨螂顺w 几删。 则由a 的m o o r e - p e n r o s e 变换( 【1 6 】) ，有 a 十c 州训，2 磊( 斋) m ? 舯，( 志) v 2 赢扣篆以掣咖，以纠 2 p e r + 熹妊r 厶酬( 蚍( 妒_ 1 ) 2 善禹善似， a a + ( ( ，耖，) ，( ，) ) = u u + ( ( 。7 ，可) ，( ，矿) ) ；i r p l - y 如：) 妇：缈) 乐( 妒) 肋( 妒) 急，oz 岳1 w 2 ，上拶k 誓。彤“甲约八w = 荟禹i r l 暑协，锨缈，鲁2 吻舄q 矿弘= 缈”却w 川 由 a + a ( 妒，砂) = y y + ( 妒，妒) 2 若鼢( 捌纠 厶l t l ir y ，i y ， p ，t j 。 2 p e r + 斋枷妒_ 1 ) - i t l i “，、rr ，_ 善训电r l 羹窖靴元 1 7 ( 3 - 8 ) 硕士学位论文 ( 【1 5 】推论1 1 5 4 ) 得 ( i - a + a ) ( 妒，妒) = 丽d p 洳( 如一1 ) p r o 。 由于方程( 扣7 ) 的通解可表示为 y = a + q + ( ，一4 + a ) 互 其中z = ( z ( 妒) ) f ，e r 为任一i r l 维列向量特别地，对某个向量z ， 百= a + q + ( j 一月+ a ) z 从而 q ( 训) = 西( 妒) = ( a + q ) ( 妒) + ( ( j a + a ) z ) ( 矽) ) 母r ：忸= l ， 又 ( i - a + a ) z = a ( i - a + a ) z = 0 ， 则将( 辅) 式代入q ( z ，可) =( a + q ) ( 妒) ，得 审i ：归7 v q(别)=妒毛：掣喜禹以肋)pep+zeei p r ：妒z = 掣妒r o 一p 即证( 洲) 下证( 3 _ 5 ) 一( 3 - 6 ) 由前面解方程( 3 _ 7 ) 的过程知，存在一l r i 维列向 量z = ( z ( 妒) ) 讪r ，使得对任意的妒r ， 百c 2 主圣磊禹洳c 妒妒。1 姒z ，+ p e r o 丢斋x p ( 妒妒- 1 ，z c 协 取r 上如下的实函数h ：九( 妒) = z ( 妒) ，v 妒r ，则百( 妒) = r h ( 1 ：i o ) 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 由( 2 ) 及虿为保守q 矩阵，知 凰c 纠= 石c 妒， 薹爱；喜文。元， ( 妒) = 0 妒r 至此，必要性得证 充分性若存在r 上的实函数h 使( 3 - 5 ) 一( 3 6 ) 成立，则对任意的 妒r ，令 q c v ) 咧加p e r + z e e c e f 熹枷妒_ 1 ) 哪卅三嘉丽d p 姒妒m ( 订 由必要性的证明过程知， q = a + q + ( i a + a ) h ( 3 _ 9 ) 其中视h = ( ( 妒) ) 曲r 为i r l 维列向量则 a q = a a + q + a ( j a + a ) h = a a + q = q 可见面是( 3 - 7 ) 的一个解，即西满足( 3 ) 又 硫c 妒， 萎呈 荔喜文。厶， 取( 妒) = 0 令 虿( 妒，妒) = 百( 妒妒一1 ) ，vt o ，妒er ， 则显然( 3 - 2 ) 成立，且易知孬= 而( 妒，妒) ) 州r 为有限维保守q 矩阵，其对 应的保守q 过程妒= 陬) t i o ，) 存在且惟一( 1 8 p 1 3 2 ，【1 9 1 ) 1 9 硕士学位论文 下证( 3 _ 1 ) 注意q 与虿为有限维保守q 矩阵，只= ( p | ( z ，) ) 础凹 与e = 限( 妒，妒) ) 刚e r 分别为( k ) t e f o 。) 与( 也) t 【0 ，) 时间跨度为8 的转移 矩阵由q 过程的标准理论( 1 8 p 1 3 1 1 3 2 ) 知， p o = ( 丑。掣 ) 。胙e ，b p i = 只q = q 只，s 【o ，o o ) ，( s - l o ) _ 0 = ( 一妒) ) 妒渺e r ，统一l = 莉= 虿e ，s 【o ，o o ) ，( 3 - 1 1 ) 且转移矩阵族( 只) 。【o ) 与限) 。【o ，o o ) 分别由( 3 - 1 0 ) 与( 3 - 1 1 ) 惟一决定 先证只( 妒，妒) 具有表达式豆( 妒妒一1 ) ，v 妒，妒r ，vs 0 ，其中曩为r 上 的概率为此只须证： 只( 妒，砂) = 只( 妒饥，妒饥) ，v 妒，矽，妒l r ，vs 0 注意 若令 则 识( m ，砂妒) = 虿( 础；忆) 只( 仍，妒咖) 。 = 虿( 泓，惦妒) 只( 如妒- ，妒妒- ) ( 他= 也订1 ) = 百( ( 如饥) ( 伽t ) - 1 ) 瓦( 惦妒t ，伽t ) = 百( 讥垆- 1 ) 只妒，妒妒) = 虿( 妒，讥) 只( 忆砂t ，妒仇) 类似地， 骨= 限( 却z ，懒) ) 州r ，v s 0 ， 鼠骨= 虿彰1 a | 群1 = 彰1 虿 2 0 即阿1 ) 。o 为( 3 - 1 1 ) 的解，从而 只( 妒，妒) = p o ( 却l ，妒饥) ，v 妒，妒，饥f ，vs 0 ， 只( 妒，矽) = 只( 妒妒一1 ，妒妒一1 ) = _ | ( i d ，妒妒一1 ) 于是存在r 上的概率族( 曩1满足 0 现在令 只( 妒，矽) = 豆( 妒妒一1 ) ，v 妒，妒，妒l f ，vs o 危( 删) = 曩( 妒) ，vx ，y e ，vs 0 ， 妒r ：归= 冒 危= ( 危( 啪) ) 础v s 0 则可验证( 允) 、。为转移矩阵族且为( 3 - 1 0 ) 的解，从而危：只，vs 0 ， 、，0 刎 即( 3 _ 1 ) 成立 事实上，vs ，te 【0 ，o o ) ，v 。，名e ， 危( 训) a ( 舭) ，e 2 1 | i p l 跏j p pc 舢 川声， 、j 1、奶，：蚪 ，l _ 月 瓢 叫 状 耋r 1 一 一_k芝蛳蝴 雌脚脚 硕士学位论文 从而 即 危+ 。( z ，名) = 豆+ 。( 妒) t , e f ：q , z - - , = 州九+ 。= 纠 妒r ：母霉暑互 = p “【九= 纠p 厶【九+ t = 妒l 九= 纠 注意 = 豆( 妒) 再( 砂妒。1 ) 妒r ：伽声zl p r = 曩( _ 。1 妒) 豆( - ) 妒r ：虹= 。审r = 豆豆( - ) 妒_ l = _ ) ( 令矿1 妒= _ ) = 豆豆( _ ) h = 可q 刁， y e e 张r 初= z - r ：砚= ， 怠( z ，y ) p , c y ，z ) = 允+ t ( 邵) ， y e e 允a = 危+ t vs ，t 【o ，o o ) 危= a ( 豆( 妒) ) 曲r ，v se 【o ，o o ) 其中( 只( 妒) ) 曲r 被视为i r l 绷1 易知 么户= a e ( 妒) ) 曲耵 = a ( 晓( 厶，妒) ) 蚪 = a 睡即佩州埘 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 玩a ( z ，可) = a ( ( 。，! ，) ，妒) 虿( 厶，妒) e ( 妒，妒) = a ( 扛，) ，妒) 百( 妒) 置 妒1 ) = 石( 妒) 瓦( 伽以) = 石( 妒) 豆( 铆妒。1 = 万) 妒r 每i r ：硒扫霉暑掣 = 百( 妒) 豆 z e ei p r ：伊2 ； _ r ：砚唧 = q ( 耶) 危( z ，耖) ，v 删e ， 即 岛怠= q 危，v8 o ：o 。) 类似地， 反危= 允q ，vs 【0 ，o o ) 至此已证明( 3 _ 1 ) 成立 两函数集的相同性由充分性与必要性的证明过程知，若存在f 上的 实函数h 使( 蛐) ( 娜) 成立，则满足c a - 3 ) i r l 维列向量百= ( 矽) ) 曲r 构成的集合与如下的r 上的实函数集相同： ， 助ij 吐的实函数使风，满足( 妯) 一( 娜) ) 口 注e v a n s 1 2 】中所有的例子可以通过很显然的方式改造成关于定理 3 2 1 的例子 例3 2 1 设r = e 为有限群，且r 通过左规则表示作用于e 上显 然，嵌入存在当且仅当q ( z ，y ) 可表示成百( ! ，。一t ) 由定理3 2 1 易证该结 硕士学位论文 论成立事实上，咋= d p ，从而 莩禹暑如叫舻，删妒- 1 ) 2 莩郜删( 玎地竹1 ) - 1 ) r l 2 若( ) 一1 = 旷( 矿) 一， 其它 因此( 3 - 4 ) 成立当且仅当q ( x ，y ) 仅依赖于y x 一，此时嵌入必存在又于。 空，则嵌入惟一 例3 2 2 设n 是奇自然数，r 是的半直积视= o ，l ，竹) ， 其上的群运算为加法；而视z 2 = 一1 ，1 ) ，其上的群运算为乘法则r 上 的群运算由下式给出： ( a ，仃) ( 6 ，7 i ) = ( n + a b ，仃r ) ，v ( a ，盯) ，( b ，r ) r ，口，b z 住，仃，7 _ z 2 于是r 在e = z ，l 上的作用如下： ( n ，盯) 写= 口+ 仃z ，v ( n ，口) r ， z e 由e v a n s ( 1 2 ) 第5 节的例子，( 3 - 4 ) 变为 q ( 训) = 去圣旧( w , - x + y + w ) + q ”z 一可+ 刎一去， 且对妒= ( 口，仃) r ，( 3 - - 5 ) 中的凡( 妒) 变为 击薹q ( 叫，+ 伽) - 芴1 一景薹n - i 陬( 姐) ) + 州七，_ 1 ) ) 】 将q 过程嵌入置换群上的随机过程 例3 2 3 若r 在e 上是2 - 可迁的，则( 鲥) 变为 ( 扣5 ) 中的凡( 妒) 变为 q ( 啪) = 0 ，v 管e ， 霉e 南 c i e l 一1 ，薹q c z ，妒z ，一i e i + 2 + 危c 妒， 一丽1 篆悯一1 ) 眦妒一1 ) 一l 即2 ( 参看e v a n s 1 2 】推论1 7 ) 3 3 嵌入q 过程的一些性质 性质3 3 1 任给e 值保守q 过程x = ( k ) t i o ，设其q 矩阵为 ( ( 7 ( z ，y ) ) 础e e 则r 上的均匀分布m 是任何嵌入币= ( 以) 挺【o ，) ( 若存在) 的 不变测度；当如具有分布m 时，妒= ( 丸) t i o ，) 是平稳的 证明：注意( 3 - 2 ) 及p r 百( 妒) = 0 ，易知 斋虿( 妒，妒) = o ，v 妒r ， 。 妒r 从而对任意满足( 3 - 1 ) 一( 3 _ 3 ) 的r 值q 过程= ( 九) 。【0 ) ，仇是其不 变测度结合妒= 仇) 埏1 0 ，) 是时齐的马尔可夫过程，则当币。具有分布吼 时，= ( c t ) t l o ，) 是平稳的 令m ( e ) 是e 上的概率测度全体，赋予m ( e ) 以弱拓扑以a ( e ) ( 含 空集d ) 表示e 的子集全体，赋予a ( e ) 离散距离v 弘m i ( e ) ，妒r ，令 以，t 表示p 在矽下的像我