（概率论与数理统计专业论文）两类风险模型的破产问题(1).pdf

摘要 风险理论是当前精算界和数学界研究的热门课题破产理论作为风险理 论的核心内容，已经成为保险业测度风险的主要理论依据，引起金融保险业 的高度重视最初，破产理论主要借助随机过程的理论，构造出经典的风险模 型，并研究其破产概率，调节系数等问题但经典风险模型本身有着很多缺 陷，为了使模型更贴近现实，很多研究人员对经典风险模型进行了多方面的推 广同时，随着保险商业的发展和破产理论的日趋成熟，许多重要精算量的分 布及其特征也逐渐成为研究重点，因此，近年来，人们开始以多种视角深入地 研究各种风险模型的破产问题 本文主要研究了两类风险模型的破产问题 第一部分对风险理论的产生、发展过程进行了回顾，总结了经典风险模型 的推广及其意义，简要说明了这些推广对我们研究工作的启示，从而提出了 本文的研究问题一两类风险模型的破产问题，并介绍了本文的主要研究方法 一更新方法和获得的主要结果 第二部分对离散时间的经典风险模型即复合二项模型作了深入的探讨 首先假设调节系数矗总是存在的，并推导出月满足的方程 p 【l p ( n ) 】r “= 1 n = 0 为了获得主要结果，本文首先采用统一的途径，提出盈余过程的一类泛函 m ( u ；w ) 垒e ( 叻一l ，iu t1 ) 1 f t 。) l v o = u 】， 采用更新论证的技巧，充分利用调节系数满足的方程以及离散更新方程的一 个极限定理，得到下述结果： ( 1 ) m ( 0 ；u ) 的显式解 一o 。o o m ( o ；u ) = ：p ( + j + 1 ) w ( i ，j ) 1 1 = 0j = l ( 2 ) m ( u ；u ) 满足的瑕疵离散更新方程 uo oo o m ( u ；u ) = p m ( u t ；u ) 1 一p o ) + p p o + j + 1 ) u ( ，j ) ( 3 ) r e ( u ；u ) 的渐近解 m m ；u ) c 兄一“，似o0 ( 9 ) 然后在上述结果的基础上，取u ( 蜥吐 ) = l ( u r 一。和) l ( u r l ) ，即得到： ( 1 ) 当初始盈余为零时，破产前一刻的盈余、破产时赤字和破产时刻三者 的联合分布f ( z ，y l o ) 的显式解； ( 2 ) 此联合分布f ( z ，i u ) 满足的瑕疵离散更新方程； ( 3 ) 当初始盈余充分大时此联合分布f ( x ，g i “) 的渐近解 取u ( z ，y ) = 1 ( 唧一1 十i 嘶l 。一1 ) ，即得到： ( 1 ) 当初始盈余为零时，引起破产的索赔额的分布g ( s 一1 1 0 ) 的显式解； ( 2 ) 引起破产的索赔额的分布g ( s 一1l ”) 满足的瑕疵离散更新方程； ( 3 ) 当初始盈余充分大时g ( s 一1 阻) 的渐近解 第三部分首先构造了一种新的连续时间风险模型一带干扰的多险种风 险模型对于这种新的模型，我们研究了其罚金折现期望函数 妒( u ) = w o e e 一。t 1 ( r o 。，矿( t ) ：o ) i u ( o ) = u 】 + e e - 6 t u ( 矿( z 一) ，iu ( t ) 1 ) 1 ( t ，厂( t ) o ) i u ( o ) = u 垒“o d 似) + 札( u ) 的性质当罚金折现期望函数取特殊的值即可得到很多精算量的分布 为了得到币( u ) 满足的瑕疵更新方程，本文分两步进行：第一步用分析的 方法得到九( “) 满足的瑕疵更新方程 d ( u ) = d ( t 一。) 9 ( z ) d 。+ e 一口“，u 0 ju 第二步在条件! i 墨e f ”c w ( u ) = 0 ，! i r ae f “无( “) = 0 下，利用l a p l a c e 变换方 u 。u ，o o 法得到扎( u ) 满足的瑕疵更新方程 r u 札( u ) = 九m x ) g ( x ) d x + 9 。( ) ，u 0 j 0 这样即有，若j i m ( 9 - - 舰礼( u ) = 0 ，l i m ( 9 - - 觑瓦( u ) = 0 ，则咖( u ) 满足下述瑕疵 ur o ou 、 更新方程 ( u ) = ( u z ) 9 ( 。) d 。十u o e 一4 “+ g 。( u ) ，u 0 i j 最后利用关键更新定理，得咖( u ) 的渐近解为 ( “) a 1 ( 面】( 一) 一百1 ( 兄) ) + 2 ( 面( 一k ) 一面2 ( r ) ) + w o ( r + k ) d 一 l 硝( 一k ) 一 西，2 ( 一k ) + 2 k d c 关键词 风险理论，破产理论，风险模型，破产概率，盈余过程，复合二项模型， 调节系数，离散更新方程，带干扰的多险种风险模型，瑕疵更新方程，渐近解 1 1 1 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi sah o tt o p i ci nt h ep r e s e n ta c t u a r i a ls c i e n c ea n dm a t h e m a t i c s r e s e a r c ha st h em a j o rr e s e a r c ht o p i ci nr i s kt h e o r y , r u i nt h e o r yh a sa l r e a d yb e c o m e t h em a i nt h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fe s t i m a t i o no ft h er i s kf o ri n s u r a n c ec o m p a n i e s ， a n dh a sc o n s t a n t l yc a u s e dt h eg r e a ta t t e n t i o no ft h ef i n a n c i a li n s u r a n c et r a d e t h e c l a s s i c a lr i s km o d e l sh a v e b e e nc o n s t r u c t e db yu s i n gt h em e t h o d so fs t o c h a s t i cp r o - c e s s e s ，a n dt h ep r o b l e m ss u c ha sr u i np r o b a b i l i t i e s ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n th a v eb e e n d i s c u s s e d b e c a u s eo ft h eg r e a td i s a d v a n t a g e so fc l a s s i c a lr i s km o d e l s ，m a n yp e o p l e i m p r o v et h e m i na d d i t i o n ，w i t ht h ed e v e l e p m e n to fi n s u r a n c ea n dt h em o r em a t u r i t yo fr u i nt h e o r y , t h ed i s t r i b u t i o n sa n dc h a r a c t e r i s t i c so fm a n ya c t u a r i a lq u a n t i t i e s h a v ea l s ob e c o m et h em a j o rr e s e a r c ht o p i c s t h e r e f o r e ，p e o p l eh a v eb e g u nt os t u d y t h er u i np r o b l e m so fm a n yt y p e so fr i s km o d e l sb r o a d l y i nt h i sp a p e r ，t h er u i np r o b l e m so ft w ot y p e so fr i s km o d e l sa r em a i n l yd i s c u s s e d i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w er e v i e wt h er i s kt h e o r ya n di t sd e v e l o p m e n t ，s u mu pt h e i m p r o v e m e n to fc l a s s i c a lr i s km o d e l sa n di t ss i g n i f i c a n c e ，b r i e f l ye x p l a i nh o wt h e y i n s p i r eu st op u tf o r w o r dt h et h e s i s t h er u i np r o b l e m so ft w ot y p e so fr i s km o d e l s ， a n di n t r o d u c et h er e n e w a lt e c h n i q u ea n do u rm a i nr e s u l t s i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h ec l a s s i c a ld i s c r e t et i m er i s km o d e l ，n a m e l y , t h ec o m - p o u n db i n o m i a lr i s km o d e li sf u r t h e rd i s c u s s e d f i r s t ，u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t 冗e x i s t s a n dt h ee q u a t i o nw h i c hrs a t i s f i e si s o o p 1 一p ( n ) 矽= 1 n = 0 t oo b t a i nt h em a i nr e s u l t s ，w ef i r s t l yu s eu n i f i e da p p r o a c h ，g i v i n gt h ef u n c t i o na b o u t s u r p l u sp r o c e s s m ( u ；u ) 皇e p ( 【一l ，iu ti ) l ( r o o ) l g 0 = u u s i n gt h er e n e w a lt e c h n i q u e ，ae q u a t i o nw h i c ha d j u s t m e n tc o e f f i c i e n ts a t i s f i e sa n d al i m i tt h e o r e mo fd i s c r e t er e n e w a le q u a t i o n ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s a b o u tr e ( u ；u ) ： - 】v ( 1 ) t h e ( 2 ) t h e e x a c te x p r e s so fm ( o ；u ) m ( 0 2 ：蚤卅m 力 d e f e c t i v ed i s c r e t er e n e w a le q u a t i o no fm ( u ；u ) m ( u ；u ) = p m 心一t ；u ) 卜尸( i ) + p p ( j + 1 ) w ( i ，j ) - i = 0i = u j = l ( 3 ) t h ea s y m p t o t i cf o r m u l a o fr e ( u ；u ) f o rs u f f i c i e n t l yl a r g ei n i t i a ls u r p l u s m ( u ；u ) c r 一，( u - - 4 - o o ) t h e n b a s e do nt h ea b o v ec o n c l u s i o n s ，t a k i n gu ( 场一1 ，iu ti ) = 1 ( 唧一1 f ) l ( i u ? 1 ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n s ： ( 1 ) t h ee x a c te x p r e s so ft h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u s i m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，a n dt h ed e f i c i ta tr u i nf o rz e r oi n i t i a ls u r p l u s ； f 2 1t h ed e f e c t i v ed i s c r e t er e n e w a le q u a t i o no ft h i sj o i n td i s t r i b u t i o nf ( x ，g l “) ； ( 3 ) t h ea s y m p t o t i cf o r m u l ao ft h i sj o i n td i s t r i b u t i o ny ( x ，g | “) f o rs u f f i c i e n t l y l a r g ei n i t i a ls u r p l u s t a k i n g 叫( 正，可) = 1 w t 一1 + 1 u t 5 1 ) ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： ( 1 ) t h ee x a c te x p r e s so ft h ed i s t r i b u t i o no ft h ea j n o u n to ft h ec l a i mc a u s i n g r u i nf o rz e r oi n i t i a ls u r p l u s ； ( 2 1t h ed e f e c t i v ed i s c r e t er e n e w a le q u a t i o no ft h ed i s t r i b u t i o no ft h ea n o u n t o ft h ec l a i mc a u s i n gr u i ng ( s l l “) ； ( 3 ) t h ea s y m p t o t i cf o r m u l ao ft h i sd i s t r i b u t i o na ( s 一1 l u ) f o rs u f f i c i e n t l yl a r g e i n i t i a ls u r p l u s i nt h et h i r ds e c t i o n ，an e wc o n t i n u o u st i m er i s kp r o c e s s m u l t i t y p e 。i n s u r a n c e r i s kp r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n i sc o n s t r u c t e d i nt h i sn e wm o d e l ，w e d e d i 。8 t 。 t os t u d y i n gi t se x p e c t e dd i s c o u n t e df u n c t i o no fap e n a l t y ( u ) = u o e e 一6 t i ( t 。，矿( t ) ：0 ) l u ( 0 ) = u 】 + e e 一6 t u ( v ( 2 l ) ，iu ( t ) 1 ) l p 0 ) 的? 自松过程；凰( 1 ) 表示第次索赔额大小， 瓤，1 ) 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，它具有分布函数f 和期望“；假设 x k ，k 1 ) ， ( t ) ，t o ) 是相互独立的记s ( t ) = 凰，v t 0 ，它表示至 时刻t 为止的索赔总额，是一复合泊松过程 由于经典风险模型中的索赔总额过程具有平稳独立增量等特点，致使该 模型成为风险理论中经常使用的模型，也是概率统计学家和其它数学家一宣研 究的热点，如l u n d b e r g ( 1 9 0 3 ) ，c r a m 4 r ( 1 9 5 5 ) 给出了著名的l u n d b e r g c r a m 4 r 估 计；b e e k m a n ( 1 9 6 9 ) 给出了著名的b e e k m a u 卷积公式，这是后人作破产概率估 计的基础；g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 给出了不同的估计破产概率的方法；w i l l m o t ( 1 9 9 4 ) 讨论了l u n d b e r g 型上界等如今，风险领域里研究的各种风险模型都是在经 典风险模型的基础上逐步发展起来的 经典风险模型的重要结果为破产理论的发展奠定了坚实的基础，但经典 风险模型本身有着很多缺陷，为了使模型更贴近现实，很多研究人员对经典风 险模型进行了多方面的推广 ( 1 ) 更新风险模型：将( 1 1 ) 中索赔次数过程 ( t ) ，t o ) 由齐次p o i s s o n 过 程推广为更新过程也就是说把齐次p o i s s o n 过程的点间距服从的指数分布用一 般的分布代替这方面的研究工作见s p a r r ea n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) ，e m - b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) ，w i l l m o ta n dd i c k s o n ( 2 0 0 3 ) ，d i c k s o na n dd r e k i c ( 2 0 0 4 ) ( 2 ) c o x 风险模型：将( 1 1 ) 中索赔次数过程 ( t ) ，t o ) 由齐次p o i s s o n 2 过程推广为c o x 过程，即n ( t ) = ( a ( t ) ) ，t o ) ； ( t ) ，t o ) 的强度不再 是常量a ，而是随时间t 变化的量在实际经营中由于经济形势的变化，任何 时刻的投保人数、退保人数都带有随机性，同时生活环境的变化、气候的影响 及其它的随机因素使得索赔次数的强度是随机改变的，因而用强度恒定不变 的齐次p o i s s o n 过程描述索赔次数过程就存在很大的局限性，用c o x 过程研究 索赔次数更符合实际经营的情况，其结果也更有实际的指导意义 ( 3 ) e r l a n g ( 2 ) 风险模型：将( 1 1 ) 中索赔次数过程 ( t ) ，t o ) 由齐次 p o i s s o n 过程推广为e r l a n g ( 2 ) 过程+ 它要求索赔时间间隔服从e r l a n g ( 2 ) 分布，即 有概率密度函数k ( t ) = 卢2 t e 一廓，t 0 我们可以看出e r l a n g ( 2 ) 风险模型和经典 风险模型是更新风险模型的特殊形式在研究的过程中经典风险模型中的很多 结果可以推广到e r l a n g ( 2 ) 风险模型中去近年来有不少文章讨论了e r l a n g ( 2 ) 风险模型，如d i c k s o na n dh i p p ( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) ，t s a ia n ds u nl i j u a n ( 2 0 0 4 ) ，s u n l i j u a na n dy a n gh a i l i a n g ( 2 0 0 4 ) ( 4 ) 双p o i s s o n 风险模型：保费收入过程由常速率过程推广为一个p o i s s o n 过程，这方面的研究见孙立娟和顾岚( 1 9 9 9 ) ，龚日朝( 2 0 0 1 ) 等 ( 5 ) 离散时间风险模型：关于离散时间风险模型，讨论最多的是复合二项 风险模型，可参见g e r b e r ( 1 9 8 8 ) ，w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) ，成世学( 1 9 9 8 ，2 0 0 0 ，2 0 0 1 ) ，d i c k s o n ( 1 9 9 5 ，1 9 9 8 ) 的文章该模型假定在每一单位时间内索赔或者有一次发生或 者没有发生，可用下述模型来描述： m ) 巩= u + m 一五，n = 0 ，l ，2 ， 1 = l 其中“是保险公司的初始盈余；置是第i 次索赔额大小，且( 冠，i = 1 ，2 ，_ ) 是恒正的、独立同分布的随机变量序列；索赔次数n = ( n ) ，n = 0 ，1 ，2 ，) 是一列具有参数为p ( 0 p 1 ) 的二项序列作为连续时间的离散化，研究离 散时间风险模型是有意义的，它在实践中更易于应用 ( 6 ) 带利率风险模型：对经典风险模型的推广可以考虑利息的影响目前，研 究的比较多的是常利率风险模型，可参见s u n d ta n dt e n g e l s ( 1 9 9 5 ，1 9 9 7 ) ，y a n g h m l i a n ga n dz h a n gl i h o n g ( 2 0 0 1 ) ，w ur o n g ，w a n gg u o j i n ga n gz h a n gc h u n s h e n g ( 2 0 0 5 ) 等设利率为常数d ，则常利率风险模型可表示为 d u ( t 1 = c d t + d u ( t ) d t d s ( t ) 上述模型是常利率连续时间风险模型对于常利率离散时间风险模型可参见 3 孙立娟和顾岚( 2 0 0 2 ) 另外，对于变利率风险模型也有一些文章研究，如c a i j u n ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) ( 7 ) 带干扰风险模型：考虑经典风险模型中的总索赔过程受w i e n e r 过程 或其他过程的干扰，而干扰可以视为保险公司的风险投资收益经典的带扩散 干扰项的风险模型是由g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 首次提出的d u f r e s e n ea n dg e r b e r ( 1 9 9 1 1 将该模型的破产引发条件分为两部分考虑，即索赔与干扰项这方面的研究 工作还可参见g e r b e ra n dl a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，s c h l e g e l ( 1 9 9 8 ) ，w a n gg u o j i n ga n gw u r o n g ( 2 0 0 0 ) ，t s m ( 2 0 0 1 ，2 0 0 3 ) ，t s a ia n dw i l l m o t ( 2 0 0 2 ) ，z h a n gc h u n s b e n ga n d w a n gg u o j i n g ( 2 0 0 3 ) ，c h i us n a n dy i nc c ( 2 0 0 3 ) ( 8 ) 多险种风险模型；经典风险模型以及上述推广模型为描述单一险种的 风险经营过程提供了各种数学模型但考虑到风险经营业规模的不断扩大、 险种的多元化和新险种的不断开发，用单一险种的风险模型来描述风险经营 过程就存在局限因此，有不少研究者考虑到建立多险种的风险模型，用不同 分布的随机序列来描述不同险种的索赔额，这既能反映各个险种对公司总业 绩的影响，也能反映保险公司的总体经营业绩，对保险公司的经营和监管部门 的监管更具有实际意义这方面的研究工作见蒋志明和王汉兴( 2 0 0 0 ) 1 - 3 问题的提出 从前一小节的总结我们可以看出对经典风险模型的推广可以从以下几个 方面进行：索赔次数过程的推广，保费收入过程的推广，考虑利息的影响，考 虑干扰因素的影响，模型离散化，险种多元化这就为我们的研究工作提供了 一些思路一方面，我们可以致力于对模型的推广，建立起一类新的模型，然 后对其破产概率进行研究在研究破产概率时，一般情况下要找到破产概率的 明确表达式是非常困难的因此，寻找破产概率的上下界和它们的各种估计 是众多概率工作者研究的重点如d i c k s o n ( 1 9 9 5 ) ，w i l l m o t ( 1 9 9 4 ) ，c a ij u n a n d w uy a n h o n g ( 1 9 9 7 ) 另一方面，我们可以致力于对模型进行深入探讨随着保险商业的发展和 破产理论的日趋成熟，许多重要精算量的分布及其特征也是研究重点如破 产前瞬时盈余分布，破产时赤字分布及其联合分布，引起破产的索赔额的分 布，破产前最大余额分布和破产前最小余额分布，从破产到恢复的最大亏损 度的分布，这些精算量的分布早已开始被关注，而且也是有意义的，因为保险 公司有微小赤字并不意味着它马上就倒闭，只是遭到暂时的经营困难，只要 d 调整得当盈余仍可能回复为正的目前这方面也取得了一些有意义的结果， 如g e r b e r ，g o o v a e r ta n dk a s s ( 1 9 8 7 ) ，d u f r e s n e ga n dg e r e b e r ( 1 9 8 8 ) ，g e r b e ra n d s h i u ( 1 9 9 7 ) ，w i l l m o ta n dd i c k s o n ( 2 0 0 3 ) ，p o l i t sk o n s t a d i n o s ( 2 0 0 5 ) 特别，对破产 时刻罚金折现期望函数的研究意义特别重大，因为当罚金折现期望函数取特 殊的值即可得到很多精算量的分布 本文讨论两类风险模型第一类为完全离散经典风险模型即复合二项模 型本文致力于对该模型进行深入的探讨，讨论破产前一刻的盈余、破产时赤 字和破产时刻三者的联合分布以及引起破产的索赔额的分布，给出了它们满 足的瑕疵更新方程和渐近解第二类模型是对经典模型的推广，首先建立了一 类带干扰的多险种风险模型，然后讨论破产时刻罚金折现期望函数满足的瑕 疵更新方程和渐近解 1 4 典型方法介绍 本文讨论的两类模型都给出了相应的瑕疵更新方程和渐近解，主要采用 的方法为更新方法下面介绍更新方法的必要知识 首先介绍离散更新方程和它的一个重要极限定理 定义1 1 设扣( n ) ；n o ) 是一个非负序列，若存在最大的正整数d ，使得 当n k d ( 1 ) 时，有。( n ) = 0 ，则称如( n ) ；n 0 ) 的周期为d 当d = 1 时， 称 o ( n ) ；n o ) 为非周期的 定义1 2 一般形式离散更新方程如下所述 t i ( n ) = v ( n k ) ， ) + 6 ( n ) ，礼0 ( 1 2 ) k = o 其中 ，( n ) ) ， 6 ( n ) ) 为非负序列，且 o o ，= ，( n ) 1 ，b = b ( n ) 。 ( 1 3 ) n = on = o 当，= l 时，( 1 2 ) 式称为正则离散更新方程当， l 时，( 1 2 ) 式称为瑕疵 离散更新方程 由定义可知，v ( n ) 0 ，n 0 定理1 1 设 ，n o ) 为非周期序列，满足更新方程( 1 2 ) ，记 o 。o 。 a = n f ( n ) ，v = v ( n ) ， n = on = o 5 ( 1 ) 著， 0 ) 是誊接黎曼积的，若是( t ) 爨任意有器函数，息 对予。= 1 ，2 ，令2 ( 一l 恶 蛔“( 赁) ，。2f 女i 器 0 j o 这堂，萄数a ( t ) 是来知酌； ( ) 为在校意送问上有界的已知醋数，a ( t ) 为分 布函数，晨a ( ，a ( t ) 农负辘主玛为零。 s 定理1 3 更新方程a ( t ) = h ( t ) + 后a ( t x ) d g ( z ) 有唯一的有界解 邱) = 坤) + z 。岬刊d m ( n 证明见文献 6 1 ( p 1 3 6 定理3 - 4 2 ) 定理1 4 ( 关键更新定理) 若 ( ) 是直接黎曼可积的，g ( ) 是某随机变量的分布函数，且g ( t ) 是非 格点分布，令a ( t ) = ( t ) + f 3 a ( t x ) d g ( x ) ，则 撬邱，3 。，f o 。h ( t ) d t , ：裂! 三： 证明见文献 6 1 ( p 1 5 7 定理3 - 6 1 ) 采用f e l l e r 更新方法的关键是构造关于a ( t ) 的更新方程，再验证 ( t ) 是 直接黎曼可积的，且a ( t ) 是非格点分布函数，就有 剿= 傺州出篙篆三 1 5 主要结果 本文主要讨论了两类风险模型 第一部分研究了复合二项模型 ( n ) = u + n 一蜀，n = 0 ，1 h 2 i = l 中的破产问题 首先假设调节系数r 总是存在的，且满足方程 o 。 p 1 一- p m ) 】r “= 1 n = 0 为了把所求的概率规律渐近解的推导置于统一的框架下，本文提出了盈余过 程的一类泛函 r e ( u ；u ) 皇e p ( 听1 ，l 吩i ) i ( t 。) l 巩= u 其中1 4 表示集合a 的示性函数 u ( 。，g ) 表示一非负有界函数，定义域为 z o ，y 0t 表示破产时刻，珊一1 表示破产前一刻的盈余，j 吩l 表示破 7 产时赤字如x = u t 咄y 一 u tl ，则w ( 毋吨l 翰1 ) 豫为破产时刻的畏金蠲 数 然后采用更掰论证技磁，充分列用调节系数满足蛇方程以及定理t 1 ，褥 蓟下面的结果： ( 1 ) 1r e ( o ；w ) 的照式解 m ( o ；u ) = ：p ( i + j + 1 ) “( ，j ) 。i = 0 j = l ( 2 ) r e ( u ；u ) 满鼹的瑕疵离散更新方程 h 。 m ( ；) = p m ( i ；u ) 【1 一p ( i ) + p p o + j + 1 ) u 尊，) i = oi = uj = l 3 ) m 瀚u ) 静渐近解 r e ( u ；。) 一c r ，( _ o o ) 其中 。 置“p 0 + j + 1 ) w ( i ，j ) c = 坚生笔一， k r 【i p ( 蚓 k = 0 最后，对。( 酚一l ，l 现固取特殊螅菲受蠢曩垂数，秘羚爨姿视娥盈余为 零时破产前一刻的藏余、破产时赤字和破产时刻三糟的联龠分布的盟式表达 式；避初始皴余充分大时，珑联合分布满足黪瑕疵受毅方程耱潺近勰；引起菝 产的索赔额的分布满足的瑕疵更新方程和渐近解这些结果都是新的 篱二部分善先橡造了一种新的风险壤烈一带予找鲍多险秘熙殓摸型， 分由干扰和索赔两种方式讨论破产的发生定义罚搬折现期望函数 垂( 嚣) = w o e e 一5 t i ( t 。，玎( ? ) = 。) | ( 国= 嘲 十e 【e 一6 ，( u ( ，乙) ，iu ( t ) 【) 1 ( t 。，u 盯) o ) c ，( o ) = 钍! 皇蛐钆( e ) 十钆( “) 为了缮戮多( u j 瀵足戆瑕疵更鼗方程，零文分鼹步遘费：第一步瘸努辑戆 方法得到九( “) 满足的瑕疵熙新方程 p n 妒d ( 珏) = 7 毋d ( 缸一茹) 尊( 。) d 茹十e 一芦4 ，嚣0 j 0 ，8 第二步在条件l i me f u 九( “) = 0 ，l i me - 缸丸( u ) = 0 下，利用l a p l a c e 变换方 “ 。 法得到九( u ) 满足的瑕疵更新方程 似u ) = ：“姒u 叫如) 如+ “毗“。 这样即有，若0 骢e - r u 札( u ) = 0 ，。l _ + i m 。e - r v 丸( u ) = 0 ，则( u ) 满足下述瑕疵 更新方程 p u 妒( u ) = 妒( “一z b ( z ) d 。+ w o e 一卢“+ 吼，( u ) ，“0 j 0 最后利用关键更新定理得庐( u ) 的渐近解为 蛳卜迪幽未器拦筹蒙端掣e 州“o 。 9 二 复合二项模型中的更新方程及渐近解 2 1 引言 在风险理论中，破产概率的研究是核心内容随着g e r b e r 引入破产时赤 字“嘶1 ) ，破产前瞬时盈余( 听一) 这两个刻画保险公司破产情形的随机变量， 人们开始以多种视角研究破产问题近年有不少文献讨论了l 嘶 ，嘶一各自 的分布，如文献 2 4 等；对于复合泊松模型，文献 1 5 中讨论了l 蜥l ，啦一与 破产时刻t 的联合分布本章在文献【2 4 的基础上，研究了复合二项模型中 破产前一刻的盈余( 嘶一) 、破产时赤字“听1 ) 和破产时刻( t ) 的联合分布满 足的瑕疵离散更新方程和渐近解，同时得到了导致破产的索赔额的分布满足 的瑕疵离散更新方程和渐近解 设( n ，p ) 是一完备概率空间，本文涉及的随机变量均定义在该空间上 2 2 模型的描述 经典风险模型大部分的研究是关于连续时间的，而实际中离散时间模型 更易于应用讨论得最多的离散时间经典风险模型是复合二项模型下面给出 复合二项模型的描述 定义2 1 设盈余过程由下式给出 m ) = u + n 一_ 置，n = 0 ，1 ，2 ， ( 2 1 ) i = 1 其中初始盈余u o = u 为非负整数，保险公司在每单位时间区间的始端征收一 个货币单位的保费保险公司所支付的第i 个索赔额x ；是仅取正整数值的随 机变量，假定 置；i 1 ) 是独立同分布( i i d ) 的随机变量( r v ) 序列，墨的 分布列p ( x ：= k ) 垒p ( ) ，k = 1 ，2 ，3 ，n ( n ) 表示前n 个时段所发生的索赔次 数，假定 ( n ) ；n 1 ) 是以p ( 0 p 1 ) 为参数的二项序列下面给出二项序 列的解释设在任意一个时间区间( 一1 ) a ，n o 中，仅可能出现两种情况：或 有一次索赔发生，或没有索赔发生不失一般性，不妨取a = 1 当在( ( n 1 ) ，n 内有一次索赔发生时，矗= 1 ；当在( m 一1 ) ，n 内无索赔发生时，矗= 0 假定 1 0 “2 ，岛，为i i d r v 序列，且p ( 矗= 1 ) = p ，p ( 矗= 0 ) = q 垒l p 在上 述假定下： n ( n ) 垒鼠( 约定( o ) = o ) ，v n 0 ( 2 2 ) t = 1 即是以p 为参数的二项序列 设至时刻n 为止保险公司所支付的索赔总额为岛，则 m ) 晶皇x i ，( 约定岛= o ) ，y n 0 ( 2 3 ) i = l 进一步假定 ( n ) ；n 1 ) 与 蜀；i 1 ) 相互独立，则索赔总额序列 s n ；n 0 ) 便是复合二项序列 为以后讨论上的需要，再引入k = & 一n ，v n 0 ，这样= “一 以下假定x 与五；同分布，并称之为个体索赔额 再记p ( o ) = 0 ，p ( n ) 垒p ( i ) ，户( n ) 垒1 一p ( n ) ，v n 0 ， l 兰1 o o p 皇e x = 印( n ) = 户( n ) 。 ( 24 ) n = on = o 上述p ( n