（概率论与数理统计专业论文）时间序列中回归模型的诊断检验.pdf

中文摘要 摘要 时间序列是指被观测到的依时间次序排列的数据序列。从经济、金融到工程技 术，从天文，地理到气象，从医学到生物，几乎在各个领域中都涉及到时间序列对 时间序列数据进行统计分析及推断，被称为时间序列分析。近几十年来，金融时间序 列分析得到了人们广泛的关注e n g k 在1 9 8 2 年对英国的通货膨胀率数据进行分析时 提出一种统计建模思想：时间序列自回归模型误差的条件方差不一定是常数，可以随 时问的变化而不同基于这个思想，e n g l e 首次提出了条件异方差模型，即人们熟知 的a r c h ( p ) 模型由于e n g l e 出色的开创性工作，金融时间序列条件异方差模型很 快在学术界和实际应用中得到了极大的关注。许多专家学者根据实际中经济、金融数 据的各种特征，提出了各种各样的条件异方差模型，并研究各种参数或非参数估计方 法。但是，提出的模型是否合理? 或者说，观测数据是否真的来自这一模型? 人们往 往不太关心。这个问题实际上是所谓的模型检验问题。对于著名的b o x - j e n k i n s 时间序 列建模三步曲：模型的建立、模型的参数估计和模型的检验，理论上他们具有同等重 要的地位但是，正如专著l i l 4 ，】所述，人们关注更多的是前面两步工作，而第三步 ( 即模型的检验) 常常得不到应有的重视。对于近二十年来受到广泛关注的条件异方 差模型，模型检验问题同样没有得到应有的关注，相关的研究寥寥无几。 对传统的回归模型，文献中主要有两大类模型检验方法：局部光滑方法和整体 光滑方法局部光滑方法涉及用非参数估计方法估计其均值函数从而有可能导致维数 问题。为了避免维数问题。学者们提出了各种各样的整体光滑方法用于模型检验，构 造的检验不需要非参数光滑，但是对高频备择不敏感。上述两种方法各有优缺点另 外，这两种方法基本上都是针对因变量为一元情形。因此，本文提出些新的方法来 处理时间序列自回归模型的模型检验问题。需要特别指出的是，本文考虑的时间序列 包括元和多元情形，回归函数形式可以非常一般，自回归变量可以有多个后置项 本文首先研究了一元时间序列一般形式的自回归模型( 包括条件异方差模型的 均值模型和方差模型) 的模型检验问题。通过模型的残差或标准化的残差进行加权平 均，我们构造了一个得分型检验统计量。该检验具有许多优良性质，比如：在零假设 模型下是渐近卡方分布的，处理起来简单；对备择假设敏感，能检测到以参数的速度 收敛到原假设的备择假设模型；通过权函数的选择可以构造功效高的检验在方向备 择情形，我们研究得到了最优( 功效最高) 的得分型检验。当备择不是沿着某一方向 而是多个可能的方向趋于原假设时。我们构造了极大极小( m a x i m i n ) 检验，该检验是 渐近分布自由的，并具有许多优良性质。另外，对各择完全未知( 即完全饱和备择) 情形，我们也基于得分型检验的思想提出了一个构造万能检验( o m n i b u st e s t ) 的可行 性方案需要指出的是，关于时闻序列回归模型的诊断检验问题，本文是第一篇理论 上研究检验的功效性质的文章。另外，在进行功效研究的过程中，我们得到了当模型 奎塑墨 被错误指定时参数估计( 拟极大似然估计) 的渐近性质。 注意到得分型检验在构造过程中涉及渐近方差的插入估计( p l u g - i ne s t i m a t i o n ) 当样本量很小时，检验功效可能不高。为此，本论文在相依数据情形，发展了非参数 蒙特卡罗检验方法( n m c t ) 。该方法避免由于使用插入估计导致的问题，提高检验 统计量在样本量较小时的检验功效。模拟结果表明当样本量较大或适中时，非参数蒙 特卡罗检验方法并没有明显优势，这是因为当样本量不是很小时得分型检验表现比较 好但当样本量很小时，非参数蒙特卡罗检验方法就表现得比较有优势。具体而言， 当样本量较小时，用n m c t 方法确定临界值和通过渐近分布确定临界值得到的检验功 效相差比较大 另外，为了避免渐近方差的插入估计方法，我们通过经验似然方法构造了一个 尺度不变的经验似然比得分型检验。该检验一方面具有经验似然方法的优良性质。 比如：w i l l 【8 定理( 或现象) 和b a r t l e t t 可纠正性。另一方面具有得分型检验的优良性 质，比如；检验在零假设下是渐近卡方的，能检测到以参数的速度收敛到零假设的方 向备择假设。值褥一提的是，在研究过程中，我们发现简单的经验似然比方法用于模 型检验时没有w i l l 【s 现象，得到的检验不是尺度不变的，这显然是不理想的。为此。我 们提出一种纠偏技术，最终得到了一个纠偏的经验似然比得分型检验统计量，该检验 具有w i l k s 性质。 实际应用中，把多个时间序列统一起来处理( 即研究向量时间序列) 常常是 必要的和重要的。在e n g l e 首次提出条件异方差模型后不久即有学者提出并研究多 元g a r c h - 型模型。然而，多元g a r c h - 型模型相比一元情形而言无论在参数估计方 面还是模型检验方面，处理起来都更难。杂志j o u r n a lo fa p p l i e de c o n o m e t r i c s2 0 0 6 年 发表的一篇文章指出多元g a r c h - 型模型的模型检验方法的发展是一个公开的问题， 该问题的解决无论对理论研究还是在实际应用都将产生重要的推动作用。通常，一个 已知方法的直接推广( 多元因变量情形) 不可能构造一个功效高的检验。事实上，无 论对于理论研究还是实际应用。我们都应该特别关注因变量各成分问的相关性问题。 本文通过一些变换或技术处理直接研究多元时问序列模型或多元g a r ( 瑚一型模型的模 型检验问题。具体而言，对向量自回归模型检验时，我们基于向量残差逐项加权平 均得到检验统计量。为了避免渐近方差的插入估计方法，我们也考虑结合经验似然 疗法，并通过纠偏技术处理，得到了一个尺度不变的经验似然比得分型检验。对于 多元g a r c h 型模型，我们通过标准化的残差的一个函数进行加权平均得到检验统计 量。对上述检验统计量，我们均从理论上进行了功效研究。 最后，通过计算机模拟实验和实际数据分析说明我们的模型检验方法的有用性。 关键词：条件异方差，经验似然，经验似然比检验，模型检验，非参数蒙特卡罗方 法，多元g a r c h 型模型，拟极大似然估计，得分型检验，时间序列 英文摘要 a b s t r a c t t i m es e r i e si sad a t as e r i e so b s e r v e do v e rt i m ew h i c hc a nb ef o u n di na l m o s ta l lf i e l d 8 s u c ha se c o n o m i c ，丑i l a - n c e ，t e c h n o l o g y , a s t r o n o m y , g e o g r a p h y , m e t e o r o l o g y , m e d i c i n e ，b i o l - o g ya n de t c s t a t i s t i c a la n a l y s i sa n d i n f e r e n c eo ft i m es e r i e si sn a m e dt i m es e r i e sa n a l y s i s i nr e c e n t ，f i n a n c i a lt i m es e r i e sa n a l y s i sh a v er e c e i v e dag r o w i n ga m o u n to fa t t e n t i o n e n - g i e ( 1 9 8 2 ) a r g u e do r i g i n a l l yt h a tt h ec o n d i t i o n a l y a _ r i a n c eo ft h ee r r o rm a yb et i m e - v a r y i n g i ns t u d y i n gt h e - p a r i a n c eo fu ki n f l a t i o na n dt h e np r o p o s e dt h ea n t o r e g r e e s i v ec o n d i t i o n a l h e t e r o s e e d a s t i c i t y ( a r c h p ) ) m o d e lw h i c hi sw e l lk n o w nf o ra 1 1 s i n c eh i ss e m i n a lw o r k ， t i m es e r i e sw i t hc o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t yh a v er e c e i v e dag r e a to fa t t e n t i o ni nb o t h t h et h e o r ya n dt h ea p p l i c a t i o n s i nt h el i t e r a t u r e ，v a r i o n sg ：a r c hm o d e lh a v eb e e n p r o p o s e dt of i tt h ea c t u a le c o n o m i c f i n a n c ed a t aw i t hd i f f e r e n tp r o p e r t i e s m e a n t i m e a n v a r i o u sp a r a m e t r i co rn o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o nm e t h o d 8h a v eb e e ns u g g e s t e da n di n v e s - t i g a t e d h o w e v e r ，i st h em o d e lv a l i d ? t h a ti s ，i st h ed a t ar e a l l yf r o mt h em o d e l ? t h e p r o b l e mh a sn o tr e c e i v e dm o r ea t t e n t i o nw h i c hi td e s e r v e s i nf a c t ，t h i si sap r o b l e mo n m o d e lc h e c k i n g i nt h ew e l l - k n o w nb o x - j e n k i n st i m es e r i e sm o d e l i n gt h r e es t e p s ：m o d e l - i n g ，p a r a m e t e re s t i m a t i o na n dm o d e lc h e c k i n g ，t h e i rr o l e ss h o u l db et h e 8 0 3 2 1 e 。a sa r g u e d i nt h em o n o g r a p hb yl i 4 7 ，h o w e v e r ，al o th a sb e e nd o n ef 缸t h ef i r s tt w os t e p s ，a n dt h e t h i r d ( m o d e lc h e c k i n g ) h a sn o tr e c e i v e dt h ea t t e n t i o ni td e s e r v e s f o rt h eg a r c h m o d e l 8 w h i c hh a v er e c e i v e dag r e a to fa t t e n t i o ni nt h el a s tt w od e c a d e s ，t h e r e 眦af e wp a p e r s f o c u s i n go nm o d e lc h e c k i n g i nc l a s s i c a lr e g r e s s i o n s ，t h e r ea r el a r g e l yt w om a j o rc l a s s e so ft e c h n i q u e su s e df o r m o d e ld i a g n o s t i cc h e c k i n gw h i c ha r el o c a l l ys m o o t h i n ga n dg l o b a l l ys m o o t h i n gm e t h o d s f o rt h ef o r m e r ，t h et e s t sr e q u i r en o n p a r a m c t f i ee s t i m a t i o no fm e a nr e g r e s s i o nf u n c t i o n a n dt h e no f t e ns u f f e rt h ec u r s eo fd i m e n s i o n a l i t y m a n yt e s t sw e r ep r o p o s e dt oa v o i d t h es e v e r ed i m e a s i o n a l i t yp r o b l e m sb yg l o b a l l ys m o o t h i n gm e t h o d s t h et e s t sd on o t n e e dn o n p a r a m c t r i cs m o o t h i n g b u ta r el e s ss e n s i t i v et ot h eh i g hf r e q u e n c ya l t e r n a t i v e t h e r e f o r e ，t h ep r o sa n dc o i l 8o ft h et w om e t h o d o l o g i e sa r ef a i r l yc l e a r m o r e o v e r ，t h e a b o v et w om e t h o d si su s e di nt h ec a $ ei nw h i c ht h er e s p o n s ei sa nu n i v a r i 毪t ev a r i a b l e t h e r e f o r e ，t h et h e s i sp r o p o s e ss o m ( n e wa p p r o a c h e st oc o n s t r u c t i n gt e s t sf o rc h e c k i n gt h e a d e q u a c yo fr e g r e s s i o nm o d e l si nt i m es e r i e s i ti sw o r t h w h i l e t op o i n to u tt h a tt h et i m e s e r i e sc o n s i d e r e di nt h i st h e s i si st h eu n i v a r i a t eo rm u l t i v a r i a t e ，t h ef o r mo ft h er e g r e s s i o n f u n c t i o ni sg e n e r a l ，a n dt h er e g r e s s o r sc a nb es e v e r a ll a g g e dv a r i a b l e s 一v 1 1 一 英文摘要 w ef i r s ts t u d ym o d e lc h e c k i n gf o rt h eg e n e r a la u t o r e g r e s s i v em o d e h ( i n c l u d i n gm e a n r e g r e s s i o nm o d e l sa n dv a r i a n c er e g r e s s i o nm o d e l si nt h et i m es e r i e sw i t hh e t e r o s c e d a s t i c - i t y ) b ya v e r a g i n gt h ew e i g h t e dr e s i d u a l s ，w ec o n s t r u c ta s c o r et y p et e s ts t a t i s t i c t h e t e s t sh a v et h ef o l l o w i n gf e a t h e r s ：i nt h en u l lm o d e l ，t h e ya r ea s y m p t o t i c a l l yc h i - s q u a r e d a n dt h e nt h e ya r et r a c k a b l e ，t h e ya r es e n s i t i v et oa l t e r n a t i v ea n dc a l ld e t e c tt h ed i r e c t i o n a l a l t e r n a t i v ec o n v e r g i n gt ot h en u l lw i t ht h ep a r a m e t e rr a t e ，t h e yi n v o l v ew e i g h tf u n c t i o n s ， w h i c hp r o v i d e s 瑚w i t ht h ef l e x i b i l i t yt oc h o o s es c o r e sf o re n h a n c i n gp o w e rp e r f o r m a n c e e s p e c i a l l yu n d e rd i r e c t i o n a la l t e r n a t i v e s f o ra d i r e c t i o n a la l t e r n a t i v e ，t h eo p t i m a ls c o r e t y p et e s t i si n v e s t i g a t e d a n df o rac l a s so fa l t e r n a t i v e s ，w ec o n s t r u c ta s y m p t o t i c a l l y d i s t r i b u t i o n - f r e em a x i m i nt e s tw h i c hh a sm a n yd e s i r a b l ep r o p e r t i e s ap o s s i b i l i t yt oc o n - s t r u c ts c o r e - b a s e do m n i b u st e s t si 8d i s c u s s e dw h e nt h ea l t e r n a t i v ei ss a t u r a t e d i ti s w o r t h w h i l et op o i n to u tt h a tt h i si st h ef i r s tp a p e rt os t u d yt h e o r e t i c a l l yp o w e rp r o p e r t i e s i nd i a g n o s t i cc h e c k i n gf o rg a r c h - t y p em o d e l s a sap r o d u c t ，w ea l s os t u d yt h ea s y m p - t o t i c a l l yp r o p e r t i e so fp a r a m e t e re s t i m a t i o nw h e nt h ep a r a m e t e rm o d e li sn o tc o r r e c t l y s p e c i f i e d ， n o t et h a tw h e nt h es a m p l ei ss i n a l l ，t h ep o w e ro ft h et e s t sm a y b ei sn o th i g h ，w h i c hi s r e s u l t e df r o mt h ep l u g - i ne s t i m a t i o ni nt h ec o n s t r u c t i o no fo u rs c o r e - t y p et e s t t h e r e f o r e ， w ed e v e l o pt h en o n p a r a m e t r i cm o n t ec a r l ot e s t ( n m c t ) a p p r o a c hi nd e p e n d e n td a t a c a s e b yt h ed e v e l o p e dn m c ta p p r o a c h w ec a l ld e t e r m i n et h er e j e c tv a l u ew i t h o u t t h ep l u g - i ne s t i m a t i o na n de n h a n c e dt h ep o w e ro ft h et e s tw h e nt h es a m p l ei 8s m a l l s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h es a m p l ei sl a r g eo rm o d e r a t e t h en m c ta p p r o a c h i sn o tb e t t e rt h a nt h et e s tw i t hp l u g - i ne s t i m a t i o n 。t h er e a s o ui 8t h a to u r8 c o r et e s t p e r f o r m sw e l lw h e nt h es a m p l ei sn o ts m a l l w h e nt h es a m p l ei sv e r ys m a l l t h en m c t s h o w si t su s e f u l n e s s t h a ti s ，w h e nt h es a m p l ei ss m a l l ，t h ep o w e ro ft h et e s t sw i t ht h e c r i t i c a lv a l u e sd e t e r m i n e db yt h en m c ta p p r o a c hi sh i g h e rt h a nt h a to ft h el i m i t i n g d i s t i l b u t i o n m o r e o v e r ，t oa v o i dt h ep l u g - i ne s t i m a t i o n ，w ec o n s t r u c tt h ee m p i r i c a ll i k e l i h o o d b a s e ds c o r et y p et e s tw h i c hi ss e l f - i n v a r i a n t t h et e s ts h a r e ss o m ed e s i r a b l ep r o p e r t i e s w i t hp a r a m e t r i cl i k e l i h o o ds u c ha sb a r t l e t tc o r r e c t a b i l i t ya n dw i l l 【s t h e o r e m o nt h e o t h e rh a n d ，t h er e s u l t e dt e s ts h a r e sm a n yd e s i r a b l ef e a t h e r so fs c o r e - t y p et e s t s ：i ti s a s y m p t o t i c a l l yc h i - s q u a r e du n d e rt h en u l lh y p o t h e s i sa n d c a l ld e t e c tt h ea l t e r n a t i v e sc o n v e r g i n gt ot h en u l la tap a r a m e t r i cr a t e i ti sw o r t h w h i l et op o i n to u tt h a tt h en a i v e e l b a s e dt e s t sa r ef o u n dt ob en o to fw i l l 娼p h e n o m e n o ni nt h es t u d y s o ab i a sc o r r e c - t i o nt e c h n i q u ei sp r o p o s e di nt h ec o n s t r u c t i o no ft h ee l - b a s e ds c o r et y p et e s t sa n dt h e n 、，i i i 英文摘要 t h ea d j u s t e do n e sa z eo fw m p h e n o m e n o n i nt h ea c t u a la p p l i c a t i o n s ，m u l t i v a r i a t et i m es e r i e sh a v eb e e nf o u n dm o r ea n dm o r e u s e f u l t h eu n i v a r i a t ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l sw e r ee x t e n d e dt ot h em u l t i - v a r i a t eo n e sa l m o s ta 88 0 0 na st h eo r i g i n a lp a p e ro i la r c hw a sp u b l i s h e d f o rb o t hp a - r a m e t e re s t i m a t i o na n dm o d e lc h e c k i n g i ti sm o r ed i 伍c u l tt od oi nm u l t i v a r i a t eg a r c h t y p em o d e l st h a ni nu n i v a r i a t eg a r c h - t y p e m o d e l s i ti sr e p o r t e db yt h ep a p e rp u b l i s h e d i nt h ej o u r n a lo fa p p l i e de c o n o m e t r i c s ( 2 0 0 6 ) t h a tf u r t h e rd e v e l o p m e n to fm u l t i v a r i a t e d i a g n o s t i ct e s t si so n eo ft e no p e ni e s u e s r e s e a r c ht o p i c si nm u l t i v a r i a t eg a r c h - t y p e m o d e l sa n dt h a tp r o g r e s si nt h i si s s u ew o u l dg r e a t l yc o n t r i b u t et ot h et h e o r ya n dp r a c t i c e o fm u l t i v a r i a t eg a r c h - t y p em o d e l s u s u a l l y , a n yd i r e c te x t e n s i o no fe x i s t i n gm e t h o d - o l o g i e sc a n n o tc o n s t r u c tp o w e r f u lt e s t s i nf a c t ，w es h o u l dp a yp a r t i c u l a ra t t e n t i o no n t h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nt h ec o m p o n e n t so ft h ev e c t o rv a r i a b l e si nb o t ht h et h e o r ya n d t h ea p p l i c a t i o n s i nt h et h e s i s ，w es t u d yt h em o d e lc h e c k i n gf o rt h ev e c t o ra u t o r e g r e s s i v e m o d e l sa n dt h em u l t i v a r i a t eg a r c h - t y p em o d e l st h r o u g hv a r i o n st e c h n i q u e s s p e c i f - i c a l l y , i nc h e c k i n gt h ea d e q u a c yo fv e c t o ra u t o r e g r e s s i v em o d e l s ，w ec o n s t r u c tt h et e s t s t a t i s t i c sb ya v e r a g i n ge a c hw e i g h t e dc o m p o n e n to ft h e ( v e c t o r ) r e s i d u a l s t oa v o i dt h e p l u g - i ne s t i m a t i o n ，w ed e v e l o pt h ee m p i r i c a ll i k e l i h o o db a s e ds c d r et y p et e s tb yc o r r e c t e d - b i a st e c h n i q u e s ，a n dt h et e s ti ss e l f - i n v a r i a n t i nc h e c k i n gt h ea d e q u a c yo fv a r i a n c em o d e l o fm u l t i v a r i a t eg a r c h - t y p em o d e l s w ec o n s t r u c tt h et e s ts t a t i s t i c sb ya v e r a g i n gt h e w e i g h t e df u n c t i o no fs t a n d a r d i z e dr e s i d u a l s a l s ow es t u d yt h e o r e t i c a l l yt h ep o w e ro fa l l t h ea b o v et e s t s s o m es i m u l a t i o ns t u d i e sa r ec a r r i e dt h r o u g ha n dt h ea p p l i c a t i o n st o8 0 m er e a ld a t a s e ta r ei l l u s t r a t e d w h i c hs h o wt h eu s e f u l n e s so fo u rr e s u l t 8i nt h et h e s i s k e yw o r d s ： c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a e t i c i t y , e m p i r i c a ll i k e l i h o o d ，e m p i r i c a ll i k e - l i h o o dr a t i ot e s t ，m o d e lc h e c k i n g ，m u l t i v a r i a t eg a r c h - t y p em o d e l s ，n o n p a r a m e t r i c m o n t ec a r l ot e s tm e t h o d ，q u a s i - m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o a ，s c o r e - t y p et e s t ，t i m e s e r i e s 一一 插图目录 插图目录 孓l 本图是例3 1 ( e x a m p l e1 ) 和例3 2 ( e x a m p l e2 ) 中检验统计量关于偏 离系数c 的功效图2 9 5 - 1 本图是关于例5 1 检验的经验功效，其中模型中参数c = o ；1 ；5 。固定线 表示我们的经验似然比得分型检验的结果，破折线表示k - s 检验的结果， 样本量分别为：( 1 ) n = 2 5 ；( 2 ) n = 5 0 ；( 3 ) n = 1 0 0 ；( 4 ) n - - - - 2 0 0 7 0 5 - 2 本图是关于例5 2 检验的经验功效，其中模型参数c ；0 ：5 ；2 5 和矿= 1 ，2 。固定线表示我们的经验似然比得分型检验的结果，破折线表示l ( s 检验的结果，样本量和参数分别为：( 1 ) 0 - 2 = 1 ，仃= 5 0 ；( 2 ) 0 - 2 = 1 ，n = 1 0 0 ；( 3 ) c r 2 ；2 ，n = 5 0 ；( 4 ) 0 - 2 = 2 ，n = 1 0 0 7 1 5 3 本图是关于例5 3 检验的经验功效固定线表示我们的经验似然比 得分型检验的结果，破折线表示文 1 9 1 中经验似然比检验的结果，其 中c = o ；o 0 2 ；o 0 4 ，样本量分别为( 1 ) 佗= 5 0 0 ；( 2 ) n = 1 0 0 0 7 2 5 - 4 本图是关于例5 4 检验的经验功效。固定线表示我们的经验似然比得 分型检验结果，破折线表示文【1 9 1 经验似然比检验的结果，其中c = 0 ；0 0 4 ；0 0 6 ，样本量分别为( 1 ) 7 1 , = 5 0 0 ；( 2 ) n = 1 0 0 0 7 2 一i l l 壅整旦墨 表格目录 2 - 1 自回归模型诊断检验的经验水平和功效。名义水平为5 1 2 2 - 2 自回归模型的诊断检验( m a x i m i nt e s t ) 的经验水平和功效。名义水平 为5 1 3 奢l 对二元时间序列模型检验统计量露的经验水平和经验功效。名义水平为5 2 7 3 - 2 对二元时间序列m 4 模型极大极t 、( m a x i m i n ) 检验统计量的经验水平和经 验功效。名义水平为5 2 7 4 - 1 对一元条件异方差型模型检验的经验水平和功效。名义水平为5 5 5 4 - 2 对一元条件异方差型模型检验的经验水平和功效。名义水平为5 5 6 垂3 对多元条件异方差型模型检验的经验水平和功效名义水平为5 5 7 4 _ 4 对多元条件异方差型模型检验( m a x i m i nt e s t ) 的经验水平和功效。名义 - 力c 平为5 ，5 8 5 - l 例5 5 中我们的m a x i m i n 检验和k s 检验的检验功效的比较。名义水平 为5 7 3 6 l 对例6 1 中回归模型检验的经验水平和功效。名义水平是5 8 8 6 2 关于例6 2 中自回归模型检验的经验水平和功效。名义水平为5 8 9 6 - 3 极大极小( m a x i m _ i n ) 检验的经验水平和功效。名义水平是5 8 9 - l v 主要符号对照表 o ( a ) o ( a ) 0 p 瓜) 唧( k ) = = j ! 盥 阮 必 8 7 a 。直观上，在零模型下，误差项缸 是白躁声，对应的残差可用来构造检验统计量。许多文献假定这个误差项是独立同分 布的，即表明时间序列的相依性完全包含在回归函数中。本文不假设误差项的独立同 分布性，允许相依性的信息包含在误差分布中事实上这种情形更具一般性，比如经 济金融时间序列中人们熟知的条件异方差模型。作为模型检验的一部分，未知参数的 估计是必要的。为了避免误差项分布的错误指定导致的严重问题，我们采用稳健的拟 极大似然估计( q m l e ) 在得到参数估计后，通过对残差加权平均，构造了得分犁检 验。该检验具有许多优良性质：在零假设下，其渐近分布是卡方分布，i 临界值可容易 得到；对各择敏感，能侦察到以最快的速度n 一 收敛到零假设的备择模型。但是，当 备择模型完全未知，也即饱和备择情形，则上述检验不能直接用。在很多情况下，未 知的备择函数可通过一些函数族来逼近。因此，我们也考虑了几个可能的偏离情形， 并基于得分型检验的思想构造了分布渐近自由的极大极小( m a x i m n ) 检验。在某种意 义上，极大极小( m a x i m i n ) 检验可看作是万能检验的一个逼近。 本章余下的内容安排如下：第二节构造了得分型拟合优度检验统计量，第三节研 究了在零假设和备择假设下检验统计量的渐近性质，第四节进行了模拟实验，附录部 6 堑三主堕墼生型皂里塑茎翌箜堡坌羔型全垡壅堡鉴 分给出定理的假设条件及其证明。 2 2 拟合优度检验统计量的构造 假设五是平稳，遍历且可逆的实值时间序列e 是由直到t 时刻为止的随机变 量 五，x t 一1 产生的口一域。正如本章引言部分所述，在给时间序列数据建模时，人 们通常考虑参数型的自回归模型，并且自回归量是有限多个的后置项本文关心的是 这类参数型自回归模型的拟合优度检验闯题 x t = + t ( 2 - 1 ) 其中回归函数p c = u ( o ，e 1 ) ，函数形式是已知的( 不计未知参数) ，c t 是条件均值 为零、条件方差为班；口( 口，只一1 ) 的误差。条件方差仇可以是常数，也可以是时变的 ( 此即为条件异方差) 。条件均值m 和条件方差仇关于参数护具有连续的二阶偏导 数。不失一般性，令= 啦，其中琅是均值为0 ，方差为1 的独立同分布序列，且独 立于 五- l 五2 ， 注意到零假设模型( 2 - 1 ) 在形式上具有一般性，特别是回归变量 可以有多个后置的变量。 在零模型( 2 - 1 ) t ，对任意给定只一1 可测的函数_ ( p ，只一1 ) ( 简记为咄) ，只要期 望曰( 矗嘶) 存在i 则有 e ( 缸岫) 一0 由此我们可通过e ( 岛峨) 的经验形式定义一个得分型的检验 = 行一；也岛= n - 一血胁， 其中墨，托，墨是观测到的佗个样本值，色= 五一m 是对应残差( 类似地定义皿 血，仇等) 如本章引言部分所述，我们采用拟极大似然方法得到参数估计给定岛和样 本五，不计一个常数项，拟极大似然函数为 。= k 和厶= 一：- 嘞一；鬈 7 一 2 2 拟合优度检验统计量的构造 在模型仁1 ) 以及附录中假设条件( a 2 1 ) 下，有 托；p p ) = n 一；g 一1 o 。l t + o r ( 1 ) ，( 2 - 2 ) 其中嚣= 铬( 菩一击) + 筹嚣和g = 一f ( ：蔷茄) 进一步可得( 见附录中定理2 1 的证明) = n 一 ( e m o r g 一1 嚣) + 唧( 1 ) ，( 2 - 3 ) 其中= e ( 争u t ) 。根据( 2 - 3 ) ，可知z 1 曲的主项是