（应用数学专业论文）高阶延时神经网络动力学.pdf

摘要 近年来，高阶神经网络由于具有更大的存储能力、更快的收敛速度及更强的容错性而受 到广泛关注。尤其足高阶延时神经网络平衡点的稳定性得到了深入的研究，也出现了一系列 有意义的结果。本文主要在前人结果的基础上提出了两类具有延时的高阶神经网络模型，借 助l y a p u n o v 泛函，线性矩阵不等式( l m i ) ，y o u n g 不等式和重合度理论，研究了高阶延时 神经网络的全局指数稳定性和周期性。 具体地，本文的研究内容及创新之处如下： 一、考虑到实际应用中对高阶神经网络的需要及在现实生活中延时几乎不可避免的事实， 本文提出了两类高阶延时神经网络模型。在第一部分，根据延时函数的光滑情况，分两种情 形讨论了高阶延时神经网络的稳定性问题。对于延时光滑的情形，通过构造合适的l y a p u n o v 泛函，以线性矩阵不等式的形式给出了一系列稳定性判别准则；对于延时不光滑的情形，利 用d i n i 导数，y o u n g 不等式和一些分析技巧，得到了平衡点指数稳定的充分条件。所得结 果改进和推广了以前的结论。 二、借助l y a p u n o v 泛函，非奇异m 一矩阵及重合度理论，本文在第二部分提出了一种研 究神经网络周期解问题的新方法。基于此方法，我们讨论并证明了具有多时滞的高阶c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络周期解的存在性及全局吸引性。数值仿真结果显示了该方法及结论的有效 性另外，我们的方法具有一定的普遍性，可用来讨论h o p f i e l d 神经网络、c o h e n g r o s s b e r g 神经网络和细胞神经网络等模型的周期解问题。 关键词：高阶神经网络，延时，有界性，周期解，稳定性，全局指数稳定性，全局吸引性，线 性矩阵不等式，l y a p u n o v 泛函，重合度，非奇异m 矩阵。 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a l - s ，h i g h + o id e rn e u r a ln e t w o r k sh a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n ys c i e n - t i s t s ，d u et ot h e i r s t r o n g e ra p p r o x i m a t i o np r o p e r t y , f a s t e rc o n v e r g e n c er a t e ，g r e a t e rs t o r a g e c a p a c i t ya n dh i g h e rf a u l tt o l e r a n c ee s p e c i a l l y ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i sh a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e df o rh i g h o i _ d e rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ，a n ds o m er e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d i nt h i s p a p e r ，t w oc l a s s e so fh i g h o r d e rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k sw e r ep r o p o s e db a s e do nt h ee a r l i e r w o r k s b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l s t h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，y o u n gi n e q u a l i t y a n dc o i n c i d e n c ed e g i e et h e o r y ，w es t u d i e dt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fe q u l i b r i u mp o i n t ， a n de x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h eh i g h - o r d e rd e - l a y e dn e u r a ln e t w o r k s c o n c r e t e l y , t h em a i nr e s u l t sa n do r i g i n a l i t yo ft h i sp a p e ra r es h o w na sf o l l o w s ： f i r s t l y ，b a s e do nt h ef a c tt h a tt i m ed e l a yi su n a v o i d a b l ea n dt h ea p p l i c a t i o n so fh i g h o r d e r n e u r a ln e t w o r k si nr e a ll i f e ，w ep r e s e n t e dt w oc l a s s e so fh i g h o r d e rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s i nt h ef i r s tp a r t ，c o n s i d e r i n gt h es m o o t ho ft h ed e l a yf u n c t i o n ，t w om e t h o d sw e r ee m p l o y e d f o rs t u d y i n gt h es t a b i l i t yo ft h eh i g h o r d e rd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s w h e nt h e d e l a yf u n c t i o n i sd i f f e r e n t i a b l e ，b yu t i l i z i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l sw eo b t a i ns o m ec r i t e r i af o rt h e s t a b i l i t yo f t h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rs u c hn e u r a ln e t w o r k si nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i ) w h e nt h ed e l a yt i m ( t i o ni sn o td i f f e r e n t i a b l e ，b yu s i n gd i n id e r i v a t i v e ，y o u n gi n e q u a l i t ya n d s o m ea n a l y s i st e c h n k t u e ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b m n np o i n t b yc o m p a r i s o n ，w ec o n c l u d e dt h a tt h eo b t a i n e dr e s u l t si m p r o v e d a n de x t e n d e dt h ep r e v i o u so n e s s e c o n d l y ，b a s e do nt h el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，n o n s i n g u l a rm m a t r i xa n dc o i n c i d e n c ed e - g r e et h e o r y ，8n o v e lm e t h o dw a sp r o p o s e df o rs t u d y i n gt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo f p e r i o d i cs o l u t i o n sf o , d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s i nt h es e c o n dp a r t ，b yu s i n gt h i sm e t h o d ，t h e p r o p e r t i e so fp e r i o d i cs o l u t i o n sw e r es t u d i e df o rac l a s so fh i g h o r d e rc o h e n g r o s s b e r gt y p e d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t sm a n i f e s tt h ee f f e c t i v e n e s so fo u r m e t h o da n dr e s u l t s 1 i 1a d d i t i o n ，t h em e t h o di s q u i t eg e n e r a l ，a n dc a nb eu s e dt os t u d yt h e p r o b l e mo fp e r i o d ks o h l t , i o n so fh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ，c o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s a n dc e l l u l a rn e u la ln e t w o r k s a n ds oo n k e y w o r d s ：h i g h o r d e rn e u r nn e t w o r k s ，d e l a y ，b o u n d e d n e s s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，s t a b i l i t y g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , g l o b a la t t r a c t i v i t y ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ，l y a p u n o vf u n c t i o n a l c o i n c i d e n c ed e g r e e n o n s i n g u l a rm m r t r i x u 1 一、学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文足我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：位嗡日期：诬& 3 ：也 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：叠t 鼠函导师签名：酋遵兰隐日期：1 迹3 ：垃 第一章绪论 1 1 引言 近2 0 年来，由予神经科学、数理科学。信息科学及计算机科学的快速发展，人类认识自 身，了解自身的可能性得到进一步提高，所以研究人类自身的科学领域也有了进一步扩大 由于人类具有高度发达的大脑，所以探索和揭示脑神经的奥秘足当代科学所面临的最重大的 研究课题之一 神经网络( n e u r a ln e t w o r k s ) 是受人脑功能的启发而发展起来的，是采用物理可实现的 系统模仿人脑神经细胞的结构和功能的系统一般来讲，神经网络分为生物神经网络和人工 神经网络生物神经网络屉自然界中的一种客观存在的、由生物神经系统中神经细胞按照一 定的连接方式连接而形成的网络，如人脑神经系统人工神经网络是由大量处理单元( 神经 元) 广泛互连而成的网络，足对人脑的抽象简化和模拟，反映人脑的基本特性，亦简称神经 网络本文提到的神经网络均指人工神经网络人工神经网络的发展道路十分崎岖。经历了 几次高潮与低谷2 0 世纪8 0 年代，人工神经网络再度成为热点研究领域，涉及到电子科学 与技术，信息与通信工程，计算机科学与技术、控制科学与技术、语音信号处理与识别，数 学和物理学等学科，其应用领域包括：建模，时间序列分析、优化、模式识别和控制等，并在 不断的拓展神经网络成为2 0 世纪8 0 年代再度活跃起来的新的信息处理科学研究领域，这 与人工神经网络足以非线性处理为基础分不开的，而这标志着人们开始考虑利用赖以生存的 非线性世界，来探索和研究诸如人脑等复杂的巨系统 延时神经网络足目前应用最广、发展最迅速的神经网络之一近十年来，延时神经网络 的理论和实际应用都达到了很高的水平这是因为在人工神经网络实现过程中，不可避免的 会产生时间延迟，如在神经元的信息传递过程中应该存在延时因此，在人工神经网络模型 中引入延时是符合实际需要的，两且也反映了大脑本身的特点延时对系统的动态性质有很 大的影响，比如延时常常足系统不稳定的根源，并且极有可能使系统产生周期振荡，混沌及 分岔另外，延时系统一般有无穷多个特征值，从而说明延时系统是无穷维的延时神经网 络是高度复杂的非线性动力学系统，具有绚丽多彩和异常复杂的动力学行为因而，对延时 神经网络的动力学进行研究是非常具有挑战性且十分有意义的工作本文主要涉及到平衡点 的存在唯一性，全局指数稳定性，周期解的存在唯一性及全局吸引性等同题 由于延时的存在可能会导致系统不稳定，所以无论是基予理论还是实际应用的考虑，研 1 东南大学硕士学位论文 2 究延时系统的稳定性问题都是非常有意义的几乎每一个可工作的系统都要设计成稳定的， 如果一个系统是不稳定的，在实际中通常足没有用的近几年来，各种延时神经网络模型相 继提出，如延时h o p f i e l d 神经网络延时c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络、延时细胞神经网络和 延时双向联想记忆神经网络，并对其平衡点的稳定性进行了深入的研究，同时得到了一系列 深刻的结果( 1 l 一 上述文献对延时神经网络的研究仅限于低阶的神经网络模型然而，随着低阶神经网络 的广泛应用，人们发现低阶神经网络在实际应用中也有其自身的局限性1 2 l 卜1 2 5 l ，比如，当应 用在优化同题及模式识别问题时它呈现出有限的存储能力和较慢的收敛速度因而。带有高 阶项的神经网络由于具有比低阶神经网络更好的逼近能力，更快的收敛速度更大的存储能 力和更强的容错性而受到了广泛关注1 2 6 】一i 翰 高阶神经网络可以看做屉低阶h o p f i e l d 神经网络 3 8 1 和c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络1 3 9 】 的扩展上个世纪九十年代，d e m b o ，f a r o t i m i 和k a i l a t h 提出一个一般的高阶递归神经网 络模型，并且证明了c o h e n g r o s s b e r g 和h o p f i e l d 神经网络模型均是它的特殊情形众所周 知。递归神经网络模型的特征就足单元之间的双向连接，这也是它与前馈神经网络的区别，后 者的一个单元的输出仅与下一层的单元相连接下面是一个简单的递归神经网络模型f 3 3 l ： 五= 一口t 墨+ 玩：t 鲫， ( 1 1 ) 其中冠表示第i 个神经元，口i ，札均是常数，u 钿是第j 个输入到第 个神经元的连接权， 每个协屉外部输入或者玢= 马( 巧) ，岛( ) 是s i g m o i d a l 型的非线性函数在一个高阶递归 神经网络中。对神经元的总输入不仅屉弘的线性组合，而且是它们的乘积玑珊弧的线性 组合，这种类型的神经网络就足一类高阶递归神经网络根据上面的分析，在模型( 1 1 ) 中引 入延时，则可以得到一类高阶延时神经网络文献【3 4 】讨论了一类具有常时滞的二阶双向联 想记忆神经网络： ， mm 仇 i ! ! 妒= 一o ；t 。( ) + 6 t ，历( 码( 一7 - ) ) 十e f 易( 吩( 一r ) ) 葫( 地( 一r ) ) - i - 五， ，m 盖1 一 ；1 ；1 ( 1 2 ) l 掣= 吗码( ) + 耋勺t 五沁p 一嘲+ 耋耋叫五( u 船一口) ) 五m ( 一) ) + 以，叫 东南大学硬士学位论文 3 借助于线性矩阵不等式和l y a p u n o v 泛函方法，作者给出了该系统平衡点指数稳定的充分笋j 据文献( 3 7 1 研究了一类具有时滞的高阶h o p f i e l d 型神经网络的全局渐近稳定性： g 掣一警+ 毫砒( t 刊) + t , j k g j ( u a t 一勺) ) 9 ( ( t 一亿) ) + ， i = 1 ，2 ，n( 1 3 ) ，= lk = l 作者借助于l y a p u n o v 泛函，以线性矩阵不等式的形式给出了使其平衡点全局渐近稳定的充 分条件在系统( 1 ，3 ) 中，当勺= 吒= r 时，文献f 3 6 】利用l y a p u n o v 泛函的方法，对上述 具有时滞的高阶h o p f i e l d 型神经网络平衡点的稳定性进行了分析，利用r a z u m i k h i n 定理得 到了平衡点全局一致渐近稳定的时滞相关与时滞无关充分条件 然而，在实际应用中为了获得更快的收敛速度和更强的存储能力，可能需要设计更高阶 的神经网络据我们所知，几乎没有文献讨论过这类高阶延时神经网络的稳定性因此，我 们将在第二章中研究一类具有变时滞的任意阶的神经网络的稳定性问题在第二章中，我们 讨论如下商阶延时神经网络： 毫( t ) 一一d l z 。( ) + 毗j l q k ( x 女( t ) ) l 血 j = 1 七0 + 嵋n g k ( z k ( t - - r ( f ) ) ) 】以， 一l h 2 一，t l ，( 1 4 ) j 。ll 写成向量形式： 圣( ) = - a x ( t ) + w ，o ，( z ( ) ) + w l f c x ( t 一7 ( ) ) ) ，( 1 5 ) 其中z ( t ) ；k 1 ( f ) ，z 2 ( f ) ，岛。( ) 1 丁r ”，w o = ( t “k 。工，叭= ( t i 嚣) 。， a = d i a g ( a l ，a 2 ，c h ) 0 ，( 。( ) ) ：m ( z ( ) ) ，五( z ( ) ) ，丘( z ( ) ) j 丁r ， f ( x c t r 0 ) ) ) = 【f l ( x ( t r 0 ) ) ) ，五( 。o r ( ) ) ) ，l ( z ( 一r ( ) ) ) l 丁r 二，其中 厶( z ( ) ) = g k ( x k ( t ) ) d j o ) ， ( 1 6 ) i j ，l ，厶，凡) 尼集合 l ，2 ，礼) 的己个子集的集合，如中的元素排序不分先后也( j ) 是正整数，吼( ) 足激活函数且满足吼( o ) = 0 当然，对神经动力系统的研究不仅仅包括对稳定性的讨论，还包括对其它动力学行为的 i - t i t 。比如，分岔、混沌和周期振荡等 4 0 卜i 螂除了讨论高阶延时神经网络的稳定性。本文 东南大学硕士学位论文 4 还将研究其周期行为这是因为，在许多应用中周期振荡的性质非常重要比如，入的大脑 就处于周期振荡或混沌状态因此，研究神经网络中的周期振荡和混沌现象是非常必要的 我们知道c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型 堡爱生：一口t ( z 。( 啪【6 l ( 丑( 啪一妻毋( 巧( 啪一妻6 i j 毋( 巧( t - h a ) + 列， j = lj = 1 i = 1 ，2 ，他，( 1 7 ) 是一个一般的神经网络模型，h o p f i e l d 神经网络和细胞神经网络都可以看作其特殊情形近 几十年来，c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络得到了充分的研究 4 5 1 一 4 9 1 然而，就我们所知，很少 有作者讨论具有时滞的高阶c o h e n g r o s s b e r g 型神经网络的周期解问题因此，在第三章， 我们提出了如下的高阶c o h e n - g r o s s b e r g 型神经网络模型； 掣：_ m ( 圳) 【6 l ( 础) ) 一妻啪( 啪) ) 一壹风j g j ( x j ( t - r a ) 一 j = 1j = 1 一乏二b 。j l g j ( x j ( t q ) ) g l ( 冠( t n ) ) + ( ) 】， ( 1 8 ) j = ll = l 并对其周期解的存在唯一性和全局吸引性进行了讨论，其中i = 1 ，2 ，n ，x d t ) 是第i 个单 元在时刻t 的状态向量，和f 分别是神经网络的第一和第二阶的连接权，h ( t ) ： r + 一r 足周期为u 的连续函数，勺，巧0 是延时 1 2 本文的主要工作 本论文主要围绕高阶延时神经网络的全局指数稳定性及周期解问题进行了较深入的研 究，主要结果如下： 在第二章，当下列假设 ( j 4 1 ) 存在常数以 0 ，使得 l 虫( z ) ls 地l z l ，其中z r ，i = 1 ，2 ，n ( a 2 )i 吼( z ) is1 ， 其中z r ，i = l ，2 ，一，l ( a s )时滞r ( ) 满足0 + c t ) o t 0 是常数 成立时，我们证明了下面的定理： 定理2 2 1 若存在正定矩阵j d ，正定对角阵b = d i a g ( b l 6 2 ，6 l ) ，e ，= d i a g ( a l ，o 2 ，几) 东南大学硕士学位论文 5 和常数老 0 使得 q = a p + p a - 2 k p 一( 口+ p 耳一p w o e 1 - 曙p 一( 1 一n ) 一1 e 毖7 p 坼b 一1 岬p 0 ，( 1 9 ) 或等价于 a p + p a 一2 k p 一( 口+ b ) e p e pp w o ( 1 一a ) 一 e 打p 眠 咐尸e。0 ( 1 一盘) 一 e 打卵p 0b 0 ， ( 1 1 0 ) 成立，则系统( 1 5 ) 有唯一全局指数稳定的平衡点，其中b = b l + + 十h ，口= 盯l + 0 2 十 + 吼 定理2 2 ，2 若存在正定矩阵j p ，常数芦 0 ， 0 使得下列l m i 成立： q l = a p + p a k p - ( 1 + 口e 打) l e p p p p 订p p 一1 ( 1 一a ) 一1 尸仰7 尸 0 ，( 1 1 1 ) 或等价于 a p + p a k p 一( 1 + z e 打) l p 瓦p w o ( 1 一d ) 一 尸m w p e l 0 ( 1 一乜) 一w t p 0 5 e l 0 ， ( 1 1 2 ) 则系统( 1 5 ) 有唯一全局指数稳定的平衡点 在前面的定理中，我们都假设时滞丁_ ( t ) 可微然而，在某些情况中r ( t ) 可能不满足可微 性的条件因此，第二章第二节进一步讨论了时滞t ( t ) 不可微时系统( 1 4 ) 的稳定性问题 当t ( t ) 连续非负而且有界时，我们在假设( a 1 ) ，( a 2 ) 成立的情况下证明了下面的定理； 定理2 2 ，3 若存在常数，蛔， 羡，z r ，毗 0 和r 1 使得 r o l 撕一( r - - 1 ) 妻l 埘。蛳l 鲁萨一壹i 仇p 舻 j = lk e l j j ；1 女e 0 一( r - - 1 ) 圭i 吲鲁p 争一壹i 饥吗i 露， 0 ， ) i ；、k i ， j = lk | i 对任意t r + 成立，则系统( 1 4 ) 的所有解在r + 上有界，其中i = 1 ，2 ，n 定理22 4 若条件( 1 ) 成立，则系统( 1 4 ) 的平衡点是全局指数稳定的 第三章主要讨论了具有时滞的高阶c o h e n - g r o s s b e r g 型神经网络的周期振荡问题在第 三章第二节我们得到了下面的定理： 定理3 2 1 若下列条件 东南大学硬士学位论文 6 ( a ) 啦( z ) 0 有界，0 0 使得 j 魂( 。) jsb , l x l + g x b , ( a ) 岛z 2 v r ，i = 1 ，2 ，n ； ( c ) 存在常数g ，厶 0 使得 l 鲰( z ) l 0 有界，并且存在常数旦l ，凰，a i 0 使得 0 0 使得 l 饥( 。) 一鼠( 们l s 玩l z 一引，x b , ( z ) k ，y r ，= l ，2 ，珥 ( c ) 存在常数g t ，厶 0 使得 l 吼( 。) 0 ( p 0 ，存在d 0 ，当l i z c t o ) 一矿0 6 ( 或者一矿8 0 ，d 是正定矩阵，则 竹7 + u t wse 讳r d w + f 一1 旷d 1 n 引理2 1 2 1 5 5 1 ，设q ( 。) = q 7 ( z ) ，r ( g ) = j 矿( z ) ，且s ( 。) 仿射地依赖z ，则下列线性矩阵 7 东南大学硕士学位论文8 不等式 等价于 隰孙。， )q ( z ) 0 ，r ( x ) 一s r ( x ) q 一1 ( 。) s ( z ) 0 ( i i ) 冗( z ) 0 ，q ( x ) 一s ( 。) r 一1 ( z ) s r ( z ) 0 引理2 1 3 1 1 1 设，( ) 是定义在酞+ 上的可微函数，则对任意t r + ，函数i ，( ) f 的d i n i 导数d + i f ( t ) i 存在，并且有下列表达形式； d + i f ( t ) l ：l i r as u p 卫堕生三垒 ；二_ ! 型：s ( ，o ) ) ，( ) ， 一o + ， 其中 s ( ，0 ) ) = 盟i f ( o ，若，( ) 0 i ，若f ( t ) = 0 而且j ( t ) 0 1 ，若f ( t ) = 0 而且，( t ) 1 ，口 1 ，而且；1 + i 1 = 1 则y o u n g 不等式成立： 口6 三矿+ 三6 口 pg 考虑如下高阶神经网络模型 2 2 稳定性分析 工 五( ) = 飞z ：( t ) + 1 7 阢( z k ( 洲如 j = t艇，j 工 + t 嵋l q k ( z k ( t r o ) ) ) j 血u ， i = 1 ，2 ，一，t i ，( 2 3 ) 3 = 1 女 东南大学硕士学位论文 9 或向量形式 圣( ) = 一a x ( t ) + p ，扛( ) ) + f ( x ( t r ( ) ) ) ，( 2 4 ) 其中z ( ) = m ) ，z 2 ( t ) ，z 。( ) 】丁舻，w o = ( ) 。心肌= ( 嵋) 。l ， a = d i a g ( a l ，a 2 ，o 。) 0 ，f ( x c g ) ) = f l ( z c t ) ) ，2 ( z ( ) ) ，工( z c t ) ) l r r ， f ( z ( t r ( ) ) ) = 【，i c z c t 一7 ( f ) ) ) ，f 2 ( z ( t r ( t ) ) ) ，九( z ( 一r ( ) ) ) 】r r ， f a d ( t ) ) = g k ( z k ( t ) ) l d ， ( 2 5 ) 七e 饥，2 ，l ) 是集合 1 ，2 ，l 的l 个子集的集合，乃中元素排序不分先后如o ) 是 正整数，俄( ) 是激活函数且满足吼( o ) = 0 对于系统( 2 3 ) ，假定下列条件成立； 1 ) 存在常数脚 0 ，使得 f 职( z ) fs ，h 正i ， 其中o r ，i = 1 ，2 ，n ( a 2 )i 聃( z ) i l ， 其中z r ， i = l ，2 ，n 由于延时函数的光滑性受很多条件的影响，故延时存在可微或不可微的情形本节将针 对这两种情形对系统( 2 3 ) 或( 2 4 ) 的稳定性展开讨论 2 2 1 延时可微的情形 本节假设系统( 2 4 ) 的初始条件为： ( p ) = 也( 口) ，0 ( - - t ，o l ，i = 1 ，2 ，竹，( 2 6 ) 其中妒( ) = 陋，( r ) ，幽( ) ，“( ) r e ( - r ，o 】，舻) ，0 表示欧几里德范效，0 毋0 。= m a p 一，c 口c oi l 庐( 口) i i 表示函数c ( 1 - 1 - ，o l ，r ”) 的范数其中，1 r ( ) ，时滞r ( ) 满足； ( a s ) 0 于( t ) o 0 是常数 由假设立刻得 引理22 1 ，设。= d i a g ( c l ，句，c 厶) 是正定对角矩阵，则不等式： f t ( z ) 。f ( z ) c x r e p 一， ( 2 7 ) 成立，其中，( z ) = 【，l ( z ) ，五( z ) ，f l ( ) n p = d i a g ( 【正t ，触。，p 。) ，c = c l + c 2 + - + 乱 证明：由等式( 2 5 ) 得： ，r 扛) 。f ( x ) = c l 砰( z ) + c 2 鬈缸) + 0如 繇 “b 勺 。m 二 z 髭 c + 东南大学硕士学位论文 又由于蟊o ) 是正整数并考虑到( t ) ，( a z ) 。易见 二 3 = 1 l j f f i l c j b ：( 1 ) + 缱( z 2 ) 十+ 蠢( z 。) l c j ( 卢i 。 + p 2 2 觋2 + - + p ：) n = ( c l + c 2 + + c l ) 版2 吼2 t 名l = c 一邑p 。 口 特别地，如果在上述引理中取。= e l ，则可以得到下列不等式； ， ) ，( z ) 墨l x t e j , e t , x 注2 2 1 若在方程( 2 3 ) 中，j 乃0 = 1 ，2 ，l ) ，且l = n ，易得 f t ( x ) e 。f ( x ) sz t e p e 。邑矗( 2 8 ) 对引理2 ，2 1 的证明稍作修改，即可得到( 2 8 ) r ( z ) e 。m ) s 白i n1 9 k ( z k ) 1 2 】 j = 1 k l i nn s 勺露( 巧) 勺( 巧2 2 ) = 。，p c p z 1 ：1 2 2 1 1 全局指数稳定性 在这一节中，基于假设条件( a - ) 一( a 3 ) ，我f f 】将研究神经网络系统( 2 4 ) 的全局指数稳 定性 定理2 2 】假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立若存在矩阵p 0 ，b = d i a g ( b l ，b 2 ，k ) 0 ， 岛= d i a g ( a l ，0 2 ，一，( y l ) 0 和常数k 0 使得 q = a p + p a 一2 k p o + b ) g p p p w o e 9 1 w p 一( 1 一d ) 一1 e 钛7 尸日一1 岬p 0 ，( 2 9 ) 1 0 2 0 墨 鲰 n 呦 勺 。州 0 f 2 1 0 ) 成立，则系统( 2 4 ) 有唯一全局指数稳定的平衡点，其中b = b 14 - 6 2 + + b l ，盯= 盯l + 0 2 + + o l 、 证明：假设矿( 0 ，0 ，o ) 丁是系统( 2 4 ) 的另一个平衡点，则 一 z + w o f ( x ) + i v , ，扛) = 0【2 1 1 ) 从而f ( z ) 0 方程( 2 1 1 ) 的两边同乘以2 ( 矿) r p 得 - 2 ( z + ) r p a x + 2 ( z 。) t p w o f ( x 。) + 2 ( 矿) t p w l f ( z ) = 0 ( 2 1 2 ) 根据引理2 1 1 和2 2 1 可得 2 ( z ) r p w o f ( x + ) f t 扩) e ，f ( x ) + ( ，) r p w o ；1w 2 尸矿 ( z ) r ( 盯戳e p + p w ，o e ；1 w o t p ) x ，( 2 1 3 ) 2 ( z ) r p w l l ( z ) e - 2 k r ( ( 1 一于( t ) ) ，r ( 卫) b ，( z + ) + e 2 打( ( 1 一于( ) ) 一1 ( z ) r 尸m b 一1 岬p z ，r 0 + ) b i ( z ) + e 2 轩( 1 一于0 ) ) 一1 ( ) t p m 日一1 孵尸t + ( z ) r p p 现+ e 赫7 ( 1 一彳_ ( t ) ) 一1 p w , b 一1 岬p 】z ( 2 1 4 ) 在( 2 1 2 ) 中利用( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) ， 一( z ) r a p 十p a 一( 口+ 6 ) e p ，一p w o e ；1 矸謦p 一( 1 一 ( 亡) ) 一1 e 7 p 帆b 一1 ；1 7 p 】矿0 ， 这意味着 一( 茹) r 【j 4 p + p a 一2 k p 一( 盯+ b ) 2 p e p p w o f j1 留p 一( 1 一a ) 一1 e 2 k p w , b 一1 岬p l z 20 ， 从而与( 2 9 ) 矛盾因此，原点是系统( 2 4 ) 唯一的平衡点 下证平衡点的全局指数稳定性考虑l y a p u n o v 泛函： 吣) e 2 k t 2 ：t ( c ) 蹦砟) e 2 y ( 删酬删出， !壅查查堂堡圭兰堡丝塞 1 2 其中矩阵p 0 ，b = d i a g ( b 1 ，如，b e ) 0 ，常数七 0 对y 扛( ) ) 关于时间t 求导，可 得 矿扛( ) ) = 2 k e 2 衄$ 丁( ) p ( ) + e 站2 r ( o p x ( t ) + e 2 h x r ( t ) p x ( t ) + e 2 船f r 缸( 幻) b ， ( ) ) 一孑矗e 一2 打( ，r 0 0 一7 ( t ) ) ) 8 ，( z 0 一f ( ) ) ) ( 1 一亍( 砖) = c 2 k t f 一，( t ) a p x ( t ) + f t ( z ( ) ) w p x ( t ) + f t ( z ( 一7 _ 0 ) ) ) w p z ( t ) 一x r ( t ) p a x ( t ) + x t ( t ) p w o f ( x ( t ) ) + x t ( t ) p w t f ( x ( t 一下( t ) ) ) + 2 k x t ( t ) p z ( t ) 】 一e 2 k t e 一驰7 ( ，r ( z ( t f o ) ) ) b ，( 。( t 一_ r ( ) ) ) ( 1 一亍o ) ) + e 2 船f r ( z ( ) ) b ，( z ( ) ) ( 2 1 5 ) 由引理2 1 1 及2 2 1 可得 2 x 。( t ) p w o f ( x ( t ) ) z r ( t ) ( 口p p + p w o e ；1w o t p ) x ( t ) ， ( 2 1 6 ) 2 x r ( t ) p w l f ( x ( t 一7 - ( ) ) ) e - 2 k v ( ( 1 一于( ) ) ，丁( z ( t 一7 - 0 ) ) ) b ，( z ( 一r ( t ) ) ) + 7 2 ( 1 一予( ) ) 一1 x t ( t ) p w l b 一1 w f p x ( t ) e - 2 打( ( 1 一于( ) ) ，t 伍( f r 0 ) ) ) b 厂( z o f ( t ) ) ) 十e 铀7 ( 1 一于( ) ) 一1 x t ( t ) p w l b w p x ( t ) ， ( 2 1 7 ) f t ( x ( t ) ) b f ( x ( t ) ) 6 ，( ) p 邑z ( ) ， ( 2 1 8 ) 根据不等式( 2 t 6 ) ，( 2 1 7 ) 及( 2 1 8 ) ，对( 2 ，1 5 ) 式右端进行估计， 矿( 。( t ) ) s e 2 l z r ( o ( a p + p a 一2 k p 一( 6 + 盯) p 耳 一p w o y 5 1 i “? p 一打( 1 一于- ( 幻) 一1 p 计，l b 一1 岬尸) z ( t ) 】 s e 2 缸一( ) q z ( ) 0 ， 从而 y ( ( t ) ) y 扛( 0 ) ) ， v t 0 东南大学硕士学位论文 1 3 又 y 扛( o ) ) = ，( o ) p z ( o ) + e 驰5 ，r p d ) ) 口，和0 ) ) 如 s a 盯( j d ) ( 。s u e p 。愀e ) 1 1 ) 2 + b a m ( p p ) ( s u pi i 毋( o ) 咿i _ 2 e 七- 2 k r 0 - f s o o一7 0 ，k 0 使得下列 线性矩阵不等式成立： u = a p + p a 一2 k p 一( 1 + ) 厶e p p p w o w r p p 一1 ( 1 一口) 一1 e 2 打p 阢彬f 尸 0 ， 或等价于 a p + p a 一2 k p 一( 1 + p ) l p p w o ( 1 一口) 一；e 7 尸 w i p e l 0 ( 1 一o ) 一e r 孵p 0p 既 0 则系统( 2 4 ) 有唯一全局指数稳定的平衡点 当r ( t ) = 7 是常数时，则可以得到： 推论2 2 2 假设条件( a , i ，( a 2 ) 成立，而且r ( ) = r 是常延时若存在矩阵p 0 ，常 数p 0 ，七 0 使得线性矩阵不等式 u = a 尸+ p a 一2 k p 一( 1 + f 3 ) l p p p w o w o p p 一1 e 2 轩p m 岬尸 0 ， 东南大学硕士学位论文 或等价于 p + 尸a 一2 k p 一( 1 + 卢) l 邑pp w oe h 尸- w i p e l q e k f w p 0 z e l j 0 成立，则系统( 2 4 ) 有唯一