（概率论与数理统计专业论文）sierpinski地毯格点图上的渗流问题.pdf

摘要 渗流模型是由b r o a d b e n ts r 和h a m m e r s l e yj m 于1 9 5 7 年建立的一种统计 物理模型这一方面大大扩充了概率论的研究领域，另一方面为统计物理模型提供 了一种严格的数学根据 关于经典渗流模型的研究，主要是一些平移不变格点图上边渗流和点渗流问题 的研究，此处的平移不变格点图主要包括d 维整数格点，平面三角格点图和平面六 角格点图而近2 0 年来，非整数维的物理系统和描述分数维几何形状的分形都引 起了科学家们的广泛兴趣经过以m a n d e l b r o tb b 为首的科学家们的努力，分形 的研究取得大量重要成果随着分形研究的深入，分形上的随机过程理论也取得了 较大进展 本文将主要研究s i e r p i n s k i 地毯格上的边渗流模型在t k u m a g a i 文章【8 】中 在一个假设的前提下证得了s i e r p i n s k i 地毯格上的边渗流临界概率存在性，无穷串 唯性及渗流概率函数的连续性而在h i g u c h i 和w u 文章【9 】中已经解决了最常 见的一类s i e r p i n s k i 地毯格上渗流的所有问题，在证明中主要用到了分支过程的方 法，并采用不同方法得到文章【8 】中的所有结论本文试将h i g u c h i 和w u 文章【9 】 的方法推广到几类具有特殊图形性质的s i e r p i n s k i 地毯格上，可得到与文章【9 】中 相同的结论，则结合文章【8 】或采用文章【9 】中的方法就可解决这些图上渗流的基 本问题 关键词；s i e r p i n s k i 地毯格，边渗流，临界概率，开路，唯性 a b s t r a c t p e r c o l a t i o nm o d e lw s sf m e l yp r o p o s e db yb r o a d b e n ts r a n dh a m m e r s l e y j m a n dh a sb e e nw e l ls t u d i e di nt h ep a s tt h r e ed e c a d e s t h i sn o to n l ye x t e n d t h er e s e r c hf i e l d so fp r o b a b i l i t y , b u tm s ot h e o r l i z ef o rs t a t p h y s i c s t h es t u d yo fp e r c o l a t i o ni nt h ep a s tf o c u s e do nt h eb o n dp e r c o l a t i o na n d s i t ep e r c o l a t i o na b o u tt h eg r a g hw i t ht r a n s l a t i o ni n v a r l a n c e ，s u c h 够z d ，t r i a n g u l a r l a t t i c e 3a n d 卫s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ff r a c t a l ，m a n ym e n t i 8 t sa l ei n t r e s t e di n i t t h e yt r yt h e i rb e s tt od oi t l i k em a n d e l b r o tb ba n do t h e r sa n dm a k eg o o d a c h i e v e m e n t s t h e nt h er a n d o mp r o c e s so nt h ef r a c t a lm a k eg r e a tp r o g r e s sb yi t w es t u d yt h eb e r n o u l l ib o n dp e r c o l a t i o np r o b l e mo np l a n e rs i e r p i u s l dc a r p e t i n k u m a g a i t 8 1 ，h eh a sp r o v e dt h ep r i m ep r o b l e mt h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp r o b a b i l - i t y ，e x p o n e n c i a ld e c a y sa n dc o n t i n u i t yo fo ( p ) u n d e ra l la s s u m p t i o n i nh i g u c h i a n dw u 【9 】，t h e yi m v es o l v e da l lt h ep r i m ep r o b l e mo nt h es i e r p i n s k ic a r p e tw i t h t = o ，i ，2 ) 2 ( 1 ，1 ) ，t h e ye x t e n dt h eb r a n c h i n ga r g u m e n tt ot h ep e r c o l a t i o n i nt h e i r p r o v e ，a n dg a i nt h es s , l n ec o n c l u s i o nu n d e rt h ed i f f e r e n tm e a n st o 【8 j w ej u s tw a n t t oe x t e n dt h em e t h o di n 【9 】9t ot h eo t h e rs i e r p i n s k ic a r p e tp e r c o l a t i o nm o d e lw i t h s p e c i a lc h a r a c t e r ，w ec a ng e tt h e 咖- n ec o n c l u s i o ni n 【9 】，t h e nw ec o m b i n ei tw i t ht h e t h e o r e mi n 【8 】o r 【9 】，a n dw ec a nr e s o l v et h ep e r c o l a t i o np r i m ep r o b l e m k e yw o r d s ：s i e r p i u s k ic a r p e t ，b o n dp e r c o l a t i o n ，c r i t i c a lp r o b a b i l i t y , o p e nc l u s - t e r u n i q u e n e s s 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：渐新权 作者导师签名：量礁 日期： 刃年多月弓日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利 目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据 库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 ， 学位论文作者签名：前新欠 作者导师签名： 呈复连 日期：如事1 f 月，日 第一章渗流模型的基本问题及s i e r p i n s k i 地毯格点图上渗 流模型的介绍 记z 4 2 冬兰圣：兰乡z = ，一3 一2 ，一1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，) ，我们称为d e 。= t ：$ ，y ，d o ，v ) = i 以一矾f = 1 e 舻表示e 是x ，y 之间的一条边，设对于ve e d ，e 有两种状态一x ( e ) = o ，1 ) ， 酢，创 我们定义所要研究的概率空间( q ，习如下记样本空间n = o ，1 ) = o ，1 ) ，称为组态空间对vu q ，c ，= 仙( e ) ：e 呼) ，称“，为组态 e e e a 2 蔓= 童塑螋盟薹查旦墼苎旦垡塑坐丝堡堕盛堕占鳖堕堡型笪坌塑 ，= i i 兀为由q 中的有限柱集类生成的域肌为定义 o ，1 ) 上的b e m o u l l i e e 4 测度，满足以( e ) = o ) = q = l p ，m ( e ) = 1 ) = p ，定义= 为上的 e b d 概率测度，则( q ，b ，力即为所要研究的概率空间 事实上，对于u n ，我们都可以把它看作一张图，这样渗流模型在某种意义 上就是z 4 上的随机子图模型，因而图论中的许多知识在渗流的研究中发挥着重要 的作用( 在下面的关于分形格点图上渗流的研究中尤其能体会到它的重要性) 定义了所要研究的概率空间之后，我们在z 4 上定义路，称7 r 为路，如果丌是 由知，e 0 ，z l ，e 1 ，e ，l l ，靠组成的集合，其中z o ，。i ，o n z d ，e = 趔为连接和窳+ 1 的透，这样的路7 r 长度为珏；称霄为自回避路。若对于霄， 当i j ，都有轨；称7 r 为环路，若有x o = x n ；称7 r 为开路，若7 r 中任条 边开，类似若任一条边闭，则称为闭路若茹和y 之间可通过开路连接，记z y 在e d 中考虑由开边组成的子图，此子图酶连通部分称为开串，记g ( 为包 含。的开串，l g ( 。) i 为d ( z ) 中的顶点个数，则我们可记c ( x ) = 扫z 4 ：z g ) ， g ：= c ( o ) = d ：0 一f ，其中。为坐标原点，则我们知f c l = o o 等价于 0 一。令日( 办= b ( i c i = o 。) = b ( o o 。) ，我们称p ) 为渗流概率函数 3 经典渗流模型主要关心的问题 经典渗流模型主要研究平面d 维整数格点对于上面定义的口) ，显然有e ( o ) ； 0 ，e ( 1 ) = 1 ，并且用耦合的方法可证得日( p ) 是关于p 的增函数( 注，本节所用定 理编号均采用g r i m m e t t g 书【1 】中的定理序号，详细定理及证明可参考文献【l 】) ( 1 )渗流理论的基本问题 口0 ) 为取值从0 到1 的增函数，我们考虑当p 增大到何值时，口( p ) 0 即 对于vd ，是否存在一个确定的概率p o ( d ) 使得 r 一0 p 0p p o ( d ) 我们称p 。( d ) 为临界概率，即 p o ( d ) = s u p 扫：0 0 , ) = o = i n f 扫：口 o ) 我们采用p e i e r l s 围道方法可以证得 定理1 1 0若d 2 ，则0 p c ( d ) 挑 ( 2 ) 主要问题及解决 主要研究z 2 上的情形，记p c = p c ( 2 ) a ) 下l f 缶界情形( 即p p c 时，有片0 ) = o o ，但若p p 。，是否必有一( p ) o o 即若记 刀= i n f p ：k 0 ) = o o = s u p p ：片0 ) ) 是否必有船= p c ? m e n s h i k o v ( 1 9 8 6 ) 和a z i e n m a n 与b a r s k y ( 1 9 8 7 ) 分别用不同的方法证明了 定理5 2若p p c ，则有k ( p ) 0 ，则b ( 图中存在唯一无穷开串) = 1 此结论由b u r t o n 和k e a n e 证得 另外，当p 钆时，相应于p p c 的情形时考虑的k 0 ) ，我们定义 k 7 0 ) = b ( i c l ；i c i o o ) 其中f 表示有限的( f i n i t e ) ，它也有类似于定理5 4 的指数衰减性 c ) 临界情形( 即p = p c 时) 此时主要研究的口0 ) 连续性显然，当p p c 时，口( p ) 连续 在矛上，已经证得p 。= t 2 ，且o ( t 2 ) = 0 ，并且d 1 9 时，口( p 。( d ) ) = 0 ，于 是我们猜测对任意的d ，都有口( p 。) = 0 ，即日( p ) 在【0 ，1 】上连续 4s i e r p i n s k i 地毯格点图的定义 我们首先介绍一下二维s i e r p i n s k i 地毯格点图的定义( d23 时可类似定义) 我们记t l = o ，1 ，2 ，三一1 2 ，l 2 且为整数，v tct l ，( t ，j ) l ，定义一 个仿射影射以j ：以j = l - 1 ( z 1 ，。2 ) + l 。( ，j ) ，( x l ，x 2 ) 【0 ，1 】2 ，k r 为【0 ，l 】2 上 的紧子集，且满足硒= u 讥，j ( 坼) ，我们定义s i e r p i n s k i 地毯格如下t 令 “j ) t 磷= l u 虬( o ，1 】2 ) ，砰= l u ( 磷) ， 0z)er(tj)et 研= l u 忆( 砰。1 ) = l u u 怯矗。戗。j 。( 【o ，1 2 ) (j)t(hj,)et ( t n 矗) e t 我们知s i e r p i n s k i 地毯格为z 2 的子图，记g j 争= 坪nz 2 ，g t = ug 孚即为完整 1 的第一象限上的s i e r p i n s k i 地毯格令包为关于以轴的对称映射，i = 1 ，2 ，则可 建立全平面上的s i e r p i n s k i 地毯格t s r = g t u 垂1 ( g t ) u 圣2 ( g t ) u 圣1o 垂2 ( g 丁) 显然，岛cz 2 本文主要研究的模型是由t k m n a g a i 定义的。对tc 死，要满足以下条件， ( 1 1 ) ( 连通性) 晒连通； ( 1 2 ) ( 对称性) 若( ，j ) t ，则0 ， ) z ( ，l j 一1 ) t ； ( 1 3 ) ( 边界包含崔日 ( o ，j ) ：0 j l 一1 ) ct 最常见的地毯格点图是t = o ，1 ，2 ) 2 ( 1 ，1 ) 如下图。 图1d = 2 ，t = o ，1 ，2 ) ( 1 ，1 ) ) 时的g r 我们定义岛的对偶图s 孚记岛的每个面的中点为s 孚的顶点，岛的相邻 两个面的中点的连线为s 譬的边则对s 的每条边e ，存在岛中的唯一条边 e 穿过它，我们称矿开( 闭) ，若e 开( 闭) 易知g 孚cs 譬我们称每条边e 独立 地以概率p 开，以概率口= 1 一p 闭类似于z 2 上渗流模型，我们令 乳( g ) = i n f 仞【o ，1 】：( 在9 中存在无穷开串) o ) 其中9 = 岛，g r ，s 譬或g 孚与平面格点图相比，地毯格点图不具有平移不变性，它 具有自相似性这样我们发现平面格点图上用到平移不变性来证明的一些结论( 比 如证明p r = p c ) 就不能在地毯格点图上证明，我们需要一些其他的方法来解决此 类问题 5s i e r p i n s l d 地毯格点图上渗流已有结果陈述 由于s i e r p i n s k i 地毯格点图不具有平移不变性，许多平面格点图上的方法都不 能用来研究这类图上渗流的问题但是用一些两类格点图共有的理论，对于具有自 相似性的格点图的研究，近年来取得了很多好的结果 吕【2 】结合地毯格点上的特点，利用p e i e r l s 围道方法证明了s i e r p i n s k i 地毯格 边渗流p 。 1 吕 3 】主要讨论另一种分形格点图一一s i e r p i n s k ig a s k i t 格点图。他首先研究 了此类分形图的图形性质，然后在图上建立渗流模型，证得了在此类图上p c = 1 ， 渗流不发生，并研究了下临界情形的指数衰减性和连续性 结合 2 】 3 】，吕在【4 l 中研究了一种格点巢分形图上也不存在渗流现象，并研究 了下临界情形的指数衰减性和连续性 m s h i n o d a 在文章【5 】【6 】中分别研究了s i e r p i n s k i 地毯格上渗流存在相变，而 定向渗流不存在相变 吴在文章【7 】中利用再标度技巧证明了高密度情形s i e r p i n s k i 地毯格边渗流模 型无穷串唯性 t k u m a g h i 在文章【8 】中，把h k e s t e n 的关于平面格点图的方法作了改进用 到s i e r p i n s k i 地毯格上，在个假设的前提下，得孙临界概率的存在性，无穷串唯 性和渗流函数的连续性，并且当p p c 时，得到了类似与平面格点上的指数衰 减性，从而证得力= p c 另外，对于不满足对称性和边界包含性的格点图，证得 p 。= 1 ，渗流不会发生 y h i g u c h i 和w u 在文章 9 】9 中主要解决了t = o ，1 ，2 ) 2 ( 1 ，1 ) 时s i e r p i n s k i 地毯格上渗流的主要问题，并运用分支过程的方法证明了m ( s r ) = p 。( g r ) = 1 一 p c ( s 譬) ，进而证得指数衰减性，事实上证明了t k u m a g h i 文章中的假设 对于不具有对称性和边界包含性的格点图，m s h i n o d a 和w u 也分别作过研 究，在w u 文章 1 0 】中，利用再标度技巧证明了p 。 l 本文主要关心的问题是对于l 之3 的情形，是否也有类似于y h i g u c h i 和w u 在文章【9 】中的结论轧( g ) = p c ( 昂) ，此定理证明的意义在于解决了t k u m a g h i 在 文章【8 】中的假设，这样结合文章【8 】，就可解决s i e r p i n s k i 地毯格上渗流的问题， 或者也可运用文章【9 】中的方法解决相应渗流的主要问题具体讨论和证明见第二 章 第二章主要结果及证明 1 所作问题及结果 我们先引进一些记号t 记瓯( ，f ) 表示k 列l 行g 譬，即 瓯( ，j ) = uu 【凹+ l n ( i ，j ) 】 o i s 女一1o j l - t 我们知道0 位于g 。( 女，f ) 的左下角记g ：( ，z ) 为睇中的子图，用a ( 七，j ) 表示 在g 。( 七，f ) 中从左到右存在一条开路，用既( ，z ) 表示在g k ( ，z ) 中从上到下存在 条开路，用a 。( ，) 4 表示在g ：( ，1 ) 中从左到右存在一条闭路，用础( ，f ) 表示 在g i ( 七，z ) 中从左到右存在一条闭路则我们发现 b n ( k ，j ) c = 厶( 女，f ) d 1 厶( ，z ) 。= 既( 七，z ) 4 t k u m a g m 文章 8 】中，对于l 3 ，他证得了在第象限内，在 假设3 0 s l l i ms u p ( a 。( 3 l ，1 ) ) 1 营l i r as u p 如( a 。( 3 l ，2 ) ) i n + n 下有 定理3 1 n ( 1 ) 1 9 时， 0 ，量 一i ) ：3 i 墨尹， 一2s 歹讣ct ； 则有p o ( 岛) = p o ( c t ) 有了上定理，则在对应的格点图上，我们结合文章【8 】即可得定理3 1 【8 l ，这样我们 就解决了此两类图上渗流的主要问题 2 常用不等式及引理 s i e r p i n s k i 地毯格点图类型很多，我们以其中最常见的t = o ，1 ，2 2 ( 1 ，1 ) ( 如 图1 ) 为例证明以下常用结论 引理3 2 i ( f k g 不等式) 若事件a ，b 为增事件，则昨( a n b ) p p ( a ) ( b ) 引理3 2 2 ( b k 不等i 韵若事件a ，b 为增事件，则雌( a ob ) b ( a ) p p ( b ) 以上两个引理为渗流常用不等式，详细证明可参看g r i m m e t t ，g 课本【1 】 引理3 2 3 ( 平方根技巧) 若事件a 1 ，a 2 都是增事件，a = 以1 u a 2 ，p ( a 1 ) = i ( a 2 ) ， 则p ( a 1 ) = p ( a 2 ) 1 一、1 一p ( a ) 证明，由f k g 不等式及p ( a 1 ) = p ( a 2 ) 可碍。 p ( a ) = p ( a 1 u a 2 ) = p ( a 1 ) + p ( a 2 ) 一p ( a 1 n a 2 ) 2 p ( a 1 ) 一p ( a 1 ) 2 所以，1 一p ( a ) 2 l 一2 p ( a 1 ) + p ( a 1 ) 2 = ( 1 一p ( a 1 ) ) 2 整理即得结论 引理3 2 4 ( r s w 引理) 设0 n 1 ，0 p c 证明对k = 3 证明由舰( 厶( k ，1 ) ) = 1 ，我们对充分大的n o ，a = e q 取 p p ( a ，l o ( 3 ，1 ) ) 1 一c e 一1 第二章主要结果及证明 则由a c c f r 引理知，p p ( a 。椰( ，1 ) ) 1 一c e - 2 “，若我们记 o 为事件”线段 0 【0 ，3 n o 】上的边开”，则( a o ) = p 3 m 则由f k g 不等式可知t 口( p ) b ( n ( a 。( 3 ，1 ) ) n 山) p s ”( 1 一c e - 2 m ) 0 m = l m = l 对于l 3 的情形及其他s i e r p i n s l d 地毯格点图我们也有上述结果 3 定理证明 首先，由t k u m a g h i 文章 8 】中的证明我们知，对任意t 所对应的格点图， p o ( g r ) p 。( s ) 时， t i m s u p ( 艇( 2 ，2 ) ) = n 0( 8 ) 则当n 充分大时，由r s w 引理及( 8 ) 可得，( 硝( 2 0 ，2 ) ) ，2 0 ( 詈) 在岛中，我们取 g 。( 2 0 ，2 ) + ( 一2 5 1 ，2 5 - + 1 5 “) ，则在他的对偶图中，若记事件”存在一条连接 - s 5 - + 1 ，- 2 5 1 】x 【2 - 5 1 ，3 5 ”1 】和【2 5 ”+ 1 ，3 5 ”1 】x 2 5 ”1 ，3 5 n + 1 】的闭路”为 a ，由平方根技巧可得， p p ( a ) ( 1 - ( 1 - a o ( 2 ) ) 2 詈 ( 9 ) 绕原点分别将事件a 旋转i ，”，警，则由f k g 不等式及( 9 ) 可得 b ( 存在闭环路包含( - 2 5 ”1 ，2 5 ”1 】2 ) ( 1 - 、( 1 一，2 0 ( ；) ) 8 ( 詈) 4 ( 1 0 ) 我们发现，对不同的n ，( i o ) 中定义的闭环路不相交则由b o r e l - c a n t e l l i 引理知t 屹( 存在无穷多条包含原点的闭环路) = 1 即。p p 。( 岛) 与假设矛盾，原结论成立 下面证明定理3 3 证明t 以l = 5 ，t = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) 2 ( 2 ，2 ) 为例证明 当p p c ( 岛) 时，由引理3 6 知，l i r a ( 厶( 2 ，2 ) ) = 1 ，由r s w 引理( i ) 知，l i mb ( ( 5 ，2 ) ) = 1 ，结合图形性质。我们知若在厶( 5 ，2 ) 中存在开路，则 在a n + 1 ( 1 ，1 ) 中存在开路，即b ( 厶( 5 ，2 ) ) p p ( a 。+ l ( 1 ，1 ) ) ，所以有 。l i r a 。p p ( a n + l ( 1 ，1 ) ) 2 1 则由h s w 引理( i i ) 知，：骢p p ( 厶( ，1 ) ) = 1 ，再由引理6 ，知p p c ( a t ) ，所 以p 。( ) p c ( g t ) ，进而钆( s t ) = p o ( a t ) 推论3 3 2 若p p c ( s ) = p c ( g ) ，则在s 上几乎处处存在唯一无穷开串 证明：p p o ( s t ) ，由引理3 6 知，l i m 。p p ( a m ( 2 ，2 ) ) = l ，假设存在两条无穷开串， 则在对偶图岛上必存在一条无穷闭串把他们分开则必有墨恐p p ( a ：( 2 ，2 ) ) = l ， 而这与( 厶( 2 ，2 ) ) + b ( 联( 2 ，2 ) ) = 1 矛盾结论成立 事实上，由此定理的证明可知；对任一地毯格点图，只要有 ( 1 ) p p c ( 岛) 时，。1 i m 。p p ( a , , ( 2 ，2 ) ) = 1 再结合 ( 2 ) p p c ( 诉) ，必有墨恐( 厶( 1 ，1 ) ) = 1 证明，若p p c ( g t ) ，在g l 中存在从原点出发的无穷开串此开串要穿过g r l ，则 需避开图中阴影部分由图形性质，此开路必要经过僻+ ( 2 5 ”，0 ) 或嚼+ ( o ，2 5 ”) ， 则在g 争+ ( 2 5 ”，0 ) 中存在从左到右的开串或在g 警+ ( 0 ，2 5 ”) 存在从上到下的开 串，两事件独立且概率相等，则由对称性和平方根技巧知， ，魄( 1 ，1 ) ) = 1 为证定理3 4 ，我们可类似于y h i g u c h i 和w u 文章【1 0 】的证明先引进事件g f 1 在矩形g k + 1 ，2 ) + ( 一驴，( 孕) l 叶1 一驴) 中存在从左到右的终止于阴影部 分【l ”1 ，2 p + 1 】【( t l - 1 ) l 叶1 ，( - 簪- ) l ”1 上边的开路； 2 在矩形g 。( 2 ，l ) + ( l 叶1 一l ”，( 竽) l 叶1 ) 中存在从下到上的终止于阴影部分 驴+ 1 ，2 l ”1 】【( 量 ) 驴+ 1 ，( - 簪- ) l 1 上边的开路； 3 在1 3 备2 n 【g _ ( l + 1 ，2 ) + ( 一驴，( 孕) 口”1 - l ) m c 。( 2 ，l ) + ( l “+ 1 一l “，( 与旦) l ”1 ) 】) 中存在开路把1 和2 中定义的开路连接起来 则用分支过程的方法可证引理3 9 引理3 3 4 n 若l i r ab ( a 。( 2 ，2 ) ) ；1 ，则l i mb ( g ，1 ) = 1 证明：证明完全类似于y h i g u c h i 和w h 文章【1 0 的证明方法，只需对比l 3 时 作相应改动即可得到结论 有了引理3 3 4 ，则可证得定理3 4 证明z 我们以t = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) 2 ( 2 ，2 ) ( 2 ，1 ) ，( 2 ，3 ) ( 3 ，1 ) ( 3 ，2 ) 为例证明结论在定义 了g 0 之后，由( 1 ) ( 2 ) 知，我们就找到了连接直线 沈= 4 5 “) 和直线 z l = 一5 - 的一条开路类似的可得到，在g 鲁2 n 【g ( 6 ，2 ) + ( 4 5 “，4 5 “) i u g 。( 2 ，5 ) + ( 9 5 n ，o ) 】) 中存在条开路把直线 z 2 = o ) 和d - = 4 5 “) 连接起来分别记上两事件为a 和，另外，类似于q f 定义事件g m - ( 1 ) 在矩形g _ ( 6 ，2 ) + ( 一铲，2 5 - + i 一5 ”) 中存在从左到右的终止于阴影部分【p “，2 5 “+ 1 j 【2 - 5 “+ 1 ，3 5 “+ 1 】； ( 2 ) 在矩形g 。( 2 ，5 ) + ( 9 5 ”，0 ) 中存在从下到上的终止于阴影部分【2 5 1 ，3 l - + 1 】【5 n + 1 ，2 5 1 1 上边的开路； ( 3 ) 在g 鲁：存在条开路把( 1 ) ( 2 ) 中的开路连接起来 则 a n c m( 1 1 ) 下面我们可以仿照y h i g u c h i 和w u 的做法，定义g ，打为其关于。1 = 5 字的对称 事件，瓯，口其关于勋= 学的对称事件，瓯声为g ，h 关于z 1 = 譬的对称事 件，定义 瓯。b o t t o m ：= 瓯“ng ，b e ，瓯 鲫：= mn 瓯，n ，瓯，棚= “，b o t t o mf lg 卸 ( 1 2 ) 记a 表示事件l 瓯，6 0 “。f l g 一1 ，d i + ( 2 5 n 十1 ，o ) ) i 1 “1 ( 1 ，1 ) + ( 2 铲“，o ) ， 俄+ 2 表示事伟g 鲫n g 一1 ，删+ ( 2 5 肿1 ，4 5 ”1 ) n a f i + 1 ( 1 ，1 ) + ( 2 铲“，2 5 1 ) ) 易知a 2 与a ：+ 2 独立且两事件概率相等， a ：+ 2ua ：+ 2ca 。+ 2 ( 1 ，1 ) ( 1 3 ) 则由f k g 不等式结合( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 可得t p p ( 如+ 2 ( 1 ，1 ) ) ( 砖+ 2ua ：+ 。) ，陬( g ，啪。) p p ( g 一- 砧) ( 如+ - ( 1 1 ) ) 1 ( 1 4 ) ( 其中f ( x ) = 2 z 一矿) 对于此时的t ，仍有引理3 3 l 成立再由引理3 3 4 ，当，熄玮( a ( 2 ，2 ) ) = 1 1 6 第二章主要结果及证明 时，有规( 瓯，1 ) = ，熙( a ) 2 熙( a ，) = 1 ，则由( 1 1 ) 式及f k g 不等式 b ( g ，m ) ( a n a 7 ) ( a ) ( 4 ) 所以恕( g ，w ) ) = l ，进而：溉( g ，蝴一) 2 熙( g 舢) = 1 对e 0 , n 充分大，使得( 瓯，啪m ) b ( g 。枷) 1 一，则由( 1 4 ) 式可得 ( a 。+ 。( 1 ，1 ) ) ( 0 一) 2 ( a 。+ t ( 1 ，1 ) ) ) 当e 一0 时，由不动点原理知，方程$ = ，( ( 1 一e ) 2 z ) 的解趋向于1 所以对上式 两边取极限可得l i m 峨( 厶( 1 ，1 ) ) = 1 事实上，由上证明过程可知，对v l 3 ，只要t 满足定条件，使得我们能找 到条从左到下的开路仅，6 f ，我们就可根据y h i g u c h i 和w u 文章【1 0 】的证明方法 证得相同的结论 由以上证明当p p o ( s t ) 时，有熙p p ( a 脚) ) = 1 及熙p p ( a 椰) ) = l ， 则由r s w 引理( i i ) 知撬( a ( ，1 ) ) = 1 ，则由引理6 知，p p c c o t ) ，于是 乳( s t ) p e ( g t ) ，所以仇( s t ) = p c ( g t ) 对于上述两种情况的地毯格点图，我们结合文章 8 】就可推广k u m & g a i 定义的 g t 到岛，并解决相应图上的渗流主要关心问题 事实上，我们也可运用文章【9 】中的方法解决以上三个问题 4 未解决问题讨论 我们发现，文章【9 】中的分支过程的方法，适用于满足上述定理3 4 要求的条 件对应的格点图上对于满足连通性，对称性和边界包含性的格点图，还有另一类 很重要的情形： t = ( o ，j ) ：0 j sl 一1 ) 即只包含边界的情形我们发现这类图和文章( 9 l 中研究的图类似，由k u m a g a i 文 章知，对于此类图我们仍有；挑 1 ，并且结合图形性质知，此时的l i 缶界概率比 t = o ，1 ，2 ) 2 ( 1 ，1 ) 对应图上的渗流l 临界概率要大 对于这类图上渗流问题的解决，我们发现文章1 9 】9 中定理1 的结论在这类图上 仍可得到，并且运用分支过程的方法有相应的结论，但是我们在运用不动点原理时 遇到困难，这就得不出p c ( g t ) = p 。( s t ) ，需要我们探索别的方法来解决这个问题 参考文献 【1 】g r i m m e t t ，g ，p e r c o l a t i o n ，2 n d ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，b e r l i n ，1 9 9 9 【2 1 吕建生，s i e r p i n s k ic a r p e t 格点图上边渗流及其临界现象，数学学报，1 9 9 9 ，4 2 ：5 4 5 - 5 5 0 【3 】吕建生s i e r p i n s k ig a s k e t 格点图上的渗流模型，数学进展1 9 9 9 ，1 2 ：5 1 9 - 5 2 5 【4 】吕建生格点巢分形上的渗流模型数学物理学报2 0 0 0 ，2 0 ：5 2 1 5 2 7 1 5 】m s h i n o d a e x i s t e n c eo fp h a s et r a n s i t i o no fp e r c o l a t i o no nt h es i e r p i n s k