（应用数学专业论文）连续线性时变时滞系统的时滞依赖h∞控制.pdf

摘要 本文主要研究了连续线性时变时滞系统的时滞依赖。控制问题。通 过引入一些自由加权矩阵，结合n e w t o n l e i b n i z 公式，推导出一些较现 有相关结论保守性更小的结果。 在第一章，介绍了时滞系统及其玑控制问题的背景知识，同时对本 文要研究的问题做了简单的陈述，并简略地介绍了本文的组织结构和符 号说明。 在第二章，首先给出了自治时变时滞系统是时滞依赖稳定且具有以 性能指标的判别条件。并且给出了连续时变时滞系统的时滞依赖状态反 馈饥，控制器的存在条件和相应的设计方法，鉴于参数不确定在实际系统 中的普遍存在性，本文也给出了连续时变时滞系统的时滞依赖状态反馈 鲁棒以控制的相关结论。最后针对三个数值例子，通过与前人工作的比 较，说明了本文设计方法的优越性和有效性。 在第三章，讨论了连续时变时滞系统的时滞依赖采样，l 控制问题。 给出了连续时变时滞系统的时滞依赖采样以控制器的存在条件和相应 的设计方法。通过仿真例子，说明所给结论的有效性。 最后，第四章对本文的工作进行了回顾和总结，并给出了今后研究 方向的前景展望。 关键词：时变时滞系统；状态反馈；采样控制；时滞依赖稳定性；也控 制；鲁棒h 。控制；采样h 。控制；线性矩阵不等式方法 中图分类号：t p 2 7 3 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h ep r o b l e mo fd e l a y d e p e n d e n t 帆c o n t r o lf o r c o n t i n u o u s s y s t e m s w i t h t i m e v a r y i n gd e l a y b yi n t r o d u c i n g s o m ef r e e m a t r i c e sa n dt a k i n gt h en e w t o n l e i ，,bniz f o r m u l ai n t oa c c o u n ts o m ei m p r o v e d r e s u l t s ，w h i c ha r el e s sc o n s e r v a t i v et h a nt h ee x i s t i n go n e s ，a r eo b t a i n e d i nc h a p t e r1 ，t h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft i m e d e l a ys y s t e m sa n d 凡c o n t r o l o f s u c h s y s t e m s a r ei n t r o d u c e d f u r t h e r m o r e ，t h er e s e a r c h p r o b l e m ， o r g a n i z a t i o na n dn o t a t i o n so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea l s og i v e n i nc h a p t e r2 ，a ni m p r o v e dc r i t e r i o no fd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yw i t hh 。 p e r f o r m a n c ef o rs u c hs y s t e m si sp r e s e n t e d a c r i t e r i o no fe x i s t e n c ea n ds o m e c o r r e s p o n d i n gd e s i g n m e t h o d so fd e l a y d e p e n d e n tj 【，。c o n t r o l l e rf o rs u c h s y s t e m s v i as t a t e f e e d b a c ka r ep r o p o s e d f u r t h e r m o r e ，t h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l t sf o rt h ed e l a y d e p e n d e n tr o b u s th 。c o n t r o lp r o b l e m sf o rc o n t i n u o u s t i m e d e l a y u n c e r t a i n s y s t e m s a r ea l s o g i v e n f i n a l l y , t h r e e n u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c ya n ds u p e r i o r i t yo f t h ep r o p o s e d m e t h o db yc o m p a r i n gw i t ht h ee x i s t i n gr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e m so fd e l a y d e p e n d e n ts a m p l e d a t ah 。c o n t r o lf o r c o n t i n u o u ss y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a ya r es t u d i e d ，a n dt h ec r i t e r i o no f e x i s t e n c ea n ds o m ed e s i g nm e t h o d so fd e l a y d e p e n d e n ts a m p l e d a t ah 。 c o n t r o l l e rf o rs u c hs y s t e m sa f ep r o p o s e d f i n a l l y , i nc h a p t e r4 ，t h ec o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra n dt h ep r o s p e c to ft h e r e s e a r c hw o r ka r ed i s c u s s e d k e y w o r d s ：t i m e - v a r y i n gd e l a ys y s t e m ；s t a t ef e e d b a c k ；s a m p l e - d a t a c o n t r o l ；d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t y ；h 。c o n t r o l ；r o b u s th 。c o n t r o l ；s a m p l e d a t a h 。c o n t r o l ；l m ia p p r o a c h 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 系统控制的理论和实践被认为是2 0 世纪对人类生产和社会活动产生重大影响的 科学领域之一，而控制系统中最关心的是系统的稳定性和性能保证。众所周知，在 各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的。时滞的存在使得系统的分析和综合变得 更加复杂和困难，同时时滞也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源所在。正是 由于时滞系统在实际中的大量存在，以及时滞系统的分析和控制的困难性，使得时 滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题。基于 这样的实际背景，从事时滞系统理论的研究既有重要的理论意义，又有着非常重要 的工程意义【i 。2 j 。本文研究的对象就是连续时变时滞系统。 1 9 8 i 年，z a m e s 首次提出了著名的 l 思想口】。z a m e s 考虑这样个单输入单输 出的设计问题，即对于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统 稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的h 。范数作为目标函数对系统 进行优化设计，这就使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。 众所周知，时滞依赖札，控制的研究指的是：对给定的e 。性能指标，设计一个 控制器，使得闭环时滞系统满足该乒乙性能指标的同时又能保证系统时滞依赖稳定的 时滞上界最大：或者对给定的一个时滞上界，设计一个控制器，使得闭环时滞系统 是时滞依赖稳定且在此基础上获取的，t 性能指标尽可能小。一般地，在时滞依赖且。 控制问题有解的条件中，时滞上界的最大化和h 。性能指标的最小化是一个不能同时 成立的问题，因此在实际工程中需要折衷。 当前，为了降低时滞依赖稳定或镇定条件的保守性，大致有三种方法：第一种 是在模型转变的基础上，引入一些保守性更小的不等式以及相应的 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数【4 。“，尽可能最大限度的降低证明过程中带来的保守性；第 二种方法就是利用时滞系统的广义系统描述法并选取适当的l y a p u l l o v k r a s o v i k i i 函数 ”0 。1 2 】，此方法降低了第一种方法的保守性；第三种方法是在理论推导过程中引入一 些自由加权矩阵l t5 1 ，它能更明显地减少前两种方法的保守性。另外，为了解决非线 性矩阵不等式的求解问题，还发展了一些迭代算法 9 , 1 4 , 1 6 , 1 7 】，这在一定程度上也降低 了非线性矩阵不等式在线性化过程中带来的保守性。 1 2 研究问题 本文针剥连续时变时滞系统，主要研究以卜两个问题： ( 1 ) 设计一个状态反馈控制器，使得闭环时滞系统是渐近稳定的，并且满足一定 的f 匕性能指标，即时滞系统的时滞依赖状态反馈h 。控制f q 题。同时给出状态反馈控制 器基于矩阵不等式的存在条件和相应的设计方法。 ( 2 ) 设计一个采样控制器，使得闭环时滞系统是渐近稳定的，并且满足一定的f l 性 能指标，即时滞系统的时滞依赖采样吃控制问题。并且给出采样控制器的基于矩阵不等 式的存在条件和相应的设计方法。 对上述两个问题的结论，将利用数值例子来说明其可行性和有效性。 1 3 符号说明 本文中所涉及的符号遵循下面的说明。r ”表示 维欧几里德空间，r 表示 m 维实数矩阵的全体，骂 o ，) 表示所有，维的l e b e s g u e 可测函数，m ( ， ，) o 分别表示矩阵m 足对称正定( 半正定，负定，半负定) 矩阵，a7 表示矩阵一的转置矩阵， ，表示实单位矩阵，d i a g m ，m ：，m ，) 表示对角块矩阵，列称矩阵中+ 表示其对称位 置上元素的转置。特别地，如果没有特殊蜕明，文章中提到的矩阵都具有适当的维数。 笫二章往绩时变1 1 ：滞系统的时滞依赖状态豆城h 。控： _ 第二章连续时变时滞系统的时滞依赖状态反馈h 。控制 本章主要研究了连续时变时滞系统经状态反馈的时滞依赖j 【，。控制问题。通过引 入一些自由加权矩阵，结合n e w t o n l e i b n i z 公式，首先得到了自治时滞系统是时滞 依赖稳定且具有h 。性能指标的判别条件。其次给出了连续时滞系统的时滞依赖状态 反馈，匕控制器的存在条件和设计方法。最后针对些数值例子，通过与前人工作的 比较，说明了给出的时滞依赖控制器设计方法的有效性。 2 1 问题陈述 考虑如下连续时变时滞系统 一) = a 。( t ) + a a x ( t d ( ) ) + 即( ) 十b “( f ) ， ( 2 1 ) 【z ( f ) = c x ( t ) + q x ( t d ( o ) + d ：c o ( t ) + d u ( t ) ， 其中，x ( 1 ) r ”是状态向量，u ( t ) r ”是控制输入，c o ( t ) r 。是有限能量的外部扰动， 即( r ) e m o ，0 0 ) ，z ( t ) r p 是被调输出，a ，a 。，b ，b ，c ，q ，吃和d 都是已知的实常 数矩阵，时滞d ( ，) 是一个时变的可微函数，它满足： 0 d ( f ) r ，0 ( f ) 0 ，z 0 囊i 。，r 和r ，使得线性矩阵不等式( 2 9 - 2 1 0 ) 成立 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 。2 ：! ：! ，巾。= p a + a r p + y + y + g + r ” 巾122 p a a y + t 7 + r x l 2 ，中2 2 = 一t - t 7 ( 1 - i x ) q + r x 2 2 则当“( r ) ；0 时，n , j 滞系统( 2 1 ) 是时滞依赖渐近稳定的。 引理2 2 对于给定的矩阵q ，打，e 和月 o ，则不等式q + h f e 十( h f e ) r o 使得不等式q + c 删7 + e - i e r r e 。，= 1 霉2 ：茎i 。，l 丁和s ，使得线性矩阵不等 式( 2 1 卜2 1 2 ) 成立，则当“( f ) ；0 时，时滞系统( 2 1 ) 具有风性能y 西1 l 击1 2 面1 3 t a7 zc 7 + 西：面：，f 暂zq 十 4 函”一y l r 矿zd 7 $ 一r zo 十十 一y ， v = x l ! x 1 3 y x 2 22 3 7 1 +x”s + z o 0 ，9 0 ，z 0 t = r ( ，一1 2 7 ( ，) z ( f ) 一弦j 7 ( ，) 埘( ，) + 矿( x ( 呦) 斫一y ( z ( 嘞- ( y z7 ( ，) z ( f ) 一胆，( ，) 珊( ，) + 矿( x ( f ) ) ) 加 当u ( 1 ) ；0 时，沿着时滞系统( 2 1 ) 的任意轨线，我们有 矿( x ) = j 7 ( f ) 尸y o ) + x 7 ( ，) p i o ) + x 7 ( f ) q x ( ，) 一0 一矗( ，) ) x 7 ( ，一d ( t ) ) q x ( t d ( f ) ) + r i c r ( t ) t d c ( t ) f _ ，i 7 ( s ) 及o ) a s 7 ( f ) x f ( ，) 一f _ m 、尹( ，) f p ) d s _ o ， ( 2 1 5 ) 2 ( x z ( t ) y + x r ( t d ( t ) ) t + c 0 7 0 ) s ) ( x ( 伊f 。、i ( j ) 出一x ( ，一d ( ，) ) ) = 0 ， ( 2 1 6 ) 其中，f ( ，) = i x 7 ( ，) x t ( ，一d p ) ) 缈7 ( ，) 1 ，且( ，y ，t ，s ) 足线性矩阵不等式( 2 】卜2 1 2 ) 矿c x ， x 。豢。， 7 爿7 尸+ f 十尸_ 一u p ：a d ，qp 争 x c r 豢r ， + r ( x c ，豢， 7 ( 荔 zc 爿。丑j ， x c r 豢r ， 一f ，i 7 c s ，z 譬c s ，出 十2 x r ( + x t ( i 一俐) r + 珊7 ( 啪】 x ( ，) 一l ，i ( 5 ) 咖一x ( 卜) + 。q ) x ( j 卜k 、瓢、碌t ) d s = f 7 p ) 必) 一l 、f 7 “，s ) 甲地s g s 、 砧冶砧彰矿 f r r + + + ，q呜，屯 驰矾 珥+ m 删 叫， 。 一m ，l = 有又 竺三量! ! ! 竺竺坚堂兰竺竺! ! ：! 堂! ! ! ! 墅竺查垦竺! ：竺型 ，= 7 。，z 口，一即7 c ，c ”“，2 y 。 x 。豢， 7 丢i c c 7c j 。， x c ，i ， 芦”，。，c ， 于是，y l z r ( t ) = ( ，) 7 ( ，) 曲+ 矿( f ( ，) ) f 7 至f r - 。、，( f ，) 甲f ( f ，s ) 出 一 f 击，+ f 一7 z a + y _ 1 c c西，2 + r 爿7 z 屯+ y - 1 c 7 c 乙西。，+ f 一7 z 日十厂一，c 7 d 黔j + 西z ：4 - 。i 巩+ ，“凹q 西：一a r z b y 。q d i 4 4 西，+ y - i d 7 d + r b 7 z b y 川 这里，西p ( f ，j = l ，2 ，3 ) 平n w 分别是式( 2 1 1 ) 年u ( 2 1 2 ) 中的定义。因此，只要量 o ， j p 蔓r ( y z 7 ( ，) z p ) 一7 协7 ( ，) o ) + 矿( x ) ) 西 0 ， 即：r ，z 7 ( f ) z o ) a t o ，2 0 ，牙= f +霄：j ：，0 ，f ，于，霞和s ，使得下面的 i + + 只，j 、 不等式成立。 q 1 lq 】2 4 q z 2 q l3 q 2 3 q ”一y ， 十 “以z + b k ) 7 r x a , f 彤 一r z f c x 十d 函7 x c l d 二 o 一”1 。，( 亨j ，。， ；三 ，。， c z z z ， 根据文献 9 ，1 6 ，如果上述最小化问题的解是3 n ，也就是t r ( m n + x j + 2 g ) = 3 n 时， 有可行解，那么闭环时滞系统( 2 8 ) 就具有时滞依赖的见，性能指标厂对上述优化问 题采用文f f 扶 9 ，1 6 】中类似的算法，可以得n - 个较大的时滞上界f ( 或较小的玑性能 指标y ) 。 注2 2 在文献 1 1 ，i5 ，1 6 中，系统以如下形式给出 s o ( t ) = a x ( t ) + 以x ( t d ( ，) ) + 吃珊( ，) + b u ( t ) ， f 掣+ 鼍唑) 1 ( 2 。) z ( r ) = lq x ( t d ( 嘞1 1 d u ( t ) j 事实上，系统( 2 2 3 ) 也可以表示成下面的形式 i ( ) 2 当( ) + 当。( 一d ( f ) ) + 当。( ) + 竺( ) ，( 2 2 4 ) 【z 0 ) = ( k ( ，) + q x ( t d ( f ) ) + d ：。( f ) + d u ( t ) ， 连绒线性时变时滞系统的时滞他赖棒制 其叶，e = i ，e ，= 暑 或= 善 ，历= 墨 ， 2 4 时滞依赖状态反馈鲁棒日。控制器的设计 利用类似的方法，本小节将给出不确定时滞系统( 2 3 ) 的鲁棒月：控制的相关结 推论2 i 给定标量r 0 ， 0 ，如果存在矩阵尸 o ，q o ，z 0 ， x 。，( j ，j = l ，2 ，3 ) ，y ，7 和s 以及标量s 0 ，使得不等式( 2 1 2 ) 和( 2 2 5 ) 成立。 0 ，一 0 ，如果存在矩阵 0 ，亘 0 ，2 0 ， 贾。，( f ，= 1 ，2 ，3 ) ，于爱和s 以及标量s 0 ，使得不等式( 2 2 0 ) 平u ( 2 2 6 ) 式成立。 壶。+ 甜7 矗l2 叠1 3r ( 删+ 岛霞) 7 + 筇彻彳7 ( 叫+ d 2 科 删7 t 而。叠。r 划j弼训 + q ”7 1f 目研0 十 + f 2 + s r2 m 7 m00 + + + + y l 0 十十 一， 则不确定时滞系统( 2 3 ) 存在无记忆的y 一次优状态反馈亿控制律。特别地，若 ( ，q ，z ，霄，y 一，彳二，足，s ) 是不等式( 2 2 0 ) 和( 2 2 6 ) 的一个可行解，则u ( o = j 】己v 一1 x ( o 是系 统( 2 3 ) 的一个y 一次优状态反馈比控制律。这里相应的符号可详见定理2 2 ，y ， ，蹦o 。谢。卅 p p。啊。+ 它2 叼z 吒吆一j+ 中 心m扩孵一q 呜 w 憎 一q 第二章连续时变叫滞系统的时滞依赖状态反碛h 。控制 注2 3 由引理2 2 ， 推沦2 1 和推呛2 2 的证明与定理2 1 和定理22 的证 明类似，故略之。 注2 4 与推论2 i 相比，推论2 2 含有非线性项也x ，同样可以利用注 2 1 中提到的迭代算法来解决它。 注2 5 尽管与文献 1 7 的理论相比，本文给出的结果包含多一些的变量，可通 过例子验证会发现，本文给出理沦的保守性要小的多。 2 5 仿真例子 例2 1 考虑形如( 1 1 ) 的确定的线性时滞系统，其中： f o 6 2 3 8 1 0 1 3 2 1f o 5 0 1 1 一o 7 8 7 1 1。( - o 4 3 2 60 1 2 5 3 ) 肚l2 0 0 1 6 0 2 1 0 6j 坞。【一0 3 0 0 2 0 5 2 3 1j 吃2 l - 1 6 6 5 6o 2 8 7 7j ， c ：f ! 2 1 3 4 一o 0 1 9 1 1 ，c d ：f o 0 8 1 6 o 1 2 9 0 ，d ：f oo 一i o 1 1 1 9 - 0 1 6 6 5 j 一【0 , 0 7 1 20 0 6 6 9j “一【00j 这里选取p = o 对一个给定的也性能指标y 0 ( 时滞上界r 0 ) ，表2 1 ( 表 2 2 ) 给出了可容许的最大时滞上界f ( 可容许的最小也性能指标厂) 的比较结果。 从表中的比较结果可以看出，对同一时滞上界， 0 ( 圯性能指标r 0 ) ，通过定 理2 1 得到的容许的最大时滞上界r ( ( 容许的最小见，性能指标7 ) ) 比其在【1 1 ，1 3 ， 1 5 中得到的要大( 小) 一些。从表中可以看出本文方法得到的结果要比现存的具有 更小的保守性。 表2 1 容许的最大时滞上界r 的比较 连续线胜| f 寸变时滞系统付滞依赖+ 控制 例子2 2 选取形如( 2 3 ) 不确定线性时滞系统如下 其中，肚l - 3 0 2 4 227527，以=8409-1235508 1 0 4 - 43 9 8 8 8 9 5 2 - 01 4 4 3 i j “ l 9 j 吃= - 0 ，9 ，0 ，4 。3 0 4 3 2 。5 ，c = ( ：黧。- 1 。6 ，5 ，5 。5 ，q = m 1 。2 7 。2 3027，1。8。 d ：f 曼徽1 1 然1 ，m ：，书0 3 ) ，= ( ( 叫2 t n d 2 b 0 1 2 50 3 3 6 8j ，肚j ，肚( n 2 n 3 ) ，2 ( n l o ： 表2 3 容许的最大时滞上界f 的比较 表2 4 容许的最小也性能指标y 的比较 表2 3 ( 表2 4 ) 给出了对于给定的h 。性能指标y ( 时滞上界f ) ，通过不同的方法 得到的容许的最大时滞上界r ( 最小风性能指标y ) 的比较结果，从中可以看出，由 定理2 1 得到的结果较文献【1 7 】要好一些。 第二二蠕连纠：时变州滞系统的时滞散糨状态反愤。控制 例2 3 考虑如下时滞系统： f i 0 ) = a x ( t ) + a ，x ( 一d ( ，) ) + g , o c o ( t ) + 口“( ，) = ( 2 2 7 ) b 甜c _ ( 0t ) ，d o 在此，只考虑时滞变化率= 0 情形。表2 5 和表2 6 分别给出了在不同的理沦 基础上，对于给定的时滞上界f 或皿、性能指标，可以获取的最小的仉，性能指标y 或最大的时滞上界r 以及相应的时滞依赖以控制器的增益矩阵和迭代次数。从表 2 5 中可以看出，对于同一个连续时滞系统( 2 2 7 ) ，当选取时滞上界r = o 9 9 9 时，应 用本文定理2 2 ，可以得到一个时滞依赖玑控制器使得闭环时滞系统的f 性能指 标达到y = 0 1 0 0 1 ，这要比文献 1 6 1 得到的y = 0 1 0 1 5 小一些，同时在同样的性能指标 ，下得到的反馈增益矩阵也要小一些。表2 6 描述了在给定h 。性能指标y = 0 1 2 8 7 下，应用定理2 2 ，可以得到系统渐近稳定的时滞上界r + = 1 4 0 ，比文献 1 6 】中得到 的时滞上界r + = 1 2 5 的范围大一些，比文献 13 得到的r = 1 1 的范围更大些。 表2 5 时滞上界为r = 0 9 9 9 的叱性能指标y 和相应的控制器增益 、， 90 0 o ，。 = d 爿 、0， 0 1 0 0 ，l = ， 爿 中 其 连续线性时变时滞系统的时滞依赖h 。控制 l e ee ta 1 ( 2 0 0 4 ) 1 1 1 2 【0 1 6 8 6 - 3 6 5 8 4 9 】 0 4 51 4 5 5 9 9 8 3 1 9 3 2 1 2 5 o 6 4 0 7 8 9 11 4 9 】8 6 针对由定理2 2 得到的f = 1 ，3 7 和，= o 1 2 8 7 ，以及时滞依赖k 控制律 “( f ) - 【n o 0 0 6 - 5 34 3 8 7 m f ) ，选取( f ) = 蒉署缶s 班。，+ o 。) ，当初始状态 x ( ，) ：f ； ，re 【- 1 3 7 , 0 】时，图2 1 和图2 2 分别表示被调输出砸) 和状态。( ，) 的响应 曲线。 图2 1 闭环时滞系统的被调输出响应曲线 第二章连续州变时滞系统的时滞依赖：扶志反颧h 。控制 图2 2 闭环时滞系统的状态响应曲线 从图2 1 可以看到，闭环时滞系统的被调输出z ( r ) 在较短的时间内就能达到稳 态。 图2 2 描述了系统的状态相应曲线。不难看出，状态x 2 ( ，) 很快达到稳态，而状 态x ( f ) 经过幅度逐渐减小的振荡以后才趋于稳态，这是由于控制主要针对状态x ：( f ) 起作用。 通过以上三个例子，容易发现本文给出的结论要比现存的保守性更小。 2 6 本章小结 本章研究了连续时变时滞系统经状态反馈的时滞依赖，七控制以及鲁棒时滞依 赖控制问题。通过引入一些自由加权矩阵，结合n e w t o n - l e i b n i z 公式，给出了自 治时滞系统是时滞依赖稳定且具有h o 性能指标的判别条件。同时提供了连续时滞系 统的时滞依赖状态反馈。控制器以及鲁棒时滞依赖，_ ，。控制器的存在条件和没计方 法。一些数值例子说明了给出的时滞依赖只。控制器发计方法的有效性利优越性。 连续线性时变时滞系统f l j 】时滞依赖1 ，拌制 第三章连续时变时滞系统的时滞依赖采样h 。控制 在第二章中，我们讨论了连续时变时滞系统经状态反馈的时滞依赖h 控制问 题。而在实际控制系统中，大多数的控制系统是由连续时问过程( 对象) 和离散的 控制器( 一般由数字计算机来实现) 构成的，所必系统的采样控制引起了控制论学 者的普遍关注，本章我们将要研究连续时变时滞系统的时滞依赖采样只控制问题。 3 1 问题陈述 考虑如下时滞系统： 刊“? + 燮：烈f ) ) + 吃烈f ) 邶咐 ( 3 1 ) lz ( ，) = c x ( t ) + 吃出( ，) + d u ( t ) 这里，向量符号的说明可参照本文对时滞系统( 2 1 ) 的描述。特别地，这里采用以 下采样控制律： p ? “o - ( 卜) - ( f 吖) _ 嘲卜“o ) ， ( 3 2 ) h ， 0 和2 0 ，亘 0 ，2 o ，詹 0 ，矩阵 第三章连缓时变i l q l l ：系统的 | ：j 滞敝赖采样。控制 x ? = 1 12 爿1 2 2 i i3 l2 3 i3 3 f 2 1 | x 2 1 2x m 0 ，2 = l 8 x 2 2 2x l + + m 0 ，霉，只，d l ，巧：，；l ，雪：和霞 使得矩阵不等式( 3 4 - 3 6 ) 成立，则存在一个增益矩阵k = 庀y 。1 的采样控制律( 3 2 ) 使得闭环系统( 3 3 ) 具有玑性能， n 1 in 1 2 疗l3疗j 4 c x a 7h x a 7x c 4 f 1 2 2 兀2 3 兀mf j 翻：h x a d 0 n n 3 4 r 膏7 8 7 矗丘7 8 7 露。d 7 + + 兀4 。一y ir 吃城珑 一f j | i00 +十+ 一脏0 + 一y ， 0 ， 0 ， 0 ，r 0 ，q 0 ，z 0 则对任意的外部扰动珊三： o ，0 0 ) ，有 r ( ，一z 7 ( 咖( ，) 一y o j 7 ( f ) ( f ) + 矿( x ( f ) ) ) 加 引入如下等式 2 x 7 ( f ) k + x r ( t 一) u 。+ 国7 ( ，) s ， 【x ( f ) 一l 、文( j ) d s x ( 卜) 】= 0 ( 3 7 ) 2 x r ( t ) y 2 十7 ( t - r ( t ) ) u 2 十7 ( ，) s 2 】) 一l 、删以一( 卜r ( 伽= 0 ( 3 8 ) 以及不等式 群( o x 。一l 珈) x 。删出o 3 9 受7 ( f ) z ：岛( f ) 一f - 。、乞7 ( f ) ：g ( t ) d s - 0 ( 3 _ 1o ) 其中，舌( ，) = l 工7 ( f ) x 7 ( t - d ( f ) ) 7 ( f ) 7 ，善2 ( f ) = 【，( ，) x 1 0 r ( f ) ) 7 ( ，) r 。易知 ( 3 7 - , 3 1 0 ) 式均成立，于是可以得到 矿( x ( r ) ) s 7 兀叩一f _ m 、7 ( ，j ) i ( ，j ) 办一f - r ( f ) 乞7 ( ，5 ) z e 2 ( t ，5 ) d s 其中， 卵：c o ， x “1 ，x ( f d ( f ) ) ，x ( t r ( f ) ) ，c o ( t ) ) ，( ，j ) = c o l x ( t ) ，z ( ，一d 0 ) ) ，0 4 0 ，i ( s ) ) ， 兀 其中 兀l l + a r ( d r + z ) 一 x 。k 五：，v x l ”s 】 + r 2 = l2 + a 。( r r + h z ) a d 兀n + a ：( r r + h z ) a d 2 13匕 上2 2 3 爿2 ”s 2 + z n l3 + a r ( r r + h z ) b k 兀2 3 + 一j ( r r + 自z ) 脒 兀3 + k 7 8 7 ( r r + h z ) b k n 。+ a7 ( r r + h z ) 玩 兀2 。+ 彰( r 月+ h z ) 吃 吼+ k 7 8 7 ( r r + h z ) b 。 兀“+ 磁一r + 向z ) 吃 n ，i ：a r p + q + p a + 誓+ 1 7 + k + 蟛+ f 五1 1 + h x 2 ，兀1 2 = p a d i + u j + r 一1 2 n 扩p b k 一艺+ 嵋+ 蝎1 2 ，n 14 = p 吃+ 爿十霹+ r x + h x 2 3 第三章连续时娈 i ： 滞系统的时滞依赖采样f ，。控制 兀h = 一( 1 一o q u j u i + r x i2 2 ，1 3 ”= 0 ，订2 。= 一s ? 一s ；+ r x i 2 3 兀”= 一u ；一u 2 + h x 2 2 2 ，兀3 4 = h x l 2 3 ，几4 4 = r x l3 3 十h x ” 从而， y - z t ( f ) z 一心7 ( 帅( ，) + 旷( x ( 功_ 7 f i ；7 一e i t ( f ，j ) ( ，s ) d s l 、s 2 7 ( f ，s ) ：2 ( ，s ) 出 其中，f 1 = n + y - i c 7c0y - i c 7 d ky - i c 7 见 + o 00 + y 。( d k ) 7 d ky 。( j d k ) 7 吃 + y 。1 珑见一y ， 。因此，只要丘 - 0 ，2 o ， 就有： r ( y z 7 ( ，) z ( f ) 一心7 ( f ) ( ，) + 矿( x ( f ) ) ) 以 0 ， 即 p y - l z r z d t o 成立。 注意到订中含有非线性项p b k ，将疗左右两边分别乘以d i a g p - 1 ，p 一，p - id z l , e ，左右两边分别乘以d i a g p - i , p ，j p 。 ，再令 贾。= 甄u ，耍= x x 2 。x ，膏2 = 肠【1 2 x ，j 。= x x ：x ，墨：= 捌。 贾：= 册：x ，j 。= 剃。，j ：。，= 捌：置：，= 崩。，丘：，= 崩：， s = s i x ，雪：= s 2 x ，j 。= 五，丘。= x 2 。，霞= k x ， 詹= r ，2 = z “ 矾= x u l x ，吼= x u ：z 利用s c h u t 补舻| j 件质，即可得到定理3 1 注3 】不等式( 3 5 3 6 ) 含有棘。1 x 及应“x 这两个非线性项，对此亦可以利 用注2 1 中提到的类似迭代算法来处理。 3 3 仿真例子 在这里我们选取例( 2 3 ) 作为研究列象。从表( 3 1 3 2 ) 中可以看出，给定系统 的性能指标y ( 时滞上界d ) ，选取合适的采样问隔h ，我们也可以得到与表( 2 5 2 6 ) 相似的结果，尽管相应的反馈增益矩阵和迭代步数有所不同。这表明选取采样控制 的方法，也可以对系统达到近似的控制效果。 连续线性时变时滞系统的时滞依赖，7 。拄制 塑鲨 ! 垦堕堕垄堕垡生塑 0 1 2 8 7o 0 7 - o 0 3 4 47 2 0 8 5 】8 6 定理3 1 0 1 0 1 5o 0 6 一o 0 1 9 57 7 0 2 4 】 1 1 2 3 4 小结 本章研究了连续时变时滞系统的时滞依赖采样h 。控制问题。给出了连续时变时 滞系统存在时滞依赖采样h 。控制器的条件及设计方法，并通过个仿真例子说明了 所给方法的有效性。 第9 u 章总结与展望 4 1 全文总结 第四章总结与展望 本文主要研究了连续时变时滞系统的时滞依赖h 。控制问题。通过引入一些自由 加权矩阵，结合n e w t o n l e i b n i z 公式，得到了一些较现存相关结论保守性更小的结 果。 本文首先给出了自治时变时滞系统是时滞依赖稳定且具有儿性能指标的判别 条件。并且给出了连续时变时滞系统的时滞依赖状态反馈巩、控制器的存在条件和相 应的设计方法。相应的，连续时变时滞系统的时滞依赖状态反馈鲁棒产l 控制的相关 结论也进行了讨论与研究。最后针对三个数值例子，通过与前人工作的比较，说明 了本文给出的时滞依赖h 控制器的设计方法的优越性和有效性。 其次，本文研究了连续时变时滞系统时滞依赖采样矾控制问题，给出了连续时 变时滞系统的时滞依赖采样 l 控制器的存在条件和相应的设计方法，并通过一个数 值例子晚明了所给结论的有效性。 4 2 研究展望 根据当前的研究现状及本文的研究结论，将来我们可以从以下几方面进行研究： ( 1 ) 鉴于现实实际系统中，并不是所有的状态都可以直接测量到，故需要进一步 考虑时滞系统经输出反馈的 乙控制问题，以便更好的解决实际问题。 ( 2 ) 考虑到当前对形如时滞系统( 2 1 ) 的研究已经趋于完善，可把此类问题的结 论推广到奇异系统模型1 2 l j 中去。 ( 3 ) 由于现实系统中非线性的存在，故可以将本文研究问题进一步推广到模糊系 统的h 控制问题的研究上 ( 4 ) 本文讨论的对象是连续时滞系统，亦可将相关理论推广到离散模型中去。 连续线性时变时滞系统的时滞依赖i i ，控制 【1 】 2 】 【3 】 4 5 】 【6 7 8 9 】 【1 0 】 【1 2 】 参考文献 俞立鲁棒控制一线性矩阵4 i 等式处理方法 m 叫e 京：清华大学出版社，2 0 0 2 郑大钟线性系统理科m 一e 京：清华大学出版社，2 0 0 2 z a m e s f e e d b a c ka n do p t i m a ls e n s i t i v i t y ：m o d e lr e f e r e n c et r a n s f o r m a t i o n s m u l t i p l i c a t i v e s e m i n a r sa n da p p r o x i m a t ei n v e r s e s j i e e et r a n s a c t i o n s o n a u t o m a t i cc o n t r o l ，1 9 8 l ，2 6 ( 1 ) ：3 0 l 3 2 0 p a r kp g ，m o o ny s ，k w o nw h ad e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t y c r i t e r i o nf o ru n c e r t a i nt i m e d e l a y s y s t e m s c 】p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a n c o n t r o lc o n f e r e n c e ，19 9 8 ：19 6 3 19 6 4 p a r kp gad e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i