（概率论与数理统计专业论文）半平面上收敛的b值随机dirichlet级数的增长性.pdf

oo e _ 上 j i i i flii i f i r fl pl r fi ii 17 3 6 8 2 6 t h e g r o w t ho f b - - v a l u e dr a n d o md i r i c h l e t s e r i e sw i t hc o n v e r g e n c eo n t h eh a l fp l a n e ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：t i a ns h u w e n s u p e r v i s o r - p r o f t i a nf a n j i h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h in a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创，i 生声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：田奇贮迁 签名日期：p , 0 1 0 年6 月3 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为 目的前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后 遵守此规定) 作者签名：田钗文 指导教师签名：k d 嘭谗 日期：z o 0 6 当 e l 期：幻f 口，6 ， 中文摘要 摘要 虽然有许多关于半平面上收敛的b 值d i r i c h l e t 级数和b 值随机d i r i c h l e t 级数增长性的文章，但对零级的口值随机d i r i c h l e t 级数的增长性并没有满意的 结果，本文主要研究了零级的b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性，并得到了一些 充要条件 本文由三个部分组成 第一部分是引言及预备知识在这个部分中我们介绍了零级型函数，零级 的d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数的增长性经过讨论。我们得到了零级的 d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数的的增长性的充要条件 第二部分讨论了零级的b 值d i r i c h l e t 级数增长性经过讨论，我们得到了 零级的d i r i c h l e t 级数的增长性的充要条件 第三部分讨论了零级的系数为b 值的随机d i r i c h l e t 级数的增长性，以及零 级的随机向量为b 值的随机d i r i c h l e t 级数的增长性，并且都得到了一些充要 条件 关键词：随机级数；零级；零级的型函数 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h o u g ht h e r ea r em a n yp a p e r so nt h eg r o w t ho fs o m eb - v a l u e dd i r i c h l e ts e r i e s a n db v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e sw h o s ed o m a i no fc o n v e r g e n c ei st h er i g h th a l f p l a n e ，t h e r ea r en os a t i s f a c t o r yr e s u l t sf o rb v a l u e dd i r i c h l e ts e r i e sa n dt h eb v a l u e d r a n d o md i r i c h l e ts e r i e so fz e r oo r d e r i no r d e rt os t u d yt h eg r o w t ho fs u c hs e r i e s ，w e o b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n si nt h i sp a p e r t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti st h ei n t r o d u c t i o na n dp r e p a r a t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h e t y p ef u n c t i o no fz e r oo r d e r , t h eg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i e sa n dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s o fz e r oo r d e r a n dw eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h es e c o n dp a r td i s c u s s e st h eg r o w t ho fb - v a l u e dd i r i c h l e ts e r i e so fz e r oo r d e r a n dw eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s t h et h i r dp a r td i s c u s s e st h eg r o w t ho fb - v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e so fz e r o o r d e r a n dw eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ；z e r oo r d e r ；at y p ef u n c t i o no fz e r oo r d e r 目录 目录 摘要i a b s t r a c t ( 英文摘要) i i 1引言及预备知识1 1 1 引言 1 1 2 预备知识2 2b 值d i r i c h l e t 级数的增长性7 2 1b 值d i r i c h l e t 级数的增长性7 2 2 两b 值d i r i c h l e t 级数增长性的比较1 6 3b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性2 0 3 1b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性2 0 3 2 另一类b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性2 l 参考文献2 5 致谢2 7 i i i l 引言及预备知识 1 1 引言 1引言及预备知识 d i r i c h l e t 级数是下列形式的级数 其中，8 = 仃+ i t 表示复变量， a n ) 是一列复数，0 = a o a l 入2 o ) ， 一 1 ) ； ( 5 ) u ( r 七) u k ( 7 ) ( r 一+ o 。) ( 七 1 ) 我们称乱( 7 ) 为零级型函数 引理1 2 1 ( 见【l 】) 如果级数( 1 1 1 ) 满足 一l i r a 。 1 n ( n ) u ( , 入n l n ( 佗) ) 】_ 0 ( 1 2 2 ) 2 l 引言及预备知识 其中u ( r ) 是零级型函数则有( a 0 ) 嬲 1 nm ( 盯，f ) u ( 1 a ) = a 铮蜘【l nm ( 盯，y ) u ( 1 o ) ui j = a 口+盯+ l i m 1 nm ( o ，f ) u ( 1 t r ) 】= a 兮l i m 1 nm ( c r ，f ) u ( 1 c r ) 】= a 口一t l 口，” 定理1 2 1 ( 见【l 】) 设级数( 1 1 1 ) 满足( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 其中u ( r ) 是零级型 函数则有 l i m 1 nm ( o ，) u ( 1 a ) 】= a 铮l i m i ni a n l 7 乱( a n i ni a n | ，) 】= a d ，un _ o o 其中u ( r ) 是零级型函数，a 0 ，l a n l 7 = m a x e ，i a n i ) 定理1 2 2 ( 见【l 】) 设级数( 1 1 1 ) 满足( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) ，则有 塾她【l nm ( o ，f ) u ( 1 a ) 】- a 兮。l i m 【i ni a n i 凡( k i nl a n i ，) 】= a 口t dn _ o o 而且存在 a n ) 的子序列 a n ( p ) ) ，有 p l i m 。 1 ni n 训7 u ( ) l i nt n n 洲) 】- a 湖北大学硕士学位论文 引理1 2 2 ( 见【2 】) 如果存在正常数7 1 ，r 2 ，使得当n 充分大时，满足 n ni a n l i b 。i 佗na n 则级数( 1 2 3 ) 的收敛横坐标是o ，其中f ( 8 ) 满足( 1 2 1 ) ( 1 2 4 ) 定理1 2 3 ( 见【2 】) 如果级数( 1 2 3 ) 满足( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 和( 1 2 4 ) ，其中u ( r ) 是零级型函数 1 i 哩j a nm ( o ，g ) l 让( 1 l o ) 】铮l i m 1 nm ( 伊，f ) u ( 1 a ) 】 盯o u o u l i m 1 nm ( a ，g ) u ( 1 o ) 铮l i m t l nm ( a ，i ) l u ( 1 l a ) 现在我们考虑级数( 1 1 3 ) ，令 i ( o ，厶) =s u pl f ( o + i t ，u ) i ( 盯 0 ) ， - o o 2 ( ) 时，有 磊p ) l n - 2 1 卢( 1 2 8 ) ( 3 ) 若z n ) 同时满足( 1 2 5 ) 和( 1 2 7 ) ，则对a 8 ，u q ，3 n ( w ) n ，当 礼 ) 时，有 n - 2 卢i 磊( u ) i n 2 屈( 1 2 9 ) 定理1 2 4 ( 见【2 】) 假设级数( 1 1 3 ) 满足( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 、( 1 2 5 ) 、( 1 2 7 ) ，则 有 1 1 恐陋m ( o ，兀) l u ( 1 l o ) 】= l i 嗯 i nm ( o ，f ) u ( 1 a ) ，a 8 口_ + u口+ u ! 瓯- - - , o i nm ( a ，l ) “( 1 盯) 】= 虹- - - , 0 i nm ( a ，f ) l u ( 1 l a ) ，a 8 1 i m 1 nm ( 盯，丘) u ( 1 a ) 】= l i m 【i nl a n l 7 u ( 入。l ni a n l 7 ) 】，o s 口，un 其中u ( r ) 是零级型函数，i o 竹l = r r t a x e ，i a n i ) 定理1 2 5 ( 见【2 】) 在定理1 2 4 的条件下有 ! i m o 1 nm ( a ，l ) l u ( 1 l a ) = a 兮甄l i m 1 n i n n l 7 u ( a n l ni n n i ，) 】= a n + o o 而且存在 k ) 的子序列 a n ( p ) ) ，有 l i m 【i nl a n ( p ) l 乱( k ( p ) i ni a n ( p ) l ，) 】= a 口+ o 。 和 熙m ( k ) ) u ( 九( k ( p + 1 ) ) ) 】1 其中u ( r ) 是零级型函数，a 0 ，| a n l 7 = m a x ( e ，i a n i ) ，7 = h ( v ) 是v = r u ( r ) 的反 函数 对于半平面上零级的d i r i c h l e t 级数和零级的随机d i r i c h l e t 级数增长性的 研究，已经得到了很好的结果，那么对于零级的b 值d i r i c h l e t 级数和零级的b 值随机d i r i c h l e t 级数是否有相应的结果呢? 通过讨论零级的b 值d i r i c h l e t 级 s 湖北大学硕士学位论文 数和零级的b 值随机d i r i c h l e t 级数增长性，我们得到了一些充要条件 2 b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 2b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 2 1b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑b 值d i r i c h l e t 级数 m ) = a n e x p ( - ) _ 。s ) ，( 2 1 1 ) n = 0 其中a n ) cb ，b 为一复b a n a c h 空间，0 = 入o a 1 入2 o ) ， 一o o 0 ，有 i nm ( o ，f ) 冬k u ( 1 a ) ( k 0 ) m ( 2 a ，) - s u p i i n n e x p ( - - a n ( 2 a + ) ) 一 0 使得当n n 时，有 i n 儿 u 诅n 礼6 ，n ( n ) ， u + l n n 6 1 其中u + 是u 的反函数由( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 可得 m ( 2 a ，) m ( 盯，似+ e x p ( - a n 州 n n ( 2 1 6 ) m ( 盯，似+ n 一1 n n 7 ) ( 2 1 7 ) n n 令t = e x p ( s u ( 2 a ) ) 再结合( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 可得到 m ( 2 a ，) m ( o ，烈+ n 吖矿h 邮+ n 一邯帆脚) t n nn t 8 2 b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 仇( 盯，) ( + n 一一十亿以) t n nn t m c 盯，似+ f ；t - 口 d t + c ， m ( o ，) ( + ( 1 一盯) 一1 t 1 一口+ c ) e x p ( k u ( 1 a ) ) ( n + ( 1 一仃) 一1e x p ( 6 ( 1 一o ) u ( 2 盯) + c ) ) 因此 i nm ( 2 a ，f ) k u ( 1 a ) + ( 1 + d ( 1 ) ) 6 孔( 2 盯) 由于6 的任意性，我们可以得到 i nm ( 2 a ，f ) ( k + o ( 1 ) ) u ( 1 a ) 另一方面，因为 。n e x p ( 一k 伊) = 。l i m - 1f 。2 ，( 盯+ ) e x p ( 入n i 岫， 所以r e ( o ，) m ( o ，f ) ，从而引理2 1 1 得证 定理2 1 1 假设级数( 2 1 1 ) 满足( 2 1 3 ) ，则 砸l i m i nm ( o ，f ) u ( 1 a ) 】_ a 兮一l i m 1 n i l u ( a n l n | ，) 】= a ( 2 1 8 ) 口t l n - - - * o o 其中u ( r ) 是零级型函数，a 0 ，0 n n l l 7 = m a x e ，ia n 盼 证明如果( 2 1 8 ) 式是正确的，则对任意固定的t 0 和充分大的佗，我们有 入竹 ( a + ) ( a n i ni l a n i l 7 ) u ( a n i na 。0 7 ) 令秽= ( a + ) r u ( 7 ) ，而r = h ( v ) 是口= a + t ) r u ( r ) 的反函数则对充分大的n ， 有 h ( a n ) ( ( ( a + t ) l ( k + 1 ) o ) ) u ( 1 ( k 十1 ) o ) ， 1 k a ( a n ) 1 ( k + 1 ) 盯 由( 2 1 9 ) 、( 2 1 1 0 ) 可得 1 ( 1 l a n i i e x p ( 一a n ) ) a n ( 1 ( a n ) 一盯) h ，根据( 2 1 9 ) 、( 2 1 1 0 ) 可得 l n ( 1 l a ni i e x p ( - ) _ n ) ) 0 有 l n ( 1 l a n i l 7e x p ( - - a n ) ) i nm ( 盯，f ) ( a 一2 e ) u ( 1 a )( 2 1 1 1 ) 另一方面，通过( 2 1 8 ) ，存在h 的子序列a n u ) ，使得对充分大的j 有 i ni l o n u ) l i ( a 一) 让( k u ) i nl l a n o ) ( 2 1 1 2 ) 取两个正整数p 和口，使得下面的式子成立 取一个序列乃使得 1 p q l l 7 ( 2 1 1 4 ) 由( 2 1 11 ) 可知：对充分大的j ，有 l n ( 1 l a n u ) 1 1 7 e x p ( 一k ( j ) ) ) ( p q ) i ni l a n o ) 1 1 7 ( ( p q ) p ) i nl l a 。u ) 07 入n o ) 乃 一 ( 2 1 1 5 ) l a ( v p q ) ( k u ) i nl l a n ( j ) l | ) 结合( 2 1 1 3 ) 、( 2 1 1 4 ) 、( 2 1 1 5 ) 可得 i ni l a n 洲7 = ( a 一2 e ) ( q p ) u ( 1 a j ) 0 的情况 ( 充分性) e h ( 2 1 1 7 ) 和( 2 1 1 8 ) 可知： k ) 的子序列 a n ( p ) ) ，使得对任意小 固定的t ( 0 ，a ) ，3 n = n ( t ) ，对p 0 ，我们有 i n a n ( p ) 1 1 ( a t ) u ( a n ) i nl l a n ( p ) i | 7 ) a n ( p ) ( a t ) a n ( p ) i nl l a n 0 ，) 1 1 u ( a n o ) l ni l a n l | ，) 2 b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 ( 2 1 1 9 ) 、( 2 1 2 0 ) 、【1 】中的引理4 以及型函数的性质可得 i nm ( 盯，厂) i nm ( o r ，) i ni t a 。( p ) 1 1 7 e x p ( - a n ( p ) 盯) = i ni l a 。( p ) 1 1 7 一入n 加) 盯 ( 入n ( p ) ( a n ( p ) ( a 一) ) ) 一a n ( p ) 盯 ( a t ) ( t ) u ( t a p ) ( 1 h ( a 。( p ) ( a t ) ) 一a p ) = ( a t ) ( t ) u ( t a p ) ( a p t 一唧) = ( a t ) u ( t a p ) ( 1 一t ) ( a 一3 一a t ) u ( 1 a _ ) ( a 一4 一a t ) 札( 1 乃，+ 1 ) 再根据引理2 1 1 ，我们得到 i n m ( 盯，) ( a 一4 一a ) n ( 1 咋+ 1 ) ( a 一4 t a t ) u ( 1 a ) 由于t 的任意性，即证得充分性 ( 必要性) 由定理2 1 1 ，我们知道( 2 1 1 7 ) 式必然成立如果( 2 1 1 8 ) 式不成 立，则存在a 5 0 和两组递增的正整数列k ( p ) ，k ) ，使得 k ( p ) ( 1 + e ) ( ( a 七( p ) ) ) ( 2 1 2 1 ) 并且对充分大的p ，我们有 ( i ) 当七p ) sn g ( p ) 时， i ni l a n07 ( a 一6 ) u ( 入n i nl l a n l | ，) a n ( a 一6 ) ( a n i ni l a n | i ，) “( a n i nl l a n l i ，) 九( a n ( a 一6 ) ) 0 ，有 i n a n i l 7 h 时，由( 2 1 2 2 ) 和( 2 1 2 4 ) 可得 i n a ni i 7e x p ( - a n a p ) h ( 1 h ( a n ( a 一6 ) ) 一a p ) a n ( 1 h ( h ) 一唧) = a n ( o 2 一a p ) 0 当a n ( a j ) h 时，存在m n ，有 ( 2 ( m + 1 ) a p ) u ( 2 ( m + 1 ) a p ) a 他( a 一6 ) ( 2 m a n ) u ( 2 m a ，, ) 2 ( m + 1 ) a p h ( a n ( a 一6 ) ) 2 m a p ( 2 1 2 4 ) ( 2 1 2 5 ) 因此。 i n a n i l 7e x p ( - a n a p ) a n ( 1 h ( a n ( a 一6 ) ) 一唧) ( a 一5 ) ( 2 m a p ) u ( 2 m a p ) ( ( m + 1 ) o p 2 一) = ( a 一6 ) ( 1 1 m ) u ( 2 m a p ) ( a 一6 ) 让( 2 )( 2 1 2 6 ) ( i i ) 当n k ( p ) 时，由( 2 1 1 6 ) 得，对充分大的p ，我们有 i n a 。07 ( a + 5 ) u ( a n l ni l a n i i ，) ， 1 4 2 b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 a n i ( a + 6 ) ( a n i nl l a n i i7 ) 乱( a n i ni l a n l l 7 ) ， ( 入n ( a + 6 ) ) a n i ni l a n i i7 ， i ni l a n i l 7 a n ( 入n i ( a + 6 ) ) 再结合( 2 1 2 3 ) 可得 i ni f a 。i i 7e x p ( - ) n 唧) a n ( 1 ( a n ( a 一6 ) ) 一唧) a n ( 1 ( a k ( p ) ( a + 6 ) ) 一) = k ( 唧一) = 0 ( 2 1 2 7 ) ( i i i ) 当n k ( v ) 时，根据( 2 1 1 6 ) 、( 2 1 2 1 ) 以及【l 】中的引理4 的( i i ) ，对充分 大的p 。我们有 i ni l a n l l 7e x p ( - ) n 唧) a 。( 1 ( 入。( a + 6 ) ) 一c r p ) 0 使得当n n 时，有( 2 1 6 ) 和 i i b , , i i , r t r 20 0 n0 ( 2 2 5 ) 成立其中u + 是u 的反函数 m ( 2 a ，g ) = s u pi i e x p ( 一a n ( 2 盯+ i ) ) 一 t l n k0 + n 吖矿。们 h r 2 + n - 2 】 n t n 一一+ 7 2 + c ) k i i + m ( 吖) 弘) - a + r 2 d t + c 】 6 n0 + m ( o ，) ( 一1 i i b i i + m ( 盯，州 n = 0 其中e 是正常数，( 当盯 r 2 时) 2 r 2 一口t l + r 2 一口 1 + r 2 一盯 2 r 2 一口 1 + r 2 一盯 + c ) e x 胛+ r 2 - a ) u ( 半) 】+ c ) 一l i 器 m ( 2 a ，g ) 让( 1 刚甄m ( 叽f ) 仳( 1 盯) ( 1 + 您) 甄2 + r 2 ) 口) 让( 1 盯) 】 m 脚 一 脚 一 m 脚 = 脚 一 m 脚 一 脚 一 2b 值d i r i c h l e t 级数的增长性 再根据( 2 2 2 ) ，我们类似可以得到 一l i m m ( a ，y ) u ( 1 a ) 】瓯【m ( 仃，g ) u c l a ) a - - ) uo - - * u 从而得到( 2 2 3 ) 类似我们可以证得( 2 2 4 ) 成立 1 9 湖北大学硕士学位论文 3b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 3 1b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑b 值随机d i r i c h l e t 级数 厶( s ) = 。礼z n ( w ) e x p ( - - ) 竹s ) ， ( 3 1 1 1 ) n = 0 其中， o n ) cb ，b 为一复b a n a c h 空间，0 = a 0 a 1 入2 入nto 。， 8 = 盯+ i t ，( 盯，t r ) 磊( u ) 是定义在某个完备概率空间( q ，p ) 上的随机 变量列令 m ( o ，凡) = s u p 0 ，( 盯+ i t ，u ) l i - o o 0 ，i l a 。i l = m a x e ，l l a n i i ，7 _ = h ( v ) 是v = r u ( r ) 的 反函数 证明由定理3 1 1 可知： l i m 1 nm ( o ，l ) u ( 1 l a ) 】= l i 啦 1 nm ( o ，f ) u ( 1 a ) ，n s 口，u1 7 _ + u ! 匦。o i nm ( o ，厶) u ( 1 a ) 】= 地酷。o i nm ( 盯，f ) u ( 1 a ) ，a 8 成立从而有 t i m i nm ( o ，厶) u ( 1 a ) 】= a ，a , 8 铮塾黑 1 nm ( o ，f ) u ( 1 a ) 】= a ，o s v 盯+ u 再根据定理2 1 2 即可证得定理3 。1 1 3 2 另一类b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑b 值随机d i r i c h l e t 级数 l ( s ) = n n z n ( w ) e x p ( - a n s ) ， ( 3 2 1 2 ) n = o 其中， a n ) 为一复数列0 = a o a 1 a 2 kt ( 9 0 ，8 = 仃+ i t ， ( 仃，t r ) 磊( u ) 是定义在某个完备概率空间( q ，尸，p ) 上的b 值随机向量列 湖北大学硕士学位论文 令 m ( o ，凡) = s u p l l y ( o + i t ，叫) l i 一 0 ，使得 s u p e z n ( a j ) h p ) o 则对口s ，u q ，3 n 2 ( u ) n ，当n 2 ) 时，有 | i 磊) i i n - 2 a ( 3 2 5 ) ( 3 ) 若磊) 同时满足( 3 2 2 ) 和( 3 2 4 ) ，则对8 ，u q ，| 0 ) n ，当 扎 ) 时，有 n - 2 a i i 磊( u ) i l n 2 口 ( 3 2 6 ) 证明( 1 ) p ( 1 l z n ( o - , ) l l n 2 口) p ( 1 l z n ( w ) l l 口2n 2 ) n = ln = l ( e i i z n ( w ) n 2 i i ) 0 ，i i o n l l 7 = m a x e ，i l a n i i ，r = h ( v ) 是v = r u ( r ) 的 反函数 证明同定理3 1 2 参考文献 参考文献 【l 】孙道椿t h eg r o w t ho f d i r i c h l e ts e r i e s 【j 】ja n a l y s i s1 9 9 5 ( 3 ) ：7 3 8 6 【2 】田范基t h eg r o w t ho fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ( i i ) 【j 】o fm a t h2 0 0 0 ( 4 ) ：3 71 - 3 7 4 【3 】丁晓庆零级解析d i r i c h l e t 级数的增长性【j 】数学研究与评论，1 9 9 3 ，1 3 ( 4 ) ：5 8 9 5 9 4 【4 】余家荣狄里克莱级数与随机狄里克莱级数【m 】北京：科技出版社，1 9 9 7 【5 】孙道椿d i r i c h l e t 级数的级【j 】华南师范人学学报( 自然科学版) ，2 0 0 1 ，( 3 ) 1 4 - 1 9 f 6 】6 孙道椿半平面上的随机d i r i c h l e t 级数【j 】数学物理学报，1 9 9 9 ，1 9 ( 1 ) ，1 0 7 1 1 2 【7 】余家荣，丁晓庆，田范基d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的值分布【m 】武汉：武汉大 学出版社，2 0 0 4 【8 】田范基半平面上的无限级随机d i r i c h l e t 级数的值分布【j 】数学物理学报， 2 0 0 0 ，2 0 ( 2 ) ，2 7 8 - 2 8 7 【9 j 陈聚峰，刘名生有限级d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数【j 】数学物理学报， 2 0 0 5 ，2 5 a ( 7 ) ，9 6 5 - 9 7 3 【l o 】万成高在半平面上随机d i r i c h l e t 级数的增长性和值分布【j 】应用泛函分析学报， 2 0 0 0 ，6 ( 2 ) 。17 4 一l8 0 【1 1 】郭晓晶，孙道椿右半平面上随机d i r i c h l