（概率论与数理统计专业论文）两类几乎处处中心极限定理.pdf

摘要 一般情况下，在弱收敛成立的条件下并不一定有几乎处处收敛也成立本文主要证明 了两个在弱收敛条件下几乎处处中心极限定理的结论，其中一个是关于次序统计量：最 大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理，另外一个结论是一般权重下的乘积部分和 几乎处处中心极限定理 如果k 是i i d 随机变量序列，并且满足e 墨= 0 ，踏? = 1 ，d k 是一数列满足类 似于重对数律中k o l m o g o r o v 条件( h s r m a n n2 0 0 6 ) 并且令，为随机变量列序列 的最大值与最小值，则有以下的几乎处处中心极限定理 熙击砉蚶 慨m 七 ) = e - ( r 相) 口s 以前研究的几乎处处收敛中通常使用的对数加权形式即如= i l k ，而这篇文章说明 在几乎处处收敛中用更加一般的加权平均形式下也可以得到类似的结论乘积部分和的 几乎处处中心极限定理也同样是在满足( h s r m a n n2 0 0 6 ) 条件下，得到了以下结论 a n i ( 鬃) 1 何z = f c z ， 其中f ( ) 是随机变量e 馒的分布函数，为标准正态随机变量并且在此结论的证明过程 中，得到了一般权重下的三角列的几乎处处中心极限定理 关键词：几乎处处中心极限定理、最大值和最小值、乘积部分和、三角列 i - l 上巩 鲁8 h 肛 a b st r a c t u s u a l l y , t h ew e a kc o n v e r g e n c e d o e s n 7 t i m p l y a l m o s ts t a r ec o n v e r g e n c e t h i sa r t i c l e m a i n l ys t u d yt w o k i n d so fa l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mw h e nt h ew e a kc o n v e r - g e n c eh o l d s o n ei sa b o u to r d e rs t a t i s t i c s ：t h eu n i o na l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m o fm a x i m u ma n dm i n i m u m ；t h eo t h e ri st h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e ma b o u t p r o d u c to fp a r t i a ls u m su n d e rg e n e r a lw e i g h t s w eh a v ep r o v e dt h a ti f i si i dr a n d o mv a r i a b l e sw i t he 五= 0 ，e 霹= 1 ，也 i sap o s i t i v en o r m a l i z i n gs e q u e n c e sw h i c hs a t i s f ) rt h ec o n d i t i o n so f h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) w h i c ha r es i m i l a rt ot h o s ei nt h ek o i m o g o r o vl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m i fw ed e - n o t e ，t ob et h ei n a x i n l u n - ia n dn l i n i i n u n lo ft h es e q u e n c e s ，t h e nw eg o tt h e a l m o s ts u r ec e n t r a 】l i m i tt h e o r e m ： 1 恶瓦 k - - 1 d k i m l , 钍奄，m 七 = e - ( r + 叼) o 。骢赤姜d n j ( 罄) 1 n 何z = f c z ，口s k e yw o r d s ：a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m ；m a x i m u ma n dm i n i m u m ； p r o d u c to fp a r t i a ls u m s ；t r i a n g u l a r a r r a y 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙婆太堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙塑太堂 有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权浙塑太堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月 日 签字日期：年月 日 第1 章背景和引言 1 1背景引言 从最早b r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) 和s c h a t t e ( 1 9 8 8 ) 研究部分和的几乎处处中心极限定理( a l m o s t s u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，简记为a s c l t ) 起，近3 0 年来几乎处处中心极限定理一直都是 概率极限理论研究的热点问题许多学者都研究过关于独立随机变量部分和的几乎处处 中心极限定理b r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) 得到的最简单形式的几乎处处中心极限定理如下：设 五，五，为i i d 随机变量序列，且e 五= o ，e ( 霹) = 1 ，& = x 1 + + 瓦，则有 熙去喜丢 - 1 j = l 那么可以得到 艘击善n ，= e 七卸) 以前研究的几乎处处收敛中通常使用的对数加权形式即d k = 1 肛，这说明在几乎处处收 敛中可以用更加一般的加权平均形式下也可以得到类似的结论对于乘积部分和的几乎 3 浙江大学硕士学位论文 第1 章背景和引言 处处中心极限定理，也同样是在满足( h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) ) 条件下，得至= t j - f 以下结论 如， ( 梁) v 1 7 z f ( z ) ， 其中f ( ) 是随机变量e 以e 的分布函数，为标准正态随机变量并且在此结论的证明过程 中，得到了一般权重下的三角列的几乎处处中心极限定理然后得到关于一般的数列也是 成立的 4 脚 土巩 昌8h 肛 第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限 定理 2 1 最大值与最小值的问题的引出 经典中心极限定理可以简要叙述为：设 k ) 为i i d 序列，公共分布函数为f ( z ) ， 且& = 甄，设e 五= o ，e ( 霹) = 1 ，则对任意的z r 有 l i mp 袅z 刊矾 ( 2 1 ) 其中圣仕) 是标准正态分布函数 关于部分和的几乎处处中心极限定理可以简要叙述如下： 设 ) 为i i d 序列，公共分布函数为f 扛) ，且& = 托，设有e 托= o ，e ( 霹) = 1 则对任意的z r 有 l i m 击耋三， 杀z ) 叫咖矗 ( 2 2 ) 其中， ) 是示性函数 随后f a h r n e r 和s t a d t m f , l l e r ( 1 9 9 8 ) i 正_ t t ) 了如下极值的几乎处处中心极限定理：设 ，为玩d 序列，= 瞿翌五，爿：ra 9 1 ( 一k ) 三g ( z ) 熙志喜沁烈尥叫纠刈z ) 0 s 这些几乎处处中心极限定理都是以对数加权形式出现的，后来b e r k e s 和c s d k i ( 2 0 0 1 ) 证 明了：对 靠= e x p 丁( ( 1 0 9k ) 1 ) o q 互1 疗z 在一定条件下有 怒去乒 刊籼s 其中以= 以 这说明可以在权重方面推广几乎处处中收极限定理h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) 将对数加权 形式收敛推广到了更一般的权重上去设置，五是i i d 序列e 墨= 0 ，e 砰= 1 ，记 5 浙江大学硕士学位论文第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 s k = x 1 + + x k ，h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) 得到了以下的结论 l i r a d 面1 苫n 训尝- b k ) = f m 删z h s 其中的，是一阶的三咖s c 危记名函数并且l i p s c 衍z 常数i i 刑小于1 d n = d k ， 也) 七1 是 一列正的常数列满足类似于k o l m o g o r o v 重对数律形式的条件 设，n 1 是独立同分布随机变量序列，记= m a x x 1 ，k ) ，m n = r a i n x 1 ，k l e a d b e t t e r ( 1 9 8 3 ) 证得了如下弱收敛的结论 如果存在0 丁 ，= e 弋7 切n s ” 2 2 最大值与最小值的联合几乎处处的两个定理 设权重以满足h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) d ? 的条件，即满足下述类似k o l m o g o r o v 重对数律形 式的条件： ( c ol i m i n f k d k m ( g ) 存在q 满足0 口 1 使得当南充分大时，也舻是非增的； ( 岛) l i r as u pk d 七( 1 0 9d k ) p d k o o 其中p 为大于。的一常数d k = 也 定理2 1 设，扎1 是独立同分布随机变量序列，记= m a x x 1 ，k ，= m i n x 1 ，k ) 如果存在0 7 - 0 ，k 及 0 ，阮和非退化分 布函数g ( ) ，h ( y ) 使得 p 口：1 ( 心一6 n ) z ) 二g ( z ) ( 2 6 ) 浙江大学硕士学位论文 第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 则 p 蝣1 ( m n 一风) y 二日( y ) ( 2 7 ) p q ：1 ( a 如一k ) z ，q ：1 ( m 竹一风) ，；g ( z ) 日( ) ( 2 8 ) 于是，有如下的几乎处处中心极限定理 定理2 2 假设d k ，k l 满足( c x ) 一( 岛) ，在方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 成立的条件下，则有 熙。瓦1 墨n 以， 警鲺警 ) ， & ，z3 ， 尥，j 姐，仇詹，j 铆，一尸 尥，f 啦，m 詹，f 耽) 引理2 3 对l 味，讹妯，m l 堋亨( 2 1 0 ) 8 浙江大学硕士学位论文第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 证明： c 伽( 靠，已) l = f c o v ( i 慨u k ，m 七 v k ， 舰孔z ，t t z ! 忱) ) i f c o v ( i m k 缸詹，m k v k ， 蚴坳，m f 仇) 一， 铆，) f + l c o v ( i a 缸缸七，m k v k ， 蚴u z ，m k ，z v l 一j 尥，l 铆，仇南，l v l ) + f c o v ( x m k u 知，9 7 k ，f 【，l 讹，t r t k ，l t j l ，) l = 丑+ t 2 + 死 ： 而由引理2 2 t x = i c o v ( i 尥u k ，m k 】，j 尬撕，m l 铆 一j 尬u l ，m k ，z v l ) 2 e i 尬缸z ，仇z v t 一z i m , 铆，m k ，l 功 i 2 e l i 衲 v l 一i m f 铆) i 2 p m 七 m k ，z ) 2 争， t 2 = 仇 一i 【 靠，l 扎f ，m k ，l v z ) 2 e i 尬蚴，m k ，l 铆，一i 磊，l u j ， k j 叻) l 2 e l i 尬蚴) 一i 尥，l 铆】1 2 p 慨 m k ，d 2 由独立性知死= l c o v ( i m k 妣，m k ) ，j 尥，z 铆，m 詹，z 铆) ) i = 0 所以引理2 3 得证 记q k ，z = 6 一靠，l 引理2 4 假设p 是一正整数，则 e i q f p 妒拿 证明：显然一2 & ，& ，l 2 , 贝j j q k ，z 取值在4 到4 之间，把e q k ，l i p 写成e ( 1 q ，l i p q 七，z ) ， e i q k ，l i p 4 p - 1 e l q 南，f i 9 浙江大学硕士学位论文 第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 而由引理2 2 e q k ，1 l = e f 6 一& ，州 e i x 蚴7 2 1 ，m l v l 一i 慨，f 7 2 1 ，m k ，l 优) i + i e ( - v 铆，m l v l 一j 呱l 蛳，t f t k ，l 让) ) l 2 e l i 讹，门毗 v l 一i 帆，z 铆，r t k ，z v z i = 2 e l i 必珏i j 鳓 研) 一j 坛，1 u t j m 詹j 聊 2 e i j 尬钍1 ) ( i m l v l 一i _ 【m b l 研) i + 2 e l i m 七，l v t ( i m 蚴) 一i 【尥，l u d ) l 2 e l i m l 钆) 一i m 七，z v l i + 2 e l i 么u z ) 一i 他，z 讹 i 2 p m 七 靠，0 4 亭 引理2 4 得证 引理2 5p ，惫为正整数，对任意的正数列西，并且当k m 仃时有， nn e l d , q k ，z 卜4 p p g ( f 前) 暑 z=t，；l=m 证明：考虑下列等式 f i，ln ( 4 q a ，z ) p = 盔。d z p q k f 1 仇f p z = 仃l l l - 2 ml p = r a 两边同时取期望，并且由引理2 1 的h s l d e r 不等式有 nnn e l 4 q k ，z i p o ，有 k = l d n = d ( 胪) 证明：由( g ) 知d n = d k _ 。o ，则( 1 0 9d n ) p _ 。o 令o 为满足对所有的 k = l 0 时，( 1 0 9d ) 户 o 恒成立的最小的整数贝u 当0 时由( g ) 可得d = p ( 丽啬可) 所以存在某一个与d n 有关的常数c l 有 所以可以得到 d n ： - i d n 兰d n + t q d n n ( 1 0 9d n ) p n n d n + l d n ( 1 + c f f n ( 1 0 9d n ) p ) d oi i ( 1 + c a ( 1 0 9d i ) p ) e x p ( c 1 ( 1 0 9d 渺 t = n ot = n o 而( i ( 1 0 9d i ) p 】- 1 ) = o ( 1 0 9n ) 所以就可以得到d n = o ( n 8 ) i = n o 引理2 7 在定理2 1 的条件下，p 为正整数对于满足条件( 伤) 的口，则有 e l 比矗l ，c ( 也函( 孚) 口) 詈 k = ll k l n 。 其中g 是一个与p 有关的常数 证明：首先记： 萨d l l 一口( d k k 口) ( 1 m 死) 1 = mk = l 且记：q = ( 4 7 ) p 2 ，因为，n 等于引理中不等式的右边，如果数1 取得足够大， 那么证明引理2 7 只需要证明下式成立 对p 进行归纳法 1 1 ( 2 1 1 ) 砰 珏协 啊 4 =已2 p d m 已2 力 纪 拓 m p 4 一 h _ 、 h 哆r 珏 毋 珏 n 4 n 一 m 一 j0 一 p 靠以 n 胁 e 浙江大学硕士学位论文 第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 由引理2 3 ，并且注意到e 靠= e 6 = 0 ，于是有 竹nn e ( 以矗) 2 = e ( 也d ：勒 k = mk = ml = m = 2 e (也函矗6 ) + e 也d l 磊自 m k l n m k = l n 2 毗也i e & i m k l n 8 如也 m k ( 委) p ，y 詈，而蚓2 ，所以当，。，y 时 i 妻函6 i 昙塞d l 严( 毒噍：昙，n 丢7 ( ) 础 所以当7 1 m n ，y 时，( 2 1 1 ) 是成立的 那么只需要证明7 m n 7 时( 2 1 1 ) 也成立即可 现取任意x 满足x 7 ，并且假设，n x 时( 2 1 1 ) 成立，那么特别的它对于7 k ，n 学也成立则对，n 等t 9 x 2 o o ，( 2 1 1 ) 都是成立的，即( 2 1 1 ) 那么他对任意 的2 k ，n o 。都是成立的那也就证明了对于2 k 。n 7 也是成立的 现在假设7 k 。n 警，并且令 研+ = 巩靠+ 也& k = m詹= t t i + 1 且记而= 如如，奄 对于固定的m ，礼，选择这样的w ，满足： ，t 一，x ，死+ 1 n x 并且警= 入【；，1 】 由条件( g ) 有， ，n 一胪。：咖咄( 妻也厶( 壹也) ：厶风譬 k = lk = l 。 1 2 浙江大学硕士学位论文 第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 由引理2 5 知不等式右边当n _ o 。时收敛到0 现在证明下列不等式 e i 岛+ 岛i p q ( ，n ) 羞 由条件( 岛) ，以妒是非增的，所以可以找到这样一个a 满足 a 以妒f l + a 西此时将两边同时加上c i f l - 。得， 令乃= 2 4 ) j 1 2 ，由引理2 4 和上面的不等式有对所有歹芝1 ， e l & 一易i s 乃( 死- - 1 , n ) ( 2 1 2 ) 并且，由归纳假设当1 歹p 一1 时，下列两个不等式成立 e i & i 歹c ：( ， ) 量( 1 歹p ) ，( 2 1 3 ) e i & i j c ；( 死+ 1 一) 考c y 2 ( ，伽p 2 ( 1 歹p ) ( 2 1 4 ) 当歹= p 时由7 k 。n x 时( 2 1 1 ) 成立，再利用m i n k o w s k i 不等式有， 所以有 e i t a l y = e i 乃一岛+ 昆i = ( ( e f 乃一岛i 歹) ；+ ( e i 岛i 歹) ) 歹 c a ( ，叫) ( 1 歹力 ( 2 1 5 ) e i s t 隅一驯盯h ( 乏鲫姻岛一掣蛔刚字( 2 1 6 ) 矿霹入警( ， ) 、 所以同样可以得到： e i & i j i & 一死i i 死i p 。一1 2 p 。一- c 尹孝a 孚( ，狮) 暑 由于研和乃是独立的，所以由二项式定理和三角不等式有 e 1 吼+ 岛r e i 韪l p + e i 岛尸+ 薹( ；) c e i 研h 墨。霹。i + e i 岛i ，e l 正r 一歹， n 一 m 一 l 付 a 一 砰 n 协 浙江大学硕士学位论文第2 章最大值与最小值的联合几乎处处中心极限定理 而由中值定理有下列不等式成立 l 建一i 引岛一易i ( i 岛r 1 + l 乃i j 一1 ) 1 ) 所以根据上式，并由( 2 1 2 ) 一( 2 1 7 ) 可以得到 e i 研+ 岛p 将数值结果代入计算得 丐；1 巧1 ：【( 4 7 ) p 2 一( a 墨唧詈) ；：4 7 一p a j l 卸墓1 c p ( 4 7 - p ， 由于a 1 ，所以可以得到 g c r p o g ( 4 7 ) 一p ( 1 j p 1 ) c f ；力霎2 p j ( ；) p 一歹，a 函一力卢c 矿肛7 叩 ( 2 1 7 ) 筇曼一舢2f ，? 1q c 一 筇1 一入力胆i o 和任意的叼 p 有下 列等式成立： 。 羡毗画( 铲。( 志) 证明：下面简单地给出它的证明 d k d t ( ) n 噍d f ( ) 口+ d z 呶 l 一 k 一 l 一 n 1s rsltn( 1 0 9d n ) 一a a k l k ? ls ( 1 0 9d n ) 一p # 。 = ( y n + t n 1 4 孚 2 象芦褂 嚣0 o ， 、0 羔吓 q g夕 卜 p ， 、 z “ 甲 2 旷 凇 扣 让 l，l 董芦 吲 够 而由于0 n d ；v ( 1 0 9d n ) 一p 和条件( g ) 有 伽 1 且( 1 0 9 d v ) p ，姜d l 。石a ednl) 尸 、，一 ， e i d k 专k l p 知；1 ( e d n ) p c p ( d 幽( 亭) a ) 呈 1 k 0 ，使得一册2 一( 1 + t ) e d n a ) 0 0 c p ，e ) ( 1 0 9 d n j ) 一朋2 = c ( p ，) 由b o r e l c a n t e l l i 弓 n a ，有下列子序列收敛 1 坼 熙赤若以& - 0 一s 而对于n + 1 由于l 磊i 2 所以有 n 荟d k s k l 巧1蠡= l 。j 巧1 0 记 变异系数为，y = 叮加r e m p a l a 和w e s o l o w s k i ( 2 0 0 2 ) 证明了 斛辅 其中为标准正态随机变量 g o n c h i g d a n z a n 和r e m p a l a ( 2 0 0 6 ) 将( 3 1 ) 推广到几乎处处情形，即 ( 桨) 1 九瓶z f ( z ) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中f ( ) 是随机变量e , - u 的分布函数，为标准正态随机变量 上面的几乎处处中心极限定理是对数加权情形的，本章的目的是将权重以其推广到 更为一般加权情形，其中文满足h s r m a n n ( 2 0 0 6 ) 中的条件 3 2 一般权重下乘积部分和的几乎处处的两个定理 定理3 1 设 k 。 是独立同分布的正随机变量序列，e 五= 胁v a r ( x 1 ) = 护 0 记变异 系数为，y = a 比, 如果 厶，n 1 ) 满足第二章里的条件( q ) 一( 岛) 则对z 尼有 d n i 科何z ) = f c z ， ( 3 - 3 ) 其e e f ( ) 是随机变量e 谯的分布函数，专为标准正态随机变量 若令叼= e 弦，则叼的分布函数为f ( z ) ，= 2 - z 2 l o gr 是标准正态随机变量于是 由( 3 1 ) 得 而1 善n - 。瑶 1 7 l 一他 1 一 昌8 h 肛 耐 土巩 9 8 n 肛 浙江大学硕士学位论文第3 章一般权重下乘积部分和的几乎处处中心极限定理 从而有( 3 3 ) 等价于如下形式 n l i r a 1 嘲如， 志喜b 唼z ) 刊一s ， 下面部分将引用如下的记号： r1 i (、1 2 b k ，n = 1 i ，s 知，n = i 磋n ) ，k n ；k ，n = o 若七 佗 令z l ，磊是一列i i d 随机变量，并且满足磊= 每，则有e 磊= 0 ，e 砑= 1 其 前n 项和为晶= 磊定义三角序列墨，n ，托一，k 其中兀，住= b k ，n 磊且 瓯，n = x 1 ，b + 恐冉十+ 虬，。， l n 先证明所构造三角列的几乎处处中心极限定理，即 定理3 2 设 瓦，n 为上面所构造的三角列，则在定理3 1 的条件下，对z 蜀 一l i m 1 蠲呶“等z 一巩们 g o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 6 ) 知，要i 正u x ( 3 5 ) 等价于证明如下形式 熙击砉毗f 佩s k , k 一= 仁m 脚s 其中，为任意连续有界的一阶l i p s c h i t z 函数 3 3主要引理及定理的证明 先证明定理3 2 ： 为证明结论，需要如下引理 引理3 1 在定理3 2 的条件下，有如下的弱收敛结论成立； 其中是标准正态随机变量 证明：首先有： & ，n8 n n 三毒 礼_ 。o ， s 纛_ 妻l = 1 磋n 卸，n + 2 壹釜丢- - b l , n + 2y 鼬 ：k - 。1 k = 2 1 = 1 ，= 2 n h n 一 七= 2 1 8 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 浙江大学硕士学位论文第3 章一般权重下乘积部分和的几乎处处中心极限定理 n 所以对任意的e o ，并且注意到s ：n = 鹾n ，而且z i 独立同分布，所以有 i = 1 n l i r a 士，汹e ( 翟n 川五，nl 芝) ) = 恕去妻e ( 磋住驯玩，n 磊i e 佤) ) = 恶赤耋鹾n e ( 霉咱磊i 迤b i ，n 、 ) = 恕古旧咱历i 巫b i , n1 1厅c 口il 恕e ( z 咱历i 龋) ) = o 所以就得到了关于三角序列托n 的林德贝格条件成立，有如下中心极限定理成立 & 一8 叩三f ， 钆_ 0 0 而上式等价于对于任意连续有界的一阶l i p s c h i t z 函数，( g o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 6 ) ) e ，( & ，靠既，n ) 一e ，( 专) ， n 一o o 由于b l m ：壹1 i ，如果令k ：b l ，竹一l o g n ，则由数学分析知识可证得k 是单调下 i = 1 降，并且有界的，所以k 极限存在由于b l , n 及均发散，故两者同阶且当z 一1 时 l n ( 1 + z ) z ，所以有 (等)2=娑装等c丁k81 2 1 b i g 2 11 _ 一l = 一一讯c ，z 一 “ 一l o g 2 所以存在正的常数d ，使下式成立 等蚓妒。 k 时有， 若记| | 州是函数，的l i p s c h i t z 常数 利用函数歹的旬粥政菇z 性质和如死s e 死不等式，并且由( 3 7 ) 且，有界，有 i ( ，( 繁) ，( 嚣) 一，( 墅学) ) l 2 e l ，( 鬻) 阿”s t 了, t ) 一，( 坠学) i c i i f ! i e ( 监等划) 刚i 【e ( 掣) + e ( 掣) 】 c u l l 一s ：, , ! + 掣吣) 筹( 1 + l o g ( z 肚) ) ( ) 卢 其中0 p 1 2 而岛1 一瓯七一b k + l & 和鼠路是独立的，所以有 c 伽( ，( 等) ，( 坠学) ) 一o 故可以得到 i c o v ( 专k l ( 孚) 卢 e q k ，l = 一& ，z ，有如下引理成立： 引理3 3 在定理3 1 条件下，p 为正整数，有 e 般州卜p 隆) p 2e l 三州| 0 ，由引理( 3 2 ) 的证明可知，存在某一个常数k ，有 e ( 照制) 冬塑+ 型j 1 十丛k 1 k a k ，七。七，知d 七，七d l ，l 所以存在一个与p 有关的常数a d ，对所有的忌满足 e ( 坚学8 k+ e ( 坚掣8 k) ) p 如，知，七 利用第二章引理2 1 的h s l d e r 不等式有 e f d l q w l d z 。d l , ( e i q k 2 1 i p e i q k ，l , i p ) 1 p j z = mf l l - - - - - n 4匆2 m nn 如驴l p 忌印也。c i f ，j ，石口 z l = m l p 5 m = 如驴f p 舻( 函z 一夕) 卅l ，i | p c 磐) 2 ( 。驴肚) 2 同引理( 2 5 ) 的证明知：存在一常数a 满足 f ( 2 p + 1 m 一( 2 卢+ 1 + e t 一( 2 p + 1 ) d t = m 一( 2 肚1 + 去m 一2 卢 = ( 鬲1 + 菇1 ) m 一2 卢 g m 一如 所以就有 i 侣i p e i 画虢z i l j = 仇l俐l ，i i 佳d z ) 胡掣m 一卯 = 耳淫田z ) 班 浙江大学硕士学位论文 第3 章一般权重下乘积部分和的几乎处处中心极限定理 其中埠= 4 伊l p 四胆引理得证 引理3 4 ：在定理3 2 条件下，p 为正整数，有 e i 弘卜( 。篆n 如) 卢) p 2i 七= lll 七 z ，l 、7 其中g 是与p 有关的常数 证明：类似于引理2 7 的证明，首先令q 兰( 4 ，y ) 护，并且记： ( 1 仇n ) 因为m 等于引理中不等式的右边，如果数7 取得足够大， 那么证明引理只需要证明下式成立 e l 如钟q ，。) 暑1 k l n k = m 对p 进行归纳法来证明( 3 1 0 ) 由引理3 2 ，并且注意到互螅= e 6 = 0 ，于是有 e ( 比& ) 2 = e ( d k 靠d l 勘 k = mk = ml = m = 2 e (也d ：靠钔+ e也也& 6 m k l nr n k = l n 2d 七d l l e & 引 m k l 巩) 弛州l o g 驯嘲胆 所以可以选取一列递增的子序列满足d 妈一+ x p ( v q ) ，然后选择p 满足p 5 叩，则存在某个 t o ，使得- p ，7 2 一( 1 + t ) e 。屿) c 。，薹歹一c l + 。 由b o r e l c a n t e l i i 6 理有 熙壶善以靠：0 伽 而对于n = 垂c 功。s c 3 肌， 而要证明定理3 1 只需要证明 恕击娄如， 呦时有 上何 = 磁 作随 土俪 t l d 一 & 鬲 行柚赤 浙江大学硕士学位论文第3 章一般权重下乘积部分和的几乎处处中心极限定理 j 志喜c 矗1 ) 所以，由上式并结合( 3 1 1 ) 式有， 定理3 1 得证 恕瓦1 圣n 如f 志喜嵫嘉z ) = 西c 巩口s - + 一lr z z 一 一 ) 益肚 一 曙五肚 n譬脚 去靠 一1 1 ，j、l，、 参考文献 【1 】a r n o l d ，b c ，v i l l a s e h o r ，j a ，t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fs l i m so fr e c o r d s e x t r e m e s1 0 ) ( 1 9 9 8 ) ，3 5 1 3 6 3 【2 】2b e r k e s ，i ，c s 五k i , e ，au n i v e r s a lr e s u l ti na l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r y s t o c h a s t i c p r o c e s s e sa n da p p l i c a t i o n s 9 4 ( 2 0 0 1 ) ，1 0 5 - 1 3 4 【3 】b e r k e s ，i ，h o r v 6 t h , l ，t h el o g a r i t h m i ca v e r a g e so fs a m p l ee x t r e m e si sa s y m p t o t i c a l l yn o r m a l s t o c h a s t i cp r o c e s s e s a n da p p l i c a t i o n s 9 1 ( 1 ) ( 2 0 0 1 ) ，7 7 - 9 8 【4 】c s d k i ，e ，g o n c h i g d a n z a n , k ，a l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m sf o r t h em a x i m u mo fs t a t i o n a r yg a u s s i a ns e q u e n c e s s t a t i s t i c sa n dp r o b a b i l i t y l e t t e r s5 8 ( 2 0 0 2 ) ，1 9 5 - 2 0 3 【5 】d u c l z i h s k i , m ，a na