（概率论与数理统计专业论文）半参数项目反应模型.pdf

山东大学硕士学位论文 半参数项目反应模型 田瑜 ( 山东大学数学与系统科学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 项目反应理论作为现代教育测量学中应用最为广泛的理论，近 年的研究主要集中在模型稳健性、计算机自适应考试及多维度项目 反应模型三个方面 本文以模型稳健性为出发点，将一种统计性质优良的半参两阶 估计与项目反应理论结合，得到新的半参数项目反应模型可以看 到，新的半参项目反应模型兼具参数项目反应模型和非参数项目反 应模型的优点 参数项目反应理论作为现代心理测量学的代表，结束了经典真 分数理论的统治，开创了心理测量学的新纪元在随后的几十年里， 众多学者提出了基于不同假设的参数模型实际中项目分析者可以 利用历史信息及专业经验灵活选择模型，这成就了参数项目反应理 论的灵活性另外，参数项目反应理论给出了像项目难度、区分度、 猜测度等形式简单、意义明确直观的项目参数，用以刻画项目的性 质 然而随着对参数项目反应模型的深入研究，很多人发现对于一 些考试，它不能很好拟合数据这使得更为稳健的模型成为迫切需 求非参数项目反应模型就在这种背景下被提出它将不同的非参 数平滑方法与项目反应理论相结合，拓展了项目反应理论的使用范 围对小样本和短测验，非参数模型拟合地更好由于非参数模型 是相对稳健的，因而可用于参数项目反应模型的失拟合检验但是， 非参数项目特征函数中不存在项目参数的概念，这成为项目分析者 不乐于使用它的原因之一 山东大学硕士学位论文 新的半参数项目反应模型估计项目特征函数时，使用参数模型 作为一阶估计，再用非参数方法进行校正这样，新的估计就可以 同参数模型一样地利用历史数据和经验信息，同时具有与非参项目 反应模型同样优良的稳健性另外，新估计可确定比参数项目反应 模型更加可靠的项目参数估计，克服了非参数模型的这一缺陷 新的半参项目反应模型从“参数开始，使用“非参，调整，结束 于“半参 ，填补了项目反应理论中半参方法使用的空白 本文第一章简要介绍心理测量学、项目反应理论、非参数项目反 应理论的历史及现状，并介绍文章针对的问题背景，最后简述半参 数项目反应模型；第二章介绍参数项目反应模型( p i r m ) 的模型及 方法；第三章介绍非参数项目反应模型( n i r m ) 的模型及方法；第四 章解释半参数项目反应模型( s i r m ) ，给出计算方法；第五章将新估 计推广；第六章用数据模拟考察新估计的性质；第七章是结语和其 他讨论 关键词：项目反应理论；非参数项目反应模型；半参数项目反应 模型；核平滑；半参回归 山东大学硕士学位论文 s e m i p a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l t i a n 勋 ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t a st h et h e o r ym o s tw i d e l yu s e di nm o d e me d u c a t i o n a lm e a s u r e m e n t ，i t e mr e - s p o n s et h e o r y ( i r t ) r e c e n t l yf o c u so nt h es t u d yo fm o d e lr o b u s t n e s s ，t h ec o m p u t e r a d a p t i v et e s ta n dm u l t i - d i m e n s i o n a li t e mr e s p o n s em o d e l t h i st h e s i ss t a r t sf r o mm o d e lr o b u s t n e s s ，c o m b i n i n gas e m i - p a r a m e t r i ct w o - s t a g ee s t i m a t i o nw i t hg o o ds t a t i s t i c a lp r o p e r t ya n di r t ，a n do b t a i n san e ws e m i - p a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l ( s i r m ) i t i se a s yt os e et h a tt h en e ws i r mo b t a i n s t h em e r i t so fb o t ht h ep a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l ( p i t m ) a n dn o n - p a r a m e t r i c i t e mr e s p o n s em o d e l ( n i r m ) a sar e p r e s e n t a t i v eo fm o d e r nm e n t a lm e a s u r e m e n t ，p i r te n d e dt h er u l eo f t h ec l a s s i c a lm e a s u r e m e n tt h e o r ya n dt r u es o r et h e o r ya n dm a r k e dan e we p o c h i nm e n t a lm e a s u r e m e n t i nt h es u b s e q u e n td e c a d e s ，m a n ys c h o l a r sp u tf o r w a r d n u m b e r so fp a r a m e t r i cm o d e l sb a s e do nd i f f e r e n ta s s u m p t i o n s i np r a c t i c e ，i t e ma n a l y z e r sc a nc h o o s ed i f f e r e n tm o d e l sf l e x i b l yu s i n gt h eh i s t o r - i c a li n f o r m a t i o na n dp r o f e s s i o n a le x p e r i e n c e s ，w h i c hr e f l e c t st h ef l e x i b i l i t yo fp i r t i na d d i t i o n ，i t e mp a r a m e t e r s ，w h i c hd e s c r i b et h ep r o p e r t yo fi t e m se f f e c t i v e l yw i t h d e a r l ya n dv i s i b l em e a n i n g ，s u c ha si t e md i f f i c u l t yp a r a m e t e r ，i t e md i s c r i m i n a t i o n p a r a m e t e ra n di t e mg u e s s i n gp a r a m e t e r e t ca r eo f f e r e db yp i r t h o w e v e r ，w i t ht h ea d v a n c eo ft h es t u d yo fp i r m ，m a n ys c h o l a r sf o u n dt h a t f o rs o m ee x a m i n a t i o n si tw a sn o ta b l et of i tt h et e s td a t aw e l l t h i sm a d ea nu r g e n t r e q u i r e m e n to fam o r er o b u s tm o d e l n i r m ，w h i c he x p a n dt h er a n g eo fu s eo fi r t i i i 山东大学硕士学位论文 勰ac o m b i n a t i o no fn o n p a r a m e t r i cm e t h o da n di r t w a sr a i s e d i nt h i sc o n t e x t n i r mg e t sb e t t e rf i t t i n gf o rs m a l ls a m p l 篑a n ds h o r te x a m a n di tc o u l db eu s e dt o t e s tt h ef i to fp i r mb e c a u s eo ft h er o b u s t n e s s h o w e v e r ，t h e r e sn ot h ec o n c e p t o fi t e mp a r a m e t e ri nn i r t ，w h i c hb e c a m eo n eo ft h er e a s o n st h 8 ti t e ma n a l y z e r s a r eu n w i l l i n gt ou s ei t n e ws i r me s t i m a t e si r fw i t hp a r a m e t r i cm o d e la st h ef i r s t - s t a g ee s t i m a t o r ， w h i c hi st h e na d j u s t e db yn o n p a r a m e t r i cm e t h o d i nt h i sw a y , t h en e we s t i m a t o r c o u l dm a k eh i s t o r i c a ld a t aa n de m p i r i c a li n f o r m a t i o ni nu s ea sp i r m ，a n ds i m u l - t a n e o u s l yh o l de x c e l l e n tr o b u s t n e s sa sn i r m i na d d i t i o n ，t h en e we s t i m a t o rc a r l g e tm o r er e l i a b l ee s t i m a t i o no fi t e mp a r a m e t e r st h a np i r m w h e r e a sn i r mc a nn o t o f f e ri ta ta 1 1 t h en e ws i r ms t a r t s 丘o mt h ep a r a m e t r i cm o d e l a d j u s t sw i t hn o n p a r a m e t r i c m e t h o d sa n de n d si nt h en e ws e m i - p a r a m e t r i cm o d e l i tf i l l st h eb l a n ko fs e m i - p a r a m e t r i ca p p l i c a t i o ni ni r t i n t h ef i r 8 tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，t h eh i s t o r ya n ds t a t u so fm e n t a lm e a s u r e m e n t ， i r ta n dn i r ma l eb r i e f l yi n t r o d u c e d t h ei n t r o d u c t i o no tt h eb a c k g r o u n do tt h e p r o b l e ma n dt h eb r i e fo ft h en e ws i r ma r ea l s oi nt h i sc h a p t e r i nt h e s e c o n dc h a p - t e r 。p i r ma n dt h em e t h o d sd e a l i n gw i t ht h e ma l ei n t r o d u c e d n i r mi sm e n t i o n e d i nc h a p t e rt h r e e t h ee x p i a n a t i o no fs i r ma n dt h ea l g o r i t h mw i l lb ei nt h ef o u r t h c h a p t e r i nt h ef i f t hc h a p t e r ，t h en e we s t i m a t i o nw i l lb ep r o m o t e d t h ep r o p e r t y o ft h en e we s t i m a t i o nw i l lb es t u d i e du s i n gt h es i m u l a t i o ni nt h es i x t hc h a p t e ra n d o t h e rd i s c u s s i o n sa n dc o n c l u s i o n sa r em e n t i o n e di nt h el a s tc h a p t e r k e y w o r d s ：i t e mr e s p o n s et h e o r y ；n o n p a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l ；s e m i - p a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l ；k e r n e ls m o o t h i n g ；s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n i v 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名。 蝤 日期：迎8 ：三：! 翌 一 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 敝作者麟唾导师繇妈日期，必 山东大学硕士学位论文 第一章背景介绍 百余年时间里，心理测量学经历真分数理论、概括化理论、项目 反应理论阶段发展至今近年，统计方法越来越多的应用于其中非 参方法与项目反应理论的结合为其发展给出新的思路本文则将半 参数方法应用于项目特性曲线的估计，并就新估计的性质和应用进 行讨论 本章的第1 节介绍心理测量学及项目反应理论的历史及发展现 状，第2 节涉及非参数项目反应理论的出发点及特点，第3 节给出本 文的问题背景，简要介绍新的半参两阶估计方法 1 1 心理测量学及项目反应理论 1 9 世纪末，心理学脱离哲学而独立，心理和教育测量学随之正 式诞生，称为心理计量学( p s y c h o m e t r i c s ) 他是一门包括量化心理学 ( q u a n t i t a t i v ep s y c h o l o g y ) 、个别差异( i n d i v i d u a ld i f f e r e n c e s ) 和心理测验 理论( m e n t a lt e s tt h e o r i e s ) 等研究范围的学问 心理测量学的发展经历了两个主要阶段。古典考试理论( c l a s s i c a l t e s tt h e o r y , c t t ) 阶段和现代考试理论( m o d e r nt e s tt h e o r y ) 阶段 2 0 世纪初到2 0 世纪5 0 年代，心理测量学处于真分数理论( t r u e s c o i l et h e o r y ) 为旗帜的经典测验理论发展成熟的阶段2 0 世纪3 0 年代 末，真分数理论的信度概念完成数学形式化；5 0 年代初，在格里克 森( g l l l l i l 【8 饥h ) 的心里测量理论( t h e o r yo fm e n t a l i 钒) 一书中， 经典的心理测量学理论臻于成熟；到6 0 年代末，劳德( l o r dfm ) 与 诺维克( n o v i c kmr ) 的心里测验分数的统计理论( s t a t i s t i c a lt h e o r y o fm e n t a lt e s ts c o r e s ) 不仅使经典测验理论得到十分严格的逻辑论证， 而且开始向现代测量理论转变因为该书用了好几章来论述项目反 应理论( i t e mr e s p o n s et h e o r y , i r i i ) ，并提出了在测验分析中使用方差 分析模型的问题2 0 世纪后半叶是现代测量理论勃兴发展的时期 其代表之一是概括化理论( g e n e r a l i z a b i l i t yt h e o r y , g t ) ，它跟真分数理 论一起，同属随机抽样理论( r a n d o ms a m p l i n gt h e o r y ) 范畴；二是项 目反应理论( i t e mr e s p o n s et h e o r y , r o t ) ，它是一种量表化理论( s c a l m g 山东大学硕士学位论文 t h e o r y ) 。 参照着物理量测量分析框架而建立起来的真分数理论虽属于早 期成熟的一种经典测验理论，但确有局限并且现已渐渐完全失去生 命力经典真分数理论的局限在于，其测量模型不能深入到测验的 内部，直接去面向被试在各项目上的作答反应过程，去如实揭露项 目上的正确作答反应概率跟被试内部实有水平以及项目测量性能如 难度、区分力、猜测答对可能等等间的关系。概括化理论跟经典真 分数理论一起，同属随机抽样理论范畴，而项目反应理论却紧紧抓 住了内部过程，属量表化模型理论范畴，并因此而在克服上述种种 局限上取得了长足进展，成为了现代测量理论的主要代表与经典 测试理论相比，它有以下优点。1 试题参数估计更准确；2 定义了信 息函数，根据信息函数来选择测试的试题，使得挑选试题更为科学、 合理；3 试题参数的估计独立于被测试样本；4 能力参数的估计也独 立于试题样本；5 可以在得分与题目参数之间建立函数关系，适合 编制自适应考试系统 7 自本世纪七十年代以来，项目反应理论已经成为测验理论的研 究重点其起源则可追溯到三十年代末和四十年代初早在1 9 3 6 年， 理查森首次提出项目反应函数的参数估计方法；劳勒于1 9 4 4 年提出 一系列关于项目反应理论领域中基本的理论问题，推出了几种很有 价值的参数估计方法；格特曼于1 9 4 4 年提出了“无误差模型”( 一种确 定性模型，即理想量表项目) ，是以后项目特征函数( i t e mc h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n ，i c f ) ，或称项目反应函数( i t e m s p o n f u n c t i o n ，础) 的雏 形而项目特征曲线( i t e mc h a r a c t e r i s t i cc u r v e ，i c c ) 这一项目反应理 论中的关键性概念，是由塔克于1 9 4 6 年【1 4 1 首次提出的所谓的项 目特性曲线，就是被试对一个测验项目的正确反应概率与该测验所 对应的能力或特质水平的一种二维曲线图关于项目反应曲线的研 究可进一步上溯到比奈( b i n e t ) 和西蒙( s i m o n ) 【1 3 】他们在比奈西 蒙智力量表的研究设计中已经用到了项目反应曲线这一概念对于 项目反应理论贡献最大的是美国测量专家劳德( l o r dfm ) 他于1 9 5 2 年首次提出了项目反应模型，即双参数正态卵形模型，并提出了与 此相关的参数估计方法1 1 5 1 1 1 6 1 1 7 1 由于该模型的出现，使得项目反 应理论可被用来解决实际的二值记分的测验问题，处理成就测验和 2 山东大学硕士学位论文 能力测验的数据 与真分数理论不同，项目反应理论是建立在强假设基础上的，其 基本假设有四条：一是测验的潜质空间( l a t e n ts p a c e ) 的单维性假设； 二是测验项目的局部独立性假设；三是测验的项目特征曲线假设；四 是测验的非限时性假设除此之外，不同的项目特征睦线模型对相 应的测验还有不同的要求，这就对应了额外的假设 测验的项目按照评分方式可分为二级评分项目( b i n a r yi t e m ) 、多 级评分项目( m u l t i p l ei t e m ) 、连续评分项目( c o n t i n u o u si t e m ) 在实际 应用中，最为成熟的只有二级评分项目的项目分析对多级评分项 目的研究分析，多转换为多个二级评分项目处理连续评分项目模 型通常看作分级数趋于无穷的多级项目进行相应的分析因此，本 文将主要关注作为基础的二级评分项目的分析 相对于近年出现的非参数项目反应模型( n o n p a r a m e t r i ci t e mr e - , s p o n s em o d e l ，n i r t ) ，参数项目反应模型( p a r a m e t r i ci t e mr e s p o n s em o d e l ，p i r t ) 的优点集中在s 1 可以得到意义明确的参数估计：在实际使用中，人们总是更希望 能够使用意义明确且简单直观的参数值来描述项目及测试的性 质； 2 模型选择多：考试分析者可以利用自己的经验来选择合适的模 型，这便充分使用了历史和经验信息，可以期待得到更好的估 计； 3 相对非参数项目反应模型，计算更加简便 由于不同项目特征哇珏线假设就对应着不同的项目反应理论模型， 因此已有的项目反应模型不下二十种，但多已失去实用价值现在 最常用的二级评分项目的项目反应模型是l o g i s t i c 模型而l o g i s t i c 模型又分为单参数模型( 1 p l m ) 、双参数模型( 2 p l m ) 、三参数模型 ( 3 p l m ) 和四参数模型( 4 p l m ) 对三参数l o g i s t i c 模型的研究已比较 成熟，其使用已也逐步推广开来但四参数模型目前主要还是理论 研究阶段目前，对项目反应理论的研究主要集中在模型的稳健性 ( m o d e lr o b u s t n e s s ) 的研究、计算机自适应考试及多维度项目反应模型 3 山东大学硬士学位论文 等问题已有的对模型稳健性的研究主要集中在两个方面：一是研 究已有的常用参数项目反应模型对不同类型测试数据的稳健性；二 是尝试给出更为稳健的模型本文的出发点即后者 1 2 非参数项目反应理论 本世纪统计学最重要的进步之一是直接估计函数的方法的发展 以往的参数方法存在的本质的问题是t 无论已使用多少参数，应用 中人们总是期望得到比此参数族更具弹性的估计非参数回归是指 直接估计独立变量z 和独立变量3 ，之间的函数关系的一大类方法 现在的问题是估计项目特性曲线，答对概率和被试潜在特征水 平之间的函数关系当测验满足前述假设时，使用参数项目反应模 型进行拟合，可以提供项目和被试的大量辅助信息然而，实际总 是不同程度的违反这些假设虽然大多数项目反应模型对于一定程 度上不满足这些假设的测验是稳定的，但估计结果的可靠性不好 已有证明：项目反应曲线并不总能用参数项目反应模型很好的建模 ( r m - a s s y ，1 9 9 1 1 9 ) 于是，在参数型项目反应理论得到了广泛的研究与 应用的同时，近年来关于非参数项目反应理论的研究也同样得到了 广泛的关注之所以出现这种趋势，主要是由于三方面的原因( j u n k e r & s i j t a m a ，2 0 0 1 1 1 s ) ：首先，非参数项目反应理论提供了非常有价值的 补充；其次，非参数项目反应模型为参数项目反应模型适用的局限 性提出更有弹性的框架；其三，因为短测验或小样本数据情况下采 用参数项目反应模型所估计的参数存在很大的误差，而非参数项目 反应模型则可以很好地适用于小样本数据 r m n s a y ( 1 9 9 1 ) 【9 】将核平滑运用于项目反应理论随后也有其他 一些非参平滑方法应用于项目反应理论：局部多项式平滑，h a s t i ea n d l o a d e r ( 1 9 9 3 ) 2 2 1 给出了这种方法优于核平滑的一些陈述；样条平滑， 虽然这仅可算作理论上的尝试，但是这种方法能够同时给出项目特 性曲线的派生物和曲线本身的估计，而前者对于信息函数的非参估 计非常重要 虽然非参数项目反应模型有如上种种的优点，它的致命缺陷是 不能提供意义明确的参数估计来描述项目的性质这使得它的应用 4 山东大学硕士学位论文 具有极大的局限性而本文提出的新方法具有非参数项目反应模型 的稳健性，同时可克服非参数项目反应模型的这一缺点 1 3 半参项目反应模型 本文要处理的是如下问题： 假设有个被试参加了一次测验，测验包含了n 个m l 计分项 目，即答对该项目得1 分，答错得0 分基于教育测量学的基础假设 中的单维性要求，不妨设这些测验项目测量的是被试的某一种能力 或者潜质的水平z 用噩，拖，x 表示这个被试的该能力或潜 质的真实水平显然这个变量是不可观测的，但它确实存在，且在 一定时间内稳定不变测验总分可以从一定程度上反应出被试水平， 记被试j 的测验总分为岛= 垒1u 嵇，u 谚 o ，1 ) 表示被试歹在项目i 上的得分实际观测到的数据只有被试得分，即馆n 矩阵甜= ( t - 巧) 称为项目反应矩阵，它是我们所能得到的全部观测数据 项目设计确定后，对于水平为z 的被试，必然存在答对此项目的 可能性，这种可能性与其能力或潜质水平高低密切相关因此，可设 他答对项目i 的概率为最( z ) 不同能力水平答对某一项目的概率是 由项目自身的性质决定的，也就是说函数关系只( z ) 刻画了该项目的 性质我们关心的问题是，能否估计出该函数关系以研究项目性质， 从而建立起被试得分与其真实能力或潜质水平之间的关系这显然 可归类于统计学中的回归问题但由于真实能力是不可观测的，要 做的实质上是估计只( z ) = 只似i x = z ) 此概率函数关系即称为项目 反应函数( i r f ) ，其曲线称为项目反应曲线( i r c ) 如前面几节提到的，对于项目反应函数的估计问题，已经有很多 不同的参数和非参的解决方法，本文将给出一种新的半参估计方法： 在参数项目反应函数估计的基础上，进行非参的校正最后通过数 据模拟，将新方法和已有的非参和半参方法结果进行数据和图形上 的比较 本文选用三参数l o g i s t i c 模型作为一阶估计，二阶估计中则使用 局部l 2 拟合准则来确定校正因子对于大多数考试项目，参数l o g i s t i c 模型是稳健的，这种情况下，可以直接使用一阶估计中的难度、区 5 山东大学硕士学位论文 分度和猜测度等参数描述项目性质实施过程中可以使用最终的半 参估计来检验一阶估计的拟合性，以决定一阶估计中的项目参数是 否可用在一阶估计的参数不可用时，本文给出了另一种项目参数 估计的考虑直观的项目参数估计是新估计优于非参数项目反应模 型之处 与参数项目反应模型相比，新估计的优势是不言而喻的由于非 参估计修正的加入，新估计更加稳健；对于不符合参数模型函数结 构假设的考试项目，新估计自然有更好的拟合度。 此外，实际应用中，用户可以按照自身需要更换一阶估计的模 型，从而使历史和经验的信息使用更加充分的被利用这让新估计 更具灵活性新估计很容易推广到多选项的选项反应曲线估计及多 级项目反应曲线估计中本文仅给出新估计在多选项项目分析方面 的推广 6 山东大学硕士学位论文 第二章参数项目反应模型( p i r m ) 本世纪五六十年代，哥特曼、拉查斯菲尔德等提出了一些有影响 力的0 - l 计分的二级评分模型：最优量表模型( p e r f e c ts c a l em o d e l ) 、潜 在距离模型( l a t e n td i s t a n c em o d e l ) 、潜在线性模型( l a t e n tl i n e a rm o d e l ) 等这些模型使用阶梯函数或者直线拟合项目反应函数，虽然直观 地在一定程度上可以对潜在能力与得分之间的关系作出解释，但是 有极大的局限性，因此现在已经没有人使用此类模型 正态曲线模型( n o r m a lo g i v em o d e l ) 劳德于1 9 5 2 年提出劳德认为，每一个测验项目i 都对应了 个潜在变量鼽，当一个被试的们值大于某一水平n 时，他对这 个项目就能做出正确的反应，即项目i 的得分t = l ，反之则作出 错误的反应，即项目i 的得分蛳= 0 根据测验的单维性假设以及 因子分析理论，潜在变量y i 所对应的能力或特质是测验所要测 量的那种能力或特质z ，以及项目i 对应的特殊能力的组合 因此，劳德的正态曲线模型建立在如下假设基础上t 1 潜在变量城关于能力参数z 的回归是线性的，即。 e c y d z ) = 蛾= 口z + 玩 2 潜在变量弧关于能力参数茹的回归是同方差即t v a r c y d z ) = v a r ( y l ，z ) 3 佻关于z 的条件概率分布是正态的 在以上假设下建立起来的三参数正态曲线模型为： 嘶) = c i + ( 1 刊仁 也去e 一譬出 其中，0 4 称为项目区分度( i t e md i s c r i m i n a t i o np a r a m e t e r ) ，钆称 为项目难度( i t e md i f f i c u l t yp a r a m e t e r ) ，q 称为项目猜测度( i t e m g u e s s i n gp a r a m e t e r ) 7 8 山东大学硕士学位论文 当假设c - 4 = 0 时，适用无猜测的测验，就是两参数正态曲线 模型： 舴) = 仁卜啪而1 e 一譬出 在实际使用中有时为了分析方便，对一些由区分度比较接近 的项目所构成的测验，常假设所有项目的区分度都是相同的适 用于此类测验的就是所谓的单参数正态曲线模型： 删= 仁k 砺1 e 一譬如 在测验符合参数项目反应理论的基本假设时，正态曲线与 实际测验有很好的匹配性；但正态模型的缺点是参数估计过于 复杂，因为在模型中引入了积分运算 l o g i s t i c 模型( l o g i s t i cm o d e l ) l o g i s t i c 模型是伯恩鲍姆于1 9 5 7 年提出来的，以用作劳德的正 态曲线模型的一种近似因而l o g i s t i c 模型亦有单参数、两参数和 三参数之分近年有人提出四参数l o g i s t i c 模型形式分别为； 1 p l m ： 2 p l m ： 3 p l m ： 4 p l m ： h e l ( z ) = 再葛再面1 郦 p i , 2 p l ( z ) = 再画再瓦1 再= 丽 忍，3 p l ( z ) = c + 再丽孓1 面- - c 函4 珂 p i , 4 p l ( 2 ) 2q + 再画币r 面- - c 砸4 j 丽 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 其中，参数啦、玩和q 的意义同正态曲线模型，d 为常数，通 常取d = 1 7 0 4 4 p l m 中加入参数r 是基于项目的最高达对概率 不应达到1 的考虑 对于正常取值范围内的啦、k 和q 的任何一组值( os 口 3 o ；一3 0sbs3 o ；0sc 0 5 ) ，正态模型和l o g i s t i c 模型之差的绝 山东大学硕士学位论文 对值都小于0 0 1 而l o g i s t i c 模型与正态模型相比有明显的优点： 首先是形式的简洁更具数学模型的特色；其次是模型参数和能力 参数的估计比较方便；第三是l o g i s t i c 模型趋向其渐近线下限的 速度比正态曲线模型慢，因而由于被试疏忽而产生的错误对其能 力估计的影响相对来说也比较小，所以估计的精度更高 l o g i 8 t i c 模型是目前公认的最有效且应用最广的二级评分参数项 目反应模型 参数项目反应模型有两类参数，一类是能力参数，通常记为z ； 另一类是项目参数o ，可能包括项目区分度口、难度b 和猜测度c 参数项目反应模型中参数估计方法大体可分为条件似然估计( 能 力或项目参数已知时) 、联合似然估计、边际似然估计、用e m 算法 实现的边际似然估计、贝叶斯估计以及近似估计等每种估计都有 其独特的背景和方法多种估计方法的出现，从侧面反映了参数项 目反应模型参数估计内容的多样以及探讨过程的艰辛因为某种方 法的出现，往往是为了弥补前一种方法的某种不足 以上能力和项目参数估计的各种方法，建立在不同假设之上，计 算复杂度也不同这决定了它们的应用范围其中，联合似然估计 b - j m l e 由于其历史悠久、计算简单以及似然函数易理解的特点在实 际中应用广泛 本文的新估计中，一阶估计使用三参数l o g i s t i c 模型( 3 p l m ) 的 联合极大似然估计( b - j m l e ) 事实上，可以选取任意的参数模型的 任何一种估计方法作为一阶估计，第五章将着重讨论这方面内容 9 山东大学硕士学位论文 第三章非参数项目反应模型( n i r m ) 项目特征曲线建模最常用的参数函数族三参数l o g i s t i c 模型虽 然只使用了3 个参数，但这个相当简单模型很好的说明了函数的参 数估计方法存在的问题例如，当题目简单时，显然实质上不应有 数据可用来估计猜测度c 于是，如果c 变化较大，区分度a 就会相 应的变化，进行补偿结果是：在描述项目中扮演了重要的角色的 区分度口可能估计的很t c 坏，因此在项目难度很低时，最明智的办 法是设c = 0 ，即使用两参数l o g i s t i c 模型建模甚至对于中等难度的 项目，三参数l o g i s t i c 模型的参数估计的协方差也相当高，因此需要 大量的数据来估计它们t h i s s e n & w a i n e r ( 1 9 8 2 ) 【2 lj 讨论了以上问题以 及三参数l o g i s t i c 的其他问题 参数方法在灵活性等方面的弊端，促使非参数统计方法的发展 成为必然在众多的非参数项目反应函数估计方法中，核平滑方法 可能是最简单的，计算最方便的虽然有其他方法在不同的方面更 出众，但是核平滑这种简单而有效的方法，大量数据计算的需时更 少，并且程序更紧凑( r a m s a y ，2 0 0 0 1 1 0 1 ) 核平滑是局部平均思想的推广。因为，p ( x ) = e ( u i f f i = 茹) 成立，项 目反应函数的一个合理估计可以通过在被试特征水平岔附近的的观 测上，对响应蹦取加权平均得到权重的分配可用散点图确定平 滑方法及平滑参数的选择则可通过考虑估计的偏差和方差的平衡决 定 核平滑( k e r n e ls m o o t h i n g ) 是估计回归函数的一种著名方法它广 泛应用是因为它计算加权序列简单核平滑是局部平均的扩展，局 部平均是非参回归的本质概念项目反应函数的非参数核平滑估计 众m m 有形式( r 3 瞄a y ，1 9 9 1 1 9 1 ) z = 毫黯 其中，j i = l ，2 ，n 为被试；汪l ，2 ，f ；为项目；是0 - 1 二分响 应，代表给定项目正确与否；q 代表被试j 的潜在能力；k ( ) 是非负 对称核函数，当它的自变量远离零时非增；h 是窗宽，由用户来选择 以控制光滑性 1 0 山东大学硕士学位论文 用户选择的平滑参数是如下决定：观察拟合的函数，决定它们 是否足够光滑到可用于解释，但又不能太光滑以致丢失细微的性质 更客观的方法是由数据决定平滑参数选择，可用c r o s s - v a l i d a t i o n 方法 得到关于c r o s s - v a l i d a t i o n 方法，后面章节有更为详细的描述 因此，怠，n m 是加权平均平滑，权重由k ( ) 和h 决定 t l a m s a y 于1 9 9 1 年【9 】提出核平滑方法后，于2 0 0 0 年发布了代码公 开的多选题图形分析的计算机程序t e s t g r a f ( r a m s a y ，2 0 0 0 1 0 ) 对于 二级评分项目分析，其计算步骤如下： 秩：按照某种统计量s ( 通常为被试的考试总分) 将巧排序，估 计第j 个被试的秩巧； 替换：用标准正态分布的分位数代替秩q 这些分位数即将标准 正态密度下方区域划分成l ( 1 v + 1 ) 等份的值，使用这些值作为估 计中经验的潜质水平霹( 歹= 1 ，2 ，) 排序：将被试响应向量按照被试能力水平排序 平滑：对于项目，使用个o - 1 指示变量组成的响应向量，和潜 质能力水平向量( z i ，z 知) ，来估计其答对概率只( ) ： = 核平滑方法中，使得均方误差达最优的平滑参数窗宽为h = n 一1 5 ， 这也是最常用的窗宽取值t e s t g r a f 中使用缺省值h = 1 1 n 一1 5 在第四章将看到新的半参两阶估计对非参校正的估计实质上使 用的是核平滑方法，但实施方法与r a m s e y 的t e s t g r a f 程序不同而且 新估计的窗宽选择，更为合理的使用了c r o s s - v a l i d a t i o n 方法对于实 际考试中大量的性质复杂且独特的项目，根据被试的反应数据来选 择窗宽，会使估计更为合理 町 ：| 触 = p r 中其 山东大学硕士学位论文 第四章半参数项目反应模型( s i r m ) 4 1 模型简述 参数项目反应模型对项目反应函数的结构有事先的假设若测 验项目实际不满足这种结构假设，参数项目反应函数估计的效率会 大大下降非参数项目反应模型无此限制，然而损失了已有的关于模 型结构的信息一如果测验实际满足参数项目反应函数结构假设， 参数项目反应模型的效率毋庸置疑因此，一个有意义的问题是：如 何有效利用这部分信息，并且在参数模型的函数结构假设不成立时， 得到与非参项目反应模型同样i f - 的估计 本文引进这样一种i r f 的半参两阶估计，第一步，假设只( ) 有 3 p l m 参数结构，只( z ) = 只。3 p l ( z ；o i ) ，其中吼为项目参数，包括项目区 分度啦，难度b d 和猜测度c 使用联合极大似然( b - j m l e ) 对项目参数 段进行估计，得到项目反应函数的p i r t 估计t 或，3 p 二0 ；蛾) = 只，3 p 占( z ；氆) 若测验项目满足结构假设，则上述参数i r f 估计有很好的拟合度；但 实际中很多时候，测验项目不满足结构假设为得到更优的估计，第 二步使用非参因子e ) ，迸一步对一阶参数估计进行修正，获得半 参估计：怠, 3 r l ( z ；o t ) - i - g ( z ) 利用局部炉拟合准则来确定6 ( z ) 的估 计t6 ( z ) 最终的半参估计的形式为t 1 2 a 。栅l ( z ) = a ，3 p l ( 霉；e ) + 己( z ) = a 肌( 柏) + 南萎1 ( 沪帅( 硼 + 模型的详细介绍以及计算方法在下一节中说明 4 2 方法及计算 第一步：求项目反应函数的参数的b - j m l e 估计： 对于反应矩阵玖，似然函数为： me n 三似i x ，o ) = p i c x j ) k i ( 1 一只( 吻) ) 1 岣 ( 5 ) ( 6 ) 山东大学硕士学位论文 i , , l ( u l x ，o ) = 融巧z n 只( 吩) + ( 1 - t o ) m ( 1 一只( 巧) ) 1 ( 7 ) i = 1j = l 假设已知o ，若只( ) 有3 p l m 结构，x 的条件极大似然估计( c m l e ) 可求解下述似然方程得到( 歹= l ，2 ，) ： 筹= 。砉嘶嵇咧训端鹄= 。 若只( ) 有2