（概率论与数理统计专业论文）两性分支过程和一类更新风险模型.pdf

摘要 本文主要考虑了两类模型：两性分支过程及其应用( 第一，二章) ，风险模型( 第 三章) 在第一章我们首先介绍了两性分支过程的定义，回顾了近年来关于两性分支过程 的研究成果在这一章中，我们主要研究依赖人口总数( 繁殖速度( 后代分布) ，配对 函数，或者移民) 的两性分支过程m o l i n a 等( 2 0 0 2 a ，b ) 讨论了配对函数依赖于人 口总数的两性分支过程我们讨论的模型( 第一节) ，不但配对函数依赖于人口总数，繁 殖速度也依赖于人口总数，我们得出了过程灭绝的一个充分条件，并且我们给出了一 个例子，说明在临界状态下，过程未必灭绝( 这也是和其他模型的一个重要区别) 在 第三节，我们讨论了带有移民的两性分支模型，在m o l i n 8 ( 2 0 0 2 ) 模型中，各代的移 民是独立同分布的随机变量，而在我们的模型中，移民随现有人口总数的变化而发生 变化。当现有人口总数相对比较大时，移民相对较少，即移民数不是同分布的，对于 此模型，我们得出了上临界，下临界的极限性质在第四节，我们考虑到环境的变化 也可能导致繁殖速度的变化，因此我们讨论了与环境有关的两性分支过程，在此模型 中，我们假设环境过程是个有限状态的马氏链，繁殖速度依赖于当前环境，我们得 到了过程灭绝的一个充要条件 在第二章，我们主要考虑了分支过程与排队论的联系，运用分支过程的技巧和一 些结论，我们可以得到了排队论中第一个忙期的一些结论 在第三章一，二节，我们讨论了带有扰动的e r l g ( 2 ) 风险模型，这一模型到目 前为止，现有文献没有发现好的结果，我们对此模型作了深入研究，不但得到了破产 概率的明确表达式，还得到了罚金函数的表达式在第三节，我们考虑了马氏环境下 的分险模型，得到了罚金函数的l 印l a c e 变换，在第四节，我们考虑了逐段决定的分 险模型，得出了部分结果 关镥阗：b i s e x u 址g a l t o n w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e s s e s ，p o p u l a t i o n s i z e _ d e p e n d e tb r a n c k i n gp r o c e s s e s ，e ( t i n c t i o np r o b a b i l i 觇d i s c r e t es e m i - m a r k o vc 1 1 a i n ，e r l a n g ( 2 ) r i s kp r o c e s s p e r t u r b e db yad i 肌s i o n ，r u i np r o b a b i l i t i e s 学科分类号：p r i m a r y6 0 j 8 0 ，6 2 p 0 6 ，6 0 j 2 5 i i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i 8 ，w es t u d yt w os u b j e c t ，t h eb i s e x u a ib r a n c h i n gp r o c e s s e sa n dr i s k m o d e l s w eb e g i nw i t has h o r tr c v i e wo nt h e eb a c k g r o u n do fb i s e x l l a lb r a n c h i n gp r o c e s s c s a n dr i s kt h e o r yi t h ei n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r0 n e ，w ef o c u s0 ns t u d y i n gt h eb i s e ) u 村p o p u l a t i o m s i z c d e p e n d e n t b r a n c h i i 培p r o c e s s e s ，n o mt h ep o i n to fv l e wo fa p p l i c a t i o n s ，i ti sd e s i r a b l et h a tt h eo 凰p r i n g 1 a w ，m a t i n gf u n c t i o n ，o ri m m i g r a t i o n ( o fa b i s e x u a lb r a n c h i i 培m o d e l ) d e p e n do p o p - l l l a 土i o ns i z e i ns e c t i o nt w o ，w ec o n s i d e rt h eb i 8 e x u a lb r 铷1 c h i n gp r o c e s s e si nw h i c h o 脚打n gi a wa n dm a t i n gf 【王n c t i o nd 印e n do np o p u l a t i o ns i z e ( i nm 0 l i a ne t z ( 2 0 0 2 ) ， o n l yt h em a t i n gf u n c t i o nd 印e d so np o p u l a t i o ns i z e ) ，b yd e 矗n i n gt h em e a ng r 伽吨hr a t e o fm a t i n gu n i t s ，w eg i wac r i t e r i o n 七oi d e n t i 母w h e t h e r0 rn o tt h ep r o c e 8 sa d m i t su l t i - m a t ee x t i n c t i o nw i t hp r o b a b i l i t yo n e i ns e c t i o nt l l r e e ，w ec o 璐i d e rab i s e x u a jb r a n c l l i n g m o d e lw i t hi m m i g r a t i o nd 印e n d e n c e 叩p o p u l a t i o ns i z e ，eg e ts o m el i m i tb e h a i o r 硒ng o e st oi n f i n i t y i np r a c t i c e ，e n v i r o n m e n tc h a n g e 8c a nl e a dt ot h ec h a n g e 8o f r e p r o d u c t i o nl a w ，h e n c ew ec o n s i d e rt h eb i s e x u a lb r a n c h i n gp r o c e s si nad i s c r e t es e m i m a r i 【0 e n v i r o n m e n ti ns e c t i o nf b u r ，i nw h 诎1w ed e s 凹i b et h ee n v i r o n m e n t a lp r o c e 8 s a sd i 8 c r e t em 缸k 0 vc h a i n w e8 j s og e tac r i t e r i o no fe 斌i n c t i o n i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ec o n e c t i o nb e t w e e nt h eb r a n c h i n gp r o c e s sa n d q u e u e i n gs ”t e m u s i n g ( b i s e x u a i ) b r a n c h i n gp r o c e 晒t e c h n i q u e s ，w cg e ts o m er e 8 u l t s a b o u tab u s yp e r i o d i nc h a p t e rt 王l r e e ，w e 丘r s tc o n s i d e rt h ee r l a n g ( 2 ) r i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f - f u s j o n u pt on o w ，o n l yy h e n 硝8 z ( 2 0 0 4 ) c o n s i d e r e dt 如sm o d e l ，a n dt h e yo n l yg e t s o m eb o u n d sf b rt h eu l t i m a t er l l i np r o b a b i l i t y ，i nt h i ss e c t i o n ，w en o to n l yg e te x p l i d t r e p r e s e n t a t i o n sf o rt h er u i np r o b a b i l i t y ( s e c t i o no n e ) ，b u ta l s og e t 恤er e p r e s e n t a t i o n o ft h ep e n 址t yf i l n c t i o n ( s e c t i o t w o ) m o r e o v e r ，w eg e t8 0 m er e s u l t sa b o u tm a r k o v i a n e n 、，i r o n m e n t ( s e c t i o n i 、h r e e ) a n dp d m p ( s e c t i o nf b u r ) m o d e l k e yw o r d s a n dp h r a s e s ： a m s2 0 0 0s u b 扣c tc l a s s i f i c a t i o n s ：p r i m a r y6 2 k 1 5 ；s e c o n d a o y6 2 k 0 5 引言 在论文中，我们将研究两类马尔可夫模型的性质一两性分支模型和风险理论模 型 两性分支模型( 也称为两性g a t o n w a t s o n 分支过程) ，作为两指标分支过程的一 个推广，自d ，j d a l e y1 9 6 8 年( 1 9 6 8 a ) 提出来以后，得到了国内外学者的广泛的关注 它考虑到了自然界中大部分生物繁殖的一个重要事实：生物个体中存在着性别差异， 雄性与雌性，只有当同一代中的雄性与雌性结合在一起，作为一个整体，才能产生下一 代，下面每个整体我们称之为一个配对单位每个配对单位由一雄性与一雌性组成， 如果在某一代中，没有雄性或雌性，即这一代的配对单位为零，我们称这一物种在这 一代灭绝 一个两性分支模型可设想为某一种群繁衍演化模型：设r ， 厶分别代表这物种 第n 代的所有雌性或雄性的个数，我们令l ( ，) 为配对函数，它刻画了这一物种的配 对原则我们令磊为第n 代所有的配对单位，厶j ，m 。，j 分别表示在第n 代配对单位 中第j 个所产生的雌性或雄性的个数这样我们得到了如下数学模型： z n ：= n ， ( r + l ， 厶+ 1 ) ：= ( m m f l ，t ) 况+ l ：= l ( f n + 1 1 厶+ 1 ) ，n = 0 ，1 ， ( n 表示初始有n 个配对单位) 这里，我们一般假设 ( 厶山，t ) ，i = 1 ，2 ，；n = o ，1 ，) 是独立同分布的取 非负整数值的随机变量序列，并根据实际，假定其中的配对函数l ：兄+ 肘一r + 对每个整值自变量是单调非减的取整数值的函数，很容易证明 磊) 罂。是时空齐次马 氏链 我们称两性分支过程 磊 是上可加的，如果配对函数l ( ，) 是上可加的，即满 足 kk l ( ( ，弘) ) l ( ，玑) ，z i ，玑兄+ ，i = 1 ，七 1 = 1= 1 上可加性表示配对单位越多，雄性与雌性配成对的可能性越大，这是比较直观且符合 实际的 对于双性的分支过程，没有特殊说明，我们一般都假设是上可加的，d a l e y ( 1 9 6 8 a ) 考虑了几个特殊的上可加配对函数， ( m 1 ) l ( z ，y ) = m i n ( z ，y ) ，一夫一妻制， ( m 2 ) l ( z ，y ) = m i n ( z ，咖) ，一夫多妻制( 每个丈夫至多d 个妻子) ， ( m 3 ) l ( ，g ) = 。m i n ( 1 ，口) ，完全杂交制 v v i 引言 b r u 品s ( 1 9 8 4 ) 利用上可加函数的性质，首次证明了，对于一般的两性分支过程 况) 墨。，当n 趋于无穷时，磊或完全灭绝或趋于无穷 双性分支过程，一般研究的重点是它的完全灭绝概率及灭绝或趋于无穷的速度 对于完全灭绝概率，d a l e y ( 1 9 6 8 a ) ，h u l l ( 1 9 8 2 ，1 9 8 4 ) ，b r u s s ( 1 9 8 4 ) ，d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 以及a l s m e y e ra n dl 泌s l e r ( 1 9 9 6 ) 都对其进行了深入研究其中b r u s s ( 1 9 8 4 ) 引入配对单位平均增长率( 简称平均增长率) 这一概念，其定义为 r 萨；e 磊+ - i 磊= 纠，= 1 ，2 d a l e ydn f ( 1 9 8 6 b ) 证明了 ”5 恕“2 黜“ 利用平均增长率的极限r ，d a l e ye t 越( 1 9 8 6 ) 给出了两性分支过程的一个很重要 的结果，他证明了 p ( 乙一o i 磊= j ) = 1f o rj = l ，2 ，铮r 1 一般地，当r 1 时，我们分别称两性分支过程分别为下临界的，临界 的，上临界的 为了扩展两性分支过程的研究领域，在上述模型的基础上，人们根据实际情况， 对这一模型进行了补充，补充的重点般放在了三个方面：繁殖速度，配对函数，以 及允许移民 m o l i n adn f ( 2 0 0 2 a ) 考虑到配对函数可能随着各代人口总数的不同而发生变化， 它定义了个新的模型 磊：= ， 、 晶 ( r + h 螈+ - ) ：= ( 厶山m 越 = 1 z n + l ：= l 晶( f n + l ，m h l ) ，札= o ，1 这里对 k ( ，) ) ( = 1 ，) 有如下两种假设 c o n d i t i o n1 1 序列 k ( ，) ) 满足： l + ：+ r + r + 一| r + ；七，z ，可。+ l k ( z ，纠) 是上可加的 c o n d i t i o n1 2 序列 饥( - ，) ) 满足： k 关于是上可加的 在此假设下，给出了完全灭绝的一个充分必要条件 实际上，从应用的角度看，受食物供应或其他因素的影响，不但配对函数受人口总 数影响，而且每一配对单位的繁殖速度还应与人口总数相关，因此在第一章第二节， v i i 我们考虑了一个配对函数与繁殖速度都依赖于人口总数的模型，这一模型定义如下 舀：= ， 矗 ( 矗m 黪) ， i = l l 磊( r + l ，慨+ 1 ) ，n = o ，1 我们假设，人口总数越多，这一代的繁殖能力越弱，即如下假设； c o n d i t i o n1 3 序列 ( ，( “，m ( ) ) 是随机递减的 我们得出了完全灭绝的一个必要条件： 定理1 1 设 z n ) 是与人口总数相依的两性分支过程，在假设( 1 2 ) ，( 13 ) 下，我 们有： ( a ) ：p ( 蜀_ 0 ) = 1 仁亭r 毛+ 6 w 7 ( ) ， ( 3 1 ) = 1 其中，j o 为一常数，w ( t ) 为标准w i e n e r 过程，并且假定它与点过程( ) ，随机 变量列 z ，邑，独立 第三章第一，二节，我们考虑带有干扰项的研f n n g ( 2 ) 风险模型，即( 3 1 ) 式中点 过程( ) 为e r f n n g ( 2 ) 点过程( 索赔时间间隔服从e r f o 竹9 ( 2 ) 分布) 在风险理论中一个重要的问题就是研究”破产概率”，也就是余额过程 u ( t ) ，t o l 在某时刻小于零的概率，即 妒( 牡) = p ( 3 兰o ，u ( t ) oj u ( o ) = ) = p ( t o 。j u ( o ) = 札) ， 其中 丁= i n “t o ：矿( t ) o ) ( 丁= 。，若集合为空) 对于存在干扰项的风险模型，g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 指出导致破产的原因有两个：一是索赔导 致破产，二是干扰项导致破产在第三章第一节，我们给出了带有干扰项的凸怕n 9 ( 2 ) 风险模型中两种破产概率的明确表达式( 定理( 3 3 ) ，推论( 3 5 ) ，( 3 6 ) ) 为了更精确地描述”破产”的严重程度，g e r b c r 和s h i u ( 1 9 9 8 ) 首次引入了罚金 函数的概念，即 垂( “) = e 【e 一6 t u ( u ( 丁一) ，l v ( t ) 1 ) ，( r 。o ) u ( o ) = “ 这里，d 表示折扣因子，( ，( 7 1 一) 表示破产前瞬间余额，f u ( 7 1 ) i 表示破产时赤字， ， 表示示性函数，u ( z ，f ) 是二元非负函数注意到通过选择适当的罚金函数“可以得 到z ( t 一) ，i u ( 丁) l 这三个变量的很多结果 在第三章第二节，我们得到了带有干扰项的e r z n n 9 ( 2 ) 风险模型的罚金函数中( u ) 的明确表达式( 定理( 3 6 ) ) 在第三章第三节，我们对m a r k w i a n 环境下的一类c 风险模型作了较为详细 的讨论，我们讨论了强度过程只有两个状态的马氏链的情形，我们得到了这一模型罚 金函数西( u ) 的l a p l a c e 变换( 定理( 3 9 ) 在第三章第四节，我们讨论了逐段决定的一类风险模型，利用我们建立的积分一 微分方程( 定理( 3 1 0 ) ) ，我们也得到了这一模型罚金函数一个表达式( 这一模型罚金 函数垂( u ) 定理( 3 1 0 ) ) c h a p t e r1 b i s e x u a lb r a i l c h i n gp r o c e s s e e s 1 1i 玎止r o d u c t i o n t h eb i s e x u a lg a t o n _ w a t s o nb r a n d l i n gp r o c c s s ( i - eb i s e x u a lb r a n c h i n gp r o c e s si l l t h i sp a p e r ) w a si n t r o d u c e db yd 鲥e y ( 1 9 6 8 a ) t h i sm o d e la s s u m e st h a tt h es p e c i c su n d e r c o l l s i d e r a t i o nc o i l s i s t so ft w od o i n tc l a s s e s ( s e x e s ) ，m 越e 舡l df e m 出e i k p r o d u c t i o no f i n d i v i d u 柚8i nt h es p e d e sc a nb ea c c o m p l i 8 h e do n l yb ym a t i n gu n i t s am a t i n gu n i t c o s i s t so fo n em a 】ea n do n ef e m a l ef r o mt h es a m e 卿e r a t i o nw h oc o m et o 聃t h e rf o r t h ep u r p o s eo fp r o c r e a t i o n ，a n dt h i sm o d e lh a sb e e nu s e d 埘d e l yi nv a r i o u sp r a c t j c a l a p p l i c a t i o n si nb i o l o g y ( j a g e r 8 ( 1 9 7 5 ) ) ，i np h y s i c sa n dt h e o r yo fc a s c a d e s ( h a r r i s ( 1 9 7 3 ) ) i nc h e m i s t r ya n de l s e w h e r e t h es c e n a n oo fev i t si nt h i 8b r a n c l l i n gp r o c e s sm a yb ed e s c r i b e da sc o n t i n u e d r e p e t i t i o so ft h r e e8 t e p s i ti sa s 8 u m e dt h a 土t h e r e 缸e 磊m a t i 珏gu n i t sf 1 1 n c t i o n i n g i n i t i a l l y ( i e t h ei m m b e ro fm a t 血gl l i t si nt h ei n i t i “g e n e r a t i o n ) ( 1 ) ，( p r o 如c i 帆 d ，o ，s p n n g ) t h 鹤em a t i n gu n i t sp r o d u c eo 魄p m gi n 如 p e n d e n t l yo fo n ea n o t h e r ，a c c o r d i n gt oas p e c m e dp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n m 罐o ( i e t h ep r o b a b i l i t yt h a tam a t i gp m d u c 船七。庇印r i n gi sm ) ( 2 ) ( s d e s i 9 礼凸t i d 扎) a ni n d i v i d u a lo 凰p r i n gg e n e r a t e db yam a t i n gu n i tw i l l b ef e m a j ew i t hp r o b a b i l 主t yo ( 0 口 1 ) a n dm a l ew i t hp r o b a b i l i t y1 一q t h e 8 es e x d e s 逗n a t i o l l sa r em a d ei n d 印e n d e n t l ya m o gt h ev 盯i o u so 船p r i n go fam a t i gu n mi f am a t i n gu n i 七p t o d u c e s 七。懿p r i n 舀t h en u m b e ro ff e m 1 1 e si nt h eb r o o di sb i n o m l a l l y d i s t r i b u t e dw i t hp a r a m e t e r s 南a n d 口( a n 出t e r n a t i v ea p p r o a c ht os t e p so n ea n dt w o i st ou s ea no f f s p r i n gp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o no ft h ef o r m 功k ) j ，女= o ，1 ，w h e r eji st h e n u m b e ro ff e m a i e sa n d 七i 8t h e 如m b e ro fm 蝴e sg e n e r a t e db yam a t i n gu n i t t h e i n d e p e n d e n c eo fs e x 泖ea m o n gt h eo 艉p r i n go fam a t i n gu n i tc a nb ea s s u m e dh e r e p o i s s o nd i s t r i b u t i o n sa r ea p p r o p r i a t ew h e u s i n gt h i sa p p r o a c h ) ( 3 ) ( f o r m n t i 。竹o ，m n i 讥9“耐s )l e t 几d e n o t et h en u m b c ro ff e m a i e 8 p r o d u c e db yt h ei t ho f i n i t i a l 毛m a t i n gu n i t sa n dm l ；t h en u m b e ro fm 甜e sg e n e r a t e d b yt h a tm a t i n gu n i tt h ei 】e x t ( 矗r s t ) g e n e r a t i o nw i l lt h c nh a v ez l = l ( f l ，尬) m a t i n g l l n i t s ，w h e r eli st h em a t i n gf u n c t i o no ft h ep r o c e s s ，a n d 面 =吖 = r 2 1b i s e x u a lb r a n c h i i l gp r o c e s s e e s t h ef u n c t i o nls p e c 倚e st h en u m b e ro fm a t i n gu n i t sa l l o t e dt og c n c r a t i o no ft h e g i v e ns p e c i e sb a s e do nt h e u m b e ro fm a l c sa n df e m a l e si 1 1t h a tg e n e r a t i o n 1 1 1g e n e r “， 玩= l ( r ， ) ，w h e r e 玩d e n o t e st h e 叫m b e ro fm a t i n gu n i t s 】rt h en l l 1 b e ro f f e m a l e s ，a n d 乱t h en u m b e ro fm a l e si nt h e 扎t hg e n e r a t i o n d a l e y ( 1 9 6 8 a ) p l a c e d t h r e ec o n d i t i o n so n 七h em a t i n gf u n c t i o n ： ( i ) li sn o n n e g a t i v ea n di n t e g e r - v a l u e d ； ( i i ) li sn o n d e c r e a s i n gi nza n di n 可( i ci c r e a 8 i i 培t h en u m b e ro fm “e so rt h e n u m b e ro ff e m a l e si nag i v e ng e n e r a t i o nw i l ln o td e c r e a s et h en u m b e ro fm a t i n gu i l i t s i nt h a tg e n e r a t i o n ) ；a n d ( i i i ) l ( 。，o ) = l ( o ，可) = 0f o ra n o n n e g a t i v ei n t e g e r s 。a n d 可( ag e n e r a t i o n w i t h o u tm a l e so rw i t h o u tf e m a l e si sn o ta b kt of o r mm a t i n gu n i t s ) ，ea s s u m et h a tt h i st h r e e - s t e ps e q u e n c e ( p r o d u c t i o no fo f f j p r i n g ，s e xd e s i g n a t i o n ， a n df o r m a t i o o fm a t i n gu n i t s ) h a st h ep o t e n t i a lt oc o n t i n u ei n d 萌i l i t e l y t h ef o u r p a r a m e t e r so f t h ep r o c e s 8a r e ( p k ) 2 岛，l ，na n d 玩 d a l e y ( 1 9 6 8 a ) c o n 8 i d e r e d8 e v e r a l8 p e c m cm a t i n gf u n c t i o n 8 ： ( m 1 ) l ，可) = m 饥扣，掣) f o ra l lz ，掣o ，k n a w na sm a t i n gw i t h 丘d c l i t y i ( m 2 ) l ( $ ，管) = o m 饥( 1 ，可) f o ra uz ，可0 ，k n o w na sp r o m i s c u o u sm a t i i 堰，a n d ( m 3 ) l ( z ，可) = m 饥( z ，d ) ( di s ap o s i t i v ei n t e g e r ) f o ra l lz ，掣0 ，k n a w na s p o l y g a m o u 8m a t i n gw i t hp e r f e c t 矗d e l i t y ( am a l ec a nh a eu pt odw i 哪) i nm a n y s p e d e s ( h l 皿a n sa n dd u c l 【8f o re x 锄p l e ) d = 1i 8ar e a s o n a b l ea p p r o x i m a t i o n ，w h i l ei n o t h e r s ( 1 i o n sa n ds h e e pf o r 娃a m p l e ) dm a yb eq l l i t el a r g e h u ( 1 9 8 2 ) m a d et h e 矗r s ta t t e m p tt oe m p l o ym a t i n gf u n “i o n si nab i s e x u a lp r o c e s 8 o t h e rt h a nd a l e y st h r e ef 皿c t i o n 8 h p a r t i c l i l a r ，t h i sp a p e rs e t sf o r t ht h ep r e m i 8 e t h 8 t t h er e l e 啪tm a t i n gf u n c t i o n s 缸es u p e r a d d i t i v e am a t i n gf i l n c t i o nl ( z ，可) i s 8 u d e r a d d i t i v ei nt h es e n s eo f nnn l ( 戤，玑) 兰l ( 。：，玑) i = lt = 1t = l ( 1 1 ) f o ra l l 她，玑0 = 1 ，2 ，- ) i n 0 ，o o ) a l l8 u p e r a d d i t i v em a t i n gf u n c t i o ss a t i s f yd a l e y 8 r e q u i r e m e n to fm o n o t o n i c i t yi nb o t ha r g u m e n t s ( f o re x 眦p l e ，t h em a t i n gf u n c t i o n s a b o v e ( m 1 ) ，( m 2 ) ，( m 3 ) a r ec l e a r l ys u p p e r a d d i t i v e ) h e c e ，t h i s i sa s t r o n g e rc o i l d i t i o n f o rm a t i n gf t l n c t i o n s i nt h ef o u o w i n g ，w es a yt h ep r o c e s si ss u p e r a d d i t i v ei fi t sm a t i n gf h n c t i o ni ss u p e r a d d i t i v e ，a n dw i t h o u ts p e c i f i c a t i o n ，w ea s s u m et h a 七a l lt h e b i s e x u a lb r a n c h i n gp r o c e s s e sw ec o n s i d e r e da r es u p e r a d d i t e h e n c e ，t h eb i s e x u a lb r a n c h i n g ( r ， 矗) ，礼一1 ，2 ，) c a nb ed e 矗n e di nt h e j jn j r o d u c c j 叫， f 0 1 l o w i n gf o r m 玩：= ( r 十l ，脱h 1 ) ：= 3 w h e r e i sap o s i t i v ej n t e g e ra n dt h ee m p t ys u mi sr e g a r d e da s ( o ，0 ) i ti se a s yt 。s c et h a t j k ) i sam 盯k o vc h a j nw i t hs t a t i o n a r yt r a n s i t i o np r o b a - b i b t i e s t h en o n n e g a t i v ei n t e g e r sf o r mt h es t a t es p a c e s t a t e0i 8a b s o r b i n ga n d8 l i o t h e rs t a t e s 盯et r a i i s i e n t e l e m e n t si nt h em a t r i xo ft r a n s i t i o np r o b a b i i i t i e sm a yb e c a l c u l a 七e da sf b l l o w s ： jj p ( 磊= 女i 磊一= j ) = p 【l ( 厶，) = 纠 t = l= 1 w h e r e 厶ti 8t h em l m b e r0 ff e m 缸e sa n dm n it h en u m b e ro fm 蚰e sp r o d u c c db yt h ei t h m a t i g 衄i ti nt h e 一1 ) t hg e n e r a t i o n ， = 1 ，2 ，j e 】( t m c t i o no c c u r si nt h es t a n d a r dp r o c e s so l yw h e nn oo 珏j p r i n ga 托p r o d u c e d t h i sa l s oc a u s e 8e x t i n c t i o ni nt h eb i s 【u a lp r o c e s s b u tt h eb i s e x u a lp r o c e s sh a s a n o t h e r c a u s eo f e 吼i n c t i o nn 锄e i y w h e i lag e n e r a t i o nh a sa um a l e s 0 ra l lf e m a i e s ( o rn o te n o u 曲 m a l e so rn o te n o u g hf e 【1 1 村e s ，d e p e d i n go nt h ei d i o s y n c r a s i e so ft h ep 8 r t j c u l a rm a t i n g f u n c t i o n l t h ee 【t i n c t i o np r o b l e mo f b i s e x u a lb r a n c h i l l gp r o c e s s e sh a sb e e ns t u d i e db yd a - l e y ( 1 9 6 8 a ) ，h u i l ( 1 9 8 2 ，1 9 8 4 ) ，b r u s s ( 1 9 8 4 ) ，d a l e ye “( 1 9 8 6 ) ，a l s m e ”ra n dr 挑l e r ( 1 9 9 6 ) b r u s s ( 1 9 8 4 ) i n t r o d u o e dt h ec o n c e p to fm e a ng r a w t hr a t ep e rm a t i gu n i t ，n a m d y n ：= 惫- 1 e 磊+ 1 f 磊= 翻，女= 1 ，2 ， a n de 8 t 如h s h