（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性.pdf

三类生态模型解的渐近性 王东保 摘要本文通过构造一致持久生存域，利用l i a p u n o v 泛函、代数理论、特征 方程等方法研究了三类生态模型解的渐近性，其中包括一致持久生存性、全局吸 引性、稳定性和h o p f - 分支等解的性态。 在生态学研究中，对于生命周期短、世代不重叠或者虽然生命周期长、世代 重叠，但在数量上较少的种群，研究离散模型比连续模型更具有实际意义。本文 首先研究了一类具有时滞的离散非自治捕食链模型。通过构造持久生存域得到了 模型一致持久生存的充分条件和必要条件，当系统是自治系统时，给出了模型一 致持久生存的充要条件。得出的定理结论说明了时滞对该模型的一致持久生存性 没有影响。 在现实的野生动物保护过程中人们通常采用扩散的方法让濒危种群迁移改变 其生存环境来保护野生动物，近年来许多学者研究了生物种群在不同斑块中扩散 的生态模型，但是对于扩散具有时滞效应的模型很少研究。本文其次研究了一类 扩散项具有时滞的两斑块环境的捕食与被捕食模型。首先利用微分不等式讨论了 模型的一致持久生存性，得到了模型一致持久生存的充分条件，当系统的系数是 正u 周期函数、时滞是u 的非负整数倍时，利用b r o u w e r 不动点原理得到了系统 存在一个正u 周期解，利用构造v 函数的方法以及b a r b a l a t 引理得到了系统的正 周期解全局吸引的充分条件。 在自然界中，许多种群个体在一生中都要经历两个阶段，即幼年和成年两个 阶段。而且种群在不同的生理阶段其生理特征有着明显的差异，如幼年种群没有 生育能力，捕食能力较弱，而成年种群不仅有生育能力，而且生存能力较强。随 着对传染病研究的深入，数学模型日益成为分析和控制传染病的重要工具。传染 病模型日益受到科学家们的重视，近年来许多学者研究了传染病模型，但这些模 型总是假定各个年龄阶段的种群个体对某种传染病具有相同的传染率。然而对于 某些传染病事实并非如此，如麻疹、天花等传染病多发于幼年阶段，而伤寒、副 伤寒等传染病多在成年人之间流行。因此，考虑具有不同传染率的阶段结构的传 染病模型更具有实际意义。本文最后研究了一类成年种群具有疾病而幼年种群不 具有疾病的s i 传染病模型。在模型中假定种群具有两个阶段，即幼年阶段和成 年阶段，且幼年种群转化为成年种群的数量与幼年种群的数量成正比其比率为常 数，幼年种群的死亡率为常数且成年种群具有密度制约，幼年种群不感染疾病仅 成年种群感染疾病，疾病具有一个潜伏期r 。本文利用代数理论及特征方程讨论 了模型非负平衡态的局部稳定性，得到了系统正平衡态绝对稳定的充分条件。当 把时滞作为分支参数时，给出了系统出现分支的条件及分支值，利用l i a p u n o v 函 数及比较原理得出了疾病消除的阈值 关键词：全局吸引一致持久生存h o p f 分支稳定性 a s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h r e ee c o l o g i c a ls y s t e m s d o n g b a ow a n g a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h r e ee c o l o g i c a l s y s t e m sb ye s t a b l i s h i n gr e g i o no fp e r m a n e n c e ，u s i n gl i a p u n o vf u n c t i o n ，a l g e b r a i ct h e o r y a n dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n i nt h es t u d yo fe c o l o g y , d i s c r e t em o d e li sm o r es i g n i f i c a n ti np r a c t i c et h a nd i f f e r e n t i a l m o d e la sf o rt h e s es p e c i e sw h i c ha r es h o r ti nl i f ea n dn o n - o v e r l a p p i n gi ng e n e r a t i o n so r l o n gi nl i f ea n do v e r l a p p i n gi ng e n e r a t i o n sb u tf e w e ri nq u a n t i t y i nt h i sp a p e r ，f i r s t ，w e c o n s i d e rad i s c r e t en o n a u t o n m o n sf o o d - c h a i ns y s t e mw i t hd e l a y s t h es u f f i e e n tc o n d i t i o n a n d n e c e s s a r yc o n d i t i o na x eo b t a i n e db ym e a n s o fc o n s t r u c t i n gt h er e g i o no fp e r m a n e n c e a n dn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rp e r m a n e n c ei so b t a i n e dw h e nt h es y s t e mi s a u t o n o m o u s a sar e s u l tt h em a t h e m a t i cm e t h o d si nt h i sp a p e rc a nb eu s e dt or e s e a r c h f o o d c h a i ns y s t e m sw i t hm u l t i s p e c i e s o n eo ft h em o s ti m p o r t a n t q u e s t i o n si np o p u l a t i o ne c o l o g yi st of i n dt h ep e r m a n e n c e c o n d i t i o n sf o rt h es p e c i e s d i s p e r s ei su s e dm a k i n gt h ee x t i n c ts p e c i e sm i g r a t es ot h a t t h e ya r es a v e df o rp r o t e c t i n gs p e c i e s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ye c o l o g i c a ls y s t e m sh a v eb e e n i n v e s t i g a t e db ye c o l o g i c a ls c i e n t i s t s b u tw e f i n df e ws t u d i e so i lt h es y s t e m sw i t hd e l a y e d e f f e c ti nd i s p e r s e i nt h i sp a p e r ，s e c o n d ，w ec o n s i d e ran o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r - p r e y s y s t e mw i t hd i s p e r s a ld e l a y si nt w oh a b i t a t s t h ep e r s i s t e n c eo fs y s t e ma n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o no f p e r s i s t e n c ei so b t a i n e db ym e a n s o fu s i n gt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya n dw h e n t h ee o e f f i c e n t so fs y s t e ma r ep o s i t i v ep e r i o d i cf u n c t i o n sw i t hc o m m o np e r i o d i cua n d d e l a y sa r ei n t e g r o - m u l t i p l eo f u t h ew - p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o no fs o l u t i o n sa r ee x i s tb y m e a n so fu s i n go fb r o u w e r sf i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni so b t a i n e df o r t h eg l o b a la t t r a c t i c i t yo fu p e r i o d i cp o s i t i v es o l u t i o no fs y s t e mb ym e a n so f c o n s t r u c t i n g s u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n i n d i v i d u a l 8g r o w t ho fm a n y s p e c i e sh a v et w os t a g et h a ta x ej u v e n i l es t a g ea n da d u l t s t a g e i ne a c hs t a g eo fi t sd e v e l o p m e n t ，i ta l w a y ss h o w sd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c f o ri n - s t a n c e ，t h ei m m a t u r es p e c i e sc a n n o th a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t ya n dp r e d a t i v ea b i l i t yw h i l e t h em a t u r e s p e c i e sn o to n l yh a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t yb u ta l s oh a v em o r ep o w e r f u ls u r v i v a l c a p a c i t y t h e r e f o r es t u d i n go fs t a g e - s t r u c t u r e ds y s t e m sh a v em u c hp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e m a t h e m a t i cm o d e l sh a v eb e e nu s e dt o a n a l y s i sa n dc o n t r o le p i d e m i cm o d e l sw i t ht h e i i i m r t h e ri n v e s t i g a t i n ge p i d e m i c e p i d e m i cm o d e l sh a v eb e e ns t u d i e db ym a n ys c i e n t i s t b u tt h e ya l w a y sp r o p o s et h a tt h ei n d i v i d u a l sh a v es a m ei n f e c t i o nc o n v e r s i n gi nd i f f e r e n t s t a g e h o w e v e rt h i si sn o tt h et h i n gf o rs o m e d i s e a s et r a n s m i s s i o n f o ri n s t a n c e ，s o m ee p i d e m i c ( m e a s l e s ，s m a l l p o x ) a l w a y st r a n s m i t ei nj u v e n i l es t a g ew h i l es o m ee p i d e m i c ( t y p h o i d f e v e r ，p a r a t y p h o i df e v e r ) a r et r a n s m i t ei na d u l ts t a g e t h e r e f o r e ，i th a si n u c hp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c et o w a r d si n v e s t g a t i n ge p i d e m i cm o d e l sw i t hs t a g e - s t r u c t u r e d i nt h i sp a p e r ， f i n a l ，w ei n v e s t i g a t eas ie p i d e m i cm o d e lw i t hs t a g e s t r u c t u r e d w ep r o p o s et h a ti n d i - v i d u a lo fs p e c i e sh a st w o s t a g et h a ta r ei m m a t u r ea n dm a t u r es t a g ea n dt h em a t u r er a t e o fi m m a t u r e s p e c i e si sp r o p o r t i o n m t oe x i s t i n gi m m a t u r es p e c i ed e n s i t yi np r o p o r t i o nt o t h ec o n s t a n tda n dt h ed e a t hr a t eo fi m m a t u r es p e c i e si sp r o p o r t i o n a lt oe x i s t i n gi m m a - t u r es p e c i ed e n s i t y , t h en u m b e ro fm a t u r e s p e c i ed e p e n t so nt h ed e n s i t yo fe x i t i n gm a t u r e s p e c i ea n dw ea s s u m et h a ti m m a t u r es p e c i e sd o s n ti n f e c td i s e a s eb u to n l ym a t u r es p e c i e s i n f e c td i s e a s ea n dd i s e a s eh a st h el a t e n tp e r i o dr i nt h i sp a p e rw e i n v e s t i g a t e dt h el o c a l s t a b i l i t yo fn o n - n e g a t i v ee q u i l i b r i aa n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l y s t a b l ei so b t a i e db ym e a n so fu s i n ga l g e b r at h e o r ya n dc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s w es h o w t h a tp o s i t i v ee q u i l i b r i u mw i l ll o s so f s t a b i l l i t yw i t ht h ed e l a yi n c r e a s e da n d ah o p fb i f f u r - c a t i o nw i l lo c c u ra n dt h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo fd i s e a s e - f r e ee q u i l i b r u mi ss u r v e y e da n d t h e t h r e s h o l do fd i s e a s ed i s p p e a r i n gi so b t a i n e db ym e a n so f u s i n gl i a p u n o vf u n c t i o n k e y w o r d s ： g l o b a la t t r a c t i v i t yp e r m a n e n c eb i f u r c a t i o n s t a b l e i v 第一章引言 生态数学是利用数学模型描述生物的生存与环境的关系，并利用数学的方法 来研究生态现象使其得到解释和控制生态数学对人类揭示生态规律提供了依 据，可以有效管理资源和环境，且在人口估计与控制管理、害虫预报与防治、传 染病与流行病对人类及生物种群的危害与防治方面得到了广泛的应用 近年来，许多学者研究了多种群离散模型的一致持久生存性( 见【1 - 6 ) ，但对 具有时滞离散模型的研究较少文献【5 - 6 1 讨论了两种群的离散模型的一致持久生 存性受文献【5 - 6 】的启发，本文第二章研究了一类离散的三种群非自治捕食链模 型 z f n + y ( n + ) = x ( n ) e x p r l ( n ) 一n l ( n ) 。( n 一1 ) 一n 2 ( n ) ( n b 2 ) 】， ) = y ( n ) e x p 【一r 2 ( 扎) + 6 1 ( n ) ( n h i ) 一6 2 ( 礼) 掣( 礼一h 2 ) 一b ( n ) z ( n 一 3 ) 】， ) = z ( n ) e x p 一r a ( n ) + c 1 ( n ) ”( n e 1 ) 一c 2 ( n ) 2 ( n e 2 ) 】 的一致持久生存性本文通过构造一致持久生存域得到了该模型一致持久生存的 充分条件和必要条件 捕食系统是非常重要的种群系统，许多生态学家对其进行了深入细致的研究 ( 见【7 - 1 3 ) ，得到了很好的结果扩散的方法是野生动物保护中挽救濒危种群的重 要方法之一近年来，大量学者致力于扩散模型的研究( 见 1 4 - 1 9 ) ，但扩散项具有 时滞的模型在文献中很少见到 g o p a l s a m y 在文【9 】中提出了扩散项具有时滞的 模型，文 1 7 研究了一类自治的扩散项具有时滞的模型，但在模型中没有密度制 约项本文中我们假设被捕食种群在两个不同的斑块中扩散，捕食种群仅在其中 一个斑块上生存，捕食种群具有二类功能性反应，扩散具有时滞效应( 见 9 , 1 7 ) ， 并且模型的系数均为时间的函数由以上假设可建立如下扩散项具有时滞的捕食 与被捕食模型 f 州( 亡) = d 1 ( 州2 ( t q ) 一l ( 圳+ l ( ) n 1 ( ) 一6 l ( t ) 1 ( t ) 一亡糕】， 州( ) = d 2 ( t ) l ( t n ) 一2 ( t ) + 2 ( t ) 【0 2 ( t ) 一6 2 ( t ) 2 ( 吼 【三( t ) = 3 ( 亡) 一n 3 ( t ) 一厶3 ( t ) 3 ( 砷+ 矗翌篇黼】， 其中m ( t ) 是第i 个种群在t 时刻的密度( i = 1 ，2 ，3 ) ，d t ( t ) 是扩散系数( i ：1 ，2 ) 本文 第三章研究了上述模型的一致持久生存性以及当模型的系数是u 正周期函数、时 滞是u 的非负整数倍时，模型正周期解的全局吸引性问题 自然界中许多种群个体在一生中要经历二个阶段即幼年和成年具有阶段结 构的的模型已被许多学者研究( 见 2 4 3 0 1 ) 为了简单起见，本文假定种群。具有 两个阶段，即幼年和成年，幼年种群转化为成年种群的数量与幼年种群的数量成 正比其比率为常数d ( a o ) ( 见f 25 ) ，有如下模型： fz j ( ) = 芦z 2 ( t ) 一d x l ( t ) 一r i x l ( t ) 【z ；( ) = d 。c t ( t ) 一r 2 z ；( t ) 其中。，( ) ，。( ) 表示幼年种群和成年种群在t 时刻的种群密度，声是幼年种群的 出生率，幼年种群的死亡率与幼年种群的数量成正比其比率为r 1 以上模型已得 到详细的研究在上述模型的基础上，如果假设成年种群感染疾病而幼年种群不 感染此病且疾病具有潜伏期r ( 见1 37 ) ，本文给出如下模型： fz i ( t ) = 卢z 2 ( t ) 一d x l 0 ) 一r l z l o ) ， z ；0 ) = d x l ( t ) 一r 2 x 2 ( t ) 一z 2 ( ) ( t ) ， 【y l ( t ) = l k x 2 ( t r ) v 0 一r ) 一叻o ) 其中盘l ( 印，x 2 ( t ) ，y ( t ) 分别表示幼年种群，成年种群中易染病者和染病者的种群密 度_ 8 为幼年种群的出生率，d 为幼年种群的成熟率，n 为幼年种群的死亡率。 女为传染病的传染率，z 为疾病的转化率，b 为染病种群的死亡率本文利用代 数理论及特征方程讨论了模型非负平衡态的局部稳定性，得到了系统正平衡态绝 对稳定的充分条件当把时滞作为分支参数，给出了系统出现分支的条件及分支 值，利用l i a p u n o v 函数及比较原理得出了疾病消除的阚值 2 第二章具有时滞的非自治捕食链 离散模型的一致持久生存性 21 模型与假设 本章讨论如下具有时滞的非自治捕食链模型 fx ( n + 1 ) = ：f ( n ) e x p r l ( n ) 一a 1 ( n ) 茁( 扎一膏1 ) 一0 2 ( 礼) ( 礼一七2 ) ， i ”( 扎+ 1 ) = y ( n ) e x p 一1 1 2 ( n ) + b l ( n ) x ( n h i ) 一6 2 ( n ) 可( n h 2 ) l一6 3 ( n ) z ( 札一九3 ) ， 【：( n + 1 ) = z ( 礼) e x p 【一r 3 ( n ) + c 1 ( 礼) 暂( 仉一e 1 ) 一0 2 ( n ) z ( n e 2 ) 1 的一致持久生存性模型( 2 1 1 ) 的初始条件为 r ( 一d ) 0 ，d = 0 ，l ，2 ，“，x ( o ) 0 ， ( 一d ) 0 ，d = o ，l ，2 ，n ，g ( o ) 0 ， 【z ( d ) 0 ，d = 0 ，1 ，2 ，一，o ，z ( o ) 0 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 1 其中a = m a x k 1 ，k 2 ，h i ，h 2 ，h 3 ，e l ，e 2 ) 设，( t 。) 是一个正值有界函数列，其中n z + = 全体非负整数) 本文设 ，。= i n f ( f ( n ) l n z + )，m = s u p f ( n ) l n z + 在系统( 2 ，1 1 1 中，我们假设，。( n ) ，6 ( n ) ，o l ( n ) ，2 ( n ) ，c 1 ( ) ，c 2 ( ) z + ，i = 1 ，2 ，3 ) 均为正值有界函数列，k 1 ，k 2 ，h 1 ，h 2 ，h 3 ，e 1 ，e 2 均为非负整数，且 i n & x t 1 m ，r 严，r r ，o r ，o r ，6 r ，6 笋，睹，e r ，e r ) 0 定义2 1 1 系统( 2 1 1 ) 一致持久生存指的是在瓣晕= ( z ，y ，z ，) f g 0 ，y 0 ，2 ( 】 中存在一个紧区域d ，使得系统( 21 1 ) 满足初始条件( 2 1 2 ) 的解最终进入区 域d 并保持在区域d 中 2 2 一致持久生存性 引理2 2 1 系统( 2 1 1 ) 满足初始条件( 2 1 2 ) 的解( 。( ) ，9 ( n ) ，z o o ) 是正的并 且最终有界，即存在n z + ，当n2n 时，有 3 成立 g ( n ) b 2 口t 寿r m “p 【r r ( h + 1 ) 】， b 2 警e x p 6 m b l m + 1 ) ( 2 2 跏警唧舳( e 2 圳 证明 显然，任意的n z + ，有x ( n ) 0 ，( n ) 0 ，z ( n ) 0 下证z ( n ) ，( n ) ，z ( n ) 最终有界由( 2 1 1 ) 式知存在充分小的e 0 使得 成立由( 2 11 ) 式，得 z ( n + 1 ) 茁( n ) e x p r l ( n ) 一。1 ( 礼) 石( n k 1 ) 。( n ) 。p p r 一。 z ( n 一南1 ) ( 2 2 3 ) 首先证存在1 。( 1 z + ) j 有z ( 1 ) 兰丛成立否则，若对任意的 n z + ，有。( 。) r y r + 一e 成立，则 因此。l i r a + 。z ( n ) = 。，这与z ( n ) 丛矛盾，因此存在1 成立 其次证对任意的n n 1 ，有z ( n ) b l 成立 若当n 1 l + h 时，不妨设存在n a z + ( n 3 2n t + 1 ) ，有x ( n 3 + 1 ) 口1 且 当n l ? l 3 时，x ( n ) b 1 又由于 ， 蔓二三e 。p ( r r l 十1 ) 1 r l m _ + e 故 z ( 3 + 1 ) s 。( )- a l n 3e x p 群z ( n a k 1 ) z ( 3 + 1 ) s 。( )z ( 一 j 0 ， ( 22 4 ) 则系统( 211 ) 是一致持久生存的 证明设“( r 。) = ( ( n ) ，”( n ) ，z ( n ) ) 是系统( 2 1 1 ) 满足初始条件( 2 1 2 ) 的任一 解令 k ( n ) = ( 。( n ) ) 。 ( ( n ) ) 一。笋e x p 一磅n r 扛( d ) ) 一。护b f z ( d ) d n t ld = n h i n ln 一1n 一1 一砖n 护g ( d ) + o r 砖( d ) + o 笋砖z ( d ) ) ， 5 ( 。) ：( 。( n ) ) 6 褂( ( r 。) ) 。r c ( 。( n ) ) 一。r 6 r e x p ( 一“- l lc 2 l m ( z ( d ) ) d = n - k l n 一1 n 一1 n 一1 + n r c 6 。( d ) “ 砖a 笋目( d ) 一。m c 2 l 屹m 目( d ) 吐= 卜一h d = n - 2d = n - h 2 n 一1 n 一1 n l n r c b r 。( d ) 一n r b 护c r f ( d ) + 。r 蟛c z ( d ) ) n 一1 ( n ) ：( z ( n ) ) 6 c ( ( r z ) ) 。r c ( 。( n ) ) ( 6 。妒+ 。r 6 r ) e x p 一6 c 。r ( 。( d ) ) d = n - k 1 n ln 一1 + “；l | c 6 。( d ) 一6 l l q l “2 m ”( d ) d = n - h id ：n - k 2 ( 砖。笋+ o y 6 r ) c r z ( d ) ) r n l = e x p 一砖n r h b l 一o r 6 r 7 a l b l 一暗。r 2 8 2 ， m 2 = e x p 【一b n r c l b l 6 d r 孝乜b 2 一o r 孝6 笋7 1 2 口2 一n r c 蟛b b 3 一n r c r 6 护e l b 2 】， r n 3 = e x p 6 n r c 1 8 1 一砰。罗c 2 8 2 一o r c 6 笋 2 口2 一。r 砖6 r ，| 3 8 3 一( 砖n r + a r b r ) c r e 2 8 3 】， m 1 = e x p a m b l h 2 8 2 + n 护6 3 鼠】， m 2 = e x p 0 r 砰孝 1 8 1 + 口r 6 r 砖e 2 玩 ， 坞= e x p a f f b f c f h l b l + ( 6 r 十o m lu 2 m x ，c l le 1 8 2 当，t n 时，有 r n l ( z ( n ) ) 岵( 可( n ) ) 一n r k ( n ) m 1 ( z ( 礼) ) 皓( 可( n ) ) 一n 耋f ， ，。2 ( z ( n ) ) 6 c ( ( n ) ) “y c ( z ( n ) ) 一。r6 r 墨( n ) ( z ( n ) ) 6 c ( ( n ) ) 。r c 0 ( n ) ) 一8 r 6 r ， ，n 3 ( z ( n ) ) 6 c ( ( n ) ) n r c ( z ( n ) ) ( 6 n r + 。r 6 r ) b ( n ) 脶( z ( n ) ) 咔c ( ( n ) ) n f c ( z ( n ) ) ( 6 。r + 。，m u m ( 2 2 5 】 6 d y 一 够rul k 砰 d 巩 “一 砖够砰 + o n 砖 + dz h 一 睁砖砰 由( 2 1 1 ) 式得 堕；鲁嘉e x p 【r b + 砖。r 一( 磅a r + 6 r a 扩) z ( n ) ， 笔铲 e x p 州c 一r 尹n r 孝+ r n r 6 r 一( a 笋砰c + 。r 6 护砖+ 。r 蟛c r ) 口( n ) ， ! ! ；i i ；f 堕e x p r 6 c 一r 笋n r c 一r 护( 6 n r + n r 6 r ) 一 。m u 3 m c l l + ( 6 n 护+ n r 蟛) c r z ( n ) ) 由( 2 24 ) 式知存在充分小的e 0 有 r b 十砖。笋一e 0 ， r 1 l l 1c 2 l r r o m lc 2 l + r j l m 1u 3 m e 0 ， r 1 l u l lc l l 7 ，2 m c l l “m 1一r 3 ml q l “2 m + a r 蟛) 一e 0 当 。 咖，s 鼍ll 掰lm 娟 时，有 ( 扎+ 1 ) 1 呕( 扎) e x p f ( 咒) 当 。 咖) 譬ll 莉l 意m 弼ml 石_ _ r 鬻l a m b m = 凰 时，有 u ( n + 1 ) k ( n ) e x pe ( n ) 当 。 “l ( n 4ez + ) 和“5 t t 4 ( n 5ez + ) 有 ( ? 均) 2h 2 ，g ( ”5 ) f 如 i i ) 设u ( n ) = ( 。( n ) ，( n ) ，z ( n ) ) 是系统( 2 1 1 ) 满足初始条件( 2 1 2 ) 的解下证 对任意的n ， 1 ，有 ) 岵b ( n ) 一8 r 熹( a 日t ) 世( b 。) 一” 事实上，如果n n 且z ( n ) h l ，那么由( 2 1 1 ) 式有 卫( n + 1 ) 2h 1e x p ( r l l 日r 口1 一n 护b 2 ) a h i 因此 p ( n 十1 ) 砖b ( n + 1 ) 一。r ( 丑j a ) 略( b 2 ) 一“r 8 故 陋( n 1 + 1 ) 世b ( n 1 十1 ) 】一“r ( 口1 a ) 略( b 2 ) 一n r 无妨设存在n 6 z + ( r z 6 n 1 ) ，有 陋( r 。6 + 1 ) 世陌( n 6 + 1 ) 】一d 妒 ( a h l ) 6 ( b 2 ) 一n r ( 2 2 9 ) 且当n 1 n r 。6 时，有 i x ( n ) 蛞b ( n ) 一。r - 鬻1 ( a h l ) 咕( b 2 ) 一。舻 事实上，当x ( n ) h 1 ，n n 时，有 陋( n + 1 ) 】6 b ( n + 1 ) 8 r 陋( n + 1 ) 】蛞( 毛) 一n 笋 ( 酬6 弛) 一n 扩 【2 2 1 0 ) 由( 22 9 ) 式和( 221 0 ) 式，有z ( n 6 ) h 1 ，因此存在7 z + ( n 1 n 4 时，有 ( z ( n ) ) 6 。 ( ”( n ) ) 。r c ( z ( n ) ) 一。r 6 护r 1 i v ) 当n r 嵋时，有 ( 。( 礼) ) 吁。 ( ( ) ) 。r c ( z ( n ) ) ( 6 n + n r 6 r ) 薏舻+ 蝴( r t 聪r 6 r ) 专( a 凰) ( 6 帕n r 6 黝 事实上，当”n 5 ，z ( n ) h 3 时，由( i i i ) 有 陋( n ) 一。钆( n ) 】n r c 5 兄1 ( 风) n r 蟛， 即 p ( n ) 芦 g ( n ) 。r r l ( 岛) n 。m b 。mj 。 由( 2 1 1 ) 式和( 2 1 1 3 ) 式有 陋( n + 1 ) “ 。i b ( n + 1 ) 】。r 。 晤( n + 1 ) 曲 n r + 。r 6 r ) 盼茁( 礼) 】6 。 a 掣( n ) 】n r c 【 名( n ) ( 6 。笋+ n r 6 r ) 2 a ( 6 。 + 。r 。 ) ( z ( n ) ) 6 ( ( n ) ) n r c f ( a h 3 ) ( b f f n 笋+ 。r 6 r ) a ( 6 h + 。r 。 阻l ( 凰) n r 6 护 辛( 风) ( 咔n r 十n r 6 抑 以下类似于( i i ) 推导知当n ? 2 5 时，有 ( 。( ，z ) ) 6 h ( y ( n ) ) n r c ( 2 ( n ) ) ( 砰n r + n mm ) 芝老舻坤h ) ( r 。聪跚) 喜( a 凰) ( 咖跏槲) = r 2 1 0 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 则由以上四部分的分析得当n n 5 + 1 时，“( n ) 位于d 内并且保持在d 内， 定理2 2 2 系统( 2 1 1 ) 一致持久生存的必要条件是 r r b r c r r 2 l c l m “l 1 一r 3 l l u m l 2 l + o l lu 2 l ) = k 0 ( 2 2 i 5 ) 证明当k 0 时，不妨设存在r l ( n ) ，n ( ) ，r 3 ( n ) ，a i ( n ) ，0 2 ( n ) ，6 l ( n ) ，b 2 ( n ) ，b 3 ( n ) ， c ，( n ) ，c 2 ( n ) 使得k 0 且系统( 2 1 1 ) 是一致持久生存的，我们不妨设d o 是系统 ( 2 1 1