（概率论与数理统计专业论文）广义复合poisson风险模型破产概率研究.pdf

摘要 本文围绕保费收入过程及索赔到达计数过程进行推广，讨论了几 类风险模型的破产概率。 第三章广义复合双p o i s s o n 风险模型 模型中险种的保费到达计数过程为齐次p o i s s o n 过程，而险种的 索赔到达计数过程为广义齐次p o i s s o n 过程，以此来解决同一时刻有 两个以上索赔发生的实际问题，并给出了最终破产概率的上界和有限 时间破产概率的一个上界估计。 第四章二元广义复合双p o i s s o n 风险模型 模型中两个险种的索赔到达计数过程均为广义的齐次p o i s s o n 过程。研究了这一风险模型下破产概率中的调节系数问题，利用鞅论 的方法得到了破产概率及其满足的l u n d b e r g 不等式。 第五章随机利率下广义复合p o i s s o n 风险模型 在一般化随机利率复合p o i s s o n 模型的基础上，进一步考虑了广 义复合p o i s s o n 风险模型的破产概率，所得结果推广了常数利率下经 典风险模型的相应结果，以此可作为保险公司预警系统的一个重要指 标。 第六章一类双险种复合二项风险模型 此模型讨论了双险种的一般情形的复合二项风险模型，给出了初 始资本为”的破产概率【”) 的明确表达式。 关键词风险模型，保费到达计数过程，索赔到达计数过程，破产概 盔 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h er l n np r o b a b i l i t i e so fs e v e r a lk i n d so f r i s km o d e l si nv i e wo ft h eg e n e r a l i z a t i o no fp r e m i u m si n c o m ep r o c e s s a n dc l a i m sn m n b e rp r o c e s s t 1 1 et h i r dc h a p t e rr u i np r o b a b i l i t yi ng e n e r a lc o m p o u n d e dp o i s s o n r i s km o d e lw i t ht w op o i s s o np r o c e s s i nt h em o d e lt h ep o l i c yn u m b e rp r o c e s si s h o m o g e n o u sp o i s s o n p r o c e s sa n dt h ec l a i mp r o c e s si sg e n e r a lh o m o g e n o u sp o i s s o np r o c e s s s o w ec a ns o l u t et h ep r o b l e mt h a tm o r et h a nt w oc l a i m sa tt h es a m et i m e t h eg e n e r a lf o r m u l ao f t h er u i np r o b a b i l i t yf o rt h i sm o d e li sg i v e n ，a n d au p p e rb o u n do f f i n i t e t i m er u i np r o b a b i l i t yi sg o t t h ef o r t hc h a p t e r t h eg e n e r a l i z e dc o m p o u n dt w op o i s s o nr i s k m o d e lf o rad o u b l et y p e - i n s u r a n c e i nt h em o d e lt h ec l a i mn u m b e rp r o c e s s e sa r eg e n e r a lh o m o g e n o u s p o i s s o n p r o c e s s e s w e r e s e a r c h a d j u s t c o e 衔c i e n to fr u i n p r o b a b i l i t y a p p l y i n gm a r t i n g a l em e t h o d ，w ed e r i v el u n d b e r gi n e q u a l i t y s a t i s f y i n gr u i np r o b a b i l i t y t h ef i f t hc h a p t e rt h eg e n e r a l i z e dc o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s t o nt h eb a s i co fg e n e r a lc o m p o u n dp o i s s o nm o d e lw i t hs t o c h a s t i c i n t e r e s t ，t h er u i np r o b a b i l i t yi nt h eg e n e r a l i z e dc o m p o u n dp o i s s o nr i s k m o d e lw i t hs t o c h a s t i ci n t e r e s ti sc o n s i d e r e d t h er e s u l t so b t a i n e d g e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lm o d e l sw i t hc o n s t a n tr a t e ，a n ds ot h em o d e l p r o p o s e sa ni m p o r t a n tp r e w a r n i n gi n d e xo fi n s u r a n c ec o m p a n y t h es i x t hc h a p t e rad o u b l et y p e - i n s u r a n c ec o m p o u n db i n o m i n a l s km o d e l s o m ep r o p e r t i e sf o rad o u b l et y p e - i n s u r a n c ec o m p o u n db i n o m i a l r i s km o d e la r eg i v e n ，a n dt h ef o r m u l ao ft h er u i n p r o b a b i l i t ya r e o b t a i n e di nt h i sc h a p t e r k e yw o r d sr i s km o d e l ，t h ep o l i c i e sn u m b e rp r o c e s s e s ，t h e c l a i m sn u m b e rp r o c e s s e s ，r u i np r o b a b i l i t y 原创性声明 本人声明。所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：堕纽萋日期：睦竺! 年卫月丝口 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文彼查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：篷址导师签名主童翌日期：乏型年且月盟日 砸堂僮i 金室 箍= 重绪i 金 第一章绪论 1 1 风险理论的产生与发展 风险理论已经发展了很长一个时期，较为系统的理论始于l u n d b e r g 。和 c r n a m e r m l j 。1 9 0 3 年，精算师f i l i pl u n d b e r g 发表的博士论文“1 中首次提出破 产论中最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程。h a r a l dc r a m e r 在l u n d b e r g 工作 基础上发展了严格的随机过程理论。一，建立了风险理论与随机过程理论之间的 联系。 这之后一段时间风险理论的研究最令人瞩目是方法论的改进：w i l l i a m f e l l e r “”用更新方法证明l u n d b e r g c r a n l 6 r 近似，h a n sug e r b e r 1 用鞅方法给 出l u n d b e r g 不等式证明。f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证和鞅方法为风险理 论注入新鲜的血液，它能大大简化一些经典结果的证明，这己成为研究风险理论 的主要数学方法。并且用它可以解决许多新问题，如平均破产时间、破产前最大 盈余的分布、引起破产的索赔额的分布、破产瞬间前后盈余额的分布、以及从破 产到恢复期间最大盈余额的分布等。现在l u n d b e r g 与c r a m e r 所做的工作“”已 公认为经典的破产论的基础定理。 1 2 风险模型简介 从概率论的角度，风险本身可以用一个随机变量来描述。因此，风险模型就 是一个关于损失或索赔的随机模型。风险模型是保险产品，尤其是非寿险产品设 计及保险经营的理论基础。按是否考虑时间因素，而将风险模型区分为长期风险 模型和短期风险模型；按保单是否随机，而将风险模型区分为聚合风险模型和个 体风险模型；按保单总数在所考虑的周期内是否一开始就己知且固定，而将风险 模型区分为封闭风险模型和开放风险模型。在此，我们只介绍几类常见风险模型。 1 ) 个体风险模型 亟堂位i 金塞 第二童绪论 个体风险模型又称短期个体风险模型，即不考虑时间因素，保单总数非随机 且对个体保单和个体保单理赔分别考虑而建立的风险模型，它是最简单的风险模 型。 s = 五十互+ - + e = 墨 卢1 其中：五是保单i 的损失和理赔量，n 是保单数或理赔数，称s 为理赔总额。对 上述模型通常有如下假设： ( 1 ) 墨是独立同分布的， ( 2 ) 每张保单只能理赔一次， ( 3 ) 玎为确定的正整数，即假定模型为封闭型的。 在现实生活中，个体风险模型存在很大的局限性。例如，在意外事故保险中， 理赔可能多次发生，在周期内保单数确定与保险事务的随机性脱节等等。 对个体风险模型的推广得到短期聚合风险模型。 2 ) 短期聚合风险模型 设是给定时期中保单的理赔次数，x 是第一次理赔的理赔量，置是第二 次理赔的理赔量，其余依次类推，则 n s = x 1 + x 2 + + x n = x i j ；l 与个体风险模型不同之处在于，理赔次数是随机变量，这正是“聚合”( c o l l e c t i v e ) 意义之所在。对此模型常有如下的假设： ( 1 ) 随机变量序列z ，独立同分布，_ ，= 1 , 2 ， ( 2 ) 随机变量序列，x ，z ，相互独立 3 ) 长期聚合风险模型 长期聚合风险模型所表示的是承保人在较长时间内的盈余的变动情况。所谓 盈余是指启动资金加上保费收入超过理赔那部分，而非财务意义上的。为了数学 上的处理方便，我们将不考虑利息和其它除了保费和理赔之外的影响因素，如附 加费和保单持有人的分红等。用数学模型表示，r ( t ) 盈余是一个随机过程 r ( t 1 = ”+ c t - s ( t ) ( 1 一1 ) 2 亟堂位i 金奎 簋二童绪论 ( f ) 其中，甜= r ( o ) 是启动资金，c 0 为连续收取保费的速率，s ( f ) = z 为到时 t = l 刻f 为止的理赔总额。当理赔次数过程o ) 为齐次p o i s s o n 过程时，上述模型就 称为古典风险模型。对古典风险模型进行各种不同形式的推广，就得到各种具体 的长期聚合风险模型及其变体形式，从而造就了风险理论研究内容的丰富多彩。 1 3 经典风险理论的研究成果及推广方向 对破产理论的研究最早是从古典风险模型的破产概率开始的。对模型( 1 - - 1 ) 进行若干假定，就得到古典风险模型，它是最简单的风险模型，也是研究历史最 长且理论最完善的风险模型。首先对它进行一个严格的描述：令( q ，尸) 是一个 完备的概率空间，在其上定义下面的随机变量和随机过程。 ( 1 ) 初始准备金z f = 月( o ) 非负实数， ( 2 ) 索赔到达过程 ( f ) ，t 0 ) ，是一强度为五的齐次p o i s s o n 过程， ( 3 ) 索赔额序列 五，i = 1 ，2 ，) 是独立同分布的随机变量序列，均值为2 ， 分布为f ( x ) ， ( 4 ) 索赔到达过程 ( f ) ，t 0 与索赔额序列 置，i = 1 , 2 ，) 是相互独立的， ( 5 ) 保费收入按线性增长，单位时间内保费收入为c 0 ，保费是按均值原 理计算的，c = ( 1 + 0 ) 2 2 ，称臼为安全负载系数。 对古典风险模型 尺o ) = u + c t 一置 ( 1 - - 2 ) 最基本的研究成果有： 2 考抄一蚵触+ 詈f r x 渺 ? o ) = 等= 南 令 = 以，) = ie = d f ( x ) 一1 毛 且存在k 0 ，使得，个k 时， ( r ) 个佃，即当， k 时， ( ，) j 0 ，增量m ，= f m 有参数为旯( f 一曲的泊松分布，即 对k = 0 , 1 ，2 ，有 她州玎舢哗产 这里旯0 是常数，称作过程的强度或发生率。 ( 3 ) 具有独立增量 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制条 件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m 。的分布只依赖于差数f s 而与s ，t 的具体值 无关条件( 3 ) 表示过程是无后效的，即对任意正整数聍和任意实数 0 t 2 母= p ( f ) = 0 ) = e “ 即z 具有参数为a 的指数分布，对于互有： p 五 t i 五= s ) = p m 。，= 0 i 写= s ) 7 硕士学位论文第二章预备知识 = p m 。= 0 ) = b 一血 即乃也服从参数为a 的指数分布。依次类推可证命题成立a 二、广义齐次p o i s s o n 过程 定义2 1 2 有限值计数过程 ( f ) ，t o ) 称做广义齐次p o i s s o n 过程，如果 它满足如下条件： 0 ) p ( o = o ) = l ， ( 2 ) 有平稳增量， ( 3 ) 有独立增量 广义齐次p o i s s o n 过程的另一刻划： 若( p ) ，t 0 ) 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意的s 0 ，n ( t ) 的概率母 函数g ( 曲必形为： g r ( d = e 越o 5 卜1 1 这里a 0 是某一常数， g ( s ) = p k s 。 k = l 是某一正整数值随机变量的概率母函数，其中仇给出过程在任一个点发生 时刻有_ j 个点同时出现的概率。即广义齐次p o i s s o n 过程是这样的点过程，它的 点发生时刻形成一个强度为五的齐次p o i s s o n 过程，而在各个点发生时刻所发生 的点数是有相同 a ) 的独立随机变量。 三、复合p o i s s o n 过程 。 定义2 1 3 随机过程拶( f ) ，t o ) 称作齐次复合p o i s s o n 过程( 简称复合 p o i s s o n 过程) ，如果它可以表示为如下的形式： ( o s ( f ) = 五，t 0 k = l 硕士学位论文第二章预备知识 其中计数过程 o ) ，t 0 ) 是带有参数为旯的齐次p o i s s o n 过程， 五，j 】 1 ) 是独 立同分布的随机变量序列，并且过程 ( f ) ，f o ) 和序列 五，量1 ) 是相互独立的。 例如人寿保险中，角f ) ：n ( o 以来表示该公自在( o ，f 】内需要支付的赔偿金 总额，( f ) 即为在( o ，f 】内死亡酣天数，瓦为第七个人死亡的保金金额。 对于齐次复合p o i s s o n 过程有如下重要的定理。 定理2 1 2 设最( f ) ，s 2 ( t ) ，最( f ) 为相互独立的复合p o i s s o n 过程，并设： 墨( f ) = 砧，f o ，i = 1 ，2 ，行 其中 m ( f ) ，f 0 ) 相互独立且是参数为五，的齐次p o i s s o n 过程，对于同一个 f ， 霹，j i 1 ) 为独立同分布的随机序列( 简称置) ，其分布函数为f ( 功，设其均 值为“，则s ( f ) 2 善s ( f ) ，f o ，还燕- 个复合p 0 1 s s 。n 过程，设为 s ( f ) = 五，f 0 其中( f ) 是参数为a = a ，的齐次p o i s s o n 过程，且z 分布函数为 1 h l - 11* f ) = 旯，f ( 功，均值为= 寺a ，“。 一 2 2 条件期望 概率空间记为( q f ，p ) ，g 是f 的某一子盯代数，g c f 。f ) 是满足 e i 亭l 0 0 的随机变量。 定义2 2 1 具有下列两性质的随机变量e g l g ) 称为善 ) 关于g 的条件数 学期望( 简称为数学期望) 。如果 ( 1 ) e g i g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意4 g 有：l e ( f g ) p ( d c o ) = e 沪( d 国) 。 定义2 2 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：厶( ) = 1 ，如果 ( - 0 c ，否则l ( c o ) = 0 ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为 p ( c i g ) 。 ? ( c 1 6 1 是满足下列条件的随机变量： 9 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 1 ) p ( c 1 g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意a g 有：l p ( c l o ) p ( d o ) = p ( a c ) 。 注：在本文中，如无特殊说明，所有表示示性函数，即：l ) = l ，如 果国c ，否则i c ( 国) = 0 。 条件期望的性质： 以下等式、不等式或极限关系都是以概率1 成立的，善，毒，叼都是随机变量 且日i 孝l e ( 卵l g ) ； ( 3 ) l e ( 孝l g ) 匿e ( i 孝| | g ) ； ( 4 ) 设o 专个孝，e i 孝l 0 0 ，则e ( 专l g ) 个e ( 孝i g ) ； ( 5 ) 设点争善，l 毒l r ，e 玎 o o ，则e ( 专i g ) - - y e ( 亭1 g ) ； ( 6 ) 如印对g 可钡o ，e l 善叩i o o ，e ir 1 o o ，则e ( 孝7 7 | g ) = 7 巧( 善1 g ) ； ( 7 ) 如手对g 可测，则e ( 引g ) = 孝； ( 8 ) 若f - q g 独立，则e ( 8 1 g ) = e 善； ( 9 ) 如g 。c g ：c y _ f ，则e e i g 2 ) | g 1 】= e ( 孝| g 1 ) = e e g 悔) i g 2 】； e e ( 善i g ) 】= e 善。 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率的 性质。 一个常用记号，f 关于仃代数f ，t d 的条件期望，e ( i f t ，t 丁 ) 记为e ( 4 i x 。，t r ) 。 2 3 鞅论 鞅是一类很重要的随机过程，在金融数学与精算学、生存分析及其他领域中 1 0 硕士学位论文 第二章预备知识 有着广泛的应用在风险理论中，鞅方法己日益成为一种很重要的研究方法， 常用于研究破产理论和最优决策。 设( q 厂，p ) 为一概率空间，( 厂。t 0 ) 为一单调递增的厂子仃一域流， y = p ( f ) ，t 0 ) 是任意的随机过程，令厂；= 盯p ( s ) ，s s f ) ，f 7 = ( 厂；，f o ) ， 则厂；是由过程y 在( o ，t 】时间段生成的盯一域，表示过程】，直到时刻t 的历史 如果对每个t 0 ，r ( t ) 为尸。一可测，那么过程，称为f 一适应的。显然， 】，是，一适应的当且仅当对于所有的t 2 0 ，尸r c 厂。成立 定义2 3 1 实值过程m = ( f ) ，t o 称为f 一鞅，如果满足； ( 1 ) 对于任意的f 0 ，m ( ，) 为厂厂可测； ( 2 ) 对于任意的f o ，e l 陋( f ) il t ) z ，则称r 是f 一停时 定理2 3 1 ( d o o b 停止定理) 设m = 肘( f ) ，t 0 ) 为一右连续的f 一鞅， s ，r 为两个停时，则 e i m ( r ) 1 只 = m ( t a s ) p a , s 硒土堂焦途塞差三垂亡竖复盒巫致亟鲤迅隍攫型工的篮芒攫圣 第三章广义复合双p o is s o n 风险模型下的破产概率 3 1 模型的引入 在广义复合p o i s s o n 风险模型中，保险公司按照单位时间常数速率取得保单( 假 定每张保单的保险费相等) 。但在实际中，不同单位时间所收取的保单数常常不一 样，是一个随机变量，可能服从某一离散分布。根据这一实际情况，本文将广义 复合p o i s s o n 风险模型进行推广，将保单收入过程推广为一个参考数为a 0 的 p o i s s o n 过程，假定它与理赔过程独立，这样盈余过程是两个p o i s s o n 过程。下面 给出模型的定义。 定义3 1 1 随机过程 只，t o ) 称作广义复合p o i s s o n 过程，如果它可以表为 如下形式： 对任意f o ，h t = 1 其中 f ，f 0 ) 为广义齐次p o i s s o n 过程，即m = z ， r e ( t ) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程。五为独立同分布的离散随机变量，且 p ( 五- = k ) = p k ，k = 1 2 ，。i 为个体索赔额，( y ，f = 1 ，2 ) 独立同分布且与 ( 墨，f = 1 ，2 ) 独立。 定义3 1 2 设甜o ，c o ，给定某概率空间( q ，f ，p ) 上 ( 1 ) 取值于( 1 ，2 ，3 ，) 的独立同分布随机变量x = 置，i = 1 2 ) ( 2 ) 取值于( o ，m ) 的独立同分布随机变量y = 征，i = 1 2 一) ( 3 ) 参数分别为丑 o ，五 0 的p o i s s o n 过程m = m ( f ) ：t 0 ) 和 m = r e ( t ) ：t 0 ( 4 ) 假定x ，y ，m 和m 相互独立，令 ，( 1 ) r a ( t ) r ( ，) = 都+ s ( f ) ，s ( f ) = c l m ( 力一r ，( f ) = 置，t - 0 亟堂焦论塞差三重亡竖复金塑殴选q 塾匝隍搓型工的礁芒煎垩 称此过程趣( f ) ，t 0 ) 为广义复合双p o i s s o n 风险模型，过程p ( f ) ，t 0 ) 为盈 利过程。 实际背景： ( 1 ) u 表示保险公司的初始资本，c 表示每张保单的保险费。 ( 2 ) m ( t ) 表示保险公司为( o ，f 】内收到保单总数，服从参数为却的p o i s s o n 分布。 ( 3 ) m ( t ) 表示为( o ，t 】内发生的事故总次数，服从参数为乃f 的p o i s s o n 分 布。 一 ( 4 ) 墨为发生一次事故可能导致要求索赔的人数，表示个体索赔额。 ( 5 ) r ( t ) 则表示保险公司在时刻t 的盈余资本，s ( t ) 则表示保险公司 在时刻t 的盈利。 为保证保险公司的稳定经营，假定q s ( f ) 】 o ，即 c a 一弛鲍 0 ，“= e 【置】 o o ，以= e 【z 】 0 五“，屯 以及破产时刻为： 正= i n f t ：r ( f ) 0 ( 2 ) 具有平稳独立增量性 ( 3 ) 存在正数r ， 3 3 主要结果 而 故 1 吏e e - r s ( t ) 0 0 定理3 3 1 对于盈利过程p ( f ) ，f o ) ，存在函数g ( r ) ，使得e e 一郴 = e 鲫 证明 叱p m 删小剀 = e e x p ( - 础舭1 m 驯 一m 一) 薹譬唧阻力) r = e x p a ( e - 口- 1 ) + 五m ( ，) 一l 加 州书 - e m 产篡 = 耋z 。p , 耋z 。p 。, 季e ，p , e m ，篡笔刿 = 1 乜= 1k = 1 j 也屯+ + t + l i = 既魄巩池( ，) ) 向= lb = 1= l = p k ( r ) ) k = 1 e e - r s ( t ) 一弘q ) + 五睡鸩慨一汁 p、jp坼 。d i | 亟堂焦途塞簋三重 竖复盒塑旦亟望堡匝隍搓型王的煎芒拯圣 从而 g ( ，) = a ( e - r 。1 ) + 五i 鸩”( r ) p 。- 1l ， ，、 n = l 其中屿( ，) = e l ” 为个体索赔量y 的矩母函数，证毕 定理3 3 2 方程g ( r ) = o 存在唯一的正解r ，称之为调节系数。 证明由定理3 3 1 知 g ( ，) = 一 c e - r e + 五i 埤i 磊“( ，m ( ，) l ， g = 3 q c 2 e - c + 五喜i ( 栉_ 1 ) 嵋“( r ) ，( r ) ) 2 + 嵋“( ，版”( ，) 肛jlj 故 g ( ，) l 。= 一五c + 五“心 o 从而曲线g ( r ) 是下凹的，进而只要取充分大的r ，一阶导一直保持为正，g ( r ) 将 具有唯一的极小点，而且方程g ( 厂) = o 有唯一的正解r 。证毕。 定理3 3 3岛时刻之前的破产概率满足不等式 y ) - e l s u p 8 ” o g e 七 进而有最终破产概率y ( 2 f ) 9 4 ，其中尺= s u p r i g ( r ) - o 。 证明由文献 3 】和定理3 3 1 易证，g ( ，) 如定理3 3 1 所示，证毕。 由定理3 3 3 知： 甲 ，t o ) e - “s u p 们- e m a x ( 1 ，p 神) 令 则上式变为： f ( r ) = r - y g ( r ) ，其中f = y u 亟堂僮途塞 簋三童亡墓复金塑墅q n 区睑搓型工的礁芒攫望 甲 ，妒) m a x ( e 一，e l p 。蹭p ) ：e 一。”叫”月( 7 ) ) ：p 一”叫7 ，( ) ) 设b = s u p r a i n ( r ，( r ) ) = s u p ( ，( ，) ) ，；是厂( ，) = o 白勺解，其中r 为调节系数。 r m 由g ( r ) 性质易知r = f ( r y ) 由文献 3 】知；当f 2 ；茜5 乙时，影僻) = o ，从而 甲k ( ) p 一即，乇 0 , c 2 0 ) 。 2 ) 设 码( f ) ：f o ) 和 ( f ) ：f 2 0 ) 是强度分别为五和五的p o i s s o n 过程，且有 玛( o ) = 0 ，鸭( 0 ) = 0 。 1 7 亟堂僮途塞 笈四童三霾亡幺复金巫殴照业匝险攘型工的煎主趔壅 3 ) 霹，x 尹分别为独立同分布的离散随机变量， 且 p 掣= 而) = 霹，| i = 1 ，2 ，p 巧2 ) - 露) = 一”，i = 1 ，2 4 ) ”，f 2 分别为独立同分布的随机变量且分别与霹”，墨2 独立。 5 ) 所涉及到的4 个p o i s s o n 过程和4 个随机变量，彼此之间均相互独立。 令 r ( f ) = q 4 ( o + c 2 4 ( f ) 一墨o ) 一o ) = c 1 4 ( f ) + c 2 4 ( f ) 一s ( f ) ( 2 ) 对于上述模型，其中z ，0 o ) 为保险公司的初始资本，恒设： ，“ = e z o o ，厨2 ) - e 盖啦 电 硝) - 虹】， o o ，正2 = e l y 2 o 。 ( 耐1 ) 2 = w x m m ，( 西2 ) 2 = 附 z 2 ) o o ， ( 醴) ) 2 = v a r e y o o o ，( 以2 ) 2 = 助 y ( 2 0 ，则l i r a r ( t ) = + o o ，d s p ( i i ) 若8 0 ，使摊+ r ( f ) o ，扰+ r ( f ) 0 最终破产概率定义为： ) = 尸 f 0 。 2 ) 具有平稳独立增量性。 3 ) 存在正数r ，使e g 一鄙 o o 。 4 3 主要结果 定理4 3 1对于盈利过程 r o ) t 2 0 ) ，存在函数g ( r ) ，使得 e p 鄙 = e 烈” 证明e - m ( o = e 唧( 一玛郫卜4 + ，警妒+ r 警垆 = e 融- r q 4 ( t ) 槲蚴珍e x p ( ，纠唧( ，势 = 懿p r ( e 一一) e x p 锡r ( e - 3 - 1 ) + 薹学叫心村嵩譬啦心。村 = 唧陋( e 一一一1 ) + 吖- r c _ 1 ) + a r 阻删( ，) - 1 + 砧阻一”( r ) _ 1 而 哪脚吲斗憾善 = 罐西 = l 岛：l 川 k 喁 愫 鼍一 r 刚l 既e 蹬 。 亟堂僮i 佥塞 簋四重三丞 塞复金巫q 虫鲤凰睑搓型工曲礁主掇空 同理 = 磋硝 鱼= 1岛= l 杰醒，似。( ，) ) k = l = 妻硝。( ，) ) - 1 2 m ：。，( ，) 艘， n = l 。 m z ( 2 ，( r ) 2 三吆( ，) 露 故 e e e - m ( t ) = 唧噼( e - “a - 1 ) + a 2 ( e 喝一t ) ” e x p 敝拟蝴一， + 五( 弘瞅_ f 其中嵋。( ，) = e p 4 。 为第k 个险种的个体索赔量j ，仲的矩母函数( k - 1 ，2 ) 从而 g ( r ) i 曼( e 1 ：1 ) + 吃p 一1 ) + l 善m 柙n ( ，) 碟l 1 j + 如l 善m 二2 ) ( r 扫一1 j 厂、厂、 推论4 3 1 若在( 1 ) 式中墨”= - 1 ，玛”= - 1 ，即每种保险的每次事故中最多只有1 人索赔，而索赔额分别服从参数为v 1 和v 2 的指数分布，则 如h ( e 一一- ) 坞( e 一一t ) + ( 毒一，卜( 毒一t ， 其中0 ， ，( ，) + 五喜印 ( 刀一t ) e ；( ，) 二( ，) ) 2 + m ：( ，l k 。( ，) 故 。 g ( ，) l ，目= qc l - - a 2 c 2 + a 硝心+ 如“2 卢酽 o 从而曲线g ( ，) 下凹的，进而只要取充分大的，一阶导一直保持为正，g ( r ) 将具有 唯一的极小点，而且方程g ( ，) = 0 有唯一的正解r ，i i 毕。 定理4 3 3 令f r = ，f o ) ， 其中f = e 4 v f , 4 v y , v v , ”， 则 r ( t ) - e r ( o 】是f 8 墩。 证明 对于任意的j t ( s ，f o ) ，由过程尺( f ) 具有平稳增量性，有： e r ( f ) 一e ( r o ) ) l f = e ( r q ) 一r ”一e ( r ( f ) 一r o ) ) + ( 尺( s ) 一e ( 尺( s ) ) ) l f = r ( 曲一e ( r ( s ) ) + e ( ( 月o ) 一r ( j ) ) 一e ( 尺( f ) 一尺( s ) l ，) = r ( s ) 一e ( 月( s ) ) + e ( 尺( f ) 一r ( s ) ) - e ( r ( t ) - r ( s ) = r ( j ) 一e ( 尺( s ) ) 。一，o “( 呦 定理4 3 4 令m = 音，则m ( f ) 是f 。一鞅( f o ) 。 证明对任意0 s t ，由定理4 3 1 ，得： e 掣m ) 1 2 1 亟圭堂僮迨塞 箍四重三丞 墓复盒塑q 照q n 迅险搓型工曲照主趣室 詈 = i l e - 删r ( u + r c s ) ) - 下e - r ( r o 丽) - r o ) ) = 眠( s i e - r ( 。r ( t 州) - r 矿( s ) ) l 蜊酬蔫阻砂 定理4 3 5 对于本文模型，其破产概率为： p 舢 帅卜币丽郦司 其中r 为调节系数。 证明e e 呻“。” = 哑e 坤哪”k ，p 矧) + e p ”联。陋 p ”o 而 e i e - o + r ( o ) = e - r 。哪一) + 锡”一，) r ) + e “e x p 趴砉蜂，愀- + 五( 喜萨- 卅 ( 3 ) 式中右端第一项记为，把甜+ r o ) 写成： “+ 月( f ) = + r ( 力+ 尺( f ) 一r ( f ) = t f + 月( r ) + ( q 4 ( f ) + 乞4 0 ) 一q 4 ( f ) 一巳4 ( f ) ) 一( j ( f ) 一s ( o ) = z f + r ( f ) + q ( 4 ( f ) 一4 ( r ) ) + c 2 ( 4 ( f ) 一4 ( f ) ) 一( 墨o ) 一墨( f ) ) 一( 是o ) 一是( f ) ) 对于给定的f ，4 ( 0 4 ( f ) ，幺( f ) 一以( f ) ，s ( f ) 一s ( f ) ，s a t ) 一是( f ) 与尺( f ) 独立，且分 别服从参数为呸( t - f ) ，锡o r ) ，a ( t - 田，五( t - f ) 的p o i s s o n 分布。 从而 = e g 一p 一。p 唁一“o 卜 f ”矿似。卜如口”p “剐啦剐砷p “是。卜是p ”p f 妒“p f ) 玎卅。e x p t ” 啦1q + p - 1 ) + 陲。磁一- ) + 五( 喜烀- 肛f ) i h f f 玎卅。 啦1 ) + p 一1 ) + 嘻m 二，( ，磁叫+ 五c 善m 圳一1 旷7 ) 岫一叫 亟堂鱼途塞 笙四重三丞亡塞复金塑殓地地匦险撞型工的酸芒趣壅 令上式为( 4 ) 式，利用定理4 3 2 ，选取，= r ，则( 3 ) 和( 4 ) 可化简， ( 3 ) 式可写为 e - z m , = e e 脚“( f ”卜 f p f ) + e e 叫剐。i f p p f ) ( 5 ) 令t j + m ，则上式第一项变为 e e 4 扣”( f i f o ， 则 e 【 + r o ) 】= “+ e 【r ( f ) 】= 甜+ ( 一f ) g ( ，) i ，= 0 = u + a t t ， v a t u + r ( o i = v a r r ( o i = 留”( r ) i ，。= 2 f 因为口 o ，当t 哼1 2 0 时，u + 口t t 珀j 令 a = u + 口t 哏