（概率论与数理统计专业论文）离散风险模型的破产概率及若干大偏差结果.pdf

摘要 摘要 风险理论模型，是保险精算数学中重要的研究内容，在国外已经有上百年的研 究历史经典风险理论，主要处理保险事务中的随机风险模型，讨论模型在有限时 间内的生存概率以及最终破产概率等问题模型依时间分为连续时间模型和离散时 间模型；连续时间模型有许多文献进行了研究，众所周知的结果l u n d b e r g 不等式和 g r a me - l u n d b e r g 近似公式后来f e l l e r ，g e r b e r 和g o r d o ne w i l l m o t 运用随机过程 的理论方法，取得了很多更好的结果，而对离散时间模型研究的比较少即使有些文 献研究，也大都集中在完全离散复合二项风险模型，例如g o r d o ne w i u m o t 1 】研究了 有限时间内的生存概率，在我国成世学和伍彪【2 1 研究了生存到固定时刻n ( n o ) 、 并且在此时刻n 的盈余为某数z 020 ) 的概率，而对于一般情形的复合二项风险 模型则很少有文献研究柳向东【3 】运用随机过程理论证明了：两类离散的风险模 型的等价性本文就在此基础上研究一般情形的复合二项风险模型，双二项风险模 型，保费收取次数为负二项随机序列的复合二项风险模型，复合负二项风险模型， 双负二项风险模型；首先考察了它们的一些性质，以及当初始资本p 0 时的破产 概率的一些公式并且对某些模型我们得到了若干大偏差结果 i 摘要 本文共分三章： 第一章预备知识 第二章离散风险模型的研究 第三章若干大偏差结果 关键词：风险模型，破产概率，重尾分布，大偏差 a b s t r a c t a b s t r a c t r i s kt h e o r ym o d e li si m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n to fi n s u r a n c ea c t u a r i a lm a t h - e m a t i c sa n dh a sa l r e a d yh u n d r e dy e a r sr e s e a r c hh i s t o r yi na b r o a d c l a s s i c a lr i s k t h e o r ym o d e lm a i n l yh a n d l e sr a n d o mr i s km o d e li ni n s u r a n c eb u s i n e s s t h em o d e l d i s c u s s e ss u r v i v a lp r o b a b i l i t ya n du l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yw i t h i nl i m i t e dt i m e i t d i v i d e si n t oc o n t i n u o u st i m em o d e la n ds c a t t e r e dt i m em o d e l w ek n o w ，m a n yd o e - u m e n t sh a v ei n v e s t i g a t e dc o n t i n u o u st i m em o d e l ，f o re x a m p l el u n d b e r gi n e q u a l i t y a n dg r a me - l u n d b e r ga p p r o x i m a t ef o r m n l a t h e n ，f e u e r 、 g e r b e ra n dg o r d o n e w i l l m o to b t a i n e dm a n yb e t t e rr e s u l t sb y u s i n gr a n d o mp r o c e s st h e o r ym e t h o d ，b u t t h e yr e s e a r c hs c a t t e r e dt i m em o d e lf e w e r t h o u g hs o m ed o c u m e n t sh a v er e s e a r c h e d ， t h e yc o n c e n t r a t ei nc o m p l e t e l ys c a t t e r e dc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l f o re x - a m p l e ，g o r d o ne w i u m o t 1 1r e s e a r c h e ss u r v i v a lp r o b a b i l i t yw i t h i nl i m i t e dt i m e i n c h i n a ，c h e n gs h i x u ea n dw ub i a o 2 】r e s e a r c ha 缸e ds u r v i v a lt i m en ( n o ) ，a n d g i v eap r o b a b i l i t yt h a ts u r p l u si sz 0 ) a tt i m en b u tf e w e rd o c u m e n t sr e s e a r c h c o m m o n l yc o n d i t i o nc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l l i ux i a n g d o n g f 3 jb yr a n d o m p r o c e s sp r o v e s ：e q u i v a l e n c eo ft w od i s c r e t er i s km o d e l i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h a t w er e s e a r c h ：c o m m o n l yc o n d i t i o nc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l 、d o u b l ec o r n - p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ，ap r o g r e s so f n f i np r o b a b i l i t yi nt h ec o m p o u n db i n o m i a l r i s km o d e l 、c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a lr i s km o d e la n dd o u b l en e g a t i v eb i n o m i a l r i s km o d e l w ei n s p e c ts o m ec h a r a c t e ro ft h e ma n do b t a i nr u i np r o b a b i l i t yw h e n i n i t i a lc a p i t a lp20 t h e n ，t o8 0 m em o d e l s ，w eh a v eg o ts o m el a r g ed e v i a t i o n r e s u l t s i i i a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e r1 p r i o rk n o w l e d g e c h a p t e r2 r e s e a r c ho fs c a t t e r e dt i m em o d e l c h a p t e r3 s o m el a r g ed e v i a t i o nr e s u l t s k e y w o r d s ：r i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y , h e a v y - t a i l e d ，l a r g ed e v i a t i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得寅觚天誓或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：赵8 8签字日期： j 。7 年弘月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安极欠学有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权安铩s 天漪以将学位论文的金部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ， 学位论文作者张缸月4 导雌名：孔缓迎 签字日期： 土蛐1 年毕月j 日 签字日期： 乡d d 7 年午月巧日 学位论文作者毕业去向： i 作卑证： 电话：l j l “1 | 1 8 9 # 通讯地址：安铱k 太雩教学学，览d 哆叫 邮编： 工；。o ；7 第一章预备知识 第一章预备知识帚一早耿畲大l j 识 1 1 引言 在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单总理赔额s 的分布， s = x 1 + x 2 + + 墨 ( 1 1 1 ) 其中五表示保单i 的理赔额，假定风险x 0 = 1 ，2 ，几) 是相互独立的 如果这种独立性对某些风险不成立，例如同一建筑中不同楼层的火灾保 险保单，那么这些风险应当合在一起作为( 1 1 1 ) 中的一项，便演化为聚 合风险模型 本文主要集中讨论聚合风险模型，处理的是远期情形我们要考虑 保险人的资本金u ( t ) 随着时间的积累问题由于挣得的保费，随机过程 u ( t ) 随着时间连续增加，但是又由于对索赔的赔付，该随机过程会逐段 下跳当资本金为负时，我们说破产发生了假设年保费和索赔过程不 变，以妒( 牡) 记破产概率给定初始资本金u = u ( o ) ，破产概率可以作为综 合保费和索赔过程的保险公司稳健性的一个指标，是风险管理的一个有 用工具破产概率高意味着公司不稳定：这时保险人必须采取诸如进行 再保或者提高保费等措施，或者还可以设法吸收一些额外的资本金 破产概率的计算是精算学的一个经典问题虽然有可能求出没有破 产的概率1 一妒( 乱) ( 未破产概率) 的矩母函数，但是破产概率仅仅对两种类 型的索赔分布才容易计算出来它们是指数分布及其和、混合和组合以 及只取有限个值的分布本文将针对以上类型推导出破产概率的一些结 果 赵朋；离散模型的破产概率及若干大偏差结果 下面给出本文中的一些常用符号： ( q ，r ，p )概率空间 r ”随机变量 i i d 独立同分布的 a e 几乎处处收敛 a n = d ) ，熙a b = 0 2 第一章预备知识 1 2 相关模型及引理 本节我们引入聚合风险模型 定义1 , 2 1在( 0 ，州时间段内产生理赔的全体，记 n _ s ( 珏) = 恐 ( 1 2 1 ) t = l 其中表示理赔次数，五表示第i 个理赔额此外我们约定n = 0 时 s = 0 理赔次数是一个随机变量，并且我们假设个体理赔额五是独 立同分布的我们还假设和所有的冠独立则s 具有复合分布当 服从( 负) 二项分布时，s 具有复合( 负) 二项分布 设由( 1 2 1 ) 给出的s 具有一个复合分布，表达式中所有的五与x 同 分布记 弘k = e i x 】，p ( x ) = p r z 】，f ( s ) = p s s 】 ( 1 , 2 2 ) 于是，利用给定之下s 的条件分布，可以计s 的期望值，公差及矩母 函数 性质1 2 ，1e 旧= p 1 e 【 ，v a r s = e 【 v a r i x 】4 - i 嵋v a r n l ，m s ( t ) = m n ( 1 0 9 r n x ( t ) ) 证明： e 吲：e e s i n = 曼e l4 - + 鼢i = n l p r i n = 叫 ：萎e 【墨+ + l = n 】尸r = 叫 ：萎e 阮4 - + x n p r n = 川 ：萎n p l p r n = 厕= 弘1 e f m ( 1 2 3 ) 这表明总理赔的期望值等于期望理赔次数与理赔额期望值的乘积 总理赌额的方差可以由条件方差的公式来决定： y o r 翻= e v a r s v 】+ v a r e s v 1 】 3 赵朋；离散模型的破产概率及若干大偏差结果 = e n v a r x 】+ v a r n # l 】 = e 【 1 v a r x 】+ p ；y 口r 【卅 利用( 1 2 3 ) 中使用的同样技巧可以求出总理赔额s 的矩母函数： m s ( t ) = e e e 坩i 卅】 = 。e e e 。( x l 扣怖i = n p r i n = 叫 = e e e t ( x 1 + - 斗】p r i n = 叫 n = u = e “ =川=吲(e咖x(t)n】otmx(t)prn = m n ( 1 0 9 m x ( t ) ) 下面我们介绍几种常见的离散型风险模型【4 】。【8 ： 定义1 2 2设数“0 ，c 0 ，在某概率空间( q ，r ，p ) 上，给定： ( i ) 取值( 0 ，o o ) 的独立同分布随机变量x ，i 一1 ，2 ， ( i i ) 具有参数p 的二项随机序列n ：= ( 几) ) 鲁o ，p ( 0 ，1 ) 假设x = 五耀。与独立，令 ( 札) r ( n ) = + 6 9 7 , 一s ( n ) ，s ( n ) = 五，n = 0 ，1 ，2 ，一( 1 2 4 ) t = 1 则称 r ( n ) ) ：为复合二项风险模型( c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ) 简记为c b r m r ( 凡) 箍o 实际背景模型中，u 是公司的初始资本，c 是每单位时间收取的 保费，是公司唯一的收入礼是公司的运作时刻，即公司收取保费和进 行赔付均在离散时间n 协= 0 ，l ，2 ，) 进行，投保人发生事故后公司对其 进行赔付是公司唯一支出记第i 次赔付量为咒，则 咒) 墨。为取值于肘 的独立同分布随机变量序列( n ) 为至时刻n 为止赔付总次数，s ( n ) 为到时刻几止的总赔付量，兄( 礼) 是公司在时刻n 的盈余资本 对c b r m 进行改进，考虑保费收取次数服从二项分布的情形，并给 出如下定义 4 第一章预备知识 定义1 2 3设数u 0 ，c 0 ，在某概率空间( n ，r ，p ) 上，给定： ( i ) 在时间【o ，叫内收取的保费次数 m ( n ) ，佗o ) 服从参数为p 的二项 分布，且m ( 0 ) = 0 ， ( i i ) 在时间【o ，叫内的索赔总额s ( 凡) ：笆五是一个复合二项随机序 列，其中参数为，个体索赔额的分布函数为f ( i i i ) 随机序列 m ( 几) ，n o ) 与 s ( n ) ，n o ) 相互独立， ( i v ) 每次保费收入次数为常数c 在上述假设下，保险公司在时间扎的盈余 r ( n ) = 札- i - c m ( n ) 一s ( n ) ( 1 2 5 ) 由于上述风险模型包含两个二项随机序列，故称该模型为双二项风 险模型( d o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e l ) 简记为d b r m 我们知道( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 是复合二项风险模型，它的特点是其理赔次数 的均值大于其方差，他们尤其适用于同质性保单组合的理赔次数模型 而当保单组合的理赔次数观察分布的样本方差大于其均值时，显然用二 项风险模型不再适合针对于此，我们给出如下的复合负二项风险模型， 其理赔次数的方差大于均值 定义1 2 4设数u 0 ，c 0 ，在某概率空间( q ，r p ) 上，给定： ( i ) 取值( 0 ，o o ) 的独立同分布随机变量五，t = 1 ，2 ， ( i i ) 具有参数p 的负二项随机序列n ：= ( n ) 箍o ，p ( 0 ，1 ) 假设 x = 五) 墨，与独立，令 ( 柚 r ( n ) = u + 6 n s ( n ) ，s ( n ) = 咒，f , = 0 ，1 ，2 ， ( 1 2 6 ) 则称 r ( 扎) ) ：为复合负二项风险模型( c o m p o u n dn e g a t i v eb i n o m i a l r i s km o d e l ) 简记为c n b r m r ( n ) 嚣= o 5 赵朋；离散模型的破产概率及若干大偏差结果 其中：“是保险公司的初始资本；c 是没单位时间收取的保费；五 为第1 次发生理赔的理赔量；n ( n ) 为n 个单位时间上发生的理赔总次 数；冗( n ) 是保险公司在时刻孔的盈余 对c b r m 风险模型进行改进，考虑保费收取次数服从负二项分布的 情形，并给出如下定义 定义1 2 5设数珏o ，c 0 ，在某概率空间( q ，r ，p ) 上，给定： ( i ) 在时间【o ，叫内收取的保费次数 m ( n ) ，n o 服从参数为p 的负 二项分布，且m ( 0 ) ：0 ， ，* 、 ( i i ) 在时间f 0 ，川内的索赔总额s ( 妨= 窆x 是一个复合二项随机序 列，其中参数为，个体索赔额的分布函数为f ， ( i i i ) 随机序列 m ( n ) ，n o ) 与 s ( 几) ，几o ) 相互独立， ( i v ) 每次保费收入次数为常数c ， 在上述假设下，保险公司在时间竹的盈余 r ( n ) = 钍+ c m ( n ) 一s ( n )( 1 2 7 ) 则称r ( n ) 丞。为保费收取次数为负二项随机序列的复合二项风险模型 对于对c n b r m 风险模型进行改进，考虑保费收取次数服从负二项分 布的情形 定义1 2 6设数乱20 ，c 0 ，在某概率空间( f 2 r ，p ) 上，给定： ( i ) 在时间 0 ，叫内收取的保费次数 m ( 钆) ，n o ) 服从参数为p 的负 二项分布，且m ( 0 ) = 0 ， ( i i ) 在时间【0 ，州内事故发生的次数为( n ) ，服从参数为( 几，) 的负二 项分布，n ( o ) = 0 在时间 0 ，札1 内的索赔总额s ( n ) = 。置是一个复 合负二项随机序列，其中参数为，个体参数五是i i d 的，个体索赔额 的分布函数为f ) ；矩母函数在【o ，r 9 】上存在且有限，对于r o o ，有 6 第一章预备知识 m x ( r ) 2 孚， 。 ( i i i ) 随机序列 m ( 几) ，扎o ， ( n ) ，1 1 o 与 五，i 1 ) 相互独立， ( i v ) 每次保费收入次数为常数c 在上述假设下，保险公司在时间n 的盈余 r ( n ) = “+ c m ( n ) 一s ( n )( 1 2 8 ) 由于r ( n ) 墨。包含两个负二项随机序列，故该模型为双负二项风险模型 ( d o u b l en e g a t i v eb i n o m i a lr i s km o d e l ) 简记为d n b r m 对任意固定的t 0 ，如果存在e e t x = o o ，那么随机变量x ( 或它的 d f f ) 叫做重尾的【9 】 定义1 2 7c 和e r v 是两种比较重要的重尾分布子类 ( i ) 如果l 玎1 i m l i r a 。一s 。u p 错。1 ，则f c ( i i ) 如果存在常数q ，p ，其中1 q p o o ；使得 掣弋螂铬 l i m s u p 鬻g 。加， 则- p e r v ( 一n ，一口) 引理1 2 1 【9 】e r vcc 证明：对某些1 o ts 卢 1 ，0 p 1 u 是删服从均匀分布v ( o ，1 ) 且u 和是独立的 记x ：= 2 ( - + 们，加x 的分布函数f 可知- p e ，但是于叠e r v 7 赵朋：离散模型的破产概率及若干大偏差结果 从k l i i p p e l b e r g 和m i k o s c h 1 0 ( 1 5 ) 】，我们可以看到下面的结论 引理1 2 2 【1 1 ( k l i i p p e l b e r g 和m i k o s c h ) 在g c b r m 中，对某些1 z ) 一n - f ( z ) 一致成立对于z - y n ，也就是 撬黑 型臀幽刈_ o ( 1 t 2 _ 9 ) 这里s ( n ) ：= 莞五，札= 1 ，2 t = 1 随之我们变换引理1 2 2 中随机和 s ( 佗) ：= 量五= 1 ，2 ，为 y ( 扎) ：= t = l r “、 奎x i ，n = 0 ，1 ，2 ) ，在此基础上得到和( 1 2 9 ) 相对应结论 t = 1 引理1 2 3 【1 1 在g c b r m 中，对某些1 z ) 一册f ( z ) 一致成立对于 z 7 p n ，也就是 一l i m s ：u 憎pl 型筹必刈_ o ，。 ( 1 2 1 0 ) ，( n ) 这里k ：= 奎。冠，n = 0 ，1 ，2 ， 扛= 1 证明：此引理是k l i i p p e l b e r g 和m i k o s c h 4 ，引理2 4 和定理3 1 】中的结 果 8 第二章离散模型的破产概率 第二章离散风险模型的破产概率 2 1 研究背景 在离散时间模型中，我们要考虑比连续过程考虑更一般的风险过程 r ( 札) ，不过现在的过程只在时刻n = 0 ，1 ，2 ，处取值记r 为从n 一1 到n 的时间段的收益，所以 r ( n ) = + 冗1 + 岛+ + r ，扎= 0 ，1 ，2 ，( 2 1 1 ) u 为保险公司的初始资本但是离散模型忽略了一些保单信息如果一 个保单组合只含有一个可能产生高理赔的保单，那么该项在个体风险模 型( 1 1 1 ) 中至多会出现一次，而在聚合模型( 1 2 1 ) 中可以出现若干次 此外，在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额五之间相互独立 这对于汽车保险行业来说句有些不妥了，例如恶劣的天气条件会导致大 量的小理赔不过实际中这些现象的影响是很小的 聚合风险模型的主要优点是在计算上它是一个很有效的模型，该模 型也非常接近实际我们要为n 和咒寻找一些合适的分布，以使得聚合 模型充分接近于一个给定的个体模型离散模型中，n 的理想选择是二 项分布和负二项分布我们将给出这些分布之间的一些相互关系，并讨 论聚合风险模型的一些性质 在本章的第二部分，我们将通过研究最大积累损失来推导未破产概率 的矩母函数，这里所说的最大积累损失是指到任何一个时刻为止所挣得 的保费和总理赔额的差的最大值在理赔服从指数分布的几个变形时， 我们将利用这个矩母函数来求破产概率的值 9 赵朋：离散模型的破产概率及若干大偏差结果 2 2 盈余序列 r ( n ) ，n20 ) 的性质 定义( 1 2 2 ) 、定义( 1 2 3 ) 、定义( 1 2 4 ) ，定义( 1 2 5 ) 、定义 ( 1 2 6 ) 中定义的5 种风险模型，我们有如下的性质 性质2 2 1在c b r m 中，盈余序列 r ( n ) ，n o ) 具有平稳独立增量 性质2 2 2在d b r m 中，盈余序列 r ( n ) ，n o ) 具有平稳独立增量 性质2 2 3 在c n b r m 中，盈余序列 r ( 咒) ，竹2o ) 具有平稳独立增 量 性质2 2 4在保费收取次数为负二项随机序列的复合二项风险模型 中，盈余序列 r ( 豇) ，n o ) 具有平稳独立增量 性质2 2 5在d n b r m 中，盈余序列 r ( n ) ，几o ) 具有平稳独立增 量 对于上述性质我们仅队性质2 2 2 、性质2 2 5 进行证明，性质2 2 1 、 性质2 2 3 、性质2 2 4 可以用同样的证明方法来论证 性质2 2 2 的证明。对n o n l 礼。，随机变量 r 。一r 。= c ( 螈；一且乱一，) 一( s k s 一。) ( i = 1 ，2 ，竹) 而 ( 螈，一) ，( 坂：一坂，) ，( 一一) ( 岛。一岛。) ，( & ：一品。) ，( 鼠。一一。) 是相互独立的，因此盈余序列 r ( n ) ，几o ) 具有独立增量 又因为r ( n + k ) 一兄( n ) = c c m ( n 十k ) 一m ( n ) ) 一( s ( n + k ) 一s ( n ) ) ，对一切 的礼2o ，m ( n + 晃) 一m ( 羁) ，s ( n + k ) 一s ( 孔) 分别具有相同的分布，所以对一 切的n 0 ，兄伽+ k ) 一r ( n ) ，也具有相同的分布，即盈余序列 r ( n ) ，n o ) 具有平稳增量 1 n 第二章离散模型的破产概率 综上，盈余序列 r ( n ) ，孔o ) 具有平稳独立增量 性质2 2 5 的证明：由【1 2 ，1 3 】可知m ( n ) = 岛，其中以为服从1 一p 7 的 对数分布，一p o i s s o n ( 一n l n y ) 考察m ( 他十，) 一m ( 啦) 。警1 如， 由于 e e p ：e e 静p ( n i ：z ，r t i 圹m ) ：( 尬( t ) ) m 一2 p ( n i ：l ，l ：m )“t “= i + 1 = z ，+ 15m ) = ( i 磊( t ) ) ”。= ，竹件l = m ) e e 。军“：e e t 军“p ( m ：f ，m + l ：m ) t , r n = ( 蚴( t ) ) “一p ( n l = z ，n i + l = m ) 从而可知警1 如与“葛“屯是同分布的，也即m ( 几件。) 一m h ) 与m ( 扎m m ) 同分布 对n o n l 0 ，使 得r ( n ) 0 ，定义破产时刻t = i n f n ：r ( n ) o ，最终破产概率和生存到 时刻n 的概率分别为： 皿( = p ( t n r ( 0 ) = 其中破产概率皿( u ) 是初始资本u 的函数。 我们记每次事故赔付量x 的矩母函数为m x ( r ) ：= e e 晴】，r ( 一o o ，+ o 。) 引理2 3 1方程p m x ( r ) 十口= e 在p = e x 0 和r 0 ，我们考察： e e r r ( n ) 】= e e - r r ( ”) l t n p ( t 乱) + e k - r r ( “) i t2n p ( t 几) ( 2 3 1 ) “、 由于r ( n ) = t 十c ! r t s ( 扎) ，其中s ( n ) = 窆。五， l 置l 故上式左端e ( e - - r r ( n 】_ e - - r u ：1 ( p m x ( r ) + q ) r ，而在右端第一项( 记为 ) 中，将r ( n ) 写成；r ( n ) = r ( t ) + c ( n t ) 一( s ( n ) 一s ( r ) ) ， 对于给定的? ；s ( n ) 一s ( t ) 与r ( t ) 独立，且服从参数为n t 和p 的 复合二项分布，从而 = e e r 冠口) e 一邝一一卵+ 8 一8 ? i t n p ( t n ) = e 【e 一a ( 印( e ”( p m x ( r ) + g ) ) n - t i t n p ( t 札) ( 2 3 2 ) 利用引理2 3 1 ，选取r = r ，即为调节系数，则( 2 3 1 ) 式和( 2 3 ，2 ) 式可化 简于是( 2 3 1 ) 式可写为： e - 胤= 昱 e 一7 冠口 t n p ( t n ) + e 【e - r r ( t ) t t n p ( t2n )( 2 3 3 ) 然后，令礼一o o ，则上式第一项变为：e 【e 。尉t l 丁 0 ， 考察a 兰甜+ n q 一3 n i ，只要n 充分大，它是正的，而且当珏一+ o 。时 a 一+ o o 现将( 2 3 3 ) 式右端第二项用r ( n ) 与a 的大小拆成两项，即得 e e r r ( ”f ? 川p ( t n ) = 曰f e 一艘( l 丁m 0 r ( n ) a 1 p ( t n ，0 冗( n ) a ) + e e 一删哟i z n ，r ( n ) a p ( t n ，r ( n ) a ) 1 4 第二章离散模型的破产概率 p ( o r ( n ) a ) + e 一姒( 2 2 4 ) 由c h e b y c h e v 不等式，得 v ( o r ( n ) sa ) = p ( o 曼r ( n ) e ( r ( 札) ) 一卢几；) p ( i r ( n ) 一e ( r ( 几) ) l2 口n ) 冬v a t 陋( 札) 】p 一2 件一；= n - i 于是，当n o o 时，( 2 3 4 ) 式右端趋进于0 ，从而定理证毕 定理2 3 ，2对于d b r m r ( 礼) ) 墨。，其破产概率为 。一m 皿( u ) = e e - r 二a ( t ) 一 t o o ， 其中，r ( 调节系数) 为方程+ g ) m x ( r ) + 窖，) = 1 的正解 证明r 的存在性和引理( 2 3 1 ) 相似 定理的证明可参考定理2 3 。1 ，只是此时令 q = c p p 么，伊= c 2 p q + p ，( 咖2 + 盯2 ) 定理2 3 3 对于c n b r m r ( n ) 票= o ，其破产概率为 。一m 皿( “) = e e - 丘 r 三( t ) i t 一 0 ，从而在r = 0 处，曲线f ( r ) 的 切线斜率大于0 由定义1 2 6 中假设( i i ) 知m x ( r ) 1 ，当r o o 有( r ) 0 和r 0 ，我们考察： e ( e r r ( n ) ) = e e 一7 r ( ”l t n p ( t 礼) + e e 一7 刷”i t n p ( t2n ) ( 2 3 5 ) 由于冗( n ) ：”+ c m ( 仃) 一s ( n ) ，其中s ( 礼) ：警鼍，故 e ( e 一相h ) = e ( e 一7 - + 洲( 由一占( 帕) = e ( e 一“b 一”_ ) e r a ( n ) ) = e - * 。e ( e 一7 。材姊) e ( e r s 协) = e 叫。f t 上l - - q g - - r u 卜j i = ；7 j ；豇再】竹 ( 2 3 ，6 ) 第二章离散模型的破产概率 把( 2 3 5 ) 式中右端第一项记为 = e ( e - r r ( ”) i t n ) p ( t n ) ，r ( n ) 可 写成： ， r ( n ) = r ( t ) + r ( n ) 一r ( t ) = r ( t ) + c ( m ( n ) 一 彳( t ) ) 一( s ( n ) 一s ( r ) ) 给定t ，由d n b r m 定义知，当t n 时，m ( n ) 一m ( 丁) ，s ( n ) 一s ( t ) 和 r ( t ) 是相互独立的，且m ( n ) 一m ( t ) 服从参数为n t 和p 的负二项分 布，s ( n ) 一s ( t ) 服从参数为n t 和p ，的复合负二项分布，从而 矗= e ( e - r r b 口 n ) p ( t 珏) 一e ( e 一r ( t ) e 一”( m n ) 一 口) ) e 7 ( 8 ( ”) 一s 口) f r n ) p ( t 扎) = e e - r a ( t ) ( ( 南、x l - - r 卫m x 一( r ) 、i 、i n - - t i t n l p ( t 几) ( 2 3 7 ) 选取r = r ，( 2 3 ，5 ) 式可写为 e ( e 一兄取砷) = e ( e - r r l 丁 n ) p ( t a p ( t n ，月( n ) a ) sp ( o r ( n ) sa ) + e 一融 ( 2 3 9 ) 由c h e b y c h e v 不等式，得 1 7 赵朋：离散模型的破产概率及若干大偏差结果 p ( o r ( n ) a ) = p ( o r ( n ) e ( r ( 札) ) 一卢n ) p ( i r ( n ) 一e ( 兄( 竹) ) f 卢n ) sy 口r 【r ( 竹) 】卢一2 n 一孝= n - 吉 于是，当忆一o 。时，( 2 3 9 ) 式右端趋进于0 ，从而定理证毕。 推论对于以上五种模型，都有霍( u ) e - m 证明破产时刻t o o ，此时公司的盈余r ( t ) 0 因此e ( e 一衄仃l r 1 由以上定理，知霍( ) e - 取 第三章若干大偏差结果 第三章若干大偏差结果 3 1g c b r m 在子类e r v 中的若干大偏差结果 本节我们拓展经典的复合二项风险模型到保费收取次数服从p o i s s o n 过程的复合二项风险模型( 广义复合二项风险模型) ，从而它不再是个线性 函数此模型将依据l u n d b e r g 最终破产概率的某些极限结果，考察了索 赔赢余过程的尾概率 定义3 1 1 1 1 】在时间( o ，n 】内满足以下4 个条件的模型为广义复合二 项风险模型( g e n e r a l i z e dc o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ) ，简称g c b r m ( i ) 理赔次数t ( n ) ；n = 0 ，1 ，2 ， 服从参数为p 的二项分布，0 p l ， 且n ( 0 ) = o ； ( i i ) 每次理赔额 ；n 1 ) 是非负，独立同分布的随机变量，它们的 分布函数是f ，0 0 为每次保险公司的初始资本，每次保费收入为常数c 0 对于g c b r m ，保险公司获得利润的条件为c 入 p e x l g c b r m 的破产时间定义为 t ( u ) = i n f n ；冗( n ) 乱( 3 1 3 ) 本节重点讨论带重尾理赔次数的g c b r m ， ( i ) s ( n ) 的大偏差概率， ( i i ) l u n d b e r g 极限结果在最终破产概率中的应用 定理3 1 1 1 1 1 】对于g c b r m ， s ( n ) ) 如( 3 1 2 ) 定义，设- p e r v ( 一口，猡) ，其中1 0 满足7 p c a ，也就是 鸭l i r as ，u 彬pi 型鬻幽- 1 l = o ( 3 1 4 ) n 一 御p n i 嚣) 、 证明我们注意到 尸( s ( n ) 一e s ( n ) z ) = p ( y ( n ) e y ( n ) z c a n + c m ( n ) ) = p ( y ( n ) 一e y ( n ) z c a n + c k ) p ( m ( n ) = k ) k = 0 因此，定理( 3 1 1 ) 的证明主要依据以下四个引理3 1 1 3 1 4 引理3 1 1 m ( 几) ；n = 0 ，1 ，2 ，) 是参数为a 0 的p o i s s o n 过程，因此 存在一非负的序列当竹一o o 时， e ( n ) lo 且 p ( i m ( n ) 一a n l s