（应用数学专业论文）精算数学中索赔分布的矩.pdf

查! ! 垄兰塑主鲎堡垒查 塑墨 精算数学中索赔分布的矩 摘要 作为精算学中一个重要的研究方向。风险理论已经日趋完善。然而由于风险的 不确定性，累积分布的处理一直是一个难点。组合数学在概率理论中越来越广泛的 应用能够为解决这个难题提供一些帮助，本文研究了累积分布的两个最基本的模型： 个体风险模型，复合风险模型。所用到的方法主要是组合数学中发生函数的理论和 概率论中的矩与半不变量。 论文首先介绍一些累积分布函数的递归，在此基础上讨论了矩的递归及其应用。 本文利用发生函数来处理复合分布函数，得到了一些有价值的结果，再使用b e l l 多 项式和f a ad ib r u n o 公式等，从而得到了累积分布矩的具体表达式。最后，论文对 风险模型中计数分布满足p a n j e r 类的复合分布的矩进行了研究。 关键词：累积分布：矩；发生函数；半不变量：b e l l 多项式 立韭苎兰堡主兰垒笙塞 ! ! ! ! ! ! ! ! t h em o m e n to f a g g r e g a t ed i s t r i b u t i o n si n a c t u r i a lm a t h e m a t i c s a b s t r a c t a sas i g n i f i c a n tp o r t i o no fa c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ，r i s kt h e o r yh a sb e e nc o n s u m m a t e d i nd e g r e e s h o w e v e r , t h es o l v e m e n to fc l a i md i s t r i b u t i o ni sa l w a y sap r o b l e mb e c a u s eo f t h er a n d o mi nr i s k t h ep r o b l e mm a yb es o l v e db yw i d e l yu s i n gt h et o o lo fc o m b i n a t o r i c s i np r o b a b i l i t yt h e o r y i nt h i sa r t i c l e ，w et r yt od i s c u s st h em o s tt w ob a s i cm o d e l sb y m e t h o di ng e n e r a t i o nf u n c t i o no fc o m b i n a t o r i c sa n dt h em o m e n ta n dt h ec u m u l a n ti n p r o b a b i l i t yt h e o r y a tt h eb e g i n n i n g ，w ei n t r o d u c es e v e r a lr e c u r s i o n si n a g g r e g a t ed i s t r i b u t i o n f u r t h e r m o r e ，w ei n t r o d u c es o m er e c u s i o n so fm o m e n ta n di t sa p p l i c a t i o n t h e nw ed e a l w i t ht h ec o m p o u n dd i s t r i b u t i o nb yg e n e r a t i o n a lf u n c t i o n w em a k eu s eo ft h et o o lo fc o m b i n a t o r i a lm a t h e m a t i ct od e a lw i t ht h ev a l u a b l e r e s u l t st h a tw ea c h i e v e d w ec a ng e tt h ee x p r e s so ft h em o m e n to f a g g r e g a t ed i s t r i b u t i o n f i n a l l yw ed e d u c et h em o m e n to fc o m p o u n dd i s t r i b u t i o nw h o s ec o u n t i n gd i s t r i b u t i o n b e l o n g st ot h ep a n j e rc l a s s k e y w o r d s ：a g g r e g a t ed i s t r i b u t i o n ；m o m e n t ；g e n e r a t i o n a lf u n c t i o n c u m u l a n t ；b e l lp o l y n o m i a l 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谓 意。 学位论文作者签名：黝 日期：伽厂弓哆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位敝储潞剃 签字日期：劾d 、；毒 导师签名： 签字日期： 纷锄 厕3 弓 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 人类在社会生活中经常要面对疾病、死亡、意外事故和自然灾害等方面的风险。 科学技术的发展和生活水平的提高。不断增强着人类抵御风险的能力。但是风险是 不能彻底避免的，随着社会、经济和科学技术的发展，还会不断产生新的风险，例 如现代交通事故、环境污染、核泄露、爱滋病、市场波动等。风险在局部和微观上 具有不确定性和损失集中的特点，但在大范围和宏观上，它又具有稳定性和一致性， 即风险发生的可能性大体稳定以及损失的大小基本服从一定的分布规律。保险的基 本原理是将众多的投保人的保费集中到承保人或保险公司身上，承保人利用保费收 入方面保证赔偿的正常进行，另一方面，通过分析与计算来合理调配资金，提高 保险基金的投资效益，最终使投保人和承保人都有所收获。 1 2 保险业的由来和发展 人类已经进入了一个充满机遇和风险的新世纪。许多的偶然因素可能给人们带 来收益，也可能造成损失，面对风险，人们必须根据经验做出决策，以避免损失来 获得更大收益。为了减轻由予偶然原因而发生的事件对决策者的不利影响，保险行 业就运营而生。 早在公元前2 0 0 0 年前后，海上运输业的繁荣成为现代水险的起源，公元前9 1 6 年的罗地安海商法中首次明确规定：“为了全体利益减轻船只载重而抛弃船上的货 物其损失应由全体收益方来分摊”，这就是著名的麸同海损分摊原则。标志着现代 海上保险产生的一份保险契约是在1 3 8 4 年签署的，一般称之为比萨保单。1 6 8 8 年 出爱德华劳埃得在英国伦敦创立的一个承保人协会简称作“劳合社”在保险发展 史上有着举足轻重的作用，虽然该协会仅向其会员提供保险交易场所和有关的服务， 但是它所规定的条款、指定的费率、乃至形成的运作方式方法都对世界的水险业务 产生巨大的影响。最早的火灾保险则可追溯到1 2 世纪，1 6 6 6 年9 月2 日伦敦城区 发生大火，全城8 5 以上的房屋被烧毁，2 0 万余人无家可归，财产损失更是无法估 量，从此火灾保险得到足够的重视。由于火灾保险扩展而成的财产保险，现在已包 括洪水、地震、风暴和偷盗等致险因素，所保财产也从房屋等扩大到各种固定资产 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 和流动资产，财产保险是当今保险市场的重要部分。人身保险是以人体为保险对象， 早期承保范围很小。1 7 6 4 年创立的伦敦公平人寿保险社开创的人寿保险，极大的扩 大了承保范围。寿险涉及面广、流动资金相对稳定。它往往在保险市场中占有最大 的份额。进入2 0 世纪后，保险业有了很大的发展，出现了很多新险种。以被保险人 的民事损害赔偿责任为保险对象的责任保险是其中重要的一类。医疗责任保险、交 通意外事故的第三者责任险、产品使用意外事故责任保险等都是发展很快的责任保 险、交通以外事故的第三者责任保险、产品使用以外事故责任保险等都是发展很快 的责任保险险种。另一类重要的新险种是信用保险或称保证保险，在现代市场经济 中，信用和担保问题已成为经济活动能否顺利进行的重要因素，保险机制的引进为 了解决这个问题提供了一个有效手段。保险业的发展水平和速度与经济发展的水平 和速度密切相关，人们经常将保险业的现状作为经济发展状态的重要标志。对于我 国这样一个发展中国家来说，解决好个人和企业的保险问题对我国的经济发展起到 很好的保障作用。 保险机制并不能直接减少造成损失的随机事件发生的概率。例如风暴险的丌设 并不能改变发生风暴灾害的概率，不过一个设计得很好的保险系统常能起到刺激人 们提出防止损失的举措。保险系统为社会提供了。一个广泛的福利，它还鼓励人们去 从事那些风险很大，而对全社会有利的那些事业。例如海上保险与航天保险，如果 没有保险系统作为支撑，这些事业是很难得到发展的。 1 3 精箅学的发展及研究对象 随着保险事业的发展，一些科学的理论与方法随之而生，有关保险的定量科学 称为保险统计，也称精算学( a c t u a r i a ls c i e n c e ) 保险精算学起源于人寿保险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚渊源关系。 1 6 9 3 年，英国著名天文学家爱德华哈雷( e d m u n dh a l l e y ) 根据德国布勒斯市居 民的死亡资料，编制了世界上第一张完整的死亡表，用科学的方法，精确地计算出 各年龄段人口的死亡率。这不仅使产生于1 2 世纪的年金价格计算更精确，也为寿险 的形成奠定了科学的基础。1 8 世纪中叶，托马斯辛普森、根据哈雷的死亡表构造 了依据死亡率变化而变化的保险费率表，后来詹姆斯多德森又根据年龄的差异确 定了更为精确的保险费率表进一步为精算奠定了基础。1 9 7 6 年。英国成立了世界 上第一家寿险公司一一伦敦公平保险公司。该公司以死亡表为依据，采用均衡保费 的理论来计算保费，该公司的成立，标志着现代寿险制度的建立，也标志着寿险精 算的开始。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 精算是从寿险精算开始，但精算并不仅仅限于寿险精算，还包括非寿险精算。 因寿险和非寿睑在保险标的、保额、保险期限、保险合同的性质、承保的风险的均 匀性、保费的估算方法都是有所不同，所以两者的精算方法也不同。精算有寿险精 算和非寿险精算之分。非寿险精算的发展晚于寿险精算的发展。 保险精算的基础是大数定律。大数定律是指随机事件的频率的稳定性及平均结 果的稳定性，即随机事件在每次独立的观察中出现的偶然性将在大量重复观察中呈 现必然性。 风险理论是决策者对风险进行定量的分析和预测的一般理论。它可以应用子许 多涉及风险分析和决策的领域。如投资分析、资产管理、经营风险分析等。我们主 要考虑保险经营中的风险理论模型。保险风险模型主要由总索赔模型和破产理论两 部分组成。总索赔是指一定时间内某项业务总的索赔金额，从承保人的角度，很关 心这个总量。而破产理论则是研究经营者的经营状况的理论和方法，进行经营稳定 性分析，这方面的工作非常多，有从数学方面入手的，也有从统计方法上研究的， 破产理论是目前比较活跃的一个方向。 目前，精算的重簧研究方向有以下几个方面： ( 1 ) 政策理论研究 主要包括发展速度闯题；社会主义市场经济条件下的保险业结构问题：保险资 金的运作及管理闯题。 ( 2 ) 业务技术研究 新险种的设计与开发。新险种的设计中，最主要的是对所承保的风险进行定 量的分析，这不仅需要保险业务方面的知识，而且更多的是具体计算的问题。 a 信息的收集和整理。保险经营者日常面临着庞大的数据，既有大量的业 务信息，又有外部环境信息，这些信息对经营状况分析和经营方针决策 都是至关重要的。如何利用计算机技术来收集、管理和加工好这些信息， 建立适合保险业经营管理需要的管理信息系统，也是一个紧迫的任务。 b 精算技术。寿险精算已经形成比较完普和系统的理论和方法，可以说寿 险业务的日常运作就是以精算方法为基础的，它己贯穿于寿险业务的方 方面面。在寿险精算的生存分析问题中有以下一些新的方向：多生命体 的联合寿命分析，多种致险因素的联合分析，一些复杂生命表的构造问 题，生存分析技术问题( 死亡率曲线、修匀方法和删失数据的利用) 等。 影响寿险的另一个因素是利率，一方面目前关于随机利率的研究是金融 数学中较为活跃的一个方向，它采用随机过程的方法构造利率关于时问 东北大学硕士学位论文第一章绪论 的模型，或利率关于其他金融指标的模型：另一方面从总体上研究利率 的变化对寿险业务的影响也是很有意义的工作。 c 再保险技术。我国目前尚没有严格意义下的国内再保险公司。如何建立 适合我国国情的再保险组织形式和再保险市场，是一个重大的研究课 题。再保险经营由于面临的业务情况很复杂，因此对技术方面的要求更 高。从计算技术上看要涉及以下几个方面的工作：极值分布问题、随机 和的分布问题以及分布近似计算问题等。 1 4 保险风险模型中的索赔模型 风险理论中，在一定时期内总索赔数的计算是很重要的工作，随着精算学的发 展，风险理论已经逐步完善。针对不同的情况建立不同的索赔模型。基本的索赔模 型有两种：个体风险模型：复合风险模型。更一般韵是两种模型的混合模型，以这 两种模型为基础，衍生出很多复合模型，如短期聚合模型等。基本模型都是在忽略 利率、税收、通货膨胀等因素以及简化保费收入过程的前提下。讨论赌付与保险人 财务稳定的关系。考虑上述条件的是比较复杂的模型。在这些方面，很多的国外学 者已经做了大量的工作，并取得了一些结果。在国内对基本模型的探索和研究较少， 北京大学的杨静平教授于2 0 0 5 年发表了索赔额分布为混合型的复合分布的递推算 法，该领域的研究在国内还刚刚起步。 1 5 本文研究的问题 在进行索赔总额计算的过程中，需要解决的问题十分复杂，只能在一些特殊假 设下讨论累积分布，例如我们假设每张保单发生理陪及理赔额大小是相互独立的， 保单组合中的风险都为同质风险，理解为同类保单，每个保单索赔数有相同的分布 等。在某些特定的条件下，个体风险模型的计算方法主要有以下几种方法： 1 卷积法 2 矩母函数法 3 应用中心极限定理进行正态逼近法。 在精算理论中一个需要解决的重要问题就是计算n 重随机变跫卷积的分布函 数，然而在概率论的角度上看，l 重卷积的计算本身就是相当困难的工作，而且当 n 为随机变量时，就是计算一个复合分布，其分布函数的计算就霹加困难。从前人 所做的工作来看，最终润题的解也不太可能是一个简单的封闭公式，大量的工作是 研究这个复合分布的矩的递归，本文利用矩、半不变量以及组合数学中发生函数等 东北大学硕士学位论文第一章绪论 的模型，或利率关于其他金融指标的模型：另一方面从总体上研究利率 的变化对寿险业务的影响也是很有意义的工作。 c 再保险技术。我国目前尚没有严格意义下的国内再保险公司。如何建立 适合我国国情的再保险组织形式和再保险市场，是一个重大的研究课 题。再保险经营由于面临的业务情况很复杂，因此对技术方面的要求更 高。从计算技术上看要涉及以下几个方面的工作：极值分布问题、随机 和的分布问题阻及分布近似计算问题等。 1 4 保险风险模型中的索赔模型 风险理论中，在一定时期内总索赔数的计算是很重要的工作，随着精算学的发 展，风险理论已经逐步完善。针对不同的情况建立不同的索赔模型。基本的索赔模 型有两种。个体风险模型：复合风险模型。更一般的是两种模型的混合模型，以这 两种模型为基础，衍生出很多复合模型，如短期聚合模型等。基本模型都是在忽略 利率、税收、通货膨胀等因素| 丛及简化保赞收入过程的前提下。讨论赔付与保险人 财务稳定的关系。考虑上述条件的是比较复杂的模型。在这些方而，很多的函外学 者已经做了大量的工作，并取得了一些结果。在国内对基本模型的探索和研究较少， 北京大学的杨静平教授于2 0 0 5 年发表了索赔额分布为混合型的复合分布的递推算 法，该领域的研究在国内还刚刚起步。 1 5 本文研究的问题 在进行索赔总额计算的过程中，需要解决的问题十分复杂，只能在一些特殊假 设下讨论累积分布，例如我们假设每张保单发生理陪及理赔额大小是相互独立的， 保单组合中的风险都为同质风险，理解为同类保单，每个保单索赔数有相同的分布 等。在某些特定的条件下，个体风险模型的计算方法主要有以下几种方法： 1 卷积法 2 矩母函数法 3 应用中心极限定理进行正态逼近法。 在精算理论中一个需要解决韵重要问题就是计算n 重随机变量卷积的分布函 数，然而在概率论的角度上看，n 重卷积的计算本身就是相当困难的工作，而日当 n 为随机变量时，就是计算一个复合分布，其分布函数的计算就更加困难。从前人 所做的工作来看，最终涧题的解也不太可能是一个简单的封闭公式，大量的工作是 研究这个复合分布的矩的递归，本文利用矩、半不变量蚪及组合数学中发生函数等 研究这个复合分布的矩的递归，本文利用矩、半不变量蚪及组合数学中发生函数等 东北大学硕士学位论文第一章绪论 的模型，或利率关于其他金融指标的模型：另一方面从总体上研究利率 的变化对寿险业务的影响也是很有意义的工作。 c 再保险技术。我国目前尚没有严格意义下的国内再保险公司。如何建立 适合我国国情的再保险组织形式和再保险市场，是一个重大的研究课 题。再保险经营由于面临的业务情况很复杂，因此对技术方面的要求更 高。从计算技术上看要涉及以下几个方面的工作：极值分布问题、随机 和的分布问题以及分布近似计算问题等。 1 4 保险风险模型中的索赔模型 风险理论中，在一定时期内总索赔数的计算是很重要的工作，随着精算学的发 展，风险理论已经逐步完善。针对不同的情况建立不同的索赔模型。基本的索赔模 型有两种：个体风险模型：复合风险模型。更一般韵是两种模型的混合模型，以这 两种模型为基础，衍生出很多复合模型，如短期聚合模型等。基本模型都是在忽略 利率、税收、通货膨胀等因素以及简化保费收入过程的前提下。讨论赌付与保险人 财务稳定的关系。考虑上述条件的是比较复杂的模型。在这些方面，很多的国外学 者已经做了大量的工作，并取得了一些结果。在国内对基本模型的探索和研究较少， 北京大学的杨静平教授于2 0 0 5 年发表了索赔额分布为混合型的复合分布的递推算 法，该领域的研究在国内还刚刚起步。 1 5 本文研究的问题 在进行索赔总额计算的过程中，需要解决的问题十分复杂，只能在一些特殊假 设下讨论累积分布，例如我们假设每张保单发生理陪及理赔额大小是相互独立的， 保单组合中的风险都为同质风险，理解为同类保单，每个保单索赔数有相同的分布 等。在某些特定的条件下，个体风险模型的计算方法主要有以下几种方法： 1 卷积法 2 矩母函数法 3 应用中心极限定理进行正态逼近法。 在精算理论中一个需要解决的重要问题就是计算n 重随机变跫卷积的分布函 数，然而在概率论的角度上看，l 重卷积的计算本身就是相当困难的工作，而且当 n 为随机变量时，就是计算一个复合分布，其分布函数的计算就霹加困难。从前人 所做的工作来看，最终润题的解也不太可能是一个简单的封闭公式，大量的工作是 研究这个复合分布的矩的递归，本文利用矩、半不变量以及组合数学中发生函数等 东北大学硕士学位论丈 第一章绪论 研究复合分布中数字特征，并且得到了数字特征具体的表达式。 东北大学硕士学位论文第二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 在绪论中已经指出，风险理论中在一定的时间段内( 通常为一个会计年度) ，总索 赔额的计算，包括对这家保险公司财务稳定性的考察，这些对保险公司的正常运行起到 了关键的作用。本章是建立在总索赔的两个基本模型韵基础上，讨论了传统的解决这两 个基本模型的一些方法。 本章主要介绍一些精算学中常用的符号，风险理论中总索赔的基本模型，及国内外 在这个方向的一些前沿的结论。 2 2 一些定义和符号的介绍 首先介绍精算数学中常用的一些符号。 我们定义p v h 表示由计数分布p 和索赔额分布日 p v ；p ( n ) h ”，详细见【l 】 n - o ，( g ；c ) = e ( x c ) 其中，x 的分布函数为g 其中日”表示x 的 重卷积的分布函数 r 表示实数集，z 代表整数集，鼻定义为在z 上的概率分布函数，只。定义为在n 上的概 率分布。 表示分布函数的i n 阶半不变量。 矩生成函数( 矩母函数) o ) = e e “】 特征函数丸( r ) = n e “】 母函数g ( ，) = 研= ，p r x = 七】 f o 半不变量生成函数t c x ( t ) = l n m f ( f ) t n 】，( f ) 表示取厂( r ) 的t a y l o r 展开t ”前面的系数 ，z 的下阶乘( n ) 。= n ( n 1 ) 0 一k + 1 ) b “( x 1 ，x 2 c x h + 1 ) 表示b e l l 多项式 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 。= 中( 删) = e 印m 蚤靠台= 三t ( z ：，k 。) 鲁“t = 1 + “。( 而 ，x 。+ 。) ) 月2 1 t l b e l l 多项式的表达形式为： b n , k ( x 1 ，x 2 , 3 f n k + 1 ) = 磊而赫z ( 2 2 1 ) 这里的和式取遍满足： c 1 + 2 c 2 + 3 c ，+ = 刀 q + c 2 + c 3 + - = k 的整数，c i ，c 2 ，岛，0 2 3 两类基本的索赔模型的介绍 在传统的精算模型中，s 定义为在给定的时间内( 一个会计年度) 发生索赔的总数额， 也就是累积数。，是s 的概率密度函数，对s 建立模型，传统上分为两种模型：个体风 险模型( i n d i v i d u a lr i s km o d e l ) ；复合风险模型( c o m p o u n dr i s km o d e l ) 在保险精算中，经常要考虑同一险种的所有保单的索赔情况，对于某一个险种的 个同质的保单，记未来的索赔量为置，x ：，x 。它们的分布函数分别为，l ， ，六， 则总的索赔量为s 。= 工，+ x ：+ + z 。，在风险理论中，称s 。为个体风险模型，一般的 来说，不要求五，z ：，。独立同分布，特殊的情况下，我们经常讨论独立同分布的情 况。 复合风险模型( c o m p o u n dr i s km o d e l ) 是只讨论发生索赔的保单的索赔额度的风险模 型。记索赔发生的次数为，为一随机变量，对发生索赔的保单，记对应的索赔的 额度分别为x l ，x 2 ，x 。则总的索赔量为s 。= z 。+ 五+ + x 。在模型中，假设 置，i 1 为独立同分布取正值，且与独立的随机变量序列。这种模型称为复合风险 模型，p 和，定义为和一的分布，此时，s 为复合分布p v = p ( n ) h ”其中p 为计 n _ o 数分布，h 为一张保单索赔量的分布，rs 是个相互独立的随机变最的和，在集体风险 模型中有两种表示； l ， r 是这类保险中发生索赔的个数，y l 为总数中的第i 份索赔的数额。 2 ，是在保险中保单的总数，j ，是第i 份保单索赔的数额。 东北大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 4 累积分布的传统解决方法 2 4 1 个体风险模型的解决方法 个体风险模型中，计算累积分布的方法有以下几种： 卷积法：求多项独立和分布的卷积方法是在两项卷积的基础上通过逐次迭代来实现 的，比如要求s ；x i + x 2 + 也的分布，先对五和五进行卷积，然后再将( 墨+ x ：) 和玛 进行卷积运算，如此迭代下去。记一+ 也+ + 以的分布函数为f ( z ) ，密度函数为 ，( z ) 。 用符号表示卷积运算，上诉迭代过程可表示如下： ，1 ( z ) = e ( 孑)厂1 ( ：) ；：( z ) f 2 ( ；) ；e f 1 ，2 ( z ) = 厶女f 。 f ”( ；) ；只f “，”( z ) ； 厂“ 矩母函数法：按矩母函数的定义，有：m x ( ，) ；e ( 矿) = f e t f ( x ) d x 对于独立随机变量和s = x 1 + x 2 + + 以，由于x i ，x 2 , - - , 瓦相互独立，经函数变换后 的行个随机变量口比e t x 2 ，e t x , 也相互独立，因此有； m s o ) = e ( e 四) = e ( e 而+ 也+ + 以) ；e ( e “q e “2 p 峨) = m x i ( r ) m x , ( ，) 若墨，x 2 ，以同分布，设其矩母函数为棚。( ，) - 则： m s ( t ) = 【r n f o ) 】” 卷积法和矩母函数法都可以用于获得独立随机变量和的精确分布，但对于数目较大 的保单组合来说，更实用的方法则是寻求累积值的近似分布。从概率论还知道，在一定 条件下独立随机变量系列不断累加后，和的分布将趋于正态，这正是经典概率论的中一t l , 内容，中心极限定理，应用中心极限定理的方法在这里就不详细介绍，可参考 2 】。 2 4 2 复合风险模型的解决方法 复合风险模型中的保单个数是个随机变量，该问题涉及到随机变量的复合，所以直 接求出累积分布函数是一项困难的工作，因此一些数学工作者在找不出分布具体表达式 的基础上，对其分布函数的递归方法进行了研究。并且取得了比较完善的结果，最重要 的结果出现在1 9 8 1 年，北美精算协会h h p a n j e r 推导出了经典的递归，以他的名字命 名为p a n j e r 递归。其结论如下： 设f = p v h ，其中h 置，p 只。，满足递归 墨苎查兰塑主兰垒坚一 箜三兰塑鱼! ! 坚 p ( 以) ：( 口+ 刍p ( 珂一1 ) ( 以：1 ，2 ，) 疗 以上假设的条件下，p a n j e r ( 1 9 8 1 ) 推导 f 的递归 八2 言( 口仙- - y x ) m 训v j一 ( 2 4 2 t ) ( 2 4 2 2 ) 在得到这个结果后。有很多精算学者对p a n j e r 递归开始进行研究扩展s u n d t 和 j e w e l l ( 1 9 8 1 ) 讨论了满足( 2 4 2 1 ) 的二项分布 0 的时候，有： m ) 2 高喜( m 如彤( ) 初始项，( o ) = 二p ( 以的( o ) ” ( 24 2 3 ) 征讨论h 为离散分布函数的同时，p a n j e “1 9 8 1 ) 年还对h 为连续值的情况做了讨论，在这 种情况下，递归( 2 4 2 2 ) 为： ，( j ) = p ( 1 ) 朋) + f + b y ，) h ( y ) f ( 工一y ) a x o = 1 ，2 )( 2 4 2 4 ) 在1 9 8 5 年s t r o t e r 讨论了这个方程的数字解。 这种研究一直在进行，丽且不断的对p a n j e r 递归的特殊情况进行讨论，直到1 9 9 2 年， s u n d t 讨论了更一般的情况，s u n d t 把( 2 4 2 1 ) 拓展到： p ( 功= 孝。( ) + 警p 。一，) 。= 1 2 ，_( 2 4 _ 2 5 ) 对某个正整数k 和函数口和6 ，i y , n 碉出对于厂= p v h ，h eb + ，则 m ) = 砉m 刊妻( 柳竽杪( 力( 川2 ，) ( 2 4 同年，s u n d t 对这个结果又进行了拓展，当p 只，而且满足递归 砌) = 善k ( 州) + 睾砌柚( “m ，) ( 2 4 2 7 ) 则，对于非负整数r ，得到递归： 厂( x ) 2 善r ( p ( 玎) 一妻( 口( i ) + 警p 如一f ”矿( 力+ 喜，。一喜( 砸) + 竽矿( y ) = 1 , 2 )( 2 4 2 8 ) 东北大擘硕士学位论文 第二章预备知识 更一般的模型，假设p 乍满足递归； 加) = 毒溆讣黟p ( n = 1 ，2 ，) 其中令p ，( h ) = p n 。- ， h 。( r n , r ；+ 。l ，, 1 r ，+ ) 2 ”一 满足( 2 4 2 7 ) ，则给出z ；所v h ，h e p l ，满足递归： 胁南似帅，+ 扣刊扣，+ 竽辨功 ( 2 4 2 9 ) 东北大学硕士学位论文 第三章风险模型中矩的递9 - j 3 1 引言 第三章风险模型中矩的递归 在对两个模型的研究过程中，本文发现个体风险模型是研究 重卷积的分布函数， 求卷积的分布函数本来就是一项非常困难的工作，在求不出分布函数的情况下，所要能 找到分布函数的递归表达式也是一项很好的工作，在这个过程中，精算学者们一直在不断 的寻找递归的表达式，尤其是借助矩这个工具，本章主要介绍矩在两类基本模型中的应 用，尤其是在复合风险模型中的应用。 在p a n j e r 递归的基础上，s u n d t 对分布函数矩的递归进行了研究，先对肝重卷积的 矩的递归进行了推导，然后对复合分布的矩的递归进行了一些结论的证明。 3 2 个体风险模型中矩的递归 引理3 1 若随机变量】，和x 相互独立，且x 的分布是y 分布的n 重卷积，则： e ( x n y ) r ( x + y ) = 0( 3 2 1 ) 对任意函数r 。 证明：对所有的x ，我们有e x 一, , r l x + j ，= x 】= 0 ，因此， 0 = r ( x ) e x n y l x + y = x 】= e 【( x n y ) r ( x + r ) l x + y = x 】 我们得到： e ( x n y ) r ( x + y ) = 点? 研( x n y ) r ( x + r ) l x + y 】= 0 证毕 引理3 2 设f 为单变量分布函数，g 是它的n 重卷积，那么： 卢，( g = 喜。( 。j - 一1 1 ( 。+ 1 一争地( f ) 一掣。( f ) ) ，( g ；c ) _ ，= l 2 ( 3 2 t 2 ) 证明：设x 和】，相互独立的随机变量，分布函数分别为g 和f ，设，为正整数，设 r ( x ) = ( x c ) 卜1 ，贝4 我f f 得至0 ： 。= e ( z 一一y ) ( x + y - c ) 7 一= e 萎( 石一n y ) 7 ：1 l ，”( r c ) 7 _ 1 1 = e 蓑( ，：1 ( y 。( 工一c ) j - , + c y ”( r c ) j - l - u - - n y u + l ( x c ) _ 1 1 ) 至三些兰璺主兰堡垒塞 苎三耋墨坠! 鞣士丝箜望坚 = 薹( 7 ：1 ( 以( f ) ，( g ；c ) + 掣。( f 弛一。( g ；c ) 一掣。( f ) 一g ：呦 c g 汹+ 墨( ，：1 - c c 印，一喜( 珊州小c 眦船， 则有： 纵g 瑚= 骞( j - i ) c 懒c 伊c 脚，c 印，一善- 1 ( 7 地水 = 嵩( “j - 一1 1 ) “掣( f ) 一掣。( f ) 一孚心( f ) 如叫( g 湖 = 扰：弘小拟( ，) _ ( f ) ) a j 期c ) 证毕 一个简单的转换( 3 2 2 ) 为： 刚g ；c ) = 砉( j - 1 卜小丢) 肌( 蹦) 呻幽) 州，6 ) ) 如阳汹 j = 1 , 2 ( 3 2 3 ) 由上述结果 1 对于一般原点矩，即c = 0 ，我们得到： 纵g ，= 言( c 州一扣砒g ， 川，：一 ：却 如果f 是关于原点对称的，那么g 也是这种情况，因此，当_ ，为奇数时， 一( g ) = 以( f ) = o ，j 偶数时( 3 2 3 ) 中“为奇数时等式相应得一项为零。 肌如( 踮孝( 2 2 川j - 1 卜l 一抛概训( g ) 川2 邛2 5 ) 2 为了计算g 的中心矩，我们设c ；l ( g ) - - a ，( f ) ，b = m ( f ) ，则我们能由f 的中 心矩的递归( 3 2 3 ) 计算出g 的中心矩 3 对于疗= 1 时，我们得到： 蹦即) = 喜。( j 州- i ) “2 一拟( 伊删( 即) 川z b 2 6 ) 这个递归可用于由f 的原点矩得到中心矩竹( f ；f ) 3 3 复合风险模型中矩的递归 1 9 8 1 年p a n j e r 做出了在满足下列条件下的概率密度函数的递归，接着得到了矩的 东北大学硕士学位论文 第三章风险模型中矩的递归 递归。 设f = p v h ，其中h e ，p 民，满足递归 p ( 肝) ：( 口+ 鱼) p ( 一1 ) ，( h ：1 2 ) 打 以上假设条件下，p a n j e ( 1 9 8 1 ) 推导出厂的递归 m ) = 砉1 ( 酣6 m 一力 u _ 一 我们可以把它改写为 ( 3 3 1 ) x f ( x ) = e ( a ( x + y ) + b r ) l ( x + y = x ) ( j j z j 在这里x 和y 相互独立，分布依次为f 和h ，则对任意函数g ( x ) x g ( x ) f ( x ) = g ( x ) e ( a ( x + 】，) + b y ) i c x + y = x ) = e ( a ( x + y ) + b y ) g ( x + r ) i ( x + y = x ) 对所有x 求和，则： e x g ( x ) = e ( a ( x + 即+ b y ) g ( x + y ) ( 3 3 3 ) 设g ( x ) = x 卜1 带入上式，我们得： ( f ) = a e ( x + y ) + 6 e y ( y + y ) 一1 ( 3 - 3 - 4 ) 在集体风险模型中，n 为随机变量的时候，s u n & 在2 0 0 3 年发表的文章中，研究复 合分布函数矩的递归，得到了一些结论。 引理3 3 如果矿和w 是独立随机变量。r 和s 是常数，则 厄( 矿+ 矽) + s e w ( y 十矽) 川= 施y 7 + 壹o , f l ，u 一- 1 1 ) 1 ( ，j ”+ 5 ) e i f ，”e 矿”( = l ，2 一) ( 3 3 5 ) 碱彤呐唧堋凡r 妻( 妒”+ s 萎( ：。p 旷“ = ，毫( 纱旷善s ( j 川- i y 州。+ 扰：j 删唧” 以f ) - 州f ) + 砉( ：) ( 口吉+ 6 ) 纵跏，( 一 即纵f ) - 击扰：) ( 口昙+ 6 ) 纵脚，( f ) ( 川2 ) - 墼查兰塑主兰堡垒查 釜三主墨蝼型主丝塑壅望 应用日i 理3 3 到( 3 3 4 ) m ，我们得到： 州耻州聃托。j 一- 1 i 心+ 6 ) 以( 脚，( 即 即： a j ( f ) ； 引理3 4 设 p ( ”) = 士1 - a 童。p u - l k ) + 6 ) 以h 帆胛) ( 川2 ，)( 3 s 6 ) f = p v 打，其中日e ，p ，满足递归 以上假设条件下，w n j e r ( 1 9 8 1 ) 推导- 出f 的矩的递归 竹( 嘲= 一1 - - 。( f 。, ( j - 1 ) ( ( a j 。+ 6 地( ) + a c i d l ( h ) ) 一。( f ；c ) 一c 一。i ( f ；c ) ) ( 3 3 7 ) 让明：对十一( 凡p ) = e ( 爿一c ) 。 ( ，= 0 - l 。2 ) 令( 3 3 3 ) 中烈x ) = o c ) ，我们得到； 五x ( x e ) 。一= e ( 口( r + y ) + 6 y ) ( x + y c ) 。一1 = a e ( ( x c ) + ，r ) 7 + b e y ( ( x c ) + ，) 卜1 + a c g ( ( x - c ) + 】，) 。”1 = 州即，+ 砉( 矧c 口丢删川脚一c 即， 十口c 篓p ：1 。c ，斗。c f ；c ， = 口p j ( f ；c ) + 乳：) ( ( 扣胛( 枷( 即) 则2 j ( f ；c ) = e x ( x - c ) - c p j 。l ( f ；c ) 叫+ 壹i f k u 产- l j 丢+ 6 ) 以( ) + a c l t , _ l ( h ) ) 刚即) - c ( 即) 我们得到： 一( ，；口) = _ - l a ( 步, f k u ，- 一：j 1 ) ( u + 6 ) 以( 日) + 玎c 以一。( ) ) 一。( f ；一c 以一，( ，；口) ) ( - ，= 1 , 2 ，)( 3 3 8 ) 这个递归在1 9 8 6 年被d ep r i l 利用矩生成函数证明，m u r a t 和s z y n a l 给出了更般 ) 2l ； ” () l一 阼 (p、j 6 一开 +口 ( 东北大学硕士学位论文第三章风险模型中矩的递归 的递归，接下来s u n d t 把p m 4 c r 递归的条件推广到更一般的情况 p = 喜似f ) + 净( ( “m ) ( 3 3 9 ) s u n d t ( 1 9 9 2 ) 籼： 黟( x ) ：杰( p ( 捋) 一壹( 鲫) + 争p 一1 ) 渺”o ) + 宝 一_ y ) 圭( 州虹+ 竽y ( y ) h tl - l ， y 5 f 。i ( 3 3 1 0 ) 记屯( 矾h ) ：圭口( j ) 以( h ”) ，纨( 6 ，h ) ：圭墨堕以( “) = o 1 ，2 ) ； 特殊的我们有： ( 口) ：f 0 ( 口，h ) ：圭口( f ) ( 6 ) ：。( 6 ，日) _ 圭b ( _ q 2 0 。= o 1 2 ) 以( f ；c ) = 了= 去丽( 妻( p ( 一) 一妻( 州) + 警) p ( 啪( + ；c ) + 掣川( h ”；c ) ) + 喜1 ( 川j - i ) ( 咖，) 吾+ 啪，聊c 铂( 删) ) 肌( 即) - c p j _ t ( f ；c ) ) ( ，= 1 , 2 ，) ( 3 3 1 1 ) 。1 日为关于原点对称时，对所有正整数，当，为奇数时，我们有 一( f ) = 以( h ”) = r j ( a ，h ) = q ( 6 ，h ) 。0 ，则： 妒朔= 矗丽( 喜( 砌) 每州) + 警砌- f ) 地( + ) + 喜2 j - 1 1 卜“奶吾慨( 6 ，删际小卿( 川2 ) ( 3 3 1 2 ) 2 当h 收敛到1 时，我们有f = p ，此时h ”收敛到n ，对，= 1 , 2 ， ( 圩”+ ；c ) = 一c ) ，r j ( a ) = r ，( 口，日) = 口( f ) f 7 甜( 6 ) = ( 玩h ) = 6 ( f ) f 川 代入( 3 2 1 1 ) ，由上述结果得： 一( 户；c ) = 了二去丽( 喜【印( n ) 一喜( n ) + 6 ( f ) ) p 一f ) 】( ”一c ) 1 + 砉( ( 柏) 争删帆口) ) ( 即m 川( p ；c ) ) ) ( _ ，= 1 , 2 。) ( 3 3 + 1 3 ) 东北大学硕士学位论文 第三章风险模型中矩的递归 3 若h 是在 1 ，2 ， 上得分布函数，且在零点得概率值为正而且有f = h ”，对某些正 实数m 。有： 饰，= 志砉( t 川，毒一 坳小， ( 3 3 1 4 ) 递归满足( 3 3 9 ) 当r = 0 时，且 鲫卜器，6 ( f ) _ ( m + 1 ) f 器 1 ，2 ) , u p s ( 3 3 1 3 ) 和一些计算得： 州咖) = 筑：淞+ l - 拟( 盼艘帆( 川，2 ，) ( 3 3 1 5 ) 这个公式在1 9 8 6 年就由d e p p r i l 利用矩生成函数推导出来s u n d t 只是用另c b l 妁- 种方法证明，并且把它推广到一般的形式。 3 4 小结 这章中，我们介绍了两种主要模型中的矩的递归，研究累积分布的矩和每张保单 分布矩的关系，但是在现实的生活中，很多问题是这两种模型不能解决的，例如p a n j e r 的递归适用于离散或连续的随机变量，但现实中会出现混合型变量的复合分布，在这个 问题上，北京大学的杨静平教授和程乾生教授对此问题做出了较多的研究。 东北大学硕士学位论文 第四章风险模型中的矩和半不变量 第四章风险模型中的矩和半不变量 4 1 半不变量的介绍 从发生函数的角度来看，半不