（概率论与数理统计专业论文）关于na阵列的若干收敛性及hsurobbins型定理.pdf

关于a 阵列的若干收敛性及h s u r o b b i n s 型定理 摘要 人们最初的研究主要是针对p o s i t i v e l ya s s o c i a t e d ( p a ) 序列及其它一些 正相依序列，研究成果主要包括强平稳p a 序列的中心极限定理，弱不变 原理及其它类型的强平稳正相依序列的b e r r y - e s s e n 定理，对n a 列极限定 理的研究比较少，1 9 9 2 年之后，人们才开始研究n a 列的a s 收敛和完全 收敛 n a 概念是由j o a g - d e vk 和p r o s c h a nf 于1 9 8 3 年在f l 】1 中提出的。由 于n a 随机变量在与实际应用有关的模型中( 如可靠性理论，渗透理论及 多元统计分析等) 有广泛的应用，近年来n a 列极限理论的发展十分迅速。 得到了很多与独立情形一致的结论但a 随机变量有一种不同于其它著 名的相互独立随机变量的本质的优点，即a 随机变量不交子集的增函数 也是n a 的，从而改进了独立列的相应结果。如f 5 - s 等研究了n a 列的完全 收敛性，强大数律，重对数律，不等式等 本文将n a 序列推广到n a 阵列，共分为三章首先在文【4 】的基础上， 得到了关于a 阵列的一个概率不等式及相关的矩不等式。随后我们利用 得到的这五个不等式，在不同的条件下，分别研究了n a 阵列的依概率收 敛性，p 阶平均收敛性22 ) ，完全收敛性，几乎处处收敛性，得到与独 立情形相一致的结论最后我们对x ub a o l u 和r o b b i n s 于1 9 4 6 年提出的 关于独立同分布序列的h s u - r o b b i n s 定理做了进一步的推广，对n a 阵列 建立类似的结果，并对其加以严格论证 关键词：n a 阵列完全收敛几乎处处收敛h s u - r o b b i n s 定理 。要主兰垒丝苎 a b s t r ，a c t p o s i t i v e l ya s m c h t e d ( p a ) a n do t h e r s e q u e m ，e sa r em a i n l ys t u d i e di n i t i a l i y r e s e a r c h r e l t si n c l u d e ：t h ec e u 4 慧rl i m i tt h e o r yo fs t r o a ga 丑ds t a b l ep as e q u e n c e s w e a ka u d i n v a r i a n tp r i n c i p l ea n db e r r y - e a s e nt h e o r e mo i lo t h e rt y p eo fs t r o n gs t a b l ep o s i t i v e l y a s m c i s t e d q l l 明l o 曙r e 吼l t so i ll i m i tt h e o r yo fn aa r e f e w a f t e r1 9 9 2 ，p e o p l e b e g i n t ol t u d ya l m o s ts u r e 瑚r g e n c ea n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c eo i ln a s e q u e n c e t h ec o n c e p to fn e g a t i v e l ya s s o d a t e d ( n a ) r a n d o mv a r i a b l e si si n t r o d u c e db y k u m e r3 0 a g - d e va n df r a t u k - p r o h a ni nt h ep 瑚p e r 1 】i n1 9 8 3 r e o e n t l yt h el i m i tt h e - o v yo fn ar a n d o mv a r i a b l e sh a sb e e nd e v e l o p e dq u i c k l yo na c c o u n to ft h eb r o a d a p p l i c a t i o no fn ar a n d o mv a r i a b l e si nt h em o d ea b o u tr e a l i t ya p p l i e s ( s u c h 嬲t h er e - n a h i l i t yt h e o r y , t h ep e n e t r a t i o nt h e o r y 刹m u l t i v a r i a t es t a t i s t i c a la m d y s i s ) ag r e a t m a n yc o n c l u s i o n sc o n s i s t e n tt oi a d e p m d ts i c t m t i o nh a v eb e e no b t a i n e d b u tn e g - 蜘越e o c i a t i o nh a so n ed i s t i n c ta d 融8 9 e 州t h eo t h e rk n o w lt y p 舶o fn e g a t i v e d e p e n d e n c e i 埘x e 嬲i n gf u n c t i o n so fd i s j o i n ts e t so fn ar a n d o mv a r i a b l e sa 把a l s o n a ，t h e r e f o r e ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sa r ei m p r o v e d c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，s t r o n g l a r g en u m b e r s ，t h ei t e r a t e dl o g m t h m ，i n e q u a l i t yo fn as e q u e n c e sa r es t u d i e d 缸p a - p e r 陆7 j i nt b j sp a p e r ，n a8 e q i l e n 嘲a r ee x t e n d e dt on ar a n d o mm a t r i cs e q u e n c e s o n t h e b a s e o f 4 1 ，w e e s t a b l i s h e s a p r o l m b i l i t y i n e q u a l i t y a n d as e r i e s o f m o m e n t i n e q u a l - i t i e sf o rn ar a n d o mm a t r i cs e q u e n c e s s u b s e q u e n t l y , w eu s et h ef i v ei n e q u a l i t i e st o s t u d yc o n v e r g e n c ei np r o b a b i l i t y , 如c o n v e r g e n c e , c o m p l e t ec o n v e r g e n c ea n da l m o s t s t 犹c o n v e r g e n c er e s p e c t i v e l yu n d e rt h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n a tl a s t t h et h e o r yo f h s u - r o b b i n sw h i c ha l ei n i t i a t e db yx ub a o l ua n dr o b b i n si n1 9 4 6i sd e v e l o p e d f u r t h e r w ee s t a b l i s hs i m i l a r i 毋r e s u l t so fn ar a n d o mm s t r i cs e q u e n c e s ，a n dp r o v ei t s t r i c t l y i i 关于a 阵列的若干收敛性及h s u - r o b b i n s 型定理 k e y w o r d s ：n ar a n d o mr a a t r i cs e q u e n c e s ，c o m p l e t ec o n v e r g e n c e ，a l m o s ts u r e c o n v e r g e n c e ，h s u - r o b b i n st h e o r y i i i 湖南师范大学学位论文原创i 生声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名欹刨若泪年r 月；j 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口：在年解密后适用本授权书 2 、不保密酉 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名敬宙韦 导师签名：托砖也 日期矽孕盯月 日 日期嗣年i 7 月；局 关于a 阵列的若干收敛性及h s u - l ；i o b b i n s 型定理 前言 继6 0 年代引入a s s o c i a t i o n 等相依性概念之后，人们在年代初 又相继引入了n e g a t i v e 姗诎i o n ( n a ) 等相依性概念 t 6 - 1 7 1 这些概念在可 靠性理论，渗透理论及多元统计分析中有广泛的应用，因此引起了人们 对它们极限性质的兴趣 1 9 8 4 年n e w m a n 在文献【1 7 】中综合介绍了多种正负相依序列的渐近独 立性和极限定理方面的研究成果，其中包括强平稳p o s i t i v e l y 躐i o c i a t e d ( p a ) 序列的弱不变原理以及某些其它类型的强平稳正相依序列的b e r r y - e e s e e n 定理等从那时以来的十多年间，在对p a 序列以及一些其它正相依序列 的研究方面又相继不断地有新成果面世与之相比，对n a v a 及其它负 相依序列极限定理的研究则要薄弱许多1 9 9 2 年m a t u l a 对a 序列建立 了k o h n o g o r o v 型的上界不等式( 参阅本文引理2 ) 和三级数定理。加上 p e t r o v * 口l 所建立的可用于 r a 序列的推广的b o r e m 3 a n t e l l i 弓l 理，打开了人 们研究a 序列a s 收敛和完全收敛性的道路人们发现同分布a p ：列 ( 不要求强平稳性) 与甜序列有着完全相同的强大数律( 其中k o l m o g o r o v 强大数律由m a t u l a l n 建立，m a r 血d d e w i c z 强大数律由苏淳和王岳宝建立 诩) ，也有着极为相似的完全收敛性参阅文献 删) 这些结果无疑为a 序 列的应用提供了有力的理论指导，也表明了n a 序列的极限性状有其鲜明 的特点 虽然对n a 序列的研究有了一定的成果，但在n a 列极限定理的研究 中却难以建立起l e v y 型的不等式x c p a 序列，则已经建立起这样的不等 式如果e 玛= o ；e 碍 以，瓯= e 玛，砖= v a r s n 1 关于a 阵列的若干收敛性及h s u - r o b b i n s 型定理 第一章a 阵列的一些不等式 1 1 预备知识 统计学者j o a g - d e vk 和p r o 日d m af l l 6 1 于1 9 8 3 年正式引入了如下一类 包含独立随机变量在内的相依随机变量的概念。 定义称随机变量弼，n 2 是n a 的( n e g a t l v d ya s s o c i a t 硼， 若对于集合 l ，拜 的任意两个不相交的非空子集a ，a z ，都有 c 切( 蕾，i a t ) ，1 2 ( 玛，j a 2 ) ) 0 其中，1 ，2 是任意两个使得上述协方差存在并对每个变元均非降的函数 称随机变量序列 托i 2l 是行间朋g ，若对任意自然数俺2 ，墨， 都是n a 的 引理1 1 1 哪设咒，矗为a 变量a l ， 是集合1 ，n 的两两 不交的菲空子集，记啦= # ( ) ，其中# 似) 表示集合a 中的元素个数，如 果 ：俨一足i = 1 ，m 是m 个对每个变元均非降( 或同为对每个变元 均非升) 的函数，则 ，歹a 1 ) ，厶( 玛，j a 。) 仍为艘量此外， 如果五0 ，诘1 ，m ，则还有 e ( 五( 玛，j a ) ) i i ( 乃，j a ) ， i = 1 引理2 t 1 s l ( m a t u l a 引理) 设 玛，j 为 序列，最群 ，e ； o ，j n 记鼠= x j ，则有 j = 1 e ( 燃瓯) 2 叼 j = 1 引理3 2 ( b o r e l - c a n t e l l i 引理) 3 硕士学位论文 ( i ) 若登p ( 以) 0 ，有 以i i 曲薹p ( f 粕l 之z 。) + 1 + 一( t 蚤e 磷) ) 4 ；( l 2 1 ) 且存在仅与p 有关的常数o 0 ，使得 研p g ( 捌l ，+ ( e 确炉) ，( 1 2 2 ) j ；ij = i e l s 。1 9 ? 如卵- 1 e l i p ( 1 2 3 ) j l 定理1 2 设 弱j ，1sj 嚣，r l 为零均值的行间n a 阵列，设存 在某个p 2 ，有席：s u p e i x j t p 0 0 记础；葚墨州，础= 瓯，岛= ： 吼l p e x 毛，1 七住 则存在仅与p 有关的常数巧1 ，使得对任意自然数8 有 e ( 。m 。a x 。i s ： ，2 i ) p ( 记岛+ ( 倒毛) 2 ) ， ( 1 2 4 ) 尉- l m 0 ，由引理l 知 e e h t 一= en 沙ne e “ 记r f ( z ) = p ( 粕 o 0 ，有 j 搴l e 一栅及埘k 唧f 一缸十沙一童一细) 一2 令h m l + 习魏。) 屈 9 ，即h v = i n ( 1 + 矧风。) ，则有 ( e ，一1 一蛔) 亨一2 丑k 1 1 十翘b k 一1 一i n ( 1 + 甜玩。) 1 q b k = 露暑，一届，。矿f n ( 1 + i 可e ) s 雹h 。 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 代入( 1 2 8 ) 式即得 e h 舀即 z 知一x v l n o + 印蜀。) ( 1 , 2 9 ) n 如果再令z q = m i n ( - x j ，秒) ，臻= e 钿， j = l 则是的非升函数，因此由定理知磊t ，i 1 1 仍为n a 变 量，重复刚才的推导。可知若将换为丁k ，( 2 9 ) 式仍成立 对任何z o ，扩 0 ，有 p ( 最m z ) 尸( 鼠m 霉，x n i 弘1 j n ) + p ( s t m 毛3 1 j 仃，叉0 l ，) p ( 正巩之， p 2 ，则上式演变为 n p ( i s 矗l z ) p c i x 。) l x t ) + 2 e x p t t l n ( 1 + x 2 f k 。) ) j = 1 这就是所要证明的( 1 2 1 ) 式 在( 2 1 ) 式两端同乘p x p ，并对两端在区间0 。 上积分，由等式 e i x i = p f 妒。p ( i x l z ) d z 即得 别& 护上若p 矿- 1 p ( i x a z t ) 出+ 劬上扩e x p t 一村t ；( 1 + 矿t 晶“) ，出 ，”， = 矿j = le i x a + 轨上( i + x 2 ) 。出 = t p e i x , i 1 9 + 妒t p 2 b ( p 2 ，t - p 2 ) b ：2 ( 1 2 1 0 ) 其中b ( a ，p ) = 詹z 。一1 ( 1 一z ) 出= j z 。一1 ( 1 + z ) 一( 口+ 所如 令t = p ，并取g = m 凹眇，矿+ p 2 日p 2 ，p 2 ) ) ，则由( 1 2 1 0 ) 式即得( 1 2 2 ) 式 曰1 5 l c ；( e l j p + ( e j ) 2 ) 不难由( 1 2 2 ) 式推出( 1 2 3 ) 式由于 - 8 捌l ，q ( e i 卧( 啦) p ，2 ) 嚣1 j 一。 g ( e l r + n i 。( e 确) 哟 嚣1 q ( e t x j 1 9 + ，t 一1 【( g ( 码妒印) j 一 。 j 2 l 矧1 + t l e x , , j f 定理1 1 证毕 定理1 2 的证明 铷以e i i j 窖l 仿照定理1 1 由( 1 2 4 ) 式显然能推出( 1 2 5 ) 式，下面我们用归纳法来证 ( 1 2 t ) 式 当p = 2 对，( 1 2 4 ) 式变为 e ( 麟i 删i ) 2 s2 鲍羁岛( l 2 ，x x ) 由m a t u l a 引理，取码l 2 ， n s 舣：州 n s u p e t x j j 2sz k 2 n & =l竹j 则得知( 1 2 1 1 ) 式成立，即当p 一2 时，( 1 2 4 ) 式成立 设对某个整数口之2 ，( 1 2 4 ) 式在p = t ，时成立，我们来证明( 1 2 4 ) 式对 p = ”+ a ( o 0 ，使得对任何吼佗n 均有 e ( 删) 件6 m ( 厶件如4 - n l + 6 2 3 v o ) = m ( n 风“+ n ( 毋2 0 - v + 6 + 札1 + 聊风一) ( 1 2 1 7 ) 一1 0 。一茎王型墨堕型箜董王壅苎堡墨翌巡坚罂塞塞墨。 设 = 2 m 或2 m l ，记j 一几一m ，则有p = m 或m 1 不失一般性设 d = 1 ，于是由( 1 2 1 3 ) 式知 e ( ) 州e ( + 艘。，) ”【( ) 4 + ( 傲l ，) 1 v - i 其中 柏i ( 髓) 7 ( 职，尸+ ( 燃，) 。+ ( ) 1 f ( 搿n ( 傲，门 ： ；e f d ( 船) w ( z 瓣t ，) ”+ ( 船) 6 ( 傲，。r + ( 廊) “4 + 口一i j = l d * ， , - a 州m _ k s m n + 。) 州。+ ( 艘。，+ ( 船以z ，) ：l = e ( j 掣) ” + e ( 矗尊1 ，) ”5 + 厶+ 五， ( 1 2 1 8 ) l = 姜t , - - iq e ( 谢p + 5 ( 腮t ，) ”叫+ e ( 盥) 5 ( 僦，) 。， 厶= 暑e , , - i 铝e ( 庸y ( 僻- 。) 。“。+ e ( 席) ”( 牌t ，) 5 以下以m ，尬，记一些仅与口及6 有关的正常数，要证明 厶+ 厶尬( m 1 + 聊风一+ m ( 叶毋2 矿“) ，( 1 2 1 9 ) 先对厶证明之由胜质( i ) ( 脚及p m 知 v - i 厶晓e ( 删户w 础f 州r o ( n ) 。) ”叫+ e ( 彤) 5 e ( 穰。，尸 j = 1 口一1 c ：e ( 鹏户+ 6 e ( ，f 。m ( , 0 + 。，。r 。+ e ( 册) 6 e ( 僻，。r j = 1 由( 1 2 1 5 ) 和( 1 2 1 6 ) 式及h 6 i d e r 不等式可知 0 ，有 尸( 1 x 一习s p ( i x f $ ) ( 2 1 1 ) 且对某个p 2 ，有库：e l x t ， ，则对s 矗。壹，有付1 胁1 ，三o j = x 证记码一n 1 m ，蹁= 碥 ，= t 由雌知 ，l j s n ，n l 仍为均值为零的a 阵列，由于 ， f l 蜀巧1 9 = p z p l p ( i k “z ) 如 p 7 ”矿1 p ) d ( 2 1 2 ) 7z p l p ( x d 佯。l j j 0 于是有曰i 弼，l 0 ，有 “ p ( 1 i 功p ( i 碥j 髫) + 2 e 1 + 矿m 2 ) 。 嚣1 一 = p ( i j i 1 7 2 + 1 ，z ) + 2 l + 矿o n 一缸1 7 2 + l p ) e x 毛) - t j = 1 j = l 兰 + ，2 ( 2 1 3 ) 1 7 硕士学位论文 只需证当佗一o o 时， p ( i 髭。i 动一0 对 ，由m a r k o v 不等式知，对p 2 p ( i x f n x 2 + l p x t ) 看1 ( n 1 斛1 加z 圹9 e j x l 9 j = l 饥1 2 _ 0 n _ o 。 由h s l d e r 不等式及( 2 , 1 2 ) 式知， ( 2 , 1 4 ) ( 2 1 ，5 ) 善n - 2 1 7 2 + 1 埘e 码s 礼- 2 詹e i x l 2 札2 加( e ( i x l 2 ) p 2 ) 2 ，p = 仃- 2 加( e j x i p ) 珈_ o ，扎斗o o ( 2 1 6 ) 我们得到屯一0 ，n o o 由( 2 1 5 ) 式( 2 1 6 ) 及( 2 1 3 ) 式知( 2 1 4 ) 式成立 定理2 2 设 ，1 j 竹，n 1 ) 是行间n a 阵列，且e = 0 ，1 j 礼，n 1 ，存在p 2 ，使n 一e i j p o o ，其中a = 1 + 1 p 对随机 n = l j = l 变量x ，有筹剧 e x 2 ，r e x 2 n a ) + n 。丑x - - n a ) 死= ，巧= 增 j = lj 盎l 由于+ 磁= x n j ，故欲证( 2 1 7 ) 式成立，只需证 。口 p ( i 巧i 矿) ， n = 1 1 8 ( 2 1 ，8 ) 船：胪_ 0 , n q ， p ( 1 死一露死i 萨) 矿) 薹喜l 。，。号掣护 俨2 l i 一- - ( 2 1 9 ) 矿) s2 n 1 窖i 粕| p j ；l ( 2 1 1 1 ) 由于n 一”e i 矗j i p 矿) 2 。妻( 妻璺整鬟坐型) p 2 + 。( 壹妻n - a p e i i ，垆 n = lj ；l n = l j = 1 ：a + 五 显然 五 ( 2 1 1 3 ) 如c ( n - 2 as u p e 碥) p 2 c 礼( 1 - - 2 a p 2 ( e x 2 ) p 2 = c n - ( 1 + p 2 1 o o b = l j = la 0 f ；= ln = l ( 2 1 1 4 ) 由( 2 1 1 2 ) 一( 2 1 1 4 ) 式可知( 2 1 1 0 ) 式成立 定理2 3 设 ，1 j n ，仃1 ) 是行为n a 的随机变量阵列，均值 为零。存在p 2 ，使 别jj 9 o o ， “= l ，= l 记s k = ，则有 s k 肺1 1 p 马0 ( 2 l 1 5 ) 证萎壹引l 一 o 。蕴涵对充分大的n ，e i x s l ，一o ，e l 砀l ， 6 0 ， n = l j = lj = l 由( 1 2 3 ) 式知 i l l n e l 兔。佗1 1 加p ，= n 一“1 1 p ) e i s i p c , n 1 一研矿，2 1 e p l m 一2 e l 1 9 j = 1j = i ( 2 1 1 6 ) 在( 2 1 1 6 ) 式两边对n 取极限，则可得到 l i me i & 。n 卜1 p i p = 0 一2 0 关于a 阵列的若干收敛性爱h s u r o b b i n s 型定理 即s t l l l ，幺o 定理2 4 设 ，1 j n ，t l i 为零均值的行间n a 阵列，设存在 随机变量x ，对某个p 2 ，有e i x i 矿， n n ) u 陬 n 。) + p 阢 萨) 言1 型q 9 2 n 2 p ( i x i 旷) 2 凡2 ( 1 - 。p ) ( e i x i ) 2 ( 2 1 2 1 ) 当n 充分大时，由( 2 1 1 9 ) 式知p ( g ) p ( 1 m 。a x 。i t m 一踢f 饥。) 令纬= ：s u p e i y j ( n ) 一巧( n ) 1 p o o ，p 2 ，岛一s u p e l y , ( n ) 一e y j ( , 0 1 2 o o 则由m a r k o v 不等式及( 1 2 4 ) 式， 暑烈1 嚣一驯卫俨茎三：三烈荔d 仁地2 ， c n i 乱十i n 伪i l 、1 。1 由( 2 1 2 0 ) 一( 2 1 2 2 ) 式知，( 2 1 1 8 ) 式成立 一2 2 关于a 阵列的若干收敛性及i - i s u - r o b l ，i n s 壅定理 定理2 6 设 如1 j n ，扎l 是行间n a 阵列，对某个p 22 。有 纬= ：s u p 别粕i o o ，对任意自然数a ，n ，有p ( 1 p l n i 2 + 枷) j12l j 爿i k d 记锹= 兄p q ，1 奄n 则 。b a ( n ) t 2 + = e _ + o n ( 2 1 2 3 ) 证记弼州；虬州i ( i , , + j l n = t = + 2 1 e ) n = - - ! j = 0 0 0 l d t l - ( 1 2 + 2 枷e l 矗州p 一z 一 t l = 1 j = o 0 0 竹一2 伟 由b o r e l - c , a n t e l l i 引理知5 ：缀与s 搿在极限意义下是一致的，故这里只需 征 n - o 外2 n ) s 搿_ o 口8 ( 2 1 2 4 ) 由k r o n e e k e r 引理知，需证下面两式成立， n - ( 1 抖蝴麟：州。u ( 2 1 2 5 ) j n - ( 1 ，2 + 蚴( 弼州一e 蜀州) 一o ，口s ( 2 1 2 6 ) j ；= 町 而 曼墓n 邮2 + 2 n ) e x ：州i 妻差。- ( 1 m p ) p e i x 。州i l 一。州驯，) ”2 - ，= u n = lj - - o p ( i k 厶i n l 2 + 2 p ) 0 0 2 3 硕士学位论文 令允州= 弼卅，一职，州，铡= 塞疋川磊一s 。u 。p e l 矗，州i p o , p ( s u p一1 2 + 2 p ) 鲫i ) 一o ，m o o m 1 p ( s u p 1 2 + 2 p ) 2i s ) m i e n l 2 + 2 p ) 。熙n - ( 1 2 + 2 p ) p e ( 燃1 i 掣1 ) n + t n sc l i m 几- 2 庞 o o n _ 由k r o n e c k e r 引理知l 啦p ( s u p i i - ( 1 2 + 2 p ) 雪a , ii ) = 0 从而有s a ( n ) l n 1 2 + 枷_ 仇_ m i 1 0 ，a s 2 4 ， 关于a 阵列的若予收敛性及h s u - r o b b i n s 型定理 第三章h s u - r o b b i 潞