（概率论与数理统计专业论文）碰撞分枝过程的性质研究.pdf

摘要 马尔可夫分枝过程是马尔可夫过程的重要分支，在排队论、生物 学、物理学等等中具有非常广泛的应用。经典的马尔可夫分枝过程是 一类重要的随机过程，已得到广泛研究，它的最基本的性质就是分枝 性，直观的说，分枝性就是系统中不同粒子之间是相互独立、互不干 扰的。然而，在大多数现实情况中，不同粒子之间往往不是相互独立 的，而是紧密相关的，因此很多学者对经典马尔可夫分枝模型进行了 多种形式的推广。本文在已有结论的基础上，考虑了一类碰撞一分枝 过程，即系统中的不同粒子是相互影响，相互碰撞的。 本文第一章绪论部分，简要的介绍分枝过程研究背景，研究现状 及本文的基本框架。在第二章给出了与本文讨论内容有关马尔可夫过 程的预备基础知识，以便于我们进一步对分枝过程的讨论。 从第三章开始是本文要讨论的主要内容。在第三章中，根据马氏 链的基本知识，讨论了碰撞一分枝过程的正则性和唯一性并给出了正 则性，唯一性的判别准则及其证明。 第四章在第三章的基础上，主要讨论了碰撞一分枝过程无复活状 态下的吸收性并给出了在两种不同情况下吸收概率的具体表达式。 第五章接着第四章的结论，再讨论了过程灭绝时间并给出了具体 表达式。 第六章是这个模型的引申问题，主要讨论了把这个碰撞一分枝过 程全部恢复后的遍历性和常返性。 最后一章第七章我们给出了一个碰撞一分枝过程的例子来验证我 们这篇文章所得到的结论。 关键词：分支过程，i t _ 贝i j ，唯一性，吸收概率，灭绝时间，常返， 遍历 i i a b s t r a c t t h eo r d i n a r ym a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e s ( m b p s ) f o r mo n eo ft h e m o s ti m p o r t a n tb r a n c h e so fm a r k o vp r o c e s s e s ，a n dh a sq u i t ee x t e n s i v e a p p l i c a t i o ni nq u e u i n gt h e o r y , b i o l o g y , p h y s i c sa n ds oo n t h eo r d i n a r y m a r k o vb r a n c h i n gm o d e lh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y t h eb a s i c p r o p e r t yw h i c hg o v e r n s t h ee v o l u t i o no fa l lm b pi st h eb r a n c h i n g p r o p e r t y t h a ti st h a td i f f e r e n tp a r t i c l e sa c ti n d e p e n d e n t l yw h e ng i v i n g b i r t ho rd e a t h i nm o s tr e a l i s t i cs i t u a t i o n ，h o w e v e rt h ea b o v e i n d e p e n d e n c ep r o p e r t yi su n l i k e l yt ob ea p p r o p r i a t e i n d e e d ，i np r a c t i c a l c a s e s ，p a r t i c l e su s u a l l yi n t e r a c tw i t he a c ho t h e r t h i sm a ye x p l a i nt h e r e a s o nw h yt h e r ea l w a y sb e e na ni n c r e a s i n ge f f o r tt og e n e r a l i z et h e o r d i n a r ym a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e st om o r eg e n e r a lb r a n c h i n gm o d e l s f o rm a n ys c h o l a r sb a s e do nt h ee x i s t e n tc o n c l u s i o n s ，t h et h e s i sd i s c u s s e sa k i n do fi n t e r a c t i n gb r a n c h i n gc o l l i s i o np r o c e s s t h a ti st h a td i f f e r e n t p a r t i c l e sa c te a c ho t h e r w h e ng i v i n gb i r t ho rd e a t h c h a p t e ro n ei n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n de x i s t i n g w o r ko ft h e g r o w t hs y s t e ma sw e l la st h ef r a m e w o r k o ft h ep a p e r i nc h a p t e rt w o ，w e g i v es o m eb a s i ck n o w l e d g eo nc o n t i n u o u s t i m e m a r k o vc h a i n sw h i c hw ec a nu s et od i s c u s sb r a n c h i n gp r o c e s s e sd e e p l y c h a p t e rt h r e ei st h em a i np a r to ft h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e rw e d i s c u s sr e g u l a r i t ya n du n i q u e n e s so fs u c hp r o c e s s ，r e g u l a r i t ya n d u n i q u e n e s sc r i t e r i ao f s u c hp r o c e s st o g e t h e rw i t ht h ep r o o f i i i c h a p t e rf o u ri se s t a b l i s h e do nt h ek n o w l e d g eo fc h a p t e rt h r e e i nt h i s c h a p t e r ，w ec o n c e n t r a t eo nd i s c u s s i n gt h ea b s o r b i n gp r o c e s sf o rw h i c h t h em o s ti n t e r e s t i n gp r o b l e m sa r et h ee x t i n c t i o np r o b a b i l i t y e s p e c i a l l y , t h ee x p l i c i te x p r e s s i o n su n d e rt w od i f f e r e n tc a s e sa r ep r e s e n t e d i nc h a p t e rf i v ew ed i s c u s st h ee x t i n c t i o nt i m eo ft h ei n t e r a c t i n g b r a n c h i n gc o l l i s i o np r o c e s s c h a p t e r s i xp r o m o t e st h ep r e f e r e n t i a l g r o w t hm o d e l ，t h a ti s ，w e r e c o v e rt h et w ol i n e so ft h ep r o c e s s t h e nw em a i n l yd i s c u s st h e e r g o d i c i t yo ft h en e wm o d e l i nt h ef i n a ls e c t i o n c h a p t e rs e v e n ，a l le x a m p l ei sp r o v i d e dt o i l l u s t r a t et h er e s u l t so b t a i n d ei nt h ep r e v i o u ss e c t i o n s k e y w o r d s ：b r a n c h i n gp r o c e s s e s ，r e g u l a r i t y ，u n i q u e n e s s ，e x t i n c t i o n p r o b a b i l i t y , e x t i n c t i o nt i m e ，r e c u r r e n c e ，e r g o d i c i t y i v 硕士学位论文第一章绪论 1 1 理论背景 第一章绪论 随机过程是随机数学的一个重要分支，产生于二十世纪初期，是由于生物学， 物理学，通讯与控制，管理科学等方面的需要而逐步发展起来的，顺应了历史客 观的需要它的研究对象虽然与概率论一样是随机现象，他们的区别在于随机过 程主要研究的是随“时间”变化的“动态”的、“整体 的随机现象的统计规律 性h 1 。d o o b 曾把一个随机过程定义为一个经验过程的数学抽象，这个过程的发展 受到一些概率规律的控制必须提出。“随机过程 这一术语是指经验过程的数学 抽象、模型或表示，并不是指经验过程本身。1 9 2 9 年，前苏联数学家柯尔莫哥 洛( k o l m o g o r o v ) 建立了在测度论基础上的概率论定理系统、奠定了近代概率论和 随机过程论的基础，随机过程理论的研究得到了更快、更好地发展，对实际生产 生活也起到了极大的推动作用n ，。 随着生物学、物理学、自动控制、无线电通信及管理科学等方面的需求和发 展，使随机过程逐步在自然科学、工程技术及社会科学中得到了日益广泛的应用， 并得到了蓬勃的发展，随机过程己成为近代科技工作者谋求掌握的一个理论工具 h 9 1 特别是近二十多年来，在很多发达国家中，随机过程理论在科学研究，技术 开发，生产管理与社会经济生活的各个领域的应用都取得了很大的进步例如： 日本将随机过程理论应用于工业质量管理，推动了经济飞速发展；美国将随机过 程理论应用于水文分析计算和气象科学，对随机水文学和气象预报的快速发展起 到了不可替代的作用。在我国，随着人们对这些应用领域的认识越来越深入，随 机过程理论在人们生活、学习和工作中的应用大有“水银泻地无孔不入一之势， 并在各个课题的研究和解决中起着重大的作用 随机过程应用的实例如语音信号、体温的变化、股票价格的波动、银行不良 资产的状态变化、教学质量的变化过程、降水量的波动等等都取得了较好的效果 瞳。4 1 ，现实的科研告诉我们，“只有熟悉和掌握随机过程的基本理论和方法，才能 进一步学习现代科学技术，探索新的科技领域 的说法绝非夸大之词瞄1 随机过程的数学定义可描述如下：设( q ，f ，尸) 是一个概率空间，丁是给定的 参数集，若对每个t t ，都有一个定义在此空间上的随机变量石( f ，c o ) ，国q ， 与它对应，我们就称随机变量族x ( t ，c o ) = x ( t ，c o ) ，功q l 是概率空间( q ，f ，p ) 上 的一个随机过程，简记为 工( f ) ，t t 参数集r 通常表示时间，随机过程 硕士学位论文第一章绪论 工( f ) ，t t l 可能取值的范围，称为该随机过程的值域，记为e ( cr ) ，也称为状 态空间，e 中的元素称为随机过程的状态 一般的随机过程是比较复杂和难以研究的，己有的结果也比较少，人们往往 把注意力投入到一些比较特殊的随机过程上，例如1 9 0 7 年，俄国数学家马尔可 夫( m a r k o v ) 研究过一列相依的随机变量，该过程具有如下特性：在已知目前状态 的条件下，它未来的演变( 将来) 不依赖于它以往的演变( 过去) ，例如森林中动物 头数的变化构成，后人称之为“马尔可夫过程 ；又比如1 9 2 3 年，维纳( n w i e n e r ) 给出了布朗运动的数学意义，后人称之为“布朗运动或“维纳过程，这种过 程应用到物理学、金融学等领域，并已取得了丰硕的成果，至今仍是人们研究的 重要对象渊 1 2 马尔可夫过程的简介 马尔可夫过程是一类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，是由 a a 马尔可夫于1 9 0 7 年提出。粗略的说，所谓的马尔可夫性可以用下述直观 语言来刻划：在已知系统目前的状态( 现在) 的条件下，它未来的演变( 将来) 不依 赖于它以往的演变( 过去) ，换言之，在已知“现在 的条件下，“将来”与“过 去一是无关，有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程( 简称马氏过程) 。马尔可 夫过程的工作极大的丰富了概率论的内容，使它成为与自然科学和技术直接有关 的最重要的数学领域之一。 自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪5 0 年代将马尔 可夫理论引入国内以后，我国学者对马尔可夫过程的研究也取得了比较丰硕的 成果，在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、m a r t i n 边界与过份函数、 马尔可夫过程的零壹律、多参数马尔可夫过程、马尔可夫过程与位势理论的关系 等方面做了许多开创性地工作，近年来也不断有新的研究成果推出h 墙1 ，这些都 标志着我国数学界对马尔可夫理论的研究达到了世界领先水平。在现实世界中， 有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、车站的候车人数、 传染病受感染的人数等，都可视为马尔可夫过程。所谓马尔可夫链是指时间连续 ( 或离散) 、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程。这种过程之所以重要，一是由 于它的理论较为完整深入，可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴； 二是它在自然科学和许多实际问题( 如教育学、经济学、排队论等) 中有着越来越 多的应用u 7 1 。 连续时间马尔可夫链是马尔可夫过程的一个最重要最经典的研究领域，具 有非常广泛的应用。在科学、工程、人口和金融的研究领域中有许多随机过程例 2 硕士学位论文第一章绪论 子都可以用连续马尔可夫链来刻画，并取得了不同程度的研究成就。首先是由 k o l m o g o r o v 于1 9 3 1 年对连续时间马尔可夫链展开系统研究的。在研究中他发现 过程的概率分布是两个微分方程的其中之一的解，称这两个方程分别为 k o l m o g o r o v 向前和向后方程对连续时间的马尔可夫链的研究一直持续到二十 世纪四十年代，在这期间，越来越多的数学家研究这一专题。在过去的四十多年 里，连续时间马尔可夫链更广泛的被应用到排队论、传染病等科学领域，并将得 到更加广泛的应用 可数状态空间的马尔可夫分枝过程是连续时间马尔可夫链的一个较为重要 的分支n 吼坞1 分枝过程的研究起源于1 9 世纪对家族绝种问题的研究，在人口机 制的研究中具有非常重要的作用。随着科学技术的不断发展，分枝过程的应 用越来越为广泛，比如在算法、数据结构、生物学、医学等领域中应用广泛，特 别是对d n a 连锁结构的研究有很大的医学价值防2 3 1 1 3 马尔可夫分枝过程的简介 分枝模型的研究起源于1 8 7 4 年英国学者g a l t o n 和w a t s o n 对家族绝种问题 的讨论。g a l t o n 和w a t s o n 为了描述英国s m i t h 家族姓的消失机制而提出的模型， g a l t o n 注意到英国的姓是由男子继承的，且生活中确实存在姓在逐渐消失的现 象，由此他提出了一个问题：如何确定一个姓或一种生物的的灭绝概率? 所以 g a l t o n 引入了以下模型：用x 。表示第珂代男子的数目，记 l ，一f 0 ， t = o 1 肘i 一1z ”) + k “) + + l ”，以1 。 一 ” 其中z o o = 1 ，2 ，x n ) 是独立随机变量，并且假设服从同样的分布 w a t s o n 利用偏微分方程的解回答了上述问题，而s t e f f e n s e n 于1 9 3 0 年给 出了灭绝问题的完整解，f i s h e r 于1 9 2 2 - 1 9 3 0 年把上述分枝模型用于研究突变 基因和生物种群的繁殖问题，h a l d a n e 也把上述分枝模型应用到人口模型之中， 从而分枝模型成为了研究生物种群繁殖、原子裂变和基因突变的有效的数学工 具。但在随后一段较长的时间内，这些模型没能引起人们注意。只是到了2 0 世 纪4 0 年代以后，由于概率论在许多不同学科领域中被广泛应用才又受到重视 这些数学模型是一类特殊的马尔可夫链，它在生物遗传、原子核的连锁反应 中都有比较广泛的应用 而分枝过程中的马尔可夫分枝过程( m b p s ) 是一类极为重要的随机过程，在 排队论、医学、生物数学、现代物理、化学科学、现代生命科学等自然科学和 边缘科学中具有非常广泛的应用。马尔可夫过程可以简单描述如下，设 硕士学位论文第一章绪论 口 o p ， 0 是一概率分布，则马尔可夫分枝过程具有死亡率a t p o ：f j f 及出 生率q p ，叫+ l ：f 专j ( j f 0 ) 而0 为吸收状态。 现实中有许多模型具有这种特点，如家族的衰盛、基因突变异种、神经元反 应链、电子装置、核反应等等。众所周知，马尔可夫分枝过程最基本的性质是分 枝性，即不同粒子之间的行为是相互独立的。分枝性在马尔可夫分枝过程的研究 、中极为重要，因为它使得马尔可夫分枝过程具有很好的性质。一直以来也有很多 这方面的研究，如 2 4 3 3 ，然而，在很多实际的情况下，独立性往往不具备， 粒子之间一般有着密切的联系，也就是说，在很多情况下粒子之间不是相互独立 的，而是紧密相连的。 一个系统中粒子的分裂就是分枝过程的一个较为形象化的例子：在一个粒子 系统中，粒子可以死亡也可以分裂繁殖，一个粒子可以生成一个，两个甚至无穷 可列多个，而且系统中每一代粒子的分裂死亡与上代是无关的，甚至粒子之间的 分裂死亡也是相互独立的。国外的著名学者o r e y ，1 9 9 1 年 1 8 在综述了已有研 究成果的基础上，提出了一系列开放性问题，引起了众多的概率论学者的广泛关 注。这些工作都有待于进一步深入和拓展，对它的研究将丰富和完善马氏过程的 整个理论体系。马尔可夫过程是一个很好的也很系统的模型，但在现实生活中我 们遇到的许多过程不仅仅是单一的分枝过程，系统中的两个粒子会相互影响，如 一个粒子可能不会自行分裂死亡，但两个粒子相互之间可以产生分裂或死亡的情 况，在这里也就是我们所说的相互碰撞。由此，我们讨论了一个碰撞一分支过程 的新的模型，即i b c p 。它是由两个分枝过程组成：一个是普通的马尔可夫分支过 程( m b p ) ，一个是碰撞分支过程( c b p ) 。我们定义如果一个q 矩阵满足 r ，、 i kh f + 2 + i b j 刊，如果f 2 ，i - 2 q 驴。1 z 10 ，其他 。 其中 f c o o ，c j o ( 2 ) ，二3 q o ，o o ，o e ，1 0 = 一6 l 并且我们假设6 一，= 。，( 三) = 。 模型中当i l 时是李俊平等老师心钔中所讨论的问题，在 2 4 中，模型是只有一个 吸收态；而在我们这篇论文中所讨论的模型中存在着两个吸收态，相应的也有两 个吸收概率。所以我们着重研究了它的两个吸收态，考虑了它们的吸收概率和吸 收时间，接着我们试着探讨了它在所有行都恢复的情况下的常返性和遍历性。 4 硕士学位论文 第一章绪论 1 4 论文的主要内容与结构 本文在已有的马尔可夫过程的知识的基础上，讨论了一个新的马尔可夫过程 模型。并给出了这个过程的唯一性，和它的吸收状态，以及它的吸收概率，吸收 时间。最后，我们把这个模型进行引申，恢复它的一二行，再讨论它的遍历性。 第一章，绪论部分。简要的介绍研究背景，研究现状及本文的基本框架。 第二章，预备知识。介绍本文所涉及的理论知识，主要包括：马氏链和转移 函数的基本概率和性质；q 矩阵的定义及其性质；q 一函数的存在唯一性；遍历 性的基本概率和性质。 第三章，碰撞一分枝过程的正则性和唯一性。这部分是本文的主体部分之一， 建立了一个碰撞一分枝过程的模型，并讨论了它的一些性质。主要包括：模型的 建立；碰撞一分枝过程的正则性和唯一性。 第四章，碰撞一分枝过程的吸收概率。这里通过对序列 q ；后0 l ， 晚；后0 l 的生成函数曰o ) ，c ( s ) 的研究，讨论c ( s ) = 0 和b o ) = 0 的解见，成的大小情况， 分类讨论了该分枝过程的吸收概率。主要分为两种情况，一种情况是防p b 1 ， 另一种情况是成 p c o 的任意有限时间集 o s t 2 厶 0 有 ，所( f ) o 则对任意s f 都有既( s ) 0 。 ( 2 ) 对任意t - 0 ，f e 有胁( f ) o ；如果f ，j e e ，_ ，i 并且对某个t 0 有 p v ( t ) 0 则对任意s f 都有岛( s ) 0 。 2 2o - 阵的定义及其性质 性质2 2 1 对于转移概率矩阵具有如下性质： ( 1 ) 非负性p ( t ) o , t o ； ( 2 ) 范条件p ( f ) l = l ，即p u ( t ) = 1 ，f o ； j ( 3 ) c k 矧o ( ( c h a p m a n 一肋砌d g d 加坊程) 尸( f + s ) = 以f ) p ( s ) ：( 对应于马氏 性) ( 4 ) 连续性条件( 跳条件) l ，i r a 。p ( f ) = j r = ( 岛) - 1 9 3 6 年，a n 勋砌d g d 加，证明了如下结果： 7 硕士学位论文 第二章预备知识 lira生世：级】，t _ o 。4 l 。i 枷r a r e f ( t 号劬【酬，f ， ( 2 1 ) 而且劬吼如已知极限存在，则后以结果是下式 j * i f 旦盟 ! 二丝盟 智t t 及f a t o u 引理的简单推论。极限的存在性远非平凡。因为上面的( 4 ) 只假定了 连续性，为导出零点的可微性自然不够，需要用到其余性质。例如第一个极限 的存在性使用了次可加函数的性质。 记q = ( 劬) 并称之为q 矩阵。留心吼可以为o o ，而且可能出现 g j 这 j ；e i 些情况在数学上产生诸多困难。好在实际应用中所需的几乎都用不着这么复杂。 定义2 2 2 设岛( f ) 是标准转移函数，( 劬) = ( 功( 0 ) ) ，对任意f e ，如果 吼 佃，则状态f e 称为稳定的：如果鲰= 佃则称之为瞬时的；如果任意状 态f e 都是稳定的则转移函数就称为全稳定的；否则称为带瞬时态的。如果 吼= 0 则f 就称为吸收态。 性质2 2 3 设( 岛( f ) ) 为标准转移函数，则对任意f e ，有 o 吼o o j * i 由以上的定义和性质，对任一转移函数p ( f ) = ( 岛q ) ) ，导数 姆型蔓：t 卜 o 1 存在，并且 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 2 2 ) 我们称q = ( 乃) 为过程的密度矩阵，而马氏链( 功( f ) ) 则简称为q 一过程。 定义2 2 4 设q = ( 乃) 是e e 上的矩阵；称q 为q 一矩阵，如果它是某个 马氏链以f ) 的密度矩阵，即q = p ( o ) ；称q 为拟q 矩阵，如果它满足( 2 2 1 ) 。 反过来，如果矩阵q 是转移函数助( f ) 的q - 矩阵，则称岛( f ) 为q - 函数。 有定义可知，一个q 矩阵或拟q 矩阵，i e ，若 劬= 吼 o ：x ，k 证明：( 1 ) 由过程的轨道的右连续性和马氏性，有 鼻【墨= f ，o s f 】= ! 鳃p k = f ，k = o l 1 一，2 “ = l i m p ( t 2 ”) 2 ” 月 9 巨 x 1 气 卸 栅 o v i 佃 嘞 = 劬 吼 一 v i n 一 扩 氧 州 堡主堂垡堡壅 一 第二章预备知识 一一一 ： ： 一 。舰( 1 一爹州2 1 ”2 。 = e 一 ( 2 ) 设i j ，令 则 玛( 五) = p 【五+ 。= j l x , = f ，置+ 。4 号 _ 2 小舰删= 1 w i r a p x , + h = j 忆l x , ：= 钼i ：l i m 鱼型垒 h - * o ( 1 一既( ) ) h ：垒 吼 由c k 方程以f + j ) = p ( f ) p ( s ) 出发，分别关于f 和s 在零点取导数，形。 式上可导出两个微分方程( 勋砌d g d ，d ： 柯氏向后方程 ，( f ) = q p ( f ) ， 柯氏向前方程 p ( f ) = p ( f ) q ( 2 3 ) ( 2 4 ) 两个方程都是无穷维微分方程组。类似于微分方程，在实际中，我们知 道的是q 而非尸( f ) 。 定理2 2 6 若q 保守，则每一q 过程都满足向后方程。 首先向前方程和向后方程的等价积分形式分别为： 向后方程 岛( f ) 2 荟f 鲰p 飞。q 既( s ) 西+ 岛p 一， l o ( 2 5 ) 硕士学位论文 第二章预备知识 向前方程 毋( 力2 荟f o ) q 每e - 啪叫出+ 岛矿 ， ( 2 6 ) 但并非q 过程均满足向前方程，而上述( 2 4 ) 和( 2 5 ) 两个积分方程都有很好的 概率意义，前者是关于过程“第一次跳的分解，而后者则是关于“t 2 _ 前最后 一次跳的分解。 2 30 - - 函数的存在唯一性 定理2 3 1 假设q 是稳定的但不一定是保守的q 矩阵，则 ( 1 ) 一定存在满足向前和向后方程的转移函数乃( f ) ，至少是它们的最小解，而 且还是最小的9 一函数，即f e l l e r 最t j 、q 函数。 ( 2 ) 如果乃( f ) 是诚实的，那么石( f ) 是其唯一的解同时也是唯一的q 函数。 ( 3 ) 如果q 不是保守的，那么石( f ) 一定不是诚实的。 定理2 3 2 下列陈述是等价的： ( 1 ) 最小解( f ) 是向后方程的唯一解。 ( 2 ) 方程q 戈= 允x ，0 工1 ；即 _ = 如，o 玉l ，f e j 硝 ( 3 ) 不等式q x = 2 x ，o z 1 ，即 e q i ，_ ( 兄+ 吼) 薯，o 1 ，f e j 商 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 4 ) 方程q 譬= 名工，一1 x 0 只有平凡解。 2 4 遍历性的基本概念和性质 e y , o ，有弓( f ) o ，则称f 到达夕；如果e 中 所有状态都是可能相互到达的则称弓( f ) 是不可约的。、 的。 定义2 4 2 状态f 嚣称为常返的，如果f 既( f ) 毋= 佃；否则称f 为非常返 定义2 4 3 转移函数弓( f ) 称为遍历的( 正常返) ，如果存在概率测度 乃，e 使得对任意f ，e 有 l i r a i 弓( f ) 一乃| _ 0 t - + a o 定理2 4 4 假定q = ( ) 是保守的即约正则q - 矩阵，则马氏过程是常返 的当且仅当其嵌入链是常返的。 定理2 4 5 假定马氏过程p = ( 岛) 是即约的，那么过程是不常返的当且仅 当方程 p y j = y i ，i t h i e e 有非固定的有界解。 1 3 堡主堂篁笙窒第三章碰撞一分枝过程的正则性和唯一性 = _ 一二 ： ：= 第三章碰撞一分枝过程的正则性和唯一性 马尔可夫过程是一个比较完美的模型，但在实际生活中，很多都不满足这 种理想化的模型，人们对更广泛的马尔可夫过程越来越感兴趣。本章我们要讨 论的碰撞分枝过程就是在马尔可夫过程模型中稍微进行修改的模型。 我们假设我们的模型是连续时间的马尔可夫链，它的状态空间是由非负整 数z + = o ，1 ，2 ， 组成的。具体来说，我们研究满足以下性质的g 矩阵。 3 1 模型的建立 定义3 1 1 一个g 矩阵q = ( 劬；f ，z + ) 被称为交叉碰撞分枝g 矩阵( 正 如一个馏cg 矩阵定义的一样) ，如果它的g 矩阵满 劬： ( 三 c j 叫+ ：+ 哆叫+ ，如果，2 ，一2 。3 ， 【0 ，其他 其中 ic o o ，勺o ( 2 ) ，二，q o ，o o ，o i 。哆：一6 i o ，并且1 是方程c ( s ) = o 在【o ，1 】上的唯一根，它是单根或是二重根；兰io c ( 1 ) 佃时，方程c ( s ) = o 有 一个另外的单根成，并且满足o o ，其中i 丘i o ，其中幺= 一辟。c ( z ) = o 在复平面扛；i z i 1 ) 上没 有其他的根。 ( i i ) j y 程b ( j ) = o 在【o ，1 】至多只有两个根。特别地，当曰( 1 ) s o ，那么对所有的 s 【一1 ，1 ) 有b ( s ) 0 ，并且1 是方程b ( j ) = o 在【o ，1 ) 上唯一的一个根。当 0 o ，当s ( 见，1 ) ，有b ( s ) o 。特别地，方程b ( z ) = o 在复平面 z ；l z i 1 ) 上 没有其他的根。 在这篇论文中，我们分别记肛和岛为c ( s ) = 0 和b ( 5 ) = 0 的最小非负根。 再者，记 的) = r 挚艚( 觚) ( 3 4 ) 硕士学位论文 第三章碰撞一分枝过程的正则性和唯一性 当y o 时，以上的积分就要取相反的方向的积分。再令 。 彳( y ) = e x p 2 h ( y ) 。 ( 3 5 ) 显然，当y ( 幺，o ) 时，h ( 0 ) = 0 ，日( y ) o ，所以当y ( 丘，o ) 时， 彳( 0 ) = 1 ，么( j ，) 1 ；且有彳( y ) 专0 当且仅当日( y ) _ 咱。以下是我们后面文章中 蛩用剑的关于日( 少) 和彳( y ) 的一些引理。 引理3 1 4 ( i ) l i m y 日( y ) = 娟，l i r a j ，4 ( y ) = 0 。特别地，当) ，专菇， 猢枷小刊，其机k ，实他b 鬻。 ) i 发o c ( 1 ) 4 - 0 0 ，则成 1 。当岛= n 1 ，则o 日( 成) 蜘；当岛 成 l ， 则l i r a y 万日( y ) = 砌，所以l i r a j ，石彳( y ) = o ， 特别地， 当j ，专， 吲成刊，其中。“，实际抓= 鬻；当成 岛 1 ，贝 j l i m y 斗厍h ( y ) = 佃。 证明：易见。 引理3 1 5 设q 是一个如( 3 1 ) 一( 3 2 ) 所定义的一个b cg 矩阵，并令 p ( f ) = ( 既( f ) ；f ，0 ) 是一个q - 函数。并且假设q 一函数p ( f ) 满足勋锄唧，d v 向 前方程( 2 6 ) 。则对任意的f p 扩( t ) d t 0 ，所以有f 只：( f ) 出 佃，所以由正 过程的不可约性，我们知道对所有的f ，- ，2 ，f 助( f ) 衍 o( 对任意的尼) ， 再由( 3 9 )能够得到 【半删期砉舭喜彬7 一茎 学删概胪 再对匕面不等式两沩积分糍们得到 【等等咖朝芝k = k ( j c o 耻扩2 l 卜i m 。b 。( r ) 一；一薹 ! 坌二 芋盟+ 招( ；) 】( f 玩( r ) 出) 聪。_ 2 1 7 硕士学位论文 第三章碰撞一分枝过程的正则性和唯一性 则( 3 7 ) 得证。 另一方面，如果o c ( 1 ) 佃，然后由引理( 3 1 3 ) 我们知道c 0 ) = 0 在 o ，1 ) 有 一个最小的非负根成，使得对任意的s ( p c ，1 ) 有c ( s ) o 。现在对任意的 ；( 成，1 ) ，都存在一个石2 ，使得对任意的后石，有掣+ 妇( ；) o ， 再由( 3 9 ) 我们能够得到 【鼍盟删铷薹o o 舭) k v - z 萎p ；( 啪l 薹 等等删概胪 对上面不等式两边积分得到 ( k - 0 ，c 0 ) + 妇( j ) a o ( j c o 陬( f ) 出) 聪h j ，i m p m ( r ) 一一茎 堕寻笋盟+ 船( 期( f 陬( r ) 巩) 聪卜2 又因为半+ 招( ；) 反 j = o ( 3 1 2 ) 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) ，我们知道曰( s ) j l 一一b ( s ) 所以，艺k = l 九( 五) ( 1 一；) f - b ( s ) = 佃，则矛盾，所以q 是正则的。 下面证明命题相反的一边，用反证法。 假设c 7 ( 1 ) 0 ，由陈 5 】，得到存在一个口，6 使得 和 2 岛+ q 口 i o ，j = i 一1 ，f 2 如果，= i i o 其他 因为矿 口。+ s 。，砉( 主 - l 0 ) ( 3 1 6 ) 有一个非负有界解，记作“= ( 吩，f 0 ) ，显然对所有的i i o 有 0 ，以及 u o = = = 0 和 矿c + 。一咋，= c 口+ s ，c 坼二一。，+ 饥( 主) 一， z 乇 c 3 7 ， 特别的，对i = o + 1 ，我们有矿( + ：一u i o + 。) = ( 口+ 占+ 五) + 。( o ) ，也就是说 ( ；f 乇) 严格的随着i 的增长而增长。由( 3 1 7 ) ，显然的对所以的尼l ，i o ， 有 g + 口 + 6 ，l 、 1 z ，i，、 一 0 硕士学位论文 u t + t h i + k 一1 u i 一1 一吩一2 文口+ 占 i l i j ( c j = j = i o ，我们有 第三章碰撞一分枝过程的正则性和唯一性 ) 一c 吩一吩， ( 等) 卜1 c 州一吩， c 一坼一。， - - z 以乞+ 。 ，= i矧卜 ，= l j = i + 1 筘厂 ( “川一吩) = 6 ( + 。一坼) ，其中6 = 同样的，由( 3 1 9 ) 我们有 ：鸭叫， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( + l 一吩) 6 ( 坼+ 。一坼) 酚o o 筘k = l 厂 ，- l， l ( ( 等 + c c o + q ， c 一一。， 2 u = ( 主 c 口+ 占，c 辑一嘶一，一c ( 主) 占一如，c 一吩一。， ( 3 2 1 ) 事实上，对于f 乇( 3 2 1 ) 是显然正确的，对于f o ，e h ( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 署f l ( 3 1 6 ) ， 我们得到( 办) ；砌；+ 【(