（应用数学专业论文）离散时滞系统d稳定和h∞约束输出反馈控制研究.pdf

硕士论文离散时滞系统d 稳定和以约束输出反馈控制 摘要 本文的研究工作主要基于l y a p u n o v 稳定性理论，d 稳定理论，凰控制理论，采 用双线性矩阵不等式( b m i ) 、线性矩阵不等式( l m i ) 、矩阵分析等工具，研究了离散时 滞系统区域极点配置、风抑制界输出反馈控制问题，给出了问题有解的b m i 描述， 通过对b m i 的摄动线性化，给出了求解期望输出反馈控制增益的有效迭代算法。 主要工作包括： ( 1 ) 对离散时滞系统，研究了输出反馈d 稳定问题，即将系统极点配置在指定 的d 区域内，用一组b m i 有解给出问题有解的充分条件，并给出了求解该组b m i 的迭代l m i 方法。 ( 2 ) 对离散时滞系统，研究了输出反馈皿控制问题，给出了问题有解的b m i 条件，以及求解相应控制增益的迭代算法。 ( 3 ) 对离散时滞系统，研究了d 稳定约束风输出反馈控制问题，给出了问题 有解的b m i 条件，以及求解相应控制增益的迭代算法。 对三类问题，基于相应结论和所给算法，给出了相应的数值算例。 关键词：离散时滞系统，极点配置，输出反馈，凰抑制界，迭代算法 a b s t a c t硕士论文 a b s t r a c t b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，d s t a b l et h e o r ya n d 以c o n t r o lt h e o r y , 谢t l l b i l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( b m d ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a n dm a t r i xa n a l y s i sa st h e m a t h e m a t i c a lt o o l s ，t h i sp a p e rs t u d i e sd i s c r e t et i m e d e l a ys y s t e m sw i t hc o n s t r a i n t so np o l e p l a c e m e n ta n d 鼠a t t e n u a t i o nl e v e l ab m i f o r m u l a t i o ni sf i r s tg i v e nf o ro u t p u tf e e d - b a c k c o n t r o lp r o b l e m ，a n dt h e na ne f f e c t i v ea l g o r i t h mi sp r o p o s e dt os o l v et h ed e s i r e do u t p u t f e e d b a c kg a i n t h em a i nr e s e a r c h e si n c l u d e ： ( 1 ) d s t a b i l i z a t i o np r o b l e mo fac l a s so fd i s c r e t es y s t e m sw i t ht i m e d e l a yi ss t u d i e d a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e mi sf o r m u l a t e di nt h ef e a s i b i l i t yo fas e t o fb m i s a n da nl m i - b a s e di t e r a t i v ea l g o r i t h mi sg i v e nt os o l v et h ea s s o c i a t e db m i s n u m e r i c a l l y ( 2 ) f o rd i s c r e t es y s t e m s 晰mt i m e - d e l a y , h - i n f i n i t yo u t p u t - f e e d b a c ki ss t u d i e d ，ab m i s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sp r o v i d e d ，a n da nl m i b a s e di t e r a t i v ea l g o r i t h mi sa l s op r o v i d e dt o s o l v et h eb m i p r o b l e m ( 3 ) f o rd i s c r e t es y s t e m s 晰血t i m e d e l a y , h - i n f i n i t yo u t p u t - f e e d b a c kp r o b l e m 、j l ，i 吐1 d s t a b l ec o n s t r a i n t si ss t u d i e d f o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ep r o b l e m ，as u f f i c i e n tb m ic o n d i t i o n i sg i v e n a nl m i - b a s e di t e r a t i v ea l g o r i t h mi sp r o v i d e dt of i n das a t i s f a c t o r yo u t p u t - f e e d b a c k g a i n f o rt h et h r e ep r o b l e m sa b o v e ，b a s e d - o nt h e o r i e sa n da l g o r i t h m sp r o v i d e d , s o m e n u m c r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e d k e y w o r d ：d i s c r e t et i m e d e l a ys y s t e m ，p o l ep l a c e m e n t o u t p u tf e e d b a c k ，玩a t t e n u a t i o n l e v e l ，i t e r a t ea l g o r i t h m 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：遵盘孝切少年月杉日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 逢赶牵 一切归年助日 硕士论文 离散时滞系统d 稳定和凰。约束输出反馈控制 1 绪论 1 1 引言 1 1 1 研究的目的及其意义 随着控制理论研究的不断深入和对诸如动力系统、电力系统、生态系统、经济管理 系统和工业工程系统等大量实际系统研究和应用的需要，人们对系统的描述、分析和设 计的精度要求越来越高，因而所讨论的系统变得越来越复杂。在各种工业系统中，时滞 现象是极其普遍的，如长管道进料或皮带传输、极缓慢的过程或复杂的在线分析仪等虫 存在时滞现象。此外，对许多大时间常数的系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环 节来近似，这都可以归结为时滞系统模型。一般地，一个系统中原料或信息的传输也往 往导致时滞现象的产生。因此，通信系统、传送系统、化工过程系统、冶金过程系统、 环境系统、电力系统等都是典型的时滞系统。 系统规模不断扩大，复杂性逐步增加，系统中往往存在的时滞现象有多种可能，时 滞可能是已知的或未知的，也可能是定常的或时变的，事实证明时滞的存在往往是系统 不稳定和系统性能变差的主要原因。在时滞系统的研究中，可按不同的需要对所研究的 时滞系统进行划分。根据系统中所含时滞的个数多少，可分为单时滞系统和多时滞系统； 根据时滞是否和时间有关，可分为常时滞系统和变时滞系统；根据系统中函数的性质，可 以分为线性时滞系统和非线性时滞系统；在控制器的构造上，主要分为有记忆控制i l j 【2 j 和 无记忆【3 】控制两类，现有结果多是应用无记忆的控制器使得相应的闭环系统具有所期望 的性能。对于系统稳定性的研究，常用的方法有l y a p u n o v 方法1 4 ，r i c c a f i 方程方法，矩 阵测度( 范数) 方法【5 j 和特征根方法等【6 j 随着计算机控制技术的迅速发展，从工业过程控制的实际问题出发，对离散时间系 统控制方法的研究显得尤为重要，虽然由连续系统的一些结果已经平行地推出离散系统 的相应结果f 7 1 ，但是离散系统其自身的结构决定了它具有一些独特的性质，使得不能由 连续系统平行得出。 区域极点指标以及凰i 扰动抑制指标是控制理论中重要的性能指标，它们分别很好地 刻画了闭环系统的快速性、稳态性能和对扰动输入的抑制性。将系统的极点配置在所期 望的位置上，以保证系统具有所要求的动态和稳态性能。而线性系统的脯制理论的理 论体系已基本形成，其应用研究也同样得到的蓬勃的发展，但控制设计的b m i 算法还有待 进一步改善。近年来，对于系统风性能指标与区域极点配置指标相容时，鼠胜能指标 下界的计算方面的文献还很少。时滞系统的鼠。控制越来越受到人们的广泛重视和研究， 鼠。控制的特点是对应于干扰集合保证最劣的扰动衰减性能指标为最优。 1 绪论硕士论文 1 1 2 时滞系统d 稳定和鼠。研究与发展 近年来，己提出了一些方法将线性系统的所有极点配置在一个给定的圆盘中，离散时 滞系统的具有圆盘区域闭环极点的约束鲁棒控制研究也取得了很大的进展【8 1 0 1 m a r t i n 提 出了一种通过求解一个带参数的离散r i c c a t i 方程区域极点配置方法k o l l a 通过对系统进 行增维提出了一种凸优化的控制器设计方法h a r t 等提出了一种基于线性矩阵不等式的 处理方法】。而j u a n g 等利用特征值连续分析法和l y a p u n o v 稳定性理论分别研究了扰动 系统的d 稳定鲁棒性【9 】。s h i e h 等讨论了将系统的闭环极点配置在带形扇形和斧形刀域 之内同时使性能指标达到极小1 1 0 1 。 线性系统的极点均在复平面的适当区域内将保证一定的稳态与动态性能，因此区域 极点配置及其相关问题一直是人们关注的焦点之一文献【l l 】研究并给出针对一类不确定 系统由输出反馈实现的圆盘极点配置方法。 d 稳定理论的研究十分活跃，对定长小时滞情形通过状态增广，化为无时滞系统， 传统稳定性理论及控制结论可简单移植有关指数稳定的非线性系统相应问题的研究有 不少成果，但衰减率无法预先估计，因而相应结果作为控制设计基础无法处理衰减率约 束控制问题文f 1 2 】针对线性离散一步时滞系统提出的同时引入状态反馈和时滞状态反馈 控制方法可以确保一类时滞系统当执行器或传感器发生故障时，仍然具有d 稳定性 1 9 8 1 年，z a l t l e s 提出了著名的鼠d 设计思想，此后很多学者致力于这方面的研究，促使 鼠d 控制理论获得了惊人的发展鼠。控制理论的发展大致经历了两个阶段：第一阶段到 1 9 8 4 年为止，主要是早期算子理论；至1 j 1 9 8 9 年为止是第二阶段，d o y l e 和g l o v e r 直接在状 态空间描述上设计取得了突破性进展，提出了著名的“2 - r i c c a t i 方程 的标准胜制问 题，目前主要是利用直接状态空间法( 包括r i c c a t i 方法、l m i 方法和b m i 方法) 近些年， 线性矩阵不等式( l m i ) 分析和设计鲁棒控制问题的方法得以迅速发展，它克服了解 r i c c a t i 方程方法的缺陷。解l m i 时不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵，而且可通 过使用内点算法有效的数值化求解系统控制参数。 区域极点指标以及鼠就动衰减指标是控制理论中重要的性能指标，它们分别很好地 刻画了闭环系统的快速性、稳态性能和对扰动输入的抑制性目前，线性系统的麟制 理论的理论体系已基本形成，其应用研究也同样得到的蓬勃的发展，但控制设计的b m i 算法还有待进一步改善近年来，对于系统鼠。性能指标与区域极点配置指标相容时，上乙 性能指标下界的计算方面的文献还很少时滞系统的且。控制越来越受到人们的广泛重视 和研究，丑二控制的特点是对应于干扰集合保证最劣的扰动衰减性能指标为最优 近几年来，对于动态系统的风的控制问题，包含时滞信息的基于l m i 的各类时滞相 关条件不断涌现，但众多是针对连续系统而言，针对离散系统的的却较少主要原因之一 是离散时间线性定常时滞系统可以转化为高维无时滞的离散时间不确定离散时间线性 系统，这样就可以借助于离散时间线性系统的且。控制理论获得麟制器但是当时滞未 2 硕士论文离散时滞系统d 稳定和风。约束输出反馈控制 知或系统含有不确定性时，这一方法不再有效文献【1 3 j 引入r i a e c a t i 方程方法讨论了具有 未知时滞离散系统的稳定性，文献【1 4 j 将这一方法推广到具有未知时滞的离散系统讨论 鼠。控制问题，文献【l5 】在某一假设下将具有未知时滞离散系统的、控制问题转化为无时 滞离散系统的、控制，并获得了控制器，然而，它们都没有考虑受控输出也具有时滞的 情况，文献【l6 】虽然考虑了这一点，但所得条件是时滞无关的，对于小时滞系统，具有较大 的保守性文献【1 7 】讨论了线性多时滞不确定离散时间线性系统的时滞相关控制问题通过 建立一个有限和不等式，获得了在无记忆控制器作用下系统不仅仅内部稳定而且具有给 定的性能的时滞相关的充分条件，同时以的形式给出了无记忆控制器的设计方法文i l 列 采用线性矩阵不等式处理方法，给出了使得闭环系统同时满足圆盘极点约束和础能 要求的控制器设计方法 1 2 本文研究的主要内容 本学位论文主要研究以下几方面的内容： 1 区域极点约束下离散时滞系统的输出反馈控制设计 主要研究静态输出反馈约束下离散时滞系统的输出反馈控制设计由于线性系统的 快速响应特性和良好的过渡过程品质与系统的极点分布紧密相关因而极点配置问题是 一个具有实际意义和吸引力的研究领域进一步考虑d 稳定控制器的存在条件( 如矩阵不 等式条件) 。当问题可解时，研究r 的取值范围。 2 脚制界约束下的离散时滞系统的输出反馈控制 研究离散时滞系统的输出反馈风控制问题，在系统稳定的条件下，给出输出反馈 咣能指标丫可实现的条件，此时的控制问题可视为特殊稳定域d ( o ，1 ) 约束下的风 输出反馈控制问题，并分析相应鼠胜能指标丫的取值范围给出鼠。抑制界约束下的输出反 馈控制的存在条件。当问题可解时，研究麟标y 的取值范围，给出性能指标的一个上 界。 3 区域极点和玩抑制界约束下的离散时滞系统的输出反馈控制 首先研究离散时滞系统的输出反馈鼠控制问题，给出输出反馈冠。性能指标丫可 实现的条件，此时的控制问题可视为特殊稳定域d ( o ，1 ) 约束下的脯出反馈控制问题，并 分析相应风性能指标丫的取值范围然后再进一步研究一般稳定域d ( a ，) 和风指标约束 控制问题给出区域极点和风抑制界约束下的输出反馈控制的存在条件当问题可解 时，研究e 。指标y 的取值范围；进一步研究d 和，固定时，研究低成本输出反馈控制问 题。 2 区域极点约束下离散时滞系统的输出反馈控制硕士论文 2 区域极点约束下离散时滞系统的输出反馈控制 2 1 引言 我们知道，系统极点在复平面的分布位置与经典控制指标中的指数衰减度、振荡频 率和阻尼系数之间存在着对应的关系。将系统的极点配置在所期望的位置上，以保证系 统具有所要求的动态和稳态性能。在最初的极点配置问题研究中，考虑的是将极点配置 在复平面事先给定的位置。然而，由于模型的不确定性和各种扰动的存在，使得这种精 确的极点配置方式不可能真正实现。事实上，只要将极点配置在复平面的某个适当区域， 就可以保证系统具有所要求的动态和稳态性能 通常，我们可以通过转换和经验估算出这些系统性能和极点分布的关系，从而，系 统极点的研究对控制系统分析和综合有着重要的理论意义和实践价值，因此针对无时滞 定常系统发展了极点配置的综合方法，针对无时滞的线性不确定系统，c i l a l i 等1 1 9 j 研究 了系统极点分布在左半复平面某个特定区域的稳定条件。文献【2 0 】通过研究单常时滞线性 系统不稳定时特征根的分布得到了一个时滞相关的渐近稳定性条件。这些结果均为基于 矩阵不等式建立的稳定性充分条件。 系统区域极点配置问题一直成为研究的热点，并取得了丰硕的成果【2 1 2 3 1 。圆一t l , 为仇 o ) ，半径，的圆盘以口，) ，其中离散系统要求r l ，lai 竹 l 。将系统的极点配置在特 定圆盘d ( a ，厂) 的问题通常称为d 极点配置问题( 或d - 稳定性问题) 。在各类工业系统中， 如通信系统、传送系统、化工过程系统、环境系统、电力系统等，时滞现象是极其普遍 的。所以，对时滞系统的d - 稳定性问题的研究引起了广泛的关注，离散时滞系统的d 稳定已有研究已有一些成果。除了通过系统状态增广( 常称增广法) ，把定常时滞离散 系统转化为形式上的无时滞系统，进而利用定常线性系统的相关理论来研究外，文献圈 通过分析矩阵范数方法研究了d 稳定问题，保证闭环系统所有极点均位于给定的圆盘 区域内。文献 2 3 1 运用特征值的方法研究了d 稳定的约束的l m i 充分条件。 2 2 问题的描述 考虑离散时滞系统 fx ( k + 1 ) = a x ( k ) + a l x ( k h ) + b l w ( k ) + b u ( k ) y ( 七) = l x ( k ) ( 2 1 ) lx ( 歹) = ( 歹) ，j = - h ，- h + l 0 式中：x ( k ) r ”为系统状态，u ( k ) r ”为控制输入，y ( k ) r9 为测量输出， w ( k ) r7 为扰动输入，z ( k ) r p 为受控输出，且w ( k ) z 2 ，彳，彳1 ，eb l ，c ，三为具有适 当维数的常数实矩阵，正整数h 为常时滞。 4 硕士论文 离散时滞系统d 稳定和阮。约束输出反馈控制 要设计输出反馈控制律 ”( 七) = v y ( k ) 使得如下相应闭环系统是d ( 口，) 稳定的。 x ( k + 1 ) = a xx ( k ) + a l x ( k h ) + b l w ( k ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其中a r = a + b f l ， ( 2 4 ) 注2 1 当式( 2 2 ) 中l = i 时，输出反馈变成状态反馈。 这里系统( 2 1 ) 的d ( a ，) 稳定是通用的，其定义如下。 定义2 1 系统( 2 1 ) 称为是烈a ，) 稳定的，若( 2 1 ) 的特征方程 f ( z ) = d e t ( z i 一彳一a lz 啪) = 0 的所有解满足：z d ( a ，) = z ：i z 一口i ，i 口l + ， 1 ) 。 离散时滞系统( 2 1 ) 称为是d ( a ，厂) 可输出反馈镇定的，如果存在输出反馈控制律 ( 2 2 ) ，使得闭环系统( 2 3 ) 是驮口，) 稳定的。 引理2 1 剐( s c h u r 补弓j 理) 对给定的对称矩阵s = 霎：霎： ，其中两是厂x ，维的。 以下三个条件是等价的： ( 1 ) 弥o ； ( 2 ) s l l 0 ，s 2 2 一s 1 2 7s 1 s 1 2 0 ( 3 )s 2 2 0 ，s l l s 1 2 s # s 5 o ， 使得( 彳一a i ) r 尸( 彳一a z ) 一，2 p 0 ，使得如下不等式成立。 ( a x 一口，) 1p ( a x 一甜) 一，2 尸 0 ( 2 7 ) 式中瓦= 孑+ 静云。 利用s c h u r 补引理2 1 可得，( 2 7 ) 式等价于 p 两圳r p o ( 2 8 ) l 一印 1 符号幸表示对称矩阵的对称项。 对于输出反馈d 稳定问题，由于反馈增益矩阵f 正是需要确定的，因而不等式( 2 8 ) 实际上p ，的双线性矩阵不等式( b m i ) 。因而时滞系统d 稳定输出反馈控制问题的 求解，变成了相应稳定区域d ( a ，厂) 对应的b m i 的求解问题。 对于任意给定的反馈增益矩阵f ，若将( 2 7 ) 式中，看做变量，则当，大于4 一甜的 谱半径时，由经典l y a p u n o v 稳定性理论知，( 2 7 ) 式( 或等价地( 2 8 ) 式) 总有正定解p 。 由此，结合b m i 问题的p a t h - f o l l o w i n g 方法( 即摄动线性化方法) ，可以给出求解 b m i ( 2 7 ) 的如下迭代l m i 方法，它给出在小时滞下时滞离散系统输出反馈d ( 口，厂) 镇 定的一个设计算法。 算法l 求解时滞离散系统d ( a ，) 稳定输出反馈增益矩阵f s t e p la 4 , j = i ，取初始反馈增益乃，且令互= 孑+ 豇云，计算互的谱半径务，取 6 硕士论文离散时滞系统d 稳定和鼠。约束输出反馈控制 t = t j + e l ，其中l 是个小正数。 s t e p 2 解如下l m i 约束极小化问题，目的是求出条件数较好的正定矩阵尸： m i np ：dp 满足 ( 4 一叮) 1 尸( 4 一叮) 一f 2 p 0 p p i 记相应极小点为。 s t e p 3 令辟务+ & ，p = p 7 + s p ，f = e + 8 f ，将b m i ( 2 8 ) 中的，作为变量毛解其 如下摄动线性化约束极小值问题，并记相应的极小点为6 只卅。 m i n8 t ：母，凹，s f 满足 f 一肚删一岱p 巧圳v + ( f f f i f l ) r p j o l 事 p 一6 垆t s p l - r ，p j 州 泣9 ， 式( 2 9 ) 是对摄动量的限制，百l ，t i 是适当小正数。 s t e p 4 令= + 1 ，f = f 川+ 6 弓，石= 石+ 昂e z ，计算互的谱半径哆，取嘞+ l ， 返回s t e p 2 s t e p 5 若， ，1 1 , - 一t 一l i s 2 ，或者，= ，( ，为预先指定的最大迭代次数) ，则结束迭代， 这_ 里9 2 o ( i = o ，1 ) ，实对称矩阵工矩阵f ，满足以下b m i 组 60+6lf一6，(210) 一6 ：x ( ( 彳一二三：妻+ b f 三x ) r 。 一嚣邶即r 。 其中r = z 船i 柙+ 口i 。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 7 2 区域极点约束下离散时滞系统的输出反馈控制 硕士论文 证明：仿照文献瞄1 处理相应状态反馈d 稳定的方法。系统( 2 1 ) 采用有记忆的输 出反馈控制律 ( 七) = f y ( k ) + e y ( k 一厅) = f l x ( k ) + e l x ( k 一厅) 得到闭环系统 x ( k + 1 ) = ( 彳+ b f l ) x ( k ) + ( 4 l + b 置l ) x ( k 一厅) ( 2 1 3 ) l 引入状态变换x ( k ) = x2 7 7 ( k ) 后。系统( 2 1 3 ) 变为 7 7 ( 七+ 1 ) = ( 彳+ b f ) 叩( 七) + ( 么l + b e ) 1 7 ( 七一j i l ) ( 2 1 4 ) llllll 其中石= x 2a 1 x i ，一a = x 2a x2 ，一b = x 一2b ，瓦= f , l x 一2 。 显然，系统( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 具有相同的特征值，系统( 2 1 4 ) 的特征方程为 ，( z ) = d e t ( z i 一( 万+ 而) 一( 一a l + 丽) z 一 ) = 0 。 令1 ，：坐，( 即z ：，+ 口) ，上述特征方程等价于 ， d e t ( v i - 么+ bf a i ， 一三( 石+ 而) ( ，+ 口- h ) ：0 ( 2 1 5 ) ， 下面只需证明特征方程( 2 1 5 ) 的解满足i v i l ，令z ，= f ，l x ( i = o ，1 ) ，由式( 2 i i ) 可导出 一：孔f bf - 厂 - 0 x 。x 一 一6 0 jj l i l o x 等肌刮广0 寻斗x 。 一6 0 xj i一言l 所以，( j + b f a i ) 7 ( j + 而一口，) 6 孑，。 由式( 2 1 2 ) 可导出 一o 耻剽= x 0 x 。一号 一6 l ，j 一主l o 工：姿+ b e 。r 享 二一三2 。 一6 1 xllny i 所以，( 么1 + be ) r ( 么1 + be ) a 2 i 。 上式不等式等价于i 百+ 而一口2 1 1 ： 6 。，l a l + 丽8 ： 6 ，。 8 ll p。l。l 硕士论文离散时滞系统d 稳定和也。约束输出反馈控制 进一步由式( 2 1 0 ) 可导出，对任意的h l ，有 | | - + 而一口，+ ( 石+ 珥) ( ，v + 口) “蚣 | i _ + 而一叫i ：+ l l + 珥1 1 2 | r v + 口r 0 使得 i 2 2 ( 卜以) 2 删1l 0 ，有( z a ) x ( z a ) r 2 x 成立。 令，c ”，满足 z 1 ，= 彳1 ，+ 么l z 一6 v ( 2 1 7 ) 一左乘，日，右乘v 有 o 2 区域极点约束下离散时滞系统的输出反馈控制 硕士论文 1 ，日( ；一a ) x ( z a ) v r 2 ，何丽， 将( 2 1 7 ) 代入( 2 1 8 ) 中有 v 耳 ( 彳r 一叮+ 4 j 一6 ) 。r ( 么一a i + 1 z 一6 ) 一，2 x 】o 其 v 月【( 彳r d ) x ( a a o + ( a r d ) x 4 z 曲 刚 + 彳x 似一叮) + 群弛三- h z - h _ r 2 x v o 由引理2 2 得对任意的正定矩阵s 彳f 黝。，以下不等式成立 ( 4 1 一a i ) lx a l z 一6 + a ? x ( 4 一a i ) z 十lf一一一 ( 么r a z ) x 么l ( s 一么f z 4 1 ) a x ( a 一口，) + z 一6 ；一 ( s 一彳f 叉么1 ) 由( 2 1 9 ) 可得 1 ，何【( 彳r a z ) x 4 ( s 一4 x 4 ) 。1 4 r x ( a - a o + ( a r 一甜) r ( 彳一n ，) + ( 爿丁一面) x ( 彳一口，) + z 瑚z ”s 一，2 x v 之0 一 t 一一月 而z 叠烈口，力，令z = a + p e 坩，则有p ，从而有 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 兹= p 2 + 2 a p c o s 0 + 口2 ( p iai ) 2 ( ，一iai ) 2 因而有z 一6 三一( ，一1 4 ) 啪，从而下列不等式成立 俨k 叫础 誓和a 圳- a l + ( ，) + ( x r - 之d ) x ( a ：- a 1 ) + a - a i ) x ( a - 1 4 ) s - rx v 0 晓2 ， ( 1一面) + ( ， 吨2 由s c h u r 补引理知( 2 1 6 ) 等价于， ( 么r 一西) 义4 ( s 一么i x 4 ) 1 群y ( 彳一a o + ( a 丁一面) x ( 彳一口d + ( a r a i ) x ( a 一叮) + ( 厂一i 口i ) 。2 6 s 一，2 x 0 所以对于任意非零向量w ， 啪“础岱一乞a - a i ) 班x ( a ! 舞篇- 1 4 掣) s - r 拿x 叫 w 0 ( 1一面) + ( ， 2 0 满足 r ? “柑麓一si o ，s 0 和矩阵f 使得如下b m i 成立 1 0 硕士论文 离散时滞系统d 稳定和凰。约束输出反馈控制 ? 2 2 ( 彳置彳- f a 。拗i ) r x s a l 1 ，和实对称矩阵x ，s 和矩阵f 满足如下b m i 一，2 f + a s 0 ，即 ，= ( z r ( k ) z ( k ) 一y2 w r ( | | ) w ( 七) ) 0 ，如果存在对称正定矩阵尸 0 ，使得下列矩阵不等 式成立： p ? c 砰嚣磊 0 ，如果存在对称正定矩阵p 0 ，及矩阵f 使得下列矩 阵不等式成立： f 石r p _ 一p + 瓦r 瓦 石r 嚆+ 瓦r d l i o ( 3 1 0 ) i 瓦2 尸酉+ 日r d i 一7 2 1 j 则离散时滞系统( 3 8 ) 在具有鼠。性能) ，。 利用s c h u r 补引理，( 3 1 0 ) 是等价于下面的矩阵不等式 一p o 幸 一y 2 ， 宰 i d ： 0 一i 0 ( 3 1 1 ) 又易知系统( 3 9 ) 稳定需满足 么r 尸彳k p 0 ( 3 1 2 ) 算法2 计算输出反馈所能实现的尽可能小的岛指标丫 s t e p l 初始化：根据( 3 1 2 ) 式，利用摄动线性化方法求解b m i ( 3 1 2 ) ，寻找镇定输出 反馈n 。令萨1 ； s t e p 2 令同，解l m i ( 3 1 1 ) 约束极小值问题r a i n 丫得到极小值点p n ，丫n s t e p 3 令p = + g p ，f = e + 3 f ，4 砌= 4 + 且c 三，忽略( 尽6 兕) r 6 和6 ( e 6 凡) 项， 由( 3 1 1 ) 可得 一( + 艿p ) 0a 刍, ( p , , r+ a p ) + ( - f f l l s f l ) 7 瓦r 蜀假+ 艿尸) 一( + 6 p ) d ： 0 一l 0 ，r 0 ，q 0 ，以及m l ，m2 r 从”，使得下列 矩阵不等式成立 r f eh l f r r lh l f ； 一尸00 - h l r l 0 - h l r l 0 ，q 0 ，m ，鸠 国lp a m j + m 2 ( a x i 丫ph ( a k i 丫r h m r 一。一m ：一m筐p斛rh m ： ，j1 掌 一尸0o 0一旅0 幸 00一矗尼 0 其中巾l = 尸( 以一，) + ( 以- s ) 7 p + q + 矸+ 毛一盯 若t ( j ) 0 ，8 f ，m i ，鸩 p j a + 6 p a m i + m 固3固ih m j 0 一d m i m i i越p j + 筐6 p埘r j + 槭6 rh m ：0 一 li 幸 一p j 一8 p000 一舷j 一硒灭0o 一般j 一硒r0 一q 呵l p s p f l p j , 呵1 r ， s r f l r j ( s f 7 ) r 8 f 7 j ( j 为最大迭代次数) ，z = z ，则迭代结束，否则z = z + l ，返回 s t e p 2 。 定理3 3 对给定的y 0 ，若存在p 0 ，r 0 ，q 0 以及m l ，m2 r 艄”，和矩阵f 使得下列矩阵不等式成立 f 三f1 o ( 3 2 0 ) 【r3 一tj 石- = p ( a k - i ) + ( 乇多一，) 尸+ q m f m 1 笔1 二謦二z ： 石：f j 尸f 。+ 厅f ；r f ：+ h f ；r f 。 亍= ( 以一，4 蜀) ，f z = ( m 鸠o ) ，亍s = ( q 0 d 1 ) 则闭环系统( 3 3 ) 在具有如性能丫。 证明：取以下l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函 1 8 2 i e i 奎 。 。 。 l、， ， 反 广 p 0 一 硕士论文离散时滞系统d 稳定和。约束输出反馈控制 0k lk l y ( 七) = x ( j j ) rp x ( k ) + p r ( o r e ( i ) + x7 ( f 硷x ( f ) 其中e ( k ) = x ( k + 1 ) 一x ( k ) ，对y ( 七) 沿系统( 3 3 ) 取差分，得到 0 i a v ( k ) = ( x r ( 七+ 1 ) p x ( k + 1 ) 一x7 ( 后) 尸x ( 后) ) + ( e t ( 伽p ( f ) 口霉一h + li f f i 七+ 0 n k 一1 量k 一1 一e t ( 珊p ( f ) ) + ( x r ( 帼x ( f ) 一x t ( f ) q x ( f ) ) 七一l = ( x ，( 露+ 1 ) p x ( k + 1 ) 一x t ( 七) p x ( 女) ) + ( g r ( k ) h r e ( k ) - g r ( f ) 只p ( f ) ) i f f i k 一 + ( x r ( k ) q x ( k ) 一x r ( k h ) q x ( k 一办) ) = 2 x r ( k ) p e ( k ) + e r ( 后) ( p + h r ) e ( k ) + x r ( k ) q x ( k ) k i x r ( 七一h ) q x ( k 一办) 一e t ( 伽p ( f ) f = k 一 ( 3 2 1 ) 灭”三拦冀1 ) x ( “k ax ( k 邮hb 。w ( k 河引k ， 2 2 ， = ( 彳置一 ) + 1 一 ) + 1) = r l f ( ) 、。 其中 。后，：r 二 妻) _ 办，、1 lw ( 七)j 由引理，对任意的m 。，m2 r “，有 。k 一- 。! l m 。r ，。+ m 。，i - z e r l v l v v ； l _ ， 。 1 ，r i 一 l l 十 州砸槲m 蛐七， 将( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 代入( 3 2 1 ) 式，经整理可以得到 v 一) ，2 w r ( k ) w ( k ) r ( 七) ( 七) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 下证明系统( 3 1 3 ) 在零初始条件下对任意的w ( 七) ，2 ( w ( 七) o ) 满足， 0 ，对称正定矩阵尸 0 ，q 0 ，r 0 和矩阵s ，使得 5 0 一q 尸办( - i ) r 蜮r 0 h 毯r 0 o0 一肷o 一i ： 。 其中啦= 尸( 以+ 4 一，) + ( + 彳- i ) p + h s + q 对“( 七) = f l x ( t ) ，使闭环系统( 3 3 ) 稳定，且满足 ，= ( z r ( 后) z ( 七) 一y2 w r ( 七) w ( 七) ) o , q o 和矩阵s 使得巨 o , r o , q o 和矩阵s 使得矩阵不等式巨 o 和( 2 3 ) 成 立，则系统( 2 ) 是稳定的，而且相应的凰。指标( 4 ) 满足火d 。运用s c h u r 补引理，矩 阵不等式三 0 。其中 a ，= a + b f 三，c r = c + d f l( 4 4 ) a 一 。 4 2 区域极点和日枷制界约束下的离散时滞系统的输出反馈控制 由本文前两章中刻划d 稳定输出反馈控制的定理2 3 和刻划输出反馈凰滥制的定 理3 3 ，可得如下d ( a ，厂) 稳定约束下具有i - i = 扣o n 界丫的输出反馈控制f = 3 题有解的b m i 充分条件。 定理4 1 对于系统( 4 1 ) ，给定稳定域d ( a ，) 和月珈制界丫，若存在正定矩阵工s 、p 、 q 、r 以及m l ，m 2 r “”和f ，使得以下b m i 有解，则输出反馈控制( 4