（应用数学专业论文）多目标规划在广义凸性下的鞍点研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 人们在政治、经济和日常生活中常常需要作出决策。要作出好的决策，首先 需要给出判别决策好坏的标准。如何协调这些矛盾，兼顾各个指标，选出最满意 的方案，是人们在现实生活中经常遇到的难题，多目标规划因此应运而生。鞍点 问题一直是多目标规划优化理论中很吸引人的一个主题，许多学者做过研究，特 别是关于多目标规划的鞍点的存在能保证具有整体最优解。而最优化理论的许多 有意义的重要结果大都建立在凸性和某些广义凸性的假定上。本文在前人的研究 基础上通过弱化多目标规划的条件，提出了半预不变拟凸函数和次拟凸函数的概 念，并得到了一些鞍点在其应用上的结果。由此在第三章和第四章借以研究从 脚问题到陋p 问题，得到了鞍点在半预不变拟凸函数和次拟凸函数的弱化条件 下的存在性。 关键词：鞍点；广义凸函数；多目标规划；半预不变拟凸函数；次拟凸函数 第1 i 页武汉科技大学 硕士学位论文 a b s t r a c t p e o p l ei nt h ep o l i t i c a l ，e c o n o m i ca n dd a i l yl i f eo f t e nn e e dt om a k ed e c i s i o n s t o m a k eg o o dd e c i s i o n s ，f i r s tn e e dt og i v eac r i t e r i at od e t e r m i n eg o o do rb a dd e c i s i o n s h o wt or e c o n c i l et h e s ec o n t r a d i c t i o n s ，t a k ei n t oa c c o u n tt h ev a r i o u si n d i c a t o r s a n d c h o o s et h em o s ts a t i s f i e ds l o u t i o nj st h ep r o b l e mt h a tp e o p l eo f t e ne n c o u n t e ri 1 1r e a l l i f e ，s om u l t i o b j e c t i v ep l a n n i n gd oi t f u r t h e r ，s a d d l e p o i n ti st h em o s ta t t r a c t i v e t h e m et h a tm a n ys c h o l a r sr e s e a r c h e di nm u l t i - o b j e c t i v ep l a n n i n go p t i m i z a t i o nt h e o r y ， e s p e c i a l l yt h es a d d l e - p o i n tc a ne n s u r et h ee x i s t e n c eo ft h eo v e r a l lo p t i m a ls o l u t i o ni n m u l t i 。o b j e c t i v ep l a n n i n g a n dm a n ym e a n i n g f u la n di m p o r t a n tr e s u l t si nt h e o p t i m i z a t i o n t h e o r yw a sb a s eo nt h e t h ec o n v e xa n ds o m ea s s u m p t i o n so nt h e c o n v e x i t y i nt h i sp a p e r ，w es t a n do nt h eb a s i so fp r e v i o u sr e s e a r c hw h i c hw e a k e nt h e c o n d i t i o n so fm u l t i - o b j e c t i v ep l a n n i n g ，g e tt h ec o n c e p ta n ds o m em e a n f u lt h e o r e m so f s e m i c o n v e x l i k eu n c h a n gf u n c t i o na n ds u b c o n v e x l i k ef u n c t i o n ，w h i c hi nc h a p t e r si i i a n di vt or e s e a r c hf r o mt h em pp r o b l e mt ov f pp r o b l e m o b t a i nt h ee x i s t e n c eo f s a d d l ei ns e m i - c o n v e x l i k eu n c h a n gf u n c t i o na n ds u b c o n v e x l i k ef u n c t i o nu n d e rt h e w e a k e ns i t u a t i o n k e yw o r d s ：s a d d l e p o i n t ；g e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n ；m u l t i - o b j e c t i v ep l a n n i n g ； s e m i c o n v e x l i k eu n c h a n gf u n c t i o n ；s u b c o n v e x l i k ef u n c t i o n 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：垒查：日期：丝：里 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索。 论文作者签名： 指导教师签名： 日 期： 盘 水 一一r 、 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 1 1 引言 第一章绪论 人们在政治、经济和日常生活中常常需要作出决策。要作出好的决策，首先 需要给出判别决策好坏的标准。当只用一个目标作为判断决策好坏的标准时，人 们应设法选择使这一目标在某种意义下达到“最优 的决策。这类决策问题就是 传统的单目标规划问题。但在现实世界中，衡量一个决策优劣的指标往往不止一 个，一般需要多个指标来衡量，而这些指标之间又常常是相互矛盾的如何协调 这些矛盾，兼顾各个指标，选出最满意的方案，是人们在现实生活中经常遇到的 难题，多目标规划因此应运而生。多目标规划问题出现在许多领域中，例如，在 水资源分配这个范围内，多种用途的水库的经营，可以要求灌溉和为附近居民点 提供电力。同时还要保持水库本身和下游的安全水位，以适应环境和娱乐的要求。 而这些目标实际上可能是互相冲突的，要同时满足它们往往是矛盾的。所以，多 目标规划问题，总是以牺牲一部分目标的利益来换取另一些目标的利益的改善， 正如v o nn e u m a n 和m o r g e n s t e r n 1 ，2 】指出的：“这种多目标的情形，肯定是无最优 值的问题，而是几个相互冲突的最优问题特有的和扰人的混合这一类问题不 能用传统数学方法来处理 这就是多目标规划问题的基本性质之一。 1 2 多目标规划理论的研究方面 多目标规划的理论要涉及多门现代数学学科，如凸分析、非光滑分析和随机 分析等。它的求解方法，则常借助于线性规划、非线性规划、随机规划以及数值 计算的手段和技巧。目前，多目标规划无论在理论研究、求解方法，还是应用方 面都取得了重要的进展，使它成为一门庞大的学科。多目标规划包括广泛和丰富 的内容。多目标规划问题也称为：多目标优化问题或向量优化问题或向量极值问 题，它与只含有一个数值目标函数的单目标规划问题不同，在一般情况下并不存 在最优解。因此，多目标规划理论的研究包括以下几个方面：( 1 ) 解的定义由于 多目标规划的目标不只一个，如何界定多目标最优解的概念成为一个首要问题。 ( 2 ) 对于各类解的最优性条件的研究，是多目标规划中一个重要和基本的课题 所谓解的最优性条件，就是在某种意义下所考虑的解要满足的必要和充分条件 它不仅可以用来判断一个可行解是否为所考虑意义下的最优解( 因此被广泛地用 于设计求解的算法) ，还可以通过它来讨论稳定性理论等。( 3 ) 解的连通性多目 标规划的解通常不唯一，而是一个集合，所以讨论解集的连通性，成为一个重要 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 的研究方向( 4 ) 对偶性对偶理论的内容非常丰富，是多目标规划这门学科的重 要组成部分，它在多目标规划的理论研究和应用研究中都扮演着十分重要的角 色。但到目前为此，对偶理论的整个内容还不成熟，正处在充实和发展阶段，有 许多课题尚待人们进行研究。( 5 ) 稳定性稳定性是多目标规划理论中一个重要的 研究领域。由于多目标规划具有不同于单目标规划的某些特殊性，使得这方面的 研究呈现复杂多样的特点众所周知，非线性规划的扰动主要是指扰动解的连续 性、可微性等性质。而在多目标规划中，解的概念要依赖于控制结构的选择，因 而，其扰动除了涉及可行集和目标函数外，还要考虑控制结构的扰动。此外，又 由于多目标规划解的多样性( 如有效解，弱有效解，真有效解，较多有效解等) 以及稳定性的多样性( 如上、下半连续，次可微，l i p s c h i t z 连续等) ，使这方面 的研究成为一个多姿多彩的领域。( 6 ) 求解方法多目标规划的求解方法，则常借 助于线性规划、非线性规划、随机规划以及数值计算的手段和技巧。 1 3 多目标规划发展综述 多目标规划研究多于一个的数值目标函数在给定约束条件下的最优化问题 由于其在现代经济和社会发展中具有广阔的应用，得到了迅速发展，近4 0 年来， 已成为一门新兴学科。 多目标规划的思想萌芽于1 7 7 6 年的经济学中的效用理论。 f y 。e d g e w o r t h ( 1 8 7 4 年) 和v p a r e t o ( 1 9 0 6 年) 关于均衡竞争和经济福利的研究是 多目标规划的一个起源。1 8 9 6 年v p a r e t o 在经济均衡研究中提出了多目标规划 问题，并在1 9 0 6 年在关于经济福利的研究【1 l 中提出t p a r e t o 最优的概念。1 9 4 7 年，数学家j y o nn e u m a n 和0 m o r g e n s t e r n 在对策论【2 l 的著作中提及多目标决 策问题，引起了人们对多目标最优化的重视。1 9 5 1 年，数理经济学家t c k o o p m a n s 从生产和分配的效率分析f 3 l 中考虑了多目标最优化问题，引入了有效解的定义并 得到某些基本结果在g c a n t o r ( 1 8 9 5 年) 的有序集合1 4 1 和f h a u s d o r f f ( 1 9 0 5 年) 的有序空间1 5 1 的建立是多目标规划的另一个起源，他们的工作为多目标规划的形 成和发展提供了基本的理论工具和必要条件。到2 0 世纪5 0 年代h w k u h n 和 a w t u c k e r ( 1 9 5 1 年) 有关向量极值理论1 6 的研究，g d e b r e u ( 1 9 5 4 年) 结合评价 均衡【7 】方面的工作以及l h u r w i c z ( 1 9 5 8 年) 把问题推向抽象空问1 8 1 的尝试，为这 一学科建立做了重要的f i i 提准备。1 9 6 8 年，z j o h n s e n 出版了关于多目标决策模 型的第一部专著 9 1 。到了2 0 世纪7 0 和8 0 年代，经过众多科学家的努力终于建立起 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 了多目标规划的基本理论，使之成为应用数学的一个新学科分支。 多目标规划与单目标规划的一个本质不同是，问题中的目标函数是一个向量 函数，因此它的解的定义与单目标规划自然不同，最早的多目标规划解的定义就 是上文提到的p a r e t o 最优解，1 9 5 1 年t c k o o p m a n s 引进了有效解1 3 1 ，同年 h w k u h n 和a w t u c k e r 提出了k t 恰当有效解1 6 1 ，s k a r l i n 则于1 9 5 9 年又定义了 弱有效解 1 0 l1 9 6 8 年之后许多学者又提出了各种各样的恰当有效解的概念，1 9 9 2 年胡毓达分别利用砌中非闭凸较多锥i n l 和a 一较多锥 m l 定义了较多有效解 【1 3 1 - 1 5 1 和a 一较多有效解【1 6 j ，此后他又提出了e 一恰当有效解的概念【1 7 i 。近几年来， 有些学者又提出了一些新的有效解概念，如b o r w e i n 和z h u a n g 在【1 8 1 中讨论了凸 多目标规划的超有效的概念，b i e n v e n i d oj i m e n e z 在1 1 9 1 中讨论了多目标规划的仍 阶严格有效性的概念。 解的有效性的研究是比较活跃的，继h w k u h n 和a w t u c k e rk j a r r o w 等工 作1 2 0 1 之后，n o d ac u n h a ，e p o l a k 等和国内的陈光亚，林锉云，汪寿阳等作了 大量的工作1 2 1 1 _ 【2 们。1 9 9 6 年胡毓达等又建立了较多有效解类的最优性条件【2 7 i - 2 9 1 。 b i e n v e n i d oj i m 6 n e z 和v i c e n t en o v o 在1 3 0 l 中，利用一个多目标规划问题的支撑 函数得到了非光滑多目标规划严格局部最小的一阶和二阶的充分条件；x u n - h u a g o n g ，h o n g b i nd o n g ，和s h o u - y a n gw a n g 在【3 1 1 中讨论了在多种恰当有效解意义 下的多目标集值最优化的必要和充分条件；l iz e m i n 在 3 2 1 中在局部凸空间中建 立了g o r d a n 型择一性定理，最后得出可微多目标规划问题的k - t 条件；a t a a 在1 3 3 1 中利用j e y a k u m a r 建立的g o r d a n 型择一性定理 3 4 1 以及l a g r a n g e k u h n t u c k e r 算 子得到了非光滑非凸多目标规划的最优性条件；v a s i l ep r e d a 在1 3 5 中建立了含 有一种h 一半可微函数的非线性多目标分式规划的充分和必要最优性条件； j c l i u 在 3 6 1 中在p - p a r e t o 有效的意义下，建立了不可微多目标最优化的最优性 条件。 在连通性研究方面，1 9 7 8 年p h n a c c a c h e 3 7 1 和1 9 8 3 年a r w a r b u r t o n 3 8 1 作 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 了初期工作，此后的e u c h o o ，d t l u c ，胡毓达，傅万涛，龚循华在这方面做了 许多工作【3 9 】_ 【4 3 1 。 关于稳定性的研究，1 9 8 0 年t t a n i n o 不l y s a w a r a g i 建立了多目标规划在半连 续意义下的稳定性 4 4 1 。1 9 8 1 年魏权龄和应枚茜讨论了单变量多目标数学规划的 稳定性问题 4 5 1 。1 9 9 2 年胡毓达等则研究了在次微分意义下的稳定性 4 6 1 4 7 1 。 k e 1 - h a d y 矛i a m o h a m e d 在1 9 9 8 年研究了在不可微情况下概率多目标非线性规划 问题的稳定性p a l ，在1 9 9 9 年则讨论了在目标函数中带有随机变量的多目标非线 性规划问题的稳定性【4 9 1 。 1 4 对偶定理的研究 对偶理论是多目标规划的重要研究方向，对偶性的概念最初由j v o n n e u m a n n 在1 9 4 7 年引入到线性规划中。从7 0 年代后期丌始，关于对偶理论的研究 比较令人激动，学者们分别在不同的空间在不同的约束条件、不同的问题形式等 许多不同的方面建立了多种对偶的理论1 9 7 9 年t t a n i n o 和y s a w a r a g i 曾讨论了 有限维空间中基于尖闭凸锥的l a g r a n g e 对偶问题 5 0 i 5 1 l ，1 9 8 0 年又给出了有限维 空间中基于正锥的共轭对偶 5 2 1 ；x i nm i ny a n gk o kl a yt e ox i a oq iy a n g 在【5 3 i 中讨论了非微分多目标规划问题的w o l f e 型和m o n d w e i r 型对偶。w e ns o n g 在 5 4 1 中，先呈现给我们一个关于映像空间的两个子集的一般锥分离定理，在此基础上， 建立了多目标集值函数最优化问题的对偶定理。x i u h o n gc h e n 在 5 5 1 中，在高阶 f 一凸的假设下，得到了关于恰当有效解的高阶的弱对偶，强对偶，逆对偶定理， d a v i n d e rb h a t i a ， a p a r n am e h r a 在 5 6 1 中，讨论了关于包含有n 一集函数的多目 标分式规划问题的l a g r a n g e 对偶算子，得到了一些关于有效解的对偶结论。 z e n g k u nx u 在 5 7 1 中，建立了关于多目标规划和多目标分式规划两种混和性对偶， 并得到相关理论，g e r tw a n k a ，r a d ul o a nb o 在 5 s 1 中，研究了一种目标函数为 一个凸函数的平方与一个正凹函数的比率的多目标对偶问题，并得到了相应的 弱，强对偶定理。b r a h i ma g h e z z a f ，m o h a m e dh a c h i m i 在【5 9 l 中，建立了含( f ，p ) 凸函数多目标规划的对偶定理。x i nm i ny a n g ，s h o uy a n gw a n g ，x i a ot i ed e n g 武汉科技大学 硕士学位论文第5 页 在【i 中，建立了一类多目标分式规划问题的相关的定理。 1 5 鞍点理论的研究 关于鞍点理论的研究，也取得了许多结论。x m y a n g ，x q y a n g ，k l t e o 在【6 1 1 中，在一般此类凸假设下，建立了两个择一性定理，并以此为基础得到了 非线性分式规划的鞍点形最优性条件。r o s u n a - g o m e z ，a r u f i a n - l i z a n a ， p r u 夕z - c a n a l e s 在f 6 2 】中，研究了关于一般次类凸函数的多目标规划问题的鞍点 最优性条件。 1 6 本文的研究 本文将对多目标规划的相关条件作弱化处理，研究广义凸性下鞍点问题，证 明鞍点在广义分式规划中存在性，以及将多目标的m p 问题的鞍点理论运用到半预 不变拟凸函数和广义次拟凸中。 第6 页武汉科技大学 硕士学位论文 第二章预备知识 由于具有丰富的实际意义和广泛的应用前景，最优化问题渐为人们所重视。 此问题可简述为：在给定的条件下，求一目标函数的极值点。由此可知，证明在 某一给定条件下目标函数是否存在极值点以及存在时如何求出极值点的问题便 成了最优化理论的中心内容。而解决这一问题的主要手段有： ( i ) 探索目标函数的极值点存在的必要条件和充分条件。这些条件为判断目 标函数的极值点存在与否以及研究极值点的算法提供了重要的理论依据； ( i i ) 探索最优化问题的对偶问题对偶问题的研究对最优性条件的揭示和最 优化问题的求解均有着重要的作用。写出一个最优化问题 ( 尸) r a i nf ( x ) = 口，x e x ( 其中，a ；i n f 厂b ) ，这与p 是否有最优解无关。) 对偶理论的任务是：给出某 础 种系统的方法，用以对给定的原问题p ，能够构造一个与之关联的对偶问题 ( d p jm a x f ( yj = ，y e y ( 其中，= s u pi ( y ) ，这与d p 是否有最优解无关。) 使得在一定的条件下可以证 ) d 明j 6 fsa ( “弱对偶性 ) 或= 口( “强对偶性”) 或其它更强的对偶理论。这类 结论使得对问题p 和问题d p 的研究能相互转化，从而为求解提供更多的途径。 而不管是目标函数极值点的必要条件、充分条件的研究，还是对偶理论的研究， 凸性的概念在其中都起着重要的作用，许多有意义的重要的结果大都建立在凸性 概念的基础上，鉴于此，探索和研究凸性概念的拓广( 从而使最优化理论中的许 多结果适合于更多类型的问题) 成了最优化理论的重要内容之一。由此，回顾一 下此内容的研究给出几个前人研究出来对本文的研究有意义的定义和定理。 2 1 凸集 定义2 1 1 f 6 3 】称x 是一个凸集，若坛，y e x ，v a o ，1 l ，有：( 1 一目b + o y x 在此基础上，一些广义凸集的概念被提出，诸如弧式连通集、近似凸集、不 变凸集、半连通集等。在此写出与本文相关的几个定义。 定义2 1 2 【6 3 l 称x 是一个弧式连通集，若坛，y e x ，存在一个在 0 ，1 上关于 口的连续函数h 训p ) ： 0 ，1 - - - x ，使得h ( o ) = x ，( 1 ) = y 武汉科技大学 硕士学位论文第7 页 定义2 1 3 t “l 给定函数f g ，) ，) ：r “x r “一r ”，若v x ，y e x ，v o e o ，1 1 有： y + 钾g ，y ) e x ，则称x 是一个关于f g ，y ) 的不变凸集。 对于不变凸集，有两点想说明： ( i ) 任何一个集合都是关于函数z b ，y ) 的不变凸集。由此，为使我们的研究 更有意义，在本文中规定( 显然，这个规定是合理的) ：当称一个集合为不变凸集 时，一个合适的f g ，y ) j 螨f f = v ( x ，y ) 不恒等于0 ； ( i i ) 若x 为关于f b ，y ) 的不变凸集，则对v x ，y x ，存在 z ( 圳) 一y + z b ，ye x ) 使得y 与z ( x , y ) 的连线含于x 中，这是因为 v oe o ，l l y + 如g ，y ) a - - o ) y + 口( y + z g ，y ) l 定义2 1 4 【硒j 给定函数f g ，y ，x ，若v x ，ye x ，v oe o ，1 】，有： y + 卯g ，y ，o ) e x ，则称x 是一个关于f g ，y ，a ) 的半连通集。 一 2 2 凸函数 定义2 2 1 删 若厂是凸集xc r “上的连续实值函数且坛，y x ，a e o , 1 均有 f ( a x + ( 1 - a ) y ) s x f o ) + ( 1 - z ) f ( y ) ( 2 2 1 ) 则，是x 上的凸函数。 若( 2 2 1 ) 式以严格不等式成立，则称厂是x 上的严格凸函数。 2 3 广义凸函数 本文主要是研究广义凸函数下的鞍点问题，下面给出几个相关的凸函数的概 念和性质。 2 3 1 拟凸函数 定义2 3 1 6 6 1 设f ( x ) 是凸集xcr “上的实值函数，若对任意的z ，y x 及任意的a 0 1 】，总有 f ( a x + ( 1 一a ) y ) m a x 厂( x ) ，厂( y ) ) ( 2 3 1 ) 第8 页武汉科技大学 硕士学位论文 则说f ( x ) 是x 上的拟凸函数 设x 。x ，如果对任意x x 及任意a 【0 ，1 ，有 厂( 缸o + ( 1 一a ) 工) sm a x f ( x o ) ，厂 ) ( 2 3 2 ) 则说f ( x 1 在点x o 点拟凸。 性质：1 0 若f ( x ) 在x 上拟凸，a20 ，则 ) 在x 上拟凸。 2 0 若f i ( x ) ( i = 1 , 2 ，肌) 都在x 上拟凸，a i 芑0 ( i = 1 , 2 1 1 oo ，朋) ，则 m a x i l 0 ) 在x 上拟凸。 l s i m 拟凸函数的等价定义：下述三个定义与前述定义相互等价 定义2 3 2 t 6 5 j 设f ( x ) 是& g c xcr ”的实值函数，若对于坛。，x ：，z 。e x ， 及v 苫o “= 1 ，2 ，) ，善 = 1 ，有 厂( 善 m a x 厂厂姒，厂 2 3 3 则称厂是x 上的拟凸函数 定义2 3 3 t 6 5 1 设f ( x ) 是凸集xc 尺”上的实值函数，若对于魄。，z ：e x ，有 厂( 半) 墨m a x f ( x ) 洲y ) 称，是x 上的拟凸函数。 有 ( 2 3 4 ) 定义2 3 4 【6 5 1 设f ( x ) 是凸集xcr ”上的实值函数，若对于v x l ，x 2 ，j 。e x ， 厂( 生堕坐) sm a x f ( x 。) ，f ( x ：) ，f ( x 。) ) ( 2 3 5 ) 称厂是x 上的拟凸函数。 2 3 2 严格拟凸函数 定义2 3 5 【6 6 1 设厂 ) 是凸集xcr ”的实值函数，若对任意x ，ye x ，且 f ( x ) f ( y ) 及任意a ( 0 ，1 ) ，有 武汉科技大学 硕士学位论文第9 页 ，( 砒+ ( 1 一a ) y ) m a x ，o ) ，( y ) ) 则说，o ) 是x 上的严格拟凸函数。 2 3 3 强拟凸函数 定义2 3 6 6 6 1 设，o ) 是凸集xcr 1 上的实函数，如果对任意的工，ye x f i x y 及任意a ( o ，1 ) 有 ，( 缸+ ( 1 一a ) y ) m a 】【 ，o ) ，( y ) 则说，o ) 是x 上的强拟凸函数。 易知强拟凸函数必拟凸，严格拟凸，反之不真 定理2 3 11 6 6 1 设厂在xc r ”上是可微的，则，是拟凸函数的充要条件为： 对于任意两点x e x ，y e x 如满足厂o ) sf ( y ) 就必有 o y ) v ，( y ) s0 ( 2 3 6 ) 拟凸与严格拟凸，强拟凸之间的关系。 定理2 3 2 6 6 1 若，为x 上的严格拟凸函数，且对任意 工，y e x ，z y ，厂 ) 一f ( y ) 存在a ( 0 ，1 ) ，使得 ，( 触+ ( 1 一a ) y ) m a ) ( ，g ) ，( y ) ) 则，为x 上的强拟凸函数。 推论2 3 1 叫 若，为x 上严格拟凸函数，且对任意z ，ye x ，x 乒y ，存在 a ( 0 ，1 ) ，使得 厂( 缸+ ( 1 一a ) y ) m a x 【厂0 ) ，厂( y ) 则厂为x 上的强拟凸函数。 推论2 3 2 6 6 1 若，为x 上严格拟凸函数，且存在a oe ( 0 ，1 ) ，使得对任意 x ，y e x ，x y ，厂o ) = f ( y ) ，有 ，( a 。x + ( 1 一a 。) y ) 0 以及，z ：e c ，存在 p 0 ，x 3e c 使得 跚+ 可b 。) + ( 1 - a ) 厂g ：) 乏g 。) 称，在c 上是次拟凸的，如果存在u j r p , u 0 ，对任意的a ( 0 ，1 ) ，a 0 以及 x 1 ，工2e c ，存在p 0 ，z 3e c 使得 别+ 可g ，) + ( 1 一a ) 厂g ：) ，g ，) 定理2 3 4 t 6 8 l 设cc _ r “是非空集合，= ( 厂l ，) ：c 一尺p 是广义次拟 凸的，那么下面两种情况恰有一种发生： 1 ) s ( x ) 0 ，使得 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 r ，g ) o ，氓c 。 推论2 2 7 6 9 1 在定理2 3 4 中，设厂是次拟凸的，其他条件不变，则结论仍 成立。 2 3 5 不变广义凸函数 定义2 3 8 硒1 设，是非空开集xcr 4 上的可微函数，若存在，7 ：xxx 一只4 ， 使得对任意x ，y e x ，有 ( i ) ，( x ) 一，( y ) 乏v ，( y ) f ，7 ( z ，y ) 则说，是x 上关于叩0 ，y ) 的不变凸函数，或称为i 类函数 ( i i ) ，o ) ( y ) 辛v 厂( y ) r 刀o ，y ) s0 则说，是x 上关于叩o ，y ) 的不变拟凸函数，或称为i i 类函数 ( i i i ) v r 厂( y ) r 叩o ，y ) 0 = 争厂g ) 厂( y ) 则说，是x 上关于7 0 ，y ) 的不变伪凸函数，或称为i i i 类函数 i 、i i 、i i i 类函数统称为不变广义凸函数。 容易看出当，7 0 ，y ) = x y 时，上述三类函数就分别为凸函数、拟凸函数和伪 凸函数此外，若厂是i 类函数，则对任意正数口，巧也是i 类函数，i i 、i i i 类函数 也有此性质，又i 类函数之和仍为i 类函数，但i i 、i 类函数无此性质 2 4 鞍点判别条件 2 4 1l a g r a n g e 对偶问题与弱对偶性定理 设原问题为： ( p p ) m i n ，g ) ，工尺“， s ig g ) 乏0 h ( x ) = o , x e x ， 其中g g ) = ( g ，g ) ，g ：b l ，g 。b ) 厂， b ) = 亿。g ) ，j i l ：b ) ，h ，g ) 尸，g ) ，g ，g ) ( f = 1 , 2 ，臃l 吃0 滩；1 ，2 ，z ) 均为定义在xc 冗n 上的实值函数。下面我们考虑 原问题( p p ) 的对偶规划问题： 第1 2 页武汉科技大学 硕士学位论文 ( d p ) m a x 驴0 ，v ) ， s 1 “0 其中驴0 ， ，) = m 刷i n l ( x ，“，) ，b ，“，v ) 是原问题的l a g r a n g e 乘子函数，即 t ( x ，比，v ) = ，( 名) 一“r g ( 名) 一y r j l z ( 名) = ，b ) 一善吣r b ) 一酗吃g l 在对偶问题( d p ) 中的目标函数驴0 ，v ) 我们称之为l a g r a n g e 对偶函数，其中与 不等式约束g ，g ) o 相匹配的乘子h 。是非负的，而与等式约束 ，g ) ；o 匹配的乘 子1 ，；不受符号的限制。 定理2 4 1 ( 弱对偶定理) 【6 6 】设厂g ) ，g ，( x x i ；1 , 2 ，脚) 红g = l 2 ，z ) 均为 定义在xcr ”上的实值函数，则对于( p p ) 问题的可行解x 及( d p ) 问题的可 行解( 五，；) 均有 小) 2 妒( 如) 证 由定义，对任意的可行解二，( 五，；) ，u 一之0 ，均有 驴( 五，；) = m ；n 厂g ) 一五rg g ) 一；r g ) | z x ) s 厂( 二) 一三rg g ) 一；t ( 二) s 小) ， 即式( 2 4 1 ) 成立。 2 4 2 鞍点判别条件 定义2 4 1 对于原问题( p p ) ，设l a g r a n g e 乘子函数 l ( x ，“，v ) ：，g ) 一“r g g ) 一y r b ) ， ( 2 4 1 ) 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 其中x e r ”, u e r , v e r l , 称点( 二，u 一，；) 互乏。为g ，比，v ) 的鞍点，若对任意的 x ，“0 o ) 及 ，总有下式成立： 三( 二，“，y ) s 工( 二，u 一，；) s ( x ，二，；) ， ( 2 4 2 ) 即是说关于五x ，u 一，；) 是l 的极小点，而关于。，y l ( 二互，；) 是l 的极大点。给原问 题( p p ) ，求( 二，u j ) 满足式( 2 “2 ) 的问题又称为鞍点问题。 关于鞍点与k - t 点和最优解之间的关系有如下结论。 定理2 4 2 ( 鞍点判别条件1 ) 的1 若s ( x ) ，g ；g 一1 2 ，所) ，吃b = 1 , 2 ，) 均为定义在xc r 上的实值函数，点( 二，u 一，；) 为l g ，h ，v ) 的鞍点的充分必要条件 为( 三，u 一，；) 为原问题( p ”的非线性k - t 点。 推论2 4 1 陋1 若( 三，u 一，；) 是g ，“，y ) 的鞍点，则二是原问题( p p ) 的最优解。 定理2 4 3 ( 鞍点判别条件2 一一对偶定理) 【6 6 1 若厂g ) ，g ；g = 1 , 2 ，1 ) ，噍g 一1 , 2 ，z ) 均为定义在xcr n 上的实值函 数，点( 二石，；) 是l o ，“，y ) 的鞍点的充分必要条件为 ( 1 ) x 是( p p ) 的最优解； ( 2 ) ( 二，；) 是( d ”的最优解； ( 3 ) 驴( 如) 2 小) 第1 4 页武汉科技大学 硕士学位论文 第三章半预不变拟凸函数的鞍点的研究 3 1 关于广义凸性的判定准则 3 1 1 广义半预不变拟凸函数的几个定义 鉴于最优化理论的许多有意义的重要结果大都建立在凸性和某些广义凸性 的假定上，谋求这些凸性和广义凸性的判定准则就显得尤为重要了。甚至可以说， 有了这些凸性和广义凸性的判定准则的研究，就使得建立在这些假定上的最优化 结果显得更加的有意义。 本章研究的主要是关干半预不变拟凸函数的判定准则。在本章中，若没有特 殊说明，总是设r g ，y ，口) ：尺”xr ” 0 ，1 一r ”，是事先给定的函数，x r ”，为 关于f g ，y ，臼) 的半连通集，g ) ：x r 。 首先给出函数f g ，y ，臼) ，0 ) 的几个条件，本章给出的半预不变拟凸函数的 判定准则总是建立在这些条件的某几个上的。 条件a 1 【6 5 i 称f 0 ，y ，0 ) 满足条件a l ，若戡，ye x ，v o , ，0 ： 0 ，1 ，设 z ，一y + b f g ，y ，0 1 ) ，z 2 = y + 口2 f g ，y ，0 ：) ，有： 仁。+ a r ( z ：，z ，口) ：口 0 ，1 卫；侈+ 如g ，y ，口) ：啦于b 与秒：之间( 包括端点) 。 条件a 2 6 5 1 称z g ，y ，口) 满足条件a 2 ，若慨，y e x ，v b o ，1 】，设 z5 y + 5 z ( x ，y ，5 ) ，有： 0 + 口z ( x ，z ，口) ：a 0 ，1 b2 y + 如b ，y ，臼) ：口 占，t 。 条件a 3 6 5 j 设x 为关于r g ，y ，0 ) 的半连通集，称厂g ) 满足条件a 3 ，若 坛，y x ，有： 厂( y + f b ，y ，1 ) ) s 厂g ) 。 条件a 4 6 5 1 称f g ，y ，臼) 满足条件a 4 ，若对任意给定的石，y x ，有： l i r a o r ( x ，y ，p ) = 0 。 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 条件b 1 称f g ，y ，p ) 满足条件b 1 ，若v x ，y x ，v a ，岛，0 ： 0 ，1 】，令 z 。一y + q f b ，y ，0 1 ) , z 2 = y + 0 2 v ( x ，y ，0 ：) 有： y + ( ( 1 - 口0 1 + a o ：弦b ，y ，( 1 一a ) 0 1 + a o ：) 一z 。+ a r ( z ：，z ，口) 。 条件b 2 蚓称r g ，y ，0 ) 满足条件b 2 ，若慨，y e x ，v a ，口 o ，1 】，令： z 。y + p f x , y , o ) ，有： y + ( ( 1 一口：矽+ a k b ，y ，( 1 一口矽+ 口) 一z + 口f 仁，z ，口) 。 注1 当f b ，y ，口) = f b ，y ) 时，f g ，y ) 满足条件c 意味着t ( t ，v ) 满足条件b 1 ， 条件b 2 。 2 当f g ，y ，口) 满足条件b 1 ，条件b 2 时，f g ，y ，口) 满足条件a 1 ，条件a 2 ， 这一点是显然的 定义3 1 1 【7 0 1 给定函数f b ，y ，口) ，设x 是一个关于f g ，y ，p ) 的半连通集称 厂g ) 为x 上关于f g ，y ，口) 的半预不变拟凸函数，若对比，y x ，v o e o ，1 】有： 厂( y + 衍g ，y ，日) ) sm a x ，g ) ，厂( y b 。 定义3 1 2 【7 0 1 给定函数f g ，y ，口) ，设x 是一个关于f b ，y ，p ) 的半连通集。称 ( x ) 为x 上关于f g ，y ，0 ) 的半预不变严格拟凸函数，若对 v x ，y x ，厂g ) 一厂( y ) v 口( 0 ，1 ) 有： ，( y + 卯g ，y ，目) ) m a x 秒g 工厂( y ) ) 。 定义3 1 3 【7 0 1 给定函数r g ，y ，口) ，设x 是一个关于f g ，y ，口) 的半连通集。称 厂g ) 为x 上关于f g ，y ，口) 的半预不变强拟凸函数，若对坛，y x ，v e ( o ，1 ) 有 f ( y + 卯g ，y ，口) ) m a x 厂g ) ，厂( y ) ) 3 1 2 关于广义半预不变拟凸函数的几个主要结果 下面给出本章的主要结果： 定理3 1 1 【6 5 i 设f b ，y ，们满足条件b 1 ，b ) 满足条件a 3 。若存在a ( o ，1 ) ， 第1 6 页武汉科技大学 硕士学位论文 使得对v x ，y x ， i ( y + o l k ( x ，y ，口) ) sm a x 厂g ) 厂( y ) ) 则下面的集合a 在 o ，1 】中稠密。 彳；鼽 o ，1 ：厂( ) ，+ a f g ，y ，a ) ) sm a x 厂b ) ，厂( y ) ) ，魄，y s x 。 ( 3 1 1 ) 证：用反证法，若不然，由条件a 3 知0 ，l e a 。由此及假设知必存在九( o ，1 ) 和九的一个领域( 九) ，使得 又由0 ，l e a 知： 令 ( a 。) na = 协彳：a a o ， 协么：as3 - o ) 妒 = i n f a a ：a 3 o ) ， a 2 ；s u p a e a ：as ；t o ( 3 1 2 ) 由( 3 1 2 ) 知0sa ：sx ls1 ，既然m a x a ，1 一口) ( o ，1 ) ，我们总可以取得 z 1 1 ，“2e a ，u 1 芑z l ，u 2sa 2 ，使