（概率论与数理统计专业论文）谱正lévy过程及其在风险理论中的应用.pdf

摘要 在古典风险模型中，破产概率的c r a m d r l u n d b e r g 近似满足形式c f e 一胤，其 中c 为某个正常数，调节系数r 为某个方程的根，u 为初始准备金本文研究了 推广的三类风险模型：带干扰的复合p o i s s o n 模型，带干扰的g a m m a 风险模烈， 带干扰的逆g a u s s i a n 风险模型我们假设模型中的干扰项为w i e n e r 过程，破产概 率妒( u ) 分为两部分，一部分是由于索赔发生而导致破产的概率讥( “) ，另一部分 是由于游弋而引起破产的概率幽( 札) 受d o n e y ( 1 9 9 1 ) 对谱正l 香v y 过程的首中概率研究的启发，我们首先对于一般 的谱正l 、，y 过程进行研究，利用l a p l a c e 指数及鞅测度变换证明了其破产概率( 包 括妒( 钍) 、饥u ) 、咖( u ) ) 的c r a m d r - l u n d b e r g 近似同古典风险模型一样满足指数 形式由于我们推广的三类风险模型均为谱负l d v y 过程( 跳点仅由索赔引起) ，而 谱负l d v y 过程与谱正l d 、，y 过程仅差一个负号，我们很容易将结果应用到具体模 型中，得到这三类风险模型的c r a m d r - l u n d b e r g 近似对于带干扰的g a m m a 风险 模型和带干扰的逆g a u s s i a n 风险模型我们通过数值例考察干扰程度及保费率变化 对破产概率的影响 关键词；谱正l 毒v y 过程。复合p o i s s o n 过程，g a m m a 过程，逆g a u 鼬i a n 过 程，调节系数，破产概率，c r a m g r - l u n d b e r g 近似 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a lm o d e lo fc o l l e c t i v er i s kt h e o r y , i ti sk n o w nt h a tt h ec r a m d r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o no ft h er u i np r o b a b i f i t yh a st h et y p ec e r u ，w h e r eci sa p o s i t i v ec o n s t a n t ，a d j u s t m e n tc o e f f i c e n tr i sas o l v eo fs o m ee q u a t i o na n dui st h e i n i t i a lr i s kr e s e r v e i nt h i sp a p e r ，w ee x t e n dt h ec l a s s i c a lm o d e lo fc o l l e c t i v er i s k t h e o r yt ot h r e ep e r t u r b e dr i s km o d e l s ：t h ec o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sp e r t u r b e d b yd i f f u s i o n ，t h eg a m m ap r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o na n dt h ei n v e r s eg a u s s i a n p r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n w ea s s u m et h a tt h ed i f f u s i o np r o c e s si s8w i e n e r p r o c e s s n o wt h er u i np r o b a b i l i t yc a nb ed e c o m p o s e da st w oc o m p o n e n t s ：讥) a n d c a ( u ) ，w h e r e 亿( 札) i st h ep r o b a b i l i wt h a tr u i ni sc a u s e db yac l a i ma n d 妇( “) i st h ep r o b a b i l i t yf o rr u i nt h a ti sc a u s e db yo s c i l l a t i o n i n s p i r e db yd o n e y ( 1 9 9 1 ) w h i c hd i s c u s s e dt h e h i t t i n gp r o b a b i l i t i e sf o rs p e c t r a l l y p o s i t i v el d v yp r o c e s s e s ，w ef i r s t l yc o n s i d e ra l la r b i t r a r ys p e c t r a u yp o s i t i v e l 、，y p r o c e s s e s u s i n gt h el a p l a c ee x p o n e n ta n dt h ec h a n g eo fm a r t i n g a l em e a s u r e ，w e p r o v et h a tt h ec r a m d r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t i e s ( i n c l u d e 妒( 钍) ，仉( 钍) ，幽( u ) ) h a v eat y p eo fe x p o n e n t i a lt h es a m ea st h ec l a s s i c a lm o d e l b e c a u s et h ee x t e n d e dr i s km o d e l sa r ea l ls p e c t r a l l y n e g a t i v el d v yp r o c e s s e s ( t h ej u m p p o i n t sa r ej u s tc a u s e db yc l a i m s ) n o t i n gt h a tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns p e c t r a l l y n e g a t i v el v yp r o c e s s e sa n ds p e c t r a l l yp o s i t i v el d v yp r o c e s s e s i ti se a s yt oa p p l y t h er e s u l t st or i s km o d e l s f o rt h eg a m m a p r o c e s sp e r t u r b e db yd i f f u s i o na n dt h e i n v e r s eg a u s s i a np r o c e s sp e r t u r b e db y d i f f u s i o n ，w ep r o v i d et h et a b u l a t e dv a l u e st o d i s c u s st h ei n f l u e n c eo ft h er u i np r o b a b i l i t i e sa st h e c h a n g eo ft h ed i f u s s i o na n dt h e p r e m i u i nr a t e i i k e y w o r d s ：s p e c t r a l l yp o s i t i v el d v yp r o c e s s e s ，c o m p o u n dp o m s o np r o c e s s g a m m a p r o c e s s ，i n v e r s eg a u s s i a np r o c e s s ，a d j l l s t m e mc o e f f i c i e n t ，r u i np r o b a b i l i t y c r a m d r - l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o n i i l 第一章引言 对任意的时刻t ，我们般假设保险公司在时刻t 的资产盈余服从古典风险模 型： ( t ) u ( ) = u + c t 一五 v t 0 ( 1 1 ) 1 = 1 其中代表初始准备金，u 0 ；c 为固定的正常数，表示保险公司在单位时 间内的保费收入；n ( t ) 是参数为a 的p o i s s o n 过程，表示到t 时刻为止发生的索赔 次数； 五 诅是一列独立同分布的非负随机变量，磊表示第i 次索赔额，分布为 p ( 。) ； 五h l 与 ( t ) ) t o 相互独立n ；( 1 t 五称为索赔累积过程，由于 - 1 n c t 五 为复合p o i s s o n 过程，此模型也称为复合p o i s s o n 风险模型记m = 铲x d p ( s ) ， 为了使模型有意义，通常假设满足e u ( 1 ) 0 ，即净保费条件： c a m 0 ( 1 2 ) 成立，表示每单位时间所收到的保费要超过每单位时闯所支付的索赔额的期望值 破产概率问题是风险理论的基本问题，古典风险模型作为一种理论模型由于它 在数学上的简单性和应用上的方便，对于它的研究已经比较完整和深入，但是考虑 到保险公司的实际运营的随机环境，我们有必要对古典风险模型进行推广下面的 带干扰的古典风险模型，也称带干扰的复合p o i s s o n 模型是近年来研究的热点 n ( o u ( ) = 札+ 矗一f 五+ w ( t ) v t 0 ( 1 3 ) 、7 一 一 、7 f = l 其中 w ( t ) 。，o 用来描述保险公司实际运营中的随机因素，我们假定它为w i e n e r 过程，也即对v t 0 ，w ( t ) 服从均值为0 ，方差为q t ( q 0 ) 的正态分布并且 w ( ) t 0 与t ( t ) ) t o 及( 五) 以相互独立当q = 0 时，模型为古典情况 此模型由g e b e r ( 1 9 7 0 ) 提出后，有不少人进行了研究，如d e f r e s n ea n d g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ，v e r a v e r b e k e ( 1 9 9 3 ) ，f u r r e r a n ds c h m i d l i ( 1 9 9 4 ) ，s c h m i d l i ( 1 9 9 5 ) ， f u r r e r ( 1 9 9 7 ) ，y a n g a n d z h a n g ( 2 0 0 1 ) 等目前对于风险过程的研究方法多集中在 更新理论，随机游动，鞅技术，逐段决定的马氏过程等 如果以随机过程的观点来看，这个风险过程是特殊的l d v y 过程而以l d v y 过程的性质研究风险过程的文章目前我们见到的仅有f u r r e r ( 1 9 9 8 ) 考虑了带o t 稳 定过程干扰的风险模型的破产概率问题以及y m a ga n dz h a n g ( 2 0 0 1 ) 以谱负l d v y 过程的性质研究了风险模型的破产问题d o n e y ( 1 9 9 1 ) 对谱正l 苦盯过程首中时间 概率做了详尽的研究作者受这几篇文章的启发，在d o n e y ( 1 9 9 1 ) 的基础上对谱正 l v y 过程做了进一步的研究，得到了在条件e y ( 1 ) 0 下，谱正l g v y 过程的首 中时间概率的若干结果 方法如下，对于一般的谱正l d v y 过程m ，我们考虑k 首次超越水平写( 茁0 ) 的时刻正与首次到达水平z 的时刻王乙令d 。= 三一已，q x = p ( 上己 o o ) ，结 合风险理论，我们可知。$ 即为初始准备金，在条件e m 0 下，有m 一一o o ，此时 ( 也 。) 锌( 疋 。o ) 甘( 协 o o ) ，因此破产概率妒( 茹) = 如一p ( 眈 o 。) 并且政= 0 表示破产由游弋引起，其概率记为幽x ) ，0 0 ， b 0 ，o - 1 s ( t ) 的前两阶矩为 州t ) j ：tf 。嘶：t a 掣( 2 2 )e 哆( t ) j = z 9 0 ) 如= 二菘再半 ( 2 2 ) j 0 u 一 v a r s ( t ) 】：t ”z 如：t , a ( 2 3 )】_ t z 2 9 ( z ) 如= 三鼍兰掣( 2 3 ) j 0 一一 我们将过程标准化，令e p ( t ) 】= t ，v a r s ( t ) 】= ，由( 2 2 ) ，( 2 3 ) ，可得 。= b l ，。= 焉这样g 扣) = 焉。k 2 e 一栅，s ( ) 的累积量母函数为 岫f 忙小。叫如肛 盟k b l lt 击 l 一( 字) 卜6 ，0 b 0 ，其累积量母函数 为l i l e 【e 岛( o 】= a t l n ( 击) ，当a = 1 ，b = 1 时，s 2 ( t ) 为标准的g a m m a 过程 ( 3 ) 带干扰的逆g a u s s i a n 风险模型 u ( t ) = 钍+ d 一岛( t ) + w ( t )v t 0( 2 6 ) 岛( ) 为标准的逆g a u s s i a n 过程，其累积量母函数为i ne 【e r s 3 ( c ) 】= t 1 一 r = 翮 当初始准备金札= 0 时，即过程从0 点出发，综合上面三个模型如下。 x ( t ) = d a ( t ) + w ( t ) t 0( 2 7 ) 其中a ( t ) 表示风险过程的累积索赔过程，过程x ( t ) 具有平稳独立增量，且跳 点仅由索赔引起我们还要假设模型满足净保费条件e x 0 令r ( t ) = 一x ( t ) ， 则y ( t ) 为我们下节要介绍的谱正l d v y 过程，且满足卢= e m 0 ，v t 0 ) 妒( 钍) 称为破产概率。记b ( t ) 一t 一u ( t ) = s ( t ) 一w ( t ) 一c t 表示索赔剩余过程， 风险过程首次为负值的时刻，或等价的，索赔剩余过程首次穿过水平u 的时刻，称 为破产时间，记为r ( ) ，即： 7 - ( “) = m i n t ：u ( t ) 札 若集合为空，则7 - ( u ) 定义为o 。，若记m 未m 。，a 。x b ( t ) ，这样破产概率妒( u ) 可表示 为妒( 让) = p ( r ( u ) ) = p ( m t 1 ) 虽然在实际中u ( t ) 0 的情况并不是说保险公司将要倒闭，可能只是说明保 险人需要及时追加资金来应付某类保险责任，也可能在考虑了其他许多因素后，保 险公司的财务状况并非很糟但是在风险过程的数学模型下对破产概率的研究无疑 是重要的。它对保险公司设计相应的财务顼警系统以及对保险监管部门设计某些监 管指标系统等问题有直接的参考和指导作用 由上面可知，破产概率妒( 乱) 与初始准备金札有关，当t 变大时，妒( “) 就会 变小除了t 之外，另一个影响妒( “) 的就是保费率c ，而由净保费条件c 又与索 赔额度、索赔频率有关，而如何把妒( 缸) 表示成c 的函数或与c 相关联的函数却相 当困难l u n d b e r g ( 1 9 1 9 ) 发现了一个间接的表达方法，即进入一个中介参数， 称为调节系数或l u n d b e r g 系数，先把破产概率表达为调节系数的函数，再寻求对 调节系数的计算。调节系数的定义如下。若 e e r u ( 0 ：e t , l , c r ) 则方程 壬( 一r ) = 0 的非零正根称为调节系数，记为r 圣为我们下节将要介绍的l a p l a c e 指数。 2 3 谱正l d v y 过程的定义 l d v y 过程是一类时间连续，具有平稳独立增量，具有右连左极的轨道的过程， 我们知道它的一维分布是无穷可分的令 m ：t o ) 为d 维l g v y 过程，m 的特 6 征函数可表示为 e e i = e - t 雪( 。) 8 r d 其中皿：r d c 为一连续函数，满足皿( s ) = 0 ，称为特征指数 l d v y - k h i n t c h i n e 公式l 函数皿：r d c 是一个无穷可分分布的特征指数当且仅当它可表示成下面的 形式 皿( s ) = + ；q ( 8 ) + f ( 1 一e i + i 1 1 = 1 i x 1 ) ) ( d x ) 皿( s ) = + i + 厶( 卜e r “。+ c 1 ) ) ( ) 其中a r 。，q 为r 4 上的半正定矩阵，1 1 为r d o ) 上的测度，且满足f ( z a i x l 2 ) i i ( d z ) o 。，称为髓w 测度而且n ，q ，i i 由皿唯一确定。 谱正l v y 过程： 谱正髓w 过程是一类轨道仅有正跳的实值l d v y 过程，满足y o = 0 ，考虑一 维情况，y = k ，t r + ) 可看作是从q 到d ( r + ，r ) 上的映射，其中d ( r + ，r ) 表示定义在r + 上取值于豫的右连左极过程的集合对于v s 0 ，它的l a p l a c e 变换为 e e 一啦= e t a ( 。) 由特征指数的定义，可见 吣) = 叫嘲= 。s + 尹1 2 一上0 0 1 - - e - s x - - s x l 。 1 ) ( 如) ( 2 8 ) 西( s ) 称为l a p l a c e 指数，l v y 测度i i 满足；詹x 2 i i ( d x ) o 。，r n ( d x ) 0 ，也即( o ) 0 ，使得 j o e “。( d x ) 0 从而保证垂( - - s ) = 0 在( 0 ，r o o ) 内有一非零正根，即保证调节系数r 存在 因此方程圣( s ) = 0 至少有两个根，记u 为它的最大非负根，由上面的讨论 知： 当“ 0 时， u 0 由于圣( s ) 连续可导且导函数也连续，又当0 s u 时，西( s ) 墨0 当s u 时，圣( s ) 0 且为增函数，因此圣( s ) 在p ，+ o o ) 有唯一的反函数，记为，7 ( s ) ， 叩( s ) 定义在s 兰0 上，且0 ( 0 ) = u 8 第三章谱正l 芭v y 过程的若干结果 在这一章我们研究s p l p 的部分性质，第一节我们介绍d o n e y ( 1 9 9 1 ) 对 s p l p 的首中概率的研究方法及部分结果；第二节我们在此基础上结合鞅技术对 这个问题做近一步的研究 3 1研究方法及已有结果 令m 为任意的s p l p 满足k 三0 。我们首先给出描述过程轨道性质的三个 重要的时问变量，定义如下 对比0 ，用瓦表示k 首次超越水平z 的时刻，即 瓦= i n f t 0 ：m z ) 用点k 表示k 首次到达水平。的时刻，即 巩= i n f t 0 ：m = z ) 如图3 1 ，易知上k 已，用上k 表示首达水平z 与首超水平z 在时间上的延 迟，也即： 眈= 玩一正 当仇不存在时，定义仇= o o 记= b ( 凰 o o ) ji r x d xr u 0 卜 7 t x h 】【 、j t 圈3 1 ：样本轨道 9 d o n e y ( 1 9 9 1 ) 对s p l p 的这几个量进行了详尽的研究，下面我们结合研究方 法给出部分结论，这些结论我们将在以后的章节中用到。 引理3 1 - 1 ：记日一表示向下首达过程 日( 一z ) ：x o ) ，则对口0 ，s20 ，有 特别的8 = 0 时， e e 一$ 踞：e 一2 p ( o 毫毛y ( t ) 一茁) = p ( 蟛 。o ) 2 e 一“ c 3 1 ) 从而，当z = 0 时 q o = 尸( c o 0 ，有t z 0 。e - a x 眈一慨= 两1 两+ 而酾1 ( 3 4 ) 由这个引理可确定咒，d 。及三k 的l a p l a c e 变换在( 3 4 ) 中，令0 0 ， 可得如下结论 推论3 1 1 ：对任意的s p l p 及z 三0 ，a 0 ，有： j ( 。e 咖如= 击一端 慨s ， 在d o n e y ( 1 9 9 1 ) 中证明了上式对a u 成立，事实上，当u 0 时，对0 0 ，我们可 定义一个连带s p l p k ，满足p = 点7 铲 0 ，因此u 0 ，以& 表示d ( l + ，r ) 上对应“y 在首中一 时终止”的分布，砖表示d ( 0 ，r ) 上对应“在条件y 可达一下，在首达一 时终止”的分布，相应的转移概率分别为 群州扣，d y ) = p ( k d y , o 一，k d y l 。 i 。n 0 ，对0 ，有t b 王l 出) = 。耳 上斧班( 3 7 ) 进而； 如= e u , , z 毋( 3 8 ) 命题3 1 2 ：对任惹的s p l p ，丽足0 “s 。，则当z o 。时，z k 以分布收 敛于非正常分布d ，记为晚一d ( ) ，其中只( d o o ) = 峥如果p o o 则 有： e e 一叻= 一丽而w i o 而。 口 0 ，则有t 熙钰= 訾 ( 3 ，。) 如记m = s u py ，则有： 规e “耳( m z ) = 掣 ( 3 1 1 ) o 。l t 3 2 对谱正l 、，y 过程的进一步研究 对应于风险过程，这一节我们在前一节的基础上对于满足肛 0 的一股s p - l - p 研究当z 趋于无穷时见的极限情况令m 为s p l p ，y o 三0 ，满足芦 0 ，则 它的特征指数西( s ) 如( 2 8 ) 所示令 垂+ ( s ) = 圣( s r ) = 口( s - r ) + ；q ( s 一聊2 一z 。 1 - e - ( 8 - r ) z - - ( s j r ) z 1 。 ) ) ( d z ) = a - q 冗+ 0 1 x - - e r x ) ( d 茹) ) s + 互1 q s 2 一 1 一b 一甜一s 嚣1 2 1 ) ) e b n ( d z ) 令i i ( 如) = e n * i i ( d x ) ，由于 o tx 2 i i * ( d x ) = z 1z 2 e 砌( 如) 0 1 x 2 e r i i ( 出) o 。 o 。+ ( d z ) = z ”e 船n ( d g ) z o 。e r 。n ( d z ) 0 ，因而一o o p 0 # 吟0 矿 o o 由于 旷( s ) = 0 有两个根0 和r ，因此对p + 而言，r 就是它的最大非负根“j ” 定义p 也= ( p + ) ，由于对v a 五，由( 3 6 ) 及( 3 1 2 ) p 也( a ) = 上e 一肌d p = 上e 一脱e 瞒d p = p ( a ) 即p = p 从而 肛+ = e k = e y l = 弘( 3 1 3 ) 定理3 2 1 ：对于任意的s p l p k ，满足p 0 ，则在p 下，d x 以分布收敛与 非正常分布d ，记为 j k _ d ( c + )( 3 1 4 ) 其中t 耳( d o o ) = i i , 旷t * 9 _ j ( 3 1 5 ) 此定理由命题( 3 1 2 ) 直接可得，记( ”) = p ( d 掣) ，由( 3 1 4 ) 知，在使 ( 掣) 连续的点y 上，有：l i n k 。p + ( d x y ) = p + ( d y ) 。由于 p + ( d = 0 ) 0 ，p + ( d 0 ) = 0 可知y = 0 不是( 掣) 的连续点，因此当z o 。时，尸+ ( d x 一0 ) 是否收敛到 p + ( d = 0 ) 仍需证明，同样p + ( d 。 ( 3 0 ) 是否收敛到p + ( d o 。) 也需证明 定理3 2 2 ：对于任意的s p l p m ，满足l 0 ，有t l i mp + ( j k = 0 ) = p + ( d = 0 ) ( 3 1 6 ) l i mp ( d 。 o o ) = p + ( d o 。) ( 3 1 7 ) 证明：由于t 0 ，由( 3 3 ) 式t f o e - x 。e * e 如聃慨= 焉丽卜蒜篝黼等) 令盯一0 ，得： z ”e 一蛔酬e 舰) 如= 丽1 1 一面：e 州( r 纠- a 州) 砌，( 3 1 8 ) 再令p o 。，得： e - a x p ( 玩= o ) d x = 舰鲁蔫器糍黼 ( 圣( s r ) = 西+ ( s ) ，矿( 口) = ，7 ( 口) + r ) = 恶；l m 丙- 习, 7 ( o i ) 圣而( a - 肝r 项) - 两8 ( 丽r - a ) ( 叩( 口) 圭= 口= 西( 掣) ；9 一o 。等y o 。) = 器一筹笔糌r ) v c a r”- 。o 暑，( 可一a + 一 ) ：一望! 皇二苎1 2 圣( a r ) 1 3 因此 熙p ( 风= 。) = l i m a j 。o 。e - x 2 p ( 取= 。) 出 l 邶i m 觜= l i m 另一方面，由( 3 9 ) 式，当p 0 ，可知 ：塑：迦 ( - r )矿 e + e 一9 d = r 目 一p + 矿( e ) c r 一矿( p ) ) ) 一1 令p 0 0 ，得到： p ( 。= 。) = 恕而研- 丽r o = 舰刃丽再- 面r o 石厕 ：u m二壁幽：盍塑 2 黑及再莉2 这样： 蝇p ( d x _ o ) 掣( d _ 0 ) = 喾 o + 对于( 3 1 7 ) 一方面，在( 3 1 8 ) 中令8 0 ，得： 从而 z o 。e h p ( 见 。) 出2 舰而1 一百二面石r 西- 浮a 孕 1l -_-一 a r 圣( a ) 叩。( o ) 1 垂一( a ) 一。_-。1。一 a r 妒( a ) 恕p ( d x o 。) = 溉a o o e - x 2 p * ( 仇 o 。) 出 ：l i m 一竺：f 皇! ：一! ：f 查2 二竺：f 墨2 ：一旦 2 + o 一三互藏2 一面i 商了耐2 一声 另一方面，在( 3 1 8 ) 式中两边同时乘以a ，先令a 一0 ，再令口一0 ，可得； p ( d o o ) = 一崇 从而；l i m 尸+ ( 仇 札) 。记m s u py t ，贝i 有1 】f l ( t ) 兰p ( m u ) 。破产时 间的定义可知丁( 札) = 兀，贝g 破产概率又可以表示为妒( u ) = j p ( 冗 u ) ：螋：丝 “_ 、 一7 肛+“+ 其中肛= 一垂( o ) ，p = 一圣一( o ) 一一圣( 一r ) ，从而 慨e m 蜘) = 警 ( 4 1 ) u o o 。 “ 当肛 0 时，m 一一。o ，由图3 1 可知 破产发生) 车= 亭 n o o ) ，因此 妒( u ) = p ( d 。 o o ) d t 。= o ) 表示破产由游弋引起。 o 风 o 。) 表示破产由跳( 索赔) 引起，其概 率分另记为 讥( u ) 圭p ( d 。= o ) ，仉( u ) 未p ( o d 。 o o ) 且 妒( 牡) = 以( u ) + 幽( 钍) 1 5 定理4 1 1 ：若p 0 ，对于机( u ) ，c d ( 钍) ，我们有 规e 胁蚺) = 警 ( 4 - 2 ) 恕e 肌蜘) = 訾竽 ( 4 3 ) u o 。 “ 证明：由于p ( d t = 0 ) = p ( d t 。= 0 ，甄。 0 0 ) = p ( 瓦= 王乙，风 o o ) 且 e 肌，t o ) 为五鞅( 因为e e 尺k = e e 一( 一肌) = e 垂( 一卿= 1 ) ，则对固定的住： p ( 风= 瓦，风 礼) = e + ( 1 帆。凡，风 n ) = e ( e 蹴1 慨；凡) ，风 礼) = e 旧( e 眦1 慨乩 ，风 礼) i 五。) 】 = e ( e r y m l t t = t 。 ，皿。 n ) = e n e ( 1 h ；r l ，风 n ) = e 胁p ( 甄_ 咒，匾。 竹) 令n o 。，则有，p ( 五乙= 冗，风 0 0 ) = e m p ( 上乙= 咒，甄。 ) 即 e 胤p ( d 。= 0 ) = p ( d 。= 0 ) 因此 熙e m 讥( u ) = 恕州仇= o ) = 州d = o ) = 警 u _ o 。u + 。o“ 再由( 4 1 ) 立即可得( 4 3 ) 口 当p 0 _ ) nn 可知k 一十o 。( a 8 )( t 一) ，从而，对v u 0 ，妒( u ) = 1 此时除非 = l ，否则妒m ) 乳。 1 6 由b e r t o i n ( 1 9 9 8 ) 第7 章第3 节，l d v y 过程的尺度函数( s c a l ef u n c t i o n ) 仡( “j ， 在此模型下与破产概率妒( u ) 有下面的关系 一( 让) = b ( 1 一砂( 牡) ) 其中b 为某个常数，而尺度函数圪( u ) 为绝对连续的增函数，因此k ( “) 可导因此 妒( u ) 可导，且p 0 时，由( 3 8 ) 式可知 仍可导，则我们有下面的结论 定理4 1 2 ：对任意的s p l p k ，满足y o = 0 ，且它的轨道为无限变差，则 当p 0 时 五一u = 掣帅) ( 4 5 ) 证明：由定理条件及引理( 3 1 1 ) 、推论( 3 1 1 ) ，可知 f o 。e - , x u q u d u = 。e 砒地 一的+ a z ”e 山乱砒= - - i + a 【而1 一裂l 当“ 0 时，u = 0 ，因此 z ”e 粕五= 舞 ( 4 。) 另一方面，在( 3 3 ) 中先令a = 0 ，再令0 一o o ，可得 f 0 0 。e - x u p ( 仇= o ) 如= 错 当肛 0 时，弘 0 ，由( 4 8 ) ，( 话) = 等p ( 上) u = o ) ，再 由( 3 6 ) ，( 钆e 一“) = 等e 一“p ( i k = o ) ，即e 一( 一u 吼) = 2 芋怕( u ) e 一， 即虱一_ = 等咖注意到p = 一) 即可 口 r e m a r k ：在定理的条件下，由于钆( u ) = 妒( t ) 一锄( 仳) ，我们可得到 当弘 0 时 五一u ：掣( 1 一饥( u ) ) 一u 2 寿_ 二【l 一仇【u j j 4 2 带干扰的复合p o i s s o n 风险模型 带干扰的复合p o i s s o n 风险棋型从首次提出研究了已有十年，它的破产概率的 渐进公式已有不少作者应用不周方法进行了研究这里我们直接将上一节的结论运 用到模型中，除了已有结果外，还得到了新的结论， 推论4 ，2 1 ：对于带干扰的复合p o i s s o n 风险模型，若满足弘 0 ，我们有 规e m 让) = i ( 4 9 ) o 。 一p l ，：，、 恕e 勘仉( 乱) = i c - 面a m 而- o r ( 4 1 。) u _ 一p j _ x ，j ，、 其中0 ( s ) = 铲e ”d p ( x ) ，r 为方程一c 8 + j q s 2 + a 呤( s ) 一1 】= 0 的根 证明：由k = 一五= 一c t 十汹n ( t 互一( ) ，它的l a p l a c e 指数为 西( s ) = c 8 + ；q s 2 + a f 0 ( 一s ) 一1 】 调节系数r 为方程垂( 一s ) = 0 即一c s + q s 2 + a i d ( 8 ) 一l 】= 0 的根而( s ) = c + q s a ( 一s ) ，p = 一垂( 一r ) = 一c + r q + d ( 冗) ，p = 一e x l = 一( c a m ) 0 ， h 2 ( u ) = 去 1 一p ( z ) 1 。h 1 、1 - 1 2 分别为h i 、九2 对应的分布由于( 1 一p ) j e r z h l 危2 ( z ) d z = 1 ，由更新方程的理论，当钍一c o 时，可得 粕似) - - + c d = 希暴嚣 卅= 譬黯糍幕铲 经过分部积分等计算，可得到c d 、萨的简单表达式 ：i 塑= 一c + 月q + a g ( r ) ，：! 二垒里= i 呈璺 - - c + r q + a g ( r ) 这与推论( 4 2 1 ) 的结果相吻合 推论4 2 1 ：对于带干扰的复合p i o s s o n 风险模型。关于妒( u ) ，咖( u ) ，讧( 钍) ，吼，我们 有下面的结论 当“ 0 时 吐一u ：坐堑害捌咖( 让) 吼一u 22 、_ 六二_ _ 三咖【让j 五一u ：坐堑雾笠型( 1 一啦( 札) ) 其中u 为方程c s + q s 2 + a i d ( 一s ) 一1 】一0 的最大非负根 r e m a r k ：注意到= 音，p = 1 2 竽，当p 0 时的结论却是用更新理论无法证明的 1 9 4 3 带干扰的g a m m a 风险模型 这一节我们研究带干扰的g a m m a 风险模型的硬严概翠的册迸付为，翁出。e 的 c r a m 缸l u n d b e r g 近似在一定条件下，我们给出破产概率的一个数值例，并将此 结果与不带干扰的g a m m a 风险模型进行比较 推论4 3 1 ：对于带干扰的g a m m a 风险模型的破产概率，若满足p 0 ，则有 规e m 小而誊 熙e = 是器辞器 恕e m 钍) = 而蒂蒜赫面 其中r 为方程( 1 + p ) s 一 2 + i n ( 1 8 ) = 0 的根记 俨( ) = 瓦可习a ( 1 河- r 丽) e 一肌 ( 4 11 ) 则妒唧( 札) 称为妒( “) 的c r a m d r - l u n d b e r g 近似同样 铲= 而罄e 一( 4 1 2 ) 删u ，= 篙若黼e 咖( 4 1 3 ， 分别称为钆( t 1 ) ，仇( u ) 的c r a m r - l u n d b e r g 近似 在( 4 1 1 ) 中令q = 0 ，则得到不带干扰的g a m m a 风险模型 v ( t ) = u + d 一咒( t ) 的破产概率妒( u ) 的c r a m d r - l u n d b e r g 近似， 妒= 瓦0 ( 而1 - r ) e 一肌( 4 1 4 ) 其中兄为方程( 1 + p ) s + l n ( 1 8 ) = 0 的根 在d e f r e s n e ，g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 1 ) 中，利用g a m m a 过程为复合p o i s o n 过程的极限也得到了同样的结果，参见其( 7 9 ) 式下面我们用数值例来考察随机 干扰项w ( t ) 对破产概率的影响 取日= 0 5 ，q 分别取为0 ，0 5 ，1 ，我们用m a t l a b 得到调节系数兄的值，然后利 用公式( 4 i i ) 一( 4 1 4 ) 得到如下数据( 其中q = 0 时，妒( 札) 为破产概率的精确值， 数据摘自d u f r e s n e ，g e r b e r & s h i u ( 1 9 9 1 ) 中的表2 ) t 对于表4 1 ，整体来看，破产概率一方面随着钍的增大而减小，另一方面随着 q 的增大而增大随机干扰越严重，调节系数越小，越容易破产，这充分体现这调 节系数的意义。 对于不带干扰的g a m m a 风险模型，它的破产概率的c r a m d r - l u n d b e r g 近似相 当好，当钍 5 时，数据已经一致而对于带干扰的情况，随着q 的增大，一方面 总的破产概率妒唧，由游弋引起的破产概率妒尹以及由索赔引起的破产概率妒产 都在增大，另一方面由游弋引起的破产概率在总的破产概率中的比例也在增大当 p 确定后，r 的值仅依赖于q ，虽然r 随着q 的增大而减小，但是比值簪= 簪 却随着q 的增大而增大。 q 00 5l r0 5 8 2 80 4 9 2 30 4 1 5 4 破产 概率妒( u )妒。即( u )妒( )妒：印( )忻”( “)妒”如)钟”( )妒詈砷( t ) u = 00 6 6 6 7o 5 5 7 50 6 9 8 50 1 7 1 90 5 2 6 60 7 9 8 80 3 3 1 80 4 6 7 0 10 3 2 2 9o 3 1 1 20 4 2 6 90 1 0 5 10 3 2 1 8o 5 2 7 20 2 1 9 00 3 0 8 2 2o 1 7 6 4o 1 7 3 80 2 6 1 00 0 6 4 30 1 9 6 70 3 4 8 00 1 4 4 50 2 0 3 5 30 0 9 7 70 0 9 7 00 1 5 9 50 0 3 9 30 1 2 0 20 2 2 9 7 0 0 9 5 40 1 3 4 3 40 0 5 4 40 0 5 4 20 0 9 7 50 0 2 柏0 0 7 3 50 1 5 1 6o 0 6 3 00 0 8 8 6 50 0 3 0 30 0 3 0 20 0 5 9 60 0 1 4 7o 0 4 4 90 1 0 0 1o 0 4 1 60 0 5 8 5 60 0 1 6 9