（概率论与数理统计专业论文）最小方差投资组合的估计问题.pdf

摘要 本文概述了国内外在马克维茨均值一方差模型领域的研究成果在此基础上，证明 了收益序列严平稳时，最小方差组合参数估计与线性模型参数估计的等价性，并且给出 了严平稳收益序列估计的平移不变性同时利用l a g r a n g e 乘数法导出了带有等式约束的 最小方差投资组合的参数估计最后给出了误差项服从a r ( 1 ) 时的严平稳收益序列中参 数的一个迭代算法 关键词：均值一方差，严平稳序列，线性模型，卖空 a b s t r a c t t h ep a p e rs u m m a r i z e dd o m e s t i ca n di r l t e r n a t i o n a lr e s e a r c hr e s u l t si nt h ef i e l do f m a r k o w i t z sm e a n v a r i a n c em o d e l 0 nt h eb a s i so ft h e s er e s u l t 8 ，i tp r o v e st h ep r o p e r t yo f e q u i v a l e n c eo f b e t w e e np a r a m e t e r s e s t i m a t i o no ft h em i n i m u i nv a r i a n c ep o r t f o l i oa n dt l l a t o ft h el i n e a rm o d e l ，w h e nt h er e t u r ns e q u e c e sa r es t r i c t l ys t a t i o n a r y a l s o ，i tr a i s e 8t h e t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c ei nt h e s t r i c t l ys t a t i o n a r yr e t u r ns e q u e n c e s m e a n w h i l e ，t h ee s t i m a t e d p a r a m e t e r sw i t he q u a t i o nc o n s t r a i n sa r ed e r i v e db yu s i n gl a g r a n g em u l t i p l i e rl a w f i n a u y ， a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mo fe s t i m a t e dp a r a m e t e r si nt h es t r i c t l y8 t a t i o n a r yr e t u r i ls e q u e n c e s w h i c he r r o rt e r m sa r es u b j e c tt oa r ( 1 ) i sp u tf o r w a r d k e yw o r d s ：m e a n v a r i a n c e ，q u a d r a t i c8 t a t i o n a r ys e q u e n c e s ，l i n a r ym o d e l ，s h o r t s e l l i n g i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：盘数 日 期：型：丛丝 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北 师范大学可以将学位论文的全部或部分内容缩入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复 制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：鱼盥指导教师签名：超垒i 日 期：班：2 皇塾 日 期：o ：蓝：墟 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：篮盏叁盅焦璺隐电话： 通讯地址：兰盎童呈垦丛丝墨 邮编： 堡塑垒 引言 1 9 5 2 年，马克维茨( h m a r k o w i t z ) 发表了那篇仅有1 4 页的论文一一资产组 合选择，文章阐述了证券收益和风险水平确定的主要原理和方法1 9 5 9 年，马克维茨 又将其理论系统化，出版了资产组合选择( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 一书试图分析家 庭和企业在不确定的条件下，如何支配金融资产，使财富得到最适当的投资，从而降低 风险该书标志了r 现代投资组合选择理论的诞生 资产配置就是在一个投资组合中选择资产的类别并确定其比例的过程资产的类别 有两种，一是实物资产，如房产、艺术品等；是金融资产，如股票、债券、基金等当投 贤者面对多种资产，考虑应该拥有多少种资产、每种资产各占多少比重时，资产配置的 决策过程就开始了由于各种资产往往有着截然不同的性质，历史统计也显示在相同的 市场条件下它们并不总是同时地反应或同方向地反应，因此当某些资产的价值下降时， 另外一些却在升值 为了分散刚硷并取得适当的投资收益，投资者往往采取组合证券投资方式当然， 对于不同类型的投资者而言，资产配置的含义也不尽相同投资组合是投资者同时投资 于多种证券，如股票、债券、存款单等，投资组合不是券种的简单组合，他体现了投资者 的意愿和投资者所受到的约束即受到投资者对投资收益的权衡、投资比例的分配、投 资风险的偏好等的限制 马科维茨在上述具有里程碑意义的文章中。已经通过数量化方法说明，战略性地分 散投资到收益模式有区别的资产中去，可以部分或全部填平在某些资产上的亏损，从而 减少整个投资组合的波动性，使资产组合的收益趋于稳定这通常意味着要计算各种不 同资产的收益率标准差和相关性，并运用这些变量进行均值一方羞最优化从而选择不 同风险收益率的资产组合 关于这些专业的分析和计算，已经有了大量现成的理论和工具夏普( s l a r p e ) 于 1 9 6 3 年提出了简化的单指数模型以解决标准投资组合模型计算困难的问题模型后来被 进一步推广到多因素的情形在此基础上，罗斯( r d s s ) 于1 9 7 6 年提出了套利定价模型， 进一步丰富了证券投资组合理论从马科维茨到夏普到米勒，从现代投资组合理论到有 效市场假说( e m h ) 到资本资产定价模型( c a p m ) ，2 0 世纪中期以来，金融学家业已为 这个充满不确定性的世界刻画出了一个又一个精美绝伦的投资组合模型 现代金融理沦以数学为基本分析工具，论证严格，而计算机技术的突飞猛进则为实 现理论模型向商业模型的转变提供了可能对于个人投资者而言，资产配置就未必包括 这些专业而复杂的计算过程。但依然可以根据个人财富水平、投资的动机、投资期限的 目标、风险偏好、税收考虑等因素来确定纳入投资组合的资产类别及其比重，并在随后 的投资期内根据各资产类别的价格波动情况，及时动态地调整资产配置组合权重，或者 在某一类别的资产中再作”个股”选择，以寻求风险控制和投资收益最大化， 在某一类别的资产中再作”个股”选择，以寻求风险控制和投资收益最大化， 1 预备知识 本部分列出了一些在论文中用到的知识 定义1 1 ：按时间次序排列的随机变量序列x t ，称为时间序列 定义1 2 ：如果时间序列 五) = 置：t ) 满足： ( 1 ) v _ ，e 霹 g 于是， x t ) 是平稳序列，有自协方差函数 讥= e ( 甄凰) 一j 口2 ；当q + ，o g ， i o ，k q 如果 x t ) 是用来描述随机干扰的，上述运动平均序列说明现在的随机干扰墨。是 现时刻及前面的q 个时间的白噪声( 简单随机干扰) 的线性组合m a 序列又被称为是 口相关的 实际工作中遇到的大部分平稳时间序列的样本自协方差函数讯都有收敛到。的性 质所以线性平稳序列是时间序列分析研究的重点之一 应用时间序列分折中最常用到的是单边无穷滑动和z 五= e t 叫t z j = 0 这里单边的含义是指求和项只有右半部分，它表明现在的观测x t 由t 时刻及以前 的所有白噪声造成，不受t 时刻以后白噪声的影响 e v - v e 公式：设x ，y 为随机变量，则有计算方差的e v - v e 公式z y o r ( x ) = f l y o r ( x l y ) 十y 口r 陋( x i y ) 3 问题背景介绍以及研究现状 在经济金融研究中，投资组合理论是很重要的一个组成部分很多经济学家都对其 进行了深入研究马克维茨，夏普和米勒三位美国经济学家由于在现代金融经济学理论 的开拓性研究而同时荣获1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖 “他们为投资者，股东及金融学专家 们提供了衡量不同的金融资产投资风险和收益，以及估计和预测股票债券等证券价格的 工具”他们的理论阐释了下述问题：在一个给定的证券投资总量中如何使各种资产的风 险与收益达到均衡；如何以这种风险和收益的均衡来决定证券的价格；以及税率变动或 企业破产等因素又怎样影响证券的价格 马克维茨的贡献是他发展了资产选择理论在有效市场假说产生和发展的同时，他 于1 9 5 2 年把可能收益率的分布，以其方差为度量，来求得资产组合的风险方差度量可 能的收益率依赖于平均收益率的离散程度，离散程度越大，标准差就越高，意味着股票 的风险越大再结合奥斯本的期望收益率的概念，就可以得出在给定风险水平下投资者 会要求得到期望收益率最高的资产组合马克维茨的方法以“均值方差有效性”知名， 理性投资者将会选择其“有效边界”上的最优资产组合，即投资者是回避风险型的 马克维茨将以往个别资产分析推进一个新阶段他以资产组合为基础，配合投资者 对风险的态度，从而进行资产选择的分析；他从人们长期熟悉的观念，即投资者主要关心 资产的风险和收益两个特性出发，揭示了在收益和风险两者的交替中，多样化可以起到 的作用，有助于投资者选择最有利的投资以求得最佳的资产组合，使投资收益最高， 而其风险最小由此便产生了现代的有价证券投资理论 他认为，一个有效率的资产组合须符合下列两个条件： ( 1 ) 在一定的标准差下，此组合有最高的平均收益 即：在扩叫= 萌( 碚为给定的正数) 条件下， 。：( 。凛，) ，叫t 肛 s 叫t p2l ( 2 ) 在一定的平均收益下，此组合有最低的标准差 即：在驴。= o o( o o 为给定的正数) 条件下， ，m 洫、，叫t 叫r s 删r p = l 2 ( ”1 ，”2 p ， n ) 7 。 一 其中 量= ( 1 ，1 ，1 ) 孔，叫= ( 伽l ，加2 ，叫，。) t ， 地为投资者财富分配到第i 种资产的比例 全局最小方差组合的权通常可由重排时间序列后估计出的真实收益协方差阵得出 全局最小方差组合仅仅依赖与协方差矩阵，并且协方差矩阵较容易估计，估计风险比预 期降低了然而，这一组合的估计权重的分布和收益参数的分布是未知的 4 d i c k i n s o n ( 1 9 7 4 ) 计算了两个不相关资产中的组合权重的非条件分布 o h k r i na n d s c h m i d ( 2 0 0 3 ) 扩展了这一结果到任意n 个相关的资产 k e m p fa n dm e m m e l ( 2 0 0 5 ) 推导了全局最小方差组合估计的条件分布函数，并估计 了预期收益和收益方差，问题可表述为： n 种股票，第i 种从时刻一1 到t 的收益为r ，i 向量肛包含n 种股票的预期收 益 矩阵包含收益方差及协方差全局最小方差组合( m v ) 对给定的协方 差矩阵是带有最低可能收益方差的股票组合，是下面的求最小参数值问题的解： m i n 一叫tf 山t s t 叫r “= 1 u = ( ”l ，”2 d ”n ) 7 。 一 其中 l = ( 1 ，1 ，1 ) & ，叫= ( 叫l ，伽2 ，叫。) t 解得全局最小方差组合的权： 蛳萨赫 应用o l s 方法，令卢= 枷m y 设n 种股票同一时刻的收益为相依变量 并且满足 r t ，= “+ 卢l ( n ，一r t ，1 ) + + 卢_ 一1 ( n ，一r t ，一1 ) + 岛= 1 ，r 乱是噪声项，满足经典的线性回归模型关于误差的经典假定；。和所有的收益差分 r t ，一n ，i 相互独立，收益序列假定是独立和正态分布的 容易看出，上面的线性模型可等价叙述如下； r 。t ，_ = 0 ：+ 伽1 ( r t ，_ 一n ，1 ) + + 叫一l ( r t ，一r t ，1 ) + 令y = ( m ，y ) t = ( n ，行，) r ，卫 = ( 1 ，n ，_ 一r ，l ， x = ( z l ，。t ) t ，卢= ( 口，叫l ，叫一1 ) t ，e = 忙1 ， 则： y = x 8 + 于是有下面结论t 定理2 1 当收益序列满足上面条件时。有t ( 1 ) 传统权估计等于o l s 估计t 西m v t = 展v i = 1 ，一1 5 一 r一 强尸 ， t s 一1 面m k = 1 一晟； i = 1 ( 2 ) 全局最小方差组合预期收益的传统估计等于o l s 估计 m y = n ( 3 ) 全局最小方差组合收益方羞的传统估计是方差硭的o l s 估计的倍数 a 盈，= 竿硭 这说明o l s 估计手法和传统方法对全局最小方差组合的组合权重产生等同的估计 因此，豇m v 的估计是同一个方差的估计差异仅仅在于标量弓掣 两种估计方法的等价性允许把o l s 方法的所有分布的结果转移到传统方法上去于 是有了简单有力的方法，用来得到估计权以及收益参数的条件分布函数 我们排除有卖空可能的资本投机，选择普通投资者的角度来考虑问题 s h i ，n z ，l a im i n ，a n dz h e n g ，s r ( 2 0 0 5 ) 在工作论文中讨论了一类无卖空以及带 有无风险收益( 例如银行利息) 的马克维茨组合选择模型解的结构和求解的优化算法 在马克维茨组合选择模型中，每种资产均被髓时间随机改变的收益所描述每一资产的 风险由它的收益方差来度量 类似地，维向量t c 的每一分量叫i 表示投资者的财富分配到风险资产i 的比例， 并且用埘。表示分配到无风险资产的比例 如果n = ( n ，l ，n ，) t 定义为时刻t 风险资产对应的收益，n ，o 定义为时刻t 无 风险资产的收益，那么t 时刻的组合收益为。 叫1 。n + 叫0 r t o 如果p = ( 肛l ，p ) 义为风险资产对应的预期收益，肛。定义为无风险资产的预期 收益，并且为风险收益的协方差矩阵，那么预期组合收益以及它的风险水平 就是： 叫tp + 弘o = 蜘f 以， t = 0 nn 矿叫= a 玎 。札。 具体模型为： m i nu tf 伽s t = ( 删l ，叫2 ，叫n ) 7 厶一 根据模型的约束条件以及前面的假设，文章得到了模型最优解的形式表达令 6 o ： 俨h “叫| | 0 m 咖 ， 肘h加一 r t o 叫 叫 叫 ，、l = ( 1 ，咐) t ，地= 胁一p o ，i = 1 ， 口= ( ，魄) t ，多= ( + 1 i ，p _ ) t a = 瑶k ， 1 1 b = 矿萨， 1 1 g = 酲矿 l l 以及= a b g 2 可得下面定理； 定理2 2 当“o n m a x p 1 ，肛) 时，( 训；，叫+ ) = ( 训；，山：，t j 南) 为模型的最优解 ( 其中 j o ，叫；0 ，i = 1 ， ) e 寺2 l 膏( r p l a + ，r h 一”) t ( r h + l a + ，7 + li l ( 7 l a 。，7 l 噜一a + ) t o ， 其中 以及 忙 卜 ! ( ! 二出) b 虬! = 92 1 墨二g 0 呈【f ! = 地2 1 9 = 纠 ，口 导+ m ，口罢+ 肛o ，n 鲁+ 脚 ，o 暑+ 伽 a + 1 t 从定理以及证明过程可以看出，是否添加无风险资产对与整体的组合权重并不产生 影响，其余各资产投资量占总资本的比例保持不变可以理解为一般情况的特例 然而，遗憾的是，对全局最小方差组合的区间估计和假设检验问题几乎没有深入讨 论 7 最小方差投资组合的估计 3 1 收益序列严平稳时的最小方差投资组合估计 3 1 1 误差项缸为白噪声 假定时刻t 风险资产对应的收益n = ( 7 ，n ，_ ) t 是严平稳的，并且满足 其中矗满足 e n = 卢，v n r ( n ) = e “= o ，v o r ( ) = 盯2 b t e 。毛= o ，乩= ( r 厶一n ，l ，r t ，_ 一r ，一1 ) t 容易看出，上面的线性模型可等价表述为： r ，= + 叫1 ( r t ，一r t ，1 ) + + 一1 ( r t ，一r ，一1 ) + 缸 其中叫= ( 删l ，2 ， ) r ，a = 叫1 肛l + + 叫p 考虑的问题为： 。署曼 叫r 叫聿= = 。晋蝥”1 1 = 1 三= l iut。t_rp。 o 20 = = ：m l n t l = 1 w t = = = m l n t l = l m t 2o = = 事m l n _ t 1 = 1 t = = m l n w t “= a e 【螂l ( r t ，l 一弘1 ) + + 叫( r t ，n 一弘) 1 2 e 【w l n ，1 + + 叫r 屯一( 埘1 肛1 + + 铆肛n ) 2 e l n ，1 + + 伽_ r t ，一卅2 e 叫1 n ，】+ + 叫一1 r _ 一l + ( 1 一当1 ) 一州2 8 一 = ， +l 口 | l u l 一 ，(l 错，只蔓 e r 屯_ 一血一叫l ( n ，一r 亡1 ) 一一叫一l ( n ，n n ，一1 ) 】2 w “= a 0 筒m i n 占e e t e 1 w c 可以看出，在证明过程中，仅仅用到了叫t 量= 1 ，叫r = n ，所以添加条件0 也能够验证上述线性模型的等价性成立 3 1 2 误差项为a r ( 1 ) 序列 考虑一般线性模型t 其中 y = 埒 x = l $ 1 1 1 z 2 1 e 矗为平稳序列a r ( 1 ) ，即 y = x 8 + 茁1 _ 茁2 _ o t 一l 口= = p 占t l + 坑，i p l 1 0 ： 卢l 卢一l e = e 1 e 2 文w 7 ( o ，盯2 ) ，占o = o ；e 文= o ，v t s ，c o 叫( 以，以) = o ，d ( 砰) = 盯2 s t 的平稳船为： t 乱= _ d j 6 一j ，t j o ，k1 ，t j = 0 于是，模型可写为 y = x 8 + 1 p p 2 ，_ 1 ，1 9 6 1 6 2 以一w ( 0 ，矿) 未知参数为卢，p ，下面设计一个迭代算法估计参数 ( 1 ) 假定p = o ，用o l s 估计给出：如l u e = ( x t x ) 一1 x 7 y ( 2 ) 然后估计p ： 设 孔= ( 1 ，翰，l ，雹，一1 ) ，1 r id l = h z 阳 j6 ：= k 一。手p p 6 1 = ( k 一。；卢) 一p ( k z 卢) l 【西= ( y 一z 芋卢) 一p ( ， 一l z ；一l p ) 令互= ( k z ：卢) ，易见互= 五一l p + 瓯， 于是有： 卢= 赣 ( 3 ) 再估计卢与( 2 ) 类似有： id l = m z 秒 jd 。= ( 巧一p m ) 一0 芋一p 贯 ) 卢 1 l 曲= ( 埽一p 坼一，) 一( z 芋一碍一。) 卢 令& = ( k p 磴，) ，阢= ( x t p x 暑1 ) 易见& = 巩一1 j 臼+ 以 ( 4 ) 反复迭代，直到估计声，p 收敛为止 3 2 最小方差投资组合估计的性质 3 2 1 最小方差投资组合估计的平移不变性 考虑一般线性模型： y = x 8 七 可以在线性估计类中找卢的估计； 西= a y 从而卢= e 【a y i x = a e x 卢+ i x 】= a x 卢，v 卢，即得a x = 薷令8 = 队一， 有y = x ( 岛一岛) + e 错y + x 风= x 卢1 + p 1 一风= a y ，卢l = a ( y + x 肺) = a y + a x 岛 1 0 即凤= a x 卢o ，v 阮r ”，从而a x = j 3 2 2 最小方差投资组合估计的最小方差性及应用 各参数的实际意义仍然与前面部分相同，考虑如下： 假设n = ( n ，- ，7 ) t 为独立同分布的，并且满足： e n = 上，y o r ( r t ) = j r口+ = 叫l n ，l + + 训r 屯_ 【r 叫= 1 ，训o ，( 叫i o ，1 茎i ) 其中“为： e 氏= o ，y n r ( 6 ) = 口2 矗t ， e 。t t = o ，。t = ( r 屯一r 屯l ，r 屯一r _ 一1 ) t 求满足上述条件有最小风险的投资比例即t ，爬。训t 叫 根据e v v 1 3 公式，有： v 血r ( 庐t + 1 ，m y ) = y n r ( 曲t 行+ 1 ) = e ( 西t 西) + y 口r ( 西r p ) ( 如果增加条件西为无偏的，即e 曲= 训) 于是有； y o r ( f t + 1 ， f v ) = 叫t 叫+ e ( 曲一叫) t ( 西一 ) + e ( 曲丁弘一叫r 弘) 2 = 叫t 叫+ e ( 曲一伽) t ( 西叫) + e ( 曲一 ) t p p r ( 曲一叫) = 盯玉y + e ( 西一叫) t ( + p 弘t ) ( 曲一叫) = 盯玉v + 打( + p ，) y o r ( 曲)( 式子中的盯v 为定值) 问题可等价地表述为： 捌驴( + p p t ) y r ( 西) - 这样， “+ p ，) y n r ( 曲) = 打( + 肛，) y o r ( a y ) = 盯 打( + 卢p r ) a a r 问题转化为； 鹏打( + 旷) a 令q = 打( + p 矿) a a t 一2 打【胪( a x j ) 】，对 ，a 求导得， 旦甓争= 2 ( + p ，) a a t 一2 a tx t = o l( a x 一胪= o 1 1 由此可得 其中 从而 解得 a = ( x t x ) 一1 x t a y = ( x t x ) 一1 x r y = 卢 3 3 带有等式约束的最小方差投资组合估计 即 a x ：，鼍i 珞 y ：d 打( + p 矿) a a t 日：f 1 d 0 p 一肛l p ) ，d _ f ； p 一o q ( a ) = 亡r ( + 肛p t ) a a r 一2 打【a t ( a x 一，) 】一2 a t ( 日a y d ) a 求导得： f 旦g 学= 2 ( + 卢矿) a a t 一2 a tx t 一2 丑t a y = o 紫= 2 ( 倒一j ) t = o 【掣= 2 ( 日a y d ) = o 良= a y = ( x 7 x ) 一1 x t l ，一( + p ，) 一1 日t 饵( + 肛肛t ) 一1 日t ) 一1 日声一d 】 = 声一( + p p t ) 一1 日t ( 日( + p ，) 一1 日t ) 一1 f 日声一d 由于日，d 含有未知参数，构造估计如下： 日：f 1o o 两一f l o 、， 蹈一“一，j 忙 q 、 ；l i n n + p ，未知，可用妻+ 肛矿来估计， 其中 = ；耋( n r ) ( n ，) r ，口= r = ；砉n 1 2 4 模拟研究 本部分进行在3 2 4 中给出的迭代算法的模拟也就是误差项服从a r ( 1j 时严平稳 收益序列中参数的迭代算法模拟 进行模拟的线性模型如下： l ，= x 0 + e 其中 x 一( x 1 ，x 2 ， x l 是常数向量，做为截距项 二卢e t x 3 ，x 4 ) ，p = ( 风，成，卢3 ，风) 1 + 也，氓一( o ，1 ) 经过模拟，5 0 0 个样本迭代1 0 0 次后参数基本能稳定到一个固定的数值，而1 0 0 0 个 样本选代1 0 次参数就可以稳定到一个固定的数值( 实际上在6 、7 次迭代后就可以看到 参数迭代值总是固定的) ，这一算法需要样本和迭代次数都较少，比较节省时间 以下是用蒙特卡罗法在s p i u s 软件上做模拟的结果： 1 0 0 0 个样本迭代8 次： 真值初值l 2 3 肛1 2 0 2 0 7 6 5 9 8 72 0 7 7 8 9 0 62 0 7 7 8 9 6 6 2 0 7 7 8 9 6 6 岛 0 30 3 3 4 4 9 6 60 3 2 5 7 9 8 00 3 2 5 7 8 8 1 o 3 2 5 7 8 8 l 如 0 3 0 2 8 8 4 3 5 60 3 0 6 2 9 7 90 3 0 6 3 1 8 70 3 0 6 3 1 8 7 凰 0 40 3 5 7 6 9 1 00 3 7 1 0 8 5 90 3 7 1 1 0 l l 0 3 7 1 1 0 1 l p 0 50 0 0 0 0 0 0 0o 4 9 1 1 6 1 90 4 9 2 1 2 l l0 4 9 2 1 2 1 0 表l ( 续) 45678 卢i 2 0 7 7 8 9 6 62 0 7 7 8 9 6 62 0 7 7 8 9 6 62 0 7 7 8 9 6 6 2 0 7 7 8 9 6 6 岛 o 3 2 5 7 8 8 1 o 3 2 5 7 8 8 1o 3 2 5 7 8 8 l 0 3 2 5 7 8 8 l 0 3 2 5 7 8 8 1 卢3 0 3 0 6 3 1 8 70 3 0 6 3 1 8 70 3 0 6 3 1 8 70 3 0 6 3 1 8 70 3 0 6 3 1 8 7 反 0 3 7 1 1 0 l l 0 3 7 1 1 0 1 l 0 3 7 1 1 0 1 10 3 7 1 1 0 l l0 3 7 1 1 0 1 1 卢 0 4 9 2 1 2 1 90 4 9 2 1 2 1 90 4 0 2 1 2 1 9 0 4 9 2 1 2 1 0 0 4 0 2 1 2 1 9 1 3 5 0 0 0 个样本迭代8 次 真值初值 l23 卢1 2 02 0 1 0 3 8 1 02 0 1 0 1 1 3 02 0 1 0 1 1 1 7 2 0 1 0 1 1 1 7 如 o 30 3 3 1 8 7 8 7 o 2 9 9 9 1 9 8 0 2 9 9 8 6 3 l o 2 9 9 8 6 3 l 凤 0 ，3 0 3 0 4 5 3 8 8o 3 0 9 2 4 0 0o 3 0 9 2 4 8 70 3 0 9 2 4 8 7 风 0 40 3 9 4 3 2 0 70 3 9 9 2 7 2 1o 3 9 9 2 8 1 3o 3 9 9 2 8 1 3 p 0 50 0 0 0 0 0 0 00 ，5 0 9 3 4 3 0o 5 1 0 8 5 7 50 5 1 0 8 5 9 5 45678 卢1 2 0 1 0 1 1 1 72 0 1 0 1 1 1 72 0 1 0 1 1 1 72 0 1 0 1 11 72 o 1 0 1 1 1 7 如 0 2 9 9 8 6 3 1o 2 9 9 8 6 3 l0 2 9 9 8 6 3 l0 2 9 9 8 6 3 1o 2 9 9 8 6 3 1 风 0 3 0 9 2 4 8 7o 3 0 9 2 4 8 70 3 0 9 2 4 8 70 3 0 9 2 4 8 7o 3 0 9 2 4 8 7 风 o 3 9 9 2 8 1 3o 3 9 9 2 8 1 3o 3 9 9 2 8 1 3o 3 9 9 2 8 1 30 3 9 9 2 8 1 3 p 0 5 1 0 8 5 9 5o 5 1 0 8 5 9 50 5 1 0 8 5 9 5o 5 1 0 8 5 9 5o 5 1 0 8 5 9 5 1 0 0 0 0 个样本迭代8 次 真值初值 l 2 3 芦1 2 0 1 9 6 2 2 1 6 3 1 9 6 2 4 2 1 31 9 6 2 4 2 2 01 9 6 2 4 2 2 0 晚 0 30 3 1 1 2 8 4 00 2 9 5 5 6 8 30 2 9 5 5 5 6 70 2 9 5 5 5 6 7 岛 0 30 2 9 6 7 3 2 10 3 0 8 3 3 6 70 ，3 0 8 3 4 5 30 3 0 8 3 4 5 3 反 0 ，40 3 8 8 4 0 5 7o 3 9 5 8 2 8 40 3 9 5 8 3 3 8o 3 9 5 8 3 3 8 p o 50 0 0 0 0 0 0 00 5 0 5 9 9 9 70 5 0 6 6 2 1 20 5 0 6 6 2 1 5 4 5678 风 1 9 6 2 4 2 2 01 9 6 2 4 2 2 01 9 6 2 4 2 2 01 9 6 2 4 2 2 01 9 6 2 4 2 2 0 伤 0 2 9 5 5 5 6 7 0 2 9 5 5 5 6 70 2 9 5 5 5 6 70 2 9 5 5 5 6 70 2 9 5 5 5 6 7 屉i 0 3 0 8 3 4 5 30 3 0 8 3 4 5 3o 3 0 8 3 4 5 3 0 3 0 8 3 4 5 30 3 0 8 3 4 5 3 卢4 0 3 9 5 8 3 3 80 3 9 5 8 3 3 80 3 9 5 8 3 3 80 3 9 5 8 3 3 8 0 3 9 5 8 3 3 8 p 0 5 0 6 6 2 1 50 5 0 6 6 2 1 5o 5 0 6 6 2 1 50 5 0 6 6 2 1 5o 5 0 6 6 2 1 5 经过观察，不难发现，样本数量增加时，进行模拟的精度并未显著增加，同时随着 样本数的递增，所需的时间成倍延长下面列出了进行1 0 0 0 个样本模拟的初值、o l s 估 计值以及迭代算法收敛值 1 0 0 0 个样本迭代8 次： 真值初值收敛值l 初值收敛值 卢1 2 01 9 6 3 6 4 0 01 9 5 9 0 1 5 5 1 9 7 0 9 5 7 01 - 9 7 0 8 5 8 8 如 0 30 2 8 0 3 8 3 70 3 0 9 8 1 8 70 3 3 3 7 1 1 50 3 6 7 6 9 5 2 风 0 30 2 2 6 3 8 7 60 2 8 4 8 0 0 8 0 3 1 3 1 6 9 l0 2 9 0 1 6 6 2 段 0 40 4 4 4 8 5 1 90 4 2 9 9 0 2 80 4 0 5 5 0 2 7 0 4 1 5 2 1 1 4 p o 5o 0 0 0 0 0 0 00 4 9 0 1 6 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0o 4 6 0 3 8 8 3 真值初值收敛值 初值收敛值 卢l 2 01 9 6 7 2 0 1 81 9 7 0 6 5 2 81 8 7 0 2 2 5 9 1 8 7 2 5 1 4 5 卢2 0 30 2 8 9 5 5 9 9 o 3 2 5 3 4 4 10 2 8 4 0 1 7 0 0 2 9 7 1 9 7 l 芦3 o 3o 2 0 6 2 0 9 0 o 2 4 5 1 1 3 40 3 1 1 0 7 6 0o 2 9 9 2 4 6 7 风 0 4 o 3 3 5 6 5 9 5 o 3 6 9 5 6 6 40 3 6 5 2 8 5 7 o 4 0 1 8 3 4 5 p 0 5 0 0 0 0 0 0 0 00 5 1 6 3 8 7 80 0 0 0 0 0 0 0 0 4 7 6 2 6 0 6 1 5 真值初值 收敛值8 初值 收敛值 卢1 2 01 9 7 6 5 3 6 51 9 7 5 7 3 8 2 2 0 0 7 7 0 5 72 0 0 7 6 7 0 4 虎 0 3o 2 9 3 1 1 3 30 3 0 0 3 0 6 2 0 3 0 9 7 4 4 40 3 0 4 2 0 0 2 尻 0 3o 2 5 5 0 6 1 60 2 7 7 5 4 9 7 0 2 9 8 8 1 3 10 2 9 9 4 2 2 3 凰 0 4 0 4 3 6 1 8 3 50 4 3 5 0 2 8 9o 4 2 2 6 7 9 20 4 2 2 0 9 6 2 p 0 2o 0 0 0 0 0 0 0o 1 9 8 8 5 2 5 0 0 0 0 0 0 0 00 1 8 5 2 6 0 5 真值初值收敛值i初值收敛值 卢l 2 02 0 2 9 2 0 5 22 0 2 9 4 5 1 31 9 2 9 6 2 1 2 1 _ 9 3 0 4 0 0 5 岛 0 30 2 6 6 7 7 5 40 2 6 2 2 3 4 90 3 0 6 7 4 4 5 0 3 1 4 0 9 0 2 风 0 3o 3 0 6 1 4 7 30 3 0 3 9 1 5 8 0 3 1 2 4 9 0 90 3 1 1 8 7 3 9 风 0 4 0 4 4 8 5 5 1 60 4 4 7 9 6 8 50 4 0 2 0 7 9 20 3 9 8 8 2 2 8 p 0 20 0 0 0 0 0 0 00 1 9 6 8 2 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0o 1 6 7 6 8 9 5 真值初值收敛值初值收敛值 卢1 2 01 9 1 9 6 8 6 81 8 9 4 7 0 3 51 9 2 9 3 7 9 5 1 9 2 8 7 0 3 7 岛 0 30 2 5 5 2 6 3 80 3 1 5 0 7 6 50 3 3 9 7 8 1 6 0 3 7 1 4 4 6 4 岛 0 3 0 1 9 3 9 7 0 00 2 9 2 0 0 4 30 3 5 4 3 5 5 3o 2 8 7 8 2 4 7 风 o 40 4 7 3 6 2 8 9o 4 2 3 3 7 2 50 3 8 8 4 0 7 30 4 0 4 7 4 9 7 p o 8 0 0 0 0 0 0 0 00 7 8 8 7 5 7 70 0 0 0 0 0 0 00 7 6 8 4 4 2 2 真值初值收敛值初值收敛值 卢1 2 o1 7 7 4 7 0 6 71 7 8 5 1 7 4 92 0 3 0 6 5 2 92 0 3 0 1 4 4 5 尾 0 3o 3 2 6 3 2 6 70 3 1 0 6 7 8 5 0 2 8 7 6 6 4 4o 2 8 4 6 4 7 6 风 0 3o 3 4 0 4 1 4 60 3 2 2 6 8 5 70 2 8 0 9 7 4 00 2 8 7 7 4 3 9 风 0 40 4 1 6 3 3 5 30 4 1 0 4 1 0 8 0 4 2 0 4 2 3 9 0 4 1 4 3 3 6 4 p 0 8o 0 0 0 0 0 0 00 8 0 6 7 1 5 3o 0 0 0 0 0 0 00 7 6 9 8 0 0 7 上面的表格说明，不管参数的取值是多少，总可以用所设计的算法经过较少的迭代 次数得到一个比较好的参数估计值 当然，在选取样本足够多的前提下，用此算法能够得到更加精确的参数估计值，但 是，和其他的算法相比，能够用较少的样本得到较精确的参数估计值是本算法的优势所 在 1 7 结论 ( 1 ) 误差项q 为白噪声时， 以：。，嚷。，唧。”t m = 净m i n = 三日e t 加1 一= q ，叫o 1 ( 2 ) 误差项目为且r ( 1 ) 序列时，可以用下面的迭代算法估计参数 ( i ) 假定p = o ，用o l s 估计给出：岛l c ，e = ( x t x ) 一1 x r y ； ( i i ) 然后估计p ( i i i ) 再用( i i ) 中的p 估计反 ( i v ) 反复迭代，直到估计稳定为止此时的估计是比较精确的 1 8 参考文献 1 】a l e x a n d e r ，k e m p t c h r i s t o p h ，m e m m e l o nt h ee s t i m a t i o no ft h eg 1 0 b a lm i n i i n u mv a r i a n c e p o n f o l i o ，0 r k i l l gp 印e rc f r ( c e n t r ef o rf j n a n c i “r e s e 甜c hg o l o g n e ) 。2 0 0 5 2 s h i ，n i n g z h o n g ；l a i ，m i n ；z h e n 岛s h m r o n g s i m p l e ra 培0 r i t h m 8f o rm a r k o w i t z sp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e la n ds h a r p e sr a t i ow i t h o u ts h o r t s e l u n g i b c h n i c 甜r e p o r t 2 0 0 5 3 】b a i ，z h i - d o n g ；l i u ，h u i - x i a ；w o n g ，w - k m a k i n gm a d 【o w i t z sp o r t f o l i op r i n c i p l ep r a c t i c a l l y u s e f u l t e c h n i c a lr 印o r t 2 0 0 5 4 】j a g a n n a t h a n ，r a v i ；t 0 n 9 8 h u ，m a r i 8 kr e d u c t i o ni nl 缸g ep o r t f 0 1 i o s ：w h yi m p 0 8 i n gt h ew r o n g c o n 8 t r a i n t 8h e l p 8 j o u r n a lo ff i n a n c ef o r t h c o m i n g 2 0 0 3 1 5 i l e d o i t ，o l i v i e r ，a n dm i c h a e lw o l i m p r a v e de s t i m a t i o no ft h ec o v a r i a n c em a t r i xo fs t o c k r e t u r 璐w i t ha 肛a p p l i c a t i o nt op o n f o l i os e l e c t i o n j o u r n a lo fe m p i r i c a lf i n a n c e 2 0 0 3v o l 1 0 p 6 0 3 6 2 1 6 】o h k r i n ；y a r e m a ；w o l 坛a n 函s c h i m i d d i 8 t r i b u t i o n a lp r o p e r t i e 8o fp o r t f o l i ow e i g h t s j o u r n a lo f e n o m e t r i c 8f o r i h c o m i n g 2 0 0 3 【7 m e r t o n ，r o b e r tg o ne s t i m a t i n gt h e