（概率论与数理统计专业论文）一类稀疏风险模型的破产概率.pdf

中文摘要 中文摘要 破产理论一直是风险理论的重要组成部分，而破产概率也一直是风险理论 中最基本的课题，它是衡量保险公司偿还能力和财务稳定的一个重要指标。经 典风险模型中通常假设以固定常速率收取保费，但在保险公司的实际经营中， 保费到达往往与理赔发生是相关的，针对这一现实情况，本文考虑了一类风险模 型，其保费到达过程是一个参数为a 的p o i s s o n 过程，而理赔过程是保费到达过 程的p 一稀疏过程。 g e r b e r - - s h i u 期望折扣罚金函数提供了一个解决诸多精算量的统一方法， 是现在破产问题研究的一个热点。本文对稀疏风险模型利用盈余过程的强马尔 可夫性，得到了期望折扣罚金函数所满足的积分方程和递推公式，并且当保费 和理赔均为指数分布时，获得了期望折扣罚金函数所满足的方程，并通过此方 程得到了破产时刻的l a p l a c e 变换、破产赤字和破产前瞬时盈余的表达式。 关键词： 稀疏，p o i s s o n 过程，l a p l a c e 变换，期望折扣罚金函数 a b s t r a c t r u mt h e o r yl s a l w a y sa l li m p o r t a n tp a r to ft h ea c t u a r i a ls c i e l l c e t h en l i n p b a b i l i t yi st h eb a s i ct o p i co ft h er i s kt h e o r yr e s e a r c h ，w h i c hi si m p o r t a n ti 1 1 d i c a t o r t om e a s w et h es o l v e n c yo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y a n di t sf i n a n c i a ls t a b i l “w eo 胁 s u p p o s et h ep r e m i u ma r r i v i n gn u m b e rp r o c e s sa n dt h ec l a i mn u i n b e rp r o c e s sa r e m d e p e l l d e n ti nc l a s s i c a lr i s km o d e l h o w e v e r , w h e ni n s u r a n c ec o m p a n y m a n a g e si t , m ep r e m l u r na m v m gn u m b e rp r o c e s si s o f t e nc o r r e l a t e dw i t ht h ec l a i m 硎“n g p r o c e s s f 0 rt h l s ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gr i s km o d e l ：t h ep r e m i u m a r r i v i n gn 啪b e r p r o c e s si sap o i s s o np r o c e s sw i t ha p a r a m e t e rj t ，w h i l et h ec l a i m 咖b e rp r o c e s si sa p t h i n n i n gp r o c e s so ft h ep r e m i u ma r r i v i n gn u m b e rp r o c e s s e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o np r o v i d e sau n i f i e dm e t h o dt 0 s t u d v s o m er u i nq u a n t i t i e sa n di ti sah o tt o p i co ft h er u i nt h e o r yn o w f i r s t ，u n d e rm e t t u 曲i n gn s km o d e l ，w eu s et h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo ft h es u r p l u sp r o c e s st o d e n v et h ei n t e g r a le q u a t i o na n dt h er e c u r s i v ef o r m u l af o rt h ee x p e c t e dd i s c o l l i l t c d p e n a l t yf u n c t i o n t h e nw h e nt h ep r e m i u ma n dt h ec l a i ms i z e sa r ee x p o n e n t i a l l v d i s t r i b u t e d , w eg e tt h ee q u a t i o nf o r t h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf i l l l c t i o n 趾dt l l e c l o s e df o r me x p r e s s i o n sf o rt h el a p l a c e r u i n ，t h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n t r a n s f o r mo ft h et i m eo fr u i n ，t h ed e f i c i ta t k e yw o r d s ：t h i n n i n g ，p o i s s o n p r o c e s s ，l a p l a c et r a n s f i o 衄， e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n t i o n i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：亨长六团 沙，夕年牛月7 日 强指导教师而惹i - 本黝文属子葆前茬 年解密后适用本授权书。 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： ；内部5 年( 最长5 ；秘密1 0 年( 最长 | 机密2 0 年( 最长 l 。：一二二。二二一j 一 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论支作者签名：亨长大f 虱 弘矽年午月7 日 第一章引言 第一章引言 第一节破产理论研究的背景 从保险学的角度来说，风险通常和自然状态的不确定性联系在一起，被定 义为“潜在损失的概率 或“不确定后果之间的差异程度”等等。保险公司是 经营风险的企业，在经营过程中，面临许多风险，包括实际死亡率超过期望死 亡率，投资资产的质量可能恶化使实际收益率低于期望收益率，实际费用率超 过期望费用率，市场利率的变化导致的损失等等。这些风险都会影响保险公司 的最终偿还能力。经营者或者决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论称 为风险理论。风险理论是现代应用概率统计的一个热点研究领域之一，它主要 是借助概率论和随机过程理论构造数学模型，来描述保险商业盈余过程。风险 理论也可以应用于其它一些金融领域，在现代金融理论中具有重要的地位。 风险理论的主要研究对象是商业保险中的各种风险过程。风险理论的研究 是多方面的，其中对风险过程破产问题的研究称为破产理论。破产理论是研究 风险模型的破产概率，它主要是应用于风险经营的稳定性分析，预测经营者在 有限时间内和最终会破产的可能性大小，对经营者起指导性作用，在投资及保 险行业具有及其重要的现实意义和理论价值。n 1 破产理论的研究溯源于瑞典精 算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文 中提出一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程。不过，l u n d b e r g 的工作不符 合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成 的，是c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作建立在坚实的数学基础之上，与之同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认，l u n d b e r g 与c r a m 6 r 的工作成为经 典破产理论的基础。虽然l u n d b e r g 和c r a m 6 r 的工作奠定了风险论的基础，为 实际的保险问题提供了主要的分析工具，但其分析方法较冗繁，在这之后，最 令人瞩目的方法论的改进是f e l l e r 的更新论证技巧和c r a m 6 r 鞅证明方法。f e l l e r 证明了破产概率满足的更新方程，运用关键更新定理得到了破产概率的近似表 达式，c r a m 6 r 通过盈余过程构造鞅，运用停时定理及鞅收敛定理证明了破产概 率满足的l u n d b e r g 型指数上界，更新理论和鞅方法已成为研究风险理论的主要 数学工具。 第一章引言 第二节本文的主要内容 本文在经典风险模型的基础上，对保费收入和理赔过程做了推广，主要研 究的是稀疏风险模型的破产问题。主要内容如下： 第一章介绍了风险理论的背景，以及本文的主要内容和安排。 第二章介绍了经典风险模型的主要研究结果，对其所作的推广和近来的研 究热点问题，以及本文所需的预备知识：齐次p o i s s o n 过程的稀疏。 第三章是本文所作的主要工作，考虑到在保险公司的实际经营中，保费收 入过程与理赔过程并不独立，本文在经典风险模型的基础上推广到了一类稀疏 风险模型，即理赔到达过程是保费到达过程的稀疏过程。本文研究了该风险模 型的期望折扣罚金函数，并在特定的分布下给出了诸多破产量的表达式。 第四章对本文的重点内容做了最后总结。 2 第二章经典风险模型及其推广 第二章经典风险模型及其推广 第一节经典风险模型 在风险理论中，对破产概率的研究最早从经典风险模型开始的，经典风 险模型是最简单的，也是理论最为完善的风险模型。 令( q ，f ，竹是一完备的概率空间，本文所讨论的所有随机变量均为该空 间上的随机变量。下面引入经典风险模型，其定义为 u ( t ) = u + c t s o ) ，t 0( 2 1 1 ) 其中：u 0 表示初始盈余或初始准备金；c 是保费收入率，它是一个常数； s ( f ) ：窆x ，是( o ，f 】上的总索赔过程，s ( f ) 是复合p 。i s s o n 过程， o ) f o 是 参数为兄 o ) 的p o i s s o n 过程，o ) 表示( o ，f 】时间间隔内发生的理赔次数，x ， 表示第i 次理赔额且 x ；：i = 1 , 2 ，- 是独立同分布的非负随机变量序列，其共 同分布函数为，( 石) ，均值为，方差为仃2 相互独立。 假设2 1 2 ( 安全性假设) 保险公司为了保证运营上的安全，要求 c t 一研s o ) 】= ( c 一丑) f 0 ，t 0 由模型的独立性假设知 研s ( f ) 】_ 研( f ) 研x 】- 批 ( 2 1 2 ) 即理赔总额的期望值等于理赔次数的期望值与个体理赔额的期望值之积。 第二章经典风险模型及其推广 由安全性假设，我们设 c = ( 1 + 口) 舡 ( 2 1 3 ) 其中口 0 ，称为相对安全负载。 若个体理赔额的矩母函数 m x ( ，) = e e r x = f e , x d f ( 石) = 1 + ，f e 防 1 一f ( x ) 协 至少在包含原点的某个邻域内存在，其次，要求下述方程 m x ( ，) = 1 + ， 具有正解，该正解称之为调节系数，记为r 。 定义2 1 1 定义破产时刻t = i n f t 0 ：u ( f ) 0 ) ，若对任意的t o 都有u o ) 0 ， 则定义t = 0 0 。 定义2 1 2 初始准备金为u 时，定义保险公司的最终破产概率为 y ) = p 丁 0 ，破产概率y ( “) 满足口一e 一妇v ( u ) a + e 一弛 肌蝶需一= 晋丽e m f - f ( y ) d y 第二节经典风险模型的推广 经典风险模型的研究为风险理论的进一步发展奠定了基础，但由于很多场 合它不能很好的反映保险公司的实际经营情况，已有很多风险理论研究者对经 典风险模型做出了各种更符合实际的推广。其中较为常见的推广主要有以下几 个方面： ( 1 ) 对理赔过程的推广 考虑到理赔到达过程强度的可变性，g e r b e r 引入了广义复合p o i s s o n 过程； g r a n d e l l 2 重点讨论了理赔计数过程为更新过程的c o x 过程的情形；r e i n d h a r d 3 】 对强度为两状态的马尔可夫过程，理赔服从指数分布的c o x 风险模型作了研究； g e r b e r 对e r l a n g ( 2 ) 风险模型作了研究；得到了破产时刻的各阶矩，破产概率的 l a p l a c e 变化及所满足的更新方程；l i 和g a r r i d o 4 】得到了e r l a n g ( n ) 风险模型的 期望折扣罚金函数，破产前瞬时盈余、破产时赤字、破产时刻的联合分布等。 ( 2 ) 对保费收入过程的推广 经典风险模型中假设以常数c 为保费收入率收取保费，这样的假设过于简单 化和理想化，为了更符合经营的实际情况，类似与理赔过程，保费到达计数过 程也用随机过程来描述，例如可以用p o i s s o n 过程、c o x 过程、更新过程等进行 刻画，同时描述保费收入的不再是一个常数，而是更符合实际情况的随机变量。 第二章经典风险模型及其推广 这方面的工作可见g r a n d e l l t 2 】等。 ( 3 ) 考虑随机干扰项 在现实的保险市场中，除了理赔的风险，还会面临由于市场通货膨胀及保 险公司自身经营管理的不确定性所带来的另一种风险。最早由g e r b e r l 5 于1 9 7 0 年提出了带干扰的经典风险模型：u ( t ) = u + c t s ( t ) + w ( t ) ，这里扰动项w ( t ) 是 一个方差为2 d ( d 0 ) 的b r o w n 运动，此外假定 形( f ) ，t 0 ) 与p ( f ) ，t 0 ) 相互 独立。b u f f e s e n 和g e r b e r 9 】提出了破产概率的分解式： y ( “) = y d ( u ) + y ，( u ) 其中 ) 表示因随机扰动而引起的破产，虬 ) 表示因索赔引起的破产。 b u f f e s e n 和g e r b e r 6 】导出了破产概率所满足的瑕疵更新方程及破产概率表达式 和对应的l u n d b e r g 不等式；g e r b e r t 7 】进一步研究了该模型的折扣罚金函数； z h a n g 8 】等也对带干扰模型做了大量研究。 ( 4 ) 考虑利率、分红等因素的影响 对于长期的险种，由于政府政策，经济周期等因素造成的不确定性也会带 来一定的风险，因此，考虑利率波动、分红等因素的影响在实际经营中是很必 要的。s u n d t 和t e u g e l s 9 】提出了利率模型，研究了破产概率所满足的方程及其 上下界的估计；c a i 和d i c k s o n 1 0 1 在常利率的更新风险模型下，分别用鞅方法和 递推法给出了破产概率的上界估计，并对两种方法所得的结论进行了比较；y u e n 和w a n g 1 1 】得到了随机利率下折扣罚金函数所满足的积分微分方程及其闭式解。 ( 5 ) 考虑多险种风险模型 随着保险公司业务的扩大，新险种的不断开发，险种趋于多元化，因此采 用多险种风险模型来描述实际情况，对于保险公司的经营更具有实际意义，c h a r t e t a l m l 考虑了二维风险模型破产概率的相关问题，文中利用一维风险过程的一 些结论得到了二维破产概率的界，并用更新过程的方法获得了破产概率的积分 一微分方程，由此得到了破产概率的l a p l a c e 变换；c a i n 3 3 研究了多维风险模型 的破产概率。 以往破产问题的研究大都集中在最终破产概率： 少0 ) = 尸f i u ( 0 ) = “) 6 第二章经典风险模型及其推广 也有研究有限时间内的破产概率： y ；f ) = p t 4 v ( o ) - - “) 随着保险数学的进一步深入，g e r b e r t l 4 1 等对于经典破产论研究引入了另外两个 刻画保险公司破产情况的随机变量： x = v ( r 一) 与】，= i u 仃) | = 可p ) 其中x 表示破产前瞬时盈余，y 表示破产时赤字，这样，除了破产概率y 0 ) 外， 刻画保险公司的概率规律还有 f 0 ；x ) = p u p 一) x ；r o o l u ( o ) = u ) 和 g 0 ；y ) = p u p ) 一y ；t j 0 ，点过程在区间g ，f 发生 的点数有参数为兄o s ) 的p o i s s o n 分布( 2 3 1 ) 式，如果把这个条件加强为要 求( 2 3 1 ) 式对任意有限多个不相交区间之并也成立，即对任意a o 有 p ( ( 彳) = 七) = e - a z ( a ) a r l ( a 一) 七，j | = 0 ，1 ，一 ( 2 3 2 ) 这里 是由所有能表示为有限多个不相交区间之并的集合组成的集合族，l ( a ) 是集合彳的长度，它等于构成a 的那些不相交区间长度之和。于是，条件( 3 ) 就不必另行列出。这样，我们得到齐次p o i s s o n 过程的另一个等价定义。 定义2 3 2 1 6 1 ：计数过程 o l f o ) 称作齐次p o i s s o n 过程，如果它满足 尸( n o = 0 ) = i 和( 2 3 2 ) 式。 假定事件e 的发生形成强度为旯的齐次p o i s s o n 过程= o ) ，f o ) 如果 每一发生的事件只以概率p 被记录到( 这里p 是某个介于0 和1 之间的常数) 。 我们用膨表示被记录的事件序列，并把它称作过程的一个随机稀疏( 或随机 选择) 。这里是说过程膨是通过对过程的点事件作随机舍弃( 或随机选择) 而得到的一个稀疏版本。其中p 是选取概率，q = i - p 则是舍弃概率，这时对 个点事件的选择是独立的。 定理2 3 。1 ：上面提到的过程必是强度为以的齐次p o i s s o n 过程。 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 本章假设保单到达过程 ) ，f o ) 是服从参数为五以 o ) 的p o i s s o n 过程， 而描述理赔发生的计数过程吖为保单到达过程的p 稀疏过程，即参数为 勿 0 的p o i s s o n 过程，并对此模型给出了期望折扣罚金函数所满足的积分方程 和递推公式。当收取的保费和索赔额均为指数分布时，具体求出了若干破产量， 本文对n ( t ) 和。不加区分。 此外，与其他现有的模型相比，此模型较为完备。因为，一般说来，从保 险公司收到一份保单( 相当于保费到达) 到该投保人要求索赔，总要经过一段 时间，而且这两个过程显然存在一定的相关性，与以往不同，本章所采用的模 型总是把未来某一时刻发生的理赔提前到该保单到达时刻来考虑，且该模型中 理赔发生过程吖是保单到达过程 ( f ) f 0 的p 稀疏过程，两者并不独立。 第一节稀疏风险模型的建立 设( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，本文所有的随机变量都定义在这个空 间上。b o i l k o v 1 刁介绍了一类风险模型， n f t )l ( ，) v o = “+ x ，一，t 0 ( 3 1 1 ) 1 = 1i = 1 其中“o 表示保险公司的初始资金； ( f ) f o ) 是参数为允以 o ) 的p o i s s o n 过 程，表示( o ，f 】内收到的保单总数； l o ) f o ) 是参数为 “ o ) 的p o i s s o n 过 程，表示( o ，t 】内收到的理赔总数； 置，i 1 和 i ，f l 均为独立同分布( ，i ，d ) 的非负随机变量序列，其共同分布函数分别为o ( x ) ，g ( o ) = o * nf ( y ) ， f ( o ) = 0 ，且 置，f 之1 ) 与( f ) 独立，彳，表示第f 次保费收入， i ，i 1 ) 与l ( t ) 9 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 独立，巧表示第i 次理赔：u ：) 表示保险公司在f 时刻的盈余。在模型( 3 1 1 ) 中， 假定墨和x 是独立的。 i = l i = l b o i l k o v 1 刀研究了风险过程( 3 1 1 ) ，得到了生存概率所满足的积分方程和 指数型界。进一步，y a o 和x u o s l 获得了该风险过程的期望折扣罚金函数。 在保险公司实际运营中，总假定n ( 0 与m ) 独立并不符合实际情况，保 险公司保单到达与理赔的发生通常是相关的，有的保单发生理赔，有的保单不 发生理赔，理赔发生次数小于保单到达次数，所以我们将( 3 1 1 ) 作如下推广： n n u - - - - u + x j 一r ，t 0 ( 3 1 2 ) l = li = i 其中吖是n ( t ) 的p 一稀疏过程，即吖是参数为卸 0 ( 0 妒】i ；。 定义破产时间t = i n f t 0 ：u ( t ) 0 ) ，最终破产概率为 y ) = p r 0 0 lu ( o ) = “) 对于模型( 3 1 2 ) ，人们多是利用鞅方法研究破产概率的l u n d b e r g 上界， 主要结果如下： 引理3 1 1 对过程 s j ：p ，t o ) ，存在函数g ( ，) ，使得研p 一心f 】_ e t s ( 7 引理3 1 2 令m 。( 。= 竺群，则m 心) 是f - 鞅。 定理3 1 ，1 风险模型的最终破产概率满足l u n d b e r g 不等式 y ) e 一黜 其中r = s u p r ：g ( r ) 0 ) 。 l o 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 期望折扣罚金函数提供了一个研究诸多破产问题的一致性方法，本文重点 就是研究该模型的期望折扣罚金函数。 模型( 3 1 2 ) 的期望折扣罚金函数记为 办( “) = 研w ( u l u r 陟盯i ( t o o ) u o = 材 垒e ” w ( u r - , l u ri ) e 一盯，( r ) 】 其中以五y ) ，工0 ，y 0 是使九 ) 存在的一个非负函数；万0 ；i ( a ) 是集合彳的 示性函数。 本文在第二节中利用u 。的强马尔可夫性，得到了期望折扣罚金函数所满足 的积分方程和递推公式。第三节中，在指数分布的条件下，我们得到期望折扣 罚金函数所满足的方程。破产时刻的l a p l a c e 变换、破产赤字和破产前瞬时盈 余的闭式表达式。 第二节模型满足的积分方程和递推公式 易知过程影是右连左极的，具有平稳独立增量且随机连续。由此司知，它 是l 6 v y 过程，从而风险过程( 3 1 2 ) 具有强马尔可夫性。 定理3 2 1 令u 0 ，则九 ) 满足下述积分方程 ( 旯+ 万) 丸( “) 2 ( 1 一p ) 砘九 + 石郴( 石) + p a j o 上九 + x y ) d f ( y ) d g ( x ) 口+ 工 + f e ，似“，j ，一u - - x ) d f ( y ) d g ( 工) 】 证明：令正表示f 发生第一次跳时刻，则互是一个参数为旯的指数随机变量。 由此，p ( 正 o o ) = 1 当0 t 互时，阢0 ，即在时刻正之前破产不会发生。 x c t 0 ，定义转移算子包为包：q q ，u ( 只计= u ，州( 们，对有限停时丁， 1 9 f ：f 2 一q ，若丁( 叫= t ，则岛( w ) = 已( w ) 。定义仃域c = 仃 u s ，s t ) ，t 0 。 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 显然有t 2 2 ；+ t 。o r , 。利用u ，的强马尔司天性，我们有 九似) 2 e ”【以u r ，i u r l ) e 一盯z ( t ) = e “ w ( 7 i + r 。) ，u ( r + t o o n ) - 积, e - o r o n ，( 互+ 丁。0 五 ) 】 = e u e 一奶( w ( u r ，i u r i ) e 一曰i ( t ) ) 。气】 = e ” e “ e - o y l ( w ( u r 一，f i ) p 一贸，( r ) ) 。o , , i r z , j l = e u 哪e ” ( 以【，i u r ) e - 6 r l ( t o o ) ) 。l 毛】 = e ”p 一奶e w ( u r ，i u r i ) e 一盯i ( t ) 】 = e “k 一奶九( u 瓦) 】 ( 3 2 2 ) 我们将( 3 2 2 ) 分成两部分： 办 ) = e 叮p 一奶丸( u 五) ，( n p 。= 0 ) + e “一奶办( u r , ) ，( n p 。= 1 ) 】 a ：e i + e 2 由独立性假设，可得 e 1 = e 1 p 一西办( u r ) ，( n p 。= 0 ) 】 = e u e 一两丸 + x 1 ) j ( 暑= 0 ) 】 = e “一奶，( 署= o ) 】研九 + x 。) 】 由于 是n ( t ) 的p 一稀疏过程，我们有 e “ p 一奶，( = o ) =2 e 一刀e “p 川j ( 嵋= o i 正= f 渺 = f 庇- ( 2 + 8 ) t p ( 署= o r , = t ) d t = 五( 1 一p ) f p 俐) f 西 ：2 ( 1 - _ p - ) ( 3 2 3 ) 兄+ 占 因此，我们有 1 2 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 巨= 等f 帕+ x 娜( x ) ( 3 - 2 4 ) 令“0 。若“+ x l - r , 0 ，则u r , 0 ，由u 的强马尔可夫性，可得 九( u 五) = e w ( u r 一，l u r l ) p 一砑，( r ) 】 2 w ( u ，k u x 1 ) 由上式可得 e u 一奶九( u 毛) j ( # = 1 ) i ( u + x l 一】j ； o ) 】 = 研p 一奶，( 署= 1 ) i ( u + x l k o ) w ( “，】j ；一“一x 1 ) 】 因此，由独立性假设，我们得到 已= e 1 p 一奶丸( 【，五) ，( n p 。= 1 ) i ( u + x l k o ) 】 + e 。 p 一奶九( u 五) j ( n p 。= 1 ) ， + x l x 0 ) = 研p 一奶，( 暑= 1 ) 】 e ( 九( “+ 五一y 1 ) i ( u + x l k 0 ) ) + e ( w ( “，i u - - x 1 ) ，( “+ 五一巧 o ) 】 ( 3 2 5 ) 注意到尸( 磁= 1 k = f ) = p ( g p 。= 1 k = f ) = p ，类似与( 3 2 3 ) ，我们得到 州p 川，( 嵋= 1 ) = 去 ( 3 2 6 ) - rc ， 因此由( 3 2 5 ) 可得 巨2 五a p 。 f a g ( x ) r 痧, 5 ( u + x - y 矽( y ) + f 粥( 石) e ，以“，j ，一u - - x ) 护( 少) 】 ( 3 2 7 ) 由( 3 2 4 ) 和( 3 2 7 ) 我们得到积分方程( 3 2 1 ) 。 令瓦表示第疗次收到保费的时刻，定义 九，。 ) = 可以u r 一，i u r i ) e 一盯i ( t = 瓦) 】 仿w ue ta 1 p 9 】，下面我们得到了九。 ) 的递推公式。 1 3 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 定理3 2 2 对刀= 1 , 2 ，和u 0 ， 九州= 丽, l pf x w ( u , y - u - x 妒( y ) 扣( x ) ， ( 3 2 8 ) 饥栌等鼽( 顺工) + 惫fr 办俨，( u + x - y ，) d f ( y ) d g ( x ) n = 2 , 3 ， ( 3 2 9 ) 证明：由于留= l ) 2 o ，o ，o ， 0 ) ，且破产只能在理赔时 刻发生，我们有 九，- ( 甜) 2 e 1 e - s r l w ( ，l 陬o ， o ) 】 = 矿 e - s t , w ( ，i 陬o ， o ) ( 畦) = e ”五w ( u ，“+ 五一k ) ，( o ， o ) j ( 畦= 1 ) 】 利用独立性假设，得到 九，。 ) = fj le 1 e 一奶，( 畦= 1 ) 】w ( ，y - - u - - x ) d f ( y ) d g ( z ) 由上式及( 3 2 6 ) ，可得( 3 2 8 ) 。 对于n 2 ，我们有 九，。( “) 2 e 1 p 讽w ( ，阮陬o ，o ，u r = o ， o ) 】 ( 3 2 1 0 ) 类似与定理3 2 1 ，我们将( 3 2 1 0 ) 分为两个部分 九。( ”) 2 e “瓦w ( ，阮陬o ，o ，o ， o ) ，( k = o ) 】 + e “w ( ，j 陬o ，o ，o ， - 0 ，o ， o ) xi ( n ：= o ) i x 。= x d g ( x ) ( 3 2 1 2 ) 1 4 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 由阢的强马尔可夫性，独立性假设和( 3 2 3 ) 式，可将( 3 2 1 2 ) 等号右边的 莜枳表达式整理为 昱“一奶z ( 畦= o ) 】昱”【e - 6 ( r - r j ) w ( u r ；，i i ) 】 ，( o ，o ，o ，吒 o ) i 墨= x 粥( x ) = 等等e m e - 占r - 1 w ( u r ；_ 。，i _ 陬0 ，o ，一，吒o ，一。 = 等“( 加 类似与( 3 2 1 3 ) 利用( 3 2 6 ) ，可得 臣2 f o ；o o 档e “k 一吼w ( ，u h i ) o ) d g ( x ) i ( u r ：o ，u r , o ，o ，u r o ) ，( ：= 1 ) l 五= 工，】i i = y d f ( x ) d g ( x ) = f r e 8 p 一弼? ( 嵋= 1 ) e “”五w ( ，阮f ) j ( o ，o ，o ， o ) ，( 吣= o i x , = 石，i = y d f ( x ) d g ( x ) ( 3 2 1 3 ) = f r 帽e ”一( w = 1 ) 矿y e - 6 r - , w ( ，k 。j ) ，( o , u r , o ，。o ，。 o 具有二次连续偏微分，且f g ，y ) 砂和f x ，y ) d y 榭x 一致 收敛，则丸0 ) 满足下面的方程 以+ 万玩”0 ) + ( 6 a + 6 万一口万一印旯玩0 ) 一口6 6 九0 ) = 一口印知砌f ，z k 砌出+ 言p 知砌f ” ，z 也出 ( 3 3 1 ) 证明：在( 3 2 1 ) 中令g g ) = 1 一e ，) = l e 一，我们得到 以+ 万弦0 ) = ( 1 - p l 扭7 + p a p + k ) ( 3 3 2 ) 其中 日= f o 丸( u + 工a e - a x d y ， ，= f or 九( “+ 工- y ) b e - e - = d y d x k = f e ，似“，y - - u - - x 弘p 却口p 一咖出= 。e - 砂f + ，z 弘也出 由可微性假设，日，k 分别关于u 0 求导得： 1 6 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 日：= 一口九( 掰) + a h ， 以= b h - b j ， e = 川+ 羔e 咖f o ，z k 也出， e ”- 6 2 k 一羔e 珈f 7 0 ，z 矿出+ 羔p 一缸f o ，z 七出 对( 3 3 2 ) 式两边关于u 求导，并整理得 ( a + 万) 九( u ) + a ( 1 一p ) 旯九( “) = ( 口兄一a p l b p 2 ) h + b p a j + p a k 。( 3 3 2 ) 上式两边对“求导，得 以+ 万玩 0 ) + 口( 1 一p ) 九0 ) 一( 口z 一口z p + 口印) 兄九0 ) = ( 口2 允一a 2 p 2 + a b p a - b 2 p a ) h + 6 2 p a l + p 魃。 ( 3 3 4 ) 将( 3 3 2 ) 式两边同乘以曲，( 3 3 3 ) 式两边同乘以口一b ，并对所得结果求和， 再带入( 3 3 4 ) 式，稍作整理即得( 3 3 1 ) 式。 在( 3 3 1 ) 式中，若取w ( x ，y ) 兰1 ，万 0 ，则丸0 ) = e “瞳一盯i ( t ) 乡j ) 是破产时刻的l a p l a c e 变换，初始资金是“0 ；若取w ( x ，y ) = y ，万0 ，则得 到的破产赤字折扣的期望九 ) = e “ 1 u re 一刃，( r ) 】鲔 ) ，初始资金材o ；若 取以工，y ) = 工，万0 ，则办0 ) = e “【u ，一p 一盯，仃 0 。 由定理( 3 3 1 ) ，可知y 占 ) 满足下述方程： ( a + , d y 。+ ( b 2 + 6 万一口万一a p y o y 一口6 砂= 0 ( 3 3 5 ) 边界条件为： 1 7 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 y 。( + ) = o 且 ( 旯+ 万渺占( 0 ) = ( 1 一p ) 旯f y 占( 工) 口p 嘲出+ p a f c o y ) b p 哳a p - 甜咖出+ i 】 求解该边界问题，可得 y ，0 ) = c l p “ 其中 ：b2+bg-a8-ap2一一1，(b2+bg-a5-ap2)2+4ab5r o。2 2(abr+b2r-a2bp)2+(a+b)(r-a)b6户u。 令万= o ，我们得到破产赤字为彘0 ) = 矿a p p ( 印圳 。 同理，0 ) 满足方程： ( a + 艿) y 。+ ( b 2 + b 5 一a g a p g ) y 一口6 印= 一a p a e h 日具有下沭沩界条件： 第三章稀疏风险模型的期望折扣罚金函数 9 j + 0 0 ) - - 0 和 m + 万) ( 0 ) = ( 1 一p ) 2o n 0 6 ( x ) a e 一出+ p 名 f j ：扛一y ) b e 一砂韶喵d y d x 求解此边界问题，得 0 ) = g p “一i 1 p 山 其中 c ，：生二1 2 ! ! 垒! ：星：垒：2 墨! ! 垒! ：鱼! o 6 ( 口+ 6 ) ( 口，+ b r - a 2 p ) a + ( 口+ 6 ) ( ，一口) 万】 令万= 0 ，我们得到破产前瞬时盈余o ) 为o ) = 错e ( a p - b ) u _ 1 6 p 嘲 1 9 第四章本文主要结论 第四章本文主要结论 本文研冗了一荚稀疏风险模型的破严i 列题，给出 该模型的期望子斤扣罚金 函数所满足的积分方程以及递推公式。在指数分布的假设下，得到了期望折扣 罚金函数所满足的方程以及诸多破产量。以下就是得到的结论： 该模型的期望折扣罚金函数所满足的积分方程以及递推公式。 令u 0 ，则九( “) 满足下述积分方程 ( 旯+ 万) 九( “) 2 ( 1 一p ) a 上丸 + 工) 奶( 工) + p a fj ：i 办 + 工- y ) d f ( y ) d g ( x ) + f w ( “，y 一“一石) d f ( y ) d g ( 工) 】 对咒= 1 , 2 ，和“0 ， 九“材) 2 去re ，w ( “，y - - g - - x ) d f ( y ) d g ( 工) ， 饥= 等f “( 阳( 功 + 去fr 九扩- ( u + x - y ) d f ( y ) d g ( 工) 万= 2 ，3 ， 在指数分布的假设下，得到了期望折扣罚金函数的所满足的方程以及诸多 破产量。 令g g ) ：1 一e 一，) = 1 一e ，且p o ，谗，y ) d 关于石 o 具有二次连续偏微分，且f u g ，y ) 妙和r g ，y 协均关于x 一致 收敛，则九0 ) 满足下面的方程 + 万玩 0 ) + ( 6 旯+