（概率论与数理统计专业论文）商品互换及商品互换期权的定价.pdf

ab s t r a c t t h i s p a p e r e x p l o r e s t h e p r i c i n g o f c o m m o d i ty s w a p s a n d o p t i o n s w r i tt e n o n c o m m o d i ty s w a p s i n t h e p r e s e n c e o f c o n v e n i e n c e y i e l d s . a s s u m i n g c o m m o d i ty p r i c e , i n t e r e s t r a t e a n d c o n v e n i e n c e y i e l d s a r e a ff e c t e d b y d i ff e r e n t s o u r c e s o f u n c e r t a i n , w e c o n s t r u c t o n e - f a c t o r mo d e l , t w o - f a c t o r m o d e l a n d t h r e e - f a c t o r m o d e l . f o r o n e - f a c t o r m o d e l ,c o m m o d i ty p r i c e i s c h a r a c te r i z e d b y d s , = u s , d t + a , s , d b ;s ) . i n te r e s t r a t e a n d c o n v e n i e n c e y i e l d s r a t e a r e c o n s t a n t ,r a n d s r e s p e c t i v e l y . f o r t w o - f a c t o r m o d e l , c o m m o d ity p r ic e 卜 t i tz o a n d c o n v e n ie n c e y ie ld s r a te 8 t i ,. o a r e c h a r a c te r iz e d b y d s ， 二 ,u s , d t + a s s , 州s ) ， d s , = k 伍一 s 加t + a s d b t s ) r e s p e c t i v e ly . i n t e r e s t r a t e i s c o n s t a n t r .f o r t h r e e - f a c t o r m o d e l ,c o m m o d i ty p r i c e s t 1 . ， c o n v e n ie n c e y ie ld s r a te (s t ) , o a n d in te r e s t r a t e r t l o a r e c h a r a c te r iz e d r e s p e c t i v e ly b y d s , = u s ,d t + c r , s ,d b (s ) , d s , = k (a 一 s , ) d t + v d d b ( a ) , d r : 二 ( a , + a 2 r , ) d t + q d b ; . f r o m t h e s e a s s u mp t i o n s , t h i s p a p e r g e t s t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e c o m m o d i ty p r i c i n g f o r m u l a u n d e r s t o c h a s t ic i n t e r e s t r a t e i s s a m e w i t h t h e f o r m u l a s u n d e r d e t e r m i n i s t i c i n t e r e s t r a t e . i n t h e s e c o n d s e c t i o n , w e a s s u m e t h a t f o r w a r d i n t e r e s t r a t e f ( i , s ) i s c h a r a c t e r i z e d b y ， ( ， ， ) 一 ， (0 , s ) + 工 p f (u , s ) d u + 工 a f (u , s ) d w ) f o r w a r d f u t u r e c o n v e n i e n c e y i e l d s e ( t , s ) a r e c h a r a c t e r i z e d b y 二 (t , s ) 一 二 (o ,s ) + 工 ,q , (u ,s )d u + 工 a , ( u , s ) d w t) c o m m o d i ty p r i c e 低孔 o i s c h a r a c t e r iz e d b y s , 一 s o + 工 s . e t, (u )d u + 工 s . a , (u )d w ) f r o m t h e s e a s s u m p t i o n s ,w e d e r i v e t h a t t h e d t i ft o f f o r w a r d f u t u r e c o n v e n i e n c e y i e l d s p r o c e s s i s g i v e d 勿 、 “ ， 一 2 6 f (t, t ) f 6 f (t, s)d s + 6 f (t, t )i p a ， 一 、 ,6 f 6 6(t,s)d s l 一 (t, t ) 二 ， 、 一 f u , (t, s)d s + p _ f y r (t, s)d s l , f r o m w h i c h w e g e t t h e p r i c e o f c o m m o d i t y s w a p s .f r o m t h e p r i c i n g f o r m u l a s ,w e c a n g e t t h e c o n c l u s i o n t h a t t h e r a n d o m n e s s o f i n t e r e s t r a t e c a n a ff e c t t h e p r i c e o f c o m m o d i t y s w a p . k e y w o r d s : c o m m o d i t y s w a p ， m a rt i n g a l e , e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e ， o p t i o n 商品互换及商品互换期权的定价 一、引言 资本资产定价理论主要研究金融市场中各种金融衍生物的定价， 它由两部 分组成:1 )无套利定价 2 )均衡定价。在一定的条件约束下，它们二者又是 统一的， 其中教定价理论是无套利定价的核心。 对于资本资产的定价， 商品的 便利收益日 益成为不可忽视的重要因素。 便利收益是指持有商品实物比持有期 货合约有好处， 它反映了市场对未来商品可获得性的期望。 所谓商品互换就是 一方的掉换对手以每单位固定价格周期性支付给第二方对手某种给定量的商 品: 而第二方则以浮动价格 ( 通常为即期价格的平均值) 支付给第一方掉换对 手某种给定量的商品。 互换的商品一般来说是相同的但也可以不同。互换的结 果使一方能以固定的价格购买 商品， 消除了价格波动的风险。 对于期货期权一 类短期的金融工具，可近似地把商品便利收益看作是常数， 但对于像互换这样 长期的金融工具来说，这种假设是不合理的。 对于利率， 已经建立t 许多模型， 例如c o x - i n g e r s o l l - r o s s 模型， m e r t o n 模型， v a s i c e k 模型等。 类似的， 我们可以建立便利收益率的 概念， 并且建立与 利率模型类似的各种模型来进行模拟。 h e a t h , j a r r 。和m e r t o n l 9 9 2 年 ( 2 ) 首次提出了 利率的k i m 模型。该 模型利用即期利率期限结构， 得到利率飘移项和扩散项之间的在无套利条件下 的重要关系式。h i m 模型不仅可以很好地模拟利率的实际变化情况，并且有很 强操作性。 m i t e r s e n 和s c h w a r t z 对具有便利收益的商品期货及商品期货期权的定价 作了 分析， 他们对利率和便利收益率都采用了h i m 模型， 但他们假定了 利率和 便利收益率受相同的不确定性的影响( 3 ) e h i i i i a r d 和r e i s 在 4 中对商品 期货和商品期货期权也作了分析， 他们对利率采用了h i m 模型， 对便利收益率 采用v a s i c e k 模型。 作者在对商品互换和商品互换期权的定价中， 假定了价格， 利率， 便利收益率受不同的不确定性影响， 首先对利率和便利收益率都采用了 硕士学位论文 n 1 a s i f a s i i i p s i s v a s i c e k 模型， 得到了 互换和互换期权在不同的模型下的定价，并得到结论: 利率的随机性对互换的定价是无影响的。 其次， 定义了有别于远期合约便利收 益率的期货便利收益率， 利用期货价格的教性， 对利率和便利收益率分别采用 了h j m 模型， 得到了 便利收益率飘移项与扩散项在无套利条件下的关系式， 并 应用此表达式，计算出了商品互换的定价公式。 二、预备知识 定 义1 对于 可 测空间恤 ， 幼 , p 和q 是e 上的 测 度， 对 任意的a e e ， 若域 刀 二 。 当 且仅当q 归 ) 二 。 ， 则 称测 度p 和q 等价。 定义2对于 测 度 空间仲 , e , p ) , q 是 和p 等 价的 测 度， (t , 。是仲 ， 幼 中 的 滤 子。( x , 从 。 是与钾 ， 从 。 适应的随机过程。若伙 ， 从 。 关于 q是教，并且 r a d o n - n i k o d o 。 导 数 器 方 差 郁 r ， 则 称 q 是 关 于 (x , (a 。 的 等 价 教 测 度 。 定 义 3 设 x ， 二 (x i i ， x ,2 .x ,n ) 是i t 。 过 程 ， 表 示 价 格 过 程 ， . 交 易 策 略 ， 是 指在r “ 中取值的 适应过程且。 e l ( x ) t r 使 得 t ( z ) = w (z ) , v z e m。 再由r i s e z 表示定 理 可 知 存 在二 。 l ( p ) ， 使得t ( z ) = e 恤 ) ， v z e 州 p ) 。 因 为 x = 1 ， 所 以 e 沁幼 二 川= 1 ， 故 e 份 卜 ， 。 又 t 是 严 格 递 增 的 ， 所 以 二 。 。 令q 是 概 率 测 度 且 粤= 二 ， 则 可 知q 与p 等 价 。 显 然 x 1 关 于q 是 d p- - - -一一-一 一 鞍，下证x 也是q - 鞍。 令: 是取值于0 , t 的 任意停时， b 是一交 易策略且满足( a ) 0 = 0 . j m i , j # 1 ( b ) 召= 1 , 1 :5 r ; 男= 0 , t r。 ( c ) b ; = 0 , t r。 易 知 0 e 。且 9 t x t = x r x o = y (x , ) = e (,x * ) = e (x r ) 又 二 。 l z (p ) ， 所 以 q 是 关 于 x a 。 的 一 个 教测度. 设存在价格过程1x , 从 。 的一个等价鞍测度 q ，则无套利。定义 y : l (p ) - r , y (z ) = e q (z 。 设 z. fe z 、 是 一 渐 进 套 利 ， 则 存 在 l z (p ) 中 的 一 序 列 iz n 使 得 y (z ) 5 y (z ) _ 。 且 q +) 收 敛 到 一 严 格 正 数 。 这 是 不 可 能 的 。 故 无 渐 进 套 利 。 三、单因素模型 假设市场是完全的， 其不确定性由 概率空间( s 2 , f , p ) 来刻画， 价格过程 表 示 为x ,= ( x ; ) . . . x 尸 ) ， 伙 。 。 是 与x 相 应 的 滤 子 ， 表 示 到t 时 刻 为 止 所 有 的 信息量，假设条件: ( 1 )市场是无磨擦的，无交易成本、无税，可以自由买空卖空。 ( 2 )交易区间【 0 r ，交易在时间上是连续的。 ( 3 )短期利率是常数r e ( 4 )短期便利收益率是常数s。 ( 5 ) 商 品 价 格 s , , t e 0 , 司 服 从 下 面 的 随 机 微 分 方 程 : d s , = ,u s , d t + v ,. s , d b ,( ) 其中b ; y 是( 0 , f , p ) 中 的 标准布朗 运动。 ( 6 )市场无套利。 在上述的假设条件下，我们考虑商品互换及互换期权的定价。 1 ,商品互换的定价 硕士学位论文 ma s i e r i s 1 7 i l s i s 考 虑一 个单 位的 商品 互 换。 设 互 换 在t 抓。 ， 司时 到 期， 在时 刻t , . . . . . . . t 。 时 进 行 交 换， 其中0 t , t l . . . t : 。 交易 双方 为a , b ， 现 在 时 刻为t 。 设f ( t ) 是a 支 付给b 的 固 定价 格， 而b 支 付 给a 的 价 格 在时 刻t ， 时 就 是 商品 的即 期价 格 s , i = 1 ,2 . . .n 因 为 市 场 无 套 利 ， 所 以 存 在 一 概 率 测 度q 与 p 等 价 ， 且 使 得 所 有 的 价 格 过 程 在 经 过 ,8 = e x p (一 工 r,d s ) 的 贴 现 之 后 在 q 下 是 鞍 。 又 因 为 市 场 是 完 全 的 ， 所以 这 样 的 测 度 是 唯 一 的 。 对 于 上 述 的 价 格 过 程 s , , t e 0 , 司 ， 它 在q 下所满足的随机微分方程为: d s , = ( r 一 8 ) s , d t + a , s , 动 尸 其 中 ib ii ,0 _ t _ r 是 q 下 的 标 准 布 朗 运 动 。 设在 现在 时刻 t时 ，这样 的互换对 于 b 的价值为 v ( t ) ，则 v (t ) = 艺f ( t )e - (，一 ， 一 艺e ; e - i 一 仪 。 由 无 套 利 原 则 知 1 上 式 左 边 应 等 于 零 y-。一 )e ,- ( s , ) f ( t ) =1_ i- 一一一 一 y-e “ 一 ， 因 为 残 = ( r - 8 ) s , d ， 十 。 ， s , 碑” 所 以s 。 一 s , + 犷 (r - s ) s , d t + 了 a s ,碑、， 两边关于q 求条件期望，由f u b i n i 定理， e ,2 s , = s , + (r 一 “ ) 了 e , (s . )d u 解 此 方 程 可 得 衅s , = s , e x p ( r 一 s ) ( t ， 一 t ) l 艺 s r e - d (,;- r )艺e - a 代 入f ( t ) 有f ( t ) = 1_ 卜 一 一 一 = s e a - ,r宁 一 一 艺 e 一 r(tj 一 t)艺 e 一 氏 2 .商品互换期权的定价 商品互换期权是一种未定权益， 若一方购买了这一期权， 则他就有权利在 将来某时刻起进行一项商品互换， 且互换中的固定价格在现在时刻就己确定下 来。下面我们在上述假设条件下，讨论这种期权的无套利定价。 设 互 换在t e 0 , 司时 到期， 在t , ， 二 .4 。 时 交换发生，0 t , t , . . . t r 。 期 权 的 到 期日 为t , e 0 , r ， 则 有不 (i g ,) 因为g ( t ) 是正态分布，所以其特征函数 f ( t ) 为 f (t)= expitl-t一 t2 二 2 1- z l 2 门川 所以 e ,- s , 于是 e ,g ( t 、 十 工 v a r ,g (t 2 艺 e - , c,，一 i e , ( s , ) f ( t ) 二 上 一- 一 艺e - ( 一 ) 其中 刁|川川|j (扮 k / 一 t, + 沁一 、 a, 一 、 /2 一 二 / k) v ,l井竺 yk 1 一 , u , 走 2d k s , 干 y ( t r|eses刁日|.es x e 凡 一一 、， 又 了it 宫 心 e z ,商品互换期权的定价 和单因素模型一样，我们在两因素环境的模型中也有 f ( t ) = 衅 e - (7 - ) ( f ( t ) 一 x ) 其中f 代) 是t 、 时刻互换的价格。 所 以 f ( t ) 一 e - (t. - )e ) 11 (f (t, )- ka o ) f ( t ) 一 g , e - (t- )e qz i (f (7,)- k 2 0 1 设t ” 是t 。 时 刻 开 始 的 ， 互 换 的 第i 次 交 换 时 刻 ， 令 h ( t , t () ) = e 另 ( 凡 ) 则h (t , , t ) 是t 时 刻 开 始 在t ，时 刻 结 束 的 远 期 合 约 的 价 格 ， 且 由 e i ) (st , 式可知，它是i t o 过程，由二维工 t o 引理可得它所满足的随机微分方程为 d h ,., 州拭. h ssa szs z + 含 h ;,. u s ， + f .c s p .es s q s 6 s + h s ( r 一 8 ) - s + h , k ( 。 一 8 ) 一 a s a s l ) d t , + h s a , s d h r ( ) + h , (7 , 动 : “ ， 在风险中性测度q 下，h 的飘移项应为零，故有 一 h s l, s s d h t (s) + h s l v , d h t (s ) 。 、“ ，(一 ， i - e-k (t,- . )k一 *d b ,.(一 1 h : 一 v , d b t (s ) a s ( i 一 e - k (t o 一 ，,) ) k d b 7 ; (y ) 哟=h哟 定 义 q 下 新 的 布 朗 运 动 伍 (h ) ij,z 。 使 得 v dh ,一、 (、) 6 s(i - e-k(,.,n-7i) )- db ,k(一 其中 口 ， = 口 ， a , ( i 一 e - k (,a )- t,) ) 2 十 一 k 一2 a , ( 7 , p , i 一 e - k ( t , _ t , ) k 因 此 d h i h= 。 。 括(“ ， 故h 服从对数正态分布。 令 9 : 一 lo g h 忆， t () ) ， 由i t 。 引 理 可 知 硕士学位论文 r 1 a s i e r s川e ns 、 ， 一 告 。 。 ， 十 。 。 碱 厅 ， 因为 9 1 1 9 7j 含 。 * + f t, 行 始 ， (h ii, a ll d h l 厂 所以 尸 ， 二e c7i、一 9 了; 一 1 p 7, 合 u h 2 d t 厂 护， = v a r g t ) = az d t 嚼 ，艺间 。 一 叮 一 ) l r e _ r(7 一 不 ) e , q 下 =. t 一 7卜 - tj) l f t q 2 k e k , (o e 斤艺间 c 州州峥 g r 。 一 “ 厂 - t ) 苦 二! e-it-)e - 1r . ti )l eli.- it(,) zk 。一二 卜 1 令 y , ， = 9 , , 一刀 6, 不妨设现在时刻 , i 叭卜 ， 一 n ( 0 ;1 ) t 为零时刻， 则关于q 的条件期望变为关于q的期望， 我们有 e q 1 二_， - 、 1 z 11 ”一 ， 七 p 2 k y, 。 卜 )“ ” ) e 气 1 二_ 1 、 甲 * 。 1 z , 一 勿;2 k又c， 一e v ,. ， j . 了 m e a i- ya ) p (y ) . y 。 ) d y ) . d y n j咖 t , ) , 了 1 0 2 k f 1r 曰州日 扮艺闺 廿1 .1 r.l 口 e ay y jd y , =j 其中m lo g k 艺e 一 r不 ” 一 不 ， -i e _,(t (,)_ t,) e a +,( i + r (t (i， 一 t ) - ,u , 少 = 2 代入到 f ( t ) 中就得到了期权的定价公式 i 2 硕士学位论文 m八 s ) 王r s ,1 1 , : s i s 定理2在上述假设条件下， 商品互换定价公式和商品互换期权的定价公式分别 为 艺 e - .(，一 ) e ,-) ( s , ) f ( t ) = 二 丝 y- e - , “ 一 ， 其中 |川川|1 今)dx 华 一 1 一e 一 仰 f ( u ) e - n 7 j - , ) y- e - ,(t (ii- 7i ) ，f - f -: f : 一 1,3 ，p (y ,二 d y 一 k e - r( 一， f ,-: 二 f ,- : f m p (y , 二 y ) d y , - 二 d y 五、三因素模型的互换及互换期权的定价 除条件 ( 3 )外其它条件和两因素模型相同，条件 ( 3 )改为 ( 3 ) ，利率r 满足下列的随机微分方程 d r , 一 ( a ,十 。 a ) d t 十 f d h ,) 其中a , , a 2 和 刀 都 是 常 数。 c o v ( 城( ) , d h 0 ) 一 p ,., d t c o v ( 诚 ” ， 碑. ) ) = ,o d t c o v ( 碱c. ) 碑 ， ) = p s d t 1 .互换的定价 和单因素模型一样，可得等式 硕士学位论文 h ) a s t c a sr i 1 g s r s _ e ,0些, s, = 垫竺 e , e 一j ， 尸 (， ) 其中p ( t , t )t ， 时刻有一个单位收入的零息债券在 t 时刻的现值。 t)在 曰是 g = 令h= lo g (e -j ” rsd. . s , ) 一 lo g 、 一 f , r , d , l o g 凡 d s , 二 ( r 一 8 ) s , d t 十 c a碑” 由 i t o引理 d 厅 = 十 。d h ,)s ) d g , = ( - s , 一 s 一 合 a ? )d t 一 告 a ,)d t + c ,d h s 从而g ( t ) = lo g s , 一 告 。 : (， 一 ，) 一 f 。 8 , d t + 。 、 f , b (.,) e ,q g (t ) 一 ，o g s , 一 告 。 : (， 一 ，) 一 f e ,q b ,d s 因为 d 8 , 所以 s , = k ( a 一 8 ) 一 .i s a d d t + 。 ; 匆 ) 一 s o + f k (a 一 s , ) 一 “ s a s d s + f a ,d h ;s ) 对 。 : 0 。 满足下面的随机微分方程 1 (t , s ) = f ( 0 ,s ) + 工 p , (u , s )d u + 工 v , (u ,s ) d w ) 远期期货便利收益s ( t , s ) 满 足下 面的随 机微分方 程 e (t , s ) 二 (0 , s ) + 工 、 二 ( u ,s ) d u + 工 v , (u , s )d w ( ) 商 品 的 即 期 价 格s , n_ 。 满 足 下 面 的 随 机 微 分 方 程 s , 二 s o + 工 s w p ,. (u ) d u + 工 s q , (u )d w ) 上 述 的w , (r) 王 :。 ， 何 (.) j,zo 何 )e ) ,2。 都 是( 91 , i, ft , i,zo ， q ) 中 标 准 的 维 纳过程，且 c o v ( d 城 ( ) , d 城 ( ， ) = p r. d t c o v ( d 代 (0 , d 城 ( ) ) 二 p e d t ， c o v ( d 代 ( ,) , d w ,( ) ) = p s d t 在无套利的假设条件下有 p . ( t ) = r , 一 s , 硕士学位论文 r 1 a s i f r s i i i e s i s 、 ， (l, s ) 二 。 ， ( ， ) f a j (t , v )d v 在对债券的价格过程加上一些正则条件之后 ( 见 4 ) ，对于零息债券， 我 们有下式成立 d p ( t , t ) = 卜 ( 。 ) + b ( t , t ) 护 ( t , t ) d t + a ( t , t ) p ( t , t ) d w ( 其 中 a (t,t ) = 一 了 q i (t , v ) d v 。 (;，: ) = 一 r 、 ， (， ，v )* 、 喜 。 (， ，: ) ， 一l 令 z ( t,t ) 二 p ( t ,t )/ 刀 (t, t ) ， 其 中 刀 (t, t ) 一 。 j tr,d , 由i t o 定理 d n z ( t , t ) = p ( t , t ) = b(t, t ) - 2 a(t, t ) 1dt二 t,t )d w () p ( o , t ) e - 1 , f n f、一 )二 q , (t , s ) d s p， = _ 口y 由此可得 g ( t , 刀所满足的随机微分方程 d g (t ,t ) 一 卜 * 。 ， 。 ， 况 + y , s , p , (t , t ) + s ,p y 孙+ s , a , d h , + y , v ,s , d w , 其中a ; 是y ( t , t ) 的 飘移 项。 因为 ( t , 刀 在q 下是教， 故 p w u h c s s , + 丫su s ( t , t ) + s , p = 0 从 而 了 ,u , (t, s)d s 一 。 x l 了 a f ( t,s )d s 一 。 sp . r v , (t,s )d s r 了 。 ，(才，)ds ,z+ l f v f(t,s)dsl 告 了 j (犷，)* ,zl f v , (t, s)dsl 一 。 ; : 了 u t (t, s )d s 犷 。 (，: )* 引理在上述假设条件下， 便利收益远期模型中漂移项的无套利约束为 、 (， = 2v f (t, t ) f 6 f (t, s)d s + 6 f (t, t )( p a ， 一 、 f q , (t,s)d s) 一 (t,t )(q 、 : 一 f a , (t, s)d s + 。 : f 。 ， (t, s)d s l 七、远期模型的互换的定价 设互换交易双方为a , b ， 交易时刻为t ; ( i = 1 , 2 n ) o a 支付给b 固定价格 k , b 支 付 给a 浮 动 价 格 即 商 品 的 即 期 价 格凡， 对 于b 这 项 互 换的 价 值 为 : 一 1 e 0., 卜 一 “一 e 0 i s!e-j,ns l 令 v = 0 ，我们有 一 j . 艺p ( t , t , ) 令 g = in s . e -1 ,as1n s 。一了 r , d s h 二 由 i t o i n 况 引 9 , dh , = : 一 b , 一 工 。 2丫zdt一 “ w ,(,) 一 ， 一 工 。 . 2z)dt+ a ,dw , 2!、 - r毛 g d 又 s (s ) = a (s ,s ) = 6 ( 0 ,s ) + r u , ( v , s )d v + f a , ( v , s ) d w v ) 设t s ， 两边求条件期望: e ,- s (, ) = 二 (o ,s ) + f p , (v , s ) d v + 工 a , ( v , s )d w ) 了百1 j 1一2 一 所以e 分 g ( t i ) = 1 n s 一 t) 一 了 a (o ,s ) d s 一 了 f f t, (v , s ) d v d s 一 丁 王 二 : (v , s )d w , d s 由g ( t ) 所服从的随机微分方程得: va r,g (t,) = v a r,( f,8 ,) + c ,v a r,( f d w 一 一 2 co v , (a , f d w ,(一 f 8 ,ds l 而 。 r,( fs ,d s) 一 了， f 。 :( ，)* * ， 、 。 了 、 : (一 = ， 一 ， 。 。 、 d w , ),- f s .,d s) 一 ， ; 1 1 f ,、 、二。 (一 )d sd v 于 是v ar,g (t;卜 了 r f 一 ，5)d s , zf f f a , (v ,s)d sl d v + t一 t - ( p - f i f ia ,(一 )d sd v 显然g ( t ) 服从正态分布，故 硕士学位论文 n 1 a s 1 ii r s 7 7 i l s i s 一 、 reca,)一 g,cg(t“ “ 动 几 川1七 心 凡 尸.1.l q 式 定理 4在远期模型中， 商品 互换的定价公式为 小 e q g ( t, )+ 粤 v . ,g (t, ) l c k=i= i，其中 艺p ( t , t ) e g (t ) + 告 v a rg (t, ) 1-， 十 ds 一 in s 一 三 。 2 ， (， 一 ，) 一 了 6 (0 ,s ) d s 一 了 上 a , ( v , s ) d w (了 工 a , ( v ,s ) d s z d v + 告 (r 一 1) 一 告 。 ，。 、了， 工 ，。 (，)* “ 一 ( .a2o ) 一 ， fa t 一 ，“ 一 ( 二 。 二 一 ， 。 f a ,(一 )ds) 一 二 (一 )。 。 、: 一 f a ,(一 )d u + p ,., f a , (v, u )d u )d vds # 硕士学位论文 na s i e r s i i i l s i s 参考文献 1 . d a r r e l l d u ffle . d y n a m i c a s s e t p r i c i n g t h e o r y m .p r i n c e t o n u n iv e r s i ty p r e s s , p r in c e t o n , n e w j e r s e y 1 9 9 6 . 2 . d a v i d h e a t h , r o b e r t j a r r o w a n d a n d r e w mo rt o n .b o n d p r i c i n g a n d t h e t e r m s t r u c t u r e o f i n t e r e s t r a t e :a n e w me t h o d o l o g y f o r c o n t i n g e n t c l a i m s v a l u a t i o n j .e c o n o m e t r i c a , 1 9 9 2 ,6 0 ( 1 ) :7 7 - 1 0 5 3 . k r i s t i a n mi l t e r s e n a n d e d u a r d o s . s c h w a r t z .p r i c i n g o f o