（概率论与数理统计专业论文）精细大偏差的研究.pdf

摘要 在保险业中，许多重大的风险都是由一些大额索赔造成的作为主要对象 的索赔过程，它们之问不必是相互独立的，如可以是某种负相依关系或者其它 的相依关系；相应地，索赔间隔时间过程也可以不相互独立每个索赔额到来 的时候，对保险公司造成的净损失的分布就是重尾的各种破产概率渐近性的 研究，与极限理论中的大偏差理论就有着密切的关系故此大偏差理论的研究 成为保险公司和广大学者共同关注的重要问题之一 本文通过对大偏差理论的综述。说明经典大偏差理论和精细大偏差理论 研究的差异之处特别是通过对重尾分布和相依随机变量序列条件下，精细大 偏差的主要成果的论述，总结其在不同重尾分布族条件的结果及应用最后通 过引入重度重尾分布和轻度重尾分布的概念，解释精细大偏差理论在次指数 族s 上所遇到的瓶颈即产生根源 关键词：大偏差理论；重尾分布 a b s tr a c t i ni n s u r a n c e ! m a n yg r e a tr i s k sa r ea l w a y sc m x s e db ys o m el a r g e - a m o u n tc l a i m s t h e c l a i m ss i z ep r o c e s sw l f i c hi st h em a i no b j e c t ：i sn o tn e c e s s a r i l ym u t u a l l yi n d e p e n d e n t i tc a nb eak i n do fn e g a t i v e l yd e p e n d e n to ro t h e rd e p e n d e n tp r o c e s s c o r r e s p o n d i n g l y , t h ei n t e r a r r i v a lt i m ep r o c e s si sa l s on o tn e c e s s a r i l yi n d e p e n d e n t t h ed i s t r i b u t i o no f t h en e tl o s sc a u s e db yac l a i mi sh e a r t t a i l e da n da l lk i n d so fr e s e a r c h e so nt h ea s - y m p t o t i c sf o rr u i np r o b a b i l i t i e sa r em u c hr e l a t e dt ol a r g ed e v i a t i o nt h e o r y s ol a r g e d e v i a t i o nt h e o r yh a sc a u s e dw i d ec o n c e r nb ym a n yi n s u r a n c ec o m p a n i e sa n ds c h o l - a r s i nt h i sp a p e r ，w es u m m a r i z e dt h et h e o r yo fl a r g ed e v i a t i o n si no r d e rt om a k e c l e a rt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h r o u g hl a r g ed e v i a t i o n sa n dt h ep r e c i s el a r g ed e v i a t i o n s i np a r t i c u l a r ，w ed i s s e r t a t et h er e s u l to ft h ep r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sb yt h eh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o na n dn ar a n d o mv a r i a b l e ss e q u e n c ea n dc o n d i t i o n s s u m m a r i z e d t h e i rr e s u l t sa n da p p l i c a t i o n sa m o n gt h ed i f f e r e n th e a r t t a i l e dd i s t r i b u t i o n s i n t h ee n d ，i nv i r t u eo ft h ei n t r o d u c t i o no fh e m i l yh e a 一t a i l e dd i s t r i b u t i o na n dt h e l i g h t l yh e a v 3 ；- t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，w ew i l l 百、r ea na n s w e rt ot h er e a s o na n dd i f f i c u l t y i ne x t e n d i n gt h el 缸g ed e v i a t i o nt h e o r yt ot h ec l a _ s ss k e yw o r d s ：l a r g ed e v i a t i o n st h e o r y ：h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n i i 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：耋舀五 签字日期： 尘盐# 厶l 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 忆仫开口保密( 年) 作者签名： 奎蠡坠 导师签名： 签字日期：垫j c 1 签字日期： 第一章引言 金融风险理论是当今精算界研究的热门课题，风险理论作为精算数学的 一部分，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率等问题破产 概率的研究必然需要大偏差理论等基本工具，于是关于大偏差的研究成了金 融保险领域的一个热点它主要应用在研究大索赔额的金融保险问题中，已经 受到了越来越多的数学及金融界工作者的关注大偏差理论的研究起源于2 0 世纪3 0 年代，一直是极限定理领域生机勃勃的分支之一，吸引了众多学者进 行研究大偏差理论对于定量刻画极端事件具有关键的作用，经过众多学者的 研究，形成了一系列富有特色的研究成果 1 1 经典大偏差的简介 最早的大偏差理论是由c r a m 芭r 等人研究建立( 参见h e y d e ( 1 9 6 7 a b ) 【8 】1 9 】) ， 集中在对量一l o g p ( 岛一叩 。) 的刻化，但由于要求分布函数f 是轻尾分 布，而且还要求非负随机变量序列 拖：k 1 ) 相互独立，条件过于苛刻人 们把这方面的研究称为经典的大偏差，这同后面提到的精细大偏差相对应 关于经典大偏差的文献众多，不提及，主要结论可参看h e y d e ( 1 9 6 7 a ，b ) f 8 焖 的介绍 1 2 重尾分布的精细大偏差简介 随着金融保险行业的发展，经过学者的深入研究，主要的研究对象从轻尾 分布变为重尾分布，同时研究的量也从一l o gp ( s 一叩 。) 变为p ( 岛一叩 z ) 因此，越来越多的学者对重尾分布变量随机和的精细大偏差进行研究，主要目 标是为了找到等式 p ( 晶一佗l c 上 z ) 一矗f ( z ) ，n ，o o ， 对于z 一致成立的条件，其中，y 是固定的正数，即 n l 。i m 。z s u 7 p ni ! 羔斧一1 l = 。t l 4 0 。z 1 7 ln ，。( z ) 随着重尾分布族在不同领域发展，慢慢形成了不同的重尾分布子族，于 是对重尾分布变量随机和的精细大偏差研究也得以细化，在不同的重尾分布 第一章引言 子族的条件下推导出不同的结果对于冗一口子族，1 a 2 时的精细大偏 差的结果可参见h e y d e ( 1 9 6 7 a ，b ，1 9 6 8 ) 【8 】1 9 1 f l o 】：对于冗一口子族， 口2 时的精 细大偏差的结果可参见n a g a e v ( 1 9 6 9 a ，d ) c 1 8 】【1 9 1 推广到e r v ( 一口，一卢) 子族的精 细大偏差结果首先是由c l i n e 和h s i n g ( 1 9 9 1 ) 5 给出来的，随后形成了一系列 的结果，主要为k l f i p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 1 2 】首次得到推广到随机和的结 果，s u 等( 2 0 0 1 ) 2 3 和t a n g 等( 2 0 0 1 ) 2 9 】获得了更一般化的随机和的精细大 偏差结果，n g 等( 2 0 0 4 ) 2 0 】更是把随机变量推广到更大的重尾分布子族c 族 上，同时获得了有限和及随机和的精细大偏差概率，在第三章的介绍中将会 逐一说明为了更清晰的了解精细大偏差的结论及应用，可参见a s m u s s e n 和 k l i p p e l b e r g ( 1 9 9 6 ) f 2 】，e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 6 ，m i k o s c h 和n a g a e v ( 1 9 9 8 ) 17 】等文献 1 3 相依随机变量的精细大偏差简介 经典大偏差主要研究独立同分布随机变量 x k ：k l 的前n 项和：重尾 分布的精细大偏差主要研究的是独立同分布非负随机变量 x k ：尼1 ) 的前佗 项和及随机和实际上，事件之间总存在某种相依关系，存在某种因素影响这 些事件，特别是呈现负相依关系比较常见，于是研究负相协大偏差成为个热 点 定义1 1 一般来言，一列随机变量序列【厶：k 之1 ) 被称为负相协( n e g a - t i v e l ya s s o c i a t e d ) 的，若对 1 ，2 ，】i 中任意两个非空不相交的子集a 和b 及 任意两个使得协方差存在的对每个变元均非降的函数，和g ，有 c o v ( f f f i ：i a ) ：g ( b ：j b ) ) 0 成立称实值随机变量族 ：七1 ) 是a 族，如果它的任何有限子族都是 n a 讷 可喜的是l i u ( 2 0 0 8 ) 3 2 1 得到了在c 族上n a 随机变量的部分和及随机和的 精细大偏差关于a 随机变量列的性质可以参贝, a l a m o 和s a x e n a ( 1 9 8 1 ) ，j o a g - d e v 和p r o s c h a a ( 1 9 8 3 ) 1 ，m a t t u l a ( 1 9 9 2 ) 1 6 ，s u ，z h a o 和w a n g ( 1 9 9 7 ) 2 4 ， s h a o ( 2 0 0 0 ) 2 1 ，w a n g ( 2 0 0 6 ) 3 l 】等文献 2 第一章引言 1 4 论文结构 本文第二章是经典大偏差的具体介绍；第三章会详细说明重尾分布的精 细大偏差的主要成果和应用；第四章将对相依随机变量精细大偏差的主要结 论进行论述：第五章为结束语 3 2 1 c r a m 备r 条件 第二章经典大偏差理论 大偏差理论的研究起源于上一世纪3 0 年代，最早的工作是由c r a m d r 开 创的其主要的结果有： 定理2 1 设 拖：k21 ) 为独立同分布随机变量序列，有 e x = 0 ，0 e x 2 = 矿 0 ，有 e 扩闻 工) 的刻化在经典的 经典大偏差理论研究中，学者引入了速率函数这个量函数，( z ) ：r 一【0 ，) 被称速率函数，如果它是下半连续的 5 第二章经典大偏差理论 定义2 1 对任意s 0 ，存在盯 0 ，当i y z l ( z ) 一，则称 函数f ( x ) ：r _ 【0 ，o 。) 在z 处下半连续若，( z ) 在冗中处处下半连续，则称 f ( z ) 是下半连续的 显然，若( x ) 是下半连续的，则对任意实数a ，则集合 o ：，( z ) 口) 是开集 设 足，e 0 ) 为正则的h a u s d o r f f 空间( x ，a ) 上的一组概率测度，称 忍， o ) 在x 上满足速率函数为i ( z ) 的大偏差下界，若对x 的任意开 集h a ，有 粤者e l o g 只( 日) 2 一i n f ( i ( x ) ：z 日) ； 称 足， 0 ) 在x 上满足速率函数为x ( x ) 的大偏差上界，若对x 的任意闭 集g a ，有 l i r a s u pl o g r ( ( g ) 一i n f i ( x ) ：z g ，o 称 只， 0 ) 在x 上满足速率函数为，( z ) 的大偏差原理，若大偏差下界 和大偏差上界同时成立 6 第三章重尾分布的精细大偏差理论 3 1 重尾分布族 定义3 1 称适正随机变量x 及其分布f 是重尾的，若对任意a 0 有 ， e e u x = e 灯d f ( x ) = 。： ( 3 1 1 ) ，0 否则，称随机变量x 及其分布f 是轻尾的 在金融保险业中，研究的主要对象是极端事件，这些重大事件并不经常发 生，可是一旦发生，将带来巨大的损失，导致大额索赔的发生经过众多学者 的研究，重尾分布可以很好的刻画这些大额度索赔的分布在财产保险业中， 重尾分布，特别是次指数分布，已经被越来越多的学者作为个体索赔额的标准 模型重尾分布族的理论在众多领域都有着重要的应用在市场营销管理领 域，普遍存在着一个称为“p a r e t o 现象”的规律，即公司8 0 的利润来自子大 约2 0 的客户这种现象引入金融保险领域，大家一般认定”- a ”原则， 即若占索赔次数百分之二十的索赔额度和达到一个公司总索赔额度的百分之 八十，则认为索赔额度的分布函数是重尾的随着对研究的深入，重尾分布族 得以在不同领域发展，慢慢形成了不同的重尾分布子族主要的几个重尾分布 子族介绍如下； c 族，长尾分布族：对任意的： 0 ，分布函数f l 若 x - - - + 。帮引 f ( z ) d 族，控制变换尾分布族；对任意的1 ： 0 ，分布函数f d 若 ”1 1 2 s 订u p 鬻 0 ，称分布函数f r 一口 若 熙鬻一 e r v ( 一口，一卢) 族，0 q p 1 称分布函数f e r v ( 一口，一p ) 若 z 一口1 罂擎雨t ( z z ) l i m s u p 鬻矿 对上述重尾分布子族，当0 qs7 彦 。，有如下关系； 冗一1ce n v ( - o , ，- 8 ) cccd nccscc ；s 。c5 ；sg2 9 ；dg5 具体证明可参见e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) a ，c l i a es a m o r o d a i t s k y ( 1 9 9 4 ) 4 ，g o l d i e 和i l i i p p e l b e r g ( 1 9 9 8 ) 川等在这些重尾分布子族中，s 族是由c h i s t y a k o v ( 1 9 6 4 ) 3 定义，c 族的概念是由c l i n e 和s a m o r o d n i t s k y ( 1 9 9 4 ) 4 提出的最近几年学者 们又提出了如下几个重尾分布子族： 首先引入几个记号，对随机变量x ，分布函数f ( z ) = p ( x z ) 有 岬+ = ：f 虮o 。 记 脚) = 专z 黝z 族( k o n s t a n t i n i d e se ta 1 ( 2 0 0 2 ) 1 卅) ：对0 弘+ o o ，疋s ，称分布 函数f a 若 t i m i n f 燕北 第三章重尾分布的精细大偏差理论 m 族( t a n g ( 2 0 0 1 ) 2 s ，s u e ta 1 ( 2 0 0 2 ) 2 3 1 ：s ua n dt a n g ( 2 0 0 3 ) 2 4 ) ：对 0 矿 ，称分布函数f m 若 熙蒜一o m 族( t a a g ( 2 0 0 1 ) 2 s ，s ue ta 1 ( 2 0 0 2 ) 2 3 | ，s u a n d t a n g ( 2 0 0 3 ) 2 4 】) ：对 0 矿 ，称分布函数f a r 若 l i z l l 1 s ? u 。斋滟 u t 5 z 。j 在t 时刻保险公司的净收益为 ，( ) u ( t ) = 瓢( t ) 一西= x 七一c t ( 3 2 4 ) k = l 假设保险公司的初始资本为z 0 ，则其破产概率就可以定义为 皿( z ) = p ( s u pu ( t ) z ) ( 3 2 5 ) 这就构成了普通更新风险模型，即最基本最经典的s p a r r e a n d e r s e n 风 险模型，根据索赔问隔时问序列或索赔额度序列的具体化，可以衍生出新的风 险模型当索赔间隔时间序列 圪：k 1 是指数分布时，s p a r r e a n d e r s e n 模型就演化为复合泊松模型( 也称c r a m d r l u n d b e r g 模型) 学者对重尾分布变量前n 项和的精细大偏差进行研究，研究的量主要为 p ( 晶一掣 z ) 主要目标是为了找到等式 p ( 品一n p z ) 一矗f ( z ) ，n 一。， ( 3 2 6 ) 对于z ，y n 一致成立的条件，其中，y 是固定的正数，即 。! i ms u p 等n f ( x 一，| = 0 - ( 3 2 们 )i 、 第三章重尾分布的精细大偏差理论 而对于引入计数过程 ( t ) ，t2o ) 后一般的随机和精细大偏差的研究， 主要目标是为了找到等式 p ( 5 k ( 幻一p 入 ) z ) 一a ( t ) f ( 。) ，n 0 0 ，( 3 2 8 ) 对于x 以( t ) 一致成立的条件，其中7 是固定的正数，a ( t ) = e n ( t ) 即 恕必s u 猕p ，l 墅铲- 1 | = o ( 3 2 驯 最后，对经典大偏差和精细大偏差不同点进行对比： 要求的条件不同 经典的大偏差的研究一般要求独立同分布的随机变量，一般为轻尾分布 随机变量，且还要满足c r a m $ r 条件； 精细的大偏差的研究一般要求独立同分布的随机变量，但要非负重尾的 随机变量，这也是与现实相一致，一般不要求满足c r a m & 条件，而是对不同 的研究代以不同的重尾条件 研究的量不同 经典的大偏差的研究中，主要是对一l o gp ( 又一n p z ) 进行研究，通常 是用一个速率函数z ( x ) 来刻化一l o g p ( & 一叩 z ) ； 精细的大偏差的研究中，研究的量为尸( 又一n p z ) ：目标是找到p ( 岛一 扎p 。) 一a t ( z ) ，n 一或者p ( s ( t ) 一p a ( t ) z ) 一a ( z ) f ( z ) ，n 一在要求 的范围内一致成立的条件 精细程度不同 经典的大偏差研究通过速率函数，( 茹) 来刻化一l o gp ( 兔一， z ) 的结 论往往与随机变量的分布函数f 自身无关，在实际的应用中显得精度不够， 对现代金融保险业的借鉴作用不大； 精细的大偏差的研究给出了在不同的重尾条件下，p ( 兔一叩 z ) 与 矗f ( z ) 的渐近等价关系成立的条件，这有利于保险公司分析赔付办法和破产概 率之间的联系，也是当前金融保险领域的一个热点 3 3 精细大偏差的主要研究成果 随着研究的深入，重尾分布族得以在不同领域发展，慢慢形成了不同的重 尾分布子族经过众多学者的研究，得到了在不同的重尾条件下，p ( 晶一九，p z ) 与矗f ( z ) 的渐近等价关系成立的条件，形成了如下的研究成果： 1 1 第三章重尾分布的精细大偏差理论 命题3 1 若分布函数f 冗一口，口 1 ，则对任意7 0 ，有 ! i a u 已s u p 川l 訾一z f = 0 1 成立 在命题3 1 中，h e y d e ( 1 9 6 7 a ，b ，1 9 6 8 ) 1 s 9 1 0 ) 给出了1 d ! 2 情况下的结 果，n a g a e v ( 1 9 6 9 a ，b ) 1 1 8 1 9 ) 证明了口2 的结果推广到e r v ( 一q ，一口) 子族 的精细大偏差结果首先是由c l i n e 和h s i n g ( 1 9 9 1 ) 【5 】给出来的，见下面命题 3 2 命题3 2 若分布函数f e r v ( 一口，一p ) ，1 q 卢 0 ， 有 。l i r a s u pi 箐n f ( z一，i = 0 钠 一 )i 成立 命题3 2 是对前n 项和的研究，但由于随机和在金融保险中的重要作用， 通过引入一个计数过程 ( t ) ，t o 】，可推广到随机和的精细大偏差研究，第 一个成果即命题3 3 是由k l f i p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 1 2 】首次得到，具有重要 的地位 命题3 3 若独立同分布随机变量序列 托，七1 的分布函数f e r v ( 一盘，一声) ，1 0 有 ( 1 + ) 七p ( ( t ) 忌) = d ( 1 ) ，条件b 七 ( 1 + 占) a ( t ) 成立那么对任意的7 0 和。( t ) ，一致的有 p ( s n ( t ) 一p 入0 ) z ) 一入( ) f ( z ) ，t _ o o ( 3 3 1 ) 即有 。l。im。之s7uap。幻i!皇墅专铲一i=。 ( 3 3 2 ) 这个是结果k l f i p p e l b e r g 和m i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 1 2 】做出的，是随机和精细大偏 差的第一个结果，重要性不言而喻但缺乏对e r r ( 一仅，一p ) 族性质和计数过 第三章重尾分布的精细大偏差理论 程 ( t ) ，t 0 ) 的分析，造成所需条件的过于严格且条件a 显得多余，特别 是条件b 相当于要求存在u 0 ，使得 e e u ( 。，( 3 3 3 ) 这点连基本的更新过程都不满足s u 等( 2 0 0 1 ) 2 3 】在更宽松的条件下，得到 如下的命题： 命题3 4 若独立同分布随机变量序列 甄，k 1 的分布函数f e r v ( 一位，一p ) ，l 0 有 ( ( t ) ) 芦扣p ( ( t ) 后) = o ( ) ，条件c 惫 ( 1 + 6 ) a ( t ) 成立那么对任意的 y 0 ，有 。1 i m s u pl 坐等关娑型一1 1 _ o 熙必驯峦矿一。刨 用来代替原来条件a 和条件b 的条件c ，无论是一般的更新过程，还是延迟更 新过程，平稳更新过程，又或复合更新过程以及其它一些计数过程都能满足， 这样就大大改进了随机和的大偏差的结果详细可参见s u 等( 2 0 0 1 ) 2 捌，t a n g 等 ( 2 0 0 1 ) 2 9 】等文献 n g 等( 2 0 0 4 ) 2 0 1 推导出了c 族上的前项和及随机和的精细大偏差的结 果，具体如下： 命题3 5 ( 1 ) 若独立同分布随机变量序列 ，k l 的分布函数f c ， 则对任意7 0 ，有 。l i r ns u p 掣n f ( z t | = o 们 )l 成立 ( 2 ) 计数过程 ( t ) ，t o ) 与 甄，k l 】独立如果对某个p f 以 及任意的6 0 ，有 ( ( ) ) 口p ( ( t ) 七) = o ( 荆) ， 奄 ( 1 + 6 ) a ( t ) 成立则对任意7 0 ，有 l i r a sup口垒型尘堕一11llnl s：o i l _ = = 一一 = u t t - ；南z 2 ，m f ) i a ( t ) f ( z ) 第三章重尾分布的精细大偏差理论 成立 由于命题3 5 的结论在精细大偏差理论中具有一定的重要性，证明思路在 精细大偏差理论的证明中也具有一定的代表性，特别是命题3 5 ( 2 ) 证明思路和 步骤能够代表精细大偏差理论的经典论证思路，由于在命题3 5 ( 2 ) 证明中需 要命题3 5 ( 1 ) 结论，故我们摘录如下的一个较完整的证明，更详细的参见n g 等( 2 0 0 4 ) 2 0 ： 证明：( i ) 对任意的a i 有 尸( 品一亿p z ) 2尸( 晶一叩 z ， 1 m z ，孔 入z ) 一 p ( s r 竹- n g 。， a z ，五 a z ) k = ll k 妇) 一( 矗f ( 入z ) ) 2 = 矗f ( a z ) p ( 岛一1 一佗芦 ( 1 一a ) z ) 一( t 矗，( 入z ) ) 2 = n - f ( a z ) ( p ( s n 一1 一掣 ( 1 一a ) z ) 一n - f ( a z ) ) ( 3 3 4 ) 由大数定律可得： 1 i r a i 、n f ( p ( s k 一1 一n t ( 1 一a ) z ) = 1 ) ， ( 3 3 5 ) n 茁 1 t i 由f c ，有定义可得 h m l i m i n f 曼g 宰：1 孑j 1 t - 一+ 0 0f ( z ) 利用( 3 3 4 ) ，( 3 3 5 ) 及( 3 3 6 ) 的结果可得： ( 3 3 6 ) i n m 唧i n 翻i n f n 警 ( 1 i m i n f 咖i n f n 等) 唑掣鬻 l h ni n f 功i n f n ( 1 帕捌) 1 骋辫鬻 l i m i n r 鬻 芝l i r a l i m i n r 鬻乩 ( 3 3 7 ) 1 4 第三章重尾分布的精细大偏差理论 有 定义几个量： 最= x k i ( x k e x ) ，爵= 冠，z = z + 眦 k = l 引理3 1 对于f d 和p 7 ，存在正数x o 和b ，对0 。) ：t ( o x ) 阮) + p ( 鼠一叩 z ，凸誉溉口。) n t ( e z ) + 尸( 蟊 z ) 记a = m a x 【一l o g ( n - f ( o z ) ) ，1 ) ，对任意的h 0 p ( & 一n 肛 z ) p ( 1 瑟甄 妇) + p ( 鼠一舭 z ，嚣瓤 n f ( 缸) + p ( 曼 习( 3 3 8 ) 运用不等式p ( x z ) e - = e e x 可得 p ( 鼻 z ) ，e - 疆e 嘎 佗f ( p z ) 一 n f ( o x ) s e 一 z + 。( z 缸c e h t - - 1 ，d f c t ，+ ) n 唧 ( 3 3 9 ) 对( 3 3 8 ) 和( 3 3 9 ) 运用不等式e u l 乱e u 和引理3 1 可得 l i m s u ps u p p ( & - n u z ) n 一z n f ( o x ) + h n m s u p s u ”p 气辩= l ( 3 3 。) 由f c ，0 1 n7 l ，lj 1 5 第三章重尾分布的精细大偏差理论 s 糖舞器等群 1( 3 3 1 1 ) 结合( 3 3 7 ) 和( 3 3 1 1 ) 命题3 5 ( 1 ) 成立 命题3 5 ( 2 ) 的证明思路更是具有一定的代表性，过程如下： 取0 z ) p ( o ) = 佗) n = l = + + n ( 1 6 ) a ( t )( 1 一占) ( t ) z ) p ( ( 1 6 ) a ( ) ia ( ) ( z )j 对于甄，由t a n g 等( 2 0 0 1 ) 2 0 1 中的l e m m a 3 2 即： p ( 晶 z ) n f ( 考) + 了e # n 尸 可得 拖 p ( s n 。) p ( ( t ) 一n ) 竹 ( 1 + 0 a ( t ) ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 4 ) 第三章重尾分布的精细大偏差理论 叫( 圃”等咖眦同， t ( x ) e n ( t ) i ( n ( 1 + 6 ) 入( ) ) + x - p e n p ( t ) i ( n ( 1 + 石) a ( t ) ) = o ( - f ( x ) e n p ( t ) i ( n ( 1 + 6 ) a ( ) ) ) + x - p e n p ( t ) i ( n ( 1 + 6 ) a ( f ) ) = d ( 入( t ) f ( z ) )( 3 3 1 5 ) 综合( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) ( 3 3 1 5 ) 可得，命题3 5 ( 2 ) 得证 由于重尾分布子族具，当0 z ) n f ( 詈) + ( 曼笋妒就可弥补这一点，得到命题3 4 这个更好的结果随着研究发展，特别是对重尾分布族性质的研究，苏淳，胡 治水，唐启鹤( 2 0 0 3 ) f 3 3 】提出了重度重尾和轻度重尾的概念 3 4 关于轻度重尾分布和重度重尾分布的区分 在对独立同分布随机变量序列的研究中过程，例如在大数律中，只要求具 有低于2 阶的矩：在中心极限定理和重对数律中，一般只要求存在2 阶矩，在 考虑中心极限定理的收敛速度时，也只要求具有( 2 + 占) 阶矩( 0 0 ，1 t 0 b e n k t a n d e r1 型分布； f ( z ) = ( 1 + 2 口3l n x ) e 耐一胁2 ( 。) 一( 1 + q ) l n ( z ) ) ，q ，胁o b e n k t a n d e r2 型分布： f ( z ) = x - ( 1 一口) e 印 罢( 1 一。口) ) ， a 0 ，l 多 0 这就存在了重尾分布族中的分水岭，目前精细大偏差的绝大部分研都是 在重度重尾分布族内研究的，轻度重尾分布的精细大偏差研究较少关于更具 体的重度重尾分布和轻度重尾分布的性质和判别方法可参见苏淳，胡治水， 唐启鹤( 2 0 0 3 ) 3 3 1 8 第四章相依随机变量的精细大偏差的研究 在精细大偏差的研究主要考虑的是独立同分布的非负随机变量序列，可 是在实际情况中，往往会加一些限制的条件，这就要求这些随机变量序列整 体上表现出一定得固定性质，这样随机变量之间就会有一定得相依的关系 所以，为了进一步在c 族及刃族上研究随机变量部分和及随机和的精细大偏 差，就需要引入前面提到的负相协概念这章主要阐述n a 随机变量序列在c 族及口族上的精细大偏差的结论，并介绍在n d 及e n d 随机变量列下的最新 结果 4 1 在c 族上n a 随机变量序列的精细大偏差 关于c 族上的n a 随机变量序列大偏差较早的一个结论是n g 等( 2 0 0 4 ) 2 0 】 上给出的，即命题4 1 ， 命题4 1 非负独立同分布随机变量序列虬：k 1 ，有e x = 弘 0 和z 7 a ( f ) ，一致的有 p篷xklk-x)一qa(t)一f(x)一00k=1 似， pl 一 一，t 一( 4 1 1 ) | 成立 这虽不是直接的对非负同分布的n a 随机变量的随机和的结论，但还是 有一定的参考意义l i u ( 2 0 0 8 ) 3 2 1 得到在c 族上n a 随机变量序列的精细大偏 差结果，即命题4 2 ， 命题4 2 ( 1 ) 若非负独立同分布n a 随机变量序列 x b ，七l ，的分布函 数f c ，期望肛 0 ，有 。l i m s u pi 箐一，| = o 明 几fi oj 成立 ( 2 ) 更进一步，若非负整值计数过程 ( ) ，t20 ) 与 x k j 詹1 独立 如果对某个卢 竹以及任意的5 0 ，有 ( ( t ) ) p p ( ( ) 惫) = ( ) ( a ( t ) ) ， 第四章相依随机变量的精细大偏差的e t a , 成立则对任意，y o , x ”( t ) ，一致的有 v ) p ( 一从( z ) 。) 一f ( z ) ，t 一0 0 k = l 成立 4 2 在矽族上n a 随机变量序列的精细大偏差 首先引入几个结论和记号： ( 1 ) 对于分布函数f 和u 1 ，记瓦( u ) = l i m 势f 掰，三f = l u i i n l l 瓦( 让) ，k a r a - m a t a 指数竹= i n f 一皆： t 1 ) ，则有 f e 冷l f = 1 f d 营只( 牡) ，v u 1 营三f 0 i f 2 七之i c e a ( x ：j s i s t l ，f 七) ，d 盯( x k ) p ( d ) 0 ， 则有，0 妒( 1 ) 1 且当随机序列 x k ：七21 ) 独立时，妒( 1 ) = 0 关于d 族上n a 随机变量序列的前n 项和及随机和精的细大偏差的结 果，w a n g 等( 2 0 0 6 ) 3 1 】做出了下面的结果： 命题4 2 ( i ) 若非负独立同分布n a 随机变量序列 趣，露1 ) 的分布函 数f 口，期望p 0 ，可以有 成立 并且还有 l t i m inf翻inftri00 n 等f 挈 霉 1 n几f z l 1 i n m s u p 。s u l p n ! 群- 三；1 n _ o 1 n 佗 i zj m a x ( 1 一妒( 1 ) ) f ，瓦( 1 + p 7 1 ) ， z ) 一 n 一z _ t n n f ( x ) 1 翟p 器塑蒜7 , 产筠1九- z 1 n ft zj 2 0 第四章相依随机变量的精细大偏差的研究 成立 ( 2 ) 更进一步，若非负整值计数过程 ( ) ，t 0 与 妊，k 1 ) 独立 如果对某个p t f 以及任意的占 0 ，有 l z 1 ，x n t , n ) 1 - 1 p ( x k z k ) ； ( 4 3 2 ) k = t ( 3 ) 被称为n d ，若是l n d 且又是u n d 的，即( 4 3 1 ) ，( 4 3 2 ) 两式对每个 n = 1 ，2 ，和所有的z 1 ，z n 成立 值得一提的是，当1 7 , = 2 是，l n d ，u n d 及n d 是等价的，这点可以参见 l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 1 同是也要注意定义中并没有要求随机变量序列 x k ：k 1 ) 2 】 第四章相依随机变量的精细大偏差的研究 是相互独立的，而且存在著名的f a r l i e - g u m b e l - m o r g e n s t e r n 分布是n d 且不 独立的，+ 可以参见k o t ze t 豇( 2 0 0 0 ) 2 7 】。把n d 的概念延伸，可以得到e n d 的 概念如下： 定义4 2 随机变量序列 托：k 1 ) 称为e n d 的，若存在 f 0 使得对