（概率论与数理统计专业论文）平均采样理论与分段线性谱序列.pdf

t h e s a m p l i n g t h e o r e m i s o n e o f t h e m o s t p o w e r f u l r e s u l t s i n s i g n a l a n a l y s i s . i t s t a t e s th a t a s i g n a l ( f u n c t i o n ) i s u n iq u e l y d e t e r m i n e d勿 i t s s a m p l e d v a l u e s a t s o m e d i s c r e t e p o i n t s . i n a p p l i c a t i o n , f o r p h y s i c a l re a s o n s , e . g . , t h e i n e rt i a o f t h e m e a s u r e - m e n t a p p a r a t u s , o n l y a n a v e r a g e c a n b e m e a s u r e d . w e c a n p r o v e t h a t t h e s i g n a l c a n b e re c o n s t r u c te d fr o m l o c a l a v e r a g e s w h e n s a m p l i n g p o i n t s a n d a v e r a g i n g f u n c t i o n s s a t i s - fi e s c e r t a i n c o n d i ti o n s . i n p r a c t i s e , t h e p r e c i s e n a t u re o f a v e r a g i n g f u n c t i o n s i s u s u a l l y u n k n o w n . t h a t i s , w e k n o w o n l y t h e o u t p u t ( f , u k ) , n o t t h e a v e r a g i n g f u n c ti o n u k i t - s e l f . t h i s i s a m a i n re s t r i c t i o n in t h e a p p li c a ti o n o f a v e r a g e s a m p li n g . w e s t u d y th e e s ti m a ti o n o f a v e r a g i n g f u n c t i o n s b y t e s t s i g n a l s i n c h a p t e r o n e o f t h e p a p e r . i n c h a p - t e r o n e s e c t i o n o n e ,w e c o n s t r u c t s i g n a l s fr o m l o c a l a v e r a g e s . i n s e c t i o n t w o , w e fi r s t s t u d y th e e s ti m a ti o n o f a v e r a g i n g f u n c ti o n s i n t h e fr e q u e n c y d o m a i n . u n d e r t h e c a s e o f u n i f o r m a v e r a g e s a m p li n g a n d n o n u n i f o r m a v e r a g e s a m p l i n g , we g e t t h e e x p l i c i t f o r m u l a e . s e c o n d l y , w e s t u d y t h e e s ti m a ti o n o f a v e r a g i n g f u n c ti o n s i n t i m e d o m a i n , e x p li c i t f o r m u l a e a re g i v e n . t h e c la s s ic a l f o u r ie r f u n c ti o n s f e l l : 。 e z is a n o rt h o n o r m a l b a s is f o r t h e s p a c e l z 卜 t / 2 , t / 2 1 . t h i s b a s i s p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n a re a s o f s i g n a l a n a l y - s i s . h o w e v e r , w e k n o w t h e f o u r i e r b a s i s f u n c ti o n s h a v e c o n s t a n t f r e q u e n c i e s , t h i s i s a s e r i o u s li m i t a t i o n i n t h e a p p li c a ti o n . i n 2 0 0 6 , t h e c o n c e p t o f s p e c t r a l s e q u e n c e s w a s i n - t r o d u c e d b y l i u a n d x u . t h e y a re a c l a s s o f o r t h o n o r m a l e x p o n e n ti a l b as i s w h i c h h a v e n o n - c o n s t a n t fr e q u e n c i e s . i n c h a p t e r 2 , w e c o n ti n u e s t u d y t h e p i e c e w i s e l i n e a r s p e c t r a l s e q u e n c e s f o r t h e s p a c e l 0 , 1 . i n s e c t i o n l , w e c h a r a c t e r i z e p i e c e w i s e li n e a r s p e c t r a l se q u e n c e w ith t h e k n o t 0 54 盖 i n s e c tio n 2 ,w e e x te n d th e c o n c e p t o f s p e c t ra l se q u e n c e t o s p e c t r a l fr a m e . t w o e x p l i c i t s p e c t r a l fr a m e s a re g i v e n . a t l as t w e c h a r a c t e r i z e t h e p i e c e w i s e l i n e a r s p e c t r a l f r a m e w i t h t h e k n o t a t 0 . t h e c h a p t e r 1 h a s b e e n p u b li s h e d i n ( i e e e s i g n a l p r o c e s s ing l e t t e r s ) , v o l 1 4 , n o 4 , p p 2 4 4 - 2 4 6 . k e y w o r d s s a m p l i n g t h e o r e m s , a v e r a g i n g f u n c t i o n s , a v e r a g e s a m p li n g , o rt h o n o r - ab s t r a c t m a l e x p o n e n ti a l b a s e s , s p e c t r a l s e q u e n c e s , s p e c t r a l fr a m e . i i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内 容:按照学校要求提交学位论文的印 刷本和电子版 本;学 校有权保存学位论文的印 刷本和电 子版， 并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文: 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印件和电 子版; 在不以赢利为目 的的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 向 花 -2 年 r月a 3日 经指导教师同意，本学位论文属于保密 ，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 剑a 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部j 年 秘密女id 年 机密去2 0 年 (f j 争u1 , 介f ) ( 最长1 0 年，可少于10 年) ( 最长2 0 年、可少于2 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的 学位论文，是本人在导师指导下， 进行研究工作 所取得的成果。 除文中已 经注明引用的内容外， 本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容 。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文 中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : a 2 ,7年歹月弓 日 第一章 引言 第一章引言 经 典 的f o u ri e r 函 数 集f e 2,rin t/t : 。 e z 是l 2 卜 t / 2 , t / 2 的 标 准 正 交 基， 这 组基在很多领域中起着重要的作用 著名的s h a n n o n 采样定理就是这组标准正交 基很重要的一个应用. 采样定理是信号分析中最强有力的基本结果之一， 它指出 若 信 号f ( ) 满 足 某 些 条 件， 则由 函 数 在 离 散 点 x k : k e 7g 的 采 样 值 f (x k ) : k e z ) 唯 一 决 定例 如， 任 意f e b n := i f : f e l ( r ) 且s u p p f c - q , q , 可由公式 f (x ， 一 沙ka )s 1 s i n ( s 1 二 一 k i r ) 0 x一k a 重构， 这就是著名的s h a n n o n 采样定理. 由 于受 侧量仪 器的精 度等 物理因 素的 影响， 要得到 信号f ( x ) 在 某点x 处的 精 确值是 很难的 . 实际 测量 得到的 一 般是了 在点二 附 近的 平 均值 . 具体的 说， l x k k z 是 采 样 点 列 ， 则 采 样 值 将 是f (x ) 在二 。 附 近 的 平 均 值( f , u k ) ， 其 中 u k 称 为 平均函数， 它满足下列条件: su pp 、 二 1-k 一 z , x k + 2, 、 : 。， 且 j uk(x )dx 一 1. 很 明 显 ， 如 果b 足 够 小 ， 则 平 均 值f , u k ) 是 原 信 号f (x k ) 的 一 个 较 好 的 近 似 值. w i l e y 2 5 , b u t z e r 和l e i 2 等 人研究了由 局部平 均值代 替采 样值所引 起的 误 差. 更进一 步， g r o c h e n i g 1 0 证明 了 如果 x k+ ， 一 。 、 ; _ 0 ， 且f u ( x ) d x = 1 . b o 称为有限带宽函数空间. 饰 =不 义 c k w n 一 k ) : c k e l 2 称为样条子空间， 其中 k ez v n=x 0 ,1 * ”*x 0 ,1 ( n 十 1 项) . 砂( 哟= ec k 武一 的: c k e 1 2 称为 平移不 变子空 间， 其中0 e 护( r ) . 可分h i l h e rt 空间7 中的 一 列向 量 o k : k e z 称为 一 个框架， 如果存 在正 常数a , b使得 a iif ji2 0 ， 使 得su p p u k 风一 b / 2 ， 二 。 + b / 2 , p 是l 2 (1r ) 到b n 上 的 正 交 投 影 算 子， 由 文 章1 , 1 0 , 1 9 , 2 0 , 2 7 1 ， 我 们 知 道 在 一 定 条 件 下 ， p u k : k e z 是b a 的 框 架 . 令 凡: k z 是 p u k : k e z 的 对 偶 框 架 ， 则 我 们 有 f ( x ) = e( f r u k ) s k ( x ) , d f 。 b a . ( 2 .2 ) 对于不 规则 平均采 样， 即 二 * : k z 和 。 * : k z 都是 不规则 序列， 我 们有 第二章 平均采样中的平均函数 命 题 2 .1 ( 1 9 ， 定 理 2 .3 ) 设 x k : k z 是 一 个 单 增 实 数 ，j ,i r 。概 lx k l - + co并 且存 在常 数。 q 二 加， 使得 0 x k + l 一x k 口 ，城 z 则当。 b 二 / 。 一 q时 ， 上面 结 论不成立 . 命 题2 .2 ( 1 9 ， 定 理2 .5 ) 设 二 。 : k 2 ; 是 一 个 实 数 列 ， 存 在 常 数。 。 ， 。 笋k 并 且 l x k 一: k a / ( 2 l l+ 0 0 , 设 u k (x ) : k e 2 是 一 列 平 均 函 数 ， s u p p u k c x k - b / 2 ， 二 * + ,5 / 2 1 . 则 当 3 u k ) s k (x ) , 上式 在l 2 ( r ) 中 收效 并在r上 一致收 效 详细内 容 参 考【 1 9 . 对于等 距平 均采样， 即 x k =k e i r / 5 2 , 0 。 1 , k e z ， 我们 有 命题2 . 3 ( 2 0 ， 定理2 3 ) 设x k =k c r / s 2 , 0 1 , ke z , 二 。 ( 二 ) : k z 是 一 列 平 均 函 数 ， s u p p u k c x 一 a / 2 , x k + a / 2 , u k (二 + x k ) 是0 , 5 / 2 上 的 不 减 偶 函数 令 _， _ 、 _ 2 7r i6 n /2 x ( 1 一 3 x 2 ) s in a x 一2 刀( o i l ) = 1一- ies目 es es 气 : ee es es 二 二 es es d x+ 二 二 in o a t j o 7 r x( 1一x 0 ) o a t b 0 ( , r 2 一 6 2 n 2 / 4 ) 2 1 r 2 s i n ( 6 0 / 2 ) 第二章 平均采样中的平均函数 若0 8 1 .8 8 3 0 4 5 3 x / 52 ， 则 存 在凡 中 以。 / 5 2 ( 1 + d (b 52 ) ) 2 和二 。 / 52 ( 1 - d ， q ) )2 为界的 框架 凡: k e z ， 使对 任何了 e b n f ( x ) = 艺(f , u k ) s k (x ) , 上式 在l 2 ( r ) 中 收 数并 在r 上一 致收故 当 =1 时 ， 凡: k e z 是b n 的r i e s z 基 详细内 容 参考【 1 9 , 2 0 1 . 对 于 一 致 平 均 采 样 ， 即 u k (x ) = 可 : 一 x k ) : k 任 z 是 一 个 平 均函 数 的 平 移 ， 我们有 命 题2 .4 设 e ix : kez 是护 卜 。 ， 剑中 以a , b为 界的 框架 ， 其 对 偶 框 架 为 八 (。 ) : w k e凡 ， * e z . 设u , ( x ) =x - r / 2 ,r /2 1( 二 ) / r , 文 (。 ) = 2 7 r入 回x - n ,0 3 回凡间. 则 当 。 r u k ) sin (n x - n a ) * : r . 所 以 u k (w + 2 m i2) f (m ) 一 、 (。 ) 一 e7r ( ， ( w r5 ( f (- t 一 )。 一 ，、 。 一n x 【一 。 ，。 (。 ) 8 第二章 平均采样中的平均函数 我们得到 *。 ， 一 不1 石而 f i (f(naf (w - 2m g ) _ _, s2 q 一 )一、 一 )一 一 w e 俘 m n 一11 , 2 m s 2 + s 2 , m z 口 2 .2 . 2 时间域里的平均函数 这节中 ， 我们估 计时间 域里的 平均函 数 . 我们 设u k 的 紧支 集在x k 的 小 邻域 卜 。 一。 ， 二 * + o 里， 其中0 0 是常数 . 定理2 . ， 设 x k : k e z 和 2 6 k : k e z 分 别是采 样点 列和 平均函 数列 . 设 f ( 二 ) e l z ( ll 2 ) 且ax ) 3a 0 ， 二 e x ; 一a ， 二 * + v 记人 ( 二 ) - f ( x ) e i n a x / o . 则 我们 有 u k(x) 一12o f (x ) 又(f n , u k ) e i n n x / ， 二 : x * 一 。 , x k + o . (2 .7 ) 证明 . 因 为s u p p u k c x * 一 。 , x k 十 o ， 我 们有 f ( 二 ) u k ( x ) l 2 x 一 0 1, 二 +0 ,1 - 注意 到 , - in = / : 。 任 2 是l 2 x * 一 a , x k + 司的 正交 基. 我们 有 、 (二 )， ( ) 一 t f _ (u kf0, -，一 )一 一i;- y (f n , u k)e- in / , 几 z a .e . 二 e x * 一 o , x k + o . 。 * ( 二 ) 一二 1 z q ! h l艺 ( f n , u k ) e i n n x / o , x . 二 任 卜 。 一 。 , x k + 司 . 第三章 分段线性谱序列和谱框架 第三章分段线性谱序列和谱框架 这 章 中 我 们 研 究 非 常 数 频 率 的 标 准 正 交 基 e 2n ig . (t) n e z ， 并 讨 论 谱 框 架 的 性 质. 首先给出一些基本定义. 设 9 n (t ) . e : 是 定 义 在0 , 1 上的 实 值 函 数 列 ， 若 e 2 n 4 n (t ) n 。是l 2 o , 1 的 标 准 正 交 基， 则 称 9 n (t ) n e z 是0 , 1 1 上 的 谱 序 列 详 细 内 容 参 考 1 4 1 . 若 fe 2x ig. (t) n e z 是l 2 o , 1 的 框 架 ， 则 称 9 n ( t) n e z 是0 ,1 上 的 谱 框 架 . 对 任 意 实 值函 数g ( t ) ， 若 9.(t).“是1 0 , 1 1 上 的 谱 序 列 ， 则 有 ei (f , e 2 t9n (t) ) 12 = llf ll2 , d f l 2 o , 1 . 我们得到 艺i ( f , e 2 ,ri (9 . (t)- 9 (t) ) 12 二艺i ( f e 2 rrig (t) 声 2 . i. (,) 12 = ilf e 2 a ig (.) 112 =ilf ll2 , o f e l 2 o , 1 , 即 9.(t ) 一 9 (t ) ) n e z 是0 , 1 的 谱 序 列 . 若 9 n ( t ) 一 9 ( t ) ) n e : 是0 , 1 的 谱 序 列 ， 则 有 艺i (f , e 2n i(g n (t) 一 ，9 (t) ) 12 = ilf ll2 d f l 2 0 , 1 . 我们得到 艺i( f , e 2 n i, i ) i， 一又i (f e 2 a i9 (t) ， e 2 m (9n (t)- 9 (t) 12 件 ez = ilf e 2 n ig (.) 112 =iif ii2 d f l 2 o , l , 即 9 n ( t ) n e z 是0 1 上 的 谱 序 列 . 因 此 ， 对 任 意 实 值函 数9 ( t ) . 9.(t ) 一 9 。 ) n e z 是 0 , 1 的 谱序列 当且 仅当 9 n ( t ) n e z 是0 , 1 的 谱 序列， 同 理 我们知 上述事 实 对 谱框 架也成 立. 所以 我们设9 0 ( t ) = 0 . 3 . 1 谱序列的特征 我们首先来看两个具体的谱序列. 1 0 第三章 分段线性谱序列和谱框架 工1(3 12.工 旧曰一比 2 n t + b n , t o , 蚤 ) ， 2 n t + d n , t 【盖 ， 1 .和 ” 一 “ ， 一 2 n t +纵，t e 2 n t + d o + 告 ， t : 其 中b n , 心e 1y ， 则 由(3 . 1 ) 给 出 的 9 n ( t ) ) n e z 是0 , 1 上 的 谱 序 列 . 例2 : 设 92. (t， 一 + ，和 、 i(t， 一 ( 2 n + c ) t + b n , ( 2 n + c ) t + b n + 等， ( 3 . 2 ) 其中 , b . e r , c e 12 是 常 数 . 则由 ( 3 .2 ) 给 出 的 9 n (t ) i n e z 是0 , 1 上 的 谱 序 列 对 于 一 个 节 点 b =盖 的 情 况 ， 我 们 有 以 下 结 论 : 命 题3 . 1 ( 1 4 ， 定 理3 .2 ) 设9 n ( t ) = 9 n ( t ) : 。 e z . a 1 9 n ( t ) : 。 e z 是 o , 。 c z ， 其 中 忿任 t任 上的 语序列当 介任 2令g= g= u n ( t ) , v n ( t ) : jj、tllj 46n (t) 一 2nt2n t幸 bn,dn, t e 0 , 盖 ) t 【告 ， 1 和 4 1n(t， 一 ( 2 n + c ) t + b n , (2 n + c ) t + d ;, + 盖 ， 且b n , d . , b in , d dn , c 满 足下列 条件 之二 ( i) ( b . 一 6 u ) 一 ( d o 一 d n ) e z + 盖 ， 。 = 0 ( i i ) b . 一 d o e z , b n 一 d o z + ( c 一1 ) / 2 , c e fl f 2 z . 0 , 盖 ) 1 . 几 任 z , 9 o ( t ) = 上的语序列当且仅当 n以pj 命 题 ， 【，定 理 ， ， 设 、 () 一 0 , a l =0 令g= 9 . ( t ) : 。 z . 则 9 - ( t ) g = u n ( t ) , v . 。 ) : n e z ， 其中 二 (， 一 2nt + bn,cnt + d.,“ vn(t) 一 2nt + bn,cnt + dn, 1-211 泊n峥 c任 子卜.宁七 且b n , c n , d n , b in , d o 满 足 c , . : 。 2 =2 z ， 当。 54。时 ， c n 0 c n n ， 且( b 一 d o ) 一 (b 。 一 d . ) 。 z + 盖 . 现 在 我 们 给 出 当0 e ( 0 , 1 ) 且 分 段 线 性 函 数 列 9 n ( t ) n “是 连 续 函 数 列 时 ， 9 a ( t ) n e z 的具体形式. 1 1 第三章 分段线性谱序列和谱框架 _呷(1a1一。 4.2)“ 续 函 数 列 9-(t)一 默哪:朴- 0 , 足0 , 1 1 上的 语序列， 其中a n , b . , c n , d o r , o ( 0 , 1 ) . 令g= 9 . ( t ) : 。 z , 则g= n t + b n , t e 0 , 1 , 。 e z . 接下来我们考虑最一般的分段线性谱序列 a n t + b n , c n t + d n , , 9 0 =0 , 其中, b n , c n , d o r , o ( 0 , 1 ) , 0 务 先看 a n = 的情况 定 理 3. 设 二 () 一 a n t + b . , a n t + d n , 是0 , 1 的 语序列 ， 其中 0 0 1 , 0 #丢 ， 9 0 ( t ) = 0 ， 则 必 有f e 2x - t n e z 分 别 是l 2 0 , b 和l 2 b , 1 里的 p a r s e v a l 框架 ， 当。 尹二时， 尹a m ， 且当。 笋。 时 ， ， 纵 ， 心满足下 列条 件之 e z 0 , a n o z 0 , a n e z 0 , 心一酥e z , a n ( 2 9 一 1 ) z 0 , a n o + d o 一b n z + 伺间回 证明 先 证l e 2 n u y ,t n e z 分别是l 2 0 , 0 和l 2 b , 1 里的p a r s e v a l 框架 . 由 e 2 t - ( t ) n e z 是 标准正 交基 知 艺i ( h , e 2 -9n ( ) ) i2 =ilh ll2 ”。 l 2 0 , (3 .3 ) 件 2 对 任 意 了 。 l 20, 0, “ h(t) = 黔: 履 匿 年则 h (t) : l 20,1 把 、 ， “ 入( 3 .3 ) 式 ， 我 们 得 到 对 任 意f l 2 0 , 0 , 艺i (f , e2,-t)12=盯 112 . 所以 我 们 得 到 ne z i e 2 - t n “是l 2 0 , 0 里的p a r s e v a l 框架 . 同 理可 得 e 2 a f o n t n e z 是l 2 b , 1 里的 p a r s e v a l 框架. 在 证。 54 二时 ， a 34 a m - 当。 34 ，时 ， (e 2 a og n (t) ， e 2 m g ,(t) ) = 0 ， 即 厂 e- (an一 )t+ 一 )dt + j e2*t(0ne 一 )t+( 一 )l dt 一 。 第三章 分段线性谱序列和谱框架 若= a , ， 有。 2 7ri (6 - 6.a 矽 + e 27ri( 一 ) ( 1 一 的= 0 . 平 移 后 两 边 取 模 得 (1 一 叩 = 尹 ， 9 = 蚤 ， 矛 盾， 所 以t a . . 当。 t o 时 ， a n t 。 ， 由( e 2 * tg (t) ， 1 ) = 。 得 e 2 a ia e 一 1 = e l m ( 一 + a ) (e 2n ia (e - 1 ) 一 1 ) . ( 3 .4 ) 所以 le 2 a ia e 一 1 1 =l e 2x ia (9 - 1) 一 1 1, 得 c o s 2 7 r a9 =c o s 2 7 r a , ( b 一1 ) , 即 e z或 ( 2 9 一 1 ) z . 分情况讨论: ( i ) 当a n z时， 由( 3 . 4 ) 知 e 2 x i a e =1或 e 2 m i( d - b , ) e =1 ，即 b e z 或 人一 纵e z . ( i i ) 当a( 2 0 一 1 ) e z 时， 由( 3 .4 ) 知 e 2 a ia 9 一 1 =一 。 2* i (d .- b .+ a .- an e) (e 2a ia e 一 1 ) , 则、 b e z 或e 2 a i(d a - “ 一 “ e ) = - 1 ， 即、 b e z 或人一 纵+ 一 0 。 z + 盖 ， 得、 b e z 或a . 0 + d o 一 b n 任 z + 盖 综上可知 ( ) z 0 , a n 0 e z 0 , ( “ ) e z 0 , 心一 纵 z , (i ii ) a , ( 2 0 一 1 ) e z 0 ,a n 0 + d n 一 b n e z + 孟 .o 现在考 虑a n , c n r的 情况 . 定 理 3， 设 * (t) 一 a n t +b n , c n t + d n , 0 , 0 ) t 0 , 1 是 0 , 1 的 语序 列， 其中 0 0 l2 一 ， (191 lf (t)12dt+ ( 一 “)f if (t)一 “ ) 所 以 2 m i n b , 1 一 b 艺l (f , e 2 9 ,.0 1) 12 2 m a x b , 1 一 b . 当0 = 2 时 ， 有e i( f , e 2 b (t) ) l2 = llf ll2 ， 得 e 2n :b (t ) . e z 是l 2 0 , 1 中 的 标 旅住 2 准正交基. 第三章 分段线性谱序列和谱框架 当8 0 盖 时 ， 若 有 ， 一“ ，)一 2 ( 0 厂 .， () 一 * + (1 - 。 ) in1 i f (t)i zd t) 一 ， iif ii2, 取f (t ) = x 0 ,e, 得a =0 ， 取f (t ) =x 0 ,1 ， 得a =1 一 0 ， 则0 =盖 ， 矛 盾 ， 所 以 l e 2 m i g n ( t ) - e z 不 是紧 框架.11 定理 3 . 7设 、，.声.j 口，工 、 (。)一 晋 亡 + ， 1= e t -i- a n + ( 1- 2 0 )- 忿 c 0 , t 任b , (n + c tg+ b n , 9 2n+ 1 (l， 一 飞 1 b t + + n (i- 笋 + 1 2(11 0 ) 云 任0 1 0 ) t 1 0 , 1 则 e 2n sg n (t) n e : 是l 2 0 , 1 的 框 架 ， 框 架 界 为 a = 2 m in 0 , 1 - 0 , b = 2 m a x b , 1 - b . 并 且 当 0 = 盖 时 ， f e 2 x sg n (t) n e z 是l 2 0 , 1 中 的 标 准 正 交 基 ， 当 0 盖 时 ， l e 2 n ig n (t) n e z 不 是l 2 o , 1 中 的紧 框架 . 证明. 方法同上. 现在我 们给出 分段 线性函 数 g n ( t ) n e z 是l 2 0 , 1 的 谱框 架的 必要 条件 定 理 设 、 (， 一 a n t +b n , t e 0 , 0 ) , c , t +心，t 0 , 1 1 .是l 2 0 , 1 中 以a , b为 界的 框 架 ， a b , 则 e 2 w ia e - e z 和 e 2 x i- t1j n e : 分 别 是l 2 o , o 和l 2 b , 1 中 以 a . b 为 界的框架， 且 ! _ . o r e _ 、 _ 、 1_ _ 、 .r ， 一 。 ，_ . j 、 _ b 一 a 二 _ “ r e a l ， if ( t ) e 2 n ( u s + t ) d t 1 h ( t e 2 ( + a ) d t 】 竺 止 二 上 z l l f ii d f e l 2 f o . 1 1 介艺 jn 了_几、 产1 一2”沙一 一 ， 一 ， i n e z. ，1一 证明 . 因为 e 2 a i g ( t ) ) n e z 是l 2 o , l 中以a . b 为界的 框架， 所以 allf ii2a 艺i( f ， e 2 x g n (t) i2 bll 2 b ffb。 l 2 o , l . ( 3 .6 ) 对 任 意 ” e l 2 o, 8，令 f (t， 一 h ( t ) , o , o , t b , b ) . 。 一_ 、_ 。 ， _ .二 _、， . 、 、 1 ， 则 j t ) 石 lu ， i j. 记 t (t ) 代 n ( 3 . 6 ) 式得 ah 饰，。 e (h , e 2 0 0) c , fo ,。 2 bh i 2 o ,e l+1”。 l 2 o , b . 第三章 分段线性谱序列和谱框架 所以 e 2 , . . a t n “是l 2 0 , 8 中 以a , b为界 的框 架， 同 理 得 e 2 i- t f . e z 是l 2 0 , 1 1 中以a, b为界的框架 由( 3 .6 ) 式有 a ll f 112 e i f b f (t),2 1i(ant+ 1-)dt12 + e i f 1 f (t)e 2ni(cnt+d )dti2nez nez b 篡 f f (t)e 21ri(a t+bnnez叮f (t)e2ni(cnt+dn)dt + 轰b_f f (t)e2ni(ant+6nez u叮f (t)e-2,i(cnt+d )dt 0 是 常 数， 则由 定 理2 . 8 知 wk (w ) 一 缸偏买 7! 7l7f - ,)e 2m i2t-e 4iki e i - /f2, 其 中f 。 s n 满 足 当。 - 0 , n 时 ， f (- ) 34 0 . 同样， 由定理 2 .9 知， - k (x ) = 7 共六 口 八工)e( f n , u k ) e i n n x /n ， 二 。 x k 一 。 、 + o . 其中f ( x ) e l 2 ( r ) 且f ( 二 ) # 0 ， 二 x * 一 。 ， 二 * + 司 . 那么这两个级数表达式， 那个近似的更好一些呢? 本 文 第 二 部 分 主 要 研 究l 2 卜 t / 2 , t / 2 的 标 准 正 交 基 e 2 n in t/t : 。 e z 推 广 后的非常数频率标准正交指数， 并在此基础上我们引入了谱框架这个新的概念. 关 于 谱 框 架 ， 我 们 是 否 能 进 一 步 得 到l e 2 n +a ,(s )l n e : 是l 2 0 , 1 的 框 架 的 充 要 条 件 ? 这种指数形框架的具体应用及是否能进一步给出具体的表达式? 感兴趣的读者可 以进一步的研究. 参考文献 参考文献 1 a . a l d r o u b i , n o n - u n i f o r m w e ig h t e d a v e r a g e s a m p l i n g a n d re c o n s t r u c t i o n i n s h i f t i n v a r i a n t a n d w a v e l e t s p a c e s , a p p l . c o m p . h a r m o n i c a n a l . , 1 3 ( 2 0 0 2 ) , 1 5 1 - 1 61 . 2 p l . b u t z e r a n d j . l e i , a p p r o x i m a t i o n o f s i g n a l s u s i n g m e a s u r e d s a m p l e d v a l u e s a n d e r r o r a n a l y s i s , c o m m u n i c a t i o n s i n a p p l i e d a n a l y s i s , 4 ( 2 0 0 0 ) , 2 4 5 - 2 5 5 . 3 r . b a la n , s t a b i l i t y t h e o re m s f o r f o u r i e r f r a m e s a n d f o u r i e r a n a l . a p p l . , 3 ( 1 9 9 7 ) , 4 9 9 - 5 0 4 . r i e s z b a s e s ,丈 4 q . c h e n , n . h u a n g a n d s o o n , a b - s p l i n e a p p r o a c h f o r e m p i r i c a l m o d e d e c o m - p o s t i o n , a d v . c o m p . ma th . , 2 4 ( 2 0 0 6 ) , 1 7 1 - 1 9 5 . 5 1 0 . c h r i s t e n s e n , a n i n t r o d u c t i o n t o f r a m e s a n d r i e s z b a s e s , b i r k h a u s e r , b o s t o n , 2 0 0 3 . 6 o . c h r i s t e n s e n , o p e r a t o r s w i t h c l o s e d r a n g e a n d p e r t u r b a t i o n o f f r a m e s f o r a s u b s p a c e . c a n a d . ma t h . b u l l . , 4 2 ( 1 9 9 9 ) , 3 7 - 4 5 . 7 i . d a u b e c h i e s , t e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s , s i a n ,p h i l a d e l p h i a , 1 9 9 2 8 h . g . f e i c h t i n g e r a n d k . g r o c h e n i g , t h e o ry a n d p r a c t i c e o f i r r e g u l a r s a m p l i n g , i n wa v e l e t s : ma t h e m a t i c s a n d a p p li c a t i o n s , c r c p re s s i n c , 1 9 9 4 . p p . 3 0 5 - 3 6 3 . 9 n .e . h u a n g , z . s h e n , s . r . l o