（概率论与数理统计专业论文）随机系统波动的研究和价格指数的统计分析.pdf

中文摘要 摘要：本文应用随机系统波动的相关理论、随机游动以及中心极限定理等， 考虑双随机分离线模型波动的弱收敛性质，研究模型的弱收敛极限。并对通货膨 胀水平的重要指标居民消费价格指数建立预测模型进行统计分析与预测。 近年来，关于统计物理模型粒子分离线波动分布的研究已经取得了很大进展。 论文将进一步扩展在这一领域的研究一一主要针对双随机分离线模型的概率极限 性质展丌研究。我们主要应用了模型分离线的研究方法，在双随机分离线所围成 的中间区域的面积是一个给定值和双随机分离线有相同的起点与终点的条件下， 证明了双随机分离线模型波动的弱收敛性质，并给出了模型的弱收敛极限。 居民消费价格指数( 英文缩写为c p i ) 反映居民生活中的产品和劳务价格所统 计出来的物价变动指标，通常是作为观察通货膨胀水平的重要指标。如果指数升 幅过大，表明通胀过度，会带来经济不稳定。文中以国家统计局官方网站公布和 相关统计年鉴的数据为依据，可知目前居民消费价格指数总体呈线性增长念势， 形成通胀压力。经过建立数学模型进行测定，可以预见，今后一段时期内，c p i 仍会处于增幅较大的高位波动，通胀压力仍然存在。为了便于读者理解，在每部 分的开头首先介绍了概率论、随机过程以及金融中的一些基本知识。 关键词：随机分离线；弱收敛；中心极限定理；随机游动；居民消费价格指数( c p i ) ； 时间序列分析 分类号：0 2 1 1 9 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ew i l lu s et h et h e o r yo fs t o c h a s t i cs y s t e m s f l u c t u a t i o n s ，r a n d o mw a l k ，c e n t r a ll i m i tt h e o r yt od i s c u s st h ew e a kc o n v e r g e n c e p r o p e r t i e so f t h et w or a n d o mp a t h sa n ds t u d yt h ew e a kc o n v e r g e n c el i m i to ft h e m o d e l a n o t h e rp a r to ft h i sp a p e ri sa b o u tt h ep r e d i c t i o no fc p i ( c o n s u m e rp r i c e i n d e x ) i m p o r t a n ti n d e xo fi n f l a t i o n ，w ew i l lc o n s t r u c tt h em o d e lo fp r e d i c t i o nt o a n a l y z ea n dp r e d i c ta b o u tc p i i nr e c e n ty e a r s ，a sf o rr e s e a r c ho fs t a t i s t i c a lp h y s i c sm o d e lh a v ea l r e a d yh a dg r e a t p r o g r e s s i nt h i sp a p e r ，w ew i l lf u r t h e re x p a n dt h er e s e a r c hi nt h i sr e a l m ，c o n s i d e rt h e s t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h et w or a n d o mp a t h sm o d e l w em a i n l ya p p l i e dt h er e s e a r c h m e t h o do ft w or a n d o mp a t h s ，w i t ht h ec o n d i t i o n s f i x e da r e a o ft h ei n t e r m e d i a t el a y e r a n d f i x e de n dp o i n t s i nat w or a n d o mp a t h sm o d e l ，p r o v e dt h ew e a kc o n v e r g e n c e p r o p e r t i e so f t h et w or a n d o mp a t h sa n d g e tt h ew e a kc o n v e r g e n c el i m i to f t h em o d e l t h ec o n s u m e rp r i c ei n d e x ( c p i ) r e f l e c t st h ec h a n g e so fc o m m o d i t yp r i c ei n d e x a b o u tt h ep r o d u c ta n dt h es e r v i c ep r i c e ；i ti sa ni m p o r t a n ti n d e xf o ro b s e r v a t i o no ft h e i n f a t i o nl e v e l i ft h ei n d e xr i s e sg r e a t l y ，i te x p r e s s e st h ei n f l a t i o ne x c e s s i v e n e s s ，a n d w i l lb r i n gt h ee c o n o m yi n s t a b i l i t y i nt h i sp a p e rw i t ht h ed a t af r o mo f f i c i a lw e b s i t eo f n a t i o ns t a t i s t i c sb u r e a ua n dt h er e l a l e ds t a t i s t i c a ly e a r b o o k ，w ec a nk n o wt h e c o n s u m e rp r i c ei n d e x ( c p i ) c u r r e n t l yt o t a lp r e s e n tt h el i n eg r o w t h ，f o r m a t t i n ga p r e s s u r eo fi n f l a t i o ne x c e s s i v e n e s s a c c o r d i n gt ob u i l du pm a t h e m a t i c sm o d e lt oc a r r y o nt h em e a s u r e m e n t ，w ec a n p r e d i c tt h a tt h ec p is t i l lw i l li n c r e a s ef o rap e r i o do f t i m e ，p r e s s u r eo fi n f l a t i o ne x c e s s i v e n e s ss t i l le x i s t s a tt h eb e g i n n i n go fe a c hp a r tw e i n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g e f o re x a m p l e ：p r o b a b i l i t yt h e o r y , r a n d o mp r o c e s s ， f i n a n c ea n ds oo n k e y w o r d s ：r a n d o mp a t h s ；w e a kc o n v e r g e n c e ；c e n t r a ll i m i tt h e o r y ；r a n d o mw a l k ； c o n s u m e rp r i c ei n d e x ( c p i ) ；t i m es e q u e n c ea n a l y s i s c i 。a s s n o ：0 2 1 1 9 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 一躲隅驿守 签字同期：哨年6 月日 新虢娣 i 签字同期：9 年6 月铲只 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 魏孵导撕飙渺g 年同 致谢 本论文的工作是在我的导师王军副教授的悉心指导下完成的，王军老师严谨 的治学态度和科学的工作方法对我的学业产生了极大的帮助和影响。王军老师亦 师亦友，慷慨地为我提供了宽松愉快的科研生活环境，从学习、生活、为人处世 等方面给予我细致周到的关怀教导。在此，对两年来王军老师对我的关心和指导 表示衷心的感谢。两年的研究生生活，王军老师渊博的知识、严谨的治学态度和 认真负责的工作态度使我受益匪浅，并将受益终身。跟随王军老师学习以及课题 研究也为我以后工作的发展打下良好的基础。无论是研究生的课程学习，还是这 阶段的科研工作，王军老师自始至终给了我无私的关怀和大力的帮助。本文之选 题、写作和修改定稿，王军老师亦是在百忙之中倾注了大量的心血。在此，向王 军老师致以最诚挚的感谢与最崇高的敬意。 感谢理学院对我的培养，在交大学习与工作的八年中，得到了很多老师的教 导与帮助，使我能够始终保持一份乐观的心态与积极向上的动力，在此，对学院 及所有老师致以最真诚的祝福和最美好的祝愿。 感谢我的父母多年来对我的教育与培养，在我遇到各种困难时，他们总是在 积极地鼓励我、支持我，使我能够全身心的投入到课题研究中去。 感谢我同门的兄弟姐妹，与他们的共同学习使我收获了很多知识，与他们的 相处使我的研究生生活更加丰富多彩。 两年研究生生活使我学习了很多新的知识，并懂得了更多的人生道理，感谢 所有帮助过我的老师与同学。 感谢各位学者，专家在百忙之中审阅我的文章，并给出批评意见。 1 引言 伴随着经济的快速发展，各种研究经济、金融的工具不断产生。数理金融学 是2 0 世纪后期迅速发展起来的- - i 3 新兴交叉性学科。它是人们观察、研究与认识 经济、金融问题的一种独特方法，它把数学工具与金融问题有机地结合起来，为 创造性地研究、解决各种金融问题提供基础与指导。通过数学建模、理论分析、 理论推导、数值计算等定量分析，研究和分析各种问题，同时研究其相应的预测 理论，达到回避风险、建立有效的措施等目的，从而使有关决策更加简洁和准确。 由于数理会融学所研究的会融现象具有很强的不确定性，因此随机过程理论 作为概率论的一个重要分支，被广泛地运用到金融问题的研究中。随机过程理论 主要包括：概率空问理论、p o i s s o n 过程、更新过程、离散参数的l a r k o v 链、连续 参数的m a r k o v 链、b r o w n 运动、鞅理论、随机积分、随机微分方程等。近几十年来， 随机过程理论及其应用得到了迅速发展。物理学、自动控制、通信科学、经济学 以及管理科学等多种领域都活跃着随机过程理论的身影。 本文应用随机系统波动的相关理论、随机游动以及中心极限定理等，考虑双 随机分离线模型波动的弱收敛性质，研究模型的弱收敛极限。并对通货膨胀水平 的重要指标居民消费价格指数建立预测模型进行统计分析与预测，给出相应的 结论与建议。 2 双随机分离线模型波动的收敛性质的研究 2 1 绪论 2 1 1 选题背景 在本文中，我们研究双随机分离线模型的概率极限性质。近年来，关于统计 物理模型粒子分离线波动分布的研究已经取得了很大进展。例如，i s i n g 模型正负 粒子分离线波动分布和w i d o m - r o w l i n s o n 模型粒子分离线波动分布的研究都取 得深入的成果( 见参考文献卜5 ) 。本文将进一步扩展在这一领域的研究，主要针 对双随机分离线模型的概率极限性质展丌研究，我们的研究手段主要应用了模型 分离线的研究方法，在双随机分离线所围成的中f b j 区域的面积是一个给定值和双 随机分离线有相同的起点与终点的条件下，证明了双随机分离线模型波动的弱收 敛性质。 2 1 2 收敛的基本概念 概率法则是在对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于“大量”的随机现 象的描述就要采用极限方法。下面给出集中不同的收敛性。 定义2 1分布函数歹0 的弱收敛性 f n ( x ) 是分布函数列，如果存在一个函数f ( x ) ，使 。l i 。m 。f n ( x ) = f ( x ) 对f ( x ) 的每一连续点成立，则称f n ( x ) 弱收敛于f ( x ) ，并记为 f n ( x ) b f ( x ) 注：( 1 ) 上述定义中的极限函数f ( x ) 是单调函数，故它的不连续点是第一类的， 并且其不连续点全体至多为一可列集，所以，除去一个l e b e s g u e 测度为0 的点集， 函数极限唯一。 2 ( 2 ) 可以适当修改f ( x ) 在不连续点上的值，使其成为右连续，这样做，并不影 响弱收敛性，并且，不难推知，右连续的极限函数是唯一的。 ( 3 ) 即使如此，f ( x ) 还不一定是分布函数。 x o( k = 1 ，2 ，) 则随机变量之和z x 。的标准化变量； k = 的分布函数f n ( x ) 对于任意x 满足 l i mf n ( x ) = l i m p n 1 1 + x 。一掣 上生干：一x 1 1 0 这就是说，均值为，方差为盯2 0 的独立同分布的随机变量x 。，x ：，x 。 之和z x 。的标准化变量，当n 充分大时，有 x k 一掣近似她 旦了一一n ( o ，1 ) 岳 ”， 在一般情况下，很难求出n 个随机变量之和x 。的分布函数，上近似式表明， 当n 充分大时，可以通过( x ) 给出其近似的分稚，这样，就可以利用j 下态分布对 z x 。做理论分析或作实际计算，其好处是明显的。 定义2 2 概率生成母函数 岳 满 一f厉 一v x 叫 = = 设x 是一具有概率分布 p ( x _ k ) = p k k = l ，2 ， 的离散型随机变量，则x 的概率生成函数定义为 g ( s ) = p 。s 。 k = 0 这里p 。o ，p 。= l 。x 是取非负整数值随机变量，上式等价于 k g ( s ) = e s x 称g ( s ) 是x 的概率生成母函数。 定理2 4 n 个相互独立的非负整数值随机变量x 。，x ：，x 。之和 z = x 。+ x ：+x 。的概率母函数g ：( s ) 等于x 。，x ：，x 。的概率母函数 g 。( s ) ，g 。( s ) 之积： g ：( s ) = g ( s ) g ：( s ) g 。( s ) 2 1 3b r o w n 运动的基本概念 我们从讨论对称随机游动丌始，此游动每个单位时间等可能地向左或向右移 动一个单位步。现在，假设我们加速此过程，在越来越小的时间间隔中移动越来 越小的步子。经过推导，就可以得到b r o w n 运动。 定义2 jb r o w n 运动 随机过程 x ( t ) ，t o 称为b r o w n 运动过程，若其满足如下的三个条件： ( 1 ) x ( o ) = o ； ( 2 ) x ( t ) ，t o 有平稳独立增量； ( 3 ) x c 每+ t o ，x ( t ) - n ( o ，c 2 t ) 如果c 乩删，称为标准n 运动。如果c 乩舸考虑 掣m 。) ， 6 贝i i x ( t ) ，t o 就是标准b r o w n 运动。 l 。 j 布朗运动过程，是应用概率论中最有用的随机过程之一。把布朗运动解释为 随机游动的极限揭示了x ( t ) 应是t 的连续函数。可以证明，以概率1 ，x ( t ) 确实 是t 的连续函数。 独立增量的假设蕴含了，在时刻s 与t + s 之间的位置变化( 即x ( t + s ) - x ( s ) 与 过程在时刻s 之前的值独立) ，故b r o w n 运动为马尔可夫过程。 定义2 4 高斯过程 随机过程 x ( t ) ，t o 称为高斯过程，若对一切 t 。，。s 9 t 。，x ( t 。) ，x ( t 。) 有n 元j 下态分布。 定义2 5 关于b r o w n 运动的积分 设 w ( t ) ，- o o t 佃 是参数为盯2 的b r o w n 运动。a 和b 为两个有限数以及 f ( t ) 是【a ，b 1 上的连续可微函数。定义函数f 关于b r o w n 运动w 的积分为： f f f ( t ) w ( t ) d t = f f f ( t ) d w ( t ) = f ( b ) w ( b ) 一f ( a ) w ( a ) 一p ( t ) w ( t ) d t 2 2 双随机分离线模型波动的弱收敛性质与极限 2 2 1 研究目标的引入 设工为一维格点空间z 的任意一点，定义两个高度随机变量，z ，用 ，珊2 = ， ，嘞表示在水平集幺= ( x o ，而+ 1 ，而+ cz ( 对于给定的) 上 的随机分离线的组态，再设q 。= ( 缈i ，缈2 ) ：一，z , xo ) 是相应的组态空间。 设而= o ，对于水平集0 ，本文所研究的双随机分离线模型汉密尔顿( h a m i l t o n i a n ) 如下给出： 下： 吼 缈1 ，缈2 = ，( i 吐一哆i i + 陋2 一锣i ) l j 吵7 y 幻 式中 表示x 与y 是0 上近邻的两点。则所对应q 。上的g i b b s 概率定义如 丘，p ( ，勿2 ) = ( 乙，) - e x p 一f l h l ( c o i ，缈2 ) ( 2 ) 式中多是一大于零的参数，正规化函数为 乙圹，e x p 一仇( c 0 1 ，2 ) 。 p m 2 ) e 啦 令f 【o ，l 】，下面我们定义双随机分离线的路径。首先定义第一条分离线 掣( 乏) 碱。 刚a l i 毋( j + l - l t ) 矸( 小肛j ) x l 。( 等) 耶矾川( 3 ) 类似上定义( 3 ) ，同理可定义第二条分离线x ? 2 ( 差 ，x 。0 1 2 ( ，) 。 当x 0 且x 1 时，令炙= d 一砖小仇= 一。当彘= o ，r i o = 0 时，则有 叫= 二。六和= 二。仉。 设孝= 六，z l x ，召= 仇，x l x ，则正规化函数可以表成为 z 芦= e x p - f l h 。( 参1 ) 】 ( 4 ) 式中吼( f ，r ) 是关于( 孝，7 7 ) 的h 锄i l t o i l i 锄函数( 见式( 1 ) ) 。根据式( 4 ) ，我们可得 相应的g i b b s 概率，卢( 善，刁) ，类似式( 3 ) 可得到相应的路径 鹾( 舻弛) 群( 舻冰) 。 从上面的定义中可见，善= 晏，x e 以 和，7 = 仉，z l x ) 可以分别看作独立同 分布的随机变量序列。因此，这双随机分离线模型有两个独立的随机s 0 s 路径， 也就是说，这个模型相当于二个独立自不相交随机游动的总体。任一路径在 【o ，】z 上，以( o ，0 ) 为起点，直线 z = 三) ( 其中z - - ( x ，j ，) ) 上的z 点为终点，在水 平方向上不能返回。下面我们引入该模型运动一步所跳跃高度的概率生成母函数， 即对任意一个崮定的z 厶有 yp 聪+ 舰一舷) j 二_ 一 q ( ) 2 宾薪万忑司 ，巩 式中g ( ，y ) 独立于工， o 和口 0 ，存在个实数东满足条件( 8 ) 且 东l 6 ( ) ，则对于条件概率只芦( 1 口! 一f = 【比j ) ，过程 9 珊) = 去仁一x f ( f ) _ 万l f ( 和，s ) 出) ( 9 ) 弱收敛于 y ( ，) = 万1f 历下丽雨融( s ) ( 1 。) 式中，f 】，( f ) 巩= 0 ， b ( s ) 触是一维标准句朗运动，l 吐j 是吐的整数部分。 定理2 假设吼( ，y ) = 云缈( ，y ) ，乞( 二，s ) = 一缈( 一( 1 一s ) 磊，( 1 一j ) 二) 以 及与定理l 相同的条件，对于条件概率置卢( 1 口：一f = 【- 吐j ) ，随机序列一x ：( ) 三弱收 敛到 y ( ，) = 万1f 厮 ( 11 ) 式： 2 2 。2 双随机分离线模型的波动估计 在上节中，给出了区域面积口：，口：，口：一f 的直观概念，下面就给出其数学表达 口：= 砖亿= ( 1 一叫垮 j = ij = l 工l 口：= 肛= ( 1 一叫垓 工= lz = l ( 1 2 ) 醒= 口z 一口：= z 1 - x l ) ( q ，一只) ( 1 3 ) x = l 由 鼻，x o 和 仉，x o ) 的独立性，面积口： 的概率生成母函数为： e x p 彤口 e x p - f l h 。( f ，刁) ( f ) = 殳瓦 1 0 血f ，e x p 店( 1 一卅工) ( 巩一) 一( i 六i + i 仇1 ) ) 、1 一! ：! 鱼：竺 一一 z l 。b 工 = 兀q ( - o - , ：l ) ，f ( 卜x l ) ) ( 1 4 x = l 设g 是一正整数， ，ls i sq 为任意一个实数集，满足o r i o ，使得r 州满足下列条件： 见。靠= f ：一口 氛 二+ 口，蚓 0 当寸 ( 2 4 ) 式中是引理l 中的g a u s s 向量矿引t i ，o ) 的密度函数。 明。 2 2 3 主要结论的证明 在本小节旱，我们讨论随机n n _ 式( 1 5 ) 的极限性质，论述定理l 和定理2 的证 定理1 的证明：式( 1 5 ) 给出了随机向量霹引t ，乞) 的定义。首先我们考虑式( 2 2 ) 随机向量冠引t t ，勺) 有限维分布的收敛情况。假定岔，重。是见，器内的一实数序列， 1 2 满足 金= ( 幺，。，0 ，0 ) 。- - ( c o 0 0 ) 式中磊满足式( 8 ) ，且幺。满足以下条件 瓦d 1 1 1 9 r 。( 砒嘲= l 吐j ( 2 5 ) 根据( 7 ) ( 8 ) ( 1 4 ) 和( 2 6 ) ，可以证明当l 0 0 时，篚一，。设 纯( ；，) = 彤砖机山l e 。 z ，卢 对于任意吃器，由文献【1 】中引理2 5 ，令 缈口( 舛，乞) = l i m b o l ( ；t ，) ( 2 7 ) ( 2 6 ) 从定义( 3 ) ( 8 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 和h e s s 复统的一敏有界性，司得 铭世，o ) = ( l a j ，铭( 一) ，铭( 一) ) 2 去( v 似) ( 簋；协，t q ) = 去( v 神) ( 。；，乞) + 。( 1 ) ( 2 8 ) 根据引理2 和( 2 3 ) ( 2 5 ) ，对于任意棚 口， 4 o o ，1s 9 ，有 煅掣( 乃 口，t ，l j q l z o = l a 三j ) = 舰5 ( q ) ( y q ，1 j q i z o = l a z , j ) 再根据定义式( 2 0 ) 和引理l ，设 p ( q ( ，。) = t o ，；。) ，k ，i ) ，) ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) h 一 丘一 二 堕岫兰帆一塌 似一旷 也枷k 一髟 竺， 趔 3 是具有分布密度函数【，) 的g a u s s 随机向量- 它的协方差矩阵如f 给 出： e ) y ( r x ) = 歹1r 缈。( 一( 1 一s ) 础一s ) 尹) 凼 e k y ( o ) = 古p ( 一( 1 一s ) 珊一s ) 尹) 凼 e 吲= 古m 一( 1 5 ) 种一j ) 芗。) 出 ( 3 1 ) x - + j ，尼= l ，g ，口 6 = m i n 口，6 。即对任意g l ， 匕， y ( f ) ) 吲o j 】) 是一个具 右卜诛协方善铀陡的n 矧q 宝b f f i 加讨勰 在上面的证明中，假定对于f = 1 ，q ，有 吨吨= 髓( 掣卜( t l l t i j c 赋2 8 ， 根据参考文献【l 】中的引理2 8 ，对于每一个i = 1 ，留，如果用x ? ( f ，) 一x ：( 0 ) 替 换冠 掣 _ 雎( 掣 上面的论述仍然成立。由都叭3 畎3 ，可得，对条件 概率置，( f 口：一= l a l ) ，j ，t ，) 有限维分布函数收敛于g a u s s 随机向量 硭 t ，乞) 相应的有限维分布函数。 为了讨论弱收敛性质，需要讨论随机过程y ( f ) 条件分布的紧性( t i 曲t n e s s ) ( 见文 献 8 】) 。根据参考文献 1 第三节类似的论证，我们可以证明上过程e ( t ) 的紧性的 充分条件，在这里略去证明过程。通过上面两部分的论述，完成了定理1 的证明。 注1 ：根据参考文献【3 】的论述和定理l 的结论，在条件概率置，p ( l 口：一e = a l j ) t 的随机序列尘掣弱收敛到函数去i r ，( 磊，s ) 凼。 定理2 的证明：假设0 t p l 是一个实数序列，设随机向量 j ：( “，乞) = ( 醒，一叫牡j ，叫j ) 假定序列，亭。与式( 2 5 ) 中定义相同，并满足条件( 2 8 ) ，则可以得到如下概率 1 4 旌( 鲰，。) = z 1h ( 驴r 啦“也例小神层户o f ， = 圭1 1 1 枣q ( 一赁( 砸) ，卯( x ；氛) ) 式中，对任意= ( 氛，文，乞) 见畿，有 茹( 工；主) = 氏( 卜x l ) + e 9 0 缶1 i o f ，】( z ) 篚( 工；氏) = 氛( 1 一) 设缈1 ( ；f l ，f ，) = 。l i ，m 。旌( ；，o ) ，宝f ( ) 是随机向= 里x l ( t l ，o ) 的期望， 可以得到： 壹：f 雹( f i ) = ( 1 砘坦( 一) ，矗矿州) ) 一l v 磁) ( 幽，乞) = 去( v ) ( 幽，心) + 。( t ) 式中1 i g ，并且 宦，( 一 啦- ) = 妻者nq ( 一嚣( x ；) ，留( 工；氢) ) i f ：器 对随机向量j ：( ，f 。) ，根据定理l 的证明，可以得到在，多( - 口：一= l 吐j ) 下 的随机过程 去卜一万lf 乞( 和，j ) 出) 的概率分布弱收敛于某个g a u s s 分布。因此根据注l ，随机序列型弱收敛- 于 ( ，) 2 石1 f 乞( 彘，s ) 出 以上就完成了定理2 的证明。 榍棍帝理l 和帝弹2 的结诊可以得到下而的椎诊 推论1 假设定理l 和定理2 的条件都成立，则在忍，( l 口：一- - l 口q ) ，随机序列 掣撇敛于 去f f ( 磊，x ) 出一去上c ( 磊，x ) 出 推论l 的证明； 随机过程( 研( f ) l 口! = 【- 吐j ) 可以写成 ( x ? ( ，) i 口? = 【比j ) = ( x ? ( ，) 一x ：( r ) i 口：一= l a l j ) + ( 墨( ，) 口r = a l j ) 对于上述等式的第一项，在罡，( | 口：一= l 口l j ) - f ，由定理l 和注l ，可证明随 机过程( 研( f ) 一x ：( f ) l 醒= l a j ) 的概率分布弱收敛于函数 万1 c 嘛纠出 的概率分布。对于上述等式的第二项，在罡，夕( l 口? 一= 【比j ) 下，由定理2 和注 1 ，可得到随机过程( 一群( f ) l 醒= l _ 吐j ) 的概率分御弱收敛于函数 去f c ( 彘，夕，工) 出的概率分布。以上就完成了推论l 的证明。 1 6 3 价格指数的统计分析与预测 3 1 绪论 3 1 1 选题背景 统计预测是以实际统计资料为基础，根据社会经济现象的内在联系和发展规 律，采用最科学的方法，对未来社会经济现象的数量表现及其规律做出科学的推 算和预计。统计预测的方法很多，本文主要介绍了时问数列预测。时间数列预测 是通过编制和分析时间数列，根据时问数列所反映出来的发展变化规律，从而预 测事物的未来方向。而对于时问数列预测可根据具体情况采用以下几种方法：移 动平均法，指数平滑法等。 在经济管理和科学研究中。经常需要对所考察事物的某种数量集合在不同时 间或不同空问上的相对比率进行测定，以便进行比较分析。而对这些相对比率测 定方法的研究，就形成了统计指数的理论和方法。 指数，是社会经济统计中历史最悠久、应用最广泛，同社会经济生活关系最密 切的一个组成部分。它产生于1 8 世纪欧洲资本主义迅速发展时期。当时由于美洲 新大陆开发的大批金银贵金属源源不断输入，使欧洲物价骤然上涨，引起社会的 普遍关注。经济学家为了测定物价的变动，开始尝试编制物价指数。此后2 0 0 多 年，指数的应用和理论不断发展，逐步扩展到工业生产、进出口贸易、铁路运输、 工资、成本、生活费用、股票证券等各个方面。其中有些指数，如零售商品价格 指数、生活消费价格指数，同人们的同常生活休戚相关；有些指数，如生产资料 价格指数、股票价格指数等，则直接影响人们的投资活动，成为社会经济的晴雨 表。至今，指数不仅是分析社会经济和景气预测的重要工具，而且还被应用于经 济效益、生活质量、综合国力、社会发展水平的综合评价研究。指数主要有三方 面作用：反映复杂的社会经济现象总体的综合变动程度；分析社会经济现象总变 动中各个因素的影响；对多指标复杂社会经济现象进行综合测评。 价格指数、产出指数和福利指数是经济学家争论中的常见话题。经济指数理 论越来越得到重视，尤其是近年来通货膨胀率的上升是人们更加关注价格指数的 度量与作用，同时，人们意识到通货膨胀对不同的群体有不同的影响，致使量化 这些差异成为估计家庭或个人之间不公平的一个重要因素。居民消费价格指数 ( c p i ) 是市场上被仔细研究的一个热门的经济指标。它获得关注的原因显而易见： 通货膨胀影响着每一个人，它决定着消费者花费多少来购买商品和服务，左右着 商业经营的成本，极大地破坏着个人或企业的投资，影响着人们的生活质量。 3 1 2 居民消费价格指数的的基本概念 居民消费价格指数( c o n s u m e rp r i c ei n d e x ) ，英文缩写为c p i ，是反映与居民生 活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平 的重要指标。消费者物价指数测量的是随着时i 日j 的变化，包括2 0 0 多种各式各样 的商品和服务零售价格的平均变化值。这2 0 0 多种商品和服务被分为8 个主要的 类别。在计算消费者物价指数时，每一个类别都有一个能显示其重要性的权数。 这些权数是通过向成千上万的家庭和个人调查他们购买的产品和服务而确定的。 权数每两年修币一次，以使它们与人们改变了的偏好相符。 如果消费者物价指数升幅过大，表明通胀已经成为经济不稳定因素，央行会有 紧缩货币政策和财政政策的风险，从而造成经济前景不明朗。因此，该指数过高 的升幅往往不被市场欢迎。 3 1 3 时间序列分析两种方法的基本概念 时间序列是指某种统计指标的数值。按照时问先后顺序排列起来的数列。例 如，国民生产总值按年度顺序排列起来的数列；某中商品销售量按季度或月度排 列起来的数列等等都是时间序列。时问序列一般用y 。，y ：，y 。，表示，t 为时间。时问数列预澳l j ( t i m es e r i e sf o r e c a s t i n g ) 是通过编制和分析时间数列，根据 时问数列所反映出来的发展变化，从而预测事物的未来方向。 定义3 1 ：移动平均法 移动平均法( m o v i n ga v e r a g e ) 是一种最简单的自适应预测模型。它是对原有 的时间数列进行修匀，并据以进行预测的方法。分为简单移动平均法和加权移动 平均法两种。 ( 一) 简单移动平均法 已知有时间序列y 。，y ：，o o e 9 y 。，选取r 1 个时期的数据平均，则第t 期 的简单移动平均数的计算公式为： m 。：型丑亡盟：- t n 作为t + l 期的预测值，记作： 虬= m 。 其中，1 1 称为移动步长。由于移动平均是一种逐项推进的预测方法，对预测公 式稍加变化便得到递推公式。如下： m 。：型墨亡当 ：兰! ! ! ! ：羔生! ! ! 兰! ：! ：! 塑 兰! ：! ：! q ! ! 兰塑上兰 nn ：m 。l + 竖鳖 即： = 丛掣 上式表明第t + 1 期的预测值夕什实际上是在第t 期预测值夕。的基础上加上一个 修工f 项些。修j 下项的大小与n 有关。对于某一时间按序列来说，y t y 。是确定 的，n 越大，则l 监l 越小，这在很大程度上克服了随机扰动的影响，所反映的历 1 1 史信息越充分，越能显示出趋势的变化，从而修f 作用越大，也就是对数据的平 滑能力弱，但同时灵敏度降低，使用的成本也增加，反之亦然。 1 9 ( 二) 加权移动平均法 般情况下，最近期的经济数据笔远期的数据包含了更多的未来的信息，能 更多地反映经济变化的趋势。因此在计算移动平均数时应该对参加平均的数据的 重要程度给出一个度量，即应该给于近期的数据以较大的权值，给远期的数据以 较小的权值，然后进行移动平均，这种方法就是加权移动平均预测法。其模型是： m 。：塑芷型止二监 儿 其中，q ，口+ 。称为加权因子，满足： 呸 上l = l 。 n 利用加权移动平均数作预测，其预测公式为： 夕t + i = m l ( 三) 二次移动平均法 二次移动平均是在对时i 日j 序列做一次移动平均后，在对一次移动平均数序列 做一次移动平均。二次移动平均的计算公式为： 残：型益亡当 l l 式中： - ，：二次移动平均数； - i ：一次移动平均数，i = t ，t 一1 ，t - n + l ； n ：移动平均的项数： 二次移动平均不是直接将二次移动平均值作为下一期的预测值，而只是用其 来求平滑系数，利用滞后偏差建立预测模型，然后再用模型进行预测。其预测模 型为： 夕t + i = a 。+ b 。t 式中： 夕什i ：第t + l 的预测值； a 。b 。：平滑系数 2 0 其估计值的计算公式为： 辟茹2 氓， 定义3 2 ：指数平滑法 利用指数平滑预测法，对近期的数据以较大的权值，远期的数据以较小的权 值，但不像移动平均法那样，对每期的资料作逐期的加权运算。 ( 一) 一次指数平滑法 一次指数平滑预测法是在移动平均预测法的基础上得到的。即在下式中： m 。：m 1 i + 盥 因为y 是参与计算m 的一个数据点，所以可以认为m 是y 。的最佳估计 值。因而可以用m 。取代y 。，这样得到： m 。趣，+ 了y t - m t - i 丑n + ( 1 n ) m 1 i n 令口= 吾1 ，s 。= m ；( i ：1 ，t - 1 ) ， 则得到指数平滑公式为： s 。= a y 。+ ( 1 - a ) s 卜1 式中： s ；：第i 期的指数平滑预测值； 口：平滑系数；0 口1 y 。：第t 期的观察值； 则第t + l 期的预测值为： 夕= s 。 这样，指数平滑公式也可以写成：， 夕什i = 口y 。+ ( 1 一口) 夕。 从上式可以清楚地看出，指数平滑预测就是对上一期观察值和预测值的一个 加权平均数，它不需要很多的历史数据，只需要知道一个最新的观察值( y 。) 和前一 期的预测值( 夕。) 就可以进行预测；而且也不需要像加权移动平均那样需要确定几个 权值，这罩只需确定一个口即可。 ( 二) 二次指数平滑法 二次指数平滑法是在一次指数平滑法的基础上进行计算的。它与二次移动平 均预测法相似，先对一次指数平滑后的数据再做一次指数平滑，但并不是直接将 二次指数平滑值作为预测值，而是利用其来求出方程参数，建立趋势模型，最后 利用模型来进行预测。 以下用s l 表示第i 期第j 次指数平滑值( 滓1 ，2 ，n ，o ee 9j - - 1 ，2 ) ，那么 有： s l = c r y 。+ ( 1 - a ) s t t ! ? s 1 2 = a s l ”+ ( 1 一口) s 三 其预测模型是： 夕t + t = a 。+ b , t 式中： 多们：第t + t 期的预测值； t ：第t 期后的期数： a 。，b 。：方程参数，求解公式为： a 。= 2 s l 一s 1 2 b 。= 啬( s ”：2 ) ) ( 三) 三次指数平滑法 当数据模式具有二次、三次或高次幂时，即具有非线性趋势时，需要用高次 平滑形式。当时间序列的观察值经二次指数平滑处理后的时间序列仍有曲率，说 明原时间序列应进行三次指数平滑，用二次曲线来描述。三次指数平滑是二次指 数平滑的直接推广，它在二次指数平滑的基础上在进行一次指数平滑，其计算公 式是： s 1 3 = 口s 2 + ( 1 一口) s 曰 式中： s l 孙：第i 期的三次指数平滑值( i = 吨，t 1 ) 口：加权系数，0 口l ； 同二次指数平滑类似，三次指数平滑是利用一次、二次、三次指数平滑只求 的二次曲线方程的参数，建立二次曲线模型进行预测的方法。 其预测模型： 夕t + t - - a i + b i t + c t t 2 式中： 夕m ：第t + t 期的预测值； t ：第t 期后的期数： a 。，b 。，c 。：方程参数， 求解公式为： a 。= 3 s 1 1 - 3 s 1 2 + s 1 3 b l - 南 ( 6 嘲) s 【i t ) 一2 ( 5 砌) s ：2 ) + ( 4 刊s ：3 ) c t - 赤( s ( i t ) 瑙( 2 ) t + s ( 3 ) 3 2 基于时间序列预测法建立模型进行预测 在本节中，从数据的可靠性出发，以国家统计局官方网站中的价格指数为数据 来源，并查阅中华人民共和国国家统计局编制的中国统计年鉴将数据补充完 整。选取2 0 0 1 年1 月至2 0 0 8 年3 月的全国居民消费价格指数作为研究对象，以 下运用不同的预测方法对居民消费价格指数进行数据统计分析及预测，并对相关 结果进行对比分析，从而得出结论。 原始数据如下； 表l ：2 0 0 0 1 2 0 0 0 7 全国居民消费价格指数 时m数值 时问 数值时h j数值时h j数值时f h j数值时问