（数学专业论文）基于多小波和bandelet变换的图像去噪方法.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 在图像数据的采集和传输过程中，常常会产生噪声数据。只有进行去噪处理 才能有效的表现原始图像的信息，因此图像去嗓也成为了图像处理中一个研究热 点。小波方法由于其低熵性、多分辨特性等优势，在图像去噪的应用中取得了较 为突出的效果。小波函数的紧支撑、正交性、对称性、消失矩是十分重要的特征， 但是标量小波是不能同时具有这些性质经过研究，多小波系统可以同时具有这 些性质，所以多小波在信号处理方面比单小波更有优势。同时，传统严格采样张 量积小波对于处理图像中的线特征并不具有很好的效果，因此在小波之后研究者 们提出了b a n d e l e t 等新型变换。 本文主要分绍基于b a r ) d e l e l 变换和多小渡理论的图像去噪技术文章对多小波 的理论基础作了较为详细的介绍和分析，同时本文介绍和分析了第二代b a n d e l e t 实现的快速算法；进而介绍了小波阈值去噪方法，讨论了阈值函数和阈值选取等 内容，作为设计多小波b a n d e l e t 去噪算法的基础和引导。在此基础上，本文设计 了基于第二靛g a n d d e t 变换和多小波的阙值去噪算法首先利用b a n d e i e t 在表示 几何正则图像上的优势，用第二代b a n d e l e t 变换取代传统的小波变换，设计了 b a n d e l e t 阐值去噪算法；针对噪声图像的几何特征不明显，在b a n d e l e t 变换过程中， 几何流的计算会受到较大影响，提出用c d f g - 7 小波去噪算法对噪声图像去噪，得 出预处理图像，然后利用预处理图像计算最优几何流方向和四叉树分割，从而提 高最优几何流方向的计算精度；针对b a n d e l e t 不具有平移不变性，本文在b a n d e l c t 去嗓算法中加入循环移位的平移不变性过程用以抑制伪吉布斯现象；结合b a m j e l e t 和多小波，本文设计了基于b a n d c l e t 交换和多小波变换的阕值去噪算法，并结合 多小波理论和g h m 多小波的性质分析了b a n d e l e t = 多小波变换中预滤波器的选取 规则 实验表明，对于分片光滑的几何正则图像，本文的b a n d e l e t 阚值去噪算法比 传统的小波阈值去噪算法可以获得更赢的信噪比。丽结合了平移不变性的 b a n d e l e t - 多小波阈值去噪算法可以比纯b a n d e l e t 阀值去噪获得更高的信噪比，并 可以有效地抑制伪吉布斯现象，有更好的视觉效果 关键词：k n d z l e t 多尺度几何分析小波多小浚目值去填 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h e r ei sa l w a y sn o i s ed a t ad a m st h ep r o c e s so fa c q u i r i n ga m jt r a n s m i t t i n gi m a g e d a t a o n l yt h r o u g h 矗m o j s i l 唱p r o t e i n 铷伟p 寰删t h eo r i g i n a li m a g e d a t aa t c c t i v e l y , s o t h ei n m g cd a n o i s i n gh a sb e c o m eah o t s p o ti nt h er e s e a r c ho fi m a g ep r o c e s s i n g w a v e l e t d e n o i s i n gh a sa c h i e v e dr e l a t i v e l yb e t t e re f f e c td u e t oi t sc h a r a c t e r i s t i co f l o w - e n t r o p ya n d m u l t i - r e s o l o t i o n t h ec h a r a c t e r i s t i c so fc o m p a c ts u p p o r t , o r t h o g o n a t , s y m m e t r ya n d v a n i s hm o m e n t sw h i c hs c a l a rw a v e l e tf u n c t i o nc a l ln o tp o s s e s ss i m u l t a n e o u s l ya r eo f g r e a ti m p o r t a n c ei nw a v e l e tt h e o r y i n s t e a d , m u l t i w a v e l e ts h o w s b e t t e rc a p a b i l i t yi nt h e s e c h a r a c t e r i s t i c s i nt b em e a nt i m e , t h et r a d i t i o n a lw a v e l e ti sn o tg o o d 砒d e a l i n gw i t ht h e l i n ec h a r a c t e r i s t i co fi m a g e s i no r d e rt os o l v et l l i sp r o b l e m r e s e a r c h e r sh a v ec o n i cu p w i t hs o r t i en e wm u i t i s c a l ea n a l y s i sm e t h o d sb a s e so nw a v e l e tt h e o r y , s u c h 笛b a n d e l e t 弧i sp a p e r 曲o d e c e s 沛a 萨洲妯瞎t e c h n i q u eb a s e do nm m i w a v e l e ta n db a n d e l e t t r a a s f m m w ei n t r o d u c ea n d 锄臻i y 霉m u l t i w a v c l c t 协哆a n db m k k l e te t o r y 钿d c t a i t , s t a t es o f i i cr e s u i t so ft h r e s h o i dd e n o i s i n gm e t h o d sw h i c hw i l lh au s e di no u r s m u l t i w a v e l e t - b a n d e l e td e n o i s i n gm e t h o d a tf i r s t , b a s e do nt h ep r o p e r t yt h a tb a n d e l e t s h o w sb d 自甘r e s u l ti nr e p r e s e n t i n gg e o m e t r i cr e g u l a ri m a g e s , w ed e s i g nab a n d e l e t d 曲日s 撕a l g o r i t h mi nw h i c ht r a d i t i o n a lw a v e l e tt r a n s f o r mi sr e p l a c e db yb a n d e l e t t r a n s f o r m ；钿o r d e ft oe n h a n c et h ea c c u r a c yo fc o m p e t i n gt h eg e o m e t r i cf l o w s , w e p r o p o s etp r o c e d u r et h a tu s e sw a v e l e t - d e n o i s e di m a g et oc o m p u t et h eg e o m e t r i cf l o w s 锄di t sd y a d i cs q u a r es e g m e n t a t i o n so f 孤n o i s e di m a g e b d 3 a b s et h eb a n d e l e td on o t p o s s e s st h et r a n s l a t i o ni n v a r i a n tp r 0 i 螂，w ei n t r o d u c et h et r a n s l a t i o ni n v a r i a n tp r o c e s s i m ot h eb a n d e l e td e n o i s i n ga l g o r i t h ms ot h a tt h ep s e u d o - g i b b sp h e n o m e n o n 铆lb e s u p p r e s s e de f f e c t i v e l y f i n a l b at h i e s h o l dd c n o i s i n ga l g o r i t h m sb a s e d o nm u l f i w a v e l e t i n ds e c o n dg e n e r a i o nb a m k l e tt r a e 幽o r r at a g a h e rw i t hm m s l m i m 钿胴函眦州m 批p r e s e n t e di nt h i sp a p e r ，f u r t h e rm o r e w ed i 懿：u 螂t h er u l e so fc h o o s i n gp , 娟a c ro f t h em u l f i w a v e l e t st r a n s f o r md u r i n gt h em u i t i w a v e l e t - b a n d e l e td e n o i d i n ga l g o r i t h m n 他n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a ta sf o rt h eg e o m e t r i cr e g u l a ri m a g e s , t h e b a n d e l e ta p p r o a c hf o ri m a g ed o n o i s i n gi sm u c hb e t t e rt h a nw a v e l e tm e t h o d f u r t h e r m o r e , t h em u r i w a v e l e t - b a n d e l e ta p p r o a c hf o ri m a g ed e n o i s i n g , w h i c hc a l ls u p p r e s st h e p s e u d o - g i b b sp h e b o m e l n o ne f f e c t i v e l ya n dp r e s e r v em u c hm o r ed e t a i l so ft h ei m a g e s , s h o w sb e t t e rr e 邬i t st h a nb a n d e l e tm e t h o d x 日- 强一：i b m d d n , 触r k - - k 啦km 睁斑，l m v 山i , m - m 啊n 瞄| i h n m l d a , d h i - _ 第n 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 图表1 1 ： 图表2 - 1 ： 图表2 - 2 ： 图表2 - 3 ： 图表2 - 4 ： 图表2 - 5 ： 图表2 - 6 ： 图表2 - 7 ： 图表2 8 ： 图表2 - 9 ： 图表3 1 # 图表3 - 2 ； 图表3 3 ： 图表： 图表3 5 ： 图表“： 图表4 1 ： 图表牝： 图表4 3 ： 图表年4 ： 图表4 5 ： 图表拍： 图表目录 几何多尺度分析方法一览表 分段线性正交尺度函数 分段线性正交小波函数 6 删尺度函数和小波函数 4 8 9 1 7 g 删尺度函数生成0 阶和1 阶多项式 g 1 0 4 多小波滤波器 二通道分析滤波器 等价的二通道分析滤波嚣 等效g 删多小波分析滤波器 双通道向量滤波器组 阈值函数 2 1 2 l 2 2 改进软阈值函数 基于多小波阈值法的一维信号去噪 多小波闺值法去噪的量化指标比较 2 8 2 9 3 4 l e n n a 图像多小波阈值法去噪结果3 5 l e n n a 图像多小波阈值法去噪的量化指标比较 局部几何流示意图 3 5 3 8 3 8 4 0 几何流示意图 图像二进分割示意图 小波去噪与b a n d e l e t 去噪实验结果 基于平移不变方法b a n d e l e t 去噪实验结果 基于多小波b a n d e l e t 去噪实验结果4 6 第i i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：基王垄尘这塑g ! 堂l ! ! 杰捶煎璺篮圭咝虚迭 学位论文作者签名：奎至：塑! l 日期：醴p 。年f 月f r 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：基士垄尘速塑纽4 ! l 銮燕鳗圈焦圭嚏左洼 学位论文作者签名：銎! 塑垒日期：l ，。1 年f 月f r 日 作者指导教师斟：鳓雌噍撕；钟月f j l 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第1 章绪论 在图像数据的采集和传输过程中，常常会产生噪声数据只有进行去噪处理才 能有效的表现原始图像的信息，因此图像去噪也成为了图像处理中一个研究热点 去噪的方法很多，例如维纳滤波，中值滤波，小波方法等等其中小波方法由于其 低熵性、多分辨特性等优势，在图像去噪的应用中取得了较为突出的效果然而， 传统的严格采样张量积小波不具备平移不变性，而且只适合表示各向同性的奇异特 征( 或点状奇异特征) 为了弥补传统的严格采样张量积小波对各向异性奇异特征 表示之不足。研究者们在小波的基础上提出了r i d g e l e t 、c u r v e l e t ，c o n t o u r l e t 等新型 变换，用于增强小波的稀疏表示能力特别地，e r w a nl ep e n n e c 和s t 6 p h a n em a l l a t 提出了一种新的基于边缘的图像表示方法b a n d e l e t 变换0 3 1 ，能自适应地跟踪图像的 几何正则方向理论上可以证明：对于几何正则函数，b a m l e l e t 可以实现函数的最 佳稀疏表示l i 田，在图像去噪和压缩方面体现出了一定的优势和潜力u 习 同时，多小波以其独特的魅力引起了许多研究者的浓厚兴趣，这主要是因为它 既保持了单小波的诸多优点，又克服了单小波的缺陷，而且它把十分重要的正交性、 光滑性、紧支性、对称性等完美地结合了起来在图像处理中，这些特性具有重 要的作甩，如正交性可保持能量；对称性既适合人眼的视觉系统，又使信号在边界 易于处理；与紧支性小波对应的滤波器是有限脉冲响应( f i n i t e i m p u l s er e s p o n s e ，f i r ) 滤波器，它能使得相应的快速小波变换之和是有限的。 本文在多小波和第二代b a n d e l e t 变换的基础上，结合阈值去噪和平移不变性去 噪，研究基于b a n d e l e t 的和多小波的图像去噪方法。 ”1 小波分柝撅述 传统的信号分析是建立在傅立叶( f o u r i e r ) 变换基础之上的，为了用f o u r i e r 变换 分析一个模拟信号的谱特性，必须获得在时域中信号的全部信息，甚至包括将来的 信息。另外，如果一个信号在某个时刻的一个小的邻域中变化了，那么整个谱就受 到影响。因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有f o u r i e r 变 换公式是相当不够的。而且，由于f o u r i e r 变换使用的是一种全局变换，对信号性 质的讨论要么完全在时域，要么完全在频率域，因此无法同时表述信号的时频局部 性质，而时频同时局部特征恰好是非平稳信号最关键的性质为了克服f o u r i e r 分 析的缺陷，1 9 4 6 年，d e n n i sg a h z r 弓f 入短时傅立叶变换( 鼬酬时嘛f o m k r t r a n s f o r m ) 短时傅立叶变换的思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g ( t ) 一个短 时时间问隔内是平稳( 伪平稳) 的，并移动分析窗函数，使( o g q f ) 在不同的有限 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅立叶变换虽然 在一定程度上克服了标准傅立叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它存在着自身 不可克服的缺陷，如当窗函数g ( t ) 决定后，矩形窗口的形状也随之确定，时问分辨 事参与频率分辨率暑只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状因 此人们认为，短时傅立叶变换本质上仅具有单一分辨率，若要改交分辨率，则需重 新选择窗函数g ( t ) 。因此，短时傅立叶变换比较适合分析平稳信号，对于非平稳信 号，尤其是当波形变换剧烈时，主频为高频，要求较高的时间分辨率( 即j 要小) ， 而波形变换比较平稳时，主频为低频，则要求较高的频率分辨率( 即占要小) ，这是 短时傅立叶变换无能为力的 小波分析是近十多年来迅速发展起来的新兴学科。它同时具有理论深刻和应用 十分广泛双重意义小波分析是传统傅立叶分析发展史上里程碑式的进展，它是泛 函分析、f o u r i e r 分析、样条分析，调和分析、数值分析等的完美结合，近年来成为 众多学科共同关注的热点小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来工 作的结晶，小波分析优于f o t n k r 分析之处在于前者在时域和频域同时具有良好的 局部化性质，而且，由于对高频成份采用逐近精细的时域或空域取样步长，从而可 以聚焦到对象的任意细节，小波分析的这一特点，使得它特别适合于对信号奇异性 的分析，被誉为。数学显微镜乙 法国数学家y m e y e r 、地质物理学家j m o r l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 在理 论上为小波分析构成较系统的构架。而将这一理论引入工程应用特别是信号处理领 域的则是法国学者1 d a u b e c h i e 和s m a l l a t 在小波发展史的早期，构造l 2 ( r ) 的小 波基是非常困难的，很长一段时间，人们甚至怀疑是否存在这样的函数i 矿( 而，它具 有良好的正则性和局部性以保证耖”( x ) = - 2 j p 2 啦工一d k j 。是r ( j t ) 的一组正 交基。年代，人们找到了这样的函数，同时也找到了构造小波基的标准方法 年代末期与9 0 年代初期，g r o s s m a n 、m e y e r 、c o i f m a n 以及d a u b e c h i e s 等 人建立起小波分析的理论框架。1 9 8 8 年，年轻的女数学家l d a u b e c h i e s 构造出一系 列可任意选定正则性的、更利于信号分解和实际计算的紧支撑正交小波 基：d a u b e c h i e s 基。1 d a u b e c h i e s 的研究工作将信号处理与泛函分析有机结合，对小 波的构造作出在小波发展史上具有里程碑意义的贡献。 1 9 8 9 年，s m a l l a t 和y m e y e r 提出了多分辨分析( m r a ) 的，在理 论上证明了差不多所有有用的小波基都能用m r a 来构造利用多分辨率分析思想， 小波的许多性质，如完备性、线性无关性，近似性、正则性，对称性、正交性和小 波滤波器构造等问题得到很好的研究和应用 在理论成果基础上，相关的适用算法相继出现，其中在1 9 8 9 年，m a l l a t 提出 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 多分辨分析的思想，将小波理论与信号分解、重构紧密结合，提出了著名的m a l l a t 算法，该算法在小波分析中的地位与f o u r i e r 分析中f f t 的地位相同，从而使得小 波变换广泛应用于信息处理领域 近年来，多分辨率分析吣) 和小波思想在许多方面得刭推广，随着实际应用 和需要得到了进一步的发展1 9 9 2 年，a c o h e n 和1 d a u b e c h i e s 提出了“双正交小 波”的概念，即对同一信号f er ( 足) ，其分解小波和合成小波可以是两组不同的 函数系，其中一个重要的双正交小波是1 9 9 2 年c k c h u i 给出的最小支集的线性相 位小波1 9 9 4 年，b e l l 实验室的s w e l d e n s 建立了提升方案皿i f d n gs c h e m e ) 的理论， 小波变换可视为提升方案的一个特例，并且小波变换只在时域( 不涉及频域) 中被定 义与描述。随后，s w e l d e n s 在提升方案的基础上给出了第二代小波的概念，将小波 的应用范围延拓至更一般的情形，如对非等间隔数据的小波分析等 小波分析作为一种数学理论和方法在科学技术界引起了越来越多的关注和重 视在数学家看来，小波分析是泛函分析、调和分析、数值分析等半个世纪以来发 展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程应用领域，特别是信号处 理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁场、 c t 成像、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形、雷达、数字电视等领域。由于 小波变换是傅立叶变换的进一步发展，因此，凡是可以使用傅立叶变换的地方，都 可以甩小波交换来代替。它被认为是近年来在工具及方法上的最大突破。不难预料， 在今后的数年中，小波将成为广大科技工作者经常使用的又一锐利的数学工具，势 必也会促进科技及工程应用的各个领域的飞速发展。 2 多小波概述 众所周知，小波分析在信号处理中有着十分广泛的应用，特别是在信号滤波方 面起着重要的作用。信号处理中较常用的小波函数是单小波，如d a u b e c h i e s 小波和 样条小波，其中d a u b e c h e s 小波是具有紧支集的正交小波，紧支集小波的特点是其 滤波器系数有限；正交样条小波虽不是紧支集小波，但它是对称( 或反对称) 的。这 种对称性常用于滤波器的设计，但是单小波往往不能同时满足紧支性和对称性等特 点自从最早的g h m 多小波脚l ( 由g e r o n i m o 、h a r d i n 和m a s s o p u s t 提出) 成功构造 以来，多小波以其独特的魅力引起了许多研究者的浓厚兴趣，这主要是因为它既保 持了单小波的诸多优点，又克服了单小波的缺陷，而且它把十分重要的正交性、光 滑性，紧支性、对称性等完美地结合了起来在图像处理中，这些特性具有重要 的作用，如正交性可保持能量：对称性既适合人眼的视觉系统，又使信号在边界易 于处理：与紧支性小波对应的滤波器是有限脉冲响应( f m i t e i m p u l s er e s p o n s e ，f i r ) 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 滤波器，它能使得相应的快速小波变换之和是有限的；光滑性在数据压缩中也起着 重要的作用，因为当用于小波变换的小波不光滑时，小波变换所带来的误差很容易 被视觉检测出来与单小波不同，多小波基由多个小波母函数经过伸缩平移生成， 并对应有多个尺度函数采用单小波对信号进行处理时，可以直接对采样数据进行 分解和重构，而多小波则要在分解前先对数据进行预处理，然后还需对处理后的数 据进行分解，最后对重构后的数据还要进行后处理才能得到恢复数据。 1 3 多尺度几何分析与b a n d e l e t 概述 传统的严格采样张量积小波不具备平移不变性，而且只适合表示各向同性的 奇异特征( 或点状奇异特征) 。以数字图像为例，彼此相差几个象素的图像在小波变 换后各子带的能量将相差悬殊；在表示图像的轮廓和边缘时，将边晃上的点孤立对 待。未熊利用沿着边缘方向的连续性或光滑性为了克服这一重要缺陷，从2 0 世 纪9 0 年代末开始，以m e y e r ，m a l l a t ，c a n d 6 s ，d o n o h o 等为代表的国际小波分析 研究专家相继提出了一系列新型多尺度分析的理论和方法，称之为几何多尺度分 析( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ，m g a ) 。 发展脯雠的目的是为了检测、表示、处理某些高维空间中的数据这些高维空 间的主要特点是：高维数据的某些特征集中体现于低维子集中例如：对于二维 图像，主要特征可以由边缘刻画；对于3 d 图像，主要特征体现为丝状物( f i l a m e n t s ) 和管状物( t u b e s ) 到目前为此。人们提出的几何多尺度分析方法列于下表。 新型小波提出者时间 b r u s h l c t f r m 嗨o i sg m e y e r , r o m l dl lc o i f r m m 1 9 9 6 r i d g e l e t e r m a m t c lj ，c a n d y , d a v i dd o n o i l o1 9 9 嚼 c u r v e l e te n n a n u e lj c a n d 6 s ，d a v i dd o n o h o1 9 9 9 n o i s c l e t i l c o i f m a n ，y m e y e r 1 9 9 9 b a n d e l e t e r w a nl ep e n n e c ，s t 6 p h a n em a l l a t2 0 0 0 b c a m l c td a v i dl d o n o h o ，x i a o m i n gh u o2 0 0 1 c o n t o u r l e tm n d o m a r t i nv e r e d i2 0 0 2 d i r c - t i o n l e tv i a d a nv e l i s a v l j e v i c ，m a r t i nv e t t e d2 0 0 4 图表l - l ：几何多尺度分析方法一览表 2 0 0 0 年，为了弥补传统的严格采样张量积小波对各向异性奇异特征表示之不 足。e l w a nl ep e n n e c 和s t e p h 甜, em a l l a t 提出了b a n d e l e t 变换b a n d e i c t 变换提供 了一种新的基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向理 论上可以证明：对于几何正则函数，b a n d e l e t 可以实现函数的最佳稀疏表示【1 4 1 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 构造b a n d c l c t 的中心思想是定义图像中的几何特征为矢量场，而不是把几何 特征简单地看成象素点的集合，从而能够充分利用图像本身的局部几何正则性 矢量场表示了图像灰度值变化的局部正则方向p e n n 和m a l i 越首先定义了一种 能表征图像局部正则方向的几何矢量线( g 期雠咄f l o wo f v e c t o r s ) 再对图像支撑 区域s 进行二进剖分s = u 磁，当剖分足够细时，区域o i 中最多只包含图像的一 条边缘线对于包含边缘线的局部区域。几何正则方向就是图像边缘线的切线方 向根据局部几何正则方向，在全局最优的约束下，计算区域q i 上矢量场x ( x t ，x 2 ) 的矢量线再根据矢量线定义饧上的b a n d c l c t 基对于不含边缘线的平坦区域， 可以用经典小波分析的方法来处理所有剖分区域秭上的b a n d e l e t 基函数或小 波函数的集合，构成l 2 ( s ) 上的一组标准正交基 b a n d e l e t 基函数并不是预先确定的，而是针对全体图像，以全局优化的方法 自适应的选择基函数的组成h 彻体和m 枷蠢给出了b a n d d e t 最优基的搜索算法 由于b a n d e l c i 是一组正交基，所以表示图像时信息无冗余它的自适应策略使 得可以用较少的b a n d c l e t 系数表示图像在边缘处的奇异性质这样就可以把图像 分成两个部分表示：边缘线用较少的b a n d e l e t 系数表示，而除去边缘以外的其他 变化相对缓慢的部分则用常见的二维小波来表示初步实验结果表明与经典的 小波交换相比，b a n d c l e t 在图像去噪和压缩方面体现出了一定的优势和潜力【i ” 1 4 图像去噪概述 随着小波理论体系的不断完善域发展，小波变换在实际中的应用越来越广泛。 图像去噪在信号处理领域是一个很经典的问题，小波变换以其良好的时频分析特性 在图像去噪中受到人们越来越多的关注 小波变换用于图像去噪的理论基础始于s a 4 a l l a t 把数学上的l i p s c h i l z 系数与小 波变换的模极大值联系起来吲。随后，d o n o h o 提出了小波阈值萎缩方法 ( v i s u s h r i n k ) i s ，并从渐近意义上证明了其优越性。然而在实际应用中却往往效果 不好，存在“过扼杀”系数的缺点相继他又在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dl t i s i 【 e s t i m a t i o n ) 准则下提出了另一种小波阈值萎缩方法( s u r e s h r i n k ) 唧，这种方法 的实际去噪效果较1 、h s u s h r i n k 有了很大的提高。以后人们进一步研究小波相关去噪 方法、比例萎缩方法等，并且在进一步提高算法的局部适应性、先验模型的准确性、 边缘信息的保留性等方面取得了比y t s u s h r i n k 、s u r e s h r i n k 更小的去噤误差 最初的去噪方法主要是利用小波变换去相关性的特点，在小波分解后的不同层 采用不同的阈值，代表方法有v i s u s h r i n k 方法p l 和s u r e s h r i n k 方法【9 】等这期问硬 阈值、软阚值和半软阚值等阈值函数也相继提出；后来人们开始根据小波系数的统 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 计性质建立各种先验模型，对小波系数的萎缩自适应变化，也就是每个小波系数所 采用的阔值都各不相同原图像小波系数的方差估计采用局部邻域估计，代表方法 有a d a p t b a y e s s h r i n k 方法、l a w l v l l s h r i a k 方法等：进一步，人们开始把小波系数 层问和层内的相关性应用到去噪中，二元或多元的小波萎缩函数被提出在去噪的 同时如何尽可能地保留边缘、纹理等细节、如何使去噪后的图像更光滑、如何将小 波变换去噪与其他方法结合等都处于不断地探索和研究中代表方法有b i v a s h r i n k 方法、小波的马尔可夫方法和复数小波去噪方法等。 1 5 本文内容与结构 本文在多小波和b a n d e l e t 变换的基础上，充分利用b a n d e l e t 自适应跟踪图像几 何正则方向、变换系数能量集中的优点和多小波的同时具有紧支性和对称性等特 点，结合阙值去噪和平移不变性去噪，设计基于b s m d e l e t 和多小波的图象去噪算法， 取得了较好的实验结果。文章内容组织如下： 第2 章对多小波理论做了较为详细的讨论，包括多小波的理论框架，离散多小 波变换和多小波预滤波器的设计等内容，其中特别针对g h m 多小波分析了数据预 处理和预滤波器的选取规则。 第3 章介绍了基于小波的几种去噪方法，主要以阈值去噪方法为主，并对多小 波去噪作了一定的讨论，并给出实验数据，作为基于b a n d e l e t 的去噪方法的引导和 基础 第4 章介绍基于第二代b a n d e l e t 变换和多小波的阙值去噪方法。本章首先简单 介绍第二代b a n d e l e t 变换的理论和实现方法，然后结合阈值去噪和平移不变性去 噪，设计基于b a n d e l e t 变换和多小波的去噤方法，并给出实验结果 第5 章对全文傲总结，分析本文工作的优缺点，并对未来的工作进行提出初步 设想。 第6 页 垦堕型兰茎查奎兰翌茎生堕兰垒丝苎 第2 章多小波理论 2 多小波简介 2 1 1 简介， 小波理论是以多分辨分析( m r a ) 为基础的。通常来说，一个标量尺度函数满足 双尺度关系： 砷) = 以2 f d 日 尺度函数的伸缩与平移生成一个多分辨分析( m r a ) ：一列闭子空间 巧) i z ，巧巧+ ，w e z ；n 巧= o ，u 巧= 上2 ( r ) ； 尺度函数砷) 的平移“t - k ) 构成子空同k 的基而一个标量小波函数 吵( ，) e r ( r ) 的平移构成的基，使得：k = r o o 。其伸缩与平移 f y 一：y p ( t ) = 矽y ( 2 t - k ) ，j , k c x 构成r ( r ) 空间的基 可以看到，标准的m r a 仅仅具有一个标量尺度函数烈f ) ，虼的基仅仅由9 0 ) 的 平移构成后来，标量小波被推广到矢量域上从而得到更为一般化的矢量小波，也 称作多小波它允许由多个尺度函数仍( f ) ，仍( r ) ，- - b9 铀( f ) 的平移来构成k 的基相 应的，向量，( f ) = 渤( 嘎仍似，o ) r 满足一个以矩阵为系数的双尺度关系。与 ，o ) 对应的是一个多小波y ( f ) = 【( 嘎n ，( 矿。多小波是标量小波的推广，而 且具有一些标量小波不具备的新特性：其双尺度方程的矩阵结构使其可以将正交 性，对称性和高阶逼近性结合起来 2 z 例子：线性多小波 首先介绍一个简单的例子来说明多小波的思想1 2 0 1 。该多小波是由a 1 d e r t 构造 的。考虑下面两个分段线性函数： f 1 o t 1 吼= 【0 其他叫2 压：争。= 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 | | 图表2 1 ：分段线性正交尺度函数 令k = 印册溉( ，一n 仍( f i ) k e z ，于是仍o n 仍( ，一七) k z 是构成 c 工2 皿) 的正交基，k 中的函数都是整数区间上的分段线性函数更进一步，令： 巧；印唧2 么n ( 2 ，一i ) 2 么仍( 2 t i ) i e z 巧中的函数都是区间专，! 笛与上的 分段线性函数。仔细观察函数吼( ，) ，仍( ，) ，可知他们满足下面的双尺度方程： 兰2 = 一舅 墨翻+ 李到匿暑：； 但m 该关系式说明； 吼( f ) 仍o ) ev o 亡k 类似的易知：c j e z w ( ，) 上? 氓) ，设( f ) 为，( ，) 在上的正交投影，则z ( ，) 为分段线性函数，且由 泛函分析的知识= z ( t ) ( f ) j 啼佃，因此： n 巧= 田，u 巧= 上2 俾) ； 这种嵌套式结构的空间序列 一 通常就称作多分辨分析，不过这里是由2 个尺度函 渺降繁渺 2 压( 刀一i 2 ) o s t i 2 - 2 压( 2 t 一3 2 ) 1 2 s # = 尹o ( 2 ，x ，弧2 ，) o - j ( 2 1 1 ) = p 少 ：三尹口哪x 。k r ) 尹r 2 于是得到下面的命题： 命曩幺l 嘲：给定多尺度函数，o ) 、双尺度矩阵尹和对应的由位l o ) 定义的g r a m 矩阵，则下面关系式成立： 2 ，= 尹同旷 ( 2 1 2 ) 在标量小波中，我们考虑得更多的是具有正交性质的尺度函数。若我们假设定 义l 中构成予空间的r i e s z 基 仍( f 一七) 1 f r , k z ) 同时也是正交基，即： = 4 ，磊。 ( 2 1 3 ) 对于向量函数尹o ) ，相应的表达式为： = j ，4 。 ( 2 1 4 ) 其中j 为r x r 单位矩阵在这种情况下，( 2 i o ) 式简化为： ，2 【 = q 歹t 工t - l ，一z口1 聊 上式说明由( 2 1 7 ) 式定义的不同予空问中的函数是相互正交的如果在同一个子空 间中，函数2 托( 2 ，一