（概率论与数理统计专业论文）随机环境下的最优投资策略分析.pdf

硕士学位论文 m a s t e r ，s t h e s i s 摘要 最优投资消费问题是在已有的财富水平下，如何安排给定时域的投资和消费比 例，使得关于消费和终值财富的期望效用最大化，这方面的研究最早始于h a r r y m a r k o w i z5 0 年代的投资组合理论。随后m e l t o n 对连续时间的投资组合问题进行了 研究，投资组合理论得到了空前的发展，但是基于m e r t o n 问题的投资对象仅限于 风险证券和无风险证券，而随着中国经济2 0 多年的持续高速增长，市场上最活跃的 经济活动者的投资对象早己不仅仅限于一般的风险证券和无风险证券，他们把目光 投向了更复杂和更具风险性的衍生证券，因此在衍生证券日趋成为抢手的投资对象 的情况下，如何投资和消费使得期望的终值财富效用最大化是目前亟需解决的问 题，而目前国内关于这方面的研究尚不多见。 本文首先通过指数效用函数的无差异曲线与只含基本证券投资组合的有效前 沿证明了最优策略的存在性；然后将期权纳入投资对象，引进无差异价格和谪，在 财富效用函数为指数型的假设条件下，利用对偶理论和无差异价格函数的严格凹的 性质，证明了在一个无套利的不完全市场中，最优投资组合策略是存在且唯一的； 对于证券市场中仅含有一个风险证券及其看涨期权的情形，应用最优控制原理得到 了基于指数型效用函数的最优投资策略的显式解。 关键词：指数效用最优投资衍生证券 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s a b s t r a c t t h eo p t i m a li n v e s t m e n ta n d c o n s u m p t i o np r o b l e mi st h ep r o b l e mt h a tu n d e rc e r t a i n w e a l t hl e v e l ，h o wt oa 玎a n g et h ep r o p o r t i o no fi n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o ni nf i x e dt i m e d o m a i l ，t om a x i m i z e st h ee x p e c t e d u t i l i t ya b o u tt h ec o n s u m p t i o na n dt e r m i n a lw e a l t h e x t r e m e t h ee a r l i e s tr e s e a r c ha b o u tt h i sa s p e c ts t a r t e dw i t hh a z ym a r k o w i t si n v e s t m e n t p o r t f o l i ot h e o r yi n1 9 5 2 a f t e rt h a t ，m e r t o nr e a s e a r c h e dt h ec o n t i n u o u s t i m e si n v e s t m e n t p o r t f o l i ot h e o r y ( 1 9 6 9 1 9 7 1 ) ，i n v e s t m e n tp o r t f o l i ot h e o r y o b t a i n e d u n p r e c e d e n t e d d e v e l o p m e n t ，b u tf o rt h ei n v e s t m e n to b j e c t si nm e r t o n sr e s e a r c hp r o b l e ma r eo n l yr i s k y a s s e t sa n dr i s k f r e ea s s e t s , w i t ht h ep e r s i s t e n ta n dh i g hs p e e dd e v e l o p m e n to fc h i n e s e e c o n o m i c , t h em o s ta c t i v i t i l yi n v e s t o r si nf i n a n c i a lm a r k e to fc h i n ah a v en o to n l ys a t i s f i e d a tr i s k ya s s e t sa n dr i s k - f r e ea s s e t s ，t h e ya l s of o c u s i n go nt h ed e f i v e r t i v es e c u r i t i e sw h i c h a r em o r ec o m p l e xa n dh a v eh i g h e rr i s k ，s oi nt h es i t u a t i o nt h a tt h es e c u r i t i v ed e r i v a t i v e s b e c o m em o r ep o p u l a ri n v e s t m e n to b j e c tt o d a y h o wt oo b t a i nt h eo p t i m a ls o l u t i o na b o u t t h ee x p e c t e d u t i l i t yo fc o n s u m p t i o na n df i n a lw e a l t hi sv e r yu r g e n t l yp r o b l e mn o w , b u ts o f a rt h e r ea r en o tt o om u c hr e s e a r c hi nt h i sa s p e c t i nt h i sa r t i c l e ，a c c o r d i n gt ot h ei n d i f f e r e n c ec u r v eo fe x p o n e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o na n d t h ee f f i c i e n tf r o n t i e r so ft h ef i n i t ea s s e t si n v e s t m e n tp o r t f o l i o ，w ef i r s tp r o v e dt h e e x s i s t e n c eo fo p t i m a ls t r a t e g yi ni n c o m e p l e t ea r b i t r a g e - f r e em a r k e t ；t h e nt h ed e r i v a t i v e s e c u r i t yi sm a d ea si n v e s t m e n to b j e c t ，w i t hi n d i f f e r e n c ep r i c ea n dr e l a t i v ee n t r o p y , i nt h e c o n d i t i o no fn e g a t i v ee x p o n e n t i a lu t i l i t y , b yu s i n gd u a l i t yp r i n c i p l ea n ds t i r i c tc o n c a v i t y o ft h ei n d i f f e r e n c ep r i c ef u n c t i o n ，w ep r o v e dt h ee x s i s t e n c eo ft h eo p t i m a li n v e s t m e n t s t r a t e g yi nd e r i v a t i v ea s s e t si nai n c o m p l e t ea n da r b i t r a g e - f r e ef i n a n c i a lm a r k e t ；f o rt h e s i t u a t i o nt h a tt h e r ei so n l ya r i s k ya s s e ta n da c a l lo p t i o no ft h er i s k ya s s e t ，u s i n go p t i m a l c o n t r o lt h e o r y , ia b t a i n e dt h ee x p l i c i ts o l u t i o no fo p t i m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o n s t r a t e g yi nt h ec o n d i t i o no fn e g a t i v ee x p o n e n t i a lu t i l i t y k e y w o r d ：e x p o n e n t i a lu t i l i t y , o p t i m a li n v e s t m e n t ，d e r i v a t i v es e c u r i t i e s i l 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：张￥酉沼日期：力年r 月万日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：狼铴浩 日期：击砷年r 月加 导师签名：伤仁， 日期脚nd 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重诠塞握套后澄卮! 旦堂生；旦二生；旦三生蕉盔! 作者签名：旅阿谘 日期删年，月万日 导师签名巧弘 日期：溯年j 、月誓日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章引言 1 1 理论研究背景与发展 在全球经济一体化的发展和金融市场的全球化环境下，过去稳定的金融市场早 己不复存在，而是发展成为今天一个具有很大波动性的市场，突发事件时有发生， 这对经济产生极大的影响，经济危机和风波不断发生，严重导致了金融市场风险的 加剧，如汇率不再稳定，市场价格的波动性越演越烈，此时以防范、控制和化解金 融风险的金融衍生产品层出不穷，有关金融衍生产品的定价问题和证券投资及其风 险防范问题都开始有广泛深入的研究，也取得了很大的成果。自2 0 世纪5 0 年代开 始，金融数学得到迅速发展，并取得了一些标志性的理论成果，主要有：( a ) 1 9 5 2 年亨利吗柯维茨( h a r r y m a r k o w i z ) 的现代投资理论用收益的均值和方差度量投资的 期望收益与风险，首次实现了投资效用的定量分析，使金融分析由定性分析向定量 分析转化成为可能。( b ) 1 9 6 4 年由威廉厦普( w i l l i a n s h a r p e ) 提出的资本资产定价模型 ( c a p m ) 是金融理论发展的第二个里程碑，这一模型至今仍然是现代投资分析的主 要工具，并得到广泛的应用。( c ) 1 9 7 3 年由布莱克( f b l a c k ) 与舒尔斯( m s c h o l e s ) 提出的 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，该模型及其许多变形几乎从发表起就一直被用于确定 卖出和买入期权的公平价值。( d ) 1 9 8 2 年由恩格勒f r e e n g l e ) 给出的a r c h 风险评估 模型用于对各种风险进行建模和评估。这些研究成果也将金融学带入了一个全新的 理论发展阶段。 但是由于中国的证券市场还比较年轻，迄今为止，由于违约、通货膨胀、企业 效益、外部市场等各种不确定因素的影响，中国的证券投资市场还不成熟，非常具 有风险性，市场上价格的波动造成收益的不稳定，而大多数经济活动者进行投资都是 想以最小的风险获取最大的收益。但是，由于市场中存在无限种投资组合，所谓的以 风险最小、收益最大的最优投资组合是不可能存在的，也是不现实的，所以资产的 最优配置可以在成本最小化、期望收益最大化或者风险最小化等不同的优化标准下 进行。如果风险厌恶的投资者采取前面两个决策标准，则同时也最大化了非系统性 风险，这显然是不足的，一种有效的方法是在保障一定收益水平的同时，最小化组 合风险，m a r k o w i t z l 9 5 2 年发表的开创性论文“投资组合选择”正是源于此想法，该 问题描述了在离散时间的均值一方差风险决策体系下，投资组合优化问题可以归纳 成一个非线性凸规划问题，亦可称为约束极值问题，运用广义拉格朗同乘子法，得 硕士学位论文 m a s t e r s t h e $ i s 到原风险最小化问题的最优资产组合的权重向量即为该方法下的库恩一塔克点。后 来的学者以及金融从业人员不断地扩展这种想法，其中很多问题都可以借助广义拉 格朗日乘子法得以解决，但技术上的难点在于优化问题在其可行域内的光滑性受到 了质疑，并且假设的市场模型比较简单，只考虑有限证券的投资，没有考虑消费和 衍生产品的投资问题。另一种方法就是引入经济学上的冯诺伊曼一摩根斯特恩 ( v o n n e y m a n n - - m o r g e n s t e m ) 期望效用函数【1 4 l 来刻画，比较典型的有二次效用、 幂函数、对数效用等h a r a 类效用函数以及负指数效用函数，该类型的效用函数建 立在具备反射性、完备性等七个公理性假设的基础上，能够准确刻画一类较为特殊 的风险偏好关系。鉴于中国这一不成熟的金融市场上资产收益的不确定性，经济活 动者往往采用期望效用最大化作为决策的标准，效用理论较m a r k o w i t z 的投资组合 而言对投资者行为的刻画更加细致，最显著的特点就是，该理论可以同时用来刻画 投资者的消费行为和带衍生产品的最优投资行为。这一方法的提出也大大加强了数 学与现代金融的合作，用数学工具解决了金融上了一些问题，如k a b a n n o v , y m 的 鞅理论用鞅方法讨论了终端财富的指数效用函数的最大化问题，还有随机控制理 论、随机微分对策理论、对偶理论等都被广泛应用并解决了一些复杂的实际问题， ( 见文献 9 1 0 1 1 1 。有关这方面的研究最早始于m e r t o n 6 0 、7 0 年代的工作( 见文 献【6 ，7 】，m e r t o n 问题假设投资者效用函数为双曲绝对风险规避函数( h a r a ) ，对 常系数模型得到最优投资消费策略显式解，在同样的模型假设下，k a r a t z a s 等推广 了m e l t o n 的结果，对投资者的更一股效用函数得到了显式解，以上这些结果的获 得都是利用了随机最优控制理论。随后l e h o c z k y 、s e t h i s h r e v e 、k a r a t z a s 等在这方 面也做了许多系统的工作k a r a t z a s 、l e h o c z k y 与s h r e v e 还考虑了随机市场系数以及 不完全市场情况下的m e r t o n 问题( 详见文献【8 】) 但是鉴于m e r t o n 问题的投资对象仅限于风险证券和无风险证券，这是由当时的 市场条件所决定的，而随着金融市场的发展日趋完善，衍生产品层出不穷，因为衍生 证券投资少、收益高的高度杠杆效应，经济活动者开始馒侵认识到如果把期权、期 货等衍生产品作为交易对象不仅可以进行风险管理、对冲风险，也是投资和投机的 好途径，所以随着衍生产品和风险管理制度的日趋完善，如今已经成为资本市场上 很抢手的投资对象，世界各地也都先后成立了衍生证券交易所，如美国的芝加哥期 权交易所、费城交易所、欧洲期货与期权交易所、日本东京财经期货交易所等。但 是因为衍生产品种类多，情况复杂，投资的风险也是无处不在，所以对带衍生产品 的最优投资和风险分析就显得更为迫切和重要。而这方面的研究到目前为止尚不多 见，本文在已有的少量相关文献的研究基础上讨论了在无套利的不完全市场中带衍 2 硕士学位论文 m a s t er t s t h e s i s 生证券的最优投资策略的存在性，然后综合考虑投资与消费的最优策略，假定市场 中仅有一个欧式看涨期权和一个风险证券时，用随机动态规划的方法解出了消费和 投资于期权和标的资产的最优投资比例的显式解。 i 2 本文结构与主要结论 本文主要分四部分： 笫一部分为引言，介绍了组合投资的理论研究背景和基于m e ：t o n 问题的效用 函数理论的研究成果，讨论了投资对象中含衍生证券对用效用函数理论研究阉题的 方法。第二部分是预备知识，给出了一些背景假设和基本定义：包括效用函数、鞅、 等价鞅测度，期权定价公式等。第三部分与第四部分是本文的主体，给定负指数型 效用函数，结合相关假设讨论了无套利的不完全市场下的最优投资问题，其中第三 部分证明了带风险证券和衍生证券的最优投资策略的存在性，第四部分在假设不含 无风险证券投资，用最优控制理论解h j b 方程得到了关于股票和欧式看涨期权的最 优投资和消费策略。 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 第二章预备知识 2 1 市场模型和相关定义 在无约束的情况下，类似与b s 期权定价公式的基本假设1 ，研究连续时间的 投资组合决策仍做如下假设： ( 1 ) 风险资产的价格变化过程可由几何布朗运动来表示； ( 2 ) 所有资产可连续的进行交易，且所有资产具有任意可分割的属性； ( 3 ) 市场无摩擦，即交易过程中不考虑任何税金、红利和中介费用； ( 4 ) 无风险资产存在，这里假设是银行存款： ( 5 ) 允许卖空，并可利用所得资金进行其他的如衍生证券的投资； ( 6 ) 市场是无套利的完全市场，即存在唯一的风险中性概率测度，使贴现证 券价格在该测度下的条件期望为鞅。 定义2 1 1 称随机过程y t 侈( f ) ，f 。o ，1 ，秘是在概率p 之下适应于f 的鞅，如 果对任意s 2r 有：e 【y p ) 1 只】一y ( f ) 。 定义2 1 2 称市场是完全的，若任何未定权益均可由基本证券所复制f 即存在一 个投资组合使得该组合的期末收益正好等于该未定权益) ，否则称为不完全的。 定义2 1 3 ( 参见【1 5 】) 在概率滤波空间( q ，f ，亿) f 。p ) 上，一个概率测度卢称为 等价鞅测度，若卢与p 等价( 对 c a f ，p ( a ) = 0 户) = 0 ) ，而且每个债券贴现资产 丘( f ) | 吾祭为( q ，f ，化) f 声) 鞅。 2 2 效用函数和绝对风险厌恶度量 人们在生活中追求消费的快乐和财富积累的满足，如何评价消费与投资的好 坏? 因为经济环境的不确定性，理性的投资者应该从可允许的自融资策略中选择最 优策略，使得自己的期望效用达到最大化，效用函数的定义如下： 定义2 2 1 设个体的效用函数u ：( 0 ，t 】【0 ，m ) 一只是c “1 类函数，且对于任意 t 具有以下性质； ( 1 ) v ( t ，- ) 是一个严格递增的凹函数； ( 2 ) 导数u ，“，石) 。型塑满足条件 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 啪，0 ) = 脚掣一* u ；( f ，m ) 刊m 掣盟。o 在公平博弈下，投资者对风险的态度可用效用函数来描述，设有两种状态h i ，h ：， 状态h 。发生的概率是p ，状态h ：发生的概率为1 一p ，则p h 。+ ( 1 - p ) h ：一0 反映了公平 博弈，此时，如果投资者的初始财富为、效用函数为u ( ) ， 当u ( ) 之p u ( + | i l 。) + ( 1 一p ) u ( + ：) 时，称投资者是风险厌恶者； 当u ( ) 一p ，( + 磊。) + o - p ) v ( + ：) 时，称投资者是风险中性者； 风险厌恶型 风险爱好型 图1 风险中性型 当【，( ) s p v ( w o + | l l 。) + ( 1 一p ) u ( w o + h ：) 时，称投资者是风险爱好者。( 见图 1 ) 对中国不发达的金融市场，般的投资者都是风险厌恶的，所以本文限定典型 的投资人为风险厌恶者，每个风险厌恶者对风险厌恶的程度又是不一样的，在图形 上表现为对风险越厌恶，曲线越凹。我们用r o ) ；一兰芸掣表示厌恶程度，我们知道， ht x ) 投资者的偏好效用函数表示关于正仿射变换意义下是惟一的，而在正仿射变换下 一警等是不变的，所以我们把尺o ) - 一譬u 等作为风险厌恶的一个有效的度量指标， “l 工lx i 因为他是由普拉特( 1 9 6 4 年) 和阿罗( 1 9 7 0 年) 首先定义，因此我们称r o ) 一之黑 hl 工j 为阿罗一普拉特绝对风险厌恶度量( a b s o l u t e r i s ka v e r s i o n ) ，显然，当 冠( - ) 芑鲥，投资者是风险厌恶型 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 3b i a c k - 一s c h o i e s 定价公式 设f ( t ，j ) 是依赖于标的资产( 这里设为股票) 的衍生证券的价格，设标的股票价格 s ( f ) 服从如下随机微分方程： a s ( t ) 一筇( o a t + o s ( t 矽( f ) ( 1 ) 其中p ，仃为常值，分别表示股票的预期收益率和价格波动率，b ( f ) l 。是标准的 布朗运动； 由n o 公式，依赖于标的股票的期权价格f 满足随机微分方程： d f ( t ，j ) 一【e + 芦e + 妻口2 s 2 l 】础+ 四d o ) ( 2 ) 二 在风险中性、无套利和市场完全的假设下，由【2 】知，方程( 2 ) 可转化成 f t + r s f l + 兰矿s 2 f s s r f b ，幻 二 这是一个抛物型的偏微分方程，从而有 f ：+ u s fs + 鼍d l s l f l 一r f ( s ，f ) + t l s f l - r s f , t 3 ) 二 由看涨期权的边界条件f ( 丁，s ) = m a x s ( r ) 一g ，o ) ，b l a c k - - s c h o l e s 解得： f ( t ，s ) 一s n ( a i ) 一q e 。“卜n ( a 2 ) 其中r 为无风险利率； 如竺( 么! ：! 丝坚：竺 a 4 r t 如! ：! ：丝! ：，一盯再； g r , r t 0 ) 为标准正态分布变量的累计概率分布函数( 即这个变量小于工的概率) 这 就是著名的b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式 2 4 最优投资组合的有效前沿 马科维茨在求最优投资组合的有效前沿时假定风险可以用收益率的方差刻画 设，1 ，- 为h 个证券的收益率，它们都是方差有限的随机变量，记 6 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s t c 0 v 【，0 】， 0 。q + w 2 r , + + ，其中q4 - ( * 3 2 + + q 一1 t 芝q 吩 g o ；( ( a i ，9 0 2 ，o n ) t , et ( 1 ，1 ，1 ) 7 u 一0 l ，“2 ，“。) 1 ，u j e 【】 y 一) u 蚺， m a r k o w i t z 的问题为 rm i n 屯；7 0 不满足此条件的价格向量称为无套利的。 设只是关于p 的等价鞅测度集，并且假定匕一a 定义3 2 2 ( 相对熵( r e l a t i v ee n t r o p y ) ) 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 设q ，p 是任意两个概率测度，相对熵定义为： 比j p ) = e g 矧韧舯 【 + 。 其他 令p ，。 q 旧只，q p ，并假定只np ，o ，则存在唯一的概率测度 q o 弓n e , ，s 1 日( q l p ) 取最小”1 这里我们假定的不完全市场没有套利机会，即市场是可生存的，可以证明市场 是可生存的充要条件为存在等价鞅测度，使得所有证券的折现价格过程为鞅1 1 1 定义3 2 3o - 0 l0 是d 维空间上f 一可料的，s 一可积的价值过程，使得 置”- 0 d sx e ，v q e p ! 都是q 一鞅) 。 投资对象中有d 种股票，股票价格s ( ) = k ( ) ，( ) ) 是连续变化的，在自融资 策略一( 下，期末丁时的终值财富。z + | ：e d s + a 一，) ，其中x 是r 时刻的现 金流，终值财富的负指数效用为：u ( w p = - e x p 【一y ( 工+ f 鲫+ a ( g p ) ) 】。 令：咄炉一手黔g e c x 一+ f 郇) 】) 引理3 2 1 给定集合z 一售j e 勃一o ，e 宇tl 即e r ，其中r 为自融资策略在初 期财富为0 的t 时刻的最终收入， 令：几m a x e l l 一e x p ( 一叩) ；延卿e 【亭l n 亭) 则：，。1 - e 证明：令伊0 ) 一1 - e 一，则它的共轭函数为 驴( y ) 一s u p 【妒o ) 一叫】一r 一1 - y 0 0h l y ；： lv o ， 跗4 斟秽【g + 吾吨j 忖吨0 | p ) + 所以掣“凹r t e 。f g l + 土e y 白( q 阶删例 q 4 是使得( q p a ) 取最小值的唯一概率测度 。 令( q ) 一e 。【g 】+ 专( q p ) 一h ( q 2 p ) ) ，q 弓 因为- ( o l e ) 一白a p ) ：0 所以e 口i g 】s 嘲i n fa ( q ) x e o 【g 卜( q 1 ) 瞄i n f ( q ) ， 所以b 取) = 躲罂乏( 鲍) = l 。i 。r a e 。4 f g 】= e 一( q 所以口n ) 是可导的严格凹函数，放占似) 是连续可导的严格凹函数 所以“0 一a t , ) 的最大值存在 而“g 一印) 是对u ( ) 取自然对数得到的，故“仁一印) 取最大时【，( 睇) 也取最 大 故带衍生证券的最优投资策略是存在的 1 4 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 第四章带期权的最优投资消费问题的解 本苹假设投资者在市场中司选择的投资对象有：一种股票和以该股票为标的证 券的欧式看涨期权，不考虑无风险资产，股票和欧式看涨期权的价格过程由前面给 定，此外，还考虑投资者的消费行为，记消费过程为c t t = o ) 坼。( t ) d t ，o l ，p 一口j ， 其中 c ( f ) ，0ctcn 表示投资人在单位时间内的消费量，o ( t ) 、2 ( 0 分别表示投资者 在t 时刻拥有的风险证券以及期权的头寸，z 为初始时刻的现金财富，( f ) ，p ) 分 别表示投资者对风险证券和期权持有的单位数，设 工( f ) ，0 c tc r ) 表示投资者在t 时 刻的财富过程，则下面的关系成立： 工( f ) 一( f ) s ( f ) + n ，( f ) f ( t ，s ) 疗( f ) - p ) s ( f ) ，丑( f ) n ，f f ) f ( t ，s ) 综合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 得： 。p ，p ( f ) + 圳。一，弦钐+ r x ( t ) 叫加m 冷卜) 定义3 3 1 称三元组p ( r ) ，a ( f ) ，c o ) ) 为一个允许策略，如果 s ol o ( r ) 1 2 出 o o ，口s ，ol a t 1 2 m ，口j 。f c ( f ) c * ，口j 所有允许策略的集合称为允许策略集，记为i ( x 1 现考虑最优投资消费策略，即求p ( f ) ，刀o ) ，c g ) ) a g ) ， s j j o ；c ，口，a ) ；e f ov - c ( t ) d t + u ：g ( 丁) ) l 在a o ) 上取得最大值。 设u ，u ：为前面所定义的负指数型效用函数，定义值函数 瞰引= m a x e 一f f u - ( c ( s ) 拯l + u 2 g ( r ) ) 则h j b 方程为： + n l a 4 - e x p ( - c ( t ) ) 一k c ( f ) ) + ( 即m 舢a x 圪m ) 删 b 叫 + 扣2 眇a ( t ) s f y f 2 一0 ( 1 0 ) 令 州) 1 忡( f ) ( m ( f ) ( 一坶洲( f ) h 附s 研 1 5 帆一屹( ) + 比a 2 川) s 】。 q t ( b + 吃水+ a ( f ) s 】。 所以口“一一警 ， 因为掣p ， ) 是关于口( f ) + a ( t ) s 乞的一个一元二次函数，且吃( o ，所以当 枷梦一一警时，啦舭得最馗 另外，由( 1 0 ) 知，消费的一阶最优条件为：c ( f ) 一一号l n 等 ( 1 2 ) 因为效用函数为指数型【，o ) e x p ( r x ) ，所以 v ( t ，x ) z 妒o ) e x p ( 一r x ) ， 其中学o ) 满足妒够) 一一1 ，于是，由( 1 2 ) c ( f ) 一一号l n - g ( f ) 】+ j ( f ) 1 3 将( 1 1 ) 、( 1 3 ) 代入( 1 0 ) 并化。| z 。一1 0 9 ( f ) ，工( f ) 满足方程 g 协珊) 1 - l n ( 硼) ) 拙一j i - ( - 广r y - r 川卜 + 川s - 孑，r o ( t ) “m ，所以 啪，一警 删t 孑， ( 口( f x a ( f ) ，c ，( f ) ) 即投资者的最优投资消费策略。 可见，在效用函数为负指数型的情况下，当不投资于无风险证券时，最优风险 1 6 硕士学住论文 m a s t er ，s t h e s i s 的d e l t a 值e ”，投资风险偏好，都会对最优投资策略产生影响，并且对衍生证券的投资 与标的资产的投资比例是相互影响的，所以不完全市场下讨论带衍生证券的投资问 题就显得更为复杂。 1 7 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 第五章结束语 不确定情形下的最优投资消费问题是具有现实意义的研究课题，本文在一个无 套利的不完全市场模型下，假定效用函数为负指数型，用对偶方法初步讨论了投资对 象中除了基本证券，还包含衍生证券时的最优投资消费策略的存在性，并在不考虑无 风险证券的情况下运用最优控制原理得到了最优投资消费策略的唯一解，但是本文 所得的结论是在指数效用函数和欧式看涨期权的假设前提下得到的，并且仅仅只考 虑了一个风险证券和衍生证券，但是如果效用函数不是指数型，或者考虑多个投资对 象，并且考虑其他衍生产品的投资，问题会更加复杂：例如把欧式看涨期权换成美式 看跌期权，因为美式期权可以在到期日以前的任何时间执行，到底什么时间执行是最 优的，这就涉及最优停时的问题。有关这些方面的最优投资消费问题的深入研究有 待进一步探讨。 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】史树中，金融经济学十讲，上海人民出版社f m 】，2 0 0 4 【2 j o h n c h 张陶伟译，期权、期货和其他衍生证券【m 】，华夏出版社，1 9 9 7 【3 1 杨云红，高级金融理论【m 】，武汉大学出版社，2 0 0 1 【4 】王一鸣，数理金融经济学北京大学出版社，1 9 9 6 【5 】郑振龙，金融工程【m 】，北京：高等教育出版社，2 0 0 3 【6 m e r t o n 。rl i f e t i m ep o r t f o l i os e l e c t i o nu n d e ru n c e r t a i n t y ：t h e c a s e j r e v i e wo fe c o n o m i c sa n ds t a t i s t i c s 。1 9 6 9 ，5 1 ：2 4 7 之5 7 【7 m e r t o n 。ro p t i m a lc o n s u m p t i o n a n d p o r t f o l i o r u l e si n a m o d e l j , 1 0 u m a lo fe c o n o m i ct h e o r y , 1 9 7 1 。3 ：3 7 3 _ 4 1 3 c o n t i n u o u s - - t i m e c o n t i n u o u s - - - - t i m e 【8 k o l a t z a s ，i ，l e h o c z k y , j a n ds h r e v e 。so p t i m a lp o r t f o l i oa n dc o n s u m p t i o nd e c i s i o n so ra s m a l li n v e s t o ro na f i n i t e h o r i z o n p ，s i a m j o u r n a lo n c o n t r o la n d o p t i m i z a t i o n ，1 9 8 7 ，2 5 ：1 5 5 7 - - 1 5 8 6 【9 k a b a n o v , y m 。，s t r i c k e r , c ，o nt h eo p t i m a lp o r t f o l i of o r t h e e x p o n e n t i a lu t i l i t y m a x i m i z a t i o n ：r e m a r k st ot h es i x - - a u t h o rp a p e r , m a t hf i n a n c e1 2 ，1 2 5 1 3 4 ，2 0 0 2 【1 0 h o d g e s ，s d ，n e u b e r g e r , a ，o p t i m a l r e p l i c a t i o n o f c o n t i n g e n t c l a i m su n d e r t r a n s a c t i o nc o s t s r e v , f u t u r e sm a r k e t s ，1 9 8 9 ，8 ：2 2 2 - - 2 3 9 【1 1 s c h a c h e r m a y e r , w ，w a n g hu t i l i t y m a x i m i z a t i o ni n i n c o m p l e t e m a r k e t sw i t h r a n d o me n d o w m e n ，f i n a n c es t o c h a s t ，2 0 0 1 ，5 ：2 5 9 2 7 2 【1 2 i l h a n aj o n s s o n ，m ，s i r c a r ,