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曲阜师范大学硕士学位论文 有纯净两因子交互作用的两类折衷设计 摘要 折衷设计因其特殊的结构而具有重要的研究价值一个二因子交互作用是纯净的是指 它不与因子主效应和其它二因子交互作用混杂纯净的折衷设计是指在分辨度为i v ( 在 部分因析区组设计中也包括分辨度为i v 一的情况) 的设计中，所有指定的那些重要的二 因子交互作用都是纯净的在纯净的折衷设计中，在三阶或更高阶的交互作用都是可忽略 的这个比较弱的条件下，因子主效应和纯净的二因子交互作用都是可估的 本文分为三章，第一章介绍关于部分因析试验设计的一些基本概念，几种最优性准则 和一些基本的符号表示，并简单的阐述了关于折衷设计的基本思想和一些理论基础 第二章主要研究了关于部分因析区组折衷2 m p ：2 0 设计，讨论了在分辨度为i v 和i v 一时，纯净的折衷设计的存在条件第2 ，1 节主要介绍了一些关于区组设计的背 景知识对一个2 万p ：2 0 设计d = ( d o ，b ) ，把它的m 个处理因子d o 分成两组， d 1 = ( 0 1 ，a 2 ，o m ，) ，d 2 = a m 。+ l ，o m ) 当一些特定的二因子交互作用，比如 d axd 1 = a t ：a t ：a k ，a t d 1 ，k f ) ， 在设计d 中纯净时，我们称这个设计为纯净的d - xd l 折衷设计在第2 2 节中，我们 给出了在分辨度为i v 时，三类纯净的折衷区组设计d 1 d 1 ，d 1 d 1 和d 1xd 2 ，和 d 1xd 2 存在的必要条件而且我们还证明了并不存在d 1xd l 和d 2 d 2 这一类的纯 净的折衷设计在第2 3 节，我们主要讨论了关于分辨度是i v 一的纯净的折衷区组设计 的存在条件和特征，并得到了各类分辨度为i v 一的纯净折衷区组设计存在的必要条件 在第三章，我们首先介绍了关于部分因析裂区设计的一些基本内容和知识，然后主要 讨论了纯净裂区折衷2 ( 竹- + 竹。) 一( 七- + 垃) 设计的存在条件和特征，得到了四类纯净的部分因 析裂区折衷2 ( ”1 + “。) 一( 岛z + 詹：) 设计存在的必要条件 关键词：折衷设计；纯净；分辨度；别名集；部分因析设计；部分因析区组 设计；部分因析裂区设计；定义对照子群；定义字；二因子交互作用 曲阜师整盔堂堡主堂焦堡塞一 一。 t w oc l a s s e so f c o m p r o m i s ep l a n s w i t hc l e a r t w o f a c t o ai n t e r a c t i o n s a b s t r a c t t h ec 。m p r 。m i s ep l a nh a si m p 。r t m tr e s e a r c hv a l u eb e c a u 8 e 。f i t ss p e e i a t8 t r u c t u e at w 0k t o ri n t e i 。n ( 2 矗) i sc l e 钌i f i t i sn o ta l i 删w i t h 觚ym a i n e 珏j o r a n y o t h e r2 是c 。m p r 。幽ep l 娜a r es 蒯t 。b e c l e 8 ri ft h e yh a v er e s 咖t 妣如j _ ? c o m p r o m i s e2 m p ：2 lp l a n s ) a n d a ut h es p e c 进e d2 f i s 村e c l e a r c l e a rc 。m ? r o m l s ep ：? n s a l l o w 。砒e s t i m a t i o no fa hm 缸艇e c t s 弧d t h ec l e a r2 f i s u n d e r 乞h e 靴a k 8 5 s 姗印t 1 。n t ba t 出】t k e e - f a c t o ra n dh i g h e ro r d e ri n t e r a c t i o n s a x en e g l i g i b l e ， t h i sp a p e ri n c l u d e st h r e ec h a p t e r s ，c h a p t e r 1i n _ 虹。d u c 譬s 。m eb a s i c n p t s s 制臼卧 k i n 出。f 。p t i m 撕t yc r i t e r i a ，s 。m eb a s i cs y m b 。u c r e p r e s e n t a t i 。n0 ft h ef r a c t i o n a f a c t o r i a l 捌鳓a n d 冀。r a t i 。n b 疵p h i l o s o p h y a n d s o m e r a 幽t i o n 汰a l e d a b o u tt 谢h ec s o e m 少p r o p m ：1 2 s e q p l 娜a n c h a p t e r2m a i n i ys t u d i e st h ef t a c t i o n a l f a c t o n a lb 的瓣? 叫p “一， 。 a n dd i s c u s s e st h e 谳e n c e 面c h a r a c t e r i s t i c s0 f c 妇c o m p r o 幽铊m _ p ：2 ：竺- 心! ：l t h er e s 0 1 u t i o n a n d ：一s e c t i 。n2 1 妞t r 。d u c e s s 。m en o t a t i 。n s 勋b 1 。掣_ 。弩三。 f o ra2 m p ：2 z 掀g nd 盎( d 。，b ) ，d i 订d e 七h eg r 。u pd 0 o ft h e 仇t r e a t m e n t 弩。? r ：薹。 t w og r o u p s ，d l ：慨口2 2 ，。) a n dd 2 = ( l + 1 。m ) m 洲。m 唧m 刚n 8 s wt h e2 f i ? si n d 1 d 1 拳 钆。l ：a j c ，铆d 1 ，2 _ ， a r ec l e a r i 。n 。ad c e s 。n i g d n 嘲d 。, w 。e a r c e a l 矗lt 。h 颤i s n d e e d s i 硒g n r 。c k l e a e r 五c o 啦m e p n c r o e m d i s 。e k p e l a e n c ，o 脚f d 岛1x 甜d 鼍r 。i ns e c t i o n 一2 三 t 俨h en e c e ：s 。s 薹：i 篡茇苫：兰f 二麓茏：箸：署篙1 雠e a r 姗c o m p p t u 一, t - m d 2 黔2 q 锄篡1 纛竺兰竺筹玩：锄d 一兰黑乏芸箍3 ， t h e r ee x i s t sn o2 矿：2 纂。= = a e 舶n o f d i o f c l d e ia n a m p r o j j 2x m j i s e j 22 1 v - 2 l 幽璐 w em a i n l yd i s c u s st h ee x 3 s t e n c e 刹出缸诎e = d c 篡c ：) 1 = 莒二e 嬲c 二茹幽e t h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r t h ee 对s 七8 n c eo te a z 2 1c 1 渊u 1 “5 “一一p 。 曲阜师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e r3 。w ef i r s ti n t r o d u c es o m eb a s i cc o n t e i l t sa n dt h ee l e m e n t a r yk n o w l e d g e o ff r a c t i o n a lf a c t o r i a ls p l i t p l o td e s i g n s t h e n ，w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dc h a r a c t e r i s t i c so fc l e a rc o m p r o m i s e2 ( ”1 + n 2 ) 一忙l + 知2 ) p l a n s a n dt h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r e o b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo ff o u rc l a s s e so fc l e a rc o m p r o m i s e2 ( “1 + ”2 ) 一( 南l + 如) p l a n s k e y w o r d s ： c o m p r o m i s ep l a n ；c l e a r ；r e s o l u t i o n ；a l i a ss e t ；f r a c t i o n a lf a c t o - r i a ld e s i g n ；f r a c t i o n a lf a c t o r i a ls p l i t p l o td e s i g n s ；f r a c t i o n a lf a c t o r i a lb l o c k i n gd e s i g n s ； d e f i n i n gc o n t r a s ts u b g r o u p ；d e f i n i n gw o r d s ；t w o f a c t o ri n t e r a c t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原刨性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文t w oc l a s s e so fc o m p r o m i s ep l a n s w i t hc l e a rt w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s ，是本人在导师指导下，在曲阜师 范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含 他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 1、 作者签备触酗日期j 沙7 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 t w oc l a s s e s0 fc o m p r o m i s ep l a n sw i t hc l e a rt w o - f a c t o r i n t e r a c t i o n s 系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位甥间，在导师指导下完成的硕 士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单 位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：声橛日期：刁争 导师签名：罟三肇日期：力岬乒 2 曲阜师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n d e s i g no fe x p e r i m e n t sh a sp l a y e daf u n d a m e n t a lr o l ei nt h es t a t i s t i c a l c u r r i c u l u m ，p r a c t i c ea n dr e s e a r c he v e rs i n c er a f i s h e rf o u n d e dt h er o o d e r nd i s c i p l i n e i th a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nm a n yf i e l d so fs c i e n t i f i c i n v e s t i g a t i o n t h e s ei n c l u d ea g r i c u l t u r e ，m e d i c i n ea n db e h a v i o r a lr e s e a r c h a sw e l la sc h e m i c a l m a n u f a c t u r i n ga n dh i g h - t e c hi n d u s t r i e s c o n c e p t sl i k e r a n d o m i z a t i o n ，e f f e c tc o n f o u n d i n ga n da l i a s i n g ，w h i c ho r i g i n a t e di nd e s i g n a n da n a l y s i so fe x p e r i m e n t s h a v ef o u n da p p l i c a t i o n sb e y o n dt h e i ri n i t i a l m o t i v a t i o n w o r ko i lt h em a t h e m a t i c a la s p e c t so fd e s i g nt h e o r y , s u c ha s b l o c kd e s i g n sa n do r t h o g o n a la r r a y s h a sa l s os t i m u l a t e dn e wr e s e a r c hi n s o m eb r a n c h e so fm a t h e m a t i c sl i k ea l g e b r a ，c o m b i n a t i o n a la n dc o d i n gt h e - o r y e x p e r i m e n t a lp r o b l e m sc a nb ec l a s s i f i e di n t of i v eb r o a dc a t e g o r i e sa c c o r d i n gt ot h e i ro b j e c t i v e s ( w ua n dh a m a d a ，2 0 0 0 ) ：( i ) t r e a t m e n tc o m p a r i s o n ，( i i ) v a r i a b l es c r e e n i n g ，( i i i ) r e s p o n s es u r f a c ee x p l o r a t i o n ，( i v ) s y s t e m o p t i m i z a t i o n ，a n d ( v ) s y s t e mr o b u s t n e s s e x c e p tf o rt r e a t m e n tc o m p a r i s o nw i t ho n e o rt w o - w a yl a y o u t s ，t h e s ep r o b l e m si n v o l v et h es t u d yo ft h e e f f e c t so fm u l t i p l ei n p u tv a r i a b l e so nt h ee x p e r i m e n t a lo u t c o m e ，i e ，t h e r e s p o n s e t h e s ei n p u tv a r i a b l e sa r ec a l l e d 忆c t o r sa n d t h ee x p e r i m e n t sa r e c a l l e d & c t o r i a le x p e r i m e n t s e a c hf a c t o rm u s th a v et w o o rm o r es e t t i n g ss o t h a tt h ee f f e c to fc h a n g ei nf a c t o rs e t t i n go nt h er e s p o n s ec a nb ee x p l o r e d t h e s es e t t i n g sa r ec a l l e d ? e e 2 so ft h ef a c t o r a n yc o m b i n a t i o no fl e v e l so f f a c t o r si nk n o w na sat r e a t m e n tc o m b i n a t i o n at r e a t m e n tc o m b i n a t i o ni s a l s oc a l l e dar 让凡i ni n d u s t r i a le x p e r i m e n t a t i o n f a c t o r i a ld e s i g nc o n c e r n s t h es e l e c t i o na n da r r a n g e m e n to ft r e a t m e n tc o m b i n a t i o n si naf a c t o r i a le x - p e r i m e n t i ti st h em o s ti m p o r t a n tc l a s so fd e s i g n sb e c a u s eo fi t sr i c h n e s s i ns tr u c t u r e ，t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s a p p l i e dd e s i g nt e x t st y p i c a l l yd e v o t eas u b s t a n t i a lp a r to ft h e i rc o n t e n t st of a c t o r i a ld e s i g n s i n d e e d ，a n y i n v e s t i g a t i o ni n v o l v i n gm u l t i p l ef a c t o r sc a r lbe n e f i tf r o mu s i n gt h ec o n c e p t ， t h e o r ya n dm e t h o d o l o g yo ff a c t o r i a ld e s i g n s c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n r e g u l a rt w o - l e v e lf r a c t i o n a lf a c t o r i a l ( f f ) d e s i g n sh a v eal o n gh i s - t o r yo fs u c c e s s f u lu s ei ns c i e n t i f i ci n v e s t i g a t i o n sa n di n d u s t r i a le x p e r i m e n t s s u c hd e s i g n sa r ec o m m o n l yr e f e r r e dt oa s2 m pd e s i g n s ，w h i c hh a v e 仇t w o - l e v e lf a c t o r s ，w i t h2 m r u n s a2 m - - pd e s i g ni sd e t e r m i n e db yi t sd e f i n i n g c o n t r a s ts u b g r o u p ，w h i c hc o n s i s t so f2 v 一1d e f i n i n gw o r d s t h en u m b e r o fl e t t e r si naw o r di si t sl e n g t h t h el e n g t ho ft h es h o r t e s tw o r di nt h e d e f i n i n gc o n t r a s ts u b g r o u pi sc a l l e dt h er e s o l u t i o no fad e s i g n ( b o xa n d h u n t e r ( 1 9 6 1 ) ) 。i fr i st h er e s o l u t i o no ft h e2 仇一pf fd e s i g n ，t h ed e s i g n i su s u a l l yd e n o t e db y2 嚣一t h eh i e r a r c h yp r i n c i p l e ( w ua n dh a m a d a ， 2 0 0 0 ，p 2 2 3 ) i so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r i n c i p l e sh a db e e nu s e di n e x p e r i m e n t s ；w h i c hh a st h ef o l l o w i n gt w oa s s u m p t i o n s ： ( i ) l o w e r o r d e ri n t e r a c t i o n sa r em o r el i k e l yt ob ei m p o r t a n tt h a nh i g h e r o r d e ri n t e r a c t i o n s ； ( i i ) i n t e r a c t i o n so fs a m eo r d e ra r ee q u a l l yl i k e l yt ob ei m p o r t a n t u n d e rt h ee f f e c th i e r a r c h yp r i n c i p l e ，m a i ne f f e c t so fad e s i g na r et h e m o s ti m p o r t a n te f f e c t s ，a n dt w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s ( 2 f i s ) f o l l o w f o ra d e s i g no fr e s o l u t i o na tl e a s tv ，a l lm a i ne f f e c t sa n dt w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s 2 f i sa r ee s t i m a b l ei fa l lt h r e e f a c t o ra n dh i g h e ro r d e ri n t e r a c t i 0 n sa r en e g - l i g i b l e h o w e v e r ，ad e s i g no fr e s o l u t i o na tl e a s tvo f t e nr e q u i r e sm o r e r u n st h a no n ec a na f f o r d t h u sr e s o l u t i o ni vd e s i g n sa r eo f t e l 2u s e df o r e s t i m a t i n gm a i ne f f e c t sa n ds o m e2 f i s v a r i o u sc r i t e r i o nh a v eb e e nr e c o m m e n d e df o rs e l e c t i n gr e g u l a rf f d e s i g n si nd i f f e r e n ts i t u a t i o n s t h ef i r s to n ei sm a x i m u mr e s o l u t i o n ( m r ) c r i t e r i o np r o p o s e db yb o xa n dh u n t e r ( 1 9 6 1 ) t h em rc r i t e r i o ns e l e c t s d e s i g n sw i t ht h em a x i m u mr e s o l a t i o na st h eo p t i m a lo n e s b u tt h em r c r i t e r i o nc a n td i s c r i m i n a t ed e s i g n sw i t ht h es a m er e s o l u t i o n t h es e c o n do n ei sm i n i m u ma b e r r a t i o nf m a ) c r i t e r i o nw h i c hw a s p r o p o s e db yf r i e sa n dh u n t e r ( 1 9 8 0 ) t od i s t i n g u i s ht h ed e s i g n sw i t hm r l e ta id e n o t e dt h en u m b e ro fw o r d sw i t hl e n g t hii nt h ed e f i n i n gs u b g r o u p go fda n d w = ( a i ，a 2 ，a a ，a 珏) 2 t h ev e c t o rwi sc a l l e d w o r d l e n g t hp a t t e r n ( w l p ) o fd l e trb et h e s m a l l e s tis u c ht h a ta i ( d ) a i ( d ，) t h e ndi ss a i dt oh a v el e s sa b e r r a t i o n t h a nd 7i fa r ( d ) a r ( d ，) - t h em ac r i t e r i o np l a y sac e n t r a lr o l ei n s e l e c t i n go p t i m a ld e s i g n si nt h ep a s tt w od e c a d e s t h em a c r i t e r i o na n d i t si d e a st r e m e n d o u s l yp r o m o t et h ed e v e l o p m e n t so fm o d e r ne x p e r i m e n t a l d e s i g n s t h et h i r do n ei st h ec l e a re f f e c t s ( c e ) c r i t e r i o nw h i c hi n t r o d u c e db y w ua n dc h e n ( 19 9 2 ) f i r s t l y i np a r t i c u l a r ，am a i ne f f e c to rt w o f a c t o ri n - t e r a c t i o n ( 2 i i ) i ss a i dt ob ec l e a ri fi t i sn o ta l i a s e dw i t ha n yo t h e rm a i n e f f e c to r2 f i i ns o m ec a s e s ，t h em ra n dm ac r i t e r i o n sm a yn o tc o m p l e t e l y c h a r a c t e r i z et h ee x i s t e n c eo fc l e a rt w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s ，b u tt h ec ec r i t e r i o nc a n o b v i o u s l y , t h ec l e a re f f e c t sa r ee s t i m a b l ei ft h et h r e e f a c t o r o rh i g h e r f a c t o r o r d e ri n t e r a c t i o n sa r en e g l i g i b l e 。h e n c e ，d e s i g n sw h i c hs e q u e n t i a l l ym a x i m i z et h en u m b e r so fc l e a rm a i ne f f e c t sa n dc l e a rt w o - f a c t o r i n t e r a c t i o n sa r er e g a r d e da sg o o dd e s i g n s t h i si st h ei d e ao fc ec r i t e r i o n s o i ti ss e n s i b l et od i s c u s sd e s i g n si n v o l v i n gt h em a x i m u mn u m b e ro fc l e a r e f f e c t s w h e ns o m ep r i o rk n o w l e d g ei sa v a i l a b l e ，t h ec l e a re f f e c t sc r i t e r i o n i so f t e ne m p l o y e d t h ee x i s t i n gr e s u l t so nt h i sc r i t e r i o ni n c l u d ec h e ne ta 1 ( 1 9 9 3 ) ，c h e na n dh e a d y a t ( 1 9 9 8 ) ，t a n ge ta 1 ( 2 0 0 0 ) ，w ua n dw - u ( 2 0 0 0 ) a n da ia n dz h a n g ( 2 0 0 4 ) t h ef o u r t hc r i t e r i o ni sm a x i m u me s t i m a t i o nc a p a c i t y ( m e c ) c r i t e r i o n a i m i n ga te s t i m a t i n ga sm a n ya sp o s s i b l em o d e l si n v o l v i n ga l lt h e m a i ne f f e c t sa n ds o m et w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s ，s u n ( 1 9 9 3 ) f i r s ti n t r o d u c e d t h em e cc r i t e r i o n t h e nc h e n ，s t e i n b e r ga n ds u n ( 1 9 9 9 ) ，c h e na n dm u k e r je e ( 19 9 8 ) a n da ia n dz h a n g ( 2 0 0 4 ) d i s c u s s e dt h ee s t i m a t i o nc a p a c i t yo f ad e s i g ni nd e t a i l l e t 玩( 矗) b et h en u m b e ro fm o d e l sc o n t a i n i n ga l lt h e m a i ne f f e c t sa n du ( 1 u f t h et e r md i s t i n c t2 f i7 sr e f e r st ot h o s e2 f i st h a ta r en o ta l i a s e d w i t he a c ho t h e r 2 2 c o m p r o m i s e2 ，m y - p ：2 fp l a n s i nt h i ss u b s e c t i o n ，w ee s t a b l i s ht h en e c e s s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c h c l e a r2 m - p ：2 zc o m p r o m i s ep l a n se x i s t t h ef o l l o w i n gl e m m ai sd u et ok e ， t a n ga n dw u ( 2 0 0 5 ，l e m m a1 ) ，w h i c hw i l lb eu s e dt os h o wt h a tt h e r ei s n o2 m p ：2 c l e a rc o m p r o m i s ep l a no fd 1 d 1a n dd 2 d 2 l e m m a1 f o ra2 - 1 - p ：。2 cd e s i g no fr e s o l u t i o n e 铲a f f2 f i 台i nd 1 d 1 ( i r ec l e a r , t h e na l j2 f i 台i nd 】d 2a r ed i s t i n c t p r o 吐f o ra2 m - p ：2 2d e s i g nd o fr e s o l u t i o ni v ，a l lm a i nt r e a t m e n te f f e c t s a n db l o c ke f f e c t sa r ec l e a ri nd i ft h e r ee x i s tt w o2 f i si nd 1 d 2t h a t a r ea l i a s e dw i t he a c ho t h e r t h e nw eh a v e 啦“= o 歹f o rs o m ea 4 ，a j d 1 a n ds o m e 钆，a t ，d 2 t h u sa i a j = a u a 口，w h i c hi m p l i e st h a ta i a ji sn o t c l e a r ，w h i c hc o n t r a d i c t st h ea s s u m p t i o n t h e o r e m1 t h e r ee x i s t sn o2 j m y - p ：2 。c l e a rc o m p r o m i s ep l a no fd 1 d 1 a n dd 2 d 2 p r o di ft h e r ee x i s t sa2 万p ：2 c l e a rc o m p r o m i s ep l a no fd 1 d 1a n d d 2 d 2 ，t h e na l lt h e2 f i si nd i d 1a n dd 2 d 2a r ec l e a r t h e nt h e r e m u s te x i s tt w o2 f i7 si nd i d 2t h a ta r ea l i a s e dw i t he a c ho t h e r t h i s c o n t r a d i c t st h er e s u l to fl e m m a1 c o r o l l a r y1 t h e r ee x i s t sn o2 m - p ：2 。c l e a rc o m p r o m i s ep l a no fd oxd o t h ep r o o fo fc o r o l l a r y1i so m i t t e df o ri ti ss i m i l a rt ot h a to ft h e o r e m 7 一一一 旦垒垒旦!竺!旦2望里!竺里!里!：二：!里!璺里!一一二一 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - ，- - _ 。_ _ - _ _ _ - 。_ 。_ 。_ 。- - - p 。_ 。_ _ _ ，1 _ 。_ “。一 l e tm ( k ) b e r e s o l u t i o na tl e a s t l e m m a2 f o ra m l m ( k ) 一2 t h em a ) ( i m u mv a l u e 。fmf o ra2 m 呻：2 zd e s i g nt oh a v e v 2 m j y - ? ：2 2c l e a rc o m p r o m i s ep l a ndo fd 1 d 1 ，叫eh a v e 7 7 2 3 。 p r o o f s u p p o s et h a tt h e r ee x i s t sa2 万p ：2 。c l e a rc o m p r o m i s ep l a nd o f d 1 d 1 ，a n dd = 0 1 ，a 2 ，b ) s i n c ed i so fr e s o l u t i o ni v ，t h e r e e x i s t saw o r do fl e n g t hf o u ri nt h ed e f i n i n gc o n t r a s ts u b g r o u p s i n c ea l l t h e2 f i7 si i ld 1 d 1a r ec l e a r ，a n yt w of a c t o r si nd 1c a n n o tb o t ho c c u ri n ad e f i n i n gw o r do fl e n g t hf o u r ，i m p l y i n gt h a taw o r do fl e n g t hf o u rm u s t c o n t a i na t1 e a s tt h r e ef a c t o r sf r o md 2 t h u s 仇一m l 3 ，a n dw ec a nc h o o s e t w of a c t o r s ，s a y c la n dc 2 ，f r o md 2 l e td 1 = 口1 ，a 2 ，口m 1 ，a n dc o n s i d e r an e wd e s i g nd 7t h a tc o n s i s t so ft h em 1 + 2c o l u m n sa l ，a 2 ，1 ，c l ，a n d c 2 w i t ha tl e a s tt h r e ef a c t o r sf r o md 2 ，a n yw o r do fl e n g t hf o u rf o rd e s i g n dc a n n o t 。c c u ri nt h ed e f i n i n gc o n t r a s ts u b g r o u po fd e s i g nd 7 ，w h i c hi s as u b s e ti ft h ed e f i n i n gc o n t r a s ts u b g r o u po fd e s i g nd t h u sd 7i s o f r e s 0 1 u t i o na tl e a s tv t h e nb yt h ed e f i n i n go fa 彳( 惫) ，m l + 2 a 石( 忌) ， o r 。m 1 m ( k ) 一2 a l s o ，s i n c ed e s i g nd i so fr e s o l u t i o ni v ，w eh a v e m m ( k ) + 1 t h u sw eh a v em 1 m ( k ) 一2 m 一3 t h ef o l l o