（概率论与数理统计专业论文）weibull分布逐次截尾的统计分析.pdf

摘要 随着产品可靠性的不断提高，产品更新换代速度越来越快，因此，近些年加速寿命试 验方法得到了较快发展。而由于在可靠性寿命试验过程中于受试验成本的限制，或者为 了了解受试产品在不同阶段的情况，自上世纪五十年代提出逐次截尾寿命试验以来，逐 次截尾寿命试验的研究得到了很快的发展。在逐次截尾试验中，首先将一批产品投入到 试验中，当有一定量的产品失效时从未失效的产品中抽出一部分撤离试验现场，剩余 的产品继续试验直到又有一定量的产品失效，再从未失效的产品中撤离一部分，如此一 直进行下去，直到有指定的产品量失效为止。逐次截尾试验又称为i i 型截尾试验，当每 次撤离的产品个数为零时，逐次截尾试验即为型截尾。 王炳兴在2 0 0 4 年给出了耽溉以分布基于定数逐次截尾下参数的点估计和区间估计。徐 晓岭在2 0 0 6 年推导了讹加以分布1 1 f r 模型逐次截尾下步进应力加速寿命试验下参数的极大 似然估计和逆矩估计。但对于步加试验下c e 模型逐次截尾的参数估计问题还没有这方面 的文献，尤其对于序进应力下慨加玎分布1 1 琅模型和c e 模型逐次截尾的参数估计问题还 没有得到解决。 本文的主要内容：首先，给出讹蚍盯分布步加应力下c e 模型逐次截尾的极大似然估 计，并通过m 伽t e c a l l o 模拟给出例子。其次，给出讹溉距分布序进应力下c e 模型逐次截 尾的极大似然估计，并模拟给出实例。最后，给出了序进应力下t i 汛模型下逐次截尾的 极大似然估计，并运用m 钯c 砌。模拟给出例子加以验证估计的可行性。鉴于由于逐次 截尾试验下似然函数的复杂性( 均含有三个参数且分布函数均含有没有显示解的积分函 数) ，进行数值计算时，对参数的简化方程组，则用m a u a b 软件进行数值计算。 关键词：w e i l 汕1 分布，逐次截尾试验，c e 模型，讯己模型 第1 页 a b s t r a c t w i 也t 1 1 ei m p r o v c m e n to ft h eo fp d u c t i o n 豫l i a b i l i 秒彻dt l l er a p i du p d a t eo ft h ep r o d u c t i o i l t i l c 佗f b 陀，t l l es t e p - s 臼呛豁a c c e l e r a t i n gl i f et e s t i n gg e t l eq u i c l ( 1 yd l w e l o p m e n t b u tt h et e s t i n gi s l i m i t e d b yt h ec o s t0 r 山ec x p e r i m e n t a j i s ti no r d e rt of i n d 叩tn l ep 嘶o dc h a m c t c r i s t i c0 ft h ep 眇 d u c t i 伽，m ep m g r e s s i v e l yc e n c o r e dt e s t i n g ，i sm e n t i o n e di nf i f t i e sl a s tc e n t l l r y i sq u i c k l yd e 、，e l o p i n i ep f o g r e s s i v e l yc 朋c o r e dt e s t i n 昏w h e nm e 卿i n ta m 咖tp r o d u 嘶o n sl o e 伍c a 嘎m e 咿 p o i n t 锄0 l m tp r o d u c t i o n sa r e 甑t i 氍t 酣缸胁n l e 姗i n v a l i d 1 k nt h en o m l a lp r o d u c d 彻c o n t i 咖e d t e s t i i l g ，t h ca p l ，0 i n t 锄u n tp i d d u c 6 0 n sa 尬e x 昀c t e df 硒mt i l eu i l i n 、啪i da g a i nu n t i lt i l ea p p o i n t 锄。咖tp r o d u c t i sl o s ee 饰c a 哆t h et r i a lc o n t i n u e d 哪t i l i ee x p e c 住通锄。帅tp 州u c t i o n sl o 髓 e 伍c a 哆r 1 1 l e p r 0 鳓s i v c l y c 朗c o r c d 慨t i n g i sa l c a l l e d 龇啊p e t r i a l h 2 0 0 4 ，w | 锄gb i n 野i n g 垂v et l l ep a 删m t e r s 耐n t 懿t i i i l a t i o n 柚di n t e r 嘲e s t i i n 砸o no f t l l e w e i b u nd i s t r i b u t i o nu n d c rt i 圮p r 0 伊鹳s i v e l y 伽c o r e d x ux i a o l i n g 出嫡v e dt l l em a x i m u ml i l 【e l i h o o d 懿d m a t i o n 锄di m ，e r 懿t i m a t i o no fw e i b u l ld i s t r i b u 吐o nf b ft h ew e i b u nt a m 畔df 蚯l u m 瑚钯m o d e lb 弱e d p g 陀s s i v e l y n s o r e du n d e rn 】昭s t e p s n s sa c c e l e m l e dl i f ct e s t i n g a n d m e mi sn ot h el i t e r a t u r ea t o u tt h ep 暑唧m l e t e 心0 f 吐玲c u n m l a t i 垤e x p o s u 北n - 0 d e l s p e c i a li nm e p l d g 他s s i v e - s n l ；e s s h in l ep 陀跎n tp a p e rw eh a v e 吐l ef o l l o w i n g 托s l l l t s ：f i f s t t l l em a x i m 帆l i k e l i h 0 0 de s t i m a t i o n 0 f 圮w e i b u l lc em o d e lf b f 吐l es t c p s 雠s s 撤e l e m t c dl i f et c s t i n g ，b 勰e d 伽圮p g 陀s s i v e l y c e n s 伽e dd a t a ，i sd e 删n e n 柚懿觚l p l ei s 西v et h r o u g hm o n t e c 矾os i n m l a t i s s e c o n d ，t l l e n l a x i 伽mi 龇l i h 0 0 de s t i m a t i 0 fm ew e i b u l lt f rm o d e lf o rt l l e 即g r e s s i v c s 骶s s c e l e 删 l i f ct e s t i n g ，b a s e d0 nt h ep g 陀s s i v e l yc e 腿e dd a t 乱i sd 商v c d t h e n 觚s i 舢la t i e de x 锄p l ei s g i v et h r o u g i lm o n t e - c a l l os i n m l a t i o n s l a s t ，圮e s 垃m a t i 伽0 ft h ew e i b l l l l 盯r 舢) d e le x t 蛐d 酣 f 砸nt h es t e p s 位e s sa c c e l e r a t e dl i f et e s t i n gt ot h ep r o g r c s s i v e - s 缸e s s 戤c e l e m 自e dl i f et e s t i n g t h e n 锄c x 锄p l ei sg i v et 0t e s t i 毋t l l ef e 觞i b i l i t y0 ft l l em e t h o d s i i lv i e wo ft h ec o m p l e x i 锣o ft l l e l 船l i h 0 0 df u n c t i o nu n d e r 妞p r o g r e s s i v e l yc e n s 硎d a t a 1 1 l e 犯跚l to f 妞f u n c t i 伽s c a l c u l 如 m a k eu s eo ft 1 1 em a t 】a _ b k e y w b r d s ：w e i b u ud i s t m 眦t i o n ，p r o g 陀s s i v e l yc c n c o r e d 研a j ，c em o d e l ，1 n e rm o d e l 致谢及声明 声明尸明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 第8 4 页 日期： w f 口j 田 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 第8 5 页 导师签名： 日期： 第一章引言弟一早ji苗 随着产品可靠性的不断提高，产品更新换代的速度越来越快，因此对产品试验的要 求越来越高，而用一般的试验方法来评估产品的可靠性，已经不能满足要求了，使试 验失去了意义。因此，近些年加速寿命试验方法得到了较快发展，加速寿命试验主要 有三种：恒定应力加速寿命试验( 简称：恒加试验) ，步进应力加速寿命试验( 步加 试验) ，序进应力加速寿命试验( 序进试验) 。恒加试验中在应力水平保持较低水平 不变，试验需要很长时间，而步加试验和序进试验可以缩短试验时间，步加试验中应 力成阶梯状上升。在步加试验中，主要有三种模型：l 、d e 蚴和g 0 e l ( 1 9 7 9 ) 提出了 损伤随机变量模型( 即t r v 模型) ，2 、n e l s ( 1 9 8 0 ) 给出了累积损伤模型( 即c e 模 型) ，3 、b h a t t a c h a r y y a 和s o e j 吐( 1 9 8 9 ) 给出了损伤失效率模型( 即t f r 模型) 。序进 试验中，应力则是连续上升的( 通常一般指线形上升) ，它是一种应力随时间连续增加 的一种寿命试验，试验一般持续到某一固定时间或受试产品有部分或全部失效为止 由于产品更新速度的加快，企业只需要对产品试验到一定阶段了解产品在特定阶段 的特性就可以了，而不必要试验到所有产品失效才终止试验。又有在试验过程中，可能 会有一部分产品失去观察。又由于受试验成本的限制，对所有产品进行试验对企业来说 是一个沉重的负担，在试验过程中有部分产品停止试验，称此试验为逐次截尾试验，由 此得到的试验数据为逐次截尾试验数据。如：在航空航天、汽车等部件的测试中，试验 费用相当昂贵，因此在试验中要从未失效的产品中抽出一部分产品移离试验现场，这样 可以既可以了解产品的特性又可以节约成本。在电子元件的产品测试中，只需要了解产 品前期的特性就可以了，产品后期时可能已经被新的产品替代了。又如：观察某种疾病患 者的生存状况时，医生可能仅得到一部分病人的生存寿命，而另一部分患者由于某种原 因无法或不再到医院就诊，从而无法了解其生存寿命，即一部分病人中途失去观察。因 此，逐次截尾试验就越来越重要了。 逐次截尾( p m g 陀s s i v ec e n s 嘶n 蓟寿命试验提出于上世纪五十年代，逐次截尾寿命试验 中当试验进行到一定程度时从未失效的产品中随机选择部分退出试验，所以通过逐次寿 命试验既可以从失效产品中了解产品的失效机理，又可以从退出试验的未失效产品中了 解产品在试验过程中的退化情况，而常规的定数截尾和定时截尾方式只能了解产品的失 效机理和试验结束时产品的退化情况，不能了解产品在试验过程中的退化情况。鉴于逐 次截尾方式有优于常用的定数截尾和定时截尾方式的这种优点，又由于计算机技术的迅 速发展，这种寿命试验方式在一卜世纪九十年代重新得到重视。在国外，在常规的寿命试 验方式下对逐次截尾寿命试验数据的统计分析方法进行了比较深入的研究，而国内在这 方面的研究很少；b a l a s h n 卸( 2 0 0 7 ) 对基于逐次截尾寿命试验数据的统计分析方法给了 一个综述。文献【1 】给出了w e l 础1 分布基于定数逐次截尾下参数的点估计和区间估计。文 献【2 】在逐步增加的i i 型截尾试验下，给出了w e i 阮z 1 分布的似然函数并推导了参数的极大 似然估计和逆矩估计。文献【5 】给出了e t 乩1 1 分布c e 模型步加应力下参数的极大似然估 计。 本文的主要内容：首先，给出e i 阮f f 分布步加应力下c e 模型逐次截尾的极大似然估 计，并通过m o n t e c a j l o 模拟给出例子。其次，给出彬e i 阮z 1 分布c e 模型序进应力下逐次 截尾的参数估计，并模拟给出实例。最后，给出t r r 模型序进应力下逐次截尾的极大似 然估计，并运用m o n t e c 砌。模拟给出例子加以验证估计的可行性。由于本文中e i 阮z z 分 布c e 和t f r 模型下的分布函数均含有三个参数且分布函数均含有没有显示解的积分函 第l 页 第一章引 言 数，又由于逐次截尾试验下似然函数的复杂性，进行参数估计时都必须求解含有三个未 知参数或者两个参数的非线性方程组。鉴于以上情况，对于复杂的三元非线性方程组， 首先通过变量代换或消元等方法简化方程组，然后再通m a t l a b 软件进行数值计算。 逐次截尾试验中，将礼个产品投入试验，当观测到有r 1 个产品失效时，从剩下的佗一 n 个未失效的产品中随机抽取死1 个产品撤离试验现场，剩下的n r l n 1 个产品继续试 验，当观测到有r 2 个产品失效时，从仍未失效的产品中随机抽取砌个产品撤离试验现 场，试验如此进行下去，直到有一定量的产品失效就停止试验，试验数据如f 表l - l 所 示。当n 】= 砌= = 几知= 0 时逐次截尾试验即为i i 型截尾试验，因此逐次截尾试验是 h 型截尾试验的一个推广。 表1 1试验数据 试验样本数次序失效时间失效数移去样本数 n t l ，t 2 ，t r l ，1 n r l n 1t r l + l ，t f 1 + 2 ，“l 扪 r 2 n n n 1 一r 2 一砌0 1 + r 2 + 1 ，亡r 1 + n + 2 ，0 l + r 2 + r 3您 n l ，1 2 珊 ： 其中：伯= 0 ，= 0 ，n 1 ，吼o ，l = l ，2 后，砜为最后试验结束时未失效的产品数 第2 页 第二章步加试验逐次截尾下的似然函数 在逐次增加的i l 型截尾试验中，首先考虑简单的一次截尾的情况，即：试验开始 有n 个产品投入试验，当有r 1 个产品失效时，从尚未失效的产品中随机抽取n 1 个产品撤离 试验现场，剩下的未失效的产品继续试验直到有您个产品失效则停止试验。得到试验数 据：t 1 ，如，0 。，0 。+ 1 ，t ，。+ 2 ，0 l + 您。则t 1 ，如，0 。的联合密度函数为： 瓶 ) 2 南婴脉) 曰( k ) r 给定t ，如，亡，。时剩下的尚未失效的产品的寿命服从一个左截断的分布，其密度函数广( t ) 和生存函数户+ ( t ) 分别为： 八牡篇= 器t 轨 0 。+ l ，0 。+ 2 ，t r 。怕为来自该截断分布的容量为7 l n n l 的样本的前r 2 个观测值，则 有： 夕( 。，仙，。机h ，厶。) = 毒等蒜重广( t r 。“) 矿( 。机) r n 川川 ( n 咄咄) !耍尼( k “) 院( k 讹) p l - 仡 ( n r l 一礼1 一您) ! 尻( o 。) 】您【_ r ( t ，。) 】n r t n 一您 ( n1 吨) !堕片( k “) 厉( k 机) p 咄1 - r 2 ( n r l n l 一您) ! 匠( o 。) 】n r t n - 所以： 夕o l ，0 1 ，0 ，+ l ，0 ，+ 仡) 礼! 一，1 ) ! n ! ( n 一，1 ) ! n 一7 - l 一亿1 n 2 1 n r 1 一亿1 礼2 1 其中：砌= n r 1 一n l r 2 三矗矗( 如“) 露似。们) 】铆 t - 。 兀矗( 如“) 瞎( o 。们) r 娶删 坼- ) r 丝 丽矛 讧l l l 、。l 川 片( 屯) 片( t 叶t ) 晴( t ，。) r 【露( + 您) 啦 ( 2 一1 ) 其次，考虑七( 2 ) 次截尾下的似然函数。由以上推导可知当次截尾时即脚有 ( 2 1 ) 式成立。假设缸l 时有下式成立，下验证则七时也成立： 9 ( 。l ，一，。t ，。- + l ，。t 机，亡害勺+ 1 ，t 甚q ) r l r 2 = c 疗( 训曩( 创m 片( o 。+ t ) 防( o 。+ n ) 卜一 = 1t ；l 第3 页 第二章步加试验逐次截尾下的似然函数 r 知一i 唯州，。 j 互o l j = o ， 一2 n 一( r + n ) 一r 一l 互o 其中：c 为正常数。在给定t 1 ，t 2 ，0 。，0 。+ l ，0 l + 2 ，t r 。+ r 2 ， 剩下的未失效的产品的寿命服从一个左截断分布，其密度函数和生存函数分别为： ，+ ( 亡) = 矗( ) 砬t ( 。甚r j ) j 暑。 扎一l，缸一l，亡k 一1 勺+ 1 勺+ 2r j + j = 0j = o，互o 观测值，则有： p ( t ) = 露( 亡) 莨1 ( o 仨t ) 乙q ，互o t 留 二勺 时试验 知一1 为来自该截断分布的容量为n 一机+ 啦) 的样本的前“个 扫= 0 夕( t 譬q + l ，t 誉勺+ 2 ，。宅r j + + 。，。t + l ，。t 柳，孥勺+ 1 ，t 苌r j ) j l oj = oj ；o，车oj ；o 所以： 七一l ( n 一( n + m ) ) ! r 膏一l ，c t 黑勺二；， f c 气叁勺， n 一番 + 眦一厂 跏r 弋名勺j 9 ( 亡l 一，。- ，。t + l ，。- + 仡，亡譬勺+ l ，t 葚巧，。葚q + l ，古葚r j + 住) j = 0，暑0j = oj # o = g 片他) 露( o 。) r 1 苈( o 。“) 露( o 。+ 您) 他 = lt - = l q ，厂_ 卜 r 七一l = l 新割h 勺 = c 片 ) 露( o 。) 】mn 片( t ，。“) 露( o ，+ 您) 他 l = li = 1 j 各，c 笔勺， 竹一盖n 和瞰一飞一1 垂圣 靠( t e r j “) 皇 兰三竺 距，( 。e 勺) j 暑o ，1 一l 危( 岵。) lr j 十i j 皇o ， 七一l n 一( r + m ) 一n = o 船1 ( 譬) lr j + j 篇o 一l 嵩厂叶叱 = c 片( 如) 露( t ，。) m 层( o 。“) 尼( 厶。押2 ) 砌 = l= 1 r 七一l i = 1 船1 ( t 譬) l 勺+ j = o j 。c t 笺勺， n 一1 垂靠c t 笺勺+ ；， 露c t 叁勺， n 一三“+ 啦卜他p 。刮似。i - 硪刮 第4 页 谢 q ：豆 t + 0 譬伽 n ：l 夕( t 1 ，0 l ，0 l + l ，0 l 机， = d n 片( 以) 日( t ，。) 】m 龙( t 叶t ) 露( t ，。们) m = 1 = l 卜甜卜1 垂 可简记为： 眦势，b ，r刚t 笺勺h f 熏勺j 夕( t 1 ，h ，0 l + 1 ，0 l 们， 毛 in = c l = lit = l 其中：c 为常数。 r 七一l ，“一1) q 机 j = o 维1 ( o 訾) l 勺+ t j = o ，t 譬勺+ l ，2 葚勺，t 甚r j + l ，t 誉勺机)勺+ l 。勺r j + l 勺+ 飞 i 卸j 神神卸 。，b ，n 第5 页 ( 2 2 ) “ 勺 譬瑚 t 吁 譬间 h 0 害瑚 谢 第三章c e 模型步加应力逐次截尾下的统计分析 对舷删分布：，署，融p ( 计= 嚣”诣) ，；妻乏 三：三登专2 ： 一( 击卢) c 3 ) 确= 唧 一( 去) 0 一 篡兰蒿辛一( 警) 卢) = 唧 一( 毕) 1 一 跳h 一唧- ( ：；) 卢| 。 三、逐次截尾f 的参数估计 将舵f 妇盯分布譬力五和予下的密度孽数譬) 式和生芽函数( 4 ) 式代入( 1 ) 式得似然函数： l ( p 加，7 2 ) = 万岛d 兰蒜片( 纠娶龙( 亡r t 州) 【露( k ) m 眩( 如怕) 啦 = c 垂筹( 鲁) 肛1e x p 一( 署) 卢) 垂笔( 生! 半) 肛1 第三章c e 横型步加应力逐次截尾下的统计分析 if 唧( 一i 【 ， 弋唧i - 一 o 。“一o 。+ 嚣r 。 ) p ) 国中 一扎 蚓 一n 2 ( 垒! ! 学) p ) 其中：c = 尚芒揣 ( 扪 l n l ，仇，7 2 ) = l n c + ( ，1 + r 2 ) l n p 一矽1l n m 一肌l n ，7 2 + 一1 ) l n 如 = l r l 一 = l r 2 一 = l ( 鲁) 卢咄( 鲁) 口+ 喜伊1 灿( h 一”荆 ( 垒= 学) 卢一n 2 ( 垒= ! 学 掣= 字1 h 啦一曲啦+ 姜h 如一姜( 鲁) ph 暑 + 喜h ( 。+ 咄( 等) 口h 鲁 + h ( “r i + 票t r 。) 叫( 鲁) h 鲁 扛= l 、 ，、， ，- t 2 l 一( = l 。+ 一t ，。+ 嚣亡，。、p 亡n 机一o 。+ 嚣t ，、卢 ( 半) ( 半) r 。+ 您一，。h 彳一您h ，髫+ 囊；- n 碍+ 喜h ( t n “一。+ 署。) 卢一薹；( 鲁) p h 埒r t + r 2 一，- 1 n 彳一r 2l i l 髫+ l n 碍+ l i l ( h “一o 。+ 鲁o 。) 一( 暑) l n 埒 = 1i = l 、 ” 7 t = 1 、”7 + 姜( 舢彳一喜( 半) 卢h ( 亡n “一t n + 罢t n ) 卢一礼( 鲁) 卢n t 嚣 第8 页 行盘哪 咄 哺 丝 继卵 l 一毫l + n t ( 鲁) ph ，f + 喜( 皇学) p n 瑶+ n 。( 兰= ! 学) 口h 裾 一耽( 兰! 学) 卢he n + 您一t n + 票芒n ) p = 。 c 3 3 ， 塑掣= 一铬+ 杀姜埒一薹c p l ，熹+ 邮鲁 + 妻坐 乒盥怕止些学 吨( 半厂扫 一死。鲁一喜( 兰生学) 声一1 卺 坌堡墨塑：翌! ：型：一堕+ 塑二! ! 銎 1 r 2 一i 十缶百商 口，7 27 7 2 j0 i “一k i 十等t r l ( 3 4 ) 孛，( 半厂警 砌( 半厂警 一喜( 半厂警 一文半厂罕= 。 由( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 5 ) 式可得到参数p ，7 l ，7 7 2 的极大似然估计：p ，而l ，啦。 ( 3 5 ) 例：取n = 5 0 ，r l = 2 0 ，n l = 1 0 ，r 2 = l o ，p = 1 ，仉= 3 ，仡= 2 ，通过m o n t e c 砌。模 拟产生如下3 0 个失效数据： o 0 2 3 5 0 0 3 4 5 0 0 3 7 5 o 1 0 4 0o 1 7 1 90 2 4 1 6 o 2 8 5 8 o 3 6 5 4 0 3 9 3 80 5 5 6 2 o 5 9 7 2 0 6 0 0 00 6 4 6 l o 7 0 7 3 o 7 3 0 9o 8 4 5 30 9 1 3 2 0 9 3 6 71 0 1 2 81 0 2 8 51 2 6 1 8 1 3 6 0 2 1 6 8 3 41 7 7 7 8 1 8 1 8 9 2 0 1 3 l2 0 6 9 3 2 3 7 7 82 5 3 5 7 2 6 2 5 0 利用本文的方法，得到参数的极大似然估计：声= o 7 3 1 0 ，而l = 2 8 7 3 7 ，锄= 1 8 8 4 1 。 第9 页 一 字 您谢 + 够 n ：l 1 一彳 一 n 一 等 您：i 一 您 第四章c e 模型序进应力下逐次截尾的统计分析 假定l 在恒定应力丁下，产品寿命服从耽唑f f 分布，基分布函数为： 肿问一唧) 卢卜。 其中，p o 为形状参数，卵 o 为特征寿命。( 刻度参薮) 。 假定2 e i 阮f z 分布的刻度参数：，7 ( t ) 与应力t 有如下的对数线性关系 h 7 ( t ) = o + 6 圣( r ) 其中，圣( t ) 为一已知函数。 假定3 产品的剩余寿命仅依赖于当时已累积失效的部分和当时的应力水平，而与累 积失效方式无关，这便是n e l s 假定，其数学含义是：在应力水平正( 或k ) 下，产品工 作屯的累积失效概率e ( 岛) ，相当于这种产品在应力互( 或k ) 下工作幻的累积失效概率， 即：e ( 屯) = 弓( 幻) 由文献【5 】可知如果刻度参数，7 ( t ( t ) ) 满足：l n ，7 ( t ( 芒) ) = 口+ 砸( t ) 的对数线性模型，则 一般序加试验t ( t ) ，t ( o ) = 正 o ，产品寿命时间的残存函数应具有如下形式： 取归唧 一 譬n = 唧 十m m ，p 叫荆m m = 唧似口p 州荆，m 噩。 4 1 一次截尾( 后= 2 ) 时的参数估计 4 1 1 应力为时间的简单线性关系下的参数估计 l 、阿伦尼斯方程下的参数估计 当服从耽溉盯分布的产品的特征寿命，7 与应力t 之间满足阿伦尼斯关系，即： ，e 、 栌0 0 唧l 面夕 其中，e 0 ，知 0 是参数，p = 0 8 6 1 7 1 0 4 e 钞七为波尔兹曼常数。 在序进应力加速寿命试验下，应力丁( 亡) 随时问t 线呈简单线性增加，即：t ( 亡) = k t ， 其中：k 为预定的正常数。此时，残存函数p ( 亡) 和密度函数广( t ) 分别为： 州= 唧 一( 新e 椎如) 0 c 第l l 页 第四章c e 模型序进应力下逐次截尾的统计分析 八归轳击 u h ( f e 一詈去如) 口一1 倒币 0 为参数。 在序进应力加速寿命试验下，应力y ( 亡) 随时间t 呈简单线性增加，即：y ( t ) = k t ， 第1 4 页 进 鲎怕等 塑 p 4 1 ( 南= 2 ) 其中：k 为预定的正常数。此时，残存函数p ( t ) ，密度函数广( ) 分别为： 州= 唧 一( 晶) p 脚c + 1 ，口删 九归雕删( 南) p 州m 唧 一( 南) p 一啪 令：6 = ( c + 1 ) p ，y = ( 黠) 肃 则： 户+ c 句= c p r l + r 2 l n 如 = l 佗一，t 一佗。一z + 1 ) ( 。+ ；一。“一。) 一1 l n 亡7 l + 记：m = 兰m i + 1 ) ( 巧一班。) + 墨一r - 一n - 一i + 1 ) ( t 乞“一蜉。“一- ) if 1 ( 礼一i + 1 ) ( 露l n 2 岛一啦l l i l 2 如一) lt = l + 伽一r 一n - i = l rr l lt = 1 讲1 ) ( 曩“峨一k 州) ) ( 佗一i + 1 ) ( 亡；一亡1 1 ) + ( 扎一r - 一n 一t + 1 ) ( t ；。“一。+ ；一。) ) 第1 6 页 n ：i ，_、【 ：i 4 1 ( = 2 ) 一 r l ( 佗一l + 1 ) ( 巧t l 。) + 讧：ll( n r 。一n - 一i + 1 ) ( t ：。+ ；一蜉，“一，) ) 2 fr l 一铲 ( 佗一i + 1 ) ( 巧1 1 1 南一啦，h l 南、1 ) lf = l + 喜c n r 。一n t i + 1 ，c 亡：。“一，+ 。一。，) 2 + ( n 叶一n t i + 1 ) ( 亡：。“一“一1 ) = l j j 志畦 丽r 二 + 铲( 佗 + 铲 r 1 j = l ( n i + 1 ) ( n 一歹+ 1 ) ( t ；l n 2 如一t i ll n 2 如一1 ) ( 巧一巧一1 ) 一i + 1 ) ( n 一，1 一，1 1 一歹+ 1 ) ( 巧h 2 气一盘l 砰如一1 ) ( t ：。却一。村一1 ) 一i + 1 ) ( n 一，1 一竹l 一歹+ 1 ) i = 1j = 1 ( 培一t 0 1 ) ( ：，qh 2 k 钾一。q lh 2 。w 一1 ) r 2r 2 + 铲( n r 1 一n l i + 1 ) ( n r i 一礼l 一歹+ 1 ) = lj = l ( 。“一t ：。“一1 ) ( 。+ j 砰o 。q 一巧。卅一1h 2 r 。叫一1 ) t 1r l 一铲( n i 十1 ) ( 钆一歹+ 1 ) ( 巧l n 如一啦，i n t t 一，) ( 巧l n 岛一埒一。l i l 巧一- ) i = lj = l r l r 2 2 铲 ：o 二一 ( n t + 1 ) ( n r 1 一n l 一歹+ 1 ) 扣= lj = l ( 巧l n 岛一啦ll i l 彘一1 ) ( t ：。钾l n h 巧一。q ll n o 。q 1 ) r 2r 2 一铲 + ( j = l 歹= l ，1 r 2 + 2 = lj = 1 r 2r 2 + ( ( n r l n 1 一i + 1 ) ( n 一，1 一n 1 一歹+ 1 ) 一亡；。“一11 1 lo 。+ i 1 ) ( 。却l i lo 。+ j 一蜉。卅一1l nt ，。卅一1 ) n 一主+ 1 ) ( 礼一j + 1 ) ( 亡：一啦。) ( 巧一巧一。) ( 死一 + 1 ) ( n r 1 一，l l 一歹+ 1 ) ( 一t 2 1 ) ( t ：。卅一。啊一1 ) n r l n l i + 1 ) ( n 一，1 仡l 一歹+ 1 ) ( t 0 “一l + 一1 ) j = l一i + 1 ) 伽一歹+ 1 ) 6 2 ( 巧口气一啦。拧如一- ) ( t ；。卅一亡：，州) ) ( 巧一巧一。) 一州l n 卜啦，l i l 址，) ( 巧l n 如一巧一l i l 岛一) + ( t ；一t 驯巧一) 第1 7 页 “ 爿h h n 信 “ 6 n n “三， 。n 汹 卢r j 、l f 丽 = + f ir 2 f f 一t 一 = 1j = l( 州+ 1 ) ( n - n _ m 一) t ：帆一t l 毗一- ) ( t ；。q 一亡：。州) + 6 2 ( t ：一t 主- 1 ) ( 亡：。 心t ，。q 一，+ j l h l 2 0 。钾一1 ) + 2( 西一啦。) ( 。q t ：。+ j 一。) 一2 铲( 巧l n 如一啦! l n 如一1 ) ( 。钾l i l t n 卅一。钾一1i n t r 卅一1 ) r 2r 2 +f f 一一 i = lj = l ( n r l n l t + 1 ) ( n r 1 一体1 一j + 1 ) 铲 ：。“一，“一- ) ( t o q 砰o 。句一嚷卅二ll i l 2 0 。q 1 ) 一铲饿。“l n o 。“一幺“一ll n o 。“一1 ) ( 。卅 + 心。“一垛。+ ；一。) 僻。q 一。卅一t ) ) h “l 一嚷吖一ll i l t ，i + j 1 ) a l l = 铲( t ：1 n 2 南一啦l l n 2 岛一1 ) ( 葛一葛一) 一铲( i n t ；一班。i n t ；一。) ( 巧l n 岛一弓一。l n 亡j t ) + 一亡耋- ) ( 巧一t ；一，) a 。2 ：铲( t ：h 2 亡一啦l 心t ；一1 ) 心+ j 一。+ j 一。) + 2 ( 巧一啦) ( t ：。+ j 一。+ j 一1 ) + 6 2 ( t i t 2 1 ) ( t ：。+ jl i l 2t ，。钉一，+ j ll n 2o t 卅一1 ) 一2 铲( 巧l n 岛一臣l l i l 如一1 ) ( 蜉。如l n 厶。卅一t ：，w 1 1 n o - q 1 ) a 沈= 铲( ，“一t ：。+ 一1 ) ( 。卅砰o 。卅一亡：，q 一1 砰t t - 卅一1 ) 一6 2 ( t ：。“i n t ，。“一t ：。+ 一li n t ，。“一1 ) ( 。卅h t r 。钾一嚷卅一li n t r t 钾一1 ) + ( t ：。“一。“一- ) ( 。卅一。q t ) a 。= ( 巧一啦，) ( 巧一巧一。) 掣矗警 臀+ 1 )1 i i 一 a 。2 = ( 一啦。) ( 亡：。钾一亡；，钾一) 一2 掣盎等丝铲+ 2 ) a 2 2 = ( 巧。“一。“一。) ( t ：。+ j 一。卅一- ) 一业笔挚业亳挚+ 1 埠。“一t 冀“一l 亡；t + j 一i 钾一l j 令：1 1 ( 妨= z l n z ， ：0 ) = 1 n 墨+ f 1l 由皇值定理： 存在鹦 i ，“ 鹳，； k 使业笔挚= 池鹳，i + l 第1 8 页 4 1 ( 七= 2 ) 存在g 当j ，岛一， g 冀j 巧，使尘号舻= 万l n g 生j + 1 存在孽：l 一。以“，厶。+ 扣， g ：l 一。以“ t r 。+ t ，使 兰垃生! 冬乒生三笔茅幽：6 l ng ：l 一。以州+ 1 亡：l “一鳔l + ”1 哪! 一1 州 存在g ：乙一。以扣，o 。卅一t g ：乙一，。何 亡，村，使 群，卅1 i l t ：。+ j 一群。卅一ll i l t ：。+ j l t ：。叫一。卅一l = j l n g ：0 一。n 钾+ 1 令：九2 ( z ) = z l n 。z ，九；( z ) = h ，z + 2 l n z 存在鹦p 如一1 鹳i 缸，使 坚等挚：铲砰鲤j 枷l i l 以 习r 一2 o m 乞一l j 十z dm 乞一l 存在簟0 ，o 。何一- 。2 j 所以a 1 1 0 a 2 = ( 巧一啦，) ( 砖卅一t 乏廿。) ：0 一。九吖 所以a 2 2 0 第1 9 页 1 ) 2 第四章c e 模型序进应力下逐次截尾的统计分析 有以上分析可知：夕( 6 ) o ，即：夕( j ) o 是6 的严格单调增函数。 燥g ( 6 ) 2 躲 = 一o o 偿枷如棚峻h ”蚴。心h k 们)l 任1 j 偿巧柏竣慨略怕)l 讧lj 一岛吾一6 呻0 + o 牙h l 如+ n 1 。l i l o 。+ ，1 2 亡：。机l n 0 。+ 忍 1 6 夕驴占骧飞鬲磊忑i 一一6 嘶 = l i m 占- _ + o o r l + 您 r l + 您 t 1 + r 2 l n i = l r l + t 2 l i l 岛 = l 售( 丧) 占h 针n - ( 丧) 占h k 帕一n 咄刊h “仡 言( 丧) d 抽( 丧) 占均一n 咄- r 2 ) r lr 2 l n 岛一一 二一 = 1i = l 1 i n t 叶i j r 1心 由于：r l l n 亡r - + n 至l n 如，吃i n t r t + r 2 至i n t r - “，所以：占骂9 ( 6 ) o l = li = = 一 所以函数夕( 6 ) 有唯一解。 根据以上定理有( 4 _ 1 3 ) 式可以得到参数6 的极大似然估计亨，进而有( 4 一1 1 ) 式可 得参数，y 的估计节： _ ( 娶尝 可以得到：占：( c + 1 ) p ，= ( 黠) 南 )。 下面由6 ，进而得到参数c ，d ，p 的估计： 由：= ( 黠) 肃，可得：l n = 由( 1 i l ( c + 1 ) 一l i l d c l i l k ) ，也即： l n ：坐兰掣一l i l k c 十lc 十上 将l n k 看作自变量，l i l 看作因变量。令k 取不同的值k ( i = 1 ，2 ，m ) ，则有 不同的m ( t = 1 ，2 ，m ) 与k “= 1 ，2 ，m ) 对应，利用最小二乘估计可以得 到蜮铲，南的估计： 蚕( h k 一去妻t n 彪) ( h 糸一去 第2 0 页 m 蛾) 汹 蜉= 去如一磊去喜n k 有以上两式可以得到参数c ，d 的估计e ，五又有艿：( c + 1 ) ( 此式中艿可以取去曼& ) 可以得到参数p 的估计参。 4 1 2 应力为时间的一般线性关系下的参数估计 当服从耽加距分布的产品的特征寿命，7 与应力t 间满足阿伦尼斯关系，即： 叼= n o 唧( 刍) 其中：刀 o ，口0 0 ，是参数，p = 0 8 6 1 7 1 0 4 e t ，肚为波尔兹曼常数。 在序迸应力加速寿命试验下，应力t ( t ) 随时间舌呈一般线性增加，即：t ( ) = k t + 马 其中：瓦死为预定的正常数。此时，残存函数p 和密度函数，( t ) 分别为： 即，= 唧 一( 新e 一号嘲如) p ，酗。 ， 州= 与e 一詈赢e 一吾点刁肛1 唧 一( 去z 。e 一詈赢刁p ) 降均 删= c 嚣轳南( 产詈南如) 肛1主= 1u o ，o 唧 一( 去fe 一詈嘲刁卢) 唧卜詈赢如) ” 。 皆+ 7 害l n 层te 一詈赢如皆+ l n 片e 一蓄赢如 l = 1 r 1 + ，- 2 警( fe 一詈赢如) 肛1p 警赢 帆( 卜一詈嘲如) 卢 e 譬霄靠 k z + 死 k z + 第2 3 页 ( 禾2 甜 t t z r 们 聊 r z m 觋 + + 第四章c e 横型序造应力下逐次我尾的统计分析 慨( 厂勺e 一詈赢如) 肛1re 一詈南赢q 蔷( 序一吾南出) 口+ m ( 广e 一吾赢如) 卢怕( 厂吃e 一詈如如) p ) 。1 ：三薹查：型蔓耋 pr l + r 2 方程( 4 2 0 ) 、( 禾2 1 ) 两式联立可以解的参数e ，p