（概率论与数理统计专业论文）对离散时间样本ou过程的参数推断.pdf

11 ab s t r a c t i n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r t h e p a r a m e t r i c i n f e r e n c e f o r o - u p r o c e s s e s fr o m d i s c r e t e - t i m e s a m p l e d 山 . . i n th e fi r s t c h a p t e r w e n o t o n l y in t ro d u c e t h e b a s i c i d e a o f e s t i m a t i n g t h e p a r a m e te r s o f t h e s t o c h a s t i c p r o c e s s e s f r o m d i s c r e t e t i m e s a m p l e d d a t a a n d p o i n t o u t t h e b ro a d p r a c t i c a l b a c k g ro u n d , b u t a l s o i n d i c a t e t h a t o u r m o d e l , a n o - u p ro c e s s w i t h a f u n c t io n a l d i ff u s i o n , c a n b e e s t i m a t e d b y t h e f o ll o w i n g m e th o d s i n c l u d i n g t h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d a n d s o o n . i n t h e s e c o n d c h a p t e r w e i n t r o d u c e th e e s t im a t i o n b y t h e l e a s t - s q u a r e s m e t h o d , f ro m w h i c h w e c a n s e p a r a t e l y g e t e s t i m a t o r s o f d r i f t p a r a m e t e r a n d d i f f u s i o n p a r a m e t e r b y a s s u m i n g t w o o r i g i n a l p a r a m e t e r s a l t e rna t e l y k n o w n . t h i s m e t h o d i s t h e m o s t c o m m o n l y u s e d m e t h o d a s w e ll a s t h e ma x i m u m l i k e li h o o d e s t i m a t i o n . i n t h e l a s t c h a p t e r , w e i n t r o d u c e o t h e r m e t h o d s o f e s t i m a t i o n v i a n u m e r i c a l a p p r o x i m a ti o n s c h e m e s , s u c h a s t h e p s e u d o- l i k e l i h o o d a p p r o a c h a n d g e n e r a l i z e d m e t h o d o f mo m e n t s . k e y w o r d s : s a m p l e d d a t a , o - u p ro c e s s , p a r a m e t r ic i n f e r e n c e , l e a s t - s q u a re s me t h o d , p s e u d o - l i k e l i h o o d a p p r o a c h , g e n e r a l i z e d me t h o d o f mo m e n t s . 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印 件和电 子版; 在不以 赢利为目 的的 前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 :1 - 4- ” 7 年 了 ” i 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内部 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密*1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长 2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明:所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果.除文中已 经注明引用的内容外，本学位论文的 研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的 其他个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 :魏谕 7 - 107 年 了 ” 丫 日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n s t a t i s t i c a l i n f e re n c e b a s e d o n s a m p l e d d a t a i s o f m a j o r i m p o r ta n ce i n d e a l i n g w i th p r a c t i c a l p r o b l e m s , b e c a u s e t h e a v a i l a b l e d a t a a re a lw a y s s a m p l e d d i s c re t e l y i n t im e , w h il e th e m o d e l i s w r i t t e n i n c o n t i n u o u s t i m e . o f t e n a m o d e l l e r c a n u s e p h e n o m o l o g i c a l o r t h e o r e t i c a l a r g u m e n ts t o j u s t if y t h e u s e o f a d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n w 油a p a r t i c u l a r s t r u c t u re , b u t n e e d s t o e s t i m a t e t h e a p p r o p ri a t e p a r a m e t e r v a l u e s f r o m o b s e r v a t i o n s o f t h e a c t u a l s y s t e m b e i n g m o d e ll e d . s u c h p a r a m e t e r e s t i m a t e s a re , s tr i c t l y s p e a k i n g , r a n d o m v a r i a b l e s , s o s o m e t h i n g n e e d s t o b e k n o w n a b o u t t h e p r o b a b i li ty d i s t r i b u t io n o f t h e ir d e v i a t i o n s f r o m t h e t r u e v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r s . f o r e x a m p l e , i f w e h a v e a s t o c h a s t i c d iff e re n t i a l e q u a t i o n w i t h a n a s y m p to t i c a ll y s t a b l e e r g o d i c s t a t i o n a ry s o l u t i o n , w e m i g h t e x p e c t t h a t p a r a m e t e r v a l u e s o b t a i n e d f r o m t h e o b s e r v a t i o n o f a s i n g l e t r a j e c to r y o v e r a fi n i t e t im e i n t e r v a l w o u l d c o n - v e r g e t o t h e t r u e p a r a m e t e r v a l u e s a s t h e l e n g t h o f t h e o b s e r v a t i o n i n t e r v a l i n c r e a s e s wi t h o u t b o u n d . t h e n we c o u l d u s e v a ri o u s l i mi t t h e o rems t o o b t a i n a n i n d i c a t i o n o f t h e re li a b i li ty o f s u c h e s t i m a t e s . cr ay r t r 1 . ii v t r o duci t o n 2 t o i ll u s t r a t e th e b a s i c i d e a s o f t h e p a r a m e t r i c e s t i m a t io n w e s h a ll c o n s i d e r a s t a t i o n a ry s t o c h a s ti c p r o c e s s d x t = a a ( x t ) d t + v w( x , ) d w , , t _ 。( 1 . 1 ) w h e re e ( x 0 2 ) _ 0 i s a s t a n d a r d w ie n e r p r o c e s s , a e a c r i s a d r i f t p a r a m e te r , a i s a c o m p a c t c o n v e x s u b s e t o f r; 0 e a c r + i s a p o s i - t i v e d i f f u s i o n p a r a m e t e r , 6 i s a c o m p a c t c o n v e x s u b s e t o f r + ; a ( -) a n d 。 ( ) 二 k n o wn r- v a l u e d b o - md e o f u n c t i o n f wi t h g r r r n d o r d e r c o n t , n m , o u s d e r i v a t i v e s a n d 武劝 0 f o r a ll 二e r . i n c h a p t e r 2 , w e i n t ro d u c e e s t i m a ti o n b y t h e l e a s t - s q u a r e s me t h o d w h i c h i s m o s t c o m m o n l y u s e d a s w e ll a s t h e ma x i m u m l i k e l i h o o d me t h o d . p r a k a s a r a o h a s d o n e s o m e res e a r c h o n d i f f u s i o n p r o c e s s e s w i t h c o n - s t a n t d i f f u s i o n p a r a m e t e r b y t h i s m e t h o d i n h i s b o o k 1 , h e re w e c o n s i d e r a b o u t 山 e c a s e t h a t t h e d i f f u s i o n p a r a m e t e r i s a f u n c t i o n a b o u t t h e p r o c e s s . i n c h a p t e r 3 , w e i n t r o d u c e o t h e r m e t h o d s o f e s t i m a ti o n v i a n u m e r i c a l a p p r o x i m a ti o n s c h e m e s , l i k e p s e u d o-l i k e li h o o d a p p r o a c h a n d g e n e r a l i z e d m e t h o d o f mo m e n t s . p r a k a s a r a o h a s s h o w n t h e s e m e t h o d s i n h i s b o o k 1 , h e r e w e j u s t u s e t h e m i n t o o u r mo d e l a s a n a p p l i c a t i o n . we a l w a y s s u p p o s e t h a t a a n d b a re k n o w n a l t e r n a t e l y i n a ll c h a p t e r s . c h a p t e r 2 e s t i ma t i o n b y t h e l e a s t - s q u a r e s me t h o d i n th i s c h a p t e r l e t u s c o n s id e r t h e p r o b l e m o f e s t i m a t i n g a g iv e n 0 . a n d i n t h e e n d o f o w c h a p te r w e g iv e a c o n c l u s i o n w i t h o u t p r o o f a b o u t t h e e s t i m a t o r o f 0 g i v e n 久 ， f o r t h e p r o c e d u re i s a l m o s t t h e s a m e . s u p p o s e t h e p r o c e s s i s o b s e r v e d a t t h e t i m e p o i n t s 0 =t o t i _ 1 ) s u c h t h a t e llg ( x o ) 11 o f o r a l l x e 氏 ( 3 ). 盖”o o a s t ”o o ( c o nd itio n f o r 。 ra p id ly in c r e a s in g e x p e r im e n ta l d e - s i g n ) . t h e n 弓。、 、c. 、 _ _ a 2 x o、 _ 1 1 ( n t 2 一a o ) -. n ( 0 , 亏 e a o)a s 。 “o o . ( 2 .5 ) ，一 、 一 l 一 勺 而26 o( x o ) )一 - - - -一 p r o o f. i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m o f t h e f u n c t i o n d e f ine d b y ( 2 . 3 ) i s 6)刀 (2(2 a n t= 1 n _ 1 a(x ik )(x ek+ i- x ek - 会 丛a (x to )t e n - 1 0 (x , 1 艺 n - 1 a 2 (x , )n k = 0 0 no t e t h a t x 4 + : 一 x t k 一 ， 。 “(二 ，“ + v ro- k+ljv (x s)dw s.sk c h a y 1 e t t 2 . e s t im a t i o n b y t h e l e a s t s q u a r e s me t h o d x t k + ; 一 x t 。 一 、 i l a ( x k ) 一 、 tk+i (a(x t) -jtk(、 ) + “tk+1f j (a (x tlk ， 一 (x t.) dw t + v o- a ( x t k ) w ,一 、a ( x t . ) ( a . n一a o ) .( 2 . 8 ) r e l a t i o n ( 2 . 6 ) n o w s h o w s t h a t n . t=_ k n - 1 a (x , )t k= 0 o x k ) 心 (a (x t) 一 a (x tk ) d t 1 e n - 1 a 2 (x t )n e k = o a (x tk 乎 n - 1 a (t k= o 0 爵 乃 ttk+ 1 (a (x t tk) 一 。 (x tk ) ) d w t 1 艺 n - 1 a 2 (x , )n k = 0 - x k 乎 n - 1 a (x tk ) wt k = 0 o (x ,k ) k 1 艺 n - 1 a2 (x , )n . o +与 一a n t 1 .( 2 . 9 ) ( a 。一 a o ) = v rt ( d a . t + 凡 ”一 a o ) 务 e n - 1 a (k = o a 爵 毖 心 + (a (x t) 一 a (x tk ) d t 1 艺 n - 1 a 2 (x , )n e n - 1 a (x ,k 造 n-1 a( rtk+1 (,(x:) - a(x ek) dw et e n-1 0 (xtk) jlk+ 1 e n-1 a2(x, )n e n-1 0 (xtk 十 g n-1 a(x,k) we n-1 o(x,k) k+ 1 n-1 a2(x,k)n l-+k o2(xtk) f r o m c o n d i t i o n ( 1 ) w e h a v e a 2 ( x t k ) or 2 ( x tk ) 乙 - a 2 ( x t o ) 一 一 ，。竺 芍 下 ; 二 一 t。 占”， w . a - l t o l ( 2 . 1 1 ) 间艺间 h v i e w o f t h e o f t h e d i ff u s i o n p r o c e s s e s , 、 (a (x t)d t + v o j o (x ,) d w ,)t, 2 4 e _、 ，/户、 2 a (x t) d t) + 2 0 e ,0 以 1 o (x t) d w t ll 子了 e a. ( x t ， 一 x t ) 2 = f t ? 2 4 m 2 (t， 一 “ ) + 2 0 e a, j ， (x t)d tt, 2 9 m2 ( t 2 一 t r ) 2 + 2 b m2 ( t 2 一 t i ) ,( 2 . 1 2 ) f o r 0 t r t 2 a n d s o m e c o n s t a n t m fi n i t e a s t h e b o u n d o f a a n d o . h e n c e 勿t h e c a u c h y - s c h w a r z i n e q u a l i ty , i t f o ll o w s t h a t 咯蕙 a2 x t )t 广(a (x t， 一 。(x tk) dtj u (e 志) (召 k+1, t a2(x t ) ce 1a(x t) - a(x tk)l dt),k tt, 咎 蕙 n 仓 志) ( 厂 (a(xt)- a(x tk)2dt) ji (e 2(1 ) ie j tk+1k=0 a x tk t4 m ao n-1 叶 (e 1 ) (刃 t4+( ( z( _e a2(x tk) e jtk m 1 x 一 x tk )zdt) 2m 2m lao(ag + 9)t1 (rn + rn)ie ( 2 1 )k=0 v (x tk) “ 2m 2m a 立坦 2礴 闻 召 /n r+ b)t (2,r2)2e 1 a2(x tk) : 2f m lao(a8 叫+ 9)t e ( 1 n-i 1 )v n n e a2(x tk) ( 2 . 1 3 ) f o r f n x tk _ 1心 ， ， x t,- l e i,) t ,( 3 . 1 8 ) a n d d i s a w e i g h t ma t r i x w h i c h i s s y m m e t r i c p o s i t i v e d e fi n i t e a n d c o n v e r g e s t o a c o n s t a n t s y m me t r i c p o s i t i v e d e fi n i t e m a t r i x d o . n o t e t h a t g i s a s a m p l e c o u n t e r - p a rt o f e t ( u t+ , ) d e fi n e d i n ( 3 . 1 4 ) . h a n s e n 4 p r o v e d t h e s t r o n g c o n s i s t e n c y o f t h e g m m e s t im a t o r . i t i s c l e a r t h a t t h e g mm e s t i m a t o r d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f d. h a n s e n 4 c a n p r o v e d t h a t a n a s y m p t o t i c a ll y e ff i c i e n t e s t i m a t o r c a n b e o b t a i n e d w h e n d - t d o , w h e re d o = s o a n d s o一 二 e ( u t u ; 一口 b i b l i o g r a p h y 1 p r a k a s a r a o , b . l . s ., s t a t is tic a l i n f e r e n c e f o r s t o c h a s t ic p ro c e s s e s . a c a - d e m i c p r e s s , n e w y o 氏 1 9 9 9 . 2 p r a k a s a r a o , b . l . s