（概率论与数理统计专业论文）线性分位数回归模型及其应用.pdf

中文摘要 在实际问题研究中，人们感兴趣的是研究预测变量的改变对响应变量的影响 线性回归模型是解决这类问题的方法之一，常用最小二乘法或最小一乘法来估计 未知参数尽管预测方程能够刻画分布的平均位置，但它们却不能刻画分布的尾 部特征它的主要缺陷是对误差分布的要求很严格1 9 7 8 年k o e n k e r 和b a s s e t t 提 出了分位数回归理论，它可以估计条件分布的分位数函数，用不同分位点处的估 计函数来刻画条件分布在不同位置的特征，从而得到关于条件分布的完整描述 分位数回归对随机误差的分布不做任何要求，当分布不对称，厚尾，或者删失时， 这种分析法尤其有效因此与经典的最t j 、- 乘回归相比，分位数回归在应用上具 有独特的优势 论文首先介绍了线性分位数回归的基本理论，推导了相关的计算过程，为线 性分位数回归在实际中的应用提供了理论基础其次应用线性分位数回归理论， 给出了风力发电的预测模型，艾滋病的最优治疗方案以及近几年某市高校的招生 人数预测结果表明，分位数回归比经典的最小二乘回归能够提供更多的信息 关键词：分位数回归最小二乘法线性回归线性规划 a b s t r a c t i ne m p i r i c a ls t u d i e s ，r e s e a r c h e r sa r et y p i c a l l yi n t e r e s t e di ns t u d y i n gt h ei m p a c to f d e p e n d e n tv a r i a b l eo ni n d e p e n d e n tv a r i a b l e as t a n d a r da p p r o a c hi st os p e c i f yal i n e a r r e g r e s s i o nm o d e la n dt oe s t i m a t ei t su n k n o w np a r a m e t e r su s i n gt h em e t h o do fo r d i n a r y l e a s ts q u a r e s ( o l s ) o rl e a s ta b s o l u t ed e v i a t i o n ( l a d ) a l t h o u g ht h ep r e d i c t i o nf u n c t i o n c a ng e ta v e r a g el o c a t i o na b o u td i s t r i b u t e s ，t h e yt e l ll i t t l ea b o u tt h et a i lb e h a v i o r so f t h a td i s t r i b u t i o n i t sm a i nf l a wi st h er e q u e s tw h i c he r r o rd i s t r i b u t e si sv e r ys t r i c t i n 1 9 7 8 ，k o e n k e ra n db a s s e t tp r o p o s e dt h eq u a n t i l er e g r e s s i o nt h e o r y , i tm a ye s t i m a t et h e q u a n t i l ef u n c t i o no ft h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n ，p o r t r a y st h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n w i t ht h ed i f f e r e n tq u a n t i l ee s t i m a t ef u n c t i o ni nt h ed i f f e r e n tp o s i t i o nc h a r a c t e r i s t i c ； t h u sw ec a no b t a i nt h ei n t e g r i t yd e s c r i p t i o na b o u tt h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n t h e q u a n t i l er e g r e s s i o nd o e sn o tm a k ea n yr e q u e s tt ot h es t o c h a s t i ce r r o rd i s t r i b u t i o n t h i s a n a l y t i cm e t h o di se s p e c i a l l ye f f e c t i v ew h e nt h ed i s t r i b u t i o ni sa s y m m e t r i c a l ，t h et h i c k t a i l ，o rm i s s i n g c o m p a r et oo l s ，t h eq u a n t i l er e t u r nh a st h eu n i q u es u p e r i o r i t yi nt h e a p p l i c a t i o n f i r s t l y , t h ep a p e ri n t r o d u c e db a s i cq u a n t i l er e g r e s s i o nt h e o r y , p r o v i d e dt h ec a l - c u l a t i o na b o u tq u a n t i l er e g r e s s i o nw h i c hi st h eb a s i so fo t h e rc h a p t e r si np r a c t i c a la p - p l i c a t i o n s s e c o n d l y , t h el i n e a rq u a n t i l er e g r e s s i o nm o d e li sa p p l i e d w eg e tt h ew i n d p o w e rp r e d i c t i o nm o d e l ，t h eb e s ta i d st r e a t m e n tp r o g r a m s ，a n de n r o l l m e n tp r o j e c t i o n s o fc o l l e g e sa n du n i v e r s i t i e so fac i t yr e c e n ty e a r s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h eq u a n t i l e r e g r e s s i o nc a np r o v i d em o r ei n f o r m a t i o nt h a nc l a s s i c a lo l s k e yw o r d s ：q u a n t i l er e g r e s s i o n ；o r d i n a r yl e a s ts q u a r e s ；l i n er e g r e s s i o n ；l i n e p r o g r a m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：掀禾1签字日期：2 卯7 年，月刁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：狐汞- 签字日期：加0 1 年，月司日 导撇：朵客万 签字日期：钞矽年j - 月彩日 l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 传统的线性回归模型具有悠久的历史，其中经典的最t j 、- - 乘回归应用 最为广泛它描述了因变量的条件均值分布受自变量x 的影响过程最小 二乘法是估计回归系数的最基本的方法如果模型的随机误差项来自均值 为零，且方差相同的分布，那么回归系数的最z j 、- - 乘估计为最佳线性无偏 估计( b l u e ) ；如果随机误差项是正态的，那么回归系数的最t j 、- 乘估计，与 极大似然估计一致，均为最小方差无偏估计( m v u e ) 此时它具有无偏性、 有效性等优良性质 但是，在实际的经济生活中，这种假设常常得不到满足例如：当数据 中存在严重的异方差，或者存在厚尾、尖峰等情况时，最小二乘法韵估计将 不再具有上述的优良性质，而且稳健性极其糟糕特别的，对于大量数据而 言，应用最小二乘回归只能得到一条回归线，而一条回归线所能反映的信 息量是有限的因此，人们在使用经典的线性回归的同时，也一直在不断的 探索更新更好的回归方法 为了弥补普通最r j 、- 乘法( o l s ) 在回归分析中的缺陷，1 8 1 8 年l a p l a c e 【1 】1 提出了中位数回归( 最小绝对偏差估计) 在这一基础上，1 9 7 8 年k o e n k e r 和 b a s s e t t 2 】把中位数回归推广到了一般的分位数回归( q u a n t i l er e g r e s s i o n ) 上 分位数回归相对于最小二乘回归，应用条件更加宽松，挖掘的信息量更加丰 富它依据因变量的条件分位数对自变量x 进行回归，这样得到了所有分 位数下的回归模型因此分位数回归相比普通的最小二乘回归，能够更精 确的描述自变量x 对于因变量y 的变化范围，以及条件分布形状的影响 分位数回归能够捕捉到分布的尾部特征，当自变量对因变量分布的不同位 置产生不同的影响时，它就能更加全面的刻画分布的特征，从而得到全面 的分析，而且分位数回归系数估计比最t 、- - 乘回归系数估计更加稳健 第一章绪论 1 2国内外分位数回归的研究动态 在分位数回归理论的发展过程中，k o e n k e r ，b a s s e t t ，p o w c u 等都作出了 非常重大的贡献1 9 7 8 年，k o e n k e r 和b a s s e t t 3 】3 提出分位数回归概念，发展 了线性分位数回归理论；1 9 8 2 年，他们又研究了分位数回归的线性假设检 验以及异方差的稳健性检验，为分位数回归的应用提供了保证【4 】【5 】；1 9 8 6 年，p o w e l l 6 】基于删失模型提出了非线性分位数回归；k i m 和w h i t e 【7 】研究 了非线性分位数回归估计量的一致性等性质；1 9 8 7 年k o e n k e r 等【8 】提出了 关于分位数回归的有效算法；2 0 0 0 年，k o e n k e r 和z h i j i ex i a o 【9 】解决分位数 回归过程中存在的特定推断问题；同年k i m 和m u l l e r 【1 0 】关于两步分位数 回归的渐近特性进行了研究；2 0 0 1 年，t a s c h e 【i i 】研究了分位数回归的无偏 性；2 0 0 2 年，k o e n k e r 等【1 2 】又讨论了线性异方差模型的l 估计法在此基 础之上，c h e r n o z h u k o v 和h a r th o n g l a 提出了研究删失分位数回归的三步评 估方法；吴建南和b r e t s c h n e i d e r 等 1 4 】用蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法产生1 0 0 个随机数据集合，来比较显著加权分析方法与分位数回归的优劣；k o t t a s 和 k r n j a j i c 1 5 】提出分位数回归中的贝叶斯非参数模型，使得分位数回归的理 论体系逐步建立起来了 国外关于分位数回归的技术研究趋于成熟，主要有b u c h i n s k y 【1 6 】应 用分位数回归研究了1 9 6 3 年至1 9 8 7 年美国工资结构的变化趋势；b a r n e s 和 w h u g h e s 1 7 利用分位数回归对跨部门公债市场的回报率进行了分析；b o u y 和s a l m o n 1 8 应用非线性分位数回归研究了汇率市场中不同汇率之间尾部 区域的风险相关性；b u h a i 【1 9 】在回顾分位数回归方法的基础上，研究了 它的两个主要应用，分别是持续时期模型和循环结构等式模型；l e g g e t t 和 c r a i g h e a d 2 0 】利用分位数回归确定了时间的分布和特定风险驱动的影响 而国内关于分位数回归的研究相对偏少如蔡明璋【2 l 】利用分位数回 归模型估计家务工作时间的变异分配；曾昭玲等f 2 2 l 利用分位数回归模型探 讨负债融资及权益融资在不同分位数时，受解释变量影响的差异性，以期 对于不同融资程度的公司受资本结构变量及众变量影响的差异性进行深入 了解尽管他们在使用该统计方法，并且介绍了一些理论，但总体有些晦涩 难懂在医学统计领域，分位数回归也得到了应用，如荀鹏程等 2 3 对中位 数回归模型进行了介绍，并将其应用于北京市s a r s 发病预测中；季莘和陈 2 第一章绪论 峰 2 4 】对百分位数回归进行了介绍和应用；季莘等 2 5 】用百分位数回归对制 订正常人群血压参考值进行了研究李育安【2 6 】介绍了分位数回归的概念、 算法以及在经济领域的应用；吴建南和马伟 2 7 】把分位数回归技术与显著加 权法通过估计极端行为参数的能力进行了比较；关静 2 8 】介绍了分位数回 归理论及其应用同时关于分位数回归的研究都在不断地完善与发展中 1 3 论文结构 文章内容安排如下：第一章为绪论部分，主要是介绍分位数回归国内 外发展情况和文章的结构第二章为分位数回归的理论部分第三章讨论 分位数回归估计量的性质及检验方法第四章是分位数回归理论在实际中 的应用 第二章给出了分位数回归的概念、计算方法、对偶问题，以及分位数回 归的性质和分位数回归在统计软件r 中如何实现的其中分位数回归性质 包括刻画分布特征的指标，同变性，拟合优度和影响函数其中分位数回归 计算转化成了线性规划问题，并且给出了详细的计算过程，故随后的一节 中详尽的算出了其对偶问题的转换过程在2 2 4 节，详细介绍了影响函数 的计算过程 。 第三章介绍了分位数回归的推断问题。包括回归分位数的有限样本分 布，渐进理论，置信区间，两样本控制处理模型，分位数回归检验以及自助 法3 1 和3 2 节的计算过程较为复杂，因而给出了详细的计算过程同时3 5 节是分位数下的两样本控制处理模型，其应用范围非常广泛3 6 节是分位 数回归检验，其中有两种检验方法，分别是w a l d 检验和秩检验，详细给出 了全部的计算过程 第四章第一节中简单阐述了分位数回归和最d 、- - 乘估计的区别；第二 节解释了分位数回归下的两样本控制处理模型的应用，在其中使用了分位 数回归的单调不变性，对结果进行了解释，使得这一应用的最终结论更加 的明白清楚。第三节是一个综合性问题，对某市招生方向的大政方针是有 一定的影响的，需要运用所学的统计知识全面的分析，因为稍有差错，便 会影响社会的方方面面，故本节采用多种统计方法对问题进行综合分析和 3 第一章绪论 解释，其中分位数回归方法在其中起着较为关键的作用，主要是因为它具 有较稳健的性质，故在采用回归的方法上，不再使用线性回归，而是直接 使用分位数回归的方法主要采用的统计方法是：在众多的变量中首先用 相关系数表和基本统计量对数据进行初步的分析，之后采用聚类分析对数 据进行分类，随后采用因子分析法分析各类变量，根据分析的结果选择变 量选定适当的变量之后，分别采用灰色预测法，指数平滑法，分位数回归 法，以及主成分下的分位数回归法，对变量进行分析其中用主成分为变 量，进行建模时采用了两个模型，应用分位数回归下拟合优度对模型分析 选取模型，此时采用适当的二元分位数回归模型，并且给出了相应的三维 图形，来表现拟合平面存在的情况最后对所采用的四种分析方法进行组 合预测，得到最终的预测值 4 第二章分位数回归模型 第二章分位数回归模型 分位数回归方法从1 9 7 8 年提出后，无论从理论还是应用方面都得到了 很大的发展。它不仅能够拓展模型使用的范围，而且还能够度量出回归变 量对分布的影响，以及分布的尾部特征，较之经典的最d 、- - 乘法更具有优 势随着分位数回归理论和算法的不断发展，分位数应用的领域更加广泛 不过，由于分位数回归本身计算过程较为复杂，这使得分位数回归并没有 像线性回归理论那样，一经问世便迅速普及开来，而是随着计算机的快速 发展，以及与线性规划理论的相结合，各种分位数回归软件包才应运而生， 进而分位数回归理论逐渐进入了大众的视线内 2 1 分位数回归的概念和计算 2 1 1 分位数回归的概念 定义2 1设x 为实值随机变量，分布函数为f ( z ) = p ( x z ) ，则对任 意0 f 1 。有 f 一1 ( r ) = i n f z ：f ( z ) r ) 则称f - 1 ( 7 ) 为x 的下分位数人们常常用q ( 下) 表示x 的r 分位数 当丁= 0 5 时，即为中位数，记做q ( 0 5 ) 在实际问题研究中，中位数有 非常重要的作用，它常常和均值共同来反映数据所包含的位置信息 定义2 2在决策理论中，称函数 办 ) = u o 一i ( u 0 ) ) 为损失函数，0 丁 1 其中，函数 j c 乱 。，= 。1 ；i f fu u 。0 为示性函数 5 第二章分位数回归模型 损失函数 册( u ) = u p 一，( 让 o ) ) = r u i ( u 0 ) + ( 7 - 一1 ) u i ( u 0 ) ：，7 - u i fu o 【盯一1 ) u i f 牡 0 从形式上，可以看出损失函数是分段函数，并且肼( u ) 0 对于y 的一组随机样本m ，蚝，样本均值是m i n 羔1 ( 玑一p ) 2 的 最优解；而样本中位数是最小化残差绝对值和的最优解，即：q ( 1 2 ) = a r g m i n o r 翟l 一轧 样本y 的丁分位数与下面的极小化问题的解等价，即： 啄n r l k p i + ( 1 一r ) i m 一所 ” k pk 卢 它可以通过求解( 2 1 ) 式 ( 蕊r 挚隅d 1 + ( 1 一r ) 1 ：d 2 i t n p + d l d 2 = 胡 ( 2 1 ) 得到，其中d 1 为残差的正部，d 2 为残差的负部 定义2 3 对任意的r ( 0 ，1 ) ，所得的参数0 0 ) 称为1 回归分位数 当模型为线性模型y = x t 卢+ 时，的分布函数是f ，则回归分位数 p ( 下) 的值，等价于下面问题的解： 呼 r i k 一砰p l + ( 1 一r ) i k 一霹硎 ( i i y 2 x ? 卢) ( i i y x i t 卢) 对于给定的样本观测值( 兢1 ，z 协，z l p ，玑) ，i = 1 ，2 ，n ，及分位数，- ( 0 下 1 ) ，根据r 分位数的定义，可以求得参数p = ( 内+ f _ 1 ( 下) ，p l ，岛) t 的估 计为： 声= a r g o 船- 三盹一z 翮 从而得到y 的条件丁( o 下 0 ，则说明分布是右偏的若q s k r = 0 ，则说明分布是对称 的若q s k r 0 ，则对任意7 - o ，1 】，有： ( 1 ) p ( 7 ；a y ，x ) = o p ( 下；y ，x ) ( 2 ) p ( 丁；- a y ，x ) = - a p ( 1 一下；y ，x ) ( 3 ) 一；y + x 7 ，x ) = p ( r ；y ，x ) + 7 ( 4 ) p ( 下；y ，x a ) = a 一1 声( r ；可，x ) ( 1 ) 和( 2 ) 表示尺度的等变化性，( 3 ) 表示位置或回归的等变化性，( 4 ) 表 示设计矩阵参数化的等变化性具体介绍见q u a n t i l er e g r e s s i o n 【2 】 在分位数回归下， q r ( h ( y ) l x ) = ，p 哥q r ( y l x ) = h - t 伍r p )( 2 2 ) 而均值只有在仿射变化下，才具有具有单调不变性 e h ( y ) = 九( e ( y ) ) = 号h ( y ) = a + b y 故分位数回归中，对于变换了的数据，有较方便的解释媒介具体解释 为：根据( 2 2 ) 式，每增加1 个单位的自变量z ，因变量y 会增加h - 1 ( 1 ；p ) 2 2 3 分位数回归的拟合优度 在线性回归模型中，有嵌套模型 y i = z ：p + t 一 酊= ( z ；) ? 矿+ 目 第二章分位数回归模型 其中z ； ，j = 1 ，2 ，n ，i = 1 ，2 ，礼两个模型的估计值分别为巍，甄，则 系数 r 2 = ( 识一扪匹( 犰一扪】1 一匹( 玑一鳓2 】匹( 犰一扪】 越接近于l ，分子越大，选得变量多的大模型就越好但是如果一味追求增 大r 2 ，则变量的个数就趋于无穷了，这也就没有意义了因此在应用中，通 常选取修正的r 2 ，且它在( 0 ，1 ) 之间取值，它的值越大，则说明模型越好 同理在分位数回归【2 9 】中，也有类似的指标来判断模型变量的个数嵌 套模型为： q r ( 鼽i x ) = 岛+ 风置，1 + + 风一1 五，k 一1( 2 3 ) q ：( 玑1 x ) = 硒+ 防1 + + 风一1 五，仇一1 ( 2 4 ) 其中m q ry l q ；掣t i n s t a l l p a c k a g e s ( ”q u a n t r e g ) ， 执行命令 l i b r a r y ( q u a n t r e g ) ，即可将包中程序调入内存，以后就可以使用 包中的函数了用r 软件计算时，常用的函数是r q ，其中选项m e t h o d 可以 有多种选择，不同的选择表示采用不同的计算方法当缺失m e t h o d 表示由 b a r r o d a l e 和r o b e r t s ，对1 1 一回归的运算程序进行修正得到的方法，k o e n k e r 和d o r e y 已经详细的阐述了其中的细节，其中缺失值d e f a u l t = ”b r ”它对于 有上千观测值的模型很有优势，并且可以计算整个分位数回归过程，计算 估计参数的置信区间，以及进行秩检验对于f r i s c h - n e w t o n 内点法的优势是 数据可以更大m e t h o d = ”f n ”和”h n ”这两种方法由p o r t n o y 和k o e n k e r 给 出当m e t h o d = ”f n d 时，用于拟合系数带有特定的线性不等式约束条件， 这需要有特定的矩阵r 和向量r ，表示成约束条件形式r b r 还有两个是 罚方法，”l a s s o ”和”s c a a r ，分别表示l a s s o 罚和f a n 和l i 的光滑绝对离差罚 1 5 第三章分位数回归的推断 第三章分位数回归的推断 3 1 回归分位数的有限样本分布 设m ，硷，是一列独立同分布的随机变量，分布函数为f ，假定f 在分位点矗= f 一，( 下) 的邻域内，具有连续密度函数，且，幡) 0 则样本 r 分位数的目标函数台兰i n 如 r im i n 墨1 纷( 一f ) ) 为凸函数的和，且它 本身也是凸函数因此，目标函数的梯度函数为： 几t l 鲰偿) = ( j ( 矗，则肌( ) 必为负数，即： p r _ 【0 ) = p r g n ( ) 0 ) = p r 冬1 ，( k f ) 一盯 o 】 = p r ，( k f ) n r = p r f b ( n ，厂( f ) ) ) = l p r b ( n ，( f ) ) n 丁 = p r b ( n ，( ) ) n 丁 = p r ，( m 专) n 下 = p r i ( y i 毒) = m ) + j ) = m + 1 ) + + ，( k f ) = n 】i = c 。m f ( x ) m ( 1 一f ( z ) ) n 一仉+ c 孑+ 1 f ( x ) m + l ( 1 一f ( z ) 尸一m 一1 + + 四f ( z ) n ( 1 一f ( x ) = ；：。磷f ) 七( 1 一f ( ) ) n 一 = 1 b ( m ，n m + 1 ) 岳归) t i n - 1 ( 1 一t ) n “竹d t = 而翻譬忸t r n - 1 ( 卜t ) n - m d t = n 1 岳t i n - 1 ( 1 一t ) - m d t 1 6 第三章分位数回归的推断 其中简记f ( x ) 为f ， 口z 扣1 ( 1 一z ) 一i d a ； = 1 i 片( 1 一z ) d x i = 1 i x ( 1 一z ) ”一i 手一心。z 【( 1 一z ) ”一】7 d x 】 = 1 i f i ( 1 一f p 一一譬z ( 佗一i ) ( 一1 ) ( 1 一x ) n - - i - - 1 d x 】 = 1 i 宰f ( 1 一f ) n 一+ ( 礼一i ) i 幸片x i ( 1 一z ) n 一一1 d x = 1 i 木p ( 1 一f ) n 一+ ( 礼一t ) 肛木1 ( i + 1 ) 片( 1 一z p 一一1 d x 冲1 = 1 i 木f ( 1 一f ) n 一+ ( n i ) ( i ( i + 1 ) ) 掌f + 1 ( 1 一f ) n 一一1 + ( ( n i ) ( n i 一1 ) ) ( i ( t + 1 ) ) 木片x i + l ( 1 一z ) ”一一2 出 = 1 i 幸f i ( 1 一f ) “一+ ( 佗一i ) ( i ( i + 1 ) ) 宰p + 1 ( 1 一f ) n 一一1 + 专高槲幸f 件2 ( 1 一f p 一一27 + + 也二兰嗡等茜等杀等产业岳x n l ( 1 一z ) o d x = 1 i | cf i ( 1 一f ) ”一+ ( 佗一i ) ( i ( i + 1 ) ) 车+ 1 ( 1 一f ) “一一1 + 与盂槲掌f 件2 ( 1 一f 尸一一2 + + 骂毒酱赭宰f n 由p 函数和不完全p 函数定义! 有b ( a ，p ) = 等群筹裂，其中q = t ，卢= n i + 1 ， 有： r ( a ，p ) = 1 b ( a ，p ) 】岳z “( 1 一x ) n 一如 = “一1 ”f 1 ( 1 一z ) ”一d x ( i - - i ) ! ( n - - i ) ! o 一 z l 上一z j = 佗q i - 一1 1 片x i - - 1 ( 1 一z ) ”d x 故得到了不完全b e t a 函数的等价形式为： 五( q ，p ) = f n l ( n ) ! - - 1 一) ! t j t l r - l ，。；木f ( 1 一f ) ”一+ ( 礼一i ) ( i ( i + 1 ) ) 木f 件1 ( 1 一f ) n 一一1 + ( ( 礼一主) ( n i 一1 ) ) “o + 1 ) “+ 2 ) ) 木+ 2 ( 1 一f ) n 一一2 + + 号舌竿群f n = 褊f ( 1 一f ) ，i 一+ 可订砜辆一+ 1 ( 1 一f ) n 一一1 + + 黼p = 砩f ( z ) ( 1 一f 扛) ) 仃一+ c 1 f 0 ) 件1 ( 1 一f ) p 一“1 + + c 嚣f ) “( 1 一f ) ) o = 冬tc k f ( o 知( 1 一f ( ) ”知) 对样本r 分位数享的分布函数求导，得到台的密度函数为： ，( 荨) = 扎c ：三1 f ( 0 m - 1 ( 1 一f ( f ) ) n - m ，( ) 同样，也可以用这种方法构造矗的置信水平为1 一o l 的置信区间，即 p r g 靠 如) = 1 一o t 其中n ，您满足 p r n 1 l b ( n ，r ) 礼忍) = 1 一口 1 7 第三章分位数回归的推断 当f 为连续分布时，这些区间的显著特征就是分布自由，即与分布函数f 的形式无关当f 为离散分布时，这些区间与p r 矗 6 何) = p r 靠 靠+ 6 何 = p r g n ( 专r + 6 、佤) o ) = p r j ( m 靠+ 6 瓶) 一佗下 o ) 1 8 第三章分位数回归的推断 因此用德莫佛一拉普拉斯中心极限定理来求玉的渐近分布因为随机 变量，( m 耐= 尸r 盥兹酽 一粼】 = 尸r 盥攒驴 一而葡- 6 丽) = p r 红竖号号鲁鲁铲 0 ，有 f ( 岛( 丁) 一e ) 7 - 0 ，有、，伍( ( ) 一下) _ o o ，、，佤( r k ( ) ) 一o o 这些结论是次序统计量线性组合大样本理论的起点 3 3 样本分位数的置信区间 当估计出参数后，则可由分位数的渐近理论很容易的得到f ( r ) 的置信区 间，但是我们可以直接构造它的置信区间因此，提出假设h o ：