（概率论与数理统计专业论文）障碍期权定价问题的若干研究.pdf

中南大学硕士学位论文摘要 摘要 本文基于时间连续模型，运用期权的风险中性定价理论，通过对 标的资产首达边界的概率密度函数的分析，分别在利率为常数、时间 ，的函数及随机时，给出了障碍期权的定价公式，并对几类双障碍期 权也进行了定价。 第一章介绍了期权定价理论的基础知识，并用风险中性解法给出 标准期权的定价公式。 第二章我们对单障碍期权给出了其解析解。 第三章我们利用f o r t e t 近似方法给出了当利率r ( f ) 及波动率盯( ，) 是时间t 函数时，障碍期权价值的近似解。并对当障碍日( f ) ：乜r ， ir t v 利用d a m b i s ，d u b i n s & s c h w a r t z 时间变换定理得出障碍期权价值的 闭解。 第四章当利率为v a s i c e k 时，利用测度变换和推广的f o r t e t 近似 方法给出障碍期权价值的近似解，同样利用时间变换定理得出了当障 碍日是折现时障碍期权价值的闭解。 第五章利用转移密度函数的性质，给出了几类双障碍期权价值 的闭解。 关键词障碍期权测度变换风险中性定价期权定价f o n e t 方法 中南人学硕十学位论文 英文摘要 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sb a s e do nt h es u p p o s eo fc o n t i n u o u sb l a c k s c h o l e s m o d e l ，b yu s i n gt h er i s kn e u t r a lp r i c i n gt h e o r yo fo p t i o na n da n a l y s i s i n g t h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h ef i r s th i t t i n gt i m ea b o u tt h eu n d e r l y i n g a s s e tv a l u ep r o c e s s ，t h e na c h i e v et h ep r i c i n gf o r m u l ao fb a r r i e ro p t i o n s ， w h i l et h er a t ei sc o n s t a n t ，f u n c t i o no ft i m eta n ds t o c h a s t i cr e s p e c t i v e l y f i n a l l y , w eg i v et h ep r i c i n gf o r m u l ao fs o m ed o u b l eb a r r i e ro p t i o n s c h a p t e ro n ei n t r o d u c e ss o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u to p t i o np r i c i n g ， w ea c h i e v et h ep r i c i n gf o r m u l a sf o rv a n i l l ao p t i o n s ，b yu s i n gt h er i s k n e u t r a lp r i c i n gm e t h o d c h a p t e rt w og i v e sc l o s e df o r mf o r m u l a sf o rs i n g l eb a r r i e ro p t i o n s c h a p t e rt h r e eg i v e st h ea p p r o x i m a t e ds o l u t i o n s ( s e m i e x p l i c i t l y ) b y u s i n g t h ef o r t e t s a p p r o x i m a t i o nw h e nt h er a t ea n dv o l a t i l i t y i st h e f u n c t i o no ft i m et a n dw h i l et h eb a r r i e ri sd i s c o u n t ，w ec a ng i v et h e c l o s e df o r mf o r m u l a so f s i n g l e b a r r i e r o p t i o n sb yu s i n g t h e d a m b i s ，d a m l i s & s c h a mt h e o r e m c h a p t e rf o u rw h i l et h eb a r r i e ri sv a s i c e k ，g i v e st h ea p p r o x i m a t e d s o l u t i o n sf o rt h eb a r r i e ro p t i o n s ，b yu s i n gt h em e a s u r ec h a n g i n ga n d e x t e n d e df o r t e tm e t h o d a n dw h i l et h eb a r r i e ri sd i s c o u n t ，w eg i v et h e c l o s e df o r mf o r m u l a sf o r t h eb a r r i e ro p t i o n s ，b y u s i n gt h ed a m b i s ， d u b i n s & s c h w a r t zt h e o r e m c h a p t e rf i v eg i v e st h ec l o s e d f o r mf o r m u l a sf o rs o m ek i n d so f d o u b l eb a r r i e ro p t i o n s k e y w o r d sb a r r i e ro p t i o n ，m e a s u r ec h a n g i n g ，r i s kn e u t r a lp r i c i n g ， o p t i o np r i c i n g ，f o r t e tm e t h o d 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：塑鳌盗日期：生年土月兰日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校【j 丁以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：进导师签名牡 噍生年月竺日 中南人学硕1 ：学位论文f j i 言 己l 言 - ji 口 期权交易是指期权持有者在将来某一确定的时间或时期内以某一确定的价 格买卖确定数量的某种资产的权利。普通的欧式期权收益是由到期r 标的资产价 格决定的，而与标的资产过去的价格运动轨迹无关。然而，在金融市场上还有另 外一种期权，其收益不仅与到期同标的资产价格有关，还与标的资产价格的运动 轨迹有关，障碍期权就属于其中一种。所谓障碍期权是指在以标的资产价格s 和时间构成空间的某些事先确定的边界上，期权价值可能出现，也可能消失。如 果标的资产价格在有效期内达到预先设定的边界，期权合约废止，则称之为敲出 期权，这样的边界叫敲出边界；相反则称之为敲入期权。当利率为常数时，对于 单障碍期权已有许多文献介绍了其定价公式，由于单障碍期权的定价和套期保值 相对简单明了，所以其在证券市场上己成为一种非常流行的金融工具。对单障碍 期权的自然推广则是考虑双障碍期权的定价问题和随机利率的情形。双障碍期权 有一条上障碍线和一条下障碍线，在其有效期内，一旦标的资产到达上下障碍线 的任一条，期权即被敲进或敲出。最早发表有关障碍期权的文章是 m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 1 】他给出障碍期权满足b l a c k s c h o l e s 方程，并通过f o u r i e r 变换的 方法得到了下降敲出看涨期权的解析公式随后，r e i n e r 和r u b i n s t e i n ( 1 9 8 1 ) 2 1 ；i b 充了其他类型欧式障碍期权的定价公式h e y n e n 和k a t ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 ) 3 ， c a r r ( 1 9 9 5 ) 4 研究了部分障碍期权和彩虹障碍期权b o y l e 和l a u 【5 】，k a t 和 v e r d o n k 【6 用二叉树方法研究了障碍期权 在障碍期权定价方面进一步发展的文献参看，如标的资产在假定遵循几何布 朗运动的情况下在离散时间点检测的障碍期权定价就归结为一个w i e n e r - h o p f 积分方程 7 ；在 8 中用马尔科夫链去近似几何布朗运从而给出障碍期权的近似 解。而文献 9 】 则用概率的方法讨论了双障碍期权的定价问题，把概率的计算归结 为解柯尔莫洛夫方程，然后用计算期望值的方法得到双障碍期权的价格 最近，g e m a n 和y o r 1 0 利用c a m e r o n m a r t i n 定理，得到了双边期权的 l a p l a c e 变换，继而可以通过l a p l a c e 逆变换的方法求期权的价格p e l s s e r 1 l 】通 过结合l a p l a c e 变换和围道积分的方法，得到了在有障碍情况下的概率转移函数， 从而得到了双边期权的价值。 本文在总结上面结果的基础上主要做了以下几个方面工作：首先，在风险中 性的假设下，利用l a p l a c e 逆变换求得障碍首中时的概率分布函数，进而可得欧 式上升敲出看涨期权的价值。利用f o r t e t 方法和时间变换定理，将障碍期权定价 从利率为常数推广到利率为时间t 的函数及随机的情形。最后利用p e l e s s e r 得出 的转移密度给出了几类双障碍期权的定价公式。 中南人学硕上学位论文第一章预备知识 1 1 期权概述 第一章预备知识 在投资业中，期权被认为是两个人之间的一种合约。它的基本含义是t 买卖 特定商品或有价证券的合约，并在合约到期时由合约买方决定是否执行这一合 约。从形式上看，期权是一种交易双方签订的，按约定价格，约定时间，买卖约 定数量的特定商品或有价证券的合约。期权和一般的合约相比有一个本质的区 别，即购买并持有这种合约的一方在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一 合约。而出售这种合约的一方则必须服从买方的选择。正是这种选择权使期权合 约成为一种特殊的合约。概括的说，期权是一项选择权，期权交易实质上是一种 权利的买卖。期权一方向对方支付一定数额的货币后，即拥有在一定时间以一定 价格向对方购买或出售一定数量的某种商品或有价证券( 或称标的资产) 的权利， 而不负必须买进或卖出的义务。期权的标的资产包括股票，股票指数，外汇，债 务工具，各种商品和期货合约。本文讨论的期权标的资产为股票。股票期权于 1 9 7 3 年首次在有组织的交易所内进行交易。从此，期权市场发展十分迅猛。现 在，在世界各地的不同交易所中都有期权交易。银行和其他金融机构同时也进行 巨额的期权合约的场外交易。按照期权中包括的选择权利不同，期权可以分为两 种基本类型：看涨期权和看跌期权。看涨期权的持有者有权在某一确定的时间以 某一确定的价格购买标的资产，看跌期权的持有者有权在某一确定时间以某一确 定的价格出售标的资产。期权合约中的价格被称为执行价格或敲定价格，合约中 的同期称为到期同，执行日或期满同。根据期权能否在有效期内任何时间执行， 期权又分为美式期权和欧式期权。本文讨论的期权为欧式期权。在标准化的期权 合约中，期权的有效期，敲定价格，标的资产的种类和数量等都是事先规定的。 只有期权的价格是期权合约中唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开竞价方 式决定出来的。它是期权购买人付给期权出具人用以换取期权所赋权利的代价。 标准期权的定价考虑了一些普通因素对期权价值的影响。在现实中，根据市场的 需要可以设计出不同定价方式的期权，通常称为新型期权( e x o t i co p t i o n ) 。 常 见的新型期权有打包期权，复合期权，任选期权，障碍期权，两值期权，回望期 权，亚式期权等。 障碍期权与标准期权不同，在期权有效期内，当标的资产价格达到某一水平 时，期权就生效或失效。如敲出期权，其它方面与标准期权相同，只是当标的资 产达到某一特定障碍时，期权就自动失效。而敲入期权则相反。障碍期权主要有 2 中南大学硕仁学位论文第一章预备知识 以下几类：向上敲入期权；向下敲入期权：向上敲出期权；向下敲出期权。 本文将从理论上讨论障碍期权的合理价格。 1 2基本概念和基本定理 1 2 1 定义：套利( a r b i t r a g e ) 指的是不需支付成本或承担风险就能立即获取无 风险收益的机会。 1 2 2 从理论上说，只要市场上存在无风险的套利机会，套利者会倾向于构筑无 穷大的套利头寸来套利无穷大的利润。这种巨大的套利头寸马上就成为推动市场 价格变化的市场力量，迅速地消除套利机会。无套利均衡分析是现代金融学特有 的研究分析方法。所有金融工具的定价都是根据无套利均衡关系给出的，期权也 如此。因此期权的价格必须遵守以下基本的无套利关系。 1 ) 看涨期权的价值从不高于标的股票本身的价值，看跌期权的价值从不高于敲 定价。 2 ) 欧式看跌期权的价值从不高于敲定价格用无风险利率贴现的价值。 3 ) 期权的价值决不为负值。 4 ) 美式期权的价值决不低于欧式期权。 5 ) 到期日时间长的美式期权的价值决不低于距到期日时间短的同一个美式期权 的价值。 6 ) 美式期权的价值决不低于现在马上就执行该期权所实现的期权价值，即有 c ( f ) m a x s ( t ) 一k ，o ) p ( f ) m a x k s ( f ) ，o ) 其中，t 是目前的时间，s ( t ) 是目前标的资产的价格，k 是敲定价，c ( f ) 和p ( t ) 分 别是目前美式看涨和看跌期权的市场均衡价。 定理1 2 1 t 1 2 1 ( i t o 定理)设置是一个加过程，设g ( f ，x ) c 2 ( 【o ，o o ) xr ) ，即g 在【o ，) r 上二次连续可微。则z = g ( t ，z ) 也是一个肋过程，并有 d z = 瓤x , ) d t + 妻x t ) d x , + 互1 万a 2 9 ( f ，酬戤) 2 其中d t d t = d t d b f = d b t d t = 0 ，d b t d b ：= d t 定理1 2 2 t 1 2 】( g i r s a n o v 定理)设b ( f ) ，0 t t 是概率空间( q ，f ，印上标准布朗 运动，( f ) ，0 t t 为仃域，p ( f ) 为f ( t ) 可测。对0 t t ，定义 3 中南人学硕士学位论文 第一章预备知识 鼬) = f 卿) 幽删味z = e x p _ f ) 拈( 炉圭聊“) 蚍 定义一个新的概率测度 声( 爿) = ，z ( t ) d p ，v a f ，则在乒下，百( f ) ，o f r 是布朗运动。 定理1 2 3 令群= m 旧a 钉xb , ，( 曰= 魍；f r + ) 是一维布朗运动) 。对z o ，有 p ( 群z ，屏 2 z x ) ( x z ) 定理1 2 4 1 4 1 ( 时间变换定t 里 d a m b i s ，d u b i n s & s c h w a r z ) 令m = m ，f ，0 t o o u c , k ，满足1 i m ( m ) ，= o o ，口，s p 对每一0 s s ，则时间变换过程只会m m ) ，虬垒弓( ，) o s 0 ，用r 表示股票价格首次击中障碍口的时刻，即 r = i n f t o ；s ( f ) - - a ，s o s o ，而口为参数且o 口厂 2 2 1 股价首次达到变界障碍时刻的概率分布函数 设r 为s ( f ) 首次与障碍a e a t 相碰的时| 、日j ，即f 。= i n f t 0 ，s ( f ) = t i e a t , a s o ) ， 蝴f ) _ 口，可推出色= 孑1l n i a + 争一等f ，贝0 可推岍的密度函数为 驴。一善e 珥普再警) 2 由此推出概率分布密度为 p 。f r ，：一 为了求出，令s ( f ) = 1 i l s ( f ) 一口f ，则有劣( f ) = ( 厂一口一了0 2 ) 以+ 仃魍， ( 2 3 ) 此时f 。= i n f t 0 ，s ( f ) = l n a , a s o ) ，l e t ；i 茸p ( m 慨a x rs ( f ) 孔口) = p ( r r ) 2 2 2 概率测度的g i s a n o v 变换 为了简化砜的计算，利用g i s a n o v 定理，将中的s ( r ) 消去，然后再求期 望，为此定义概率测度尸的等价鞅测度q 如下： q ( 彳) ：b 卯，v a f 其中务：p 喝一；打 由g i s a n o v 定理可知，q 也是一个概率测度，且随机过程毒= e o t ，那么在测 度q 下。股票价格的动态过程为 s c r ，= 瓯e x p ( ，+ 譬) r + 盯摩 2 2 3变界障碍的欧式上升敲出看涨期权的定价 命题2 1欧式上升敲出看涨障碍期权的价值为 堑 ，一 垡毋 “一 、，y 翌蕊 h，耻 骶 中南人学硕上学位论文 七s q h 攀 - + k e - r t 第二章曲线边界的障碍期权定价 h 鲁+ ( ，一口+ 譬) 丁 眄矗 h 一 一i 二 ic r 4 t 学卜l n 鲁( r o 一竽i f ，一 ia 4 t 其中( ) 为标准累积正态分布 卜 1 n - 鲁o 2 生 证明：由鞅定价公式知欧式上升敲出看涨障碍期权的价值为 u o = e - r r e e ( s ( r ) 一i r ( ) + l 。， = e - ，r e e ( s ( r ) 一k ) + 1 j 詈孚s “，s h 。s 。r ，膏 = p 7 e p 【s ( 丁) l ( 。s ( t ) l n k - a t ) 卜k e l 2 e 1 1 ( m x s ( f ) k 时，由文献 1 4 】及定理1 2 5 ，再经过一系列的变换与计算可推出： pc懋鹭scr，n口，scr，nk一口丁，=(喜)2(一r-a)_l一c24， 首先计算“”，由式( 2 3 ) 及布朗运动的性质可得出 1 2 + 盟， ) 竺& 中南大学硕十学位论文 第二章曲线边界的障碍期权定价 p ( m a x s 。( f ) i n 口) = 1 一 o s f s t h * 一钟 仃, f f 尸cs。cr，hk一口丁，=尸f岛 n 扣一争 那么根据式( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ，可得到 玩2 = 一k e 一7 r p ( m a xs o ) l n a ，s ( 丁) i n k a t )。 0 立t ：k 0 - 2 兰 一川 卜p ( m a 庐x s ( f ) 孔口) 一p ( s 仃) l n k 一口，) + p ( m a x s ( f ) 孔邢( r ) i n k 一口丁) = k e 一玎 1 0 2 兰 一竽l 再来求 皑划 e x p 而在概率测度o 下 q ( 懈m 埘a xs ( f ) 1 n 口， 卜l n 鲁二 1 3 ) ) r 一 、，一 矿了一 一 一 口一r 一一 p 一仃 一 一 & 一旦 o 等 旦&，。_ 一 钟一 一钟一 r1 硼 h 牛 篡尹 爿一 旷掣黧叫 中南人学硕卜学位论文 第二章曲线边界的障碍期权定价 q ( m 晒a x rs ( f ) l n 口) = 1 一 n 鲁+ ( ，一口+ 譬) 丁 叮压 铲一一 9 ( s ( t ) k 1 凹) ，b = e q ( 1 s ( 7 ) k 1 f s r ) 则 c m ：e i or ( v ) d v ( 彳一k b ) 现在我们主要是求a 和b 由d l ( 归( m ) 一掣) 出+ 嘶) 魍， 所以z ( f ) 是高斯的 我们很容易得到下面的结果： 老t x g m ( m , o 2 ) ，则脚；叩m ( 幽如。) = e x p ( m ) ( 学) ， 贝0 a = e q ( p 7 r 1 一i ，鬈1 ，r ) = fe q ( e 7 t r ) l xl f = s 妇( f d s ) 令绣，r = e q ( 01 只) ， e ，r = v a t ( i tl c ) ，则有 彳= j 足( 五妒；睡，r ；k ) q ( f a s ) 再将积分离散化，则a 近似为： a 七( 五玎；e ，r ；k ) g ( - ，) j = o 其中：n r 是将区间【o ，丁】划分为n r 份，g ( ) = q ( r ( t j ，t j + 。) ) 现在我们来计算q ( j ) 由 q ( r r ) ：t j q ( f 出) ：兰q ( f ( t y , t m ) ：羔g ( ) 令 旷( f ) = q c t , j l z i 乇) ，( f ，s ) = q ( 办k = 厅) 通过计算可得 q c t , - hl t o ) = fq ( 办k = 办) q r ( ”+ 出) 】 1 6 中南人学硕- l ：学位论文第三章f o r t c t 方法在障碍期权中的应用 所以 由 得 - 缈( f ) 2j ：9 ( t ，s ) q ( f ( s ，s + 凼】) g ( ) = q ( r ( t j , t j + 1 ) ) 缈( o ) ：圭( o ) g ( 1 ，) 当 = 0 时，矿( 岛) = y ( 岛，气) g ( 0 ) ，所以g ( 0 ) = o ( t o ) 从而我们有： i - i 妒( 0 ) = j ；f ，( 0 ，乙) g ( 1 ，) + ( 0 ，t j ) q ( j ) v = o 由y ( 0 ，t ，) = 1 垆f 得 g ( ) ：窆沙( o ，t v ) g ( ，) 一驴( o ) ( 3 1 ) 由以上递推式我们可以求出q ( j ) ，现在我们要给出缈( f ) 及y ( f ，s ) 的具体形式。 由 所以 我们有 以啪) 一半肌叩) 魍 = 乇+ m v ) 一华肌胁) 掘 卜n ( 1 0 + 拟v ) 一华盹h v 所以 缈( f ) = q ( 7 ， - h l l o ) = n 其中( ) 为累积正态分布 又由 = + m v ) 一竿) 咖+ ) 蛾 讲m y ) 一掣肌) 蛾 1 7 中南大学硕+ 卜学位论文第三章f o r t e t 方法在障碍期权中的应用 所以 巾一= | 等挚 把缈( f ) 及y ( f ，s ) 代入( 3 1 ) 式，可依次求得q ( j ) j = 0 1 现在我们来求吃r 及吃。r 。 由= c + m v ) 一掣肌) 缓 可得缸r = c + r ( ，( v ) 一车竽) 咖，1 5 , t - = r 盯2 ( v ) 办 这样我们就可以求出a 现在开始计算b ， b = e q ( 1 一。，x 1 ，；r ) = re e1 一。，xi f = sq ( r a s ) ：f ( 警善) 出) 2 点似了尹坦。酗 所以得 b 兰( 笔粤) ，- o y 5 r 要定价上升敲出看涨期权，只要利用如下的平价公式就可得到： c u o ：p r m ) 咖俨( 墨一k ) + 一c 讲 3 2 定价下降敲入看涨障碍期权 在j x l 险中性测度f ，定价公式为 c 讲= p 一咖胪 ( 品一k ) + 1 记为墨首次通过下障碍的时刻，由 氏；。 k ，一丁) 和i j i f 面的方法一样我们可得到如下的近似： 中南人学硕上学位论文第二三章f o r t e t 方法n ：障碍期权中的应用 4 后( 五妒；也，r ；k ) g d ( 歹) 蜀兰( 警粤) q d ( j ) 脚 、v ：，r 而对于下降敲出看涨期权，它的定价公式从如下的平价公式中很容易得到 c 如：p r ，( v ) 咖e q ( s t k ) + 一c 讲 3 3 一类特殊障碍期权的定价 前向一币，主要讨论j 当r ( t ) 及仃( f ) 是t 的凼教时，通过f o r t e t ( 1 9 4 3 ) 万法， 我们给出了各种障碍期权的近似值，在下面的这一节中，我( f - j 研究当障碍日是 折现时以及当利率，= 0 时，通过时间变换，我们能得到定价公式的闭解。 这一节，我们研究当障碍日( f ) ：p 巾冲，三为一常数，上升敲出期权的定 价公式 由墨却x p v ，一掣肌，蛾) 令，= f 盯( v ) 蛾，显然m 是一个局部鞅。 令五( f ) = ( ) ，我们现在证明( ) ，= f 盯2 ( v ) 咖 由 e ( m 2 一j 仃2 ( v ) 咖l c ) = e ( ( f 仃( v ) 碱) 2 一f 仃2 ( v ) 咖1 只) = e ( ( f 叩) d b v ) 2 一( r 嘶) 蛾) 2 + ( r 巾) 蛾) 2 一f 仃2 ( v ) 咖 ：e f ( f 盯( v ) 强一f 盯( d 蛾r 盯( v ) 蛾一2 ( r 盯( y ) 蛾) 2 + ( p ( v ) 碱) 2 一f 以v ) 咖1 只1 = e ( ( f 仃( y ) 蛾) 2 + 2 e 仃( v ) 蛾f 口( v ) 以+ ( r 仃( v ) r i b ) 2 一f 盯2 ( v ) 咖 = e 吣) d b ，f 呻) 蛾一f o - 2 ( v ) 咖咽f 呻) 蛾) 2 + ( r 叩) d b v ) 2 = ( r 盯( v ) d b ，) 2 一f 仃2 ( v ) 咖 可知f 2 一f 仃2 ( v ) 咖是鞅，从而结论成立 命题3 2 当障碍( f ) ：l p m 帅，上升敲出看涨障碍期权的定价公式为 1 9 中南人学硕上学位论文第三章f o r t e t 方法柏：障碍期权中的应用 n 叩一降s o 斗z 1 蜷 - 挈+ 咖山篆 卜- f r ( v ) d v + i n k _ 2 i n l _ 舷n 岫卜吖喾h 攀 证明：现在障碍期权的定价公式可如下给出： u o ：e - 肌) 咖酽( ( 墨一k ) + l s ) ：e 一加) 咖( 俨( 昌l 跏x 1 ；) 一k e 口( 1 护k 1 s ) ) ：一一胁) 咖k ， 其中v o = e r r ( v ) 咖e 口( s r l 曲，x 1 ：) ，k ：e q ( 1 岛，k 1 s 片) 由墨= 瓯e x p ( m v ) 一掣) 咖+ f 呻) 蛾 q ( 1 s h ) = q ( 墨h ，v o _ t 丁) 蜊墨e x p m 一掣肭，蛾j ：t r ( v ) d v m 娜d = q ( 一f 掣叫蛾蛐l - - - , v o t t ) = q ( 吲s u 吖p ， 一半+ m 卜l , v o 一洲n 氛s u p 川删降仍卜习l 由文献 1 4 】知，若令x ( f ) = c r y ( t ) + 鲥，那么x ( f ) 与畏登x ( j ) 的联合分布的 密度函数为： p ( 墨z ，m a x x y ) = ( 等) - ( 等p 2 u y ( 等卜y 如果l k ，则有 q ( _ 挈一咖地毛枷s u 从p ，净毋卜i l ) ) 勘陋竺( 窭蚓二竺 三 l五( d 由第一章知 q 峥s u 咄p 椰，卜争易卜露l 小降s 。斗- 2 乩+ 挈 q ( 孚小蝉) = t ( t ) t - r r ( v ) d v - i n so： 2 1 中南人学硕上学位论文 第三章f o r t e t 方泫在障碍期权中的应用 所以k 咧p k ，k 钏= q 一 k , 训s u p 埘纠h + 毋) 虬c 纠 = q ( - 竽 一州n 氛枷s u 埘p ，净易卜i l ) 一，卜s u 虬p 椰 降毋卜i l ， _ q ( 一挈一川n i k + q ( - 挈一州n “ks u p 加，悖b 卜剐 斗- i n l 2 ( t ) 巾f 尝- l n + - 咖乩妄 _ f r ( v ) d v + l n k _ 2 1 n l i ( t ) ： 现在来计算 v o = e o ( & e x p 一掣p + 知，缓卜- ， 儆下溅变换垫d q p 掣巩+ 知，担) 帕一。v 定鳓 在测度g 下 墨却x p 阶咖掣卜+ 疽) 其中毒= e f 盯( v ) 咖为g 下标准布朗运动 则 圪= & e 岛( 墨 k ，。日) + 挈 一 & 一 + 中南大学硕十学位论文 第三章f o r t e t 方法在障碍期杖中的应用 利用前面类似的方法，可求得 e 国( s r k ，z ) - - 绋( 品 k ，。日) = ：t 2 ；( 品 k , 。s 。u 。，p ， 。r h 害+ 上五) - n c 要， a e 【 ( o ) ， ( r ) 】l zj) o ， 小黟- l ns 0 2 _ 2 忙| f 攀 一吖掣 + 誓- f r ( v ) d v + i n k _ 2 i n l a , ( t ) ： 这样就求出了c ”，同样通过平价公式可得到c “ 而对于c 如，利用类似的推导可得 注当利弘呲由墨却x p ( _ f 争+ m 蛾) 知 蚓氏。圳= q ( 一f 挚小蛾弛i h ) = q ( _ 半郴h 舟q ( _ 半妯要 - i 得n c 撕 中南大学硕1 ：学位论文第四章随机利率下障碍期权定价 第四章随机利率下障碍期权定价 假设在风险中性测度q 下，标的资产动态过程服从如下的随机微分方程： 等= ，( f ) 巩+ q d 形其中q 是严格正的、确定的，表示标的资产收益的波动率， 形是q 下的标准布朗运动。 本章考虑当利率，：服从v a s i c e k 利率模型时，讨论障碍期权的定价。在1 9 7 7 年，v a s i c e k 通过解一个普通的微分方程给出了零息债券的价值，在v a s i c e k 模型 中，0 ，a 及仃是常数，在这里将其扩展为时间t 的函数。因此，短期利率应满足 如下的随机微分方程：d r , = ( 包一q ) d t + f y r ( t ) d z , ，其中互与e 的相关系数为p 4 1随机利率下障碍期权定价的近似解 我们利用鞅方法来推导零恳债券的价格 令口( “，v ) = e x p ( 一r q 出) ，a ( “，v ) = r 口( “，s ) 凼 则对所有的s t ，我们有 2a ( t ，s ) ，：+ jo ，a ( v ，s ) d v + jo r ( v ) a ( v ，s ) d z 对两边同时积分，得到： r 凼= 石( f ，r ) ，：+ r 包石( v ，j ) a v + fq ( 1 ，) 石( 1 ，t ) d z ( 4 1 ) 接下来，我们讨论丁到期的零息债券在t 时的价值b ( t ，t ) ，由鞅定理，得到： b c r ，丁，= e q e x p ( 一r 出i f ) 引理5 1 旧1 到期时为丁的零息债券在t 时的价值b ( t ，t ) 可表示为： ( 4 2 ) 曰( ，丁) = e x p ( 一石( r ，n ，：一j f r 鼠a ( v ，r ) 咖+ 圭r 矿( v ) a 2 ( v ，r ) 咖) ( 4 3 ) 在q 下满足如下的扩散过程：d b ( t ，1 3 = b ( t ，t ) r , d t - 石( t ，t ) c r ，( t ) d z t 中南大学硕- l 学位论文第四章随机利率下障碍期权定价 让明：田( 5 1 ) 及( 5 2 ) ，我1 导剑 鼬，耻酽 e x p ( - r f i 矿j f r 蜊v ，丁) 咖一r q ( v ) m 蚓z ) 利用布朗运动独立增量的性质及先前关于参数的假设，则得到： 踯罐 e x p ( - r f i 驴r 明y 刀咖一r ) m 红) 直接计算可得( 5 3 ) 。再利用i t & 公式得到：d b ( t ，丁) = b ( t ，r ) 【，：出一a ( f ，丁) q ( f ) 皿】 作如- f 的两个涮庸蛮换 丝：立 d qb r s o d q t 1 o = 一 d q b r b ( o ，t ) 其中忍= e x p ( f 巾) 咖) 则 c 耐= 酽( e - i ；r ( s ) d s ( s r k ) + 1 ， = 俨( 坼1 ( 品一k ) + 1 ，) = 俨( 巧1 品1 跏置l ，) 一肛q ( 坼11 跏k l s _ ，) = & e g ( s r k ， h ) 一肋( o ，r ) e 弭( s r k ， h ) = s o 人一r a ( o r ) a 其中 人= e g ( s r k ， h ) ，a = e 纷( s r k ，s 一 日) 由d e = 胆+ 乒初l ( f ) ， 得到譬- ，( 撇+ 胆红+ x 厅- p e r d z l ( f ) 薏一p ( 一r 咖+ r 腿识+ r 而矧v ) ) 由多维g i s a n o