（应用数学专业论文）带交易费用下的一种期权对冲模型.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 自从1 9 7 3 年b l a c k s c h o l e s 的经典的期权定价理论问世以来，期权的定 价和对冲策略已成为金融学研究的核心问题之一。 b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理论是基于一个如下的套利讨论：连续调整 个包含股票和无风险债券的投资组合头寸，投资者可以确切复制任何基于该股 票的期权收益，且期权价值必等于复制成本。b l a c k s c h o l e s 的理论是在无市 场摩擦的状况下得到的，如果存在交易费用，上述讨论不再有效，无论交易费 用多么小，连续的头寸调整也会带来巨额的交易成本。l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 考虑了 带交易费用情况下的期权复制，提出了一个修正的依赖于交易费用大小和调整 频率的期权复制策略，并且当交易费用变得任意小时该策略趋向于 b l a c k s c h o l e s 的策略。但是，l e l a n d 把头寸调整复制的时间限定在相等的时 间间隔上。我们使对冲时间间隔可以是一个变化的量，每一对冲时刻由一个光 滑的、正的、严格单增的函数给出，满足： ，o 。) 昌f d 不同的函数，o ) 表示对冲时间的不同分布。特别地，如果取f ( o = t 时， 即为l e l a n d 考虑的模型 我们还假设股票价格置满足如下随机微分方程： 堕：砒+ 翩 薯 1 1 其中e 是标准布朗运动，是股价飘移率，盯为波动率。 定义f ，时刻持有股票的价值为： s “，) = ，c 一纯，z ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中函数c o ，x ) 规定了t 时刻的投资组合构成，依照函数c o ，x ) 对冲在到 期日t 获得一个随机收益： 如一( 0 ，砌+ 荟掣吣咿p 荟i 掣一掣k 。 右边第1 项为初始财富，第二项表示在t i 肃 t i + 。之间持有股票的数量与股 价变化的乘积，第三项是再平衡的交易成本支出，把交易费用表示为正。 当对冲时间间隔f 。一t 。和交易费用都按某一速率趋于0 时，我们获得 个完全对冲策略，即是定理1 定理1 ，假定收益函数h ) 有严格正的二阶导数，o ) 0 严格增且在区间【o ，丁】 上有连续的二阶导数，定义v ( f ) 一厂o ) ，令c q ，z ) 是下列方程的解： ；- + 三卯+ 吾侈2 ；剁 且满足：口，石) ：0 ) ，令6 一o ，p of tp 一6 j ，有： “d ( x t ) 一“0 r ) 和 w ) 一盯知# o 两个极限均依l 2 收敛。 如果想用上述极限来近似表达离散对冲，这种近似表达的误差由下面的 定理给出： 定理2 ：在定理1 的条件下： e ( v ) = e 6 ( x r ) 一“( x ，) ) 2 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s = 晤拙【i 0 - 4 丽1 仨去( 1 一如+ o ( 6 ) 另外，我们还讨论了最优对冲策略的评价标准：在给定的初始头寸条件下， 寻求使复制误差最小的对冲策略。定义z p ) = r v m ) 咖复制误差可重新表述为： s ( z ) 二p 2 f oq ( t ，：o ) 皿【z ( f ) 坤 其中 地删= 胁工) 白2 眦一吾居 牛协】- 了0 4 丽1 仨嘉劬一争 在边界条件z ( 0 ) 一2 o 和z 口) = o t - 寻求e ( z ) 的极小值，归结为如下的拉格 朗日方程： p 2 ( 丸p ，z ) l z o ) 卜【谚o ，z ) + 丸z o ) 】三z o ) 】一妒( f ，z ) 三”【z 。o 弦”( f ) ) = 0 关键词：期权对冲交易费用复制误差 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t o p t i o np r i c i n ga n dh e d g i n gh a sb e e naf o c u so ff i n a n c es i n c et h e p u b l i c a t i o no ft h eb l a c k - s c h o t e sf o r m u l ai n 1 9 7 3 c i p t i o np r i c i n gt h e o r ya sd e v e l o p e db yb l a c ka n ds c h o l e sr e s t so n a l la r b i t r a g e a r g u m e n t ：b yc o n t i n u o u s l ya d j u s t i n gap o r t f o l i oc o n s i s t i n go f as t o c ka n dar i s k - f r e e b o n d ，a l li n v e s t o rc a l le x a c t l yr e p l i c a t et h er e t u r n st oa n yo p t i o no nt h a ts t o c k t h e v a l u eo ft h eo p t i o nm u s t ，t h e r e f o r e ，e q u a lt h ev a l u eo ft h er e p l i c a t i n gp o r t f o l i o ， o p t i o nm u s t ，t h e r e f o r e ，e q u a lt h ev a l u eo ft h er e p l i c a t i n gp o r t f o l i o i nt h ep r e s e n c e o ft r a n s a c t i o n sc o s t s ，t h ea r b i t r a g ea r g u m e n tu s e db yb l a c k - s c h o l e st op r i c eo p t i o n n ol o n g e rc a nb eu s e d ：b e c a u s ec o n t i n u o u st r a d i n gw o u l db er u i n o u s l ye x p e n s i v e ， n om a t t e rh o ws m a l lt r a n s a c t i o n sc o s t sm i g h tb ea sap e r c e n t a g eo ft u r n o v e r , l e l a n d ( 1 9 8 5 ) c o n s i d e r e do p t i o nh e d g i n gs t r a t e g i e si n t h ep r e s e n c eo ft r a n s a c t i o n sc o s t s a n dd e v d o p e dam o d i f i e do p t i o nr e p l i c a t i n gs t r a t e g yw h i c hd e p e n d so ft h es i z eo f t r a n s a c t i o n sc o s t sa n df r e q u e n c yo fr e v i s i o n l e l a n dc o n s i d e r e dh e d g i n gs t r a t e g i e s w h i c hi n v o l v ea d j u s t i n gar e p l i c a t i n gp o r t f o l i oa tf i x e de q u a lt i m ei n t e r v a l s w e g e n e r a l i z et h el e l a n dh e d g i n gs t r a t e g yt oi n c l u d et h ec a s e o fv a r y i n gt i m ei n t e r v a l s b e t w e e n r e b a l a n c i n g s u c h s t r a t e g i e s c a nb e p a r a m e t e r i z e d w i t ha s m o o t h ，p o s i t i v e ，s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o nf ( 0v i a q i ) = t 6 d i f f e r e n tf u n c t i o n ，( f ) y i e l dd i f f e r e n td i s t r i b u t i o n so ft h er e h e d g et i m e t n o t et h a t t a k i n gf ( t ) ；t w o u l d c o r r e s p o n d t ot h ec o n s t a n ti n t e r v a lc a s e c o n s i d e r e di nl e l a n d 0 9 8 5 ) w ea s s u m et h es t o c kv a l u ef o l l o w sas t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 鱼；础+ 础 薯 w h e r e 只i s as t a n d a r db r o w n i a n m o t i o n ，肛i st h ed r i f ti nt h es t o c kp r i c e ， a n d 仃i st h e v o l a t i l i t y w ed e f i n et h ev a l u eo ft h es t o c kt ob eh e l da tt h er e h e d g et i m e s i t ob e s 8 i ，x 。t ) 一x hc x q i ，x t ? 1 w h e r et h ef u n c t i o n c ( t ，z ) p r e s c r i b e s t h e c o m p o s i t i o no f t h e p o r t f o l i o h e d g i n ga c c o r d i n g t o c o ，力y i e l d s ar a n d o m p a y o f f “( x f ) a te x p i r yt o f 赫幺吣0 ) + 荟掣吒吲一p 荟i 掣一掣k 。 t h ef i r s lt e r m0 0t h ef i g h ti st h ei n i t i a lw e a l t h ，t h es e c o n dt e r mi st h en u m b e ro fs h a r e so f s t o c kh e l db e t w e e n a n d + 1 m u l t i p l i e db yt h es t o c kp r i c ec h a n g e ，t h et h i r dt e r mi st h e e x p e n d i t u r e si at r a n s a c t i o n c o s t sd u c et or e b a l a o n g , d e n o t eb yt c w eo b t a i nt h e c ( t ，j ) w h i c hy i e l d sp e r f e c tr e p l i c a t i o ni na l i m i ti nw h i c hb o t h t h er e h e d g ei n t e r v a l s t f + l t f a n d p t e n dt oz e r oa t p r e s c r i b e dr a t e s t h e ya r e t h e o r e m1a n dt h e o r e m2 t h e o r e m1a s s u m et h a tt h ep a y o f f f u n c t i o n “0 ) h a ss t r i c t l yp o s i t i v es e c o n d d e r i v a t i v ea n dt h a t ，( f ) 0 i s s t r i c t l yi n c r e a s i n g w i t hc o n t i n u o u ss e c o n d d e r i v a t i v eo n 【o ，t 】d e f i n e v o ) ；j i 飞万，a n d l e t e p ，x ) b e t h es o l u t i o nt 。 打扣+ 吾居讲捌 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a n d 一 ! w i t h c ( t ，盖) t “0 ) ，t a k e t h e l i m i t ，j 一0 ，p o s o t h a t ，= 6 2 u 6 ( 姊) 一u ( x r ) 叫) 一刊知# ；一v ( t ) d t b o t h l i m i t sa r e i nl 2 t h e o r e m2u r i d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 ， ( v ) = 酬( “d 皤，) 一( 坼) ) 2 ) = 6 e f 。x 4 t c 2 ( t ，) 百( 1 4 而1 + b v 玎，万1 + 仃2 ( 1 一争协，+ 。( 6 ) f o l l o w i n gt h e s e ，t h i sp a p e rt a l ka b o u tt h eo p t i m i z a t i o nc r i t e r i a ，o u rg o a li si o p r e s c r i b ea ni n i t i a lp o r t f o l i ov a l u ec ( 0 ，算o ) a n dt o t h e nf i n dt h eh e d g i n gs t r a t e g y w h i c hm i n i m i z e st h er e p l i c a t i o ne r r o r w ed e f i n e z o ) 4 f o v ( u ) d u t h e r e p l i c a t i o ne l - f o rc a n h o wb ew r i t t e n f p ) = 夕i 北z ( o ) l z o ) j a t w h e r e 庐o ，z o ) ) ；f p 。，x ) ( 刍2 k 。一吾j 争o ) ，工) 】2 出 球，= 譬南仨去o 一争 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s t h eg o a li s t of i n de x t r e m a l so f p ) s u b j e c tt ot h e b o u n d a r yc o n d i t i o n s z ( o ) = z o a n d2 仃) = 0 t h ea s s o c i a t e d e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n i s p 2 ( 峻o ，z ) l z o ) 一腆o ，z ) + 虫z ( f ) 弘p p ) 】一妒( f ，z ) l ”p ( f ) 2 ”o ) ) = 0 k e yw o r d s ：h e d g i n gs t r a t e g i e s ；t r a n s a c t i o nc o s t s ；r e p l i c a t i o n e r r o r 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名= 氟蚶彳 日期：如旷年6 月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：翦? 日期：扩件6 月日 导师签名：锈称 日期：2 时s 忍48 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。回蛊迨童埕銮厦澄匿i 旦堂生；旦二生；旦三生 筮盔! 作者签名：奄荸半导师签名：钙协 日期：动v r 年月f 日日期：z 哩鲆b 月4 日 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 一、引言 期权是在规定条款下购买( 出售) 一项资产的权利，但不是义务。通常它有 规定的价格、有效的期间。期权在金融领域有很长的历史，因为它是控制风险、 以最小费用锁住资源的最好机制，因此期权理论历来是金融学研究的主要课题 之一。 ( 一) 历史状况 期权定价理论的研究最早开始于1 9 0 0 年的路易斯巴彻斯( l o u i s b a c h e l i e r ) 的研究，他的工作标志着连续时间下数学中的随机过程理论和经济 学中的衍生证券定价理论的双双诞生。但是，由于数学工具方面的限制，直到 2 0 世纪五六十年代，这方面的研究还相当肤浅。2 0 世纪五十年代，伊藤 ( k i u o s h ii t o ) 受路易靳巴彻斯工作的启发，作出了随机分析方面奠基性 的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来衍生证券定价理 论革命性的飞跃。到了2 0 世纪7 0 年代，费歇尔布莱克( f i s c h e rb l a c k ) 迈 伦s 斯科尔斯( m y r o n s - s c h o l e s ) 以及罗伯特默顿( r o b e t tm e r t o n ) 的工 作使随机分析和金融学达到了完美的结合，这就是期权定价的布莱克一斯科尔 斯( b l a c k s c h o l e s ) 公式和默顿的多期动态资产定价理论，特别是前者，它给 金融实际操作带来了最具影响力的冲击。一个有趣的例子是，b l a c k s c h o l e s 公 式发表的对间与芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。 ( - - ) 研究趋势 在标准化的期权合约中，期权的有效期( e x p i r a t i o nd a t e ) ，执行价格 ( s t r i k i n gp r i c e ) ，基础证券( u n d e r l y i n gs e c u r i t i e s ) 的种类和数量都是事先规定 的，只有期权的价格是期权合约中唯一的变量，是交易双方在交易所内用公开 竟价方式决定出来的，期权的购买或销售价格通常称为权利金或保险费 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( p r e m i u m ) ，它是期权购买人( o p t i o nb u y e q 付给期权出具人( o p t i o ns e l l e r ) 用 以换取期权所赋予权利的代价。 在没有市场摩擦的情况下，b l a c k s c h o l e s 采用动态复制技术，用期权、 标的物股票和一种无风险证券来构筑一个完全对冲的组合头寸，从而得到期权 的合理定价。所谓无市场摩擦主要是指1 、无税收，无交易费用；2 、所有资产 可以无限细分；3 、没有卖空限制。在面临市场摩擦情况下，头寸的不断调整 会招致巨额的交易成本，在这种情况下，如何为期权合理定价或寻求优化期权 对冲策路成为令人关注的课题。金融学家为此傲了大量豹研究。 l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 和v o l t ( 1 9 9 2 ) 考虑了当交易费用只发生在离散点时的期 权对冲策略，这些对冲策略给出了期权价值的范围。当交易发生频繁时，对冲 误差会减少，但是期权价格范围会变得很宽。而且这些对冲策略都限制头寸调 整在固定的时间间隔，这对于风险管理来说不一定是最优的方法。 b e n s a i d ( 1 9 9 2 ) 和e d i f i s i n g h e ( 1 9 9 3 ) 提出了一种所谓“超级复制策略” ( s u p e r - r e p l i c a t i n gs t r a t e g y ) ，这种策略只要求是占优的( d o m i n a t e ) ，而不是复制期 权收益。s o n e r ( 1 9 9 5 ) 和c v i e a n i c ( 1 9 9 9 ) 证明了在连续交易的极限下，对一个歇 式看涨期权，最优的超级复制策略就是：购买一股标的股票并一直持有到期权 到期日。 h o d g e s 和n e a b e r g e r ( 1 9 8 9 ) 认识到定价方法必须结合到某些优化要素，对 于建立有效率的期权对冲策略而言。这种方法值得推崇。比较有代表性的是 m e r c u r i o ( 1 9 9 7 ) 和l a m b e r t o n ( 1 9 9 8 ) 提出的局部风险最小化的策略，d a v i s ( 1 9 9 7 ) 提出的效用最大化的观点等。 ( 三) 本文工作 在存在交易费用的情况下，基于k l a n d ( 1 9 8 5 ) 的对冲策略，本文给出了一种推 广的期权对冲模型，并在极限意义下可获得完全对冲。本文还讨论了最优对冲 策略的评价标准，并把寻求最优对冲策略问题转化为了一类欧拉一拉格朗日型 方程的求解问题。全文分四部分，第一部分引言，第二部分假设，第三部分模 型，第四部分评价标准。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 二、假设 假设股票价格工满足如下随机微分方程 d x 2 _ , d t + a d b x ， 。 。 ( 2 1 ) 其中b 是标准布朗运动，| l 是股价飘移率，。为波动率，为简化模型，假 定所有价格可由单位无风险债券度量，且利率为零。 我们希望复制的衍生证券由一个收益函数n b ) 构成，t 表示到期日，例如 一个欧式看涨期权( 执行价格为k ) 的收益函数“( z ，) 。m a x o ，僻，k ) ，本文只考 虑依赖于股票终期价格x t 的收益函数，而那些依赖于路径的期权，比如美式 期权和亚式期权，则不在本文考虑之列。我们还假定常数p 为成比例的交易费 用率，即当持有的股票价值的变化为血，则交易费用为口缸。 通常的复制策略还包括在某些时间后再对冲投资组合，在本文中这些时间 t i 是非随机的，在通常的b l a c k - s c h o l e s 的复制策略中，我们把在i 时刻的持有 股票价值定义如下： s 堪t ，x t 、= x t j c ：乜i ，x t 、 翠固 其中函数c ( t ，x ) 规定了t 时刻的投资组合的构成，在时刻和股价x 。下， 持有股票的数量由e ，置) 表示。这样一个对冲策略由再对冲时间和函数 c ( t ，x ) 组成，我们用c ( o ，x 。) 表示初始价值，依照c p ，z ) 对冲在t 时刻将获得 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一个随机收益”( 石，) ： 洒卸砂善罟产 ) ( 2 3 ) 罐p 专导一萼剖 右边的第一项为初始财富，第二项表示在和+ ，之间持有股票的数量与股 价变化的乘积，第三项是再平衡的交易成本支出，我们把交易费用项表示为t c 。 在本文的余下部分我们将考虑基于( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的对冲策略，下一步首先考察在 对冲时间间隔t 。一和交易费用率p 都按某一速率趋于0 时的情形，在上述极 限意义下，6 0 ，) 是一种完全复制策略。 4 硕士学位论文 m a s t e r st i - i e s l s 三、模型 在本节中考虑对应于确定的时间分割仁) 的对冲策略，其中乜) ； 0 = t o o 贝u z ( r ) 。0 ，我们固定e ( o ，x o ) - z 。，定义函数： m z ( f ) 】- e p 吐c ) ( 4 4 ) 把( 3 6 ) 式变形为： 工：c x x ( t ，五) 。一冬e p p ) ，z 】 ( 4 5 )工2 ，功l 一紊e p 】 ( 4 5 扩散过程置的对数正态分布密度为： 1 1 0 9 ( z i x o ) 一p i 8 2 r ( 4 6 ) p ( t 卜志唧一气丁。 、。 因此 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 纠一i c r 4 丽1 拄专o 一争 因而复制误差( 3 2 7 ) 式可以重新表述为： ( z ) = p 2 r 【f ，z p ) l l 【z o ) 出 ( 4 8 ) ( 4 9 ) 下面即在边界条件z ( o ) = z o ；f f l z ( r ) o 下寻求e ( z ) 的极小值，这涉及到如下 的欧拉一拉格朗日方程： p 2 p z ( f ，z ) l z ( f ) 卜【疵( f ，z ) + 以z ( r ) 弘f o ) 】 似加1 一0 ，z 弘4 f z 8 ) 】z o ) ) 一0 、。 注意到交易费用参数p 在上式中作为公因子提出来，意味着最优交易策略 函数f f t l 与p 相互独立。这样，最优期权对冲策略问题就归结为上述欧拉一拉 格朗日方程的求解问题。 力p出 啪鼢 居 2 一d 一 0k 争 t 以p 工 l 甜雄卯 争 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 结束语 在存在交易费用的情况下，本文给出了一种变化时间间隔的欧式期权对冲 策略。在给定的评判标准下，把最优对冲策略问题转化为了一类欧拉一拉格朗 日方程的求解问题。当然，本文只是给出了这种模型，并没有把欧拉一拉格朗 日方程的数值解求出来，并和已有的模型进行对照，这有待于进一步研究。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】1l e l a n d ，h e “o p t i o np r i c i n ga n dr e p l i c a t i o nw i t ht r a n s a c t i o n sc o s t